Метод анализа иерархий

Важным требованием, обеспечивающим обоснованность применения метода, является квалифицированность экспертов, принимающих участие в создании структуры модели принятия решения, подготовке данных и в интерпретации результатов, т.е. их способность давать правильную непротиворечивую информацию. Во многом обоснованность решения, принятого с помощью иерархического анализа проблемы, связана:

1) с полнотой учета факторов, определяющих рейтинг решений;

2) с полнотой учета связей между целью рейтингования, факторами и возможными решениями;

3) адекватностью формулировок критериев для парных сравнений тем целям, которые преследуются для построения модели.

Модели, основанные на строгом иерархическом принципе, являются полилинейными и предполагают использование взвешенного суммирования для вычисления приоритетов альтернатив. При этом взаимная зависимость однотипных факторов, от которых зависят приоритеты решений, друг от друга выясняется или путем парных сравнений или не учитывается вовсе (т.е. факторы в модели считаются независимыми). Таким образом, если учитываются сильно коррелирующие факторы, то соответствующая модель должна как минимум иметь обратные связи. Учет обратных связей позволяет установить опосредованные связи между однотипными факторами (через факторы других типов). Если в реальной ситуации имеются существенно нелинейные взаимодействия между компонентами задачи, то аддитивный принцип расчета рейтинга, принятый в методе анализа иерархий может приводить к ошибкам.

Метод наиболее подходит для тех случаев, когда основная часть данных основана на предпочтениях лица, принимающего решения.

Результаты, полученные с помощью иерархических моделей (без обратных связей), являются статичными. Учет цикличности функционирования систем во времени возможен только с помощью систем с обратными связями. Метод не приспособлен для моделирования произвольных динамических процессов. В частности, в рамках метода нет явных средств для моделирования «запаздывания», при котором действия разных факторов распространяются с разными скоростями.

Сбор данных и минимизация содержащихся в них противоречий может подчас производиться долго. При этом может оказаться, что в наборе данных неявно учитывается их разброс по времени. Это обстоятельство может вести к искажению результатов при моделировании быстро меняющихся ситуаций. Метод дает более реалистичные результаты при моделировании медленно меняющихся ситуаций, для принятия стратегических решений.

Рейтинг возможных решений должен иметь малую чувствительность к несущественным изменениям данных или структуры модели.

6. Шкала Саати

На каждом нижележащем иерархическом уровне структурные элементы располагаются в матрицах парных сравнений, в которых собственно и проставляются экспертные оценки. Здесь в каждой клетке матрицы эксперту необходимо выразить результат сравнения двух объектов или процессов в виде разумных чисел.

Для определения этих чисел служит специальная шкала сравнения, позволяющая присваивать численные оценки, характеризующие превосходство одного элемента изучаемой системы над другим.

Для матриц парных сравнений необходимо выполнить оценку согласованности экспертных суждений. Если условие согласованности не выполнено, то необходимо переосмыслить задачу на данном конкретном иерархическом уровне и повторить процедуру экспертного оценивания.

На каждом уровне иерархии определяется свой вектор приоритетов, который взвешивается коэффициентами важности (весами) вышестоящего уровня. Для матриц парных сравнений необходимо выполнить оценку согласованности экспертных суждений.

Если условие согласованности не выполнено, то необходимо переосмыслить задачу на данном конкретном иерархическом уровне и повторить процедуру экспертного оценивания.

На каждом уровне иерархии определяется свой вектор приоритетов, который взвешивается коэффициентами важности (весами) вышестоящего уровня.

Идеальная схема сравнения

Пусть имеется набор n объектов (факторов), подлежащих сравнению. Обозначим эти объекты символами A1, A2, …,An. Пусть в рамках экспертного оценивания эти объекты характеризуются соответственно с помощью положительных чисел w1, w2,…, wn на наличие и степень проявления некоторого рассматриваемого экспертизой свойства. К примеру, число wi отражает степень проявления (интенсивность) рассматриваемого свойства у объекта Ai. Числа wi (i=1,…,n) в зависимости от контекста именуют «весами», «интенсивностями», «коэффициентами важности» объектов Ai. К примеру, число wi отражает степень проявления (интенсивность) рассматриваемого свойства у объекта Ai.

Числа wi (i=1,…,n) в зависимости от контекста именуют «весами», «интенсивностями», «коэффициентами важности» объектов Ai. Для удобства, и не в ущерб общности рассматриваемой задачи, в дальнейшем будем оперировать нормированными величинами wi (i=1,…,n), которые обладают тем свойством, что

w1+w2+…+wn=1.

Таким образом, при использовании нормированных величин можно утверждать, что wi ·100% представляет собой вес объекта (фактора) Ai, выраженный в процентах. Сопоставим вес каждого из объектов с весами других объектов, образуя тем самым так называемую матрицу относительных весов.

Матрица относительных весов обладает четырьмя важными свойствами:

1. aij=wi/wj > 0 для всех i и j, так как все веса wi и wj положительны.

2. aii=wi/wi = 1 для всех i= 1, 2,…, n.

3. Матрица А обратно симметрична, а именно

aij = 1/aji

для всех i и j.

4. Матрица А обладает свойством совместности, а именно

для всех i, j и k.

Если из весов w1, w2,…, wn образовать вектор-столбец w,

то нетрудно убедиться, что имеет место равенство

(1)

если заметить, что i-я компонента вектора, записанного в левой части соотношения (1), равна

что совпадает с i-ой компонентой вектора, расположенного в правой части соотношения (1).

Выполнение равенства (1) означает, что число n является собственным значением (числом) матрицы относительных весов A в то время как w является собственным вектором, соответствующим этому собственному значению.

Напомним, что в линейной алгебре число л называют собственным значением матрицы А, а ненулевой вектор-столбец х - собственным вектором, соответствующим собственному значению л, если имеет место равенство

(2)

Собственное значение матрицы А можно найти из так называемого характеристического уравнения

(3)

где - - определитель соответствующего матричного выражения, а Е- единичная матрица.

Характеристическое уравнение (3) для матрицы n-ого порядка представляет собой алгебраическое уравнение n-ой степени. Отсюда следует, что матрица А порядка n имеет n комплексных собственных чисел, являющихся корнями соответствующего характеристического уравнения. Для матрицы относительных весов, обладающей четырьмя рассмотренными выше свойствами, можно доказать следующее положение.

Теорема. «Матрица относительных весов имеет лишь два вещественных собственных значения: n и 0».

Если обозначить

лmax = n = max{n;0},

то в соответствии с этой теоремой равенство (1) можно представить в виде (умножить на нулевой вектор -столбец)

A?w = лmax?w (4)

Равенство (4) является основой для дальнейшей математической обработки и интерпретации экспертных оценок в рамках метода анализа иерархий.

На практике при проведении экспертного оценивания экспертам очень трудно одновременно сопоставить свойства всей группы сравниваемых объектов (факторов) A1, A2, …,An, которых может быть весьма много, и назначить им соответствующие веса w1, w2,…, wn. Куда легче сравнивать объекты попарно, характеризуя с помощью какой-либо шкалы оценок степень преимущества одного объекта над другим.

Взвешивая экспертно превосходство одного объекта над другим, и не удерживая в памяти все множество отношений между рассматриваемыми объектами, мы вправе рассчитывать на то, что экспертное оценивание будет более обоснованным и корректным.

Схема попарного сравнения объектов широко используется в различных методах экспертного оценивания и приводит к построению матрицы парных сравнений.

Заполняя клетки этой матрицы, при парном сравнении эксперт не знает всего набора чисел w1, w2,…, wn, т.е. весов объектов. Его задача как раз и состоит в том, чтобы определить их впоследствии. При парном сравнении матрица заполняется числами

aij = wi/wj

характеризующими относительное превосходство (важность, вес) объекта Ai над объектом Aj, в то время как собственные веса этих объектов wi и wj пока еще не определены.

Иными словами, aij назначается экспертом, а веса wi и wj, образующие при делении друг на друга величину aij, подлежат последующему определению.

Для назначения чисел aij необходимо договориться о шкале, по которой будет оцениваться превосходство одного объекта над другим при их попарном сравнении.

Для целей экспертного оценивания примем

9-балльную шкалу, предложенную автором метода анализа иерархий Томасом Саати.

Шкала относительной важности

Шкала относительной важности содержит, очевидно, и все обратные числа 1/9, 1/7, 1/5, 1/3 и промежуточные значения 1/8, 1/6, 1/4, 1/2.

Матрица парных сравнений заполняется, как правило, следующим образом. Объект А1 сравнивают со всеми остальными A2, …,An, заполняя последовательно первую строку матрицы. Затем объект А2 сравнивают со всеми остальными, заполняя вторую строку числами aij, определяемыми по шкале относительной важности и так далее.

Если вес объекта Аi равен весу объекта Aj, то сообразно шкале aij = 1. Если вес объекта Аi больше веса объекта Aj, то в соответствии со шкалой эксперт определяет степень превосходства, выраженную в баллах, причем aij > 1. Если наоборот вес объекта Аi меньше веса объекта Aj, то по шкале задается балльная оценка aij < 1.

По правилам заполнения матриц парных сравнений должны выполняться условия:

1. aij=wi/wj > 0 для всех i и j, так как все балльные оценки положительны.

2. aii=wi/wi = 1 для всех i= 1, 2,…, n.

3. элементы матрицы А обладают обратной симметрией, а именно aij = 1/aji, иначе говоря, если превосходство объекта Аi над объектом Aj оценивается по шкале, например, в 5 баллов и aij =5, то обратное сопоставление объекта Aj с Аi должно автоматически давать оценку aji = 1/5.

Очевидно, что в силу обратной симметричности при заполнении матрицы парных сравнений удобно определять только элементы, стоящие выше диагонали. Диагональные элементы равны единице, а элементы под диагональю в силу обратной симметричности определяются автоматически.

Необходимо обратить внимание на то, что матрица парных сравнений обладает всеми свойствами матрицы относительных весов в схеме идеального сравнения, кроме четвертого. Таким образом, она не обладает свойством совместности .

Это, очевидно, происходит из-за того, что эксперт не знает точно веса объектов w1, w2,…, wn, а оперирует лишь их отношениями aij.

Можно найти максимальное вещественное собственное значение и собственный вектор w* матрицы парных сравнений.

Вообще говоря, и w* не совпадают с соответствующим собственным значением

лmax = n и собственным вектором w матрицы относительных весов в схеме идеального сравнения. Можно доказать, что в общем случае имеет место неравенство

,

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда матрица А* является совместной, т.е. выполняется четвертое свойство.

Идея Т. Саати состоит в том, что коэффициенты aij матрицы парных сравнений А* заданы сравнительно точно, т.е. отклонения aij от истинных отношений весов wi/wj незначительны. Тогда можно надеяться, что и будет близко к n. Здесь используется известное положение линейной алгебры, согласно которому малым отклонениям от исходных значений элементов матрицы соответствует малое отклонение ее собственных значений.

Определив одним из методов линейной алгебры, можно найти и вектор w*, который будет мало отличаться от «истинного» вектора w. Вектор w* определяется, например, из системы однородных уравнений.

(5)

Вектор w* , удовлетворяющий условию

(6)

Как доказывается в линейной алгебре, всегда существует и определяется однозначно. Применение предложенного подхода будет оправдано, если реальная ситуация окажется близкой к идеальной.

В качестве меры отклонения реальной схемы от идеальной используется индекс совместности, определяемый по формуле

(7)

Если Ic < 0,2, то считается, что расхождение между идеальной и реальной схемами сравнения находится в допустимых пределах и полученным результатам можно доверять.

Если это условие не выполняется, следует пересмотреть задачу, уточнить экспертные оценки и заново сформировать матрицу парных сравнений A*.

В частном случае n = 2 характеристическое уравнение любой обратно симметричной положительной матрицы c единичными диагональными членами будет иметь вид

или, раскрывая детерминант

(1 - л)( 1 - л) - 1 = 0.

Последнее уравнение имеет два корня, которые равны 0 и 2. Таким образом, в этом частном случае всегда , т.е. всегда имеет место полная согласованность (Ic = 0), а значит и полное совпадение реальной и идеальной схем сравнения.

7. Применение МАИ на конкретном примере