Математическое моделирование в экономике

Замечание: разумеется, в записи теоремы в качестве Р и Q можно использовать и чистые стратегии!

Как же практически найти цену игры v и оптимальные смешанные стратегии игроков?

Графический метод

Пример 1.

Решить игру, заданную платежной матрицей:



Рис. 10.3

Одновременно, обеим неравенствам удовлетворяют точки нижней огибающей. Какое же значение р выбрать игроку А?

Разумеется, то, при котором нижняя огибающая достигнет максимума.

Решаем систему:

р = 1/3, 1-p = 2/3, v=5/3

Вывод: если игрок А с вероятностью 1/3 будет выбирать 1 стратегию и с вероятностью 2/3 - 2 стратегию, то при достаточно большом количестве игр с данной платежной матрицей, гарантированный средний выигрыш составит 5/3.

Другая интерпретация: чередовать стратегии в пропорции 1:2.

Чтобы найти оптимальную стратегию игрока В, воспользуемся первой строкой матрицы:

q + 3 (1-q) = v > q = 2/3, 1-q = 1/3

Пример 2.

Фирма планирует выпуск двух моделей айфонов (игрок А).

Игрок В - спрос на продукцию. Аналитики составили платежную матрицу:

Найти оптимальную стратегию игрока А.

(почему не интересует игрок В?)

Следуем теореме Неймана.



Рис. 10.4

Одновременно, обеим неравенствам удовлетворяют точки нижней огибающей. Какое же значение р выбрать игроку А?

Разумеется то, при котором нижняя огибающая достигнет максимума.

Решаем систему:

р = 3/11, 1-p = 8/11, v = 49/11

Вывод: следует порекомендовать выпускать айфоны обеих моделей в отношении 3:8.

Чтобы найти оптимальную стратегию игрока В, заметим, что в образовании цены игры участвовали только 2-я и 3-я чистые стратегии игрока В, поэтому:

3q2 + 11 (1-q2) = 49/11.

q2 = 9/11, q3 =2/11, q1=0.

Лекция 11. Сведение матричных игр к задачам линейного программирования

Покажем, на примере, как игру двух лиц с нулевой суммой можно свести к решению пары двойственных задач линейного программирования и решить, например, симплекс-методом (табличным или в среде EXCEL). Отметим [4], что и любая задача линейного программирования может быть сведена к матричной игре.

Пример:

Решить игру, заданную платежной матрицей

?= 1, ?= 2 > игра без седловой точки.

Пусть (р1, р2) - смешанная стратегия игрока А, (q1, q2, q3) - смешанная стратегия игрока В.

Напомним, что суммы вероятностей равны 1.

Воспользуемся теоремой Неймана и замечанием из лекции 10.

Для игрока А:

3р1 + р2 ? v

3р2 ? v

р1 + 2р2 ? v

F = v > max

Будем далее предполагать, что цена игры v>0. Это оправдано, т.к. прибавляя ко всем элементам платежной матрицы некоторую положительную константу, мы придем к матрице с положительными выигрышами - при этом оптимальные стратегии не изменятся, а цена игры увеличится на прибавляемую константу (естественно, после решения задачи эту константу надо будет вычесть из найденной цены игры).

Преобразуем ограничения, разделив все члены неравенств на v (v>0) и обозначим y1 = р1/v, y2 = р2/v. (Заметим, что v = 1/(y1 + y2).

Итак, задача принимает вид:

3y1 + y2 ? 1

3y2 ? 1

y1 + 2y2 ? 1

G = y1 + y2 > min (11.1)

Для игрока B:

3q1 + q3 ? v

q1 + 3q2 +2q3 ? v

F = v > min

Преобразуем ограничения, разделив все члены неравенств на v (v>0). Обозначим х1 = q1/v, х2 = q2/v, x3= q3/v. Заметим, что

v= 1/(x1 + x2+ x3).

Итак, задача принимает вид:

3x1 + x3 ? 1

x1 + 3x2 +2x3 ? 1

F = x1+ x2+ x3 > max (11.2)

Согласно лекции 6 получена пара двойственных задач (11.1) и (11.2). Напомним, что, решив одну из них, например, симплекс-методом, мы автоматически найдем решение другой.

Итак, нахождение решения игры в смешанных стратегиях может быть сведено к решению пары двойственных задач линейного программирования.

Удобнее начать с задачи (11.2).

Приводим задачу к каноническому виду (см. лекцию 4).

3x1 + x3 +х4 = 1

x1 + 3x2 +2x3 + х5 = 1

F = x1+x2+x3 > max

Базисн. перем.	х1	х2	х3	х4	х5	вi	Оцен. отн.
х4	3	0	1	1	0	1	1
х5	1	3	2	0	1	1	1/2
Оцен. строка	-1	-1	-1	0	0	0

Базисн. перем.	х1	х2	х3	х4	х5	вi	Оцен. отн.
х4	5/2	-3/2	0	1	-1/2	1/2	1/5
х3	1/2	3/2	1	0	1/2	1/2	1
Оцен. строка	-1/2	1/2	0	0	1/2	1/2

Базисн. перем.	х1	х2	х3	х4	х5	вi	Оцен. отн.
х1	1	-3/5	0	2/5	-1/5	1/5	1/5
х3	0	9/5	1	-1/5	3/5	2/5	1
Оцен. строка	0	1/5	0	1/5	2/5	3/5

Получено оптимальное решение:

х1 = 1/5, х2 =0, х3= 2/5

v = 1/(x1 + x2 + x3) = 5/3

q1 = 1/3, q2 = 0, q3 = 2/3

Вывод: чтобы обеспечить гарантированный средний проигрыш 5/3 (проиграть не более 5/3) игроку В нужно с вероятностью 1/3 выбрать первую стратегию и с вероятностью 2/3 - третью стратегию (или так- чередовать стратегии 1 и 3 в соотношении 1:2).

Чтобы найти оптимальную стратегию игрока А вспомним лекцию 6: (в оценочной строке последней таблицы находим абсолютные значения балансовых переменных х4, х5 - они и будут двойственными оценками).

у1 = 1/5, у2= 2/5

р1 = (1/5)*(5/3)=1/3, р2 = 2/3.

Экономический пример [4]

Строительный консорциум, состоящий из пяти компаний должен принять решение об инвестиции 10 млн. долларов в два надежных банка, объединенных в банковскую систему.

Совет директоров рассматривает возможность открытия счетов на на сумму 2 млн., 3 млн. и 5 млн. Процентные ставки банков по указанным вкладам таковы: 12%, 6% и 8%- в первом банке и 9%,10% и 7%- во втором банке. Выяснить, как выгоднее консорциуму разместить свои средства.

Данную ситуацию рассмотрим как игру двух лиц - консорциума и банковской системы: консорциум стремится максимизировать свою прибыль, а банковская система - минимизировать проценты по вкладам.

Чистые стратегии игрока А (консорциума) перечислим и опишем в таблице:

Чистые стратегии игрока А	1 тип вклада (2 млн.)	11 тип вклада (3 млн.)	111 тип вклада (5 млн.)
1	2,2,2,2,2	-	-
2	2,2,2	3
3	2,2	3,3
4	2,2		5
5	2	3	5
6		3, 3, 3
7			5, 5

Пояснение: 1-я чистая стратегия предполагает открытие 5 вкладов по 2 млн., 2-я -3 вкладов по 2млн и одного по 3 млн. (напомним - всего в наличии 10 млн.). Дальнейшая структура таблицы понятна!

Чистые стратегии игрока В: выплачивать проценты через 1-й банк, выплачивать проценты через 2-й банк.

Запишем платежную матрицу игры, указав доходы игрока А.

? = 0,9 ? = 0,96

Седловой точки нет, поэтому будем искать решение игры в смешанных стратегиях. По смыслу задачи нас будет интересовать игрок А.

Составим задачу линейного программирования:

1,2y1 + 0,9y2 +0,84у3 +0,88у4 + 0,82у5 + 0,54у6 + 0,8у7 ? 1

0,9y1 + 0,84y2 +0,96у3 +0,80у4 + 0,83у5 + 0,9у6 + 0,7у7 ? 1

G = y1 + y2 +у3 +у4 +у5 + у6 + у7 > min

Компьютерное решение в среде EXCEL (файл "новый")

y1 = 0,30, y2 =0, у3 = 0,76, у4 =0, у5 =0, у6 =0, у7 =0, v= 0,94

р1 = 0,3*0,94 =0,282, р3 = 0,76*0,94 =0,714

В большей степени следует порекомендовать консорциуму разместить 2 вклада по 2 млн. и 2 вклада по 3 млн. Гарантируемый средний доход 94%.

Пример: (военная игра) [1]

На маневрах флота в средиземном море сторона В может послать подводную лодку в один из регионов моря: 1 или 2. Другая сторона А имеет 3 противолодочных корабля и должна обнаружить и уничтожить подводную лодку.

Вероятность корабля потопить лодку в регионе 1 равна 0,6, а в регионе 2 - 0,4. Командованию флота нужно разработать стратегию распределения кораблей по регионам.

Данную конфликтную ситуацию рассмотрим как игру двух игроков А и В.

У игрока В две стратегии - послать лодку в регион 1 и в регион 2. У игрока А четыре стратегии (0,3), (1,2), (2,1) и (3,0).

Например, (2,1) означает посылку двух кораблей в 1 регион и одного- во 2 регион, и т.п.

Выигрыш игрока А - вероятность уничтожения лодки.

?=0,6, ?=0,784

Поясним составление платежной матрицы.

(0,3)- посылка 0 кораблей в 1 регион и 3 кораблей во второй.

При этом в первом регионе имеется лодка - ясно, что вероятность ее уничтожения 0.

Пусть игрок В направил лодку во 2 регион:

вероятность того, что хотя бы один из 3-х кораблей уничтожит лодку: р = 1 - (1- 0,4)3 =0,784.

(2,1)- посылка 2 кораблей в 1 регион и одного корабля во 2 регион. Пусть игрок В направил лодку в 1 регион:

Р = 1- (1-0,6)2 = 0,64 и т.д. (просчитать вероятности самостоятельно).

Рассуждая, так же как и в первом примере:

Для игрока А:

0,6у2 + 0,84у3 + 0,936 у4 ? 1

0,784у1 + 0,64у2 + 0,4 у3 ? 1

F = у1 + у2 + у3 + у4 > min (11.3)

Для игрока В:

0,784х2 ? 1

0,6х1 + 0,64х2 ? 1

0,84х1 + 0,4х2 ? 1

0,936х1 ? 1

G= x1 + x2 > max (11.4)

Решим задачу (11.4) в EXCEL (файл "игра").

х1 = 0,80, х2 = 0,81, v = 0, 62 > q1 = 0,496, q2 = 0,502

у1 = 0, у2= 1,48, у3=0,13, у4=0, v= 1/(у1+у2 + у3 + у4)= 1/1,61 = 0,62

р1=0, р2 =1,48*0,62= 0,92, р3=0,13*0,62= 0,08, р4 =0

Итак, оптимальная стратегия игрока А - послать 1 корабль в 1-й регион с вероятностью 0,92 и 2- в 1 регион с вероятностью 0,08. Не следует посылать 3 корабля во 2 -й регион и 3 корабля в 1 регион!

Игроку В следует с примерно равными вероятностями послать лодку в каждый из двух регионов.

Пример.

Найти решение игры, заданной платежной матрицей:

Решаем игру сведением к двойственным задачам.

Для игрока А:

4у1 + 3у2 + 2 у3 ? 1

-2у1 + 5у2 + у3 ? 1

2у1 + у2 + 5у3 ? 1

G = у1 + у2 + у3 > min (11.5)

Для игрока В:

4х1 - 2х2 + 2х3 ? 1

3х1 + 5х2 + х3 ? 1

2х1 + х2 + 5х3 ? 1

F = х1 + х2 + х3 > max (11.6)

Решим задачу (11.5) в EXCEL:

у1 = 0,03 у2 = 0,19 у3= 0,15

v= 1/ (0,03 + 0,19 + 0,15)= 2,7

р1 = 0,03*2,7=0,081

р2 = 0,19*2,7 =0,513

р3 = 0,15*2,7 =0,405

Наиболее обещающей для игрока А является 2-я стратегия.

Решим задачу (11.6) в EXCEL:

х1 = 0,22 х2 = 0,05 х3= 0,1

v= 1/ (0,22 + 0,05 + 0,1)= 2,7

q1 = 0,22*2,7=0,594

q2 = 0,05*2,7 =0,135

q3 = 0,1*2,7 =0,27

Пример.[1]

Известный актер (игрок А) обдумывает, где бы ему провести отпуск с молодой женой. Возможные варианты (стратегии): Монте-Карло (МК), Гавайские острова (Г), Багамские острова (Б), Канарские острова (К), Сочи (С), озеро Байкал (ОБ). Игрок В - папарацци - фотографы, которые охотятся за артистом и могут, выследив его, испортить ему отпуск. Папарацци могут выследить актера с такими вероятностями: 0,34- МК, 0,12-Г, 0,16- Б, 0,4- К, 0,5-С, 0,2- ОБ.

Выигрыш игрока А - вероятность не встречи с папарацци.

Определить оптимальную стратегию игрока А.

Платежная матрица:

Следуя вышесказанному, составим задачу линейного программирования (почему без двойственной?):

0,66у1 + у2 + у3 + у4 + у5 + у6 ? 1

у1 + 0,88у2 + у3 + у4 + у5 + у6 ? 1

у1 + у2 + 0,84у3 + у4 + у5 + у6 ? 1

у1 + у2 + у3 +0,6 у4 + у5 + у6 ? 1

у1 + у2 + у3 + у4 +0,5 у5 + у6 ? 1

у1 + у2 + у3 + у4 + у5 +0,8 у6 ? 1

G= у1 + у2 + у3 + у4 + у5 + у6 > min

Решим задачу в EXCEL.

у1= 0,11 у2= 0,32 у3= 0,24 у4= 0,09 у5= 0,07 у6= 0,19

v= 1/ (0,11 + 0,32 + 0,24 + 0,09 + 0,07 + 0,19)=0,98

p1= 0,11*0,98=0,108

p2= 0,32*0,98=0,313

p3= 0,24*0,98=0,235

p4= 0,09*0,98=0,088

p5= 0,07*0,98=0,068

p6= 0,19*0,98=0,186

Рекомендация - Гавайские острова.

Доминирование стратегий

Данный прием в теории игр используется для уменьшения размерности платежной матрицы.

Пусть i-я строка поэлементно не меньше (?) j-й строки, тогда говорят, что i-я строка доминирует над j-й строкой. Поэтому игроку А не выгодно пользоваться j-й чистой стратегией - ведь его выигрыш при i-й чистой стратегии не меньше, чем при j-й чистой стратегии вне зависимости от того, как играет В.

Аналогично, если i-й столбец поэлементно не меньше j-го столбца, то говорят, что j- й столбец доминирует над i-м столбцом - игроку В не выгодно. Поэтому игроку В не выгодно использовать i-ю стратегию.

Стратегии, над которыми доминируют другие, естественно отбросить и приписать им нулевые вероятности. На цене игры это никак не скажется, но зато размерность матрицы понизится.

В частности, в матрице могут быть несколько одинаковых строк или столбцов (дублирование) стратегий, то из них естественно оставить только одну строку или столбец.

Пример

Упростить (редуцировать) платежную матрицу используя принцип доминирования:

Студенту рекомендуется подробно разобрать все этапы.

Дальнейшее упрощение невозможно!

Лекция 12. Итерационный метод (Брауна - Робинсона)

Во многих случаях решение матричных игр представляет сложный и громоздкий процесс. Кроме того, часто в практических задачах нет необходимости находить точное решение игры. Достаточно найти приближенное решение.

Рассматриваемый приближенный метод отличается достаточной простотой. Суть его в том, что матричная игра имитируется (фиктивно разыгрывается несколько раз, в несколько туров), при этом накапливаются статистические данные об игре. По ним и вырабатываются рекомендации об оптимальных стратегиях игроков.

Продемонстрируем работу метода на примере [15]:

Игра задана платежной матрицей (таблицей):



1 тур:

Пусть игрок А выбирает 2-ю стратегию (max min- в наихудшем случае он выиграет 1, а не 0). У игрока В три стратегии. Какую он выберет? Конечно 1-ю (он хочет проиграть поменьше!). Выделим соответствующий проигрыш синим цветом (или подчеркнем). Итак, игрок В выбрал 1-ю стратегию. Отметим это в 6-м столбце чертой сверху.

Как же ответит А? Конечно 1-й стратегией - отметим чертой снизу. Выделим в клетках накопленные выигрыши (проигрыши).

v* - накопленный проигрыш игрока В/ число ходов

v* - накопленный выигрыш игрока А/ число ходов

v - средний выигрыш

2 тур:

Итак, игрок А выбрал 1-ю стратегию. У игрока В накопленные проигрыши 4, 3, 3. Минимизируя свой проигрыш игрок В выберет 2-ю или 3-ю стратегию. Пусть ему приглянулась стратегия 3. Игрок А ответит либо 1, либо 2 стратегией. Его накопленные выигрыши либо 4, либо 3. Он ответит 1 стратегией, и т.д.

Вывод: после 10 туров v = 1,65. Игрок А воспользовался 1-й стратегией 3 раза (находим частоту) - p1 = 3/10= 0,30, 2- й стратегией 7 раз - р2 = 7/10= 0,70.

Аналогично для игрока В: q1 = 1/4, q2=0, q3 =2/3.

Как видно, всего после десяти итераций можно уже судить об основных тенденциях игры. Оценка точности решения игры рассматривается в [4].

Лекция 13. Биматричные игры

Выше мы рассмотрели игры с нулевой суммой, в которых интересы игроков прямо противоположны. Тогда оказалось достаточным иметь одну платежную матрицу.

Однако часто встречаются ситуации, в которых интересы двух игроков хотя и не совпадают, но не обязательно противоположны (сумма выигрышей не равна 0).

В этом случае получаются две платежные матрицы: одна матрица выигрышей игрока А, другая - матрица выигрышей игрока В. Подобную игру называют биматричной.

Класс биматричных игр значительно шире матричных игр.

Пример. [15]

Небольшая фирма А (игрок А) намерена сбыть партию товара на одном из двух рынков (две чистых стратегии - выбор 1-го рынка, выбор 2-го рынка). Фирма В пытается воспрепятствовать этому, приняв предупредительные меры (например, демпинг или компрометирующие материалы) - также две чистые стратегии- меры на 1-м рынке, меры на

2-м рынке.

Аналитики рассчитали две платежные матрицы:

Видно, что, если оба игрока выберут один и тот же рынок, то победа за фирмой В. Если же фирмы уделят основное внимание разным рынкам, то победа за игроком А.

Как же найти оптимальные стратегии игроков?

Согласно теореме Нэша всякая биматричная игра имеет равновесную ситуацию в смешанных стратегиях - когда игрокам невыгодно от нее отступать (тот же принцип, что и в лекции 10!).

Пусть (р, 1-р) - смешанная стратегия игрока А, (q, 1-q)- смешанная стратегия игрока В.

Правило:

1. с = а11 + а22 - (а21 + а12)

? = а22 - а12

2. Составить систему неравенств:

(р-1)(сq - ?) ? 0

р (сq - ?) ? 0 (13.1)

3. d = b11 + b22 - (b21 + b12)

? = b22 - b21

4. Составить систему неравенств:

(q-1)(dp - ?) ? 0

q (dp - ?) ? 0 (13.2)

5. Изобразив в системе координат ломаные линии, соответствующие решениям неравенств (13.1) и (13.2) найти точку их пересечения.

Для нашего примера будем иметь:



Рис. 13.1

Точка пересечения:

р = 2/9, 1-р = 7/9 - оптим. стратегия А

q=3/14, 1-q = 11/14 - оптим. стратегия В.

Рассчитаем средний выигрыш игрока А:

Для игрока В средний выигрыш 1/3.

Выводы:

1. фирма А, скорее всего окажется в проигрыше

2. фирма В, скорее всего, победит

3. фирме А следует уделять внимание рынкам в соотношении 2:7, т.е. существенно большее внимание уделять 2-му рынку.

Пример. [13]

Две фирмы- конкуренты. А и. В участвуют в тендере на реализацию некоторого проекта, причем ожидаемый доход от реализации проекта составит 10 у.е.

Каждая фирма может либо подать простую заявку на участие в тендере (затраты 1 у.е.), либо представить полную программу реализации проекта (затраты 3 у.е.). Если обе фирмы выберут одинаковый способ действия, заказ и ожидаемый доход делятся между ними пополам. Если же фирмы выбирают различные способы действий, то предпочтение отдается той, которая представила программу.

Стратегии игроков - подать заявку (З), подать программу (П).

Платежная матрица игрока А (указаны выигрыши игрока А): .

Пояснение: в ситуации (З, З) игрок получит 5-3=4, в ситуации (З, П) побеждает игрок В, а игроку А достается -1.

В ситуации (П,З) побеждает игрок А и выигрывает 10-3=7, в ситуации (П, П) выигр ыш игрока А 5-3 =2.

Платежная матрица игрока В (указаны выигрыши игрока В): . Подчеркнем, что, по прежнему, по строкам матрицы- стратегии игрока А! Внимательные студенты самостоятельно разберутся в структуре матрицы В.

По прежнему, пусть (р, 1-р) - смешанная стратегия игрока А, (q, 1-q)- смешанная стратегия игрока В.

Для нашего примера будем иметь:



Рис. 13.2

Точка пересечения зигзагов:

р = 3/14, 1-р = 11/14 - оптим. стратегия игрока А

q=3/13, 1-q = 10/13 - оптим. стратегия игрока В.

Рассчитаем средний выигрыш игрока А:

Для игрока В средний выигрыш 3,53.

Выводы:

1. фирма А, скорее всего окажется в проигрыше

2. фирма В, скорее всего, победит

3. фирме А следует уделить существенное внимание разработке программы в соотношении 11:3.

Лекция 14. Игры с природой (статистические решения)

В рассмотренных выше матричных играх каждый игрок действовал вполне разумно, т.е. выбирал оптимальную для себя стратегию. В этом смысле действия игроков были в каком то смысле предсказуемы.

Рассмотрим теперь ситуацию, когда осознанно действует только один игрок (пусть А), вторым игроком является природа, принимающая неопределенным образом то или иное состояние безразлично к результату игры. Такая неопределенность может порождаться рынком ценнвх бумаг, покупательским спросом, курсом валюты, уровнем инфляции, политикой правительства, ситуацией на бирже, погодными условиями и т.п. Игры с подобной неопределенностью называют играми с природой. Таким образом, в игре с природой один из игроков оказывается нейтральным, не стремящимся извлечь для себя максимальной выгоды.

Как же в таких ситуациях действовать игроку А?

Формально подобная игра также задается платежной матрицей, в которой указываются выигрыши игрока А в зависимости от хода природы, т.е. фактора неопределенности.

Пример.

Оптовая база собирается закупить товар для последующей реализации. По оценкам специалистов, спрос в будущем может составить 2, 3, 4 тыс. единиц. Доход от реализации ед. товара составит 10 у.е. Если товар не продастся, то убытки составят 4 у.е. Другая ситуация- неудовлетворенный спрос (дефицит)- убытки составят 1 у.е.

Составим платежную матрицу (таблицу):

неопределенность решение	2	3	4
2	20	19	18
3	16	30	29
4	12	26	40

Существует несколько критериев принятия решений игроком А.

1. Критерий крайнего оптимизма.

Игрок А считает, что при любом факторе неопределенности ему повезет и он принимает решение по критерию

В нашем случае, = 40, т.е. база закупает 4 тыс. ед. товара.

2. Критерий Вальда

Игрок А ищет не лучшее решение, а лучшее среди худших. Такая позиция отличается осторожностью и разумным пессимизмом. И то и другое не лишнее в экономике.

Критерий:

Критерий Вальда называют также максимином, или принципом максимального гарантированного результата.

В нашем случае, = 18, т.е. база закупает 2 тыс. ед. товара.

3. Критерий Гурвица

Этот критерий учитывает как пессимистический, так и оптимистический подходы.

Критерий:

При ? = 1 критерий Гурвица переходит в критерий Вальда,

при ? = 0 - в критерий крайнего оптимизма.

Т.о. ? - коэффициент пессимизма.

Пусть, в нашем случае, ? = 0,7, тогда

= max (0,7*18+0,3*20, 0,7*16+0,3*30,

0,7*12+0,3*40) = max (18,6, 20,2, 20,4) = 20,4, т.е. база закупает 4 тыс. ед. товара.

4. Критерий Сэвиджа

Поставим вопрос - сколько бы мы потеряли, если бы точно знали фактор неопределенности. Например, если точно известно, что фактор неопределенности равен 2, то при первом решении потери (их называют также риском) равны 0, во втором решении потери равны 4, а при третьем решении потери равны 8. Практически для отыскания потерь нужно в каждом столбце найти максимальное значение и вычесть из него остальные элементы этого столбца. Содержательно риск интерпретируется как мера сожаления, возникающего от незнания истинного состояния среды.

Образуем матрицу потерь (рисков, rij):

неопределенность решение	2	3	4
2	0	11	22
3	4	0	11
4	8	4	0

Критерий:

В нашем случае, = 8, т.е. база закупает 4 тыс. ед. товара.

5. Критерий Лапласа

Пусть игроку А известны вероятности факторов неопределенности. Тогда рассчитывают математическое ожидание выигрыша при каждой стратегии и из них выбирают наибольшее.

Пусть, в нашем случае вероятности

р1 = 0,25, р2 = 0,45, р3 = 0,30

max (11*0,45 + 22*0,30, 4*0,25 + 11*0,30, 8*0,25 + 4*0,45)=

max (12,1, 4,3, 3,8)=12,1 т.е. база закупает 2 тыс. ед. товара.

Как отмечается в [13], оптимальные решения, получаемые по указанным критериям, могут не совпадать, что неудивительно, так как критерии основаны на разных гипотезах.

Пример.

Акционерное общество планирует открыть автосервис для японских и корейских машин. Возможный спрос, по прогнозам, составит 2, 4, 6, 8 т. машин в год. Средняя прибыль от ремонта одного автомобиля составляет 90 $. Убытки, вызванные отказом в обслуживании из- за недостатка мощностей- 50 $ в расчете на одну машину (упущенная прибыль). Убытки от простоя оборудования и механиков -60 $.

Составить платежную матрицу (таблицу) и принять решение о мощности автосервиса по различным критериям.

неопределенность решение	2 т. авт.	4	6	8
2 т. авт.	180	80	-20	-120
4	60	360	260	160
6	-60	240	540	440
8	-180	120	420	720

1. Критерий крайнего оптимизма.

= 720- строить автосервис в расчете на

8 т. автомобилей.

2. Критерий Вальда.

= 60- строить автосервис в расчете на

4 т. автомобилей.

3. Критерий Сэвиджа.

Матрица потерь (рисков).

неопределенность решение	2 т. авт.	4	6	8
2 т. авт	0	280	560	840
4	20	0	180	560
6	240	120	0	280
8	360	240	120	0

=280 - строить автосервис в расчете на 6 т. автомобилей.

Дополнительное условие:

Отдел маркетинга дал дополнительную информацию о вероятностях того или иного объема спроса: 0,2, 0,3, 0,4, 0,1.

Принять решение с помощью критерия Лапласа.

max (180*0,2 + 80*0,3 - 20*0,4 - 120*0,1; 60*0,2 + 360*0,3 + 260*0,4 + 160*0,1 ; -60*0,2 + 240*0,3 + 540*0,4 + 440*0,1 ; -180*0,2 + 120*0,3 + 420*0,4 + 720*0,1)=max (40, 240, 320, 240) = 320 т.е. строить автосервис в расчете на 6 т. автомобилей.

Пример. [1]

Итальянская компания "Моцарелла" производит на экспорт сырную пасту упакованную в ящики. Менеджеру компании надлежит решить, сколько ящиков произвести в течение месяца. Вероятность того, что спрос на сырную пасту в течение месяца будет 6, 7, 8, 9 ящиков, равна, соответственно, 0,1, 0,3, 0,5, 0,1. Затраты на производство одного ящика 45 тыс. €. Каждый ящик продается по цене 95 тыс. €. Если ящик не продается в течение месяца то паста портится и компания не получает дохода.

Принять решение по критерию Лапласа.

Составим платежную матрицу (таблицу):

неопределенность решение	6 (вер. 0,1)	7 (0,3)	8(0,5)	9(0,1)	Мат. Ожидание Приприбыли
6	50*6*0,1= 30	50*6*0,3= 90	150	30	300
7	(50*6-45)*0,1= 25,5	105	175	35	340,5
8	(50*6-2*45)*0,1= 21	(50*7-1*45)*0,3= 91,5	200	40	352,5
9	16,5	(50*7-2*45)*0,3= 78	177,5	45	317

По критерию Лапласа- производить 8 ящиков и ожидать прибыль 352, 5 тыс.

Пример.

Трубопрокатный завод планирует наладить выпуск труб определенного диаметра.

Цена на трубы определяется в результате свободной конкуренции и задается рядом распределения:

Цена	10	15	20
р (вероятность)	0,3	0,5	0,2

Известно, что при выпуске х труб функция издержек такова:

с (х) = 1000 + 5х + 0,0025х2.

При каком количестве выпускаемых труб средняя прибыль будет максимальной?

M(I) = 10x*0,3 + 15x*0,5+ 20х*0,2 - (1000 + 5х + 0,0025х2 ) > max

-0,0025 х2 +9,5х -1000 > max

х = 1900.

Пример. Предприниматель планирует построить ресторан недалеко от университетского общежития. Возможные варианты: строить ресторан с пивным баром или без бара. Шансы того, что рынок окажется благоприятным составляют 0,6, неблагоприятным - 0,4.

Расчеты показывают, что план связанный с баром принесет прибыль 325 тыс. руб. Без бара 250 тыс. руб.

Потери в случае ресторана с баром составят 70 тыс. руб. Без бара 20 тыс. руб. Требуется принять решение по критерию Лапласа.

Составим платежную матрицу:

неопределенность решение	благопр. рынок (0,6)	неблагопр. рынок (0,4)	Матем. ожидание прибыли
Ресторан с баром	325	-70	167
Ресторан без бара	250	-20	142

Вывод: все-таки строить с баром.

Лекция 15. Модели принятия решений с помощью деревьев решений

Своевременная разработка и принятие правильных решений - главная задача менеджмента любой компании. Непродуманные решения могут дорого стоить компании.

Модель в виде дерева решений используют, когда в условиях неопределенности нужно принять одно или несколько решений. При этом зачастую, каждое следующее основывается на результатах предыдущего (т.е. появляется целая цепочка решений, вытекающих одно из другого).

Дерево решений - это графическое изображение процесса принятия решений, в котором отражены альтернативные решения, альтернативные состояния среды, соответствующие вероятности и выигрыши.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий основную схему метода дерева решений с несколькими уровнями альтернатив.

Совет директоров консорциума должен принять решение о строительстве крупного или малого завода. Фактор неопределенности - ожидаемый рынок сбыта, который может быть благоприятным или неблагоприятным. По предварительным оценкам менеджеров оба исхода равновероятны (вероятности по 0,5). Ожидаемая прибыль (в млн. руб.) указана в таблице 1:

Табл. 1

фактор неопр.	рынок сбыта благоприятный.	рынок сбыта неблагоприятный.
решение
крупный	200	-180
малый	100	-20

Менеджмент консорциума с целью уточнения шансов рынка сбыта может привлечь консалтинговую фирму, которая за 10 млн. рублей проведет дополнительный маркетинг. Про эту фирму известно, что в 45% случаев она предсказывала благоприятный рынок и это сбывалось в 78% случаев. В 55% случаев она предсказывала неблагоприятный рынок, и это оправдывалось в 73% случаев.

Требуется принять решения: привлекать ли фирму, и какой завод строить.

При построении дерева решений будем использовать условные обозначения:

Рис. 15.1

1. Изображаем дерево решений, указывая все этапы процесса принятия решений.

2. Двигаясь по дереву слева направо проставляем вероятности у пунктирных линий.

3. У концевых ветвей проставляем прогнозируемую прибыль (табл. 1).

4. Двигаясь по дереву, справа налево проставляем стоимостные оценки каждой позиции. Международное обозначение: EMV - (expected monetary value):

а) для кружка вычисляем математическое ожидание прибыли (с учетом издержек)

б) для квадрата - максимум всех стоимостных оценок, следующих за ним.

5. Двигаясь по дереву слева направо, прочитываем полученное решение.

Вывод: следует, все - таки привлечь консалтинговую фирму и, если она даст благоприятное заключение, то строить крупный завод, в противном случае - малый завод.

Ожидаемая средняя прибыль- 49,2 млн. руб.

Пример.

Предприниматель предполагает построить ресторан. Одна из возможностей - предусмотреть в нем пивной бар. В обоих случаях предприниматель оценивает свои шансы на успех как 0,6. План, связанный с баром может принести 325 млн. руб. прибыли, без бара можно заработать 250 млн. руб.

Потери в случае открытия ресторана с баром составят 70 млн. руб., в случае ресторана без бара - 20 млн. руб.

Принять решение: строить ли ресторана с пивным баром или без бара.

Пример.

Для финансирования проекта предпринимателю нужно занять (получить кредит) сроком на один год 15000 ф. стерлингов. Банк может выдать ему эти деньги под 15% годовых или вложить их в реальное дело со 100%-ным возвратом, но под 9% годовых. Из прошлого опыта банку известно, что 4% клиентов кредит вовремя не возвращают. Принять решение с помощью дерева решений - выдавать кредит или нет.

15000 + 0,15*15000 = 17250

EMV(A) = 0,96*17250 + 0 - 15000=1560

Вывод: выдать кредит и ожидать чистый доход 1560 ф.ст.

Пример.

Для финансирования проекта предпринимателю нужно получить кредит сроком на один год 15000 ф. стерлингов. Банк может одолжить ему эти деньги под 15% годовых или вложить в реальное дело со 100%-ным возвратом, но под 9% годовых Из прошлого опыта банку известно, что 4% клиентов кредит не возвращают.

Банк может, также, проверить платежеспособность клиента, обратившись к аудиторской фирме, которая берет за проверку 80 ф. ст. Качество аудиторской фирмы проверялось так. Были выбраны 1000 человек - клиентов фирмы и составлена таблица:

Табл. 2

Рекомендации фирмы	Фактический результат	Всего
	Клиент вернул ссуду	Клиент не вернул ссуду
Давать кредит	735	15	750
Не давать кредит	225	25	250
	960	40	1000

Принять решения с помощью дерева решений - привлекать ли аудиторскую фирму и выдавать ссуду или нет.

1. Изображаем дерево решений, указывая все этапы процесса принятия решений.

2. У концевых ветвей проставляем прогнозируемый доход (табл. 2).

3. Двигаясь по дереву, справа налево проставляем стоимостные оценки каждой позиции (EMV -expected monetary value):

а) для кружка вычисляем математическое ожидание прибыли (с учетом издержек)

б) для квадрата - максимум всех стоимостных оценок, следующих за ним.

4. Двигаясь по дереву слева направо, прочитываем полученное решение.

EMV(B)=1905

EMV(C)=1350

EMV(D)=1905

EMV(B)=525

EMV(E)=1350

EMV(G)=1560

EMV(F)=1350

Вывод: воспользоваться аудиторской проверкой и, если выдача крелита рекомендована, то выдать кредит, если не рекомендована, то инвестировать в дело под стабильные 9%.

Лекция 16. Модели динамического программирования

Динамическое программирование - один из разделов экономико-математического моделирования, в котором управляемый процесс принятия решений может быть разбит на этапы. Поясним процесс управления следующей схемой:

1. Систему за n шагов нужно перевести из исходного состояния S0 через несколько промежуточных состояний в конечное Sn под действием шаговых управлений.

2. Таким образом, каждому состоянию кроме последнего, сопоставляется набор шаговых управлений, под действием каждого из которых система может перейти в следующее состояние. Например, в начале каждого квартала нужно принять решение об обеспечении предприятия сырьем, о замене устаревшего оборудования, о финансировании и т.д.

3. Выбранное шаговое управление хк оценивается частным критерием gk, т.е. вычисляется значение gk (хк), называемое выигрышем на к-м шаге.

4. Требуется найти такой набор шаговых управлений (назовем его оптимальным), который обращает в максимум суммарный критерий

G = g1 + g2 +…..gn.

Замечание

Вовсе не очевидно, что для нахождения оптимального набора шаговых управлений нужно находить максимум частных критериев. Наоборот, принцип оптимальности Беллмана утверждает, что шаговое управление на каждом шаге выбирается так, чтобы максимизировать не только этот шаг, но и все последующие. Тем самым, шаговое управление следует выбирать дальновидно, с учетом его последствий. В этом и состоит принцип Беллмана, относящийся к 50-м годам 20-го века.

Пример: задача распределения средств.

Совет директоров фирмы рассматривает предложения по наращиванию производственных мощностей на четырех предприятиях фирмы. Для расширения производства совет директоров выделяет средства в объеме 200 млн. $.

Как же связаны дополнительные средства с наращиванием производственных мощностей?

Аналитиками фирмы составлена таблица, в которой указаны возможные приращения мощностей (в денежном выражении) в зависимости от выделенной предприятию суммы:

Табл. 1

Клиент	g1	g2	g3	g4
Сумма
0	0	0	0	0
40	8	6	3	4
80	10	9	4	6
120	11	11	7	8
160	12	13	11	13
200	18	15	18	16

Чтобы воспользоваться методом динамического программирования для оптимизации распределения средств между клиентами, статический процесс искусственно превратим в динамический (многошаговый).



Рис. 16.1

Столбцы в табл. 1 это и есть частные критерии, оценивающие каждый шаг.

Следуя принципу Беллмана оптимизацию начинаем с последнего 4- го шага (почему?), затем 3-го и т.д.

1. Оптимизация 4-го шага, т.е. решение задачи:

max {g4 (x4)} = (обозначим)= Z 4 (S3) > табл. 2

Табл.2

x4	0	40	80	120	160	200	Z4 (S3)	x4*
S3
0	0	-	-	-	-	-	0	0
40	0	4	-	-	-	-	4	40
80	0	4	6	-	-	-	6	80
120	0	4	6	8	-	-	8	120
160	0	4	6	8	13	-	13	160
200	0	4	6	8	13	16	16	200

2. Оптимизация 3-го шага, т.е. решение задачи:

max {g3 (x3) + Z 4 (S2 - x3) } = Z 3 (S2) > табл. 3

Табл. 3

x3	0	40	80	120	160	200	Z3 (S2)	x3*
S2
0	0+0=0	-	-	-	-	-	0	0
40	0+4=4	3+0=3	-	-	-	-	4	0
80	0+6=6	3+4=7	4+0=4	-	-	-	7	40
120	0+8=8	3+6=9	4+4=8	7+0=7	-	-	9	40
160	0+13=13	3+8=11	4+6=10	7+4=11	11+0=11	-	13	0
200	0+16=16	3+13=16	4+8=12	7+6=13	11+4=15	18+0=18	18	200

3. Оптимизация 2-го шага, т.е. решение задачи:

max {g2 (x2) + Z 3 (S1 - x2) } = Z 2 (S1) > табл. 4

Табл. 4

x2	0	40	80	120	160	200	Z2 (S1)	x2*
S1
0	0+0=0	-	-	-	-	-	0	0
40	0+4=4	6+0=6	-	-	-	-	6	40
80	0+7=7	6+4=10	9+0=9	-	-	-	10	40
120	0+9=9	6+7=13	9+4=13	11+0=11	-	-	13	40
160	0+13=13	6+9=15	9+7=16	11+4=15	13+0=13	-	16	80
200	0+18=18	6+13=19	9+9=18	11+7=18	13+4=17	15+0=15	19	40

4. Оптимизация 1- го шага > табл. 5

max {g 1 (x1) + Z 2 (S0 - x1) } = Z 1(S0) > табл. 5

Табл. 5

x1	0	40	80	120	160	200	Z1 (S0)	x1*
S0
200	0+19 =19	8+16=24	10+13=23	11+10=21	12+6=18	18+0=18	24	40

5. Обратный ход - окончательный оптимальный набор шаговых уравнений

40 80 40 40

S0 > S1 > S2 > S3 > S4

200 160 80 40 0

Вывод: первому клиенту выделяем 40, второму - 80, третьему - 40, четвертому - 40.

Максимальная наращённая мощность 24.

Пример: оптимизация на графе:

Траспортная сеть состоит 10 пунктов, некоторые из которых соединены магистралями. Стоимость проезда по каждой из магистралей отмечена на схеме. Найти оптимальный (самый дешевый) путь проезда от 1-го пункта в 10-й.

Решаем задачу методом динамического программирования.

Разобьем транспортную сеть на состояния : пункт принадлежит состоянию S1, если из него можно попасть в конечный пункт за 1 шаг.

Так пункты {7, 8, 9} S1.

По аналогии пункты {5, 6} S2, {2, 3, 4} S3, {1} S4.

Начинаем оптимизацию 1-го состояния (почему?).

В последний пункт можно попасть за один шаг из пунктов 7,8,9. Их стоимости (этих маршрутов) отмечены а прямоугольниках. Так для пункта 5: min {6+9, 6+3} = 9. При этом ненужный путь зачеркиваем.

Далее оптимизируем 2-е состояние (с учетом принципа Беллмана).

В квадратных скобках пунктов 5, 6 отмечаем минимальную сумму попадания в конечный пункт с учетом оптимизации 1- го состояния (этого требует принцип Беллмана!). Продолжая оптимизацию, доходим до 4-го состояния.

Далее - обратный ход: отсекая бесперспективные ветви сети, прочитываем оптимальный путь:

1> 4> 6> 8> 10.



Рис. 16.2

Лекция 17. Вероятностные модели

Мы рассмотрим четыре основных модели

1. Оптимальное поведение на фондовой бирже [5]

Обычно, на рынке обращается множество видов ценных бумаг. Курсовая стоимость ценных бумаг зависит от большого числа разнообразных факторов и может рассматриваться как случайная величина. Важной причиной " случайности" являются внешние события макроэкономического и политического характера (изменения законодательства, изменения цен на энергоносители, внедрение новых технологий, стихийные бедствия и т.д.).

Обычно инвестор вкладывает наличный капитал в несколько видов ценных бумаг (будем говорить об акциях), составляющих портфель инвестора.

Предположим, что на рынке имеется n видов ценных бумаг. Пусть инвестор вкладывает сумму денег S в акции n компаний равными долями.

Это значит, что на акции i-й компании выделяется сумма Si = S/ n.

Пусть Xi -случайная величина- доходность акций i-й компании, тогда случайная величина Х = S1 X1 + S2 X2 +…SnXn - доходность портфеля акций. Заметим, что это одно из основных понятий финансового менеджмента.

Пусть ?i - риск случайной величины Xi (среднее квадратическое отклонение - корень из дисперсии),

?0 = max (?1, ?2, ….?n),

тогда подсчитаем риск финансовой операции Х:

= D (X) = D (S1 X1 + S2 X2 +…SnXn) =

Вывод: при n >? (т.е. чем разнообразнее ассортимент акций!) риск финансовой операции стремится к нулю!

Отсюда, золотое правило фондовой биржи: инвестировать деньги не в один вид акций, а составлять портфель разнообразных акций - принцип диверсификации (diversity).

2. Формирование оптимального портфеля акций [5]

Пусть инвестор в начале года инвестирует 10 у.е. на формирование портфеля акций трех компаний К1, К2, К3. Цена одной акции: 3, 2, 5 у.е., соответственно.

По прогнозам аналитиков, в конце года рынок ценных бумаг может оказаться в одном из состояний S1 (вероятность 0,4) или S2 (вероятность 0,6).

Ожидаемые дивиденды (в %) таковы:



Требуется сформировать оптимальный портфель акций, обеспечивающий инвестору максимальный доход.

Составим платежную матрицу (таблицу):

Фактор неопредел.	S1 (0,4)	S2 (0,6)	M	?
Решение
(3,2,5)	1,16	1,09	1,118	0,034
(3, 3, 2, 2)	0,92	1,38	1,196	0,22
(5, 5)	1,4	0,8	1,04	0,29
(2, 2, 2, 2 ,2)	0,8	1,2	1,04	0,19

Итак, эффективность портфеля акций характеризуется векторной оценкой (M, ?), где М - ожидаемый доход, а ? - показатель риска (риск портфеля).

Пояснение:

1,16 = 3 * 0,1 + 2 * 0,08 + 5 * 0,14

М - математическое ожидание (средний доход):

0,118 = 1,16 * 0,4 + 1,09* 0,6

? - среднее квадратическое отклонение (риск)

0,034 = v (1,16)2 *(0,4) + (1,09)2 * (0,6) - (1,118)2

EMV - expected monetary value

Изобразим точки (М, ?) в системе координат:



Рис. 17.1

Ясно, что М должно быть больше (доходность!), а ? меньше (риск!).

Говорят, что одна точка доминирует по Парето (Вильфредо Парето, известный итальянский экономист ХХ века) другую, если она на графике правее и ниже:

1 3, 1 4, 2 3. Ясно, что точки 1 и 2 не доминируются другими. Они и образуют Парето - оптимальное множество. Среди них и нужно выбрать оптимальную.

Возможные подходы:

1. Предоставить окончательный выбор лицу, принимающему решение (например, совету директоров).

2. Воспользоваться объединяющей взвешивающей формулой:

? = 2? - ?

?1 = 2*1,118 - 0,034 = 2,202

?2 = 2*1,196 - 0,22 = 2,172

Содержательно оптимальность неоторого портфеля по Парето означает, что не существует другого портфеля, который имеет такой же (или больший) ожидаемый доход при меньшем (или таком же) риске.

3. Страхование от убытков на фондовой бирже.[ 5]

Пусть предприниматель имеет акцию, рыночная цена которой на фондовой бирже 100 $.

Однако из-за возможного падения курса акций в будущем он может понести убытки. Для подстраховки, биржа предлагает купить за 5 $ ценную бумагу - опцион со сроком исполнения 1 месяц. Это значит, что в последний день предстоящего месяца предприниматель, предъявив опцион, сможет продать акцию по той же цене 100 $ независимо от сложившегося курса.

Пусть известен вероятностный прогноз курса:

Курс	-10	0	10
Вероятность	0,5	0,4	0,1

Модель позволит ответить на вопрос, выгодна ли покупка опциона. В самом деле:

а) без опциона

Пусть I- прибыль (случайная величина), тогда

I	-10	0	10
p	0,5	0,4	0,1

M (I) = -10*0,5 + 0 + 10*0,1 = -4

D (I) = (-10)2 * 0,5 + 0 + 102*0,1 - (-4)2= 44

? (I) = 6,6

б) с опционом:

I	-5	-5	5
p	0,5	0,4	0,1

M (I) = -4

D (I) = 9

? (I) = 3

Во втором случае риск оказался меньше! - Следует, все-таки купить опцион.

Заметим, что в США, опцион - put, а в Англии - call.

4. Дисперсионный анализ (Analysis of Variance) - ANOVA

В практической деятельности менеджеров, руководителей производств, экономических и кадровых служб часто возникает необходимость убедиться - действительно ли данный качественный фактор А оказывает существенное, значимое влияние на некоторый результативный признак.

Например, влияет ли тип станка на среднюю производительность рабочих, влияет ли температура на средний срок службы данной установки, влияет ли тот или иной месяц года на средний объем реализации продукции, влияет ли разбиение студентов на группы на их среднюю успеваемость, влияет ли размер предприятия на производительность, влияет ли численность региона на объем выручки и т.д.

Пример.

Служба управления персоналом крупной компании хочет проанализировать, влияет ли тип методики обучения на среднюю производительность персона...