Економіко-математичне моделювання кредитних ризиків банку

Размещено на http://www.allbest.ru/

ДЕРЖАВНИЙ ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД

«КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ВАДИМА ГЕТЬМАНА»

УДК 330.4:336.71

Спеціальність 08.00.11 - Математичні методи, моделі

та інформаційні технології в економіці

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора економічних наук

ЕКОНОМІКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ КРЕДИТНИХ РИЗИКІВ БАНКУ

Кишакевич Богдан Юрійович

КИЇВ - 2011



Дисертацією є рукопис

Робота виконана у Дрогобицькому державному педагогічному університеті імені Івана Франка Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України

Науковий консультант: доктор економічних наук, професор Єлейко Василь Іванович, Львівська комерційна академія, завідувач кафедри економетрії та статистики

Офіційні опоненти: доктор економічних наук, професор Порохня Василь Михайлович, Класичний приватний університет (Запоріжжя)професор кафедри економічної кібернетики та статистики

доктор економічних наук, старший науковий співробітник Скрипниченко Марія Іллівна, ДУ «Інститут економіки та прогнозування НАН України», керівник відділу моделювання та прогнозування економічного розвитку

доктор економічних наук, професор Христіановський Вадим Володимирович, Донецький національний університет, завідувач кафедри математики і математичних методів в економіці

Захист відбудеться «2» грудня 2011 року о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.006.07 у ДВНЗ "Київський національний економічний університет імені Вадима Гетьмана" Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України за адресою: 03680, м. Київ, пр. Перемоги, 54/1, ауд. 203.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці ДВНЗ "Київський національний економічний університет імені Вадима Гетьмана" Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України за адресою: 03113, м. Київ, вул. Дегтярівська, 49 - г, к. 601.

Автореферат розісланий «1» листопада 2011 року

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради, кандидат технічних наук, професор Шарапов О.Д.



ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Одним із основних завдань, які стоять перед економікою України, є забезпечення фінансової стійкості та стабільності кредитно-банківської системи, як необхідної умови подолання кризових явищ у вітчизняній економіці, досягнення макроекономічної стабілізації та економічного зростання в нашій державі. У цьому контексті побудова ефективної системи банківського ризик-менеджменту, основні засади якої закладено у Законі України "Про банки і банківську діяльність", з метою недопущення системних криз у майбутньому є сьогодні одним із пріоритетних загальнодержавних завдань.

Безпрецедентна світова фінансова криза, яка супроводжувалась резонансними дефолтами фінансових компаній по цілому світі, зумовила перегляд деяких із основних постулатів сучасного банківського ризик-менеджменту, в основі якого лежить моделювання кредитних ризиків. Перегляду потребують також пріоритети у виборі методів вимірювання кредитного ризику. На сьогодні нагромадилось досить багато серйозних проблем у моделюванні та оцінюванні кредитного ризику, які потребують нагального розв'язання з метою запобігання виникнення майбутніх системних криз у світових фінансах.

Однією із найактуальніших проблем сьогодні є потреба у практичній реалізації нових концепцій оцінювання кредитного ризику. Крім цього, відсутність уніфікованих підходів до розрахунку основних параметрів кредитного ризику: ймовірності дефолту, втрат при дефолті та кореляції активів, наявність додатної асиметрії розподілу втрат за кредитним портфелем та проблеми надмірної концентрації кредитного ризику у банківських системах країн із перехідною економікою обумовлюють необхідність розробки нових підходів до моделювання кредитних ризиків.

Основні положення теорії економічного ризику у різні роки було розроблено у роботах Д.Бернуллі, Дж.М.Кейнса, А.Маршалла, А.Міля, Ф.Х. Найта, А. Пігу, А.Сміта, Й.Тюнена та ін. Подальший внесок у вирішення актуальних проблем кількісного та якісного аналізу фінансових ризиків та економіко-математичного моделювання кредитних ризиків було зроблено у дослідженнях зарубіжних спеціалістів - Е. Альтмана, Л. Бачелаєрса, Л.Башельє, Ф. Блека, О. Васічека, Д. Даєна, К. Дульмана, Л. Канторовича, Т. Купманса, А. А. Лобанова, Г. Марковіца, Р. Мертноа, Дж.Тобіна, Д.А. Петрова, М. Пихтіна, М.В. Помазанова, П.А.Разумовського, Д.Розена, Д. Таше, С. Урясєва, Дж. Фрая, Е. Фурмана, А.С. Чугунова, В. Шарпа, M. Шоля та інших науковців. Проблемам розробки сучасних моделей оцінювання кредитного ризику та побудови ефективних систем банківського ризик-менеджменту присвячено багато наукових досліджень українських спеціалістів ? В.В. Вітлінського, В.К. Галіцина, О.В. Геєця, В.І. Єлейка, А.Б. Камінського, Г.О. Крамаренко, І.Г. Лук'яненко, Б.Л. Луціва, А.В. Матвійчука, В.І. Міщенко, О.В. Пернарівського, В.М. Порохні, М.І. Савлука, М.І. Скрипниченко, С.В.Устенко, В.В. Христіановського, О.І. Черняка та інших.

Незважаючи на значну кількість досліджень, які стосуються моделювання кредитних ризиків, сьогодні невирішеною залишається низка задач присвячених методам оцінювання рівня концентрації кредитного ризику, які б враховували кредитні якості позичальників та вплив як систематичних, так і ідіосинкратичних факторів ризику, підходам до обчислення економічного капіталу банку, адаптованих до умов сучасної банківської системи України, розробці моделей стрес-тестування кредитного портфеля на основі факторного підходу тощо. Побудова сучасних моделей оцінювання кредитних ризиків банку вимагає більш глибокого факторного аналізу, комплексного дослідження в частині удосконалення модельного інструментарію для оцінювання ризиків, пов'язаних із процесом кредитно-банківського кредитування, формування нових методологічних підходів до побудови моделей, які б враховували специфіку функціонування національної фінансової системи в умовах світової економічної глобалізації.

Таким чином, потреба у розробленні нових теоретичних та методологічних підходів до моделювання кредитних ризиків банку, формування комплексу економіко-математичних моделей оцінювання та оптимізації основних параметрів і рівня концентрації кредитного ризику, які здатні підвищити якість кількісного аналізу ризиків, як підґрунтя прийняття управлінських рішень, спрямованих на вирішення важливої економічної проблеми щодо підвищення фінансової стійкості банківських установ та стабілізації вітчизняної кредитно-банківської системи в період кризових явищ в економіці зумовила вибір теми дисертації та її мету.

Зв'язок з науковими програмами, планами, темами. Дослідження виконувалось у відповідності з тематикою науково-дослідних робіт Дрогобицького державного педагогічного університету імені Івана Франка та пов'язане безпосередньо із такими держбюджетними темами Міністерства освіти та науки України: "Дослідження шляхів забезпечення економічної безпеки територіальних утворень" (2005-2007 рр. номер держреєстрації 0105U001878, особисто автором розроблено модель алокації економічного капіталу фінансових компаній), "Моделювання, оцінка та прогнозування стану економічної безпеки регіональних агломерацій" (2008-2009 рр. номер держреєстрації 0108U000588, особисто автором розроблено модель оцінювання кредитоспроможності та ймовірності дефолту позичальників банку). математичний ризик менеджмент кредитний

Мета і завдання дослідження. Метою наукового дослідження є формування теоретико-методологічних положень та інструментарію побудови математичних моделей та методів оцінювання кредитного ризику, основних його параметрів та проведення їх стрес-тестування із застосуванням багатофакторного, сценарного та імітаційного моделювання як підґрунтя для прийняття виважених управлінських рішень, спрямованих на вирішення важливої для економіки України проблеми щодо формування ефективної системи банківського ризик-менеджменту та підвищення фінансової стійкості і стабільності вітчизняної банківської системи.

Для досягнення цієї мети у дисертації поставлено та вирішено такі завдання:

сформувати концепцію побудови економіко-математичних моделей оцінювання і моніторингу кредитного ризику та його концентрації на основі комплексного застосування інструментарію багатофакторного, сценарного та імітаційного моделювання і врахування характеру стохастичної залежності між основними параметрами кредитного ризику;

розробити ключові аспекти методології та відповідний інструментарій оцінювання рівня концентрації кредитного ризику на основі гомогенних мір ризику;

запропонувати концептуальні засади вимірювання рівня концентрації кредитного ризику, який б враховував кредитні якості позичальників;

сформувати концепцію факторної концентрації кредитного ризику, яка б при оцінюванні рівня концентрації портфеля, врахувала усі систематичні фактори ризику;

розробити систему моделей внутрішньо-рейтингового оцінювання кредитоспроможності позичальників та основних параметрів кредитного ризику на основі статистики про економічні результати діяльності вітчизняних підприємств та метод оцінювання якості калібрування рейтингових моделей;

розробити модель стрес-тестування економічного капіталу банку, яка б передбачала побудову стресових сценаріїв через збурення волатильності систематичних та ідіосинкратичних факторів ризику;

узагальнити застосування портфельної теорії Марковіца на випадок кредитних портфелів, які сформовані із позик із довільним терміном погашення та отримати аналітичні формули для обчислення дохідностей позик та їх середньоквадратичного відхилення;

створити модель обчислення економічного капіталу для довільного горизонту часу, яка б дала змогу відмовитись від гіпотези про нормальний закон розподілу втрат за портфелем;

розробити інструментарій проведення стрес-тестування факторної концентрації на основі застосування імітаційного моделювання;

розробити кількісні методи аналізу ефекту диверсифікації при агрегації кредитного ризику.

узагальнити та удосконалити теоретичні положення класифікації та управління кредитними ризиками банку через уточнення економічного змісту терміну "кредитна подія" та визначити перелік сигналів, які б попереджали про можливість настання таких подій;

удосконалити інструментарій статистичного оцінювання матриць міграцій кредитних рейтингів;

Об'єктом дослідження є кредитні ризики, які виникають внаслідок невизначеності кредитних відносин між кредитором та позичальником.

Предметом дослідження є теоретико-методологічні основи економіко-математичного моделювання кредитних ризиків та їх параметрів; інструментарій їх аналізу та оцінювання; економіко-математичні моделі оцінювання економічного капіталу та концентрації кредитного ризику.

Методи дослідження. Методологічною основою дисертаційної роботи стали загальнонаукові методи дослідження: сходження від абстрактного до конкретного, історичний, логічний, аксіоматичний, системно-структурний, математичний з допомогою яких було зроблено аналіз сутності кредитних ризиків та сформовано теоретико-методологічні положення їх економіко-математичного моделювання. При побудові економіко-математичних моделей оцінювання кредитних ризиків було використано методи теорії ймовірностей, кореляційно-регресійного та дисперсійного аналізу; вибірковий, факторний методи статистичного дослідження, параметричні методи вимірювання та асимптотичні методи статистики. У роботі використано методи математичної обробки експертної інформації, рангової кореляції, імітаційного і сценарного моделювання та еволюційні методи оптимізації.

Інформаційною базою дослідження є статистичні дані Національного банку України, Державного комітету статистики України, дані міжнародних рейтингових агентств Standard & Poor's, Fitch та Moody's, українського рейтингового агентства "Кредит-Рейтинг", Комісії по цінним паперам США (SEC), Фінансового агентства CBONDS, дані Асоціації фінансових ринків Європи (AFME), Міжнародної асоціації деривативів та свопів (ISDA).

Наукова новизна одержаних результатів полягає у наступному:

вперше:

розроблено та обґрунтовано методологію оцінювання концентрації кредитного ризику, яка ґрунтуються на застосуванні гомогенних мір ризику та визначенні внеску кожного кредиту у сукупний ризик портфеля, тоді як традиційний підхід передбачає використання лише адитивних мір. У межах даної методології запропоновано нові міри концентрації кредитного ризику, які, на відміну від існуючих, дають змогу враховувати кредитні якості позичальників при оцінюванні концентрації ризику;

запропоновано концепцію факторної концентрації кредитного ризику, яка на відміну від існуючих підходів до оцінювання концентрації, крім секторних, враховує також і глобальні систематичні фактори. Розроблений інструментарій оцінювання факторної концентрації, який ґрунтується на комплексному застосуванні декомпозиції Хофдінга та імітаційному моделюванні, дає змогу оцінити нерівномірну залежність сукупного ризику кредитного портфеля від систематичних факторів;

розроблено систему моделей оцінювання кредитоспроможності та ймовірності дефолту позичальників та модель узагальненої бета-регресії для моделювання випадкового значення втрат при дефолті позичальників банку, що дає змогу банкам, на відміну від традиційних підходів, визначити ймовірність дефолту та кредитний рейтинг позичальника на основі національної рейтингової шкали та змоделювати взаємозалежність між ймовірністю дефолту та втратами при дефолті;

розроблено модель стрес-тестування економічного капіталу банку, яка, на відміну від традиційних підходів, у яких збуренню піддаються ключові параметри кредитного ризику, дає змогу додатково змоделювати стресові сценарії через збільшення волатильності систематичних та ідіосинкратичних факторів ризику і кореляцій між ними. З допомогою даного підходу, який ґрунтується на застосуванні одно та багатофакторних моделей, вдалось визначити стресові умови, які найбільш суттєво впливають на величину кредитного ризику;

запропоновано метод багатокритеріальної оптимізації кредитного портфеля банку, який сформований із позик із довільним терміном погашення. Отримані аналітичні вирази для дохідності позик та їх дисперсій враховують особливості ціноутворення кредитних продуктів і дають змогу узагальнити портфельну теорію Марковіца на випадок кредитного портфеля. Застосування запропонованих моделей неперервної та бінарної оптимізації кредитного портфеля дозволяє банку змоделювати свою довгострокову кредитну політику через корегування параметрів та обмежень моделі;

удосконалено:

методи оцінювання економічного капіталу банку з допомогою моделей скорочених форм та блукаючих дефолтів на основі застосування інструментарію імітаційного моделювання. Використання цього підходу дало змогу відмовитись від гіпотези про нормальний закон розподілу втрат за портфелем, визначати потребу банку у капіталу на покриття непередбачуваних втрат у довгостроковій перспективі та врахувати випадковий характер рівня відшкодування втрат при дефолті;

математичний інструментарій кількісного аналізу ефекту диверсифікації при агрегації ризику. Показано, що при використанні когерентних мір ризику при пропорційній алокації економічного капіталу матиме місце ефект диверсифікації та запропоновано метод обчислення прибутку від нього, який повинен враховуватись регулятором. Використовуючи даний підхід досліджено ефект диверсифікації при агрегації ризику в українських банках для різних мір кредитного ризику;

систему класифікації кредитного ризику та кредитних подій, запропоновано низку сигналів на портфельному рівні, які дають змогу попередити про потенційні проблеми, що можуть призвести до виникнення цих подій;

інструментарій моніторингу кредитного ризику на основі розробленої моделі стрес-тестування факторної концентрації ризику, яка ґрунтується на застосуванні багатофакторних моделей і дає змогу визначити чутливість кредитного портфеля до різноманітних економічних шоків не лише у розрізі окремих галузей економіки, але й глобальних систематичних факторів ризику;

дістали подальшого розвитку:

інструментарій статистичного оцінювання матриць міграції кредитних рейтингів. Розроблено індекс мобільності матриць міграції кредитних рейтингів, який задовольняє основним вимогам Шорокса та Маршала і враховує вимірність матриці міграцій, що дає змогу порівнювати ці матриці незалежно від їх розмірності;

методи оцінювання якості калібрування рейтингових моделей на основі визначення абсолютної та відносної похибок прогнозування ймовірності дефолту позичальника.

Практичне значення одержаних результатів полягає у розробленні математичного інструментарію побудови системи економіко-математичних моделей оцінювання, оптимізації та моніторингу кредитного ризику із застосуванням багатофакторного, сценарного та імітаційного моделювання. Застосування розроблених моделей та методів відкриває нові можливості щодо підвищення ефективності кількісного аналізу кредитних ризиків, що є підґрунтям для прийняття управлінських рішень, спрямованих на формування ризик-орієнтованої системи управління банківськими установами, формування оптимальних кредитних портфелів та забезпечення макроекономічної стабілізації вітчизняної банківської системи загалом.

Наукові розробки автора та отримані результати використані:

для оцінки рівня концентрації кредитного ризику українських банків на основі розроблених у роботі нових мір концентрації, що дало змогу врахувати кредитні якості позичальників (довідка ПАТ АКБ "Львів" № 18/24-12/285 від 25.06.2011)

для проведення стрес-тестування кредитних портфелів українських банків на основі багатофакторних моделей та забезпечення обґрунтованого та надійного зв'язку між основними параметрами ризиків та економічним капіталом. (довідка ПАТ "Плюсбанк" № 01-5394 від 27.06.2011, довідка ПАТ "Укрсоцбанк" № 201.5-128/625-111 від 10.06.2011)

для багатокритеріальної оптимізації кредитних портфелів банків з допомогою методу експертних оцінок, що дало змогу врахувати конкретну довгострокову кредитну політику банку при формуванні портфелю банківських активів (довідка ПАТ "Кредобанк" № 26.08/2-7585/11 від 24.06.2011

для визначення розміру капіталу, необхідного на покриття непередбачуваних втрат на основі запропонованого у роботі підходу до обчислення економічного капіталу з допомогою методу симуляцій Монте-Карло (довідка АТ "Брокбізнесбанк" № 245/1 від 19.05.2011)

для моніторингу фінансового стану та визначення кредитних рейтингів юридичних осіб за національною рейтинговою шкалою на основі розроблених у дисертаційному дослідженні моделей оцінки кредитоспроможності та ймовірності дефолту позичальників банку (довідка № 10-26 Головного фінансового управління Львівської обласної адміністрації від 25.06.2011, довідка фінансового управління Дрогобицької міської ради № 134/3 від 17.06.2011)

при викладанні дисциплін "Ризикологія", "Економічний ризик та методи його вимірювання", "Ризик та прийняття управлінських рішень", "Фінанси", "Гроші та кредит", "Економетрика" та при виконанні курсових, дипломних та магістерських робіт у Дрогобицькому державному педагогічному університеті імені Івана Франка (довідка № 1128 від 16.05.2011) та державній вищій техніко-економічний школі ім. Броніслава Маркевіца у м. Ярослав (Польща) (довідка від 26.06.2011).

Особистий внесок здобувача полягає в одноосібно виконаному науковому дослідженні, яке відображає авторський підхід до економіко-математичного моделювання кредитних ризиків та основних його параметрів, вимірювання концентрації кредитного ризику, обчислення економічного капіталу банку та розв'язання низки задач багатокритеріальної оптимізації кредитного портфеля із врахуванням фактору ризику. Усі наукові результати, які викладено у дисертації, одержані автором самостійно, з наукових праць, виданих у співавторстві, використано лише ті матеріали, які є результатом особистої роботи здобувача.

Апробація результатів дисертації. Основні положення та результати досліджень, що відповідають темі докторської дисертації, доповідались та обговорювались на Міжнародній науково-практичній конференції «Управління регіональним розвитком в умовах глобалізації» м. Трускавець 11-12 жовтня 2007 р., Всеукраїнській науково-практичної конференції «Актуальні проблеми розвитку економічної кібернетики» м. Київ, 9-10 квітня 2008 р., 12 Міжнародній науково-практичній конференції «Фінанси України» Дніпропетровськ, 18-19 квітня 2008 р., V Міжнародній науково-практичній конференції «Соціально-економічні реформи у контексті інтеграційного вибору України» Дніпропетровськ 15-16 травня 2008 р., ХІІІ Міжнародній науково - практичній конференції «Фінанси України» Дніпропетровськ, 10-11 квітня 2009 р., І Міжнародній науково - практичній конференції «Проблеми формування нової економіки ХХІ століття», Дніпропетровськ, 17-19 грудня 2008 р., ІІ Міжнародній науково - практичній конференції «Якість економічного розвитку: глобальні та локальні аспекти, Дніпропетровськ, 27-28 серпня 2009 р., V Міжнародній науково-практичній конференції «Фінансові механізми активації підприємництва в Україні», Львів, 29-30 жовтня 2009 р., ІІ Міжнародній науково-практичній конференції «Економіка та фінанси в умовах глобалізації: досвід, тенденції та перспективи розвитку» Макіївка 21-23 квітня 2010 р., ІІ Міжнародній науково-практичній конференції «Інформаційні технології та моделювання в економіці». Черкаси, 19-21 травня 2010 р., ІІ Міжнародній науково-практичній конференції «Управління інноваційним розвитком промисловості: держава, регіон, підприємство», Донецьк, 1 червня 2010 р., ІІІ Міжнародній науково-практичній конференції «Управління інноваційним процесом в Україні: проблеми, перспективи, ризики» Львів. 20-21 травня 2010 р., ІІ Міжнародній науково-практичній конференції «Моніторинг, моделювання та менеджмент емерджентної економіки» Черкаси-Одеса, 8-10 вересня 2010 р., VIII Міжнародній науково-практичній конференції «Маркетинг та логістика в системі менеджменту» Львів, 4-6 листопада 2010 р., ІІ Міжнародній науково-практичній конференції «Актуальні проблеми розвитку економічної кібернетики» м. Київ, 26 листопада 2010 р., ІІІ Міжнародному науково-практичному семінарі "Стратегії протидії зовнішнім та внутрішнім загрозам економічній безпеці: регіональний вимір”, Запоріжжя, 28-29 травня 2010 р., VІ Міжнародній науково-практичній конференції «Інтеграція України у європейський та світовий фінансовий простір», Львів, 22-24 червня 2011 р. ІІ Міжнародній науково-практичній конференції «Перспективи та пріоритети розвитку економіки України та її регіонів» м. Луцьк, 7-8 жовтня 2010 р.

Публікації. Основний зміст роботи опубліковано у 68 друкованих наукових працях, серед яких 1 одноосібна монографія, 38 статей у наукових фахових виданнях, 29 публікацій у інших виданнях. Загальний обсяг публікацій складає 74,5 друк. арк., з яких особисто автору належить 69,5 друк. арк.

Структура і обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, п'яти розділів, висновків, списку використаних джерел, восьми додатків. Дисертація викладена на 400 сторінках машинописного тексту і містить 66 рисунків на 57 сторінках та 49 таблиць на 40 сторінках. Список використаних джерел налічує 393 найменувань.



ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми, виокремлено об'єкт, сформульовано мету, завдання та предмет дослідження, окреслено методи, інформаційну базу і методологічні засади дослідження, розкрито наукову новизну, практичне значення та апробацію одержаних автором результатів.

У розділі 1 "Методологічні основи економіко-математичного моделювання кредитних ризиків" узагальнено теоретичні підходи до визначення сутності кредитних ризиків, концептуальні засади їх класифікації, моделювання та оцінювання, на основі чого сформовано авторську концепцію сутності категорії “кредитний ризик” як об'єкту економіко-математичного моделювання.

Кредитний ризик часто пов'язують із дефолтом неможливістю або небажанням контрагента виконати свої зобов'язання у термін і/або в повному обсязі, що веде до порушення умов договору та дає змогу кредитору розпочати процедуру повернення боргу. Проте комплексний аналіз кредитного ризику повинен охоплювати не лише оцінювання ймовірності можливого банкрутства контрагента, але й враховувати можливість настання кредитних подій, у результаті яких погіршується кредитоспроможність позичальника або кредитні властивості фінансових інструментів. На основі уточнення економічного змісту кредитних подій, до яких у роботі віднесено банкрутство, збільшення кредитного спреду, зниження рейтингу, крос-дефолт, відмову від боргу, реструктуризацію, удосконалено теоретико-методологічні підходи до аналізу кредитних ризиків. Автором пропонується низка сигналів на портфельному рівні, які дають змогу попередити про потенційні проблеми, які можуть призвести до виникнення цих подій.

На основі проведеного у розділі аналізу існуючих підходів до класифікації та управління кредитним ризиком, автором запропоновано власну систему класифікації кредитного ризику, яка комплексно враховує дію ключових його чинників, охоплює увесь спектр їхнього прояву, дає можливість визначити об'єктивно-суб'єктивну структуру кредитних ризиків, різнобічно оцінювати чинники кредитних ризиків як об'єктів регулювання та визначати вагомість їхнього впливу на результати кредитних операцій банківських установ.

У розділі проведено аналіз основних мір кредитного ризику у контексті рекомендацій Базельського комітету, який вважає, що ідеальні міри ризику повинні бути інтуїтивними, стійкими, простими для сприйняття, когерентними та мати економічну інтерпретацію. Результати останніх досліджень підтверджують значні перспективи використання таких когерентних мір ризику, як CVaR, ES та ER, оскільки вони мають значну перевагу над традиційною VaR-технологією і володіють значно привабливішими математичними властивостями.

Проведений у розділі аналіз сучасних методологій економіко-математичного моделювання кредитних ризиків показав, що найбільш уживаними у світовій фінансовій практиці є наступні класи моделей кредитного ризику: моделі скорочених форм, гібридні, структурні та удосконалені структурні моделі. Слід зазначити, що особливістю методології оцінювання кредитного ризику, яка реалізована у "Базель ІІ" є спрощений підхід у використання кореляції активів, на відміну від того, як це робиться наприклад у багатофакторних моделях CreditMetrics та KMV. Це може бути обґрунтовано значним ускладненням обчислювального процесу, що має місце у багатофакторних моделях, і як наслідок виникненням значних похибок у розрахунках. Доцільно відмітити, що на цей час в Україні відсутні достатньо ефективні моделі управління та оцінювання кредитних ризиків, а застосування зарубіжного досвіду неможливе, так як існують суттєві відмінності у формах звітності, нерозвинена система рейтингового оцінювання позичальників та відсутній накопичений протягом років статистичний матеріал. Крім цього, відсутність уніфікованих підходів до розрахунку основних параметрів кредитного ризику, економічного капіталу та проблеми оцінювання надмірної концентрації кредитного ризику у банківських системах країн із перехідною економікою обумовлюють необхідність розробки нових підходів до моделювання кредитних ризиків, які б дозволили розв'язати ці проблеми.

Для вирішення вищезгаданих проблем у роботі розроблено теоретико-методологічні засади побудови системи економіко-математичних моделей оцінювання, оптимізації та моніторингу кредитного ризику на основі запропонованих автором концептуальних положень оцінювання ключових його параметрів, концентрації і економічного капіталу та проведення їх стрес-тестування із застосуванням багатофакторного, сценарного та імітаційного моделювання (рис. 1).

У розділі проведено також дослідження причин світової фінансової кризи 2007-2009 рр. та її вплив на моделювання кредитних ризиків. На основі аналізу перебігу світової фінансової кризи та їх впливу на банківську систему України у роботі аргументується доцільність переходу на більш жорсткий контроль зі сторони регуляторів саме за відносними показниками розміру капіталу, такими як показники адекватності та ліквідності, що значною мірою перекликається із новою концепцією "Базеля-ІІІ".



Рис. 1. Концептуальна схема побудови системи математичних моделей оцінювання та моніторингу кредитних ризиків із застосуванням багатофакторного, сценарного та імітаційного моделювання

У розділі 2 "Методологічні засади побудови та верифікації рейтингових моделей оцінювання кредитоспроможності позичальників банку" визначено концептуальні засади та відповідний інструментарій побудови і верифікації рейтингових моделей оцінювання кредитного ризику та основних його параметрів: ймовірності дефолту, кореляції активів, втрат при дефолті позичальника із врахуванням стохастичного характеру взаємозв'язку між ними.

У роботі проаналізовано математичний інструментарій статистичного оцінювання матриць міграції кредитних рейтингів, а саме скалярні метрики M(P) або індекси мобільності матриць. Недоліком існуючим індексів мобільності є неврахування розмірності стохастичної матриці міграції P, адже, чим більша розмірність матриці тим довші переходи може здійснювати рейтинг в матриці. Запропонований у роботі індекс мобільності є зростаючою функцією від розмірності N матриці Р:

(1)

Було показано, що індекс мобільності задовольняє основні критерії Шорокса та Маршала, а саме, критерій постійності, критерій збіжності та часовий критерій.

У розділі розроблено моделі оцінки кредитоспроможності та ймовірності банкрутства позичальника на основі статистки українських підприємств, яким уже присвоєно кредитні рейтинги за національною рейтинговою шкалою. Запропоновані моделі регресії дають змогу банкам визначити ймовірність дефолту та потенційний кредитний рейтинг позичальника на основі національної рейтингової шкали. Автором пропонується використати п'ять показників фінансового стану підприємства, які найбільш повно відображають ліквідність, фінансову стійкість, ділову активність та рентабельність підприємства: абсолютну ліквідність (К1), коефіцієнт покриття (К2), фінансовий ліверидж (К3), коефіцієнт автономності (К4), коефіцієнт рентабельності активів (К5). Індекс кредитоспроможності Z було представлено наступним чином:

(2)



Для апроксимації ймовірності дефолту використано логіт та пробіт- функції. У ролі регресанту (залежної змінної) Y було взято ймовірність дефолту, а в якості регресора (незалежної змінної) - індекс кредитоспроможності Z. Рівняння логіт-регресії у нашому випадку матиме такий вигляд:

(3)

Рівняння пробіт-регресії, яка базується на нормальному розподілі, запишеться наступним чином:

(4)

де - функція стандартного нормального розподілу. Для оцінювання якості диференціації отриманої моделі у роботі використано інструментарій Cumulative Accuracy Profile (CAP). Використовуючи інструментарій MatLab було обчислено показник Accuracy Ratio (AR) для ПАТ "Укрсоцбанк", який становив 40%, що вказує на належний рівень диференціації запропонованої моделі.

Для практики сучасного фінансового ризик-менеджменту характерні нехтування залежностями між втратами при дефолті LGD та ймовірністю дефолту PD. Як правило, на практиці використовують сталі значення LGD (моделі Васічека та CreditRisk+), що значно спрощує обчислювальну процедуру, але, як показано в роботі, це призводить до спотворених результатів через не врахування кореляції між PD і LGD. Для моделювання взаємозв'язку між PD і LGD та для врахування залежності LGD від економічних циклів автором пропонується модель узагальненої бета-регресії. Припускається, що LGD є випадковою бета розподіленою змінною. Для визначення ймовірності дефолту використано модель Васічека. У роботі отримано аналітичний вираз для функціональної залежності систематичного фактору Хt від ймовірності дефолту:

(5)

На рисунку 2 показано діаграму розсіювання фактору Хt, який характеризує дефолт. У результаті отримано наступні регресійні залежності для м - середнього значення LGD: та на основі використання емпіричних даних про річну частоту дефолтів, кількість дефолтів, середнє значення LGD та волатильність LGD протягом 1982-2005 років з Altman-NYU Salomon Center Corporate Bond Default Master Database. Дисперсія LGD, як бета розподіленої змінної ц=4,187. На основі отриманих результатів легко бачити, що із зростанням ймовірності дефолту зростає відповідне середнє значення втрат при дефолті LGD. Діаграма розсіювання фактору Хt та функції розподілу LGD зображено відповідно на рис. 2. та рис 3.

Перевагами запропонованої в роботі моделі узагальненої бета-регресії для апроксимації LGD, у порівнянні із традиційним підходом є те, що вона моделює втрати при дефолті LGD як випадкову бета-розподілену змінну, параметри функції розподілу якої залежить від ймовірності дефолту, має просту економічну інтерпретацію, допускає гнучкість у моделюванні випадкового значення LGD через використання різних коваріатів, допускає застосування різних ефективних числових методів.



Рис. 2. Діаграма розсіювання фактору Хt

Рис.3. Функції розподілу LGD при різних значеннях ймовірності дефолту PD

У розділі 3 "Економіко-математичні моделі оцінювання та стрес-тестування економічного капіталу на покриття кредитного ризику банку" запропоновано методологічні засади оцінювання та алокації економічного капіталу на основі врахування стохастичного характеру взаємозалежності між основними параметрами кредитного ризику, розроблено моделі проведення стрес-тестування економічного капіталу на основі факторних моделей та досліджено перспективи застосування концепції економічного капіталу в Україні. Під економічним капіталом у роботі розуміється розмір капіталу, необхідного на покриття непередбачуваних втрат із заданим рівнем довіри. Основними недоліками існуючих моделей оцінки економічного капіталу є нехтування кореляції активів позичальників (враховуються лише кореляції активів позичальників зі спільним рейтингом), припущення про нормальність розподілу втрат за портфелем та фіксування сталого значення LGD при розрахунках.

Запропонований у роботі підхід до обчислення економічного капіталу ґрунтується на застосуванні однофакторної моделі Васічека, інструментарію імітаційного моделювання та передбачає моделювання LGD як випадкової бета-розподіленої змінної із можливістю врахування її стохастичної залежності від PD. Автором пропонуються метод визначення економічного капіталу на основі застосування методів скороченої форми та блукаючих дефолтів, які зарекомендували себе з найкращої сторони у країнах з перехідною економікою. Припустивши, що PD - ймовірність дефолту за один рік, у роботі показано, що тоді ймовірність дефолту протягом довільного терміну h кварталів визначатиметься за формулою:

(6)

Вибірка втрат за кредитним портфелем отримується на основі генерування випадкових змінних Li, які мають розподіл Бернуллі та представляють втрати за і-м кредитом у випадку банкрутства позичальника:

(7)

тут ? коефіцієнт чутливості дохідності за і-м кредитом до систематичного фактору X, ? ймовірність дефолту позичальника за і-м кредитом, ? ідіосинкратичний фактор.

У роботі досліджується ефект диверсифікації, який має місце при агрегації ризику та методи оптимізації алокації економічного капіталу, у яких застосовується концепція "залишкового ризику", яка тісно пов'язана із ефектом диверсифікації. Автором пропонується метод обчислення прибутку від ефекту диверсифікації, який повинен враховуватись регулятором. Із табл. 1, у якій подано результати алокації капіталу Дрогобицького регіонального відділення ПАТ "Укрсоцбанк" станом на 1.03.2011 р., видно, що при застосування CTE принципу алокації філіали можуть скористатись перевагами від агрегації ризику (розподілений капітал , тоді як при VaR принципі не завжди, оскільки .

Більшість існуючих моделей стрес-тестування рівня достатності капіталу банку якщо не ігнорують, то незаслужено недооцінюють зміни величини кореляцій активів під час шокових для економіки подій.

Таблиця 1 - Алокація капіталу Дрогобицького регіонального відділення ПАТ "Укрсоцбанк" (тис. грн.)

	Трускавець	Дрогобич	Самбір	Стрий	Калуш	Принцип алокації
VaR(i)	1280,24	3694,80	1169,98	2254,98	1918,22	VaR-принцип K=VaR0,95 = 10130,1
Ki	1256,90	3627,44	1148,65	2213,87	1883,24
VaR(i)	2314,28	7081,70	2005,68	3989,58	3410,16	VaR-принцип K=VaR0,99 = 20005,9
Ki	2462,54	7535,38	2134,17	4245,17	3628,63
CTE(i)	1575,68	5850,10	1253,55	2601,90	2131,35	CTE-принцип K=СТЕ0,95 = 12450,2
Ki	1462,62	5430,34	1163,61	2415,21	1978,42
CTE(i)	2757,44	8498,04	2423,53	4856,88	3836,43	CTE-принцип K=СТЕ0,99 = 21778
Ki	2684,19	8272,29	2359,15	4727,86	3734,52

У роботі пропонується метод проведення стрес-тестування кредитного портфеля на основі багатофакторних моделей, який передбачає різні підходи до збурення кореляції активів та волатильності інших параметрів моделі. Величина стресового VaR кредитного портфеля визначатиметься за формулою:

(8)



Тут - скалярні множники, які характеризують зростання відповідних параметрів кредитного ризику, F - матриця чутливості дохідності активів до факторів ризику, питомі ваги активів у портфелі, D та Л - діагональні матриці, елементами яких сформовані із середньоквадратичних відхилень факторів ризику. На основі застосування цього підходу, було показано, що величина VaR портфеля є більш чутливою до збільшення середньоквадратичного відхилення дохідності активів ніж до збільшенням кореляції активів. У межах даного підходу розроблено інструментарій проведення стрес-тестування кредитного портфеля банку для багатофакторних моделей, коли фактори ризику є стандартно-нормально розподіленими та для випадку коли вони є незалежними.

Для уникнення необхідності побудови складних економетричних моделей у випадку багатофакторного підходу, автором розроблено модель стрес-тестування економічного капіталу банку на основі однофакторної моделі Васічека, яка покладена в основу Базеля ІІ і яка допускає збурення ймовірності дефолту, LGD та кореляції активів. Стрес-тестування кредитного портфеля ПАТ "Укрсоцбанк" та ПАТ "Плюсбанк". щодо розміру непередбачуваних втрат з допомогою методу Монте-Карло показало, що на потовщення хвоста розподілу втрат портфеля, і таким чином на збільшення економічного капіталу, впливає зростання LGD та кореляції активів, тоді як збурення лише ймовірності дефолту веде до зсуву кривої розподілу із одночасним збільшенням очікуваних втрат та VaR, що у результаті практично не змінює розмір економічного капіталу. Цей результат має цілком зрозумілу економічну інтерпретацію, адже банки при зростанні ймовірності дефолту позичальника, або, іншими словами, погіршення його кредитоспроможності, можуть застрахувати себе збільшенням резервів під кредит такому клієнту, що у моделі відповідає збільшенню очікуваних втрат EL. На зростання ж кореляції активів та LGD банку важче відреагувати, оскільки вони значною мірою залежать від зовнішніх для позичальника чинників.

У розділі 4 "Оцінювання рівня концентрації кредитного ризику на основі факторних моделей" викладено методологію оцінювання рівня концентрації кредитного ризику на основі застосування запропонованих автором нових мір концентрації та концепції факторної концентрації. Автором розроблено також концептуальні засади та відповідний інструментарій оцінювання концентрації з допомогою гомогенних мір ризику.

Враховуючи значну розпорошеність банківського капіталу в Україні та те, що для більшості українських банків характерні невеликі кредитні портфелі, все це обумовлює потребу у розробленні більш гнучких методів оцінювання рівня концентрації кредитного ризику. Якщо брати до уваги практичні аспекти застосування індексу Херфіндаля - Хіршмана ННІ, то на думку автора, одним із серйозних недоліків ННІ є нехтування кредитного рейтингу позичальника. З цією метою у роботі було розроблено декілька нових мір концентрації кредитного ризику портфеля та модифікації індексу Херфіндаля - Хіршмана (ННІ), які враховують не лише питому вагу кожної позики, але й рейтинг позичальників. Автором запропоновано модифікувати традиційний підхід до обчислення індексу Херфіндаля Хіршмана, врахувавши кредитний рейтинг кожного позичальника у вигляді додаткового множника k:

(9)

де , k - кусково-лінійна функція від ймовірності дефолту pi:

(10)

У розділі пропонується також нова міра концентрації кредитного ризику :

(11)

Було доказано, що найбільш диверсифікованим портфель буде при однакових питомих вагах усіх активів у загальному кредитному портфелі. Найменшого значення індекс прийматиме при наявності лише одного кредиту у портфелі, тобто коли портфель максимально концентрований. У цьому випадку І=1. Із зростанням диверсифікованості портфеля зростатиме індекс . Для визначення взаємозв'язку між індексом HHI та I згенеровано 100 різних кредитних портфелів, у які входять від 400 до 1000 кредитів, та побудовано модель лінійної регресії. У результаті використання пакету Statistica 8.0 було отримано лінійний взаємозв'язок між цими мірами:.

Запропонований індекс I теж має аналогічні із ННІ недоліки, а саме нехтування кредитоспроможністю позичальників. Для цього запропоновано ввести аналогічний до множник

(12)

де . З допомогою цього множника можна врахувати кредитні рейтинги позичальників у модифікованому індексу . Застосування нових мір рівня концентрації кредитного ризику до кредитних портфелів ПАТ АКБ "Львів" та ПАТ "Укрсоцбанк" підтвердило їх повну сумісність із традиційними мірами, такими як HHI та поправки на гранулювання GA. У таблиці 2 подано рівні концентрації кредитного портфеля Дрогобицького регіонального в-ння ПАТ "Укрсоцбанк".

Таблиця 2 - Показники рівня концентрації кредитного ризику портфеля активів Дрогобицького регіонального в-ння ПАТ "Укрсоцбанк"

	Рівень концентрації
Міра концентрації	Відділення загалом	Філіали
		Дрогобич	Трускавець	Стрий	Самбір	Калуш
HHI	0,009	0,019	0,028	0,022	0,031	0,023
I	18,8	18,1	17,7	17,9	17,3	18
GA (у % від RWA)	1,1%	1,9%	2,3	2%	2,3%	2,1%
HHImod	0,0078	0,017	0,026	0,02	0,028	0,21
Imod	16,7	16	15,7	15,8	15,2	15,9

У роботі розроблено також концептуальні засади вимірювання рівня концентрації кредитного ризику портфеля на основі застосуванні гомогенних мір ризику, таких як середньоквадратичне відхилення, VaR, CVaR, економічного капіталу, що дає змогу скористатись відомою теоремою Ейлера про додатно-гомогенні функції та отримати для таких мір питому вагу кожного позичальника у сукупному ризику портфеля. На відміну від традиційних підходів до визначення концентрації кредитного ризику, яка побудована на визначенні часток кредитної заборгованості кожного позичальника, у запропонованому підході розглядаються внески кожного позичальника у сукупний ризик кредитного портфеля. Такий підхід, на думку автора, більш коректно визначає концентрацію кредитного ризику, оскільки дозволяє використати поряд із адитивною мірою ризику - математичним сподіванням, інші більш інформативні міри. Якщо позначити через L функцію втрат портфеля, яка може бути записана як сума втрат індивідуальних позицій (кредитів)



(13)

де wn експозиція n-го кредиту із врахуванням LGD, випадкова змінна, яка виконує функції індикатора дефолту за n-м кредитом, тоді при використанні у ролі міри ризику VaR, внесок n-ї позики визначатиметься за формулою:

(14)

Відповідно для CVaR:

(15)

Питома вага n-го кредиту у сукупному кредитному ризику портфеля матиме вигляд:

(16)

Для отримання рівня концентрації при такому підході у подальшому можна використати відомі міри, такі як HHI, ентропію або запропоновані автором нові міри концентрації. У роботі пропонується підхід до обчислення та на основі методу симуляцій Монте-Карло.

У розділі запропоновану концепцію факторної концентрації кредитного ризику, під якою розуміють нерівномірну залежність сукупного ризику кредитного портфеля від систематичних факторів. На практиці, як правило, розглядають концентрації позичальника та секторну концентрацію. На відміну від секторної, факторна концентрація враховує не лише галузеві фактори, але й усі глобальні (спільні для усіх позичальників) систематичні фактори, такі як облікова ставка Національного банку України, показники міжбанківського кредитного ринку, рівень інфляції, обмінні валютні курси тощо. Оскільки традиційні підходи до оцінки рівня секторної концентрації не можна застосувати до більш загальної задачі визначення факторної концентрації, надалі у роботі автором пропонується метод оцінювання загальної факторної концентрації на основі визначення питомої ваги кожного фактору ризику у сукупному ризику кредитного портфеля.

Припускається, що сукупні втрати L портфеля залежать від K факторів . Декомпозиція Хофдінга дає змогу отримати наступну формулу для визначення L як суми некорельованих доданків:

(17)

де (18)

Слід зазначити, що формула (17) дає не лише декомпозицію випадкової змінної L, але й може застосовуватись для апроксимації сукупного ризику портфеля, причому навіть частковою сумою, яка утворюється, наприклад, урізанням від загальної суми (17) лише очікуваних втрат E[L] та внесків "першого порядку" . Таку "урізану" суму називають ще проекцією Хаєка (Hajek projection), яка запропонована у роботах Хаєка (1968) та Ван дер Ваарта (1998). Якщо за міру ризику взяти, наприклад, CVaR, то vn матиме вигляд

(19)

При застосуванні багатофакторної моделі копули Гауса для усіх доданків у декомпозиції Хофдінга можна отримати аналітичні вирази:

(20)

де - коефіцієнт чутливості n-го активу до k-го фактору.

Наявність аналітичного виразу (20) для суттєво спрощує обчислювальний процес, наприклад, при використанні методу симуляцій Монте-Карло для знаходження , оскільки позбавляє необхідності застосування складних числових методів для апроксимації умовного математичного сподівання .

Автором запропоновано два різних підходи до проведення стрес-тестування факторної концентрації кредитного ризику. Стрес-тестування на основі звуження простору станів факторної моделі дає змогу залишити без змін вхідні параметри моделі, серед яких особливого значення має матриця кореляцій активів. Альтернативний підхід до побудови стресових сценаріїв передбачає введення параметрів збурення основних характеристик кредитного ризику. Перевагами такого підходу є можливість моделювання збурення окремих параметрів, наприклад, втрат при дефолті LGD, до яких кредитний ризик портфеля є, навіть більш чутливим, ніж до ймовірності дефолту.

Запропонована концепція факторної концентрації несе важливу інформацію про якість кредитного портфеля стосовно його залежності від різних факторів ризику та поряд із іншими видами концентрації кредитного ризику повинна враховуватися менеджментом банку при формуванні довгострокових кредитних стратегій, оскільки вона дає змогу визначити вразливість кредитних портфелів до різких змін макроекономічних факторів ризику.

У розділі 5 "Оптимізація кредитного портфеля банку з врахуванням фактору ризику" запропоновано метод одно та багатокритеріальної оптимізації кредитного портфеля, який сформований із позик із довільним терміном погашення та запропоновано математичний інструментарій розв'язування такого класу задач. Розроблені концептуальні засади побудови Парето ефективних кредитних портфелів враховують специфіку ціноутворення кредитних продуктів та ключові аспекти кредитної політики банку.

Постановка задач оптимізації кредитного ризику на портфельному рівні та їх розв'язання є значно складнішою проблемою, ніж у випадку ринкового ризику. Справа тут не лише у браку необхідних історичних даних про кредитні події, але й у тому, що банківські позики не мають чітко визначеної ринкової ціни, на відміну від цінних паперів. Важливою відмінною рисою цих задач є неможливість придбати позику банком (інвестором) у наперед визначеному обсязі. Розмір позики визначається позичальником в кредитній заявці, виходячи із потреби в кредитних ресурсах, і через це рішення керівництва банку спрощується до визначення ставки дохідності по позиці і має, здебільшого, бінарний характер: видати позику даного розміру чи ні. Проте, у роботі розглядається також і неперервний випадок, припускаючи, що банк може частково задовольнити кредитну заявку, а позичальник завжди згідний на це. Наприклад, якщо wi - частка і-ї заявки у загальній сумі вільних кредитних ресурсів банку, тоді задача нелінійної двокритеріальної бінарної оптимізації буде такою:

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

Тут - дисперсії дохідностей кредитів, - кореляції дохідності і-го та j-го кредитів, А,В,S - параметри, якими регулюються відповідно частка вільних кредитних ресурсів банку, яку планується використати та рівень концентрації портфеля. У роботі запропоновано методи обчислення дохідності позик та їх дисперсій для річних позик із погашенням у кінці терміну та для кредитних портфелів із позик з довільним терміном погашення у формі ануїтету. З допомогою формули дисконтованого математичного сподівання знайдено :

(26)

Якщо скористатись відомою купецькою формулою для визначення наближеного значення дохідності до погашення облігації, тоді дохідність позики можна буде знайти у явному вигляді:

(27)

Тут CF - щоквартальні платежі, - ціна і-ї позики, - кількість кварталів погашення для і-ї позики. З допомогою Дельта методу аналітично знайдено дисперсії дохідності таких кредитів:

(28)

Тут - дисперсія ціни кредитку. Для побудови множини ефективних (оптимальних за Парето) портфелів та границі Парето розроблено оператори кросинговеру та мутації і відповідне програмне забезпечення, яке реалізує генетичний алгоритм розв'язання багатокритеріальних нелінійних бінарних задач оптимізації, оскільки сучасні математичні програми MATLAB, Mathematica дозволяють оптимізувати лише лінійні задачі бінарної оптимізації.

На рис.4 зображено границі Парето для задачі із двома критеріями оптимізації - ризик (дисперсія) та дохідність портфеля (табл. 3). На рис .5 показано границю Парето, коли добавляється третій критерій - запропонований автором індекс , який характеризує концентрацію кредитного ризику портфеля. У роботі обґрунтовується необхідність нормалізації критеріїв оптимізації, для чого розроблено інструментарій використання для задач оптимізації кредитного портфеля методу, в основі якого лежить аналіз цих критеріїв у межах Парето ефективних портфелів.

Таблиця 3 - Перелік заявок на отримання кредиту

№ позичал.	Ймовірн. дефолту,PDi	Wi	№ позичал.	Ймовірн. дефолту, PDi	Wi	№ позичал.	Ймовірн. дефолту,PDi	Wi
1	0,05	0,1	11	0,15	0,1	21	0,25	0,1
2	0,12	0,05	12	0,2	0,1	22	0,18	0,14
3	0,15	0,1	13	0,05	0,06	23	0,08	0,06
4	0,15	0,14	14	0,17	0,1	24	0,2	0,1
5	0,2	0,05	15	0,15	0,1	25	0,25	0,08
6	0,11	0,1	16	0,12	0,11	26	0,17	0,1
7	0,17	0,05	17	0,18	0,11	27	0,25	0,08
8	0,15	0,07	18	0,2	0,13	28	0,08	0,13
9	0,1	0,07	19	0,15	0,1	29	0,18	0,14
10	0,09	0,05	20	0,07	0,05	30	0,12	0,21

Рис. 4. Границя Парето для двокритеріальної задачі оптимізації

Рис. 5. Границя Парето для трикретеріальної задачі оптимізації

Запропоновані моделі дають змогу враховувати різні види кредитної політики банку при оптимізації кредитного портфеля, можуть бути застосовані у системі прийняття кредитних рішень та були використані ПАТ "Кредобанк" при формуванні портфеля банківських активів.

...