Методы принятия оптимальных управленческих решений

Размещено на http://www.allbest.ru

Ю.С. Коршунов, Н.В. Маркова

Методы принятия оптимальных управленческих решений

Учебное пособие по курсу высшей математики

Издание второе, исправленное и дополненное.

Москва

Российский университет дружбы народов

2016

УДК 519.2(076)

ББК 22.171я73

К70

Рецензент - Доктор физико-математических наук, профессор, академик РАЕН Б. Ю. Стернин.

Коршунов Ю.С., Маркова Н.В.

Методы принятия оптимальных управленческих решений: Учебное пособие по курсу высшей математики. - М.: РУДН, 2014. - 40 с.

Рассмотрены основные понятия и методы исследования операций и принятия управленческих решений в условиях неопределённости, элементы теории игр. Изложение ведётся на достаточно элементарном уровне и предполагает знание основ математического анализа и линейной алгебры. Поскольку при принятии решений в управлении всегда присутствуют случайные факторы, в пособии представлены элементы теории вероятностей.

Приводятся примеры решения задач и даны варианты заданий для самостоятельного решения.

Для студентов гуманитарных специальностей второго года обучения.

Подготовлено на кафедре Прикладной математики РУДН.

ISBN 978-5-209-06122-9

УДК 519.2(076)

ББК 22.171я73

© Коршунов Ю.С., Маркова Н.В., 2015

© Россиийский университет дружбы народов, Издательство, 2015

Главное заблуждение науки об управлении - будто такая наука существует.

Студенческая мудрость

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время для успешного развития научной и практической деятельности людей возникла насущная необходимость уметь проводить анализ сложных процессов переработки информации, выработки оптимальных решений управления процессами. Давно стало понятным, что принятие решений на интуитивном уровне зачастую даёт большие потери.

Отметим, что раздел науки «Методы принятия управленческих решений» в начале своего развития носил название «Исследование операций». Это связано с тем, что исследование операций сформировалось в самостоятельную область изучения при решении военных задач. В настоящее время термин «операция» приобретает более общий смысл, как выработки конкретных решений, то есть данная наука имеет прикладной характер. При этом студенту можно порекомендовать изучить книги с названием «Исследование операций», остающиеся актуальными по сей день.

При анализе задач управленческого характера с использованием методов принятия управленческих решений (будем называть эти методы в дальнейшем как МПУР) применяется разнообразный математический аппарат. В нашем небольшом учебном пособии рассмотрены методы линейного программирования, теории вероятностей, математической статистики и теории игр. При этом для краткости, выработки МПУР часто будем называть операцией, как было принято раньше.

Необходимость принимать решение возникает перед каждым человеком. Выходя из дома, мы должны принять целый ряд решений: Как одеться? Брать ли зонтик? Ехать на автобусе или маршрутке? Руководитель фирмы обязан принимать более ответственные решения о распределении работы между сотрудниками, какие работы выполнять в первую очередь и т.д.

Но МПУР начинаются тогда, когда для обоснования решений применяется тот или иной математический аппарат. Сначала нужно создать модель того или иного процесса. При этом возникают две тенденции. С одной стороны, требуется учесть, по возможности, все действующие факторы, чтобы обеспечить адекватность модели действительности. С другой стороны, нельзя делать модель столь громоздкой, что современные математические методы не смогут произвести анализ процесса.

Не следует считать, что МПУР - «панацея от всех бед». Всё-таки есть доля истины в таком определении, пришедшем к нам ещё с тех военных времён. «Исследование операции представляет собой искусство давать плохие ответы на те практические вопросы, на которые даются ещё худшие ответы другими способами.»

Заметим, что понятие «принятие решений» не входит в процесс исследования операций. После математической обработки поступившей информации исследователь получает решение модели, иногда не единственное. Далее принимается решение, зачастую не обоснованное математически.

управленческий решение вероятность программирование математический



ГЛАВА I. ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

В каждой задаче из n уравнений всегда будет n+1 переменная.

Законы Мэрфи

1.1 Элементы линейной алгебры

Для успешного освоения материала этой главы мы кратко повторим основные сведения из линейной алгебры, которую вы изучали в I семестре.

Система m линейных уравнений с n переменными имеет вид:

(1.1)

Иногда будем использовать запись этой системы в виде:

(i=1, 2,…, m)

или матричную форму: где А= матрица системы (1.1),- столбец из неизвестных, столбец из элементов правой части системы (1.1).

Рангом матрицы называется размерность максимального, не равного нулю, её минора. Будем считать, что ранг r матрицы системы (1.1) равен m, то есть m уравнений системы линейно независимы, , и Именно такие системы рассматриваются в задачах линейного программирования. Тогда определитель матрицы (при m переменных ) отличен от нуля. Этот определитель называется базисным минором, а переменные - базисными или основными, а остальные - свободными.

Перепишем систему (1.1) в виде:

(1.2)

Выбирая в качестве произвольные значения, будем получать системы, каждая из которых имеет единственное решение. Отсюда следует, что система (1.2) имеет бесконечное множество решений. Базисным решением системы (1.2) называется решение, в котором все свободных переменных равны нулю. В экономике базисные решения называются опорными планами.

1.2 Некоторые примеры решения задач

Задача. На Гум. соц. факультет поступила финансовая помощь в размере 100 000 у.е. (самое трудное в этом примере - поверить в это). Предполагается, что эта сумма будет потрачена на покупку кондиционеров по цене 10 000 у.е., сканеров по цене 500 у.е. и компьютерных столов по цене 250 у.е. Гум. соц. факультет запланировал купить 50 предметов. Сколько будет куплено в отдельности компьютеров, сканеров, компьютерных столов?

Решение. Пусть количество компьютерных столов, сканеров и компьютеров, соответственно. Тогда условия задачи можно записать в виде:

Умножим второе равенство на 4 и найдём решение полученной системы:

Выберем базисный минор при коэффициентах

, . Тогда имеем

или ,

где произвольное число. Общее решение имеет вид:

Все переменные неотрицательные, следовательно, из первой строчки следует, что из второй строчки следует, что ; при этом должно быть целое (по условию задачи), поэтому выбираем . Отсюда ; (Проверьте самостоятельно, что это есть решение задачи.)

Ответ:

Задача. Небольшая фабрика по производству обуви может принять заказ на изготовление четырёх видов моделей обуви. Технология приготовления предполагает выполнение трёх операций: раскрой материала, пошив, окраска с высушиванием. Фабрика имеет максимум 18 часов для раскроя, 14 часов для пошива и 13 часов для окраски и высушивания.

Модель №1 требует 8 часов для раскроя, 6 часов для пошива и 5,5 часов для окраски с высушиванием.

Модель №2 требует 3 часа для раскроя, 1 час для пошива и 1,5 часа для окраски с высушиванием.

Модель №3 требует 1 час для раскроя, 1 час для пошива и 1 час для окраски с высушиванием.

Модель №4 раскроя не требует (модель поступает в раскроенном виде), 2 часа требует для пошива и 1 час требует для окраски с высушиванием.

Сколько пар обуви будет произведено модели №1, модели №2 и модели №3?

Решение. Пусть количество пар обуви модели №1, количество пар обуви №2, количество пар обуви модели №3, количество пар обуви модели №4. Тогда для раскроя всех моделей требуется 18 часов, которые распределяются по моделям следующим образом:

Аналогичные уравнения получаются для процессов пошива и окраски (и высушивания). В результате получаем следующую систему уравнений:

Эту систему можно решить методом Гаусса. В результате получаем решение в виде:

Здесь произвольная постоянная.

Далее необходим здравый смысл и экономика: понятно, что все должны быть целыми и неотрицательными (смотри условие задачи). Тогда может принимать значения 0; 1; 2, то есть фабрике выгодно выполнить один из трёх заказов:

; ; .

Теперь выбор одного из трёх заказов зависит от щедрости заказчика. (Напомним, что решение при называется базисным решением. В данном случае базисное решение это .)

1.3 Общие понятия линейного программирования

Рассмотрим один из основных методов оптимизации в экономике - линейное программирование. В процессе экономической деятельности предприятия, отрасли, фирмы в первую очередь необходимо решать задачи распределения ресурсов, таких как деньги, сырьё, рабочая сила и др. От правильного распределения этих, как правило, ограниченных ресурсов зависит конечный результат деятельности фирмы, предприятия, отрасли. Математически эта задача ставится так: на множестве, определяемой системой неравенств, найти наибольшее или наименьшее значение заданной функции.

Пусть предприятие производит n видов продукции, используя при этом m видов ресурсов. Для производства одной единицы j-вида продукции требуется единиц i-вида ресурсов.

Пусть в распоряжении предприятия имеется единиц ресурса. Если (i=1,2,…,n) есть количество единиц производимого продукта, то для распределения, например, b₁ ресурса по производимой продукции получаем неравенство

Аналогичные неравенства получаются для всех единиц ресурса.

Пусть теперь - удельная прибыль, получаемая при продаже одной единицы продукции. Тогда функция есть прибыль, полученная при продаже всей продукции. Требуется найти такой набор при котором доход предприятия оказался бы максимальным.

Таким образом, получаем задачу оптимизации:

(1.3)

Функция F называется целевой функцией.

1.4 Некоторые теоретические сведения

Определение: Многоугольник на плоскости называется выпуклым, если отрезок, соединяющий две любые точки, принадлежащие многоугольнику, целиком содержится в этом многоугольнике.



На рис.1 многоугольник 1а - выпуклый, так как все точки отрезка MN принадлежат многоугольнику, а многоугольник 1б - не является выпуклым.

Определение: Точка многоугольника является угловой, если она не является внутренней точкой ни для какого отрезка, целиком принадлежащего многоугольнику (точка К на рис1а).

Справедливы следующие теоремы:

1) Пересечение (общая часть) выпуклых многоугольников есть выпуклый многоугольник.

2) Множество решений совместной системы m линейных неравенств с двумя неизвестными

является выпуклым многоугольником.

3) Между допустимым базисным решением и угловыми точками множества допустимых решений системы линейных уравнений существует взаимно однозначное соответствие.

4) Если задача линейного программирования имеет оптимальное решение, то линейная функция принимает максимальное (минимальное) значение в одной из угловых точек многогранника решений.

Эти теоремы примем без доказательства. Они сформулированы для случая, когда допустимое множество, на котором ищется экстремум, - многоугольник на плоскости В этом случае задачу линейного программирования можно решить графическим методом.

Задача. Задача использования сырья. Для изготовления двух видов продукции А и В используется сырьё трёх видов. Известны запасы сырья на складе и количество единиц сырья, используемое для изготовления единицы продукции. Предположим, что проблем с реализацией продукции нет и известна прибыль от продажи продукции. Все данные сведены в таблицу.

Таблица 1

Вид сырья	Запас сырья	А	В
I	16	1	2
II	10	1	1
III	24	3	1
Прибыль на одну деталь (в тыс. руб.)		4	2

Пусть и - количество единиц деталей вида А и В. Тогда, учитывая количество единиц сырья, расходуемое на изготовление единицы продукции, получим систему неравенств:

(1.4)

Любое решение системы (1.4) называется допустимым планом задачи. Прибыль от реализации продукции есть функция



(1.5)

Это и есть целевая функция, максимум которой требуется найти, то есть из всех допустимых планов задачи надо найти оптимальный.

На плоскости строим линии ограничения l₁ , l_{2 ,} l_3. ( Рис 2).

Совокупность допустимых планов задачи представляет собой множество точек выпуклого многоугольника, удовлетворяющих неравенствам (1.4) (на рис.2 это множество заштриховано). Согласно теоремам 1-3 максимальное значение функции следует искать в угловых точках. Построим прямую Это - линия нулевого уровня, причём вектор является нормальным вектором этой прямой, то есть перпендикулярным к прямой Легко сообразить, что уравнение даёт семейство параллельных прямых, на каждой из которых функция возрастает при увеличении с.

Для нахождения оптимального плана следует передвигать линию нулевого уровня параллельно самой себе в направлении вектора до последнего угла, который этой прямой принадлежит. В данном случае это будет точка - точка пересечения прямых l₂ и l₃. Координаты этой точки находим, решая систему линейных уравнений:

Откуда получаем При этом максимальное значение функции равно (тыс. руб.).



ГЛАВА II. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Случай - это единственный царь Вселенной.

Наполеон Бонапарт

2.1 Пространство элементарных событий

Как правило, изучение математики начинается с определения множества, на котором будет создано стройное здание науки. После того, как определены элементы множества, определяются правила, по которым находятся сумма элементов, их произведение на число, то есть определяют алгебру элементов множества

В теории вероятностей основным понятием является пространство элементарных событий.

Определение: Пространством элементарных событий (ПЭС) называется множество всех взаимоисключающих исходов опыта (эксперимента).

Здесь с самого начала подразумевается, что мы будем изучать явления, по однократному наблюдению которого нельзя предсказать, чем кончится опыт при повторном наблюдении. Поэтому в ПЭС входят все исходы опыта, даже те, появление которых маловероятно. Будем обозначать ПЭС буквой W, а элементы, входящие в него через w_i, тогда имеем W={w_i}.

Пример. Бросаем монету. Пространство элементарных событий здесь W={Г;Р}, w₁=Герб, w₂=Решка.

Пример. Множество W в зависимости от постановки опыта может быть бесконечным. Так, если монета бросается до первого появления герба, то

.

Здесь отдельный исход означает, что если решка выпала к раз, а герб выпал (к+1) раз, мы обязаны включить исход, когда

Некоторые из подмножеств пространства W называются событиями. Будем обозначать их латинскими буквами A,B,C,… Если элементарное событие принадлежит А, то оно называется благоприятным для события А.

2.2 Основные операции над событиями

1) Дополнение к А (обозначается ) включает все элементарные события, входящие в W, но не входящие в (иногда называют противоположным А).

2) Объединение (или сумма) (или ) содержит все элементарные события, входящие как в так и в

3) Пересечение (или произведение) (или ) содержит события, входящие в A и B одновременно.

4) Разность(или ) содержит события, входящие в но не в

Проиллюстрировать эти определения можно на диаграммах Венна. Если W- множество (символически) точек квадрата, то имеем:

Определение: Два события А и В называются несовместными, если Ш.

Справедливы следующие свойства операций над событиями:

Задача. Описать ПЭС для следующих экспериментов:

А) бросаются две игральные кости (кости различимы)

Решение. Поскольку кости различимы, назовём одну из них первой, а другую второй. Исход отдельного эксперимента определяется упорядоченной парой целых чисел где число очков на первой и второй костях соответственно. Тогда . Ясно, что число элементов в равно 36 (Будем обозначать число элементов как ).

В) тот же эксперимент, но кости неразличимы.

Решение. Теперь пары и описывают один и тот же экспериментальный исход. Отсюда

Задача. Пусть множество студентов факультета. Обозначим через множество студентов, занимающихся спортом , через множество студентов, занимающихся спортом , через множество студентов, занимающихся спортом . Опишите следующие множества студентов: а) б) в)

Решение. а) множество студентов, занимающихся тремя видами спорта .

б) множество студентов, занимающихся хотя бы одним видом спорта или ; тогда множество студентов, занимающихся только видом спорта .

Пункт в) выполните самостоятельно.

Задача. Даны три произвольных события Найти выражение для событий, состоящих в том, что из а) произошло только А; б) произошло А и В, но событие С не произошло; в) все три события произошли; г) ни одно из событий не произощло; д) произошло, по крайней мере, одно из событий; е) произошло ровно одно событие; ж) произошло не более двух событий.

Решение. Приведём ответы, которые легко получить, используя операции над событиями: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) .

Нарисовать диаграмму Венна для каждого случая самостоятельно.

2.3 Классическое определение вероятности

Логически завершённое построение теории вероятностей основано на следующих аксиомах, введённых А. Колмогоровым. Пусть дано пространство элементарных событий , каждому событию поставим в соответствие некоторое число, которое называется вероятностью события . Другими словами, вероятность есть функция, заданная на множестве Эта функция должна удовлетворять следующим аксиомам:

Аксиома 1. Вероятность любого события неотрицательна .

Аксиома 2. Вероятность события (достоверного события) равна единице

Аксиома 3. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, то есть, если Ш, то . Эта аксиома должна выполняться для любого конечного числа несовместных событий, то есть, если Ш (), то

(i , j =1,2, 3…….n)

Из этих аксиом легко получить основные свойства вероятностей:

1)

2) (Ш)=0;

3) (2.1)

4) если

5)

6)

Последнее, шестое свойство часто называют теоремой сложения. Его нестрогое, но наглядное доказательство может быть проведено с помощью диаграммы Венна.

Определение: Пусть состоит из конечного числа элементарных событий При этом вероятности всех элементарных событий одинаковы. Тогда Пусть событие содержит элементарных событий. Если событие А благоприятное, то вероятность определяется как равенство:

Для этого определения выполняются все аксиомы теории вероятностей.

Задача. В денежно-вещевой лотерее на серию из 10000 билетов приходится 120 денежных и 80 вещевых выигрышей. Найти вероятность:

а) получить денежный выигрыш;

б) получить вещевой выигрыш;

в) ничего не выиграть.

Решение. Пусть событие А - денежный выигрыш, событие В - вещевой выигрыш. Общее число событий , благоприятных для А событий - тогда вероятность денежного выигрыша Благоприятных событий для В - m₂=80 тогда вероятность вещевого выигрыша

Вероятность ничего не выиграть равна

Иногда формула классической вероятности используется в процентном выражении.

Задача. Отловим 100 карпов, пометим их и выпустим обратно в водоём. Через некоторое время снова отловим 100 карпов и подсчитаем, сколько из них меченых. Предположим, что их оказалось5 штук. Значит, 5% от всего количества это 100 рыб, отсюда 100% их составит 2000 штук.

2.4 Формулы комбинаторики

Комбинаторика - это раздел математики, который позволяет вычислить количество комбинаций, составляемых из некоторого конечного множества элементов. Приведём без вывода некоторые формулы, наиболее употребительные в теории вероятностей.

Определение Размещениями называются комбинации, составленные из элементов по элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число таких комбинаций равно

(2.2)

Задача. Сколько трёхзначных чисел можно составить из набора 1;2;3;4;5?

Решение. Число таких размещений равно

Определение Перестановками называются комбинации из элементов, отличающихся только порядком расположения. Можно считать, что перестановки - это частный случай размещений, когда Отсюда

(2.3)

Задача. Сколько трёхзначных чисел можно составить из набора 1;2;3?

Решение. Число размещений в данном случае равно

Определение Сочетаниями называются комбинации, которые составлены из элементов, выбранных из элементов. При этом каждый выбор отличается от других хотя бы одним элементом, и порядок не учитывается. Число сочетаний равно

(2.4)

Задача. Из группы в 10 студентов вызываются в деканат 3 студента («на ковёр»). Декан думает: Сколькими способами он может это сделать так, чтобы в каждом выборе был хотя бы один новый студент?

Решение. Число способов равно

Отметим, что числа размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством:

(2.5)

Задача. Из колоды в 52 карты извлекаются 3 карты. Найти вероятность, что это будут тройка, семёрка и туз.

Решение. Элементарные события данного пространства событий - всевозможные наборы из трёх различных карт, то есть число элементарных событий равно (порядок несущественен). Элементарных событий, соответствующих тому, что будут извлечены тройка, семёрка и туз, будет так как в колоде карт имеются 4 тройки, 4 семёрки и 4 туза. Отсюда имеем

Подсчитайтесамостоятельно. Вы поймёте, почему Герман (из повести А. Пушкина «Пиковая дама») лишился рассудка.

Давайте рассмотрим одну важную задачу.

Задача. Анализ сбыта продукции показал присутствие бракованных изделий. Известно, что в партии из изделий бракованных. Менеджер по качеству выбирает m изделий. Его интересует вероятность того, что из них изделий будут бракованными.

Решение. Вероятность будет представлять собой дробь. Общее число способов выбрать элементов равно . Это наш знаменатель. В числителе надо подсчитать число наборов, содержащих из бракованных изделий и качественных изделий из качественных изделий. В результате получаем

(2.6)

2.5 Основные теоремы теории вероятностей

Сформулируем сначала теорему сложения вероятностей.

Теорема сложения вероятностей: Вероятность суммы событий (а именно, вероятность наступления хотя бы одного из них) равна сумме этих вероятностей, если эти события несовместны,

В общем случае вероятность суммы двух событий равна сумме их вероятностей минус вероятность их произведения:

(2.7)

Хорошей иллюстрацией этой формулы является построенная для этого случая диаграмма Венна (рис. 4).

Если ПЭС, круг А - множество элементарных событий, входящих в А, треугольник В- множество элементарных событий, входящих в В, то при подсчёте вероятности (левая часть формулы (2.7)) мы учитываем все точки, входящие в А и В. В правой части формулы (2.7) при подсчёте суммы мы учитываем общую (заштрихованную) часть А и В два раза. Поэтому следует вычесть , один раз.

Для нахождения вероятностивводится понятие условной вероятности.

Определение: Условной вероятностью называется вероятность события А при условии, что событие В произошло.

Пример. Бросаем две монеты. Найти вероятность выпадения двух гербов (событие А).

Решение. Если речь идёт о безусловной вероятности, то

Пусть произошло событие В - на первой монете выпал герб. Тогда по-прежнему но [(герб, решка), (герб, герб)]. Отсюда получаем: вероятность А при условии, что событие В произошло, равно

Теорема умножения вероятностей: Вероятность наступления произведения событий А и В равна вероятности одного события, умноженной на условную вероятность другого события, при условии, что первое событие произошло:

По определению, события А и В называются независимыми, если

Из вышесказанного можно получить несколько полезных следствий.

Следствие 1. Если события А и В независимы, то независимы и такие пары: А и и и

Следствие 2. Пусть производятся независимых испытаний, в каждом из которых событие А происходит с вероятностью Тогда вероятность появления события А хотя бы один раз при этих испытаниях равна

Для доказательства отметим, что вероятность противоположного события равна 1-р. Тогда вероятность, что событие произойдёт n раз равна (1-p)ⁿ . Отсюда, вероятность, что событие А произойдёт хотя бы один раз равна 1-(1-p )ⁿ.

Задача. Вероятность попадания стрелка в мишень при каждом выстреле равна Найти вероятность, что после двух выстрелов будет хотя бы одно попадание в мишень.

Решение. Пусть ипопадание в мишень при первом и втором выстреле, соответственно, причём события независимы. Тогда событие попадание в мишень хотя бы один раз, попадание в мишень оба раза. Применяя формулу (2.7) , получаем:

Выведем ещё одну формулу, очень полезную в практической деятельности менеджера, управленца.

Задача. Вам предлагается купить некоторые изделия по базовой цене, но продавец честно предупреждает, что вероятность нормальной работы изделия (надёжность) равна

(отсюда и соответственная цена). Сколько надо купить изделий, чтобы с вероятностью вы приобретёте хотя бы одно работающее изделие.

Решение. Пусть событие А означает, что приобретено хотя бы одно работающее изделие. Ему противоположное событие, все приобретённых изделий дефектны. Если события, что первое, второе, …, ое изделия дефектны, то События независимы, значит, имеем

.

Тогда

Логарифмируя это неравенство, получим



(2.8)

Подставляя данные задачи, вычислим:

то есть, необходимо приобрести более 10 изделий.

2.6 Формула полной вероятности и формула Байеса

Определение. Если события попарно несовместимы, т.е.( H_i H_j =Ш и , то говорят, что они образуют полную группу событий.

Пусть дано некоторое событие А. Тогда

причём эти события несовместны. Тогда по теореме сложения получаем формулу полной вероятностей:

(2.9)

Задача. Приборы одного наименования изготовляются двумя разными заводами. Первый завод поставляет приборов на рынок, второй - приборов. Вероятность безотказной работы (надёжность) изготовленного первым заводом равна вторым заводом - Какова надёжность (средняя) прибора, поступившего на рынок?

Решение. Введём события прибор изготовлен на первом заводе, на втором заводе (иногда называют гипотезами). По условию Пусть событие означает, что куплен на рынке доброкачественный прибор. Соответственно,

Тогда по формуле (2.9) вероятность события А равна

Из выше приведённых теорем следует очень важная формула - формула Байеса, которая позволяет корректировать полученные решения.

Пусть события (гипотезы) образуют полную группу событий с известными вероятностями которые называются априорными вероятностями. Если событие А произошло, формула Байеса даёт возможность произвести количественную переоценку априорных вероятностей и на основании полученной информации найти условные вероятности гипотез

Тогда из формулы (2.7) получаем формулу Байеса:

(2.10)

Используя эту формулу, экономисты получают возможность корректировать управленческие решения в экономике по мере получения информации.

Задача. В условиях предыдущего примера найти вероятность, что купленный (исправный) прибор изготовлен на первом заводе.

Решение. Используя данные и обозначения предыдущего примера, получаем:

2.7 Повторные независимые испытания. Формула Бернулли

Здесь мы обсудим опыт наступления некоторого события А при многократном повторении испытания при условии, что вероятность события А не меняется в каждом испытании. Какова вероятность, что в результате опытов событие А произойдёт ровно раз?

Пусть вероятность появления события А в единичном испытании равна то есть Тогда вероятность противоположного события равна Обозначим через В событие, состоящее в том, что при первых m испытаниях происходило событие А , а в последующих n-m испытаниях событие . Тогда вероятность события В - наступления события А в испытаниях - и, соответственно, события в испытаниях равна

Но вероятность не зависит от того, на каком месте стоят и Следовательно, вероятности событий равны, то есть

p(A).p(A)……..p(A). p()………p() = p^mq^n-m

Тогда всех таких комбинаций из наступлений события A и наступлений события будет (см. формулу 2.3). По теореме сложения вероятность появления события А n раз и не появления этого события n-m раз равна сумме вероятностей событий

В результате получаем формулу Бернулли:

(2.11)

Рассмотрим примеры применения формулы Бернулли.

Задача Прибор состоит из 5 блоков. Вероятность безотказной работы одного блока в течение времени (надёжность) равна Найти вероятности:

а) откажет один блок;

б) откажет хотя бы один блок;

в) откажут не менее двух блоков.

Решение. Если вероятность успеха то вероятность неудачи Отсюда

а)

б)

в)

Задача. В цехе 5 станков. Вероятность того, что в течение рабочей смены каждый станок потребует внимания рабочего, равна (из опыта). Сколько надо рабочих?

Решение. Как это часто бывает на практике, нам необходимо назначить уровень значимости, то есть, считаем невозможными события, вероятности которых меньше уровня значимости. Пусть в данном случае уровень значимости Найдём по формуле Бернулли суммарную вероятность , где p₅(i) вероятность, что потребуется ровно i рабочих. Нужно остановиться на значении i= когда эта сумма превысит

Итак, m=3. Значит, достаточно трёх рабочих.

Рассмотрим совокупность вероятностей означающих, что событие А наступит раз. Наивероятнейшее число наступления события определяется из двойного неравенства

(2.10)

При этом если целое число, то таких наивероятнейших чисел будет два: Не трудно проследить, что при большом числе испытаний n можно оценить m₀ по формуле m_{0 ~} np. Следует, однако, помнить, что при больших n все вероятности p_n(m), включая максимальную, малы. Например, при 100 бросаниях монеты наивероятнейшее число выпадений герба равно 50, но вероятность такого события меньше 0, 08 .



ГЛАВА 3. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Средь шумного бала, случайно …

А. Толстой

3.1 Распределения и числовые характеристики случайных величин

Все объекты и процессы, с которыми мы встречаемся в жизни, характеризуются численными значениями параметров. Это может быть скорость или температура, курс доллара или концентрация и т.п. - всё это величины, меняющиеся чаще всего случайно.

Определение. Случайной величиной называется функция, определённая на пространстве элементарных событий

Определение. Случайная величина называется дискретной, если множество её значений конечно или счётно.

Другими словами, на практике важно знать не вероятности событий, а вероятности связанных с ними случайных величин, соответствующих этим событиям.

Распределение дискретной случайной величины записывается в виде таблицы:

Значение			…
Вероятность			…

При этом полная вероятность.

Задача. Случайная величина равна числу попаданий в цель при двух выстрелах. Вероятность попадания при одном выстреле равна Написать распределение случайной величины

Решение. Пусть событие цель поражена при первом выстреле, событие цель поражена при втором выстреле. Случайная величина принимает значения:

Отсюда получаем следующее распределение:

	0	1	2
	0,09	0,42	0,49

Пусть случайная величина может принимать значения с вероятностью где Тогда получаем распределение:

	0	1	…
			…

которое называется биномиальным:

. (3.1)

Если вероятность события в схеме Бернулли близка к нулю, а число независимых испытаний велико, то вычисления по формуле Бернулли становится затруднительным и в этом случае применяется асимптотическая формула Пуассона: при и малых значениях вероятности справедлива следующая формула



, (3.2)

где

Случайная величина, принимающая значения с вероятностями, вычисляемыми по формуле (3.2), называется распределением Пуассона. К случайным величинам, распределённым по формуле Пуассона, приводят вопросы массового обслуживания (работа телекоммуникаций, движение автотранспорта, продажа товаров и т.п.)

Рекомендуем вам построить распределение для этого случая самостоятельно.

3.2 Функция распределения

Введём ещё одно важное понятие. Пусть случайная величина, а произвольное действительное число.

Определение. Функция

(3.3)

называется функцией распределения вероятностей случайной величины

Иными словами, функция распределения равна вероятности того, что принимает значение, меньшее чем Для дискретной величины , принимающей значений с вероятностями имеем:

(3.4)

График этой функции представлен на рисунке 5:

Задача (продолжение задачи со стр18) Построим функцию распределения числа попаданий.

Решение.

3.3 Распределение непрерывной случайной величины

Здесь мы рассмотрим случайную величину, возможные значения которой заполняют целый интервал (а, b). Для неё невозможно написать перечень всех значений, которые она принимает. Например, при изготовлении шариков определённого диаметра для подшипников отклонение диаметра шарика от номинала будет непрерывной случайной величиной.

Для непрерывной случайной величины также вводится функция распределения вероятностей,

(3.5)

Геометрически - это вероятность того, что точка попадёт на ось левее точки. Значения заключены между 0 и 1.

Отметим свойства функции распределения:

1) неубывающая функция.

2) Вероятность попадания в промежуток равна

3) при при

Определение. Если дифференцируема, то её производная

(3.6)

называется плотностью вероятности случайной величины

Аналогично найдём вероятность, что значения случайной величины находятся в интервале (х_{1 ;} х₂):

(3.7)

Свойства плотности вероятности:

1) на всей оси

2)

3) при

3.4 Примеры распределений

1) Равномерное распределение на интервале.

Плотность вероятности этого распределения имеет вид:

(3.8)

Естественно, что

Функция распределения в данном случае имеет вид:

(3.9)

Графики функций и представлены на рис.6.



2) Нормальное распределение.

Это наиболее распространённое в приложениях распределение.

Определение. Нормальным называют распределение вероятностей случайной величины с плотностью вероятности

(3.10)

Здесь a =m и у - числовые параметры, характеризующие нормальное распределение. Обсуждение и вычисление их проведём ниже. График функции (3.10) представлен на рис.7



Рис.7

Отметим основные свойства этой функции:

а) функция определена на всей оси и её значения положительны;

б)

3.5 Числовые характеристики случайной величины

Построение функции распределения случайной величины часто бывает непростой задачей. Поэтому в первую очередь находят две важные числовые характеристики случайной величины: математическое ожидание и дисперсию.

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется величина

(3.11)

Если случайная величина непрерывного типа, то



(3.12)

Задача (продолжение задачи со стр. 18) Математическое ожидание здесь находится по формуле (3.11)

М о = 0* 0,09 + 1*0,42 + 2 * 0, 49 =1,4

Для биномиального распределения математическое ожидание равно Для распределения Пуассона Равномерное распределение (3.8) имеет математическое ожидание, которое находится по формуле (3.12 ):

У нормального распределения математическое ожидание равно:то есть математическое ожидание равно абсциссе в точке максимума a=m (см. рис.7).

Основные свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной величине,

2. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий,

3. Если и - независимые величины, то

Определение. Дисперсией непрерывной случайной величины имеющей плотность вероятности называется величина

. (3.13)

Для дискретной случайной величины дисперсия равна:

. (3.14)

Дисперсия даёт меру разброса случайной величины по отношению к среднему значению При этом вычисляется квадрат случайной величины Легко видеть, что простые разности будут иметь разные знаки и в сумме не будут характеризовать степень отклонения. Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. Поэтому, в приложениях используется параметр - квадратный корень из дисперсии у, который называется среднеквадратическим отклонением. Среднеквадратическое отклонение характеризует степень отклонения случайной величины от математического ожидания

= у ,

Задача (продолжение задачи со стр. 18). Рассчитаем дисперсию по формуле (3.14):

Соответственно = у=0,648

Свойства дисперсии:

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю,

2. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий,

3. где постоянная величина.

Отметим без вывода дисперсии для вышеприведённых распределений:

1. Дисперсия биномиального распределения

2. Для распределения Пуассона

3. Равномерное распределение имеет дисперсию

4. Нормальное распределение характеризуется дисперсией

Параметры и входящие в формулу (3.10), есть не что иное как математическое ожидание и корень из дисперсии, соответственно.

Вычисление дисперсии иногда удобно проводить по формуле:

(3.15)

3.6 Нормальный закон распределения и центральная предельная теорема

Нормальное распределение с плотностью (3.10) играет основную роль в технике, экономике, вообще во всей жизни общества и отдельного человека. Это объясняется тем, что все измеримые величины образуются в результате суммирования случайных величин. При этом выполняется

Центральная предельная теорема. Каковы бы ни были законы распределения отдельных случайных величин закон распределения их суммы близок к нормальному распределению.

Функция распределения нормального распределения получается интегрированием плотности вероятности (3.10):

(3.16)

К сожалению, этот интеграл «не берётся» (проверьте самостоятельно). Для приложений вводится функция при и

(3.16)

Эта функция называется функцией Лапласа. Она табулирована во всех справочниках и учебниках по высшей математике.

С помощью функции Лапласа вероятность попадания нормально распределённой случайной величины в интервал выражается формулой:

(3.17)

Здесь математическое ожидание, дисперсия случайной величины

Задача. Вероятность брака поступающих на ваше предприятие изделий равна 0,05 (или 5%). Какова вероятность, что при использовании изделий бракованных изделий появится не более раз и не менее раз?

Решение. Перепишем формулу (3.18), поменяв, согласно условию задачи, обозначения:

Функция нечётная, поэтому При увеличении числа испытаний их средний результат становится устойчивым, то есть среднеарифметическое значение наблюдений случайной величины приближается к её математическому ожиданию.

Этот факт из опытов носит название закона больших чисел и доказывается с помощью неравенства Чебышева.

Неравенство Чебышева: для любой случайной величины, имеющей конечное математическое ожидание и дисперсию, выполняется неравенство

(3.18)

Здесь >0. Оценим с помощью формулы (3.18) вероятность, что случайная величина (не обязательно нормально распределённая) отклонится от своего математического ожидания не меньше чем на , где Имеем

(З.19)

Если случайная величина распределена нормально, то соответствующая вероятность, рассчитанная по формуле (3.18) (предварительно эту формулу следует преобразовать для случая симметричного интервала), равна:

(3.20)

Мы получили «правило трёх сигм». Часто при вычислениях, не требующих большой точности, выбирают уровень значимости



ГЛАВА 4. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

По теории вероятностей

совершаются неприятности.

Николай Гладков

4.1 Принятие решений

Принятие решений - довольно длительный процесс. Этот процесс можно разделить на три этапа: сбор и обработка информации, нахождение альтернативных решений, выбор оптимального решения.

Пусть в результате независимых испытаний получили информацию: значения нашей случайной величины равны Этот набор называется выборкой из генеральной совокупности с функцией распределения которую мы пока не знаем (а хотели бы знать). Запишем полученную выборку по возрастанию : Такая запись выборки называется вариационным рядом.

Разделим отрезок на равных частей длины Теперь можно построить эмпирическую функцию распределения

(4.1)

В математике доказывается, что при увеличении числа независимых испытаний функция распределения стремится к теоретической функции распределения График представлен на рис.8.



Выбор определяется набором полученных данных часто с помощью эмпирической формулы Далее строится таблица (таблица 4.1) - сгруппированный статистический ряд.

Таблица 4.1

	1	2	3	…
			…	…
			…	…
			….	…
			…	…
			…	…
			…	…

Здесь записаны следующие величины: номер интервала границы интервала , ширина интервала , середина интервала число попаданий случайной величины в ый интервал, частота плотность относительных частот где шаг вариации.

Процедуру дальнейшей обработки выборки рассмотрим на примере.

Задача. Пусть одномерная выборка задана сгруппированным статистическим рядом. Все данные приведены в таблице 4.2.

Таблица 4.2

	11	18	30	21	15	5

Требуется:

1. построить гистограмму плотностей относительных частот;

2. вычислить среднее выборочное значение и среднее выборочное квадратичное отклонение.

Решение. Объём выборки шаг вариации (проверьте самостоятельно).

1. Считаем Составляем таблицу 4.3.

Таблица 4.3

	1	2	3	4	5	6
	0,14	0,23	0,38	0,26	0,19	0,06

Строим гистограмму плотностей относительных частот:

2. Вычисление среднего выборочного значения проводим по формуле:

(4.2)

Вычисление выборочной дисперсии удобно проводить по формуле:

(4.3)

Для нашего случая имеем:

(4.4)

Отсюда получаем среднее квадратичное отклонение:

При увеличении числа наблюдений эти характеристики будут сходиться к соответствующим истинным значениям.

Однако зачастую провести дополнительные исследования бывает затруднительно. Встаёт вопрос, можно ли при конечном принимать полученные выборочные характеристики в качестве оценок истинных значений и какова при этом точность приближений? Рассмотрим этот вопрос.

4.2 Интервальные оценки

По методу интервальных оценок в результате анализа выборки указывается не конкретная величина искомого параметра, а лишь интервал, который содержит истинную величину с вероятностью заданную заранее. Обычно вероятность выбирается близкой к единице: В результате мы должны получить:

. (4.5)

Законы распределения границ интервала зависят от законов распределения выбранных значений случайной величины поэтому сами являются случайными величинами. Согласно центральной предельной теореме, распределение выборочных характеристик близко к нормальному распределению. Для оценки математического ожидания полагают Тогда доверительную вероятность выражают через функцию Лапласа.

При известном среднеквадратичном отклонении получаем доверительный интервал

. (4.6)

Задача. Получим доверительный интервал для данных предыдущего примера. Мы получили: Будем считать, что поскольку при погрешность не велика. Пусть . Найдём величину которую называют точностью оценки. Значение аргумента функции Лапласа -, при котором находим из таблицы. Тогда отсюда Окончательно, точность оценки то есть и истинное значение измеряемой величины лежит в интервале .

Отметим следующую закономерность. Из формулы (4.6) видно, что увеличение числа n измерений уменьшает доверительный интервал, то есть повышает точность оценки.

В случае малого числа измерений () переходим к случайной величине, имеющей распределение Стьюдента.

Поскольку ранее мы о нём не упоминали, скажем несколько слов об этом распределении. Его автор, английский математик Госсет взял себе псевдоним Стьюдент, поскольку считал, что всю жизнь должен учиться (советуем следовать его примеру). Распределение Стьюдента по сути представляет собой распределение суммы случайных величин. Чем больше величин, тем больше вероятность, что их сумма будет иметь нормальное распределение. Мы будем использовать это распределение для интервальных оценок. Подробнее о распределении Стьюдента можно узнать в [2]. Техника нахождения доверительного интервала остаётся прежней, но точность оценки вычисляется по формуле:

где находится из таблицы распределения Стьюдента (число измерений).

Если (в продолжение предыдущего примера) число измерений при прежнем у, то по таблице .Тогда Доверительный интервал увеличился

Используя соотношения для доверительных интервалов можно определить число измерений, которые надо провести для достижения необходимой точности параметра



4.3 Статистическая проверка гипотез

Будем называть всякое предположение о законе распределения случайной величины статистической гипотезой.

Пусть о природе некоторого явления имеется две гипотезы. Это могут быть предположения об отсутствии брака в партии изделий, о виде закона распределения, о надёжности конструкции и т.п. Одну из гипотез называют нулевой противоположную ей - альтернативной

Статистическим критерием называется случайная величина с помощью которой выносится решение о принятии нулевой или альтернативной гипотезы. Если гипотеза отклоняется, когда она верна, мы совершаем ошибку первого рода, если принимается, когда она ошибочна, - ошибку второго рода. Вероятность ошибки первого рода называется уровнем значимости.

Проверка гипотезы о виде функции распределения проводится с помощью непараметрических критериев значимости. Наиболее распространённым является критерий согласия Пирсона.

Задача. Провести проверку соответствия эмпирического распределения задачи из п.4.2 закону нормального распределения.

В качестве статистического критерия здесь выступает случайная величина

(4.7)

Здесь число разрядов. Нам потребуется число «степеней свободы» . Здесь

Далее выполним вычисления, которые занесём в таблицу. При этом вычисляем по формуле:

Здесь функция ц(x)- плотность нормального распределения, значения которой берём из справочника, например [6]. Разумеется, если мы будем проверять гипотезу соответствия другому распределению, то мы должны взять другую плотность распределения.

Итак, количество разрядов к=6, m_i - количество точек, попавших в i интервал, -середина интервала.

Таблица 4.4:

1	2,7	-0,68	7,25	11	1,94
2	3,5	-0,94	19,08	18	0,06
3	4,3	-0,19	29,02	30	0,03
4	5,1	0,55	25,45	21	0,78
5	5,9	1,29	12,91	15	0,34
6	6,7	2,03	3,78	5	0,39

Теперь находим значение величины, просуммировав последний столбец таблицы:

Число степеней свободы равно:

Зададим уровень значимости . По таблице находим критическое значение Так как , то есть , то принимается гипотеза о нормальном распределении изучаемой случайной величины.



4.4 Статистический анализ двумерной величины

Совокупность двух случайных величин , рассматриваемых совместно, называется системой двух случайных величин. Наглядным примером может служить стрельба по мишени, на которую нанесены декартовы координаты. Тогда координаты точки попадания пули есть выборка двумерной случайной величины.

Попробуйте сами привести несколько наглядных примеров.

Обработка результатов опытов также начинается с группировки по обеим переменным, затем составляется корреляционная таблица.

Корреляционная таблица 4.5:

	интервал у				…
интервал х					…
					…
					…
…	…	…	…	…	…	…
					…

Здесь середины интервалов, число попаданий точек в соответствующие прямоугольники. Тогда оценка среднего. При этом

(4.8)

По корреляционной таблице вычисляем:



,

и находим оценки числовых характеристик:

математического ожидания

(4.9)

и выборочной дисперсии

(4.10)

Для оценки степени линейной связи между величинами и вводится коэффициент корреляции:

(4.11)

Здесь среднее статистическое произведение, которое находится по формуле:

. (4.12)

В литературе величину иногда называют ковариацией.

Коэффициент корреляции (4.11) характеризует не всякую зависимость, а только линейную зависимость, и изменяется в интервале:

Если коэффициент корреляции отрицателен, то это означает, что при увеличении одной случайной величины другая имеет тенденцию уменьшаться. Если то при увеличении одной случайной величины, другая также возрастает. Если то случайные величины называются некоррелированными. Это не означает, что случайные величины независимы. Например, если значения случайных величин имеют тенденцию попадать около кривой (нет линейной связи, но есть ), то коэффициент корреляции близок к нулю. Принято считать, что если , то корреляция считается слабой; если , то корреляция средняя; если , то корреляция считается сильной. При наличии корреляционной связи проводится регрессионный анализ, то есть выясняется вид связи между факторами выборки и величиной в виде уравнения регрессии:

...