Методы принятия оптимальных управленческих решений

(4.13)

В случае парной корреляции уравнение часто (4.13) выбирают в виде:

здесь a, b, a_o, a_{1 ,} , a₂

или

- коэффициенты

или (4.14)

.

Для определения коэффициентов применяется метод наименьших квадратов (м. н. к.). Рассмотрим его действие на примере простейшей зависимости Отметим при этом, что выбор любой зависимости из (4.14) не означает, что мы узнаем истинную физическую зависимость изучаемых факторов. Мы выбираем математическую модель процесса и не более того.

В м. н. к. коэффициенты выбираются так, чтобы обеспечить наименьшее значение суммы квадратов отклонений теоретических значений уравнения регрессии и её экспериментальных значений, выбранных из корреляционной таблицы, то есть требуется выполнение условия:

.

Вспомним, что для определения минимума функции необходимо найти её частные производные и приравнять их нулю:

(4.15)

Получаем систему линейных уравнений для нахождения коэффициентов и :

(4.16)

Поделим уравнения на и используем обозначения (4.8) - (4.12), в результате получаем следующую систему уравнений:

(4.17)

Из (4.16) находим выражения для коэффициентов:

(4.18)

Задача. Двумерная выборка задана корреляционной таблицей

	5,3	7,4	9,5	11,6	13,7
2,7	6	5
3.,5		4	7	7
4,3		9	12	9
5,1			15	6
5,9			2	7	6
6,7				3	2

Здесь в каждом прямоугольнике указано количество точек, которые в него попали.

Построим уравнения прямой линии регрессии

Находим сначала величину Подсчитаем объём выборки:

Получаем

Заметим, что вычисления, проведённые нами даже для простого примера, довольно громоздки. Поэтому удобнее их производить, используя, например, программный пакет

Далее, просуммировав в таблице данные по строкам, получим вариационный ряд x_i для одномерной выборки

2,7	3,5	4,3	5,1	5,9	6,7
11	18	30	21	15	5

Соответственно, просуммировав в корреляционной таблице по столбцам, получим ряд y_j для выборки

5,3	7,4	9,5	11,6	13,7
6	18	36	32	8

Теперь можно найти величину

Аналогично действуя, находим величину

Выборочные дисперсии уи у_y равны у_x=1,08; у_y=2,13 Тогда выборочный коэффициент корреляции равен:

Отсюда по формулам (4.18) находим коэффициенты и



Значит, прямая наилучшим образом описывает зависимость



ГЛАВА 5. ЗАДАЧИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТИ

Дарёному коню гляди в зубы - а вдруг он

троянский?

Л. Керрол

5.1 Основные понятия

К сожалению, принимать решение менеджеру, финансисту, инженеру-исследователю часто приходится в условиях неопределённости, когда нет никаких данных о том, какие значения параметров более, а какие менее вероятны. Для обоснования принятия решений в таких случаях используется математическая теория игр. Следует сразу отметить, что оптимальное решение эти методы помогают найти в простых ситуациях. В более сложных случаях они позволяют глубже разобраться в постановке задачи, дают информацию, позволяющую принять продуманное решение.

В теории игр рассматриваются ситуации, когда имеются участники выполнения операции, каждый из которых преследует противоположные цели (мы будем рассматривать игру из двух участников, или парную игру, хотя существуют теории множественных игр).

Развитием игры во времени является последовательность «ходов», которые игрок выбирает из возможных вариантов действия (например, ход в шахматах). Мы не будем рассматривать ходы, осуществляемые каким-то механизмом случайного выбора (бросание монеты, вынимание карты из колоды).

Возможные варианты (исходы) игры можно свести в прямоугольную таблицу, называемую платёжной матрицей. Пусть в игре участвуют игроки А и В. Тогда строки платёжной матрицы соответствуют стратегиям игрока А, столбцы - игрока В.

			…
. . .	. . .	. . .	… . . . …	. . .

В каждой строке будет своё минимальное значение . Предпочтительней для игрока А будет та стратегия, при которой обращается в максимум, то есть или Величина называется максимином. При любом поведении игрока В игроку А гарантирован выигрыш не меньше . Поэтому называют нижней ценой игры.

Аналогичными рассуждениями относительно игрока можно показать, что для него существует величина, или минимакс, которую называют верхней ценой игры. Если игрок В будет придерживаться этой стратегии, он проиграет не больше в.

Особое место занимают игры, для которых Величина называется чистой ценой игры, или седловой точкой.

Задача. Игра задана платёжной матрицей 3*

					Минимумы строк
	1,45	2,12	0,75	4,01	0,75
	3,52	1,87	0,18	12,70	0,18
	6,08	4,43	11,00	6,01	4,43
Максимумы столбцов	6,08	4,43	11,00	12,70

1) Найдём нижнюю цену игры то есть максимальный выигрыш, который гарантирует игрок А против разумного игрока В.

Смотрим на правый столбец и находим

2) Определим верхнюю цену игры.

Смотрим на нижнюю строку и находим

Заметим, что Это - седловая точка. Итак, для игрока А оптимальная стратегия - для игрока оптимальная стратегия -

Рассмотрим пример, в котором в частности покажем, как строится платёжная матрица.

Рассматривается проект нестандартного здания. Предлагается обсудить три варианта осуществления проекта, обозначим их П₁, П_{2 ,} П_3. Каждый вариант может быть реализован одним из трёх технологических процессов Т_1, Т_2,,Т_3. Пусть для простоты предлагаются проекты, отличающиеся внешним видом.

Если будет реализован проект П₁ с помощью технологии Т_1, то внешний вид здания окажется наилучшим, но при этом самым дорогим и оценивается экспертами- архитекторами в 9 баллов. Но существует другая противоборствующая группа экспертов, назовём их экономистами, сторонники проекта с наименьшими затратами. После горячих дебатов архитекторы создают матрицу игры для конструктивного и технологического варианта.

Проекты	Технологич. проц. Т1	Технологич. проц. Т2	Технологич. проц. Т3
П1	9	6	5
П2	8	7	7
П3	7	5	8

Находим нижнюю цену и верхнюю цену игры ( см. предыдущий пример) и получаем, что стратегия П₂Т₂ с выигрышем 7 наиболее выгодна с обеих сторон т.к. максимальный выигрыш П совпадает с минимальным проигрышем Т. ( Проделать самостоятельно).

К сожалению, не все игры имеют седловую точку. Покажем, как можно решить задачу без седловой точки с матрицей

Пусть имеется платёжная матрица (5.1). Требуется найти оптимальную стратегию

где r_i - доля выигрыша на i шаге дающую стороне А максимально возможный средний выигрыш и минимальный проигрыш. При этом средний выигрыш, то есть цена игры, и все коэффициенты Найдём

Если игрок А применит свою оптимальную стратегию, то выигрыш его будет не меньше, чем Тогда

(5.2)

Разделим неравенства на введём обозначения К тому же имеем: то есть Условия (5.2) примут тогда следующий вид:

(5.3)

Но это гарантированный выигрыш игрока А, который он хочет сделать больше, а значит, меньше. И мы, таким образом, приходим к задаче: найти неотрицательные значения переменных такие, чтобы функция стремилась к минимуму:



Мы пришли к уже знакомой нам задаче главы I линейного программирования.

Задача. Дана платёжная матрица Требуется найти максимум функции , решив систему неравенств:

Решив эту задачу линейного программирования (предполагается, что это вы сделаете самостоятельно), получим:

5.2 Элементы теории массового обслуживания

Многие экономические ситуации приводят к рассмотрению многоразового использования однотипных задач. Например, в течение ограниченного времени необходимо обслужить клиентов сферы обслуживания, покупателей магазинов, принять заявки на ремонт, организовать работу билетных касс и т.п. Эти системы называют системами массового обслуживания (СМО). Обслуживаемые объекты называют каналами, заказы на обслуживание - заявками.

Если при поступлении заявки все имеющиеся производства оказываются занятыми, начинает образовываться очередь. Теория СМО ставит своей задачей организовать процесс таким образом, чтобы длина очереди была минимальной, а время прохождения заявки - оптимальным. Основным показателем СМО является среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени, которое есть математическое ожидание соответствующей случайной величины.

Если СМО состоит из последовательности однородных событий, следующих одно за другим в случайные моменты времени, то она называется марковским потоком событий.

Основная характеристика такого потока - интенсивность , то есть частота появления событий или среднее число событий в единицу времени.

Поток называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени, и потоком без последствия, если для любых двух непересекающихся отрезков времени число событий, попавших на один из них, не зависит от числа событий, попавших на другой отрезок. Наконец, поток называется ординарным, если вероятность попадания на малый участок времени двух и более событий близка к нулю. Такой поток событий называется простейшим или пуассоновским.

Доказано, что для простейшего потока число событий, попадающих на произвольный участок времени , распределено по закону Пуассона:

(5.4)

Математическое ожидание случайной величины для пуассоновского распределения равно её дисперсии:

Отсюда, вероятность, что за время не появится ни одного из последующих событий,

(5.5)

Соответственно, вероятность противоположного события случайной величины , то есть функция распределения случайной величины , есть

(5.6)

Плотность распределения есть производная от функции :

(5.7)

Мы получили показательное распределение, для которого математическое ожидание равно среднему квадратичному отклонению, и таким образом, равно

Рассмотрим пример: Пусть производственная система состоит из двух устройств, каждое из которых производит одну и ту же продукцию.

Рассматриваемая система имеет четыре состояния:

оба устройства работают;

первое устройство ремонтируется, второе работает;

второе ремонтируется, первое работает;

оба устройства ремонтируются.

Схематически состояние такой системы показано на рис. 12.

Пусть интенсивность потока отказов первого устройства, интенсивность потока отказов второго устройства, интенсивность потока окончаний ремонтов первого и второго устройства соответственно. Переходы из состояния в состояния и должны быть сбалансированы приходами в состояние из состояний и , так как рассматривается стационарный режим. Если вероятность нахождения системы в состоянии , вероятность нахождения системы в состоянии , вероятность нахождения системы в состоянии , ….., то

(5.8)

Рассматривая баланс уходов и приходов для каждого из четырёх состояний, получаем систему уравнений относительно вероятностей

(5.9)

Это есть уравнения Колмогорова для системы (см. рис. 12). Рассуждая аналогичным образом, можно составить уравнения Колмогорова для других систем. Применим эти рассуждения к конкретной задаче.

Задача. Пусть второе устройство в системе имеет производительность вдвое больше, чем первое устройство, то есть первое устройство приносит в единицу времени доход 5 у.е., второе 10 у.е., но отказы второго устройства происходят вдвое чаще, чем у первого устройства, поэтому интенсивности отказов , интенсивности ремонтов . Тогда уравнения Колмогорова имеют вид:



Решив эту систему (легко и непринуждённо), получаем:

Это означает, что 40% времени оба устройства работают (состояние ), 20% времени работает только первое устройство, 27% времени работает только второе устройство, 13% времени оба устройства ремонтируются. Доход, который даёт система в единицу времени, составляет

у.е.

Предположим, что имеется возможность сократить вдвое время ремонта, но только одного из устройств (нашлись небольшие средства). Какое устройство следует выбрать для усовершенствования?

Выберем первое устройство. Теперь , остальные интенсивности остались прежними. Теперь уравнения Колмогорова имеют вид:

Решив систему, получаем: , соответственно доход составляет



у.е.

Если выбрать второе устройство, то удвоится интенсивность . При этом . Составив систему уравнений Колмогорова (сделайте это самостоятельно) и решив её, получим , что даёт доход

у.е.

Таким образом, выгодно усовершенствовать первое устройство.

В заключение приведём основные формулы для расчёта характеристик СМО с отказами.

Задача. Пусть на мойке автомашин работают N боксов (каналов обслуживания). На мойку подъезжают автомобили в среднем через Т минут. Среднее время обслуживания Т_об Если все боксы заняты, машины покидают мойку (едут на другую мойку).

Выбираем многоканальную СМО с отказами. Тогда:

интенсивность входящего потока л = 1/Т_вх ;

интенсивность обслуживания одним каналом м = 1/ Т_об ;

приведённая интенсивность потока заявок с = л / м .

Рассчитать показатели СМО по следующим формулам.

Вероятности состояний:

p_{0 = ( 1 +} с¹ /1! + с² / 2! + ……+ сⁿ/n! )^-1

p₁ =p₀ с¹ / 1!

……………..

p_{n =} p₀ сⁿ /n 1!

Вероятность отказа (все боксы заняты) P _отк = p_{n /}

Относительная пропускная способность системы (вероятность, что машина будет обслужена) равна q = 1 - p_n .

Проведенные расчёты позволяют оценить экономическую эффективность данной мойки.

При q ? 0,6 рекомендуется увеличить количество каналов обслуживания (боксов).



ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Когда не знаешь, что ты именно

делаешь, делай это тщательно.

Правило для студентов и лаборантов.

Правила выполнения индивидуального задания.

1) Каждый студент выполняет свои задачи согласно списку в журнале. Решённые задачи , выполненные на листочках, сдаются преподавателю.

2) Если задачи решены правильно, (что маловероятно) они не возвращаются (зачтены).

3) Возвращённые задачи необходимо переделывать, поэтому не задерживайтесь.

ЗАДАЧА 1. Решить задачи линейного программирования графическим методом. Найти: а) минимум целевой функции F(x_1,х₂)= ax₁+x₂ , если система ограничений имеет вид:

x₁+(b-3)x₂ ? b

(c-4)x₁+x₂ ? c

3x₁ +2x₂ ? 11 x₁ ?0; x₂ ?0

Значения параметров а , b, c взять из таблицы 1.

б) максимум целевой функции F(x_1,х₂)= ах₁+2х₂, если система ограничений имеет вид:

х₁ +(b - 1)x₂? 4b-3

(2c-1)x₁ +x₂ ? 6c- 2

3x₁+2x₂ ? 11

x₁ ?0 ; x₂ ?0

Значения параметров а , b, c взять из таблицы 2.

Таблица 1 Таблица 2

№	а	b	c		№	a	b	c
1	1	5	9		1	3	4	2
2	5/4	4	6		2	2	4	3
3	1/2	7	8		3	4	2	3
4	7/4	8	7		4	7	4	4
5	7/2	6	9		5	5/2	2	3
6	2/3	5	8		6	3	2	4
7	5/2	5	6		7	2	4	5
8	1	7/2	7		8	2	6	4
9	5/3	5	8		9	4	4	5
10	3/2	4	7		10	5/3	6	7
11	2	4	5		11	7/2	4	8
12	2	6	7		12	3	5	4
13	4	4	8		13	6	5	6
14	5/3	6	7		14	5	4	5
15	7/2	4	5		15	4	2	3
16	3	5	5		16	7	2	2
17	6	5	7		17	8	4	4
18	8/3	4	5		18	6	2	2
19	5/4	5	6		19	5	3	4
20	2/3	7	5		20	7	3	6
21	5	8	7		21	9	4	4
22	7	4	5		22	8	2	6
23	4	6	7		23	6	4	4
24	5	5	6		24	7	7	5

ЗАДАЧА 2. Пусть W-множество студентов. Из них А₁ студентов занимаются лыжным спортом, А₂ студентов гимнастикой, А₃ -футболом. Описать множества и построить диаграмму Венна.



1	А1 А2 А3		9	А1 А2 + А3		17	(А1 +А2)А3
2	А1 +А2 А3		10	А2 -А3		18	А1 А2А3
3	А1 А3 - А2		11	А1 А2 + А3		19	А1(А2 - А3)
4	A1 + ( A2 - A3 )		12	(А1 + А2) А3		20	А1(А2 -А3)
5	А1 - А2 +А3		13	А1 - А2 А3		21	А1А2 - А3
6	А1 А3 + А2		14	(А1 - А2) А3		22	А1А2 - А3
	А1 + А2 +А3		15	А1- А2 - А3		23	А1А2 - А3
8	А1+ А2 +А3		16	А1 (А2 - А3)		24	А1+А2 - А3

ЗАДАЧА 3. Два завода производят одинаковые изделия. Вероятность брака изделий первого завода р₁ , второго р₂ . В магазине, где продаются эти изделия, осталось m₁ изделий первого завода, m₂ изделий второго завода. Покупатель приобрел два изделия. Найти вероятность качества купленных изделий.

№	р1	р2	m1	m2	Качество купленных изделий
1	0,2	0,3	6	4	одно дефектное, одно доброкачественное
2	0,1	0,4	3	5	оба дефектные
3	0,3	0,1	8	2	оба доброкачественные
4	0,2	0,4	7	3	оба дефектные
5	0,5	0,1	3	7	оба доброкачественные
6	0,1	0,2	5	5	одно дефектное, одно доброкачественное
7	0,4	0,1	2	8	оба дефектные
8	0,2	0,3	1	7	оба доброкачественные
9	0,3	0,4	4	5	оба дефектные
10	0,2	0,1	7	2	одно дефектное, одно доброкачественное
11	0,4	0,4	6	5	оба доброкачественные
12	0,2	0,4	4	3	оба дефектные
13	0,3	0,2	2	9	оба доброкачественные
14	0,4	0,3	3	5	одно дефектное, одно доброкачественное
15	0,2	0,3	7	2	оба доброкачественные
16	0,3	0,1	6	3	одно дефектное, одно доброкачественное
17	0,2	0,3	4	5	оба дефектные
18	0,4	0,2	2	7	оба доброкачественные
19	0,1	0,5	6	1	одно дефектное, одно доброкачественное
20	0,2	0,5	4	5	оба дефектные
21	0,5	0,3	6	1	оба доброкачественные
22	0,3	0,4	3	6	одно дефектное, одно доброкачественное
23	0,4	0,2	4	4	оба доброкачественные
24	0,3	0,2	3	6	оба дефектные

ЗАДАЧА 4. Вероятность успеха в каждом из независимых испытаний равна р. Вычислить вероятность того, что а) в 10 испытаниях будет ровно к успехов; б) не менее к₁ успехов; в) не более к₂ успехов.

№	k	k1	k2	р	№	k	k1	k2	р	№	k	k1	k2	р
1	4	2	8	0,7	9	3	4	6	0,4	17	3	6	4	0,1
2	6	4	6	0,4	10	6	7	3	0,4	18	5	2	8	0,7
3	3	3	7	0,3	11	5	3	5	0,7	19	4	4	6	0,5
4	2	6	4	0,5	12	7	6	4	0,3	20	2	1	9	0,4
5	5	4	6	0,2	13	4	3	7	0,7	21	7	4	6	0,6
6	3	5	5	0,1	14	8	8	2	0,1	22	3	8	2	0,2
7	4	4	6	0,7	15	9	6	4	0,6	23	6	3	7	0,3
8	2	2	8	0,6	16	2	7	3	0,5	24	8	2	8	0,8

ЗАДАЧА 5. Решить задачу 4 при условии, что произведено 50 испытаний. Использовать интегральную теорему Лапласа.

ЗАДАЧА 6. Случайная величина о имеет нормальное распределение с математическим ожиданием а и квадратичным отклонением у. Вычислить а) Р (б₁? о< в₁ ); б) Р (б₂ ?о ); в) Р (о < в ₂ )

№	а	у	б 1	в 1	б 2	в 2
1	6	0,4	5,3	6,3	6,2	6,9
2	8	0,5	7,3	8,4	8,1	8,3
3	7	0,5	6,3	7,6	6,1	6,9
4	10	0,6	9,1	10,8	10,4	11,3
5	9	0,6	8,2	10,5	7,5	8,8
6	11	0,6	10,3	11,9	9,8	10,9
7	13	0,6	12,5	14,3	13,2	14,2
8	12	0,6	11,2	12,4	12,3	13,1
9	13	0,6	12,5	14,3	13,2	14,2
10	14	0,8	14,2	15,4	13,1	15,1
11	15	0,8	14,0	16,9	15,5	16,8
12	16	0,8	16,1	18,6	15,6	16,9
13	17	0,8	18,9	19,9	16,8	17,4
14	19	0,8	19,2	20,8	17,2	20,9
15	20	0,8	19,1	22,1	20,5	21,2
16	21	0,8	19,5	22,1	18,5	19,4
17	22	0,9	21,2	23,5	22,2	23,8
18	23	0,8	23,5	24,9	22,0	25,1
19	24	1,0	22,6	25,4	24,2	26,1
20	25	1,4	25,3	26,9	24,4	27,4
21	26	1,5	24,8	29,3	26,6	27,2
22	27	1,5	24,9	28,8	28,8	29,0
23	28	2,0	28,8	30,5	26,5	29,4
24	24	0,9	21,6	32	20	28

ЗАДАЧА 7. Результаты измерения роста студентов (100чел) представлены в таблице:

Рост, см	152-156	156-160	160-164	164-168	168-172	172-176	176-180	№ варианта
Число студ.	6	11	22	28	20	10	3	1
	5	15	27	21	18	9	5	2
	4	12	24	30	16	8	6	3
	3	14	25	26	20	11	1	4
	6	13	23	29	17	7	5	5
	2	14	26	31	14	8	5	6
	4	16	28	22	15	10	5	7
	3	14	28	22	17	10	6	8
	7	11	24	30	16	9	3	9
	8	13	22	21	18	11	7	10
	5	16	27	30	15	4	3	11
	5	9	18	22	26	15	5	12
	6	8	16	29	25	12	4	13
	7	11	20	19	22	13	8	14
	1	13	18	22	26	15	5	15
	4	12	25	28	17	8	6	16
	5	8	14	30	27	14	2	17
	3	10	21	27	22	12	7	18
	3	9	16	30	23	11	8	19
	8	12	23	19	20	14	3	20
	2	10	20	26	25	14	3	21
	7	12	21	28	21	10	5	22
	4	12	25	29	16	8	6	23
	2	14	28	29	14	8	5	24
	5	8	16	29	24	12	6	25

Найти: а) выборочную среднюю, б) выборочную дисперсию, в) построить гистограмму относительных частот.

Подсказка. При выполнении пунктов а) и б) найти середины интервалов и принять их в качестве x_i .

Задача 8. Провести проверку гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности по данным задачи 6 на уровне значимости 0,95.

Задача 9. Оценить относительную пропускную способность системы (мойки автомашин), если число боксов равно N , средний интервал прибытия автомашин равно T мин, среднее время обслуживания равно T_об. мин.



№ варианта	N	T	Tоб		№ варианта	N	T	Tоб
1	3	5	12		13	5	6	14
2	4	7	15		14	4	7	12
3	5	4	13		15	3	5	15
4	4	5	17		16	6	4	13
5	7	6	15		17	8	3	12
6	5	5	16		18	7	5	13
7	8	7	18		19	4	3	15
8	5	3	14		20	5	4	14
9	7	6	16		21	8	7	17
10	3	8	15		22	6	6	16
11	6	4	14		23	7	5	14
12	3	4	13		24	5	8	17



ЛИТЕРАТУРА ОСНОВНАЯ:

1. Клюшин В.Л., Высшая математика для экономистов. - М.: ИНФРА-М, 2006.

2. Гмурман В.Е., Теория вероятностей и математическая статистика. - М: Высшая школа, 2003.

3. Вентцель Е.С., Исследование операций. - М.- Высшая школа, 2001.

4. Афанасьев М.Ю., Суворов Б.П., Исследование операций в экономике: модели, задачи, решения. - М.: ИНФРА - М., 2003.

5. Косоруков О. А., Мищенко А.В., Исследование операций. - М.: ЭКЗАМЕН, 2003.

6. Гмурман В. Е., Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М: Высшая школа, 2003.

ЛИТЕРАТУРА ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ:

1. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.

2. Хэмдиа Таха. Введение в исследование операций. Издательский дом «Вильямс» Москва - Санкт- Петербург, 2001.

3. Дж. Хили. Статистика. Социологические и маркетинговые исследования.-М.: Издательство DiaSoft- 2003.

4. Долгушин В. Д. Экономико-математические методы и модели. - М.: РУДН, 2015.

Размещено на Allbest.ru

...