Применение системно-когнитивного анализа и системы "Эйдос" для синтеза когнитивной матричной передаточной функции сложного объекта управления на основе эмпирических данных

Размещено на http://www.allbest.ru/

Кубанский государственный аграрный университет, Россия, 350044, Краснодар, Калинина, 13

Применение системно-когнитивного анализа и системы "Эйдос" для синтеза когнитивной матричной передаточной функции сложного объекта управления на основе эмпирических данных

Луценко Евгений Вениаминович

prof.lutsenko@gmail.com

Коржаков Валерий Евгеньевич

korve@yandex.ru

Аннотация

В статье рассмотрена глубокая взаимосвязь между теорией автоматизированного и автоматического управления и системно-когнитивным анализом и его программным инструментарием - системой «Эйдос» в их применении для интеллектуального управления сложными системами. Предлагается технология, позволяющая на практике реализовать интеллектуальное автоматизированное и даже автоматическое управление такими объектами управления, для которых ранее управление реализовалось лишь на слабоформализованном уровне, как правило, без применения математических моделей и компьютеров. К таким объектам управления относятся, например, технические системы, штатно качественно-изменяющиеся в процессе управления, биологические и экологические системы, социально-экономические и психологические системы

Ключевые слова: автоматизированный системно-когнитивный анализ, интеллектуальная система «эйдос», интеллектуальное управление, матричная передаточная функция, коэффициент передачи, нелинейные системы

Summary

Application of sc-analysis and the "eidos" system for the synthesis of cognitive matrix of the transfer function of a complex object management on the basis of empirical data

Lutsenko Evgeny Veniaminovich Dr.Sci.Econ., Cand.Tech.Sci., professor

Kuban State Agrarian University, Krasnodar, Russia

Korzhakov Valery Evgenievich Cand.Tech.Sci., assistant professor

Adygh State University, Adygheya, Russia

In this article, the deep relationship between the theory of automated control and system-cognitive analysis and its software tools - system of "Eidos" in their application to the intelligent control of complex systems is reviewed. Offered technology allows implementing in practice the intelligent automated and even automatic control of the objects of management, for which earlier management is realized only on weak formalized level, as a rule, without the use of mathematical models and computers. Such control objects include, for example, technical systems, the full quality-changing in the process of management, biological and ecological systems, socio-economic and psychological systems

Keywords: computerized system-cognitive analysis, intellectual system "eidos", intelligent control, transfer function matrix, transfer rate, nonlinear systems

Управление - это достижение цели путем принятия и реализации решений об определенных действиях, способствующих достижению этой цели. Цели управления обычно заключаются в том, чтобы определенная система, которая называется объектом управления, находилась в определенном целевом (желаемом) состоянии или эволюционировала по определенному заранее известному или неизвестному сценарию. Действия, способствующие достижению цели, называются управляющими воздействиями. Решения об управляющих воздействиях принимаются управляющей системой. Управляющее воздействие вырабатывается управляющей системой на основе модели объекта управления и информации обратной связи о его состоянии и условиях окружающей среды (рисунок 1):

Рисунок 1 Цикл управления в замкнутых автоматизированных и автоматических системах управления (АСУ и САУ)

Автоматизированные и автоматические системы управления отличаются друг от друга степенью формализации и степенью автоматизации процесса выработки решения об управляющем воздействии:

- считается, что в системах автоматического управления (САУ) процесс выработки управляющего воздействия полностью автоматизирован, т.е. оно принимается управляющей системой автоматически, без участия человека [7];

- в автоматизированных системах управления (АСУ) решение об управляющем воздействии принимается управляющей системой с участием человека в процессе их взаимодействия [6].

Однако, по мнению авторов, методологически неверно представлять себе дело таким образом, как будто САУ принимают решение полностью самостоятельно, без какого-либо участия человека. Гораздо правильнее было бы сказать, что в случае САУ решение принимаемся человеком, который сконструировал и создал эти САУ и «заложил» в них определенные математические модели и реализующие их алгоритмы принятия решений, которые в процессе работы САУ просто используются на практике. Разве это не является участием человека? Следовательно, точнее было бы говорить не об участии или неучастии человека в принятии управляющих решений, а об его участии в реальном времени в случае АСУ и отсроченном участии в случае САУ.

Естественно, далеко не для всех видов объектов управления удается построить их достаточно полную адекватную математическую модель, являющуюся основой для принятия управляющих решений. В более-менее полной мере это удается сделать лишь для достаточно простых, в основном чисто технических систем, и именно для них удается построить САУ. Для технологических же систем, а также других систем, включающих не только техническую компоненту, но людей в качестве элементов, это удается сделать лишь в неполной мере, т.е. степень формализации управления такими системами ниже, чем в САУ. В этом случае в процессе выработки решения об управляющем воздействии остаются вообще неформализованные или слабо формализованные этапы, которые пока не поддаются автоматизации, и, поэтому, решения об управляющем воздействии не удается принять на полностью формализованном уровне и тем самым полностью передать эту функцию системе управления. Этим и обусловлена необходимость включения человека непосредственно в цикл управления, что и приводит к созданию АСУ, в которых математические модели и алгоритмы используются не для принятия решений, а для создания человеку комфортных информационных условий, в которых он мог бы принимать решения на основе своего опыта и профессиональной компетенции. Поэтому и говорят, что АСУ не принимают решений, а лишь поддерживают принятие решений. Еще сложнее поддаются математическому моделированию и формализации биологические и экологические, а также социально-экономические и психологические системы, включающие отдельных людей и их коллективы, т.е. сложные системы. Поэтому сложные системы обычно являются слабо формализованными и на этой их особенности практически основано их определение. Конечно, управление такими системами тоже осуществляется, но уже практически без использования математических моделей и компьютерных технологий, т.е. преимущественно на слабо формализованном интуитивном уровне на основе опыта и профессиональной компетенции экспертов и лиц, принимающих решения (ЛПР). При этом в соответствии с принципом Эшби управляемость сложных систем является неполной [2].

Таким образом, виды управления различными объектами управления можно классифицировать по степени формализации процесса принятия решений об управляющих воздействиях и, соответственно, по степени участия человека в этом процессе:

- САУ: автоматическое принятие решения без непосредственного участия человека в реальном времени;

- АСУ: поддержка принятия решений, т.е. создание комфортных информационных условий для принятия решений человеком в реальном времени;

- менеджмент: управление на слабо формализованном уровне практически без применения математических моделей [3].

Перспектива развития методов управления сложными системами, по мнению авторов, состоит в повышении степени формализации процессов принятия решений при выборе вариантов управляющих воздействий. Однако на пути реализации этой перспективы необходимо решить проблему разработки технологии, обеспечивающей создание формальной количественной модели сложного объекта управления на основе эмпирических данных о его поведении под действием различных факторов, модели, пригодной для решения задач прогнозирования и принятия решений.

В стационарных САУ и АСУ объект управления не изменяется качественно в процессе управления и, поэтому, его модель, созданная на этапе проектирования и создания системы управления не теряет адекватность и в процессе ее применения. Иначе обстоит дело в случае, когда объект управления изменяется качественно непосредственно в процессе управления, т.е. является динамичным. В этом случае модель объекта управления быстро теряет адекватность, как и управляющие воздействия, выработанные на ее основе. Реализация таких неадекватных управляющих воздействий приводит уже не к достижению цели управления, а к срыву управления. Поэтому проблема состоит не только в том, чтобы создать адекватную модель сложного объекта управления, но и в том, чтобы сохранить ее адекватность при существенном изменении этого объекта, т.е. при изменении характера взаимосвязей между воздействующими факторами и поведением объекта управления.

Это означает, что система управления сложными динамичными объектами должна быть интеллектуальной, т.к. именно системы этого класса позволяют проводить обучение, адаптацию или настройку модели объекта управления за счет накопления и анализа информации о поведении этого объекта при различных сочетаниях действующих на него факторов. Таким образом, решив первую проблему, т.е. разработав технологию создания модели сложного объекта управления, мы этим самым создаем основные предпосылки и для решения и второй проблемы, т.к. для этого достаточно применить эту технологию непосредственно в цикле управления.

Кратко рассмотрим, какие решения поставленной проблемы предлагаются в теории управления и в теории автоматизированного и автоматического управления.

Чисто лингвистически термин: «Теория управления» является более общим, чем «Теория автоматического управления», т.е. теория управления должна включать в себя все методы управления: и слабо формализованные, и среднего (АСУ), и наивысшего уровня формализации (САУ). Однако если ознакомиться с соответствующей специальной литературой, то становится ясным, что в настоящее время под теорией управления фактически понимаются лишь слабо формализованные подходы к управлению, развиваемые в менеджменте и контроллинге. Но это именно те методы, степень формализации которых авторы и предлагают повышать в данной и других работах [4, 5].

Поэтому нам остается, по сути, попытаться перенести в теорию управления сложными динамичными биологическими, социально-экономическими и психологическими системами опыт решения подобных проблем из теории АСУ и особенно, как наиболее математизированной и детально разработанной, - теории САУ, т.е. теории автоматического управления (ТАУ). Для этого, основываясь на работах [6, 7, 8], кратко приведем необходимые для дальнейшего изложения ведения из ТАУ.

В ТАУ принята следующая модель объекта управления (рисунок 2):

автоматизированный когнитивный интеллектуальный управление

Рисунок 2 Модель многоканального объекта управления в ТАУ

На рисунке 2 использованы следующие обозначения [8]:

«- управляющие воздействия u1, ... , um - это входные сигналы объекта управления, с помощью которых влияют на режим работы объекта;

- выходные переменные y1, ... , ym - это измеряемые выходные сигналы динамической системы;

- переменные состояния x1, ... , xn - это внутренние, как правило, недоступные измерению переменные, которые определяют состояние объекта в каждый момент времени; причем ;

- возмущающие воздействия M1, ..., Ml - отражают случайные воздействия окружающей среды на объект управления и обычно недоступны измерению. Требование парирования их влияния и приводит к необходимости создания систем автоматического управления».

При этом цель управления задается с помощью входных (задающих) воздействий (сигналов), поступающих на вход системы управления и определяющих требуемые законы изменения выходных переменных (сигналов) объекта управления [8].

«Все переменные, которые характеризуют объект, удобно представить в векторной форме:

Входные воздействия на систему (или задание на регулятор) принято обозначать буквой v. Их число обычно совпадает с числом выходных переменных и изображается следующим вектором:



В зависимости от числа входных и выходных переменных выделяют:

- одноканальные объекты (или системы) - объекты, в которых есть только одна выходная переменная (m=1);

- многоканальные (многосвязные, многомерные, взаимосвязные) объекты (или системы) - объекты, в которых число выходных переменных больше единицы (m>1)» [8].

В системах автоматического управления (САУ) математической моделью объекта управления, которая отражает его реакцию (отклик) на воздействие различных факторов, является передаточная функция.

Согласно, «если - входной сигнал одноканальной линейной стационарной системы, а - её выходной сигнал, то передаточная функция имеет вид:

(1)

где: и - преобразования Лапласа для сигналов и соответственно:

(2)

Для дискретных систем вводится понятие дискретной передаточной функции. Пусть - входной дискретный сигнал такой системы, а - её дискретный выходной сигнал, . Тогда передаточная функция такой системы записывается в виде:

(4)

где и - z-преобразования для сигналов и соответственно:

(5)

(6)

Естественно, сложные системы являются многоканальными. Для таких систем передаточная функция «представляет собой матрицу со следующими компонентами:

(7)

скалярные передаточные функции, которые представляют собой отношение выходной величины к входной в символической форме при нулевых начальных условиях

Собственными передаточными функциями i-го канала называются компоненты передаточной матрицы

,

которые находятся на главной диагонали. Составляющие, расположенные выше или ниже главной диагонали, называются передаточными функциями перекрестных связей между каналами».

Рассмотрим теперь конструкции матричной математической модели АСК-анализа в сопоставлении с приведенными моделями из ТАУ [1, 11, 12].

Знание передаточной функции объекта управления позволяет:

- по входным параметрам определить выходные, т.е. решать задачу прогнозирования (прямая задача);

- по заданным целевым (желательным) выходным параметрам определять входные, т.е. принимать решения по выбору управляющих воздействий (обратная задача прогнозирования).

Факторы, воздействующие на поведение объекта управления, можно классифицировать на три основных группы:

1. Внутренние факторы, описывающие предысторию и текущее состояние объекта управления и определяющие его собственное движение при отсутствии внешних воздействий («самодвижение»).

2. Внешние факторы.

2.1. Управляющие или технологические факторы, - это внешние факторы, зависящие от управляющей системы.

2.2. Факторы окружающей среды, т.е. внешние «возмущающие» факторы, не зависящие от управляющей системы (при данном уровне развития технологий).

Необходимо отметить, что приведенная классификация факторов является классификацией по признакам, не имеющим отношения к их влиянию на поведение объекта управления, и это значит, что в этом отношении или с этой точки зрения они могут рассматриваться совершенно одинаково (однотипно, одним способом), т.е. все вместе, что и принято в автоматизированном системно-когнитивном анализе (АСК-анализ) [1, 11, 12]. Поэтому в АСК-анализе модель объекта управления, принятая в ТАУ и приведенная на рисунке 2, модифицируется следующим образом (рисунок 3):

Рисунок 3 Модель многоканального объекта управления в АСК-анализе [1]

Конечно, из общих соображений понятно, что управляющие факторы и факторы окружающей среды влияют на выходные параметры объекта управления не непосредственно, а опосредованно его внутренним состоянием, т.е. сначала под их влиянием изменяется состояние объекта управления, а уже после этого и вследствие этого соответствующим образом изменяется его поведение и выходные параметры. Поэтому в работе [17] обоснованно вводятся следующие матричные модели (матрицы):

А - матрица состояния системы (объекта), характеризует динамические свойства системы;

В - матрица управления (входа), характеризует воздействие входных переменных на переменные состояния;

С - матрица выхода по состоянию, характеризует связь выходных координат (как правило, это измеряемые переменные) с переменными состояния;

D - матрица выхода по управлению, характеризующая непосредственное воздействие входов на выходы.

АСК-анализ подобный подход может быть реализован при создании многоуровневых семантических информационных моделей, эквивалентных многослойным нейронным сетям (см., например: [15, 16]). Рассмотрим теперь, как в АСК-анализе формируется матричная модель объекта управления, являющаяся аналогом матричной передаточной функции (1) и напрямую связывающая выходные параметры объекта управления с входными, причем входные параметры в соответствии с моделью объекта управления, представленной на рисунке 3, включают управляющие факторы, факторы окружающей среды и факторы внутреннего состояния объекта управления (матрицы C и D).

В соответствии с моделью объекта управления, представленной на рисунке 3, введем вектор входных параметров , который мы будем называть «массив-локатор»: Li=n, если i-й признак встречается у объекта n раз.

Такой подход соответствует использованию номинальных и порядковых шкал для формализации качественных (в т.ч. текстовых) переменных, и интервальных значений числовых шкал (шкал отношений) для формализации числовых значений входных переменных. Каждый входной фактор любого из трех типов, приведенных на рисунке 3, формализуется с помощью отдельной порядковой или числовой шкалы с градациями, которые мы будем называть «признаками». Таким образом, текстовые и числовые переменные в АСК-анализе обрабатываются однотипно.

Возникает естественный вопрос о том, а не является ли этот подход, основанный на замене чисел их интервальными значениями, каким-либо ограничением при формализации числовых переменных? Здесь необходимо отметить, что числа всегда отражают реальность с определенной погрешностью. По сути, вместо точных числовых значений всегда используются округленные с некоторой точностью, или, фактически, интервальные значения, включающие точные значения и погрешности их измерений. Аналогичный смысл имеет доверительный интервал. Поэтому диапазон значений любой числовой шкалы, используемой для формализации теоретически непрерывной числовой величины, на практике всегда делится на некоторое конечное число интервалов N, количество которых по формуле I=Log2N определяет максимальное количество информации I, получаемое при измерении, т.е. непрерывная величина заменяется дискретным набором интервальных значений и это не является каким-либо ограничением.

В этой связи кратко рассмотрим требования, предъявляемые в статистике к исходным данным:

1. Данные должны быть максимально полными, но не отрывочными, случайно выхваченными.

2. Данные должны быть абсолютно достоверными и точными.

3. Данные должны соответствовать принципу единообразия, сопоставимости.

4. Данные должны соответствовать принципу своевременности (сбор должен быть организован только в строго определенное время, но кроме этого, данные должны быть представлены так же в срочном порядке).

Первое требование для реальных сложных динамичных объектов управления фактически никогда не удается выполнить по причине большой размерности таких объектов и сложности получения информации по всем их параметрам.

Второе требование еще менее выполнимо, т.к. абсолютно точное измерение соответствует бесконечному количеству возможных вариантов результатов измерения N, и, соответственно (по формуле: I=Log2N), порождает бесконечное количество информации I. Понятно, что такое измерение должно будет занять бесконечное количество времени при любом сколь угодно высоком конечном трафике информационного канала, созывающего датчик измерительной системы с носителем информации. Кроме того: а) за бесконечное время измерения измеряемый объект со всеми его параметрами, скорее всего, изменится или вообще перестанет существовать, как, впрочем, и измерительная система; б) для записи результата измерения потребуется носитель информации бесконечной емкости. Понятно, что если говорить не о бесконечной, а лишь об определенной точности, то она также зависит от времени измерения и эта связь раскрывается в принципе неопределенности Гейзенберга. Это принцип применим не только на микроувроне к квантовым явлениям, но и к макроскопическим, вполне классическим явлениям. Например, бессмысленно говорить о частотном спектре сигнала в какой-либо момент времени. Точность определения частоты тем выше, чем дольше мы наблюдаем за сигналом, теряя, таким образом, точность определения самого времени. С аналогичной ситуацией мы сталкиваемся, когда пытаемся определить скорость в какой-то определенный момент времени или в какой-то точке траектории, т.к. измерение скорости само занимает некоторое время и в принципе не может быть осуществлено мгновенно, и за время измерения объект измерения сместится. Поэтому из принципа неопределенности Гейзенберга следует принципиальное ограничение на максимальное количество информации, которое может быть получено в результате измерения (так называемая «информация Фишера»).

Третье требование сложно выполнимо для сложных систем, которые описываются значительным количеством разнородных по своей природе количественных и качественных параметров, измеряемых в различных единицах измерения. В АСК-анализе проблема сопоставимой в пространстве и времени обработки подобных данных решается путем отказа от обработки значений параметров и перехода к рассмотрению количества информации, которое содержится в этих значениях о поведении и выходных параметрах объекта управления [9, 10].

Четвертое требование тесно связано со вторым и находится с ним в явном противоречии, т.к. чем более «своевременными» (или как обычно говорят «актуальными») являются исходные данные, тем, очевидно, меньше их будет.

Таким образом, строго говоря, требования к исходным данным, предъявляемые в статистике, выполнить крайне сложно, если это вообще возможно, и, поэтому, корректность применения статистических методов для обработки подобных данных (неудовлетворяющих требованиям) находится под большим вопросом. Тем ни менее эти методы все равно применяются, и когда это делается над исходными данными, не удовлетворяющими сформулированным требованиям (а это типичная ситуация), то это делается некорректно. Метод АСК-анализа не является статистическим методом, не предъявляет столь жестких требований к исходным данным и предлагает способ решения этой проблемы на основе применения теории информации.

Исходной матрицей для построения матричной модели сложного динамичного объекта управления в АСК-анализе является матрица абсолютных частот [1, 11, 12], являющаяся матрицей сопряженности (таблица 1):

Таблица 1 МАТРИЦА АБСОЛЮТНЫХ ЧАСТОТ (МАТРИЦА СОПРЯЖЕННОСТИ)

	Классы (целевые и нежелательные состояния объекта управления)	Сумма
	1	…	j	…	W
Факторы и их интервальные значения	Управляющие факторы	1
		…
	Факторы Окружающей среды	…
		i
		…
	Факторы состояния объекта правления	…
		M
Суммарное количество признаков
Суммарное количество объектов обучающей выборки						N

В таблице 1 использованы обозначения [1, 12]:

Nij - суммарное количество наблюдений в исследуемой выборке факта: "действовало i-е значение фактора и объект перешел в j-е состояние";

Nj - суммарное количество встреч различных значений факторов у объектов, перешедших в j-е состояние;

Ni - суммарное количество встреч i-го значения фактора у всех объектов исследуемой выборки;

N - суммарное количество встреч различных значений факторов у всех объектов исследуемой выборки.

Первоначально при синтезе модели в матрице абсолютных частот все значения равны нулю. Затем организуется цикл по всем объектам обучающей выборки (e), каждый из которых описан двумя векторами: вектором входных параметров (значения факторов или признаки) и вектором выходных параметров (будущие состояния или классы). В каждом объекте организуется цикл по всем его признакам (i) и всем классам (j), к которым он относится (2):

 (8)

где:

- : напоминает дельта-функцию Дирака:

- M: суммарное количество значений факторов (признаков) в модели;

- W: суммарное количество классов в модели;

- E: количество объектов обучающей выборки.

Затем в матрице абсолютных частот рассчитываются суммы по строкам (3), столбцам (4) и всей матрице (5):

После этого на основе матрицы абсолютных частот с использованием выражений (6) рассчитывается матрица относительных частот или частостей (таблица 2), которую мы для удобства будем называть матрицей уловных и безусловных вероятностей.

 (12)

где:

- индекс i обозначает признак (значение фактора): 1 i M; - индекс j обозначает состояние объекта или класс: 1 j W; - Pij - условная вероятность наблюдения i-го значения фактора у объектов в j-го класса или, что тоже самое, условная вероятность перехода объекта в j-е состояние при условии действия на него i-го значения фактора; - Pi - безусловная вероятность наблюдения i-го значения фактора по всей выборке; - Pj - безусловная вероятность перехода объекта в j-е состояние (вероятность самопроизвольного перехода или вероятность перехода, посчитанная по всей выборке, т.е. при действии любого значения фактора).

Таблица 2 МАТРИЦА УЛОВНЫХ И БЕЗУСЛОВНЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

	Классы (целевые и нежелательные состояния объекта управления)	Безусловная вероятность признака
	1	…	j	…	W
Факторы и их интервальные значения	Управляющие факторы	1
		…
	Факторы окружающей среды	…
		i
		…
	Факторы состояния объекта управления	…
		M
Безусловная вероятность класса

Придадим таблице 2 вид, сходный с видом матричной передаточной функции многоканального объекта управления. Для этого подставим в таблицу 2 выражения для вероятностей через абсолютные частоты с использованием (12) (таблица 3):

Таблица 3 МАТРИЦА УЛОВНЫХ И БЕЗУСЛОВНЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В ФОРМЕ, АНАЛОГИЧНОЙ МАТРИЧНОЙ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ (1)

	Классы (целевые и нежелательные состояния объекта управления)	Безусловная вероятность признака
	1	…	j	…	W
Факторы и их интервальные значения	Управляющие факторы	1
		…
	Факторы окружающей среды	…
		i
		…
	Факторы состояния объекта управления	…
		M
Безусловная вероятность класса

Сравнивая выражения для матричной передаточной функции (7) с таблицей 3 мы видим, что элементы таблицы 3 по своей математической форме весьма напоминают скалярные передаточные функции Wij(p)= yi/uj, представляющие собой отношение выходной величины к входной в символической форме при нулевых начальных условиях [8]. Это является вполне достаточным основанием для проведения глубокой аналогии между матрицей условных и безусловных вероятностей (таблица 3), с одной стороны, и матричной передаточной функцией (7), с другой стороны.

Очевидно, эта аналогия может быть проведена, если считать:

- входной величиной uj - суммарное количество встреч i-го значения фактора по всей исследуемой выборке Ni;

- выходной величиной yi - суммарное количество встреч i-го значения фактора у объектов j-го класса Nij;

- скалярной передаточной функцией Wij(p) - условную вероятность (частость) встречи встреч i-го значения фактора у объектов j-го класса или, что тоже самое, условную вероятность перехода объекта управления в j-е состояние при условии действия на него i-го значения фактора Pij.

Но почему же это все не более чем аналогия или метафора? Дело в том, что передаточная функция непрерывной одноканальной системы представляет собой отношение преобразования Лапласа выходной величины (3) к преобразованию Лапласа входной величины (2), что в символической форме при нулевых начальных условиях аналитически представляется в форме выражения (1). В дискретных системах, которые только и встречаются на практике, преобразование Лапласа заменяется его дискретным аналогом - z-преобразованием или преобразованием Лорана для входного (5) и выходного (6) сигналов, в результате чего выражение (1) преобразуется в выражение для дискретной передаточной функции (4).

Для многоканальной дискретной системы элементы матричной передаточной функции представляют собой передаточные функции одноканальных дискретных подсистем для соответствующих каналов и перекрестных связей. Поэтому получим аналитическую форму для дискретной передаточной функции, выраженную непосредственно через входные и выходные сигналы (13). Для этого подставим в выражение (4) формулы для их z-преобразований (5) и (6):

 (13)

Далее, подставим в таблицу 3 значения абсолютных частот с использованием выражений: (8), (9), (10), (11) и в результате получим таблицу 4:

Таблица 4 Матрица уловных и безусловных вероятностей в форме, аналогичной матричной передаточной функции (1) с использованием аналога z-преобразования лорана

	Классы (целевые и нежелательные состояния объекта управления)	Безусловная вероятность признака
	1	…	j	…	W
Факторы и их интервальные значения	Управляющие факторы	1
		…
	Факторы окружающей среды	…
		i
		…
	Факторы состояния объекта управления	…
		M
Безусловная вероятность класса

Сравнивая выражение (13) с выражениями для Pij, Pi, Pj (их смысл расшифрован выше) из таблицы 3, мы видим, что весьма похожи, но не тождественны, по своей математической форме. Сходство состоит в том, что все они представляют собой отношения сумм значений различных сигналов, которые могут быть интерпретированы как входные и выходные, а различие в том, что в z-преобразовании слагаемые в суммах умножаются на z-k, где k - индекс суммирования. Кроме того, в z-преобразовании суммирование ведется до бесконечности, тогда как в реальных моделях, оно ограничено размерностью матриц модели.

Кратко рассмотрим смысл самого z-преобразовании и этого степенного множителя и предложим аналогию, которая на взгляд авторов позволяет обоснованно предположить, что при определенных условиях матрица условных и безусловных вероятностей, представленная в таблице 3, является аналогом матричной передаточной функции многоканальной дискретной системы (7).

Удобным способом представления цифровых последовательностей является Z-преобразование (Z-transform). Смысл его заключается в том, что последовательности чисел {x(k)} становится в соответствие функция комплексной переменной Z, которая определяется таким образом:

.

Разумеется, функция X(z) определена только для тех значений z, при которых записанный ряд сходится. Область, в которой Z-преобразование сходится, называется областью сходимости.

Определим Z-преобразование для последовательности, изображенной на рисунке 4.



Рисунок 4 График дискретной функции для z-преобразования

Z-преобразование данной функции имеет вид:

Данный ряд расходится, т.е. x(k) = ? при z = 0. Следовательно, область сходимости - вся плоскость z, кроме точки z = 0. Поэтому слагаемое, соответствующее этой точке, отбрасываем и получаем:

Из приведенного примера видно, что коэффициенты z-преобразования являются значениями дискретной функции, подвергаемой этому преобразованию. Если пытаться понять смысл этих коэффициентов, анализируя их роль в результате z-преобразования, т.е. в функции X(z), то они отражают степень, в которой в этой функции представлены комплексные экспоненты, то есть гармонические осцилляции различных частот и скоростей нарастания/затухания. Тот же смысл этих коэффициентов и в преобразовании Лапласа. В этом плане z-преобразование аналогично преобразованиям Фурье и Лапласа. Но преобразованиям Фурье определено на области: [-?, +?], тогда как одностороннее преобразование Лапласа на области: [0, +?]. Поэтому считается, что преобразование Лапласа и z-преобразование больше, чем преобразование Фурье, подходят для формального математического представления причинно-следственных зависимостей, но, конечно, только при том условии, что входные и выходные сигналы интерпретируются как функции времени. Кроме того, в разложении функции в ряд Фурье коэффициенты этого ряда, имеющие совершенно аналогичный смысл, вычисляются, а не задаются в качестве исходных значений дискретной функции, как в преобразованиях Лапласа и z-преобразовании, а исходной является функция, разлагаемая в ряд Фурье.

Если в выражении (13) положить z=1, то оно примет математическую форму, не отличающуюся от выражений для Pij, Pi, Pj из таблицы 3. Из вышеизложенного ясно, что матрицу условных и безусловных вероятностей можно обоснованно считать матричной передаточной функцией, в которой рассматриваются отклики объекта управления не на гармонические осцилляции различных частот и скоростей нарастания/затухания, а на единичные прямоугольные импульсы.

Z-преобразование получается из одностороннего дискретного преобразования Лапласа простой заменой переменных (14) [18]:

z = esT

где:

- s - комплексный аргумент: s = iщ

- T - период дискретизации.

Согласно [18] смысл этой замены в том, чтобы все бесконечные периодические повторения нулей и полюсов дискретного фильтра в комплексной плоскости s преобразовать в одну точку в комплексной плоскости z (рисунок 5).



Рисунок 5 Отображение комплексной s-плоскости в комплексную z-плоскость согласно [18]

Обратная экспонента под суммой выражения (13) имеет два смыла: математический и физический. Математический смысл состоит в том, что добавление такого сомножителя к слагаемым некоторого ряда делает его сходящимся для широкого класса функций, возрастающих не быстрее экспоненты. Физический смысл состоит в более или менее быстром затухании последствий любого события с течением времени, причем, как правило, закон затухания имеет экспоненциальный характер. Если бы это было иначе, то сколь угодно слабые воздействия могли бы приводить к сколь угодно большим последствиям, что приводило бы к хаосу и неустойчивости реальности, подобно «эффекту бабочки», описанного в рассказе Рэя Бредбери «И грянул гром». Однако подобной хаотичности и неустойчивости на практике не наблюдается, следовательно «эффекта бабочки» не существует и последствия событий затухают с течением времени.

Сравним z-преобразование с представлением числа в виде ряда в позиционной системе счисления. Для этого продолжим рассмотрение вышеприведенного примера Z-преобразования дискретной функции (рисунок 4), Z-преобразование данной функции имеет вид:

 (15)

Целое число x в системе счисления с основанием b представляется в виде конечной линейной комбинации цифр и степеней числа b:

, (16)

где: ak - это целые числа, называемые цифрами, удовлетворяющие неравенству 0 ? ak ? (b-1). Каждая степень bk в такой записи называется весовым коэффициентом разряда. Из сравнения выражений (15) и (16) мы видим, что если произвести в них представленные в таблице 5 замены переменных, то получим одно и тоже математическое выражение, что означает эквивалентность выражений

Таблица 5 Замены переменных в выражениях для z-преобразования и представления числа в виде ряда

Z-преобразование	Представление числа в виде ряда
Обозначение	Интерпретация	Обозначение	Интерпретация
X(z)	Значение z-преобразования	x(b)	Число
x(k)	k-е значение дискретной функции	ak	Цифра
z	z = esT	1/b	Обратная величина от основания системы счисления

Основываясь на приведенной аналогии можно сделать два вывода:

1. Значения z-преобразования некоторой дискретной функции могут рассматриваться как числа, записанные в позиционной системе счисления с основанием

1/z = e-sT

(см. выражение (14)), при этом роль цифр играют значения дискретной функции.

2. Числа в любой позиционной системе счисления могут рассматриваться как значения z-преобразования дискретных функций, значения которых представлены цифрами, с помощью которых записываются эти числа.

Продолжим дальнейшее рассмотрение синтеза семантической информационной модели в системно-когнитивном анализе. Далее, непосредственно на основе матрицы абсолютных частот (таблица 1) или с использованием матрицы условных и безусловных процентных распределений (таблицы 2-4) с использованием количественных мер знаний (таблица 6) [1, 2, 9, 10, 11, 12, 14] получаем базу знаний (таблица 7):

Таблица 6 Различные аналитические формы частных количественных критериев знаний согласно

Наименование модели знаний и частный критерий	Выражение для частного критерия
	Через относительные частоты	Через абсолютные частоты
СИМ-1, частный критерий: количество знаний по А.Харкевичу, 1-й вариант расчета вероятностей: Nj - суммарное количество признаков по j-му классу (предпоследняя строка таблицы 2)
СИМ-2, частный критерий: количество знаний по А.Харкевичу, 2-й вариант расчета вероятностей: Nj - суммарное количество объектов по j-му классу (последняя строка таблицы 2)
СИМ-3, частный критерий: разности между фактическими и теоретически ожидаемыми по критерию хи-квадрат абсолютными частотами	---
СИМ-4, частный критерий: ROI - Return On Investment
СИМ-5, частный критерий: разность условной и безусловной вероятностей
СИМ-6, частный критерий: эластичность условной вероятности наблюдения признака в классе по отношению к аргументу [14]
СИМ-7, частный критерий: эластичность значения когнитивной функции по отношению к ее аргументу [14, 19]		Различные аналитические представления, в зависимости от вида частного критерия Iij в соотвествии с СИМ-1-6

Таблица 7 - МАТРИЦА ЗНАНИЙ

	Классы (целевые и нежелательные состояния объекта управления)	Значимость фактора
	1	…	j	…	W
Факторы и их интервальные значения	Управляющие факторы	1
		…
	Факторы окружающей среды	…
		i
		…
	Факторы состояния объекта управления	…
		M
Степень редукции класса	1		j		W

Здесь - это среднее количество знаний в i-м значении фактора:

. (17)

На основе анализа математической формы выражений для количественных мер знаний (таблица 6) можно высказать гипотезу о том, что каждое из этих выражений, по сути, представляет собой вариант скалярной передаточной функции, аналогичной элементу матричной передаточной функции (7), и, следовательно, база знаний (таблица 7) представляет собой вариант матричной передаточной функции.

Эта гипотеза основывается на следующих аналогиях и предположениях (таблица 7):

- входная величина uj аналогична или подобна (~) Pi , т.е. безусловной вероятности наблюдения i-го значения фактора по всей выборке;

- выходная величина yi ~ Pij - условной вероятности наблюдения i-го значения фактора у объектов в j-го класса или, что тоже самое, условной вероятности перехода объекта в j-е состояние при условии действия на него i-го значения фактора;

- скалярная передаточная функция Wij(p) ~ Iij - знанию о том, что "объект перейдет в j-е состояние" если "на объект действует i-е значение фактора".

Общее между скалярной передаточной функцией из матрицы (7) и количественными мерами знаний из таблицы (7) состоит в том, что во все их выражения входят отношения, а различие - в том, что частные количественные меры знаний в таблице 7 нормированы к 0 (при отсутствии влияния значения фактора на переход объекта управления в j-е состояние), а в передаточной функции в этом случае, т.е. когда выходное воздействие тождественно входному, частные критерии равны 1.

Для этой нормировки используется логарифм, вычитание единицы и другие способы. Подобное нормирование удобно при использовании аддитивного интегрального критерия. Однако при использовании мультипликативного интегрального критерия, если частные критерии равны 1 в случае отсутствия воздействия как, например, в случае передаточной функции в которой выходной сигнал равен входному, то в этой нормировке к 0 нет необходимости.

Взятие логарифма от частных критериев может рассматриваться как формальный математически прием, обеспечивающий нужную нормировку. Но в этом есть и более глубокий смысл. Мультипликативный интегральный критерий преобразуется в аддитивный просто взятием логарифма от произведения (18):

(18)

При этом частные критерии, равные 1 при отсутствии воздействия, преобразуются в количественные меры знаний СИМ-1 и СИМ-2, представленные в таблице 6.

Казалось бы, аддитивный интегральный критерий предполагает линейность объекта управления, т.к. выполнение для него принципа суперпозиции, в этом случае результирующее воздействие на линейный объект управления совокупности факторов является суммой влияний на него каждого из этих факторов в отдельности. Проще говоря, если объект управления линейный, то факторы не взаимодействуют друг с другом внутри объекта управления, т.е. являются не системой, а множеством факторов. Однако в случае модели системно-когнитивного анализа это не так, т.е. не смотря на логарифмический вид частных критериев знаний и аддитивный интегральный критерий модель СК-анализа позволяет учесть нелинейные эффекты взаимодействия факторов. Это осуществляется следующим образом: из таблицы 6 мы видим, что в математические выражения для всех частных критерий знаний входят величины, зависящие не только Nij и N, но и от Nj и N. Благодаря этому и математической форме частных критериев знаний, если добавить в модель еще один фактор, тождественный одному из уже имеющихся, то количество знаний в каждом из них будет меньше, чем до этого.

Итак, количественные значения коэффициентов Iij таблицы 7 являются знаниями о том, что "объект перейдет в j-е состояние" если "на объект действует i-е значение фактора".

Когда количество знаний Iij > 0 - i-й фактор способствует переходу объекта управления в j-е состояние, когда Iij < 0 - препятствует этому переходу, когда же Iij = 0 - никак не влияет на это.

В векторе i-го фактора (строка матрицы знаний) отображается, какое количество знаний о переходе объекта управления в каждое из будущих состояний содержится в том факте, что данное значение фактора действует.

В векторе j-го состояния класса (столбец матрицы знаний) отображается, какое количество знаний о переходе объекта управления в соответствующее состояние содержится в каждом из значений факторов, представленных в модели.

Таким образом, матрица знаний (таблица 7) функционально эквивалента матричной передаточной функции (7), в которой входы (значения факторов) и выходы (будущие состояния объекта управления) связаны друг с другом знаниями, выраженными в битах.

Такую матричную передаточную функцию, в которой элементами являются не скалярные передаточные функции, представляющие собой отношение выходной величины к входной в символической форме при нулевых начальных условиях, а знания, будем называть когнитивной матричной передаточной функцией.

Фактически предложенная модель позволяет осуществить синтез когнитивной матричной передаточной функции для различных предметных областей непосредственно на основе эмпирических исходных данных и продуцировать на их основе прямые и обратные правдоподобные (нечеткие) логические рассуждения по неклассическим схемам с различными расчетными значениями истинности, являющимся обобщением классических импликаций [1].

Таким образом, данная модель позволяет рассчитать какое количество знаний содержится в любом факте о наступлении любого события в любой предметной области, причем для этого не требуется повторности этих фактов. Если же эти повторности осуществляются и при этом наблюдается некоторая вариабельность значений факторов, обуславливающих наступление тех или иных событий, то модель обеспечивает многопараметрическую типизацию, т.е. синтез обобщенных образов классов или категорий наступающих событий с количественной оценкой силы и направления влияния на их наступление различных значений факторов. Причем эти значения факторов могут быть как количественными, так и качественными и измеряться в любых единицах измерения, в любом случае в модели оценивается количество знаний, которое в них содержится о наступлении событий, переходе объекта управления в определенные состояния или просто о его принадлежности к тем или иным классам.

Принципиально важно, что эти элементы когнитивной матричной передаточной функции не определяются экспертами на основе опыта интуитивным неформализуемым способом, а рассчитываются непосредственно на основе эмпирических данных и теоретически обоснованной модели, хорошо зарекомендовавшей себя на практике при решении широкого круга задач в самых различных предметных областях.

В этой связи кратко рассмотрим информационную модель деятельности специалиста и место систем искусственного интеллекта в этой деятельности [4]. Специалист, и тем более менеджер, в своей работе постоянно сталкивается с необходимостью решения интеллектуальных задач, связанных с идентификацией, прогнозированием и принятием решений (управлением) (рисунок 6)

Рисунок 6 Информационная модель деятельности специалиста и место систем искусственного интеллекта в этой деятельности

Дадим краткие пояснения к информационной модели деятельности специалиста, представленной на рисунке 6.

Блок 1. На вход системы поступает задача или проблема. Что именно неясно, т.к. чтобы это выяснить необходимо идентифицировать ситуацию и обратиться к базе данных стандартных решений с запросом, существует ли стандартное решение для данной ситуации.

Блок 2. Далее осуществляется идентификация проблемы или задачи и прогнозирование сложности ее решения. На этом этапе применяется интеллектуальная система, относящаяся к классу систем распознавания образов, идентификации и прогнозирования или эта функция реализуется специалистом самостоятельно "вручную".

Блок 3. Если в результате идентификации задачи или проблемы по ее признакам установлено, что точно имеется стандартное решение, то это означает, что на вход системы поступила точно такая же задача, как уже когда-то ранее встречалась. Для установления этого достаточно информационно-поисковой системы, осуществляющей поиск по точному совпадению параметров запроса и в применении интеллектуальных систем нет необходимости. Тогда происходит переход на блок 7, а иначе на блок 4.

Блок 4. Если установлено, что точно такой задачи не встречалось, но встречались сходные, аналогичные, которые могут быть найдены в результате обобщенного (нечеткого) поиска системой распознавания образов, то решение может быть найдено с помощью автоматизированной системы поддержки принятия решений путем решения обратной задачи прогнозирования. Это значит, что на вход системы поступила не задача, а проблема, имеющая количественную новизну по сравнению с решаемыми ранее (т.е. не очень сложная проблема). В этом случае осуществляется переход на блок 9, иначе - на блок 5.

Блок 5. Если установлено, что сходных проблем не встречалось, то необходимо качественно новое решение, поиск которого требует существенного творческого участия человека-эксперта. В этом случае происходит переход на блок 12, а иначе - на блок 6.

Блок 6. Переход на этот блок означает, что возможности поиска решения или выхода из проблемной ситуации системой исчерпаны и решения не найдено. В этом случае система обычно терпит ущерб целостности своей структуре и полноте функций, вплоть до разрушения и прекращения функционирования.

Блок 7. На этом этапе осуществляется реализация стандартного решения, соответствующего точно установленной задаче, а затем проверяется эффективность решения на блоке 8.

Блок 8. Если стандартное решение оказалось эффективным, это означает, что на этапах 2 и 3 идентификация задачи и способа решения осуществлены правильно и система может переходить к разрешению следующей проблемной ситуации (переход на блок 1). Если же стандартное решение оказалось неэффективным, то это означает, что проблемная ситуация идентифицирована как стандартная задача неверно и необходимо продолжить попытки ее разрешения с использованием более общих подходов, основанных на применении систем искусственного интеллекта (переход на блок 4), например, систем поддержки принятия решений.

Блок 9. Применяется автоматизированная система поддержки принятия решений, обеспечивающая решение обратной задачи прогнозирования. Отличие подобных систем от информационно-поисковых состоит в том, что они способны производить обобщение, выявлять силу и направление влияния различных факторов на поведение системы, и, на основе этого, по заданному целевому состоянию вырабатывать рекомендации по системе факторов, которые могли бы перевести систему в это состояние (обратная задача прогнозирования).

...