В умовах сучасної конкурентної економіки прийняття рішень - це одна з найважливіших функцій управління. Прийняття неоптимальних рішень в життєвих або виробничих ситуаціях значно зменшує долю можливостей та ресурсів, як однієї людини, так і великої системи. І чим складніша ситуація, тим можуть бути більшими втрати.

Тому оволодіння навичками грамотного та виваженого прийняття рішень є необхідним як для тих, хто готує себе до роботи в бізнесі чи виробництві, так і для тих, хто збирається присвятити себе науковій діяльності. Курс, що знайомить майбутніх фахівців з основними методами та моделями прийняття рішень, займає чільне місце в системі сучасної вищої освіти.

Дисципліна відноситься до циклу професійної та практичної підготовки. Ця дисципліна базується на курсах "Дослідження операцій", "Теорія ймовірностей та математична статистика", "Дискретна математика".

Метою дисципліни є систематизоване викладання сучасного математичного апарату прийняття рішень в складних системах та набуття студентами необхідних знань та практичних навичок у розробці моделей та розв'язання практичних задач пов'язаних з прийняттям рішень в сфері економіки в умовах невизначеності та ризику. Курс відіграє важливу роль у формуванні світогляду майбутніх фахівців напрямку підготовки "Інформатика".

З точки зору навчального плану напряму "Інформатика" теорія прийняття рішень є проміжною ланкою між нормативним курсом "дослідження операцій" ("методи оптимізації") та "штучний інтелект" ("проектування баз знань").

Моделі та методи теорії прийняття рішень знайшли широке застосування в економіці, військовій справі, політиці, медицині.

Запропонований цикл практичних занять з дисципліни “Системи та методи прийняття рішень” містить тринадцять занять, які охоплюють усі основні теми робочої програми даної дисципліни за напрямом 6.040302 - "Інформатика”.

Кожне заняття супроводжується короткими теоретичними відомостями, розв'язанням типових задач, контрольними питаннями, літературою.

На етапі підготовки до кожного заняття студент повинен уважно ознайомитись з метою із завданнями, а також вивчити необхідний теоретичний матеріал і дати відповіді на контрольні питання, які наведені у кінці кожного заняття.

Після виконання роботи необхідно подати звіт, який оформлений на окремих аркушах паперу форматом А4 і має наступний зміст:

1) назва (тема) роботи;

2) мета роботи;

3) завдання роботи і вихідні дані;

4) виконане завдання;

5) висновки про отримані результати.

Оформлений звіт подають викладачеві для перевірки.

Відповідно до кредитно-модульної системи організації навчального процесу за підготовку до кожного заняття нараховується відповідна кількість балів.

критична ситуація корисність ризик

1. Перелік практичних занять. Практичне заняття 1. Тема. Приклади задач прийняття рішень. Визначення основної причини критичної ситуації. Визначення альтернативних рішень

1.1 Короткі теоретичні відомості

1. Постановка задачі прийняття рішень

Спрощено можна вважати, що прийняття рішень є вибором деякого варіанта із множини існуючих.

Математична модель задачі прийняття рішень - це формальний опис складових її елементів (цілі, засоби, результати) та їхніх взаємозв'язків.

Визначимо такі поняття: X - множина альтернатив (варіантів, рішень, засобів). Як альтернативи х є X можуть виступати різні варіанти дій ОПР; S - множина станів навколишнього середовища, яка характеризує прояв невизначеності в процесі прийняття рішень; Z - множина наслідків, тобто множина результатів розв'язання задачі прийняття рішень;

Ф - відображення вигляду

(1.1)

яке задає зв'язок між альтернативами X та наслідками Z;

Р - принцип оптимальності, що виражає переваги ОПР на множині альтернатив X.

Прийняттям рішення називається вибір підмножини альтернатив із множини X відповідно до принципу оптимальності Р.

Задача прийняття рішень полягає у виборі альтернативи , що призводить до деякого результату при стані навколишнього середовища .

Зв'язок між елементами задачі прийняття рішень у випадку, коли X та скінчені множини, указує таблиця, шо називається матрицею виграшів або платіжною матрицею. Елементи матриці виграшів характеризують позитивний ефект або витрати , пов'язані з результатом , що нас тупив при виборі альтернативи за умов .

Ефективність розв'язання визначається ступенем відповідності отриманого результату поставленої цілі. Кількісною характеристикою ефективності кожної альтернативи є функція корисності Е (х), за значенням якої вибирається найкраще рішення , тобто

.

Процес вибору називається процедурою прийняття рішень, а

результат вибору х називається найкращим (оптимальним, ефективним) рішенням.

Вибір виду функції корисності Е (х) залежить від класу задачі прийняття рішень і від гіпотез ОПР, які виражають його переваги.

2. Приклади задач прийняття рішень

Приклад 1.1 Задача про вибір шляху Іваном-Царевичем з казки про Івана-Царевича, Жар-птицю та про сірого вовка. "Приїхав Іван-Царевич у чисте поле, у зелені луги. А в чистому полі стоїть стовп, а на стовпі написані ці слова: "Хто поїде від стовпа цього прямо, той буде голодний і холодний; хто поїде праворуч, той буде здоровий і живий, а кінь його буде мертвий; а хто поїде ліворуч, той сам буде вбитий, а кінь його живий і здоровий залишиться". (Народные русские сказки А.Н. Афанасьева в 3 т., т.1. М.: Государственное издательство художественной литературы - 1957. - 515 с.)

Визначимо множини Х, S тa Z. X - шляхи Івана-Царевича прямо, праворуч й ліворуч, S - один стан зовнішнього середовища, Z - наслідки подорожі - (голодний та холодний; здоровий та живий, а кінь мертвий; сам убитий, а кінь живий та здоровий). Відзначимо, що в цій задачі кожній альтернативі із множини Х відповідає єдиний цілком визначений результат із множини Z.

Приклад 1.2 У трамваї студент вирішує, брати йому квиток чи ні, знаючи про можливість появи контролера. Сформуємо множини X, S та Z. Х={Б, НБ}, де альтернативи Б, НБ означають брати й не брати квиток відповідно. S = {З, НЗ}, де стани зовнішнього середовища зайшов та не зайшов контролер. Z={Задоволення, розчарування, досада, радість}. Зв'язок між елементами задачі вказує матриця виграшів (табл.1.1).

Таблиця 1.1 - Матриця виграшів прикладу 1.2

Приклад 1.3 Фабрика випускає три види продукції - парасолі, капелюхи й плащі. Директорові необхідно прийняти рішення, який з видів продукції випускати майбутнього літа, якщо відомі величини прибутку від реалізації кожного виду продукції в кожній з погодних ситуацій (вони прогнозуються).

X={парасолі, капелюхи, плащі}, S={спека, помірно, дощ}.

Таблиця 1.2 - Матриця виграшу прикладу 1.3

3. Класифікація задач прийняття рішень

Наведемо класифікацію задач прийняття рішень, виходячи з описів зв'язків між рішеннями та наслідками.

1. Детермінована задача прийняття рішень. їй відповідає найпростіший тип зв'язку - детермінований, коли кожна альтернатива призводить до єдиного результату. У цьому випадку існує функціональна залежність між альтернативою та наслідком . Детермінованим задачам прийняття рішень присвячений розділ 2.

Задача прийняття рішень в умовах ризику або стохастичної ймовірнісної) невизначеності. У цьому випадку тип зв'язку не детермінований, тобто кожній альтернативі відповідає не єдиний результат. Якщо відомо, з якою ймовірністю кожній альтернативі відповідатиме результат або цю ймовірність можна оцінити, отримаємо статистичну залежність між та . Задачі цього класу розглядаються в розділі 3.

За відсутності інформації про детермінований або стохастичний зв'язок між альтернативами та наслідками виникають задачі прийняття рішень в умовах невизначеності.

Задача прийняття рішень в умовах пасивної взаємодії ОПР та зовнішнього середовища. Розділ 4 присвячений задачам прийняття рішень, Коли зовнішнє середовище S поводиться пасивно стосовно ОПР, тобто є проявом природи.

Задача прийняття рішень в умовах конфлікту (гри). У цій ситуації зовнішнє середовище 5 поводиться активно стосовно ОПР, тобто є проявом дій іншої особи. Задачі прийняття рішень в умовах конфлікту вивчаються в розділі 5.

Крім того, застосування різних засобів математичного моделювання дозволяє виділити такі класи задач прийняття рішень в умовах невизначеності.

Задача прийняття рішень із вихідними даними, заданими у вигляді інтервалів. У цьому випадку елементи множин X, S або Z описуються інтервальними числами (розділ 6).

6. Задача прийняття рішень із вихідними даними, заданими у вигляді нечітких множин. Ця задача відповідає ситуації, коли хоча б одна із множин X, S або Z є нечіткою або нечітким є відображення .

Предметом подальшого викладу в цьому посібнику є детерміновані задачі прийняття рішень та задачі прийняття рішень, які містять тією чи іншою мірою невизначеність, а саме, задачі, що належать до класів 1-5 у наведеній класифікації.

Кількісні оцінки ризику:

· Ризик в абсолютному виразі.

Існує досить проста методика визначення коефіцієнтів ризику, щодо короткотермінового прогнозу: якщо ймовірність достовірності прогнозу дорівнює р, то ймовірність того, що він не справдиться - (1-р). Відповідно коефіцієнт ризику дорівнює (1-р).

Ступінь (міра) ризику: (1.2)

де - величина ризику, - ймовірність небажаних наслідків, х - величина цих наслідків.

Очікуване значення (математичне сподівання) вимірює результат (ризик), котрий очікується у середньому: , (1.3)

де - значення випадкової величини.

Дисперсія характеризує розсіювання випадкової величини відносно М (х) і обчислюється за формулою: . (1.4)

Зниження прибутку є функцією різниці між обсягом виробленої продукції та обсягом продажу: (1.5)

де - додаткові збитки, - постійний коефіцієнт, що залежить від розмірності, - обсяг продукції, що потенційно реалізується, - обсяг фактичної реалізованої продукції.

Ризик можна розрахувати: (1.6)

де - дисперсія обсягу продукції, - коефіцієнт кореляції .

· Ризику у відносному виразі.

Коефіцієнт варіації: , (1.7)

де - середньоквадратичне відхилення.

1.2 Розв'язування задач

Рисунок 2.1 Рисунок 2.2

2.2 Розв'язування задач

Рисунок 2.3

У лінії прийняття рішень має 2 альтернативи: або мати постійний дохід 2000 грн., або погодитись на нову роботу, де він зможе отримати 5000 грн. з ймовірністю 0,4. Або 1500 грн. з ймовірністю 0,6.

Яке рішення потрібно прийняти?

Розв'язання: За формулою (2.2) знаходимо корисність:

Відповідне значення корисності роботи, на якій він зараз знаходиться .

Так як корисність отриманої функції більше, тобто , тому краще змінити роботу.

Знайдемо детермінований еквівалент , .

За формулою (2.1):

Відповідь. Роботу краще буде змінити, премія за ризик буде складати 800 грн.

Приклад 2.2 Особа яка схильна до ризику має функцію корисності зображену на рис.2.4.

Рисунок 2.4

Особа що приймає рішення:

Прийняти участь у лотереї, яка може дати виграш в 3000 грн. з ймовірністю 0,3, або програш в 1000 грн. з ймовірністю 0,7. Або лотерею, яка обіцяє виграш в 2000 грн., або в 1000 грн. з рівними ймовірностями.

Яке рішення має прийняти особа?

Розв'язання: Очікуваний виграш при першій ситуації знаходимо за формулою (2.2)

1)

2)

Відповідь. Краще прийняти участь у першій лотереї, так як .

2.3 Контрольні питання

1. Основні поняття теорії корисності.

2. Визначення очікуваної корисності.

3. Ризик та його вимірювання, ризик у відносному виразі.

4. Дослідження кривих байдужості.

Література: [2, 19-23; 16, 40-45].

Практичне заняття 3. Тема. Метод гілок та границь до розв'язання детермінованих задач теорії прийняття рішень. Розв'язання мінімаксної узагальненої задачі про призначення

3.1 Короткі теоретичні відомості

або домінує ;

або домінує ;

або непорівнянні, тобто існують такі

що та або та тобто висновок про домінування елементів зробити не можна.

У результаті порівняння всіх пар елементів за всіма критеріями , сформуємо точну

область компромісів як множину всіх недомінованих альтернатив. Часова складність наведеного алгоритму має оцінку

Коли визначити точну область компромісів на континуальній множині X досить складно або коли потужність скінченої множини X та множини критеріїв велика, то доцільно будувати наближену область компромісів.

Наближена область компромісів. Вимога до побудови наближеної області компромісів полягає у визначенні множини точок таких, що

тобто область компромісів має належати наближенійобласті, а наближена область має належати області припустимих рішень.

Зазначимо, що для відповідних образів виконуєтьсяаналогічне

співвідношення, тобто

Один з можливих способів розв'язання цієї задачі при n=2 для безперервних і дискретних множин X є таким.

На множині припустимих рішень X послідовно розв'язуються дві багатокритеріальні оптимізаційні задачі за кожним частинним критерієм критерії 1,2

Для кожного рішення обчислюються значення частинних критеріїв. Позначимо

.

Отримані результати заносяться до таблиці 3.1.

Таблиця 3.1 - Результати розрахунків для побудови

Таким чином, таблиця 3.1 містить як найкраще , так і найгірше значення частинних критеріїв . Множини значень та є відповідними межами інтервалів зміни значень критеріїв при відображенні наближеної області компромісів на простір частинних критеріїв Y.

Іноді розв'язком задачі вибору найкращого рішення за критерієм є множина, що складається більш, ніж з одного елемента, тобто

У цьому випадку вибір єдиного рішення визначається в такий спосіб:

Образ наближеної області компромісів у просторі Y задається таким чином

Очевидно, що наближена область компромісів містить у собі не тільки область компромісів, але й деяку підмножину точок області згоди.

Поширимо описаний спосіб побудови наближеної області компромісів для .

У випадку, коли множина X опукла, викладена вище схема, розповсюджена на довільне скінчене число критеріїв n, дозволяє одержати наближену область компромісів.

Нехай X дискретна. Проводитимемо порівняння альтернатив у множині X за кожною парою критеріїв із множини . Для цього сформуємо множину пар критеріїв

Множина П містить елементів.

Виберемо елемент та реалізуємо наведений вище спосіб визначення наближеної області компромісів для елементів множини X за критеріями У результаті отримаємо множину Виконаємо цю процедуру для всіх

Наближену область компромісів можна зобразити у вигляді

Вид відповідної наближеної області компромісів для опуклої та не опуклої, а також скінченої області припустимих рішень Y за умови, що альтернативи оцінюються за двома критеріями на максимум, наведений на рис.3.9-3.11 відповідно.

Область містить у собі тому що утворена екстремальними значеннями всіх частинних критеріїв. Очевидно, що наближена область містить у собі не тільки область компромісів, але й деяку підмножину точок області згоди.

На рисунку 3.11 точки, виділені квадратиками, формують наближену область компромісів яка містить у собі точки, що належать множині Слейтера при цьому множина Парето визначається так: .

3.2 Розв'язування задач

1. Сформулювати основні етапи процедури прийняття рішення.

2. Як відбувається формування критеріїв оцінки припустимих рішень?

3. У чому полягає задача прийняття рішень?

4. Визначити поняття: множина припустимих рішень, область згоди, область компромісів.

5. Визначити поняття строгого та нестрогого домінування на множині припустимих рішень.

6. Визначити поняття множини Парето та множини Слейтера.

7. Що таке коректність задач за Адамаром?

8. Описати способи побудови точної та наближеної області компромісів.

Література: [2, 119-123; 4, 40-45].

Практичне заняття 4. Тема. Розв'язання задач багатокритеріальної оптимізації. Принцип головного критерію. Функціонально-вартісний аналіз. Принцип послідовної оптимізації (лексико-графічного впорядкування)

4.1 Короткі теоретичні відомості

Некоректність задачі багатокритеріальної оптимізації (3.1) може бути усунута шляхом регуляризації, тобто введенням деякої додаткової інформації, математичних співвідношень або правил, які дозволяють забезпечити вибір єдиного рішення.

При реалізації неконструктивного підходу джерелом інформації для регуляризації є ОПР. Однак ОПР дану інформацію не формалізує а використовує на інтуїтивному рівні.

Конструктивний підхід орієнтований на визначення формальних правил вибору єдиного рішення з області компромісів.

Поширений підхід до вирішення цієї проблеми полягає в перетворенні багатокритеріальної задачі в однокритеріальну.

Існує кілька способів перетворення багатокритеріальних оптимізаційних задач в однокритеріальні. Розглянемо деякі з них.

2 Принцип головного критерію

Суть цього методу полягає у виділенні головного критерію й переведенні всіх інших критеріїв у систему обмежень. Із множини частинних критеріїв вибирається один - найважливіший, який береться як критерій оптимізації. Для кожного з інших частинних критеріїв призначається його граничне гірше значення.

Тоді вихідна багатокритеріальна задача (3.1) зводиться до одно - критеріальної оптимізаційної задачі вигляду

де - критерій оптимізації, - найгірші припустимі значення частинних критеріїв , ; символ преваги.

При цьому, , якщо критерій максимізується та , якщо критерій мінімізується.

При реалізації розглянутого методу потрібно звернути особливу увагу на те, щоб припустима множина рішень не була порожньою множиною.

3 Функціонально-вартісний аналіз

Як відомо, вихідна множина частинних критеріїв , що за визначенням досить повно характеризує альтернативи , розбивається на дві підмножини: та , .

Перша група критеріїв характеризує функціональну якість рішення, тобто ступінь досягнення цілі, а друга - витрати, в широкому розумінні, необхідні для реалізації рішення , тобто досягнення мети. У кожній із зазначених підмножин виділяється один головний критерій, позначимо їх відповідно та , а решта частинних критеріїв переводяться в систему обмежень. У результаті ми отримаємо оптимізаційну задачу із двома критеріями та . Таким чином, виникає необхідність приведення даної задачі до однокритеріальної.

У функціонально-вартісному аналізі використовуються такі підходи:

1. Якщо обидва критерії та мають однакову розмірність (наприклад, дохід і витрати) або їх можна привести до однакової розмірності, то використовується оптимізаційний критерій вигляду

, (4.1)

а оптимальне рішення визначається так:

, (4.2) де

(4.3)

Критерій вигляду (4.1) може бути інтерпретований як прибуток.

2. Якщо критерій та мають різну розмірність, то використовується критерій вигляду

, (4.4)

а оптимальне рішення записується так

(4.5)

Критерій (4.4) є нормованим на одиницю витрат ефектом.

3. В окремому випадку для зведення двокритеріальної задачі до одно - критеріальної у функціонально-вартісному аналізі використовується принцип головного критерію, розглянутий вище. Із цією метою один із двох розглянутих критеріїв, або , перетворюється в додаткове обмеження. Тоді оптимізаційні задачі мають відповідно вигляд

(4.6)

де ,

, (4.7)

де ,

де , - припустимі рівні відповідних критеріїв та .

Функціонально-вартісний аналіз широко розповсюджений, особливо при дослідженні економічних систем. Це обумовлено тим, що для багатьох технічних, економічних, соціальних процесів характерна однакова залежність ефекту від витрат , яка адекватно описується логістичною кривою. При вдалому виборі головних критеріїв функціонально-вартісний аналіз таких систем наочний і має гарну змістовну інтерпретацію. Зокрема, в економіці логістичні криві використовуються для опису процесів з насиченням.

4 Принцип послідовної оптимізації (лексикографічного впорядкування)

Ідея цього методу полягає в перетворенні багатокритеріальної оптимізаційної задачі в упорядковану послідовність однокритеріальних задач.

Із цією метою всі частинні критерії впорядковуються за спаданням важливості, тобто встановлюється лінійних порядок

, (4.8)

де - символ відношення порядку.

Відповідно до послідовності (4.8) розв'язуються однокритеріальні оптимізаційні задачі за кожним частинним критерієм.

За принципом послідовної оптимізації із двох рішень , перше краще, тобто , якщо

таке, що .

Найкраще рішення визначається в такий спосіб.

На першому кроці з вихідної множини припустимих рішень виділяється підмножина рішень, еквівалентних за першим (важливим) критерієм. Для цього розв'язується однокритеріальна оптимізаційна задача вигляду

(4.9)

Якщо множина містить більше одного рішення, необхідно перейти до наступного етапу, тобто розв'язати задачу вибору еквівалентних рішень відносно другого за важливістю критерію, але вже із множини :

(4.10)

У загальному випадку

(4.11) тут =.

Якщо всі окремі критерії “вичерпані” і не знайдене єдине рішення, формуються додаткові критерії. Оптимізація триває, доки не буде знайдене єдине рішення.

Якщо вже на перших кроках оптимізації знайдене єдине рішення, тоді всі наступні частинні критерії не враховуються. У цьому випадку може бути застосований метод поступки, відповідно до якого ОПР призначає припустимий рівень зниження частинного критерію в порівнянні з його екстремальним значенням:

, (4.12)

за умови , якщо максимізується; , якщо мінімізується.

Вибір величини поступки здійснюється ОПР евристично і залежить від особливостей задачі оптимізації.

Якщо буде потреба ранжирування всієї множини рішень , отримане найкраще рішення виключається з , а на решті повторюється описана вище процедура. У результаті визначається друге за якістю рішення. І так далі, доки не будуть упорядковані всі рішення із множини .

4.2 Контрольні питання

1. У чому полягає принцип головного критерію?

2. Що таке функціонально-вартісний аналіз? Які при цьому види оптимізаційних критеріїв?

3. Сформулюйте принцип послідовної оптимізації.

Література: [14, 119-123; 17, 140-145].

Практичне заняття 5. Тема. Формування узагальнених багатокритеріальних оцінок. Вимірювання та шкалування частинних критеріїв. Формування функції корисності частинних критеріїв. Перетворення дихотомічного якісного фактора. Перетворення багатозначного якісного фактора

5.1 Короткі теоретичні відомості

Найбільш загальний та універсальний підхід до розв'язання задачі багатокритеріальної оптимізації (3.1) відомий як проблема багатофакторного оцінювання. Центральною задачею цієї проблеми є побудова узагальненої оцінки рішень .

Розв'язання задачі побудови (ідентифікації, синтезу) математичної моделі в загальному випадку вимагає вирішення таких задач:

· визначення виду (структури) математичної залежності початкових та вихідних змінних, тобто задача структурної ідентифікації;

· обчислення кількісних характеристик (параметрів) моделі - задача параметричної ідентифікації.

Теоретичною основою формування узагальнених багатокритеріальних скалярних оцінок є теорія корисності, яка ґрунтується на гіпотезі, запропонованій Дж. фон Нейманом та О. Моргенштерном про те, що кожна локальна характеристика рішення, оцінювана частинними критеріями, має для ОПР деяку цінність (корисність), що може бути вимірювана кількісно й тому існує узагальнена кількісна оцінка переваги рішення. Це означає, що якщо рішення , та краще (переважніше) , то

де - кількісна оцінка узагальненої корисності рішення;

знак означає, що справедливо як пряме, так і зворотне твердження.

Таким чином, узагальнена корисність є кількісною оцінкою переваги рішення.

У межах цієї гіпотези необхідно обґрунтувати правило, за яким формується корисність рішення в просторі частинних критеріїв.

Принциповим є те, що об'єктивного правила не існує, а принцип ранжирування рішень відображає переваги конкретного ОПР. Таким чином, теорія корисності та вибір конкретного виду функцій корисності має аксіоматичний характер, при чому аксіоматика відображає переваги конкретного ОПР. У зв'язку з цим може виникнути сумнів у доцільності реалізації конструктивного підходу. Тому в основу теорії корисності покладена гіпотеза про існування “раціонального поводження ОПР”, що має на увазі “близкість” рішень різних ОПР в однакових умовах.

У межах цієї гіпотези формалізація процесу ранжирування рішень, по-перше, допомагає ОПР обґрунтувати свої переваги, а по-друге, дозволяє сформувати кількісну оцінку всіх . Процедура оцінки може здійснюватись без участі ОПР, у тому числі й за допомогою комп'ютера. Таким чином, відкривається можливість автоматизації процесів прийняття рішень.

Очевидно, що узагальнена корисність будь-якого рішення визначається значеннями частинних критеріїв що характеризують рішення, і, у загальному випадку, ці характеристики не рівнозначні, тобто мають різну “вагу" для ОПР. Це означає, що узагальнена корисність рішення може бути подана у вигляді

(5.1)

де - параметри, що приводять різнорідні частинні критерії до єдиного виміру.

Наступний етап полягає в ідентифікації виду відображення .

Найбільш широко відомі дві форми функції корисності

- адитивна

(5.2)

- мультиплікативна

(5.3)

Зазначимо, що найбільш інформативною є ситуація, коли задані у вигляді числових значень. Оскільки параметри в цьому випадку є константами, то (5.3) можна зобразити у вигляді:

(5.4)

Звідси зрозуміло, що мультиплікативна форма не дозволяє врахувати інформацію про перевагу (важливості) частинних критеріїв, тому що є постійним масштабним множником, а, отже всі критерії стають рівнозначними, що не відповідає в загальному випадку вихідній гіпотезі.

Слід зазначити, що за однакової можливості частинних критеріїв адитивна та мультиплікативна оцінка еквівалентні.

Таким чином, адитивна форма (5.3) є більш універсальною. У деяких ситуаціях узагальнені оцінки корисності формуються у вигляді різних комбінацій адитивних і мультиплікативних форм, наприклад:

Зазначимо, зокрема, що при функціонально - вартісному аналізі критерій (4.1) є адитивним, а (4.4) - мультиплікативним.

Мультиплікативні критерії широко використовуються в економіці. Як приклади можна навести критерії оцінки роботи, зробленої транспортною системою в тонно-кілометрах (добуток ваги вантажу та відстані, на яку він перевезений), витрат праці в людино-годинах (добуток числа працюючих на тривалість роботи) і т.д.

Розглянемо адитивну форму оцінки узагальненої корисності більш докладно. Можна говорити про коректність оцінки (5.3) тільки в тому випадку, якщо коефіцієнти , , ураховують не тільки важливість частинних критеріїв , , але й приводять різнорідні критерії , , до єдиної розмірності і єдиного інтервалу вимірювання. Прикладом такого коефіцієнта є ціна, що дозволяє привести до вартісного вираження деякий набір різнорідних товарів. Однак, у загальному випадку, визначення значень таких коефіцієнтів ускладнено.

Цю обставину можна подолати, якщо зобразити адитивну функцію у вигляді

, (5.5)

де - безрозмірні вагові коефіцієнти відносної важливості частинних критеріїв, для яких виконуються обмеження

, (5.6)

а - нормалізовані частинні критерії.

Нормалізація частинних критеріїв означає, що вони приводяться до однакової розмірності та інтервалу можливих значень, а також стають інваріантними до виду екстремуму (максимуму або мінімуму).

За визначенням - безрозмірні коефіцієнти, тому розмірність кожного частинного критерію має збігатися з розмірністю , тобто характеризує локальну корисність ї характеристики рішень . Позначимо . Відповідно до цього (5.5) набуває вигляду:

, (5.7)

Модель оцінювання (5.7) справедлива тільки в тому випадку, якщо вагові коефіцієнти частинних критеріїв задані точними кількісними значеннями. Як ми вже зазначали вище, носіями цієї інформації є ОПР, і, отже необхідні деякі процедури її одержання, тобто розв'язання задачі параметричної ідентифікації моделі. Через різні причини отримання точної кількісної інформації про коефіцієнти не завжди можливе, тому, у загальному випадку, оцінювання доводиться робити в умовах невизначеності.

Основними ситуаціями є випадки, коли:

1) задані у вигляді точних кількісних значень;

2) Інформація про вагові коефіцієнти задана з різним ступенем невизначеності;

3) Інформація про перевагу частинних критеріїв повністю відсутня.

Таким чином, потрібна модель, що на відміну від моделі (5.7) враховуватиме вигляд інформації про значення вагових коефіцієнтів , . Побудова такої моделі містить у собі розв'язання таких задач:

розробка методів параметричної ідентифікації модем, тобто методів одержання від ОПР інформації про коефіцієнти взаємної важливості частинних критеріїв , ;

формування вигляду оцінки узагальненої корисності , тобто задача структурної ідентифікації моделі;

побудова функцій локальної корисності , тобто нормалізація частинних критеріїв , .

2 Вимірювання та шкалування частинних критеріїв

За визначенням, як вихідна інформація в задачі прийняття рішень задана припустима множина альтернатив .

Відомо, що кожна конкретна альтернатива характеризується деяким набором частинних критеріїв , , який досить повно описує її “якість”. Вибір конкретного набору частинних критеріїв залежить від предметної галузі, специфіки ситуації, цілей аналізу і т.д. Тому багатофакторна оцінка “якості" має бути інваріантна кількості і конкретному набору локальних критеріїв, які характеризують альтернативу.

Можливі два підходи до формування відношення порядку на множині припустимих альтернатив:

відношення якісного порядку (ранжирування альтернатив за перевагою, евристично реалізоване ОПР);

відношення кількісного порядку, що передбачає зіставлення кожному конкурентному набору частинних критеріїв, що характеризує альтернативу, кількісної скалярної оцінки.

Другий підхід є більш загальним, тому що крім порядку дозволяє вказати і “відстань" між альтернативами на числовій осі, дати кількісну оцінку сили переваги, тобто вказати, на скільки або в скільки разів одна альтернатива краще за іншу.

Головною умовою реалізації кількісного підходу є приведення всіх частинних критеріїв, незалежно від їхньої природи, до вигляду, що допускає кількісну скалярну оцінку . Труднощі такої формалізації пов'язані з тим, що в загальному випадку частинні критерії , що характеризують альтернативу, можуть мати різну природу, і виникає проблема їхнього вимірювання.

Під вимірюванням розуміють порівняння вимірюваної характеристики з деяким еталоном. Система еталонів або еталонних значень утворює вимірювальну шкалу.

Всі шкали можна розділити на два класи: якісні та кількісні.

У номінальній шкалі як еталони виступають деякі класи, кожному з яких надано унікальне ім'я (назва), а процес вимірювання полягає в класифікації вимірюваних характеристик. Наприклад, шкали вимірювання виду квітів (класи: ромашки, троянди, маки, хризантеми, орхідеї…), професій (класи: учені, лікарі, дизайнери, інженери, юристи…) і т.д.

Номінальна шкала дозволяє тільки класифікувати множину альтернатив на підгрупи з однаковими значеннями (іменами) вимірюваної ознаки (частки критерію), не задаючи на них відношення переваги (домінування).

У багатьох випадках якісні еталони (класи) зв'язані природним упорядкуванням за ступенем прояву вимірюваної ознаки. Наприклад, “дуже подобається”, “подобається”, “однаково”, “ не подобається”, “дуже не подобається”. Якщо ніякі інші співвідношення між еталонними значеннями ознаки не зафіксовані, то шкала називається ранговою або порядковою. Така шкала задає впорядковану за ступенем прояву вимірюваної ознаки групування рішень, установлюючи на них відношення якісного порядку.

Слід відрізняти направлені та ненаправлені шкали порядку.

У першому випадку перехід зі стану в стан можливий тільки в одному напрямку. Наприклад, у випадку вимірювання віку в якісній шкалі, заданої такими станами: діти “ясельного”, “дошкільного”, “молодшого шкільного" і “старшого шкільного" віків.