У другому випадку можливий перехід у будь-якій сусідній стан, наприклад, у шкалі вимірювання прибутковості підприємства: “дуже низький”, “низький”, “задовільний”, “середній”, “високий”, “дуже високий”.

Якщо для значень ознаки визначена операція порівняння (на або в скільки разів одне значення більше іншого), то ознака є кількісною.

Типізація кількісних шкал і порівняння їхніх значень ґрунтуються на зображені ознаки сім'єю відображень (а не єдиним відображенням) множини рішень у множину дійсних чисел, тобто для кожного .

У цьому випадку числові значення несуть інформацію не тільки про факт переваги, але дозволяють визначити кількісне значення (силу) переваги.

Серед кількісних шкал слід виділити три основних типи:

інтервальна шкала вигляду ;

шкала відношень або подібності вигляду , ;

абсолютна шкала вигляду .

В інтервальній шкалі конкретне перетворення критерію визначається вибором констант: і , де характеризує місце розташування нуля, тобто точку відліку, - масштаб.

Приклад інтервальної шкали - шкала вимірювання часу.

У шкалі подібності початок відліку не змінюється, тому .

Ознака, вимірювана цій шкалі, визначена з точністю до масштабу, як, наприклад, “маса”, “довжина” і т. ін.

В абсолютній шкалі використовується тотожне перетворення. У цій шкалі, як правило, вимірюється кількість об'єктів.

Якісні шкали також можуть бути відображені на числову вісь. Принципова відмінність полягає в тому, що цифри, які позначають можливі стани, є тільки “іменами” і не несуть кількісної інформації. Наприклад, значення номінальної ознаки “стать” можна закодувати будь-якими двома нерівними числами 14 і 7, або 13 і 27 і т.д. але ці числа не несуть інформації про перевагу тієї або іншої статі. Важливий тільки факт розходження цих чисел, а не їхнє кількісне співвідношення. Таке відображення є взаємно однозначним.

Для порядкової шкали цифрові “імена” мають нести інформацію про порядок проходження можливих еталонних станів.

Особливістю характеристик, вимірюваних у якісних шкалах, є те, що вони в принципі не містять інформацію про домінування значень показників і, отже, у початковому вигляді не можуть бути використані для ранжирування альтернатив. Якісні шкали можуть бути використані в цих цілях тільки в тому випадку, якщо є додаткова інформація про домінування.

Наприклад, при прийманні на роботу може бути визначена перевага статі або віку кандидата й т.п. Однак у цьому випадку для цілей кількісного ранжування альтернатив виникає необхідність в оцінці ступеня домінування, тобто в переході до кількісної шкали.

На відміну від кількісних оцінок, що відповідають, як правило, об'єктивним вимірюванням показників, експертні оцінки характеризують суб'єктивні думки фахівців і найчастіше робляться за бальними шкалами.

Як правило, при експертних оцінках як значення бальної шкали використовують цілі числа.

Приклад бальної оцінки - загальновідомі шкільні оцінки за п'ятибальною шкалою (1, 2, 3, 4,5).

Відрізняють два види бальних оцінок.

У першому випадку є загальноприйняті еталони, що відповідають градаціям шкали, з якими порівнюють розглянуті об'єкти. Шкільні оцінки - приклад оцінок за еталонами (і відхиленнями від них), відповідність яких знанням формується звичайно евристично, на основі особистого досвіду педагога. Тому оцінки знань, що даються різними педагогами, можуть відрізнятися.

Бальна оцінка другого виду робиться, коли не тільки немає загальноприйнятих еталонів, але й сумнівна навіть наявність єдиного об'єктивного критерію, суб'єктивними відбиттями якого є оцінки. Такими, наприклад, є порівняння художніх творів, фарб, смаку різних блюд. У цьому випадку часто оцінки розглядаються виконаними в так званій ранговій (порядковій) бальній шкалі.

3 Формування функції корисності частинних критеріїв

На множині Парето (області компромісів) ранжирування альтернатив пов'язане з формуванням деякої узагальненої скалярної оцінки, яка враховує всі частинні критерії (оцінки) і формалізує уявлення ОПР про перевагу альтернатив.

Така оцінка може бути розглянута як функція корисності частинних критеріїв

Функція корисності має задовольняти такі вимоги:

1) - область значень функції тобто

2) інваріантна до розмірності частинного критерію

3) інваріантна до виду екстремуму частинного критерію

Остання вимога означає,що незалежно від виду екстремуму (мінімум обо максимум) частинного критерію його найкращому значенню на множині має відповідати максимальне а найгіршому - мінімальне значення функції корисності

Крім того, функція корисності частинного критерію має описувати як лінійні, так і нелінійні залежності корисності альтернативи від значення частинного критерію.

Формально задача нормалізації частинних критеріїв розглядається як задача вторинного шкалування (вибір єдиної шкали для всіх частинних критеріїв).

Задача формалізації інформації про ступінь домінування альтернатив або переваг ОПР вимагає описування поряд з лінійними також нелінійних залежностей.

У багатьох випадках корисність частинних критеріїв нелінійно залежить від їхніх значень. Наприклад, корисність житлової площі для конкретної родини, цінність швидкодії обо обсягу оперативної пам'яті персонального комп'ютера для конкретно користувача й т.д.

Оскільки кожна альтернатива характеризується декількома частинними критеріями, то, у загальному випадку, вона описується нелінійностями різного типу.

Всім перерахованим вимогам відповідає функція локальної корисності вигляду

(5.8)

де - значення частинного критерію;

- відповідно найкраще й найгірше значення частинного критерію на області припустимих рішень .

Залежно від виду екстремуму (напряму домінування) маємо

Параметр визначає вид залежності: - увігнута функція при - лінійна функція при - опукла функція при відповідно. Графік функції при різних показаний на рис.5.1.

Рисунок 5.1 - Графіки за різних

Оскільки та є константами, то функція корисності (5.8) може бути записана у вигляді

(5.9)

де

Таким чином, обрана функція корисності частинних критеріїв є інтервальною нелініййною шкалою з адаптованими до конкретної ситуації параметрами та Причому вона перетворюється в лінійну інтервальну шкалу.

Всі частинні критерії, незалежно від того, у якій шкалі вони спочатку обмірювані, мають бути перетворені в шкалу (5.9). Ця процедура не икликає ускладнень, якщо частинний критерій вимірюється у кожній з кількісних шкал: абсолютній, подібності або інтервальній. Ці шкали містять об'єктивну, кількісну інформацію про значення критерію, інтервали його можливої зміни, максимальне та мінімальне значення, напрям домінування. Дана інформація дозволяє обчислити об'єктивні значення коефіцієнтів та ОПР повинна установити тільки силу переваги різних значень критерію, визначити характер залежності корисності від абсолютних значень критерію, тобто задати значення параметра

Зазначимо, що виникають ситуації, коли на інтервалі можливого змінювання критерію задані два напрями домінування. Наприклад, проводиться оцінка якості джерела електропостачання і як частинний критерій розглядається стабільність видаваної напруги. Очевидно, що найкращим значенням буде нормальна напруга, а відхилення як у більшу, так і меншу сторону небажані. У цьому випадку виникає ситуація, зображена на рис.5.2, де стрілками вказані напрями домінування. У загальному випадку лівий і правий інтервал можуть відрізнятися діаметром і характером зміни корисності. Наприклад, підвищення напруги може бути більш небезпечним, тому що може призвести до руйнування системи. У цьому випадку для кожного інтервалу будується окрема функція корисності.

Рисунок 5.2 - Двостороннє домінування

Зміна артеріального тиску людини належить до такої ж ситуації.

Аналогічно може бути інтерпретований один із частинних критеріїв ефективності економіки - курс національної валюти. Найкращим значенням цього критерію є стабільне значення. Відхилення, тобто як підвищення, твк і зниження курсу, небажані, однак вони мають різні наслідки (корисності).

Якісна картина змінювання функції корисності в цьому випадку показана на рис.5.3, де цифрами 1 і 2 позначені функції корисності відповідно при відхиленні в меншу й більшу сторони від норми.

Рисунок 5.3 - Графіки функції корисності при двосторонньому домінуванні

4 Перетворення дихотомічного якісного фактора

Нехай розв'язується задача підбору претендента на деяку посаду. Як один з оцінних факторів розглядається стать претендента. Можливі наступні ситуації.

· Стать кандидата для ОПР байдужа. Це означає, що переваги не визначені, інформація дл ранжирування відсутня, і фактор необхідно вилучити із множини оцінних критеріїв.

· Стать кандидата однозначно задана ОПР. У цьому випадку фактор з оцінного перетворюється в обмеження у вигляді рівності (рішення вже прийняте) і також виключається з оцінних критеріїв.

· ОПР визначив перевагу, наприклад, (чоловік переважніше за жінку). Значення критеріїв вимірювані в номінальній шкалі, можна зобразити в числовому вигляді. За будь-якої числової індексації дихотомічних альтернатив, більш переважна матиме корисність, рівну 1, а менш переважна - 0. Це обумовлено тим, що оцінка може приймати тільки два значення, одне із яких завжди найкраще, інше - найгірше.

5 Перетворення багатозначного якісного фактора

Нехай фактор може приймати декілька якісних значень. Наприклад, у якісній порядковій шкалі вимірюються знання. Для оцінки обрано п'ятипозиційну шкалу: погано (пг), незадовільно (незад), задовільно (зад), добре (доб), відмінно (відм). Дана шкала напрямлена, тобто містить, якісну інформацію про домінування станів:

Для переходу в числову шкалу можна застосувати монотонно зростаюче перетворення. Широко відома п'ятибальна оцінка знань є прикладом перетворення: )

Слід звернути увагу на той факт, що таке перетворення не дає кількісної інформації про перевагу. Отримані числові значення є тільки символами (номерами) вимірювальних значень. Так оцінки 2 і 5 не означають, що в другому випадку учень має в 2.5 рази знань більше. Однак таке попереднє перетворення дозволяє за допомогою формули (5.8) перейти в інформативну числову інтервальну шкалу. Для цього необхідно, щоб ОПР визначив значення параметра . Якісна картина залежності корисності від значень у розглянутому випадку, показана на рисунку 5.4.

Таким чином, функція корисності (5.8) є універсальною. Вона дозволяє сформувати інформативні кількісні оцінки корисності значень частинного критерію та формалізувати уявлення ОПР про перевагу значень і її силу. Як показано вище, таке перетворення застосовне до критеріїв, вимірюваних як у кількісних, так і якісних шкалах.

Рисунок 5.4 - Перетворення якісної шкали в кількісну

5.2 Контрольні питання

1. Сформулювати основні етапи побудови математичної моделі.

2. Визначити поняття функції локальної корисності. Сформулювати її основні властивості.

3. Що означає нормалізація частинних критеріїв?

4. Визначити поняття функції узагальненої корисності альтернативи. Виділити основні види функцій узагальненої корисності.

5. Які види шкал ви знаєте? Наведіть приклади.

Література: [14, 119-123; 17, 140-145].

Практичне заняття 6. Тема. Моделі вибору компромісних рішень. Універсальна математична модель багатокритеріального оцінювання й оптимізації. Реалізація аддитивної оцінки. Реалізація моделі послідовної оптимізації. Реалізація мінімаксної та максмінної оцінок.

Мета: навчитися будувати універсальна математична модель багатокритеріального оцінювання й оптимізації.

6.1 Короткі теоретичні відомості.

6.2 Розв'язування задач.

6.3 Контрольні питання.

6.1 Короткі теоретичні відомості

1 Моделі вибору компромісних рішень

Розглянемо основні ситуації прийняття рішень, залежно від ступеня визначеності у формі подання інформації про значення вагових коефіцієнтів

1. Відомі точні кількісні значення вагових коефіцієнтів частинних критеріїв а отже, їхні функції корисності

Тоді природно функцію узагальненої корисності альтернативи подати у вигляді

(6.1)

а оптимальне рішення записати так

(6.2) або

(6.3) де

(6.4)\

функція втрати корисності, коефіцієнти задовольняють вимоги (5.6).

Адитивна модель багатокритеріального оцінювання (6.1) забезпечує вибір рішення з області компромісів тільки на опуклій множині припустимих рішень

Якщо множина неопукла, то для визначення компромісного рішення, яке належить області Парето, слід використовувати максимінну або мінімаксну модель компромісного вигляду:

(6.5)

2. Кількісні значення вагових коефіцієнтів невідомі, але ОПР має інформацію, що дозволяє ранжувати частинні критерії за важливістю:

(6.6)

Зазначена ситуація менш інформативна в порівнянні з випадком, коли є кількісна інформація про значення вагових коефіцієнтів , У цьому випадку завдання переваг частинних критеріїв означає, що тобто відома якісна інформація про взаємну важливість критеріїв.

Дана інформація найповніше використовується при виборі компромісного рішення методом послідовної оптимізації.

3. ОПР не має ані кількісної, ані якісної інформації про коефіцієнти ,

У цьому випадку, вважаємо , Тоді на основі (6.1) узагальнена корисність альтернативи

(6.7)

а рішення визначається у вигляді

(6.8) або

(6.9)

Відзначимо, що масштабний множник у формулах (6.7), (6.8) та (2.38) може бути опущений, тому що він не впливає на рішення.

Моделі (6.7), (6.8) справедливі тільки тоді, коли значення вагових коефіцієнтів , рівні між собою. У загальному випадку реальні значення , невідомі та можуть набувати будь-яких значень. У цьому випадку слід використовувати моделі мінімаксу або максиміну вигляду:

,

2 Універсальна математична модель багатокритеріального оцінювання й оптимізації

Розглянемо універсальну модель оцінювання та оптимізації, яка може легко адаптуватися до конкретної інформаційної ситуації та, залежно від цього, реалізувати одну з основних проблемно-орієнтованих математичних моделей багатокритеріального оцінювання та оптимізації: адитивну, послідовної оптимізації, мінімаксну (максимінну).

Як така пропонується універсальна модель:

(6.10), (6.11)

де - адаптаційний параметр; - функція втрати корисності.

Покажемо, що запропонована модель дозволяє реалізувати основні проблемно-орієнтовані багатокритеріальні оцінки.

3 Реалізація адитивної оцінки

Для реалізації адитивної багатокритеріальної оцінки достатньо у моделях (2.39), (2.40) покласти параметр

(6.12), (6.13)

4 Реалізація моделі послідовної оптимізації

Вихідна інформація в цьому випадку подана у вигляді впорядкованої за важливістю множини частинних критеріїв

Аналіз проводиться послідовно за кожним критерієм шляхом розв'язання однокритеріальних оптимізаційних задач. Для реалізації цієї моделі необхідно покласти в (6.10), (6.11). Перехід до однокритеріальних задач здійснюється шляхом вибору відповідних значень вагових коефіцієнтів , і додаванням необхідних додаткових обмежень. Покажемо це на прикладі.

Крок 1. Вважаємо та Унаслідок умови коефіцієнти Таким чином, з (6.10) отримуємо модель вигляду

Крок 2. та

і т. ін.

Аналогічна процедура триває послідовно за кожним частинним критерієм (для цього необхідно прийняти )

(6.14)

до одержання єдиного рішення.

Очевидно, що для випадку мінімізації втрати корисності (4.12) модель послідовної оптимізації набуває вигляду

(6.15)

5 Реалізація мінімаксної та максимінної оцінок

Математична модель (6.10) при перетворюється в модель

а (6.11) при

Із сказаного вище випливає, що узагальнена адаптивна математична модель багатокритеріального оцінювання та оптимізації (6.10), (6.11) шляхом вибору відповідного значення адаптаційного параметра і адекватного врахування вихідної інформації про значення вагових коефіцієнтів частинних критеріїв дозволяє реалізувати основні моделі оцінювання та оптимізації.

6.2 Розв'язування задач

Комп'ютери оцінюються за трьома критеріями: швидкодія, обсяг оперативної пам'яті, вартість. Пропонуються такі моделі комп'ютерів (табл.6.1):

Таблиця 6.1 - Вихідні дані

Модель (альтернатива)	Процесор, GHz,	Оперативна пам'ять, Мб	Ціна, грн .
	1,8	256	1500
	2,0	128	1800
	2,0	256	2600
	2,2	128	2500
	2,5	256	3200
	2,5	128	2700
	2,6	128	3500
	2,6	512	4700
	3,0	256	3600
	3,1	256	4600

Необхідно вибрати модель комп'ютера за критеріями

Область припустимих рішень

Область компромісів. Область згоди. Наближена область компромісів

Отже,

Принцип головного критерію

· Головний критерій - вартість; та - обмеження;

Формуємо область припустимих рішень яка задовольняє задані обмеження:

Тоді - найкраще рішення.

· Головний критерій - швидкодія; та - обмеження;

Формуємо область припустимих рішень яка задовольняє задані обмеження:

Тоді - найкраще рішення.

· Головний критерій - об'єм пам'яті; та - обмеження;

Формуємо область припустимих рішень яка задовольняє задані обмеження:

Тоді - найкраще рішення.

Функціонально-вартісний аналіз

Критерії функціональні (якість)

Критерії вартісні (витрати)

1. Нехай тоді

Формуємо область припустимих рішень що задовольняє задані обмеження

Тоді Значення відношення для різних альтернатив наведені в табл.2.8.

Таблиця 6.2 - Значення відношення

- найкраще рішення.

2. Нехай тоді

Формуємо область припустимих рішень що задовольняє задані обмеження

Тоді Значення відношення для різних альтернатив наведені в табл.6.3.

Таблиця 6.3 - Значення відношення

- найкраще рішення.

Принцип послідовної оптимізації

1. Нехай

Оскільки досягає екстремальне значення в єдиній точці застосуємо схему поступки

, - найкраще розв'язання.

2.

Оскільки досягає екстремальне значення в єдиній точці застосуємо схему поступки

, - найкраще рішення.

Функція корисності

Обчислимо функції локальної корисності критеріїв. Скористаємося співвідношенням вигляду

Для складання функції корисності визначимо відповідні значення критеріїв наведені в табл.6.4.

Таблиця 6.4 - Значення критеріїв і

Значення	Значення	Значення

Значення функцій локальної корисності за кожним із критеріїв наведені в таблиці 6.5.

Таблиця 6.5 - Значення функцій локальної корисності

Альтернатива	Значення	Значення	Значення
	0,000	0,333	1,000
	0,154	0,000	0,906
	0,154	0,333	0,656
	0,308	0,000	0,688
	0,538	0,333	0,469
	0,538	0,000	0,625
	0,615	0,000	0,375
	0,615	1,000	0,000
	0,923	0,333	0,344
	1,000	0,333	0,031

Модель максимальної узагальненої корисності

Нехай важливість критеріїв задається кількісно за допомогою коефіцієнтів застосуємо модель максимальної узагальненої корисності

за різними наборами значень Значення функції наведені в табл.6.6.

Таблиця 6.6 - Значення функції максимальної узагальненої корисності

Альтернатива	Значення функції
	0,444	0,367	0,267	0,733
	0,353	0,227	0,274	0,665
	0,381	0,344	0,290	0,523
	0,332	0,230	0,322	0,543
	0,447	0,422	0,483	0,469
	0,388	0,287	0,448	0,545
	0,330	0,260	0,444	0,386
	0,538	0,685	0,569	0,223
	0,533	0,512	0,689	0,459
	0,455	0,473	0,673	0,255
	0,538	0,685	0,689	0,733

Модель максиміна

У ситуації, коли інформація про коефіцієнти відсутня, скористаємося моделлю максиміну. Визначимо Значення функції для кожної з альтернатив наведені в табл.6.7.

Таблиця 6.7 - Значення функції

Альтернатива	Значення	Альтернатива	Значення
	0,000		0,000
	0,000		0,000
	0,154		0,000
	0,000		0,333
	0,333		0,031

Якщо покласти, наприклад, то а якщо то - - найкраще рішення.

Відповідь: Таким чином, використання різних моделей компромісу в задачі про вибір моделі комп'ютера призводить до різних результатів, що цілком погоджується з теорією. Кожне з отриманих розв'язань визначається не тільки вибором моделі компромісу, але й суб'єктивізмом ОПР при заданні обмежень, упорядкуванням критеріїв за важливістю й коефіцієнтами важливості. Остаточний вибір моделі комп'ютера може бути проведений на основі аналізу сильних і слабких сторін рішень, отриманих за допомогою різних моделей компромісу.

6.3 Контрольні питання

1. Назвіть основні етапи побудови математичної моделі.

2. Що таке функція узагальненої корисночті альтернативи?

3. Для чого виконується нормалізація частинних критеріїв?

4. Сформулюйте модель узагальненої функції корисності.

5. Які основні види шкал? Наведіть приклади.

6. Що являє собою функція локальної корисності альтернативи?

7. Сформулюйте основні ситуації прийняття рішень залежно від ступеня визначеності значень коефіцієнтів важливості частинних критеріїв.

8. Що таке універсальна адитивна математична модель багатофакторного оцінювання та оптимізації?

Література: [14, 119-123; 17, 140-145].

Практичне заняття 7. Тема. Дослідження задач прийняття рішень в умовах стохастичної невизначеності. Критерії прийняття рішень: максимального математичного сподівання (критерій Байеса); критерій мінімальної дисперсії; критерій очікуване значення-дисперсія; критерій граничного рівня

Мета: навчитися будувати універсальна математична модель багатокритеріального оцінювання й оптимізації.

7.1 Короткі теоретичні відомості.

7.2 Розв'язування задач.

7.3 Контрольні питання.

7.1 Короткі теоретичні відомості

7.1.1 Постановка задачі прийняття рішень в умовах стохастичної невизначеності. Ризик при прийнятті рішень

Під невизначеністю розуміють неповноту інформації про зовнішні умови, що впливають на результат прийнятого рішення. Під ризиком розуміють можливість будь-яких несприятливих наслідків прийнятого рішення: втрати ресурсів, недоодержання прибутку, виникнення додаткових витрат, несвоєчасне виконання робіт.

Розглянемо деякі приклади задач прийняття рішень в умовах стохастичної невизначеності як розвиток прикладів п.1.2

Приклад 7.1 Нехай в умовах прикладу 1.2 студентові з колишнього досвіду відомо, що поява контролера відбувається з імовірністю , а не поява - 0,99. При цьому рішення про придбання квитка студентові необхідно приймати багаторазово. Вихідні дані задачі в цьому випадку доповнюються рядком, що містить імовірності станів зовнішнього середовища.

Таблиця 7.1 - Матриця виграшів прикладу 7.1

Альтернатива	Стан зовнішнього середовища
	З	НЗ
Б	Задоволення 0,5	Розчарування 0,6
НБ	Досада 10	Радість 0
	0,01	0,99

Приклад 7.2 В умовах прикладу 1.3 директорові необхідно ухвалити рішення щодо випуску продукції, виходячи з того, яким буде літо: спекотним, помірним або дощовим. При цьому директорові відома статистика погодних умов минулих років.

Таблиця 7.2 - Матриця виграшів прикладу 7.2

Альтернатива	Стан зовнішнього середовища
	Спека	Помірно	Дощ
парасолі	40	60	90
капелюхи	50	93	55
плащі	50	66	79
	0,2	0,5	0,3

У загальному випадку задача прийняття рішень в умовах стохастичної невизначеності, як і раніше, визначається множинами , і , пов'язаними відображенням Ф вигляду (1.1). При цьому стани зовнішнього середовища є проявами стохастичної невизначеності. Конкретні інтерпретації станів зовнішнього середовища залежать від предметної галузі, у якій приймається рішення. Існує два основних методи конкретизації відображення Ф, яким відповідають певні підходи до оцінки корисності альтернатив.

7.1.2 Аналіз рішень в екстенсивній (узагальненій) формі

У цьому випадку множина явно не задана, а стохастична невизначеність описується умовними розподілами ймовірностей на множині наслідків залежно від обраної альтернативи .

Переваги ОПР виражають виражаються у вигляді корисності . Для кожної альтернативи її корисність залежить від величини оцінки альтернативи при результаті й розподілу ймовірностей : .

Оскільки кожній альтернативі однозначно відповідає розподіл на множині наслідків , то задача прийняття рішень у цьому випадку зводиться до вибору найкращого з погляду ОПР розподілу.

У дискретному випадку задачу прийняття рішень цього класу можна описати за допомогою таблиці 3.3, що містить матрицю виграшів (платіжну матрицю). Її елемент позначає виграш особи, що приймає рішення, при виборі нею альтернативи та настанні результати , а - імовірність настання результату при виборі .

Таблиця 7.3 - Матриця виграшів при аналізі рішень в екстравертивній формі

Альтернатива	Значення виграшу й імовірність настання результату
	p (x,z1)	f (x,z1)	p (x,z2)	f (x,z2)	…	p (x,zm)	f (x,zm)
					…
…	…	…	…	…	…	…	…
					…
…	…	…	…	…	…	…	…
					…

7.1.3 Аналіз рішень у нормальній формі

Множина станів внутрішнього середовища S задана явно, а стохастична невизначеність проявляється у випадковій появі тих або інших станів , які не залежать від вибору альтернативи . Стохастична невизначеність описується густиною ймовірності .

Переваги ОПР виражаються функцією корисності виду:

У дискретному випадку задачу прийняття рішень даного класу можна описати за допомогою матриці виграшів, описуваною таблицею 7.4.

Таблиця 7.4 - Матриця виграшів при аналізі рішень у нормальній формі

Альтернатива	Стан зовнішнього середовища
			…
			…
…	…	…	…	…
			…
…	…	…	…	…
			…
			…

Тут елемент позначає виграш ОПР при виборі нею альтернативи та настанні часу стану зовнішнього середовища .

Під час вибору рішень в умовах стохастичної невизначеності виграш ОПР часто є основою для формування кількісної оцінки альтернативи. Інший підхід до оцінки альтернатив пов'язаний з поняттям ризику при прийнятті рішення.

У задачах прийняття рішень розглянутого класу матриця виграшів містить спотворення. Нехай виграш при виборі альтернативи та настанні стану зовнішнього середовища більше, ніж виграш . Із цього не можна зробити остаточний висновок про корисність альтернатив і , тому що перший виграш може бути більше не за рахунок удалого вибору альтернативи, а за рахунок того, що стан сприятливіший за .

Необхідно ввести такі показники, які б не просто давали виграш у даній ситуації, а описували б вдалість або не вдалість вибору даної альтернативи в даній ситуації з урахуванням того, наскільки взагалі ця ситуація сприятлива для ОПР.

Із цією метою в теорії прийняття рішень уводиться поняття ризику. Ризик ОПР при використанні альтернативи за умови - це різниця між виграшем, що ОПР одержала б, якщо б знала , та виграшем, що ОПР одержить, застосовуючи :

(7.1)

де

При обчисленні ризику, який відповідає кожній альтернативі за даних умов, ураховується загальна сприятливість або несприятливість даного стану зовнішнього середовища для ОПР. При цьому є кількісною оцінкою сприятливості стану .

Приклад 7.3 За матрицею виграшів побудували матрицю ризиків.

Таблиця 7.5 - Матриця виграшів прикладу 7.3

Альтернатива	Стан зовнішнього середовища
	1	4	5	9
	3	8	4	3
	4	6	6	2

Використовуючи формулу , , побудуємо матрицю ризиків

Таблиця73.6 - Матриця ризиків прикладу73.3

Альтернатива	Стан зовнішнього середовища
	3	4	1	0
	1	0	2	6
	0	2	0	7

7.1.2 Критерії прийняття рішень в умовах стохастичної невизначеності

ОПР вибирає найкращу альтернативу залежно від цільової настанови, яку він реалізує в процесі розв'язання задачі. Результат розв'язання задачі ОПР визначає за одним із критеріїв прийняття рішення. Для того, щоб прийти до однозначного й по можливості найбільш вигідного варіанта рішення, необхідно ввести оцінну (цільову) функцію. При цьому кожній альтернативі ОПР () приписується деякий результат що характеризує всі наслідки цього рішення. З масиву результатів прийняття рішень ОПР вибирає елемент , який щонакрайще відображує мотивацію його поводження.

Розглянемо найпоширеніші критерії прийняття рішень в умовах стохастичної невизначеності. Основну увагу буде приділено аналізу рішень у нормальній формі.

Критерій максимального математичного сподівання

Критерій максимального математичного сподівання виграшу засто-совується в тих випадках, коли ОПР відомий закон розподілу ймовірностей станів зовнішнього середовища. Кожна альтернатива оцінюється математичним сподіванням виграшу ОПР при заданих станах зовнішнього середовища яке максимізується. Оптимальною за даним критерієм уважається та альтернатива ОПР, при виборі якої математичне сподівання виграшу максимальне

, (7.2)

де

у неперервному випадку та

у дискретному випадку

Застосування критерію максимального математичного сподівання виграшу, таким чином, виправдано, якщо ситуація, у якій приймається рішення, така:

· ОПР відомі ймовірності всіх станів зовнішнього середовища;

· мінімізація ризику програшу вважається ОПР менш істотним фактором прийняття рішення, ніж максимізація середнього виграшу:

· те саме рішення доводиться приймати достатньо велику кількість разів.

Критерій мінімальної дисперсії

Умови застосування даного критерію ті ж, що й для критерію максимального математичного сподівання. Особливість критерію мінімаль-ної дисперсії в тому, що він дозволяє зменшити ризик отримання невисокого виграшу при досить гарному математичному сподіванні у випадку великого розкиду значень виграшу. Оптимальною за даним критерієм уважається та альтернатива ОПР, при виборі якої значення дисперсії виграшу мінімальне

, (7.3)

де у неперервному випадку та

у дискретному випадку

Критерій ("очікуване значення - дисперсія")

Як вказувалося вище, критерій максимального математичного сподівання має область застосування, обмежену значною кількістю однотипних рішень, прийнятих в аналогічних ситуаціях. Цей недолік можна усунути, якщо застосувати комбінацію критерію максимального математичного сподівання та вибіркової дисперсії . Можливим критерієм при цьому є

(7.4)

де та - відповідно математичне очікування й дисперсія виграшу; - задана стала. Цю константу інтерпретують як рівень несхильності до ризику, тому що вона визначає "ступінь важливості" дисперсії стосовно математичного сподівання виграшу.

Так, наприклад, якщо для ОПР мають велике значення можливості втрати виграшу, то йому слід вибрати , і при цьому істотно збільшується роль відхилень від очікуваного значення виграшу за рахунок дисперсії.

Критерій граничного рівня

У випадку, коли ОПР діє за цим критерієм, він визначає бажане значення виграшу, що вибирається з інтервалу

,

І альтернативу якій відповідає значення

.

Даний критерій не дає оптимального рішення, яке максимізує виграш або мінімізує витрати. Скоріше, він відповідає визначенню прийнятного способу дій ОПР. Наприклад, на продаж виставляється старий автомобіль. Взнавши пропоновану ціну, продавець у розумно короткий термін повинен вирішити, чи прийнятна для нього ця ціна. Із цією метою він установлює ціну, нижче якої автомобіль не може бути проданий. Це і є граничний рівень, який дозоляє продавцеві погодитися на першу же перевищуючу цей рівень пропозицію ціни. Такий критерій не приводить до оптимального рішення, оскільки одна з наступних пропозицій може виявитися більш вигідною, ніж прийнята. Одна з переваг критерію в тому, що для нього немає необхідності давати в явному вигляді закон розподілу . Критерій граничного рівня використовується ОПР у випадку, якщо відомо значення виграшу, який необхідно отримати.

7.2 Розв'язування задач

Задача 7.1 Нехай є ситуація прийняття рішень в якій три стани природи , альтернатив прийняття рішень Х₁, Х₂, Х₃, Х₄. При цьому функціонал оцінювання прийняття рішень має вигляд:

	Х1	Х2	Х3	Х4
	3	2	7	6
	7	8	3	3
	5	4	5	6

Яке оптимальне рішення можливо прийняти використовуючи критерій Байєса. Критерій мінімальної дисперсії і іншими.

Розв'язання:

1) ,

2)

,

,

3)

,

У вигляді таблиці:

	Х1	Х2	Х3	Х4
	0,07	0,04	0,16	0,13
	0,12	0,13	0,05	0,05
	0,06	0,05	0,06	0,08

1)

2)

2)

	Х1	Х2	Х3	Х4
	0,8	0,11	0,064	0,0022
	0,681	0,2952	0,0071	0,000125
	0,83	0,135	0,0101	0,00051

:

	Х1	Х2	Х3	Х4
	0,32	0,44	0,0256	0,00088
	0,73835	0,074	0,00248	0,0000437
	0, 2075	0,0339	0,0025	0,00028
	0,765	0,1522	0,03061	0,001051

Знаходимо апостеріорні ймовірності за формулою Байса

	Х1	Х2	Х3	Х4
	0,412	0,289	0,0836	0,837
	0,317	0,48	0,8101	0,041
	0,271	0,231	0,0081	0,122

Нехай відбувається подія :

4,81;

5,342;

3,0557;

5,877.

Відповідь: Оскільки мінімум сподіваних затрат за критерієм Байєса досягається при х=, то потрібно прийняти третє рішення.

Задача7.2 Розв'язати попередню задачу за допомогою критерію мінімуму дисперсії. Тобто

Розв'язання:

Обираємо мінімальну дисперсію.

Відповідь: Потрібно прийняти 4-те рішення.

7.3 Контрольні питання

1. Що розуміють під невизначеністю в задачах прийняття рішень?

2. У чому суть аналізу рішень в екстенсивній і нормальній формі?

3. Що таке ризик при прийнятті рішень?

4. Перелічити основні критерії прийняття рішень в умовах стохастичної невизначеності.

5. У чому сильні й слабкі сторони критеріїв максимального математичного сподівання та мінімальної дисперсії?

Література: [14, 119-123; 17, 140-145].

Практичне заняття 8. Тема. Розв'язання задач прийняття рішень в умовах стохастичної невизначеності за допомогою критерія найбільш імовірного результату, критерія мінімуму середнього ризику.

Мета: навчитися застосовувати критерії найбільш імовірного результату та мінімуму середнього ризику для прийняття оптимального рішення.

8.1 Короткі теоретичні відомості.

8.2 Розв'язування задач.

8.3 Контрольні питання.

8.1 Короткі теоретичні відомості

1 Критерій найбільш імовірного результату

Відповідно до цього критерію вибирається така альтернатива, що максимізує кількісну оцінку своїх наслідків при найбільш імовірному стані зовнішнього середовища

(8.1) де .

Використання цього критерію пов'язане з тим, що із практичної точки зору знання найбільш імовірного результату забезпечує необхідну інформацію для прийняття рішення.

Критерій найбільш імовірного результату непридатний, якщо є багато станів зовнішнього середовища мають рівні ймовірності настання.

2 Критерій мінімуму середнього ризику

Критерій мінімуму середнього ризику застосовується в тих випадках, коли ОПР відомий закон розподілу ймовірностей станів зовнішнього середовища. Кожна альтернатива оцінюється математичним сподіванням ризику ОПР при заданих станах зовнішнього середовища. Оптимальною за даним критерієм уважається та альтернатива ОПР, при виборі якої значення математичного сподівання ризику мінімальне.

(8.2)

де у дискретному випадку.

Умови застосування критерію мінімуму середнього ризику збігаються з умовами застосування критерію максимального математичного сподівання виграшу. Неважко показати, що при тих самих вихідних даних обидва критерії приводять до одного результату.

8.2 Розв'язування задач

Задача 8.1 Фірма має намір придбати пакет акцій одного із трьох підприємств - , , . Прибуток, що одержить фірма від покупки акцій не може бути точно відомий заздалегідь, тому що він залежить від того, як змінюватиметься вартість цих акцій. Можливі величини прибутку фірми від покупки акцій підприємств (у млн. грош. од.) наведені у табл.8.1 Величини в таблиці означають таке. Якщо фірма придбає пакет акцій підприємства і їхня вартість зростатиме, то прибуток фірми складе 10 млн. грош. од. Якщо вартість акцій підприємства залишатиметься стабільною, то прибуток фірми складе 6 млн. грош. од. У випадку зниження вартості акцій фірма понесе збиток у розмірі 7 млн. грош. од.

Таблиця 8.1 - значення прибутку від покупки акцій

Пакет акцій	Зміна вартості акцій
	Зростання	Стабільний стан	Зниження
	10	6	-7
	6	4	-3
	8	3	-2

Відповідно до наявних експертних оцінок, можливі чотири сценарії розвитку економічної ситуації (чотири результати) - :

ѕ : вартість акцій підприємств та залишається стабільною, вартість акцій підприємства зростає;

ѕ : вартість акцій підприємства знижується, і зростає;

ѕ : вартість акцій підприємства зростає, і знижується;

ѕ : вартість акцій всіх підприємств залишається стабільною.

За оцінками експертів, імовірності сценаріїв відповідно дорівнюють 0.3, 0.1, 0.1, 0.5.

Потрібно визначити, який пакет акцій слід придбати фірмі, щоб отримати максимальний прибуток.

Зазначимо, що дана задача розв'язується в умовах невизначеності, тому що прибуток фірми залежить не тільки від її рішення, але й від зовнішніх умов. При покупці акцій ще невідомо, за яким сценарієм розвиватиметься економічна ситуація. Крім того, фірма може придбати акції тільки одного підприємства.

Складемо матрицю виграшів. Для цього знайдемо, який буде прибуток фірми для різних рішень (при покупці різних пакетів акцій) у різних зовнішніх умовах. Припустимо, що фірма купить пакет акцій підприємства. Якщо ситуація розвиватиметься за сценарієм , фірма отримає прибуток у розмірі 6 млн. грош. од., тому що за цим сценарієм вартість акцій підприємства знизиться. За сценарієм фірма отримує прибуток у розмірі 10 млн. грош. од., тому що за цим сценарієм вартість акцій підприємства залишається стабільною. Виконавши аналогічні міркування для всіх варіантів рішення (покупка акцій , та ) і для всіх варіантів зовнішніх умов (сценарії ) одержимо матрицю виграшів (табл.8.2).

Таблиця 8.2 - Матриця виграшів

Придбаний пакет акцій	Сценарій
	6	-7	10	6
	4	6	-3	4
	8	8	-2	3

Отримаємо варіанти розв'язання задачі, використовуючи різні критерії прийняття рішень в умовах стохастичної невизначеності.

· Критерій максимального математичного сподівання.

= 6 - 0.3-7 - 0.1 +10-0.1 + 6-0.5 = 5.1,= 4-0.3 + 6-0.1 - 3-

0.1 +4-0.5 = 3.5,= 8-0.3 + 8-0.1 - 2 - 0.1 + 3-0.5

= 4.5,

Таким чином, фірмі рекомендується придбати пакет акцій .

· Критерій мінімальної дисперсії. Скористаємося формулою (7.3):

.

Відповідно до даного критерію найкращою є альтернатива , фірмі слід придбати пакет акцій .

· Критерій "очікуване значення - дисперсія". За формулою (7.4):

. Виберемо спочатку К =0.1. Тоді

,

,

.

, фірмі слід придбати пакет акцій .

Нехай тепер . Тоді

,

,

.

, фірмі слід придбати пакет акцій . Це ж рішення буде оптимальним за даним критерієм і при подальшому збільшенні значення К.

· Критерій граничного рівня. Відповідно до формули (7.5)

Установимо значення граничного рівня . Тоді ,

,

.

Відповідно до критерію граничного рівня принайкращою альтернативою є , фірмі слід придбати пакет акцій .

· Критерій найбільш імовірного результату. Скористаємося формулою (7.6).

де . Тут s* - стан зовнішнього середовища з найбільшою ймовірністю, , цьому стану відповідає ймовірність 0.5, вибираючи максимальне значення виграшу при . одержимо: Фірмі слід придбати пакет акцій .

· Критерій мінімуму середнього ризику. Складемо матрицю ризиків.

Таблиця 8.3 - Матриця ризиків

Придбаний пакет акцій	Сценарій
	2	15	0	0
	4	2	13	2
	0	0	12	3

Використаємо формулу (8.2)

. Фірмі рекомендується придбати пакет .

Відповідь: Таким чином, застосування різних критеріїв призводить до різних результатів розв'язання задачі. Кожне з отриманих рішень визначається вибором критерію прийняття рішення з урахуванням його особливостей, але іі суб'єктивізмом ОПР при завданні граничного рівня, числових коефіцієнтів у критерії "очікуване значення - дисперсія". Остаточний вибір рішення, як і у випадку детермінованих задач, слід проводити на основі аналізу сильних і слабких сторін рішень, отриманих за допомогою різних критеріїв.

8.3 Контрольні питання

6. Що розуміють під невизначеністю в задачах прийняття рішень?

7. У чому суть аналізу рішень в екстенсивній і нормальній формі?

8. Що таке ризик при прийнятті рішень?

9. Перелічити основні критерії прийняття рішень в умовах стохастичної невизначеності.

10. У чому сильні й слабкі сторони критеріїв максимального математичного сподівання та мінімальної дисперсії?

Література: [14, 119-123; 17, 140-145].

Список літератури

1. Бейко И.В., Бублик Б.Н., Зинько П.Н. Методы и алгоритмы решения задач оптимизации. - К.: Вища школа, 1983. - 512 с.

2. Бойчук М.В., Семчук А.Р. Методичні вказівки "Методи прийняття рішень у соціально-економічних системах" - Чернівці: Рута, 2001. - 86с.

3. Волошин О.Ф., Мащенко С.О. Теорія прийняття рішень. Навчальний посібник. - К.: ВПЦ "Київський університет", 2006. - 304 с.

4. Гермейер Ю.Б. Введение в теорию исследования операций. - М.: Наука, 1971. - 384 с.

Страница:

•  1 
•  2 

методичка "Системи та методи прийняття рішень" скачать

Подобные документы

• Багатоетапні процедури прийняття рішень в умовах невизначеності на основі декомпозиції дерева рішень

  Створення умов невизначеності через відсутність апріорної інформації про ймовірнісний розподіл рівнів попиту. Розрахунок корисності альтернативних варіантів рішень на відрізку часу в 10 років. Побудова дерева рішень з деталізацією варіантів рішень.
  
  лабораторная работа [57,1 K], добавлен 01.04.2014
  

• Система кількісних оцінок ступеня ризику

  Кількісна оцінка ступеня ризику. Ризик в абсолютному вираженні. Підхід до його оцінювання, зважене середньогеометричне значення економічного показника, ризик як міра мінливості результату, як величина очікуваної невдачі, як модальне значення її міри.
  
  курсовая работа [224,4 K], добавлен 09.02.2011
  

• Методи оптимізації при вирішенні економічних задач

  Загальний опис задачі прийняття рішень, порядок формування математичної моделі. Множина Парето і шляхи її визначення. Математична модель лінійної оптимізації. Визначення дефіцитних та найбільш цінних ресурсів. Формування оптимального плану перевезень.
  
  контрольная работа [1,0 M], добавлен 21.11.2010
  

• Комплексна методика прийняття рішень щодо розміщення фінансових коштів на фондовому ринку України

  Фондовий ринок України. Моделювання процесів прийняття рішень щодо ефективного управління інвестиційним портфелем підприємств-суб‘єктів ринкових відносин. Поєднання методів традиційного і портфельного підходів до формування інвестиційного портфеля.
  
  автореферат [207,8 K], добавлен 06.07.2009
  

• Підвищення ефективності роботи підприємства на основі застосування економіко-математичних методів (на прикладі ВАТ "Дніпрополімермаш")

  Методи і методики визначення ефективності роботи підприємства, аналіз фінансового стану. Економіко-математичне моделювання взаємозв‘язку елементів собівартості та прибутку. Інформаційна система підтримки прийняття рішень. Інтерфейс інформаційної системи.
  
  дипломная работа [1,7 M], добавлен 14.11.2009
  

• Застосування основ теорії ігор та статистичних рішень і теорії масового обслуговування для вибору і обґрунтування управлінських рішень в умовах невизначеності

  Елементи теорії статистичних рішень. Критерії вибору рішення в умовах невизначеності. Класифікація систем масового обслуговування. Основні характеристики та розрахунок їх параметрів. Елементи задачі гри з природою. Особливості критерій Гурвіца та Вальда.
  
  курсовая работа [94,6 K], добавлен 08.09.2012
  

• Математичні моделі й методи обґрунтування управлінських рішень, сфери їх використання в управлінській діяльності українських організацій

  Теоретичні основи, сутність управлінських рішень та моделі їх прийняття. Три основні типи управлінських завдань: концептуальні, пов'язані з техніко-технологічним аспектом функціонування виробництва, завдання, які виникають унаслідок дії людського фактора.
  
  курсовая работа [423,7 K], добавлен 26.07.2015
  

• Визначення оптимальних показників діяльності структурного підрозділу Державної служби України з надзвичайних ситуацій у галузі інформаційної безпеки

  Оцінка ефективності рішень фахівця відділу матеріально-технічного забезпечення. Визначення оптимального плану випуску продукції засобами стохастичного програмування. Застосування теорії графів в інформаційній безпеці. Оцінка ризику цінних паперів.
  
  курсовая работа [3,1 M], добавлен 22.09.2014
  

• Теорія споживання

  Опуклі множини та їх головні властивості. Аксіоми відношення переваги. Функція корисності споживання. Геометрична інтерпретація функції корисності. Сутність закону Госена. Оптимізаційна математична модель поведінки споживача на ринку товарів і послуг.
  
  контрольная работа [538,3 K], добавлен 01.12.2010
  

• Прогнозування стану житлового фонду міста (на прикладі м. Тернопіль)

  Соціально-економічний розвиток міста Тернополя і задача реформування його житлово-комунальної сфери. Сучасні технології та загальні принципи побудови системи підтримки прийняття рішень. Формулювання і опис модельованої системи, її програмна реалізація.
  
  дипломная работа [803,8 K], добавлен 14.10.2010
  

• Моделювання логістичної системи підприємства

  Поняття логістичних ланцюгів. Методи побудови початкового опорного плану. Визначення та розрахунок потенціалу кожної вершини. Методи пошуку оптимального рішення. Алгоритм оптимізації транспортної задачі: логістичного ланцюга за допомогою симплекс-методу.
  
  дипломная работа [1,1 M], добавлен 20.11.2013
  

• Підвищення економічних показників державного підприємства

  Аналіз виробничої діяльності державного підприємства. Підготовка до впровадження реального інвестиційного проекту та оцінка його економічної ефективності. Інформаційна система підтримки прийняття рішень по мінімізації витрат на державному підприємстві.
  
  дипломная работа [4,6 M], добавлен 14.10.2009
  

• Прийняття рішень в умовах повної невизначеності

  Методика та головні етапи побудування платіжної матриці підприємства при різних термінах постачання цементу. Формування та аналіз матриці ризиків. Оцінка стратегії в умовах повної невизначеності на основі критеріїв Лапласа, Вальда, Севіджа, Гурвіца.
  
  лабораторная работа [21,5 K], добавлен 28.03.2014
  

• Фінансовий ринок та ризик

  Нарощування простих і складних відсотків. Потоки платежів, ренти. Розрахунок прибутковості цінного папера. Диверсифікованість портфелю цінних паперів. Оптимальний ринковий портфель. Опціонні контракти, їх види. Біномінальна модель визначення ціни опціону.
  
  курс лекций [83,0 K], добавлен 25.01.2010
  

• Побудова споживчої функції. Оцінка параметрів системи економетричних рівнянь

  Характеристика економетрії, яка є галуззю економічної науки, що вивчає методи кількісного вимірювання взаємозв’язків між економічними показниками. Розрахунок та побудова споживчої функції. Методи дослідження мультиколінеарності між пояснюючими змінними.
  
  курсовая работа [211,9 K], добавлен 29.01.2010
  

• Моделювання оптимального розподілу інвестицій за допомогою динамічного програмування

  Теоретичні аспекти математичного моделювання динамічних систем: поняття і принципи, прийняття управлінських рішень з урахуванням фактору часу. Вирішення задач динамічного програмування: побудова і розрахунок моделі; оптимальний розподіл інвестицій.
  
  курсовая работа [1,1 M], добавлен 16.02.2011
  

• Методологічні основи статистики

  Поняття та етапи статистики, її методологічна основа та застосування на практиці. Статистичне забезпечення управлінських заключень щодо вдосконалення податкової системи в Україні. Теорія процесу приймання адміністративних рішень та їх об'єктивізація.
  
  курсовая работа [1,7 M], добавлен 18.12.2010
  

• Економіко-математичні методи і алгоритми

  Обчислення інтервалів стійкості двоїстих оцінок стосовно зміни запасів дефіцитних ресурсів. Розрахунок інтервалів можливих змін ціни одиниці рентабельної продукції. Визначення очікуваного значення прибутку, коефіцієнту варіації та рівня дисперсії.
  
  контрольная работа [171,7 K], добавлен 25.04.2010
  

• Розробка моделей лінійного програмування

  Аналіз чутливості і інтервалу оптимальності при зміні коефіцієнтів цільової функції. Моделювання випадкових подій. Визначення оптимальної виробничої стратегії. Розробка моделі функціонування фірм на конкурентних ринках. Оцінка ризику інвестування.
  
  контрольная работа [333,9 K], добавлен 09.07.2014
  

• Побудова моделей дослідження попиту на нерухомість

  Поняття ринку нерухомості та його основні риси. Визначення попиту та пропозиції на ринку нерухомості та чинників, що на нього впливають. Аналіз основних моделей дослідження попиту. Авторегресійні моделі та й моделі експоненціального згладжування.
  
  дипломная работа [1,6 M], добавлен 20.11.2013
  

Другие документы, подобные "Системи та методи прийняття рішень"

• главная
• рубрики
• по алфавиту
• вернуться в начало страницы
• вернуться к началу текста
• вернуться к подобным работам