Размещено на http://www.allbest.ru/

Применение моделей кривых роста при построении бизнес-прогнозов

Оглавление

• Введение
• 1. Применение моделей кривых роста для анализа и прогнозирования тенденций развития бизнес-процессов
• 1.1 Модели кривых роста
• 1.2 Виды кривых роста
• 1.3 Выбор формы кривой
• 2. Расчет прогнозного значения среднегодовой численности промышленно-производственного персонала с помощью моделей кривых роста
• 2.1 Исходные данные для прогнозирования
• 2.2 Исследование компонентного состава заданного временного ряда
• 2.3 Определение коэффициентов линейной и параболической моделей
• 2.4 Сравнение построенных моделей по характеристикам точности и проверка гипотезы об отсутствии автокорреляции
• Заключение
• Список используемых источников

Введение

Спрос на прогнозные разработки имел место всегда, поскольку всегда интересно заглянуть в будущее, связать с этим свои намерения и в соответствии с этим строить планы. На современном этапе преобразований, происходящих с достаточно высокой скоростью, и в институциональной среде, и в системе бизнеса, и в обществе в целом возрастает спрос на качественные и оперативные прогнозные разработки.

Интерес к будущему возникает из практической потребности реального времени, когда любой хозяйствующий субъект, формируя собственную стратегию, прогнозирует изменения во внешней среде. Прогнозирование характеризует активную позицию бизнеса, широту его видения, так как анализ перспектив основывается на синтезе методов, заимствованных из самых разных областей научной деятельности: философии, социологии, математики, экономики. параболический автокорреляция персонал

Желание работать на опережение, эффективно формировать стратегию, предугадывая возможные или новые изменения в конкурентной среде, в поведении остальных субъектов бизнеса, становится жизненно необходимым и объективно оправданным.

Кривые роста, описывающие закономерности развития явлений во времени, получают путем аналитического выравнивания динамических рядов. Выравнивание ряда с помощью тех или иных функций в большинстве случаев оказывается удобным средством описания эмпирических данных, характеризующих развитие во времени исследуемого явления. Это средство удобно и для прогнозирования.

Значение кривых роста как методов статистического прогнозирования социально-экономических явлений состоит в том, что они способствуют эмпирически правильному воспроизведению тенденции развития исследуемого явления.

Цель данной курсовой работы - изучить использование моделей кривых роста в бизнес-прогнозировании.

Соответственно поставленной цели в ходе работы будут решены следующие задачи:

· рассмотреть положения модели кривых роста;

· разобрать существующие виды кривых роста;

· изучить процесс и критерии выбора формы кривой роста;

· построить прогноз значения среднегодовой численности промышленно-производственного персонала, занятого в энергетике на 2008 год с помощью модели кривых роста и сравнить с фактическим.

Структурно работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка используемых источников.

При изучении темы были исследованы научные труды следующих авторов: Арженовский С.В., Молчанов И.Н., Дуброва Т.А., Садовникова Н.А., Шмойлова Р.А., Тельнов Ю.Ф., Ханк Д.Э., Уичерн Д.У., Райтс А. Дж. и других.

1. Применение моделей кривых роста для анализа и прогнозирования тенденций развития бизнес-процессов

1.1 Модели кривых роста

На практике для описания тенденции развития явления широко используются модели кривых роста, представляющие собой различные функции времени y = f(t). При таком подходе изменение исследуемого показателя связывают лишь с течением времени; считается, что влияние других факторов несущественно или косвенно сказывается через фактор времени.

Прогнозирование социально-экономических явлений на основе кривых роста (кривых насыщения) стало применяться сравнительно недавно. Впервые эти методы были использованы в начале ХХ века для прогнозирования роста биологических популяций. Однако кривые роста хорошо себя зарекомендовали и при прогнозировании социально-экономических явлений.

Суть метода кривых роста состоит в аппроксимации значений наблюдаемого показателя некоторой функцией (кривой роста), содержащей неизвестные параметры, которые находятся по имеющемуся ряду значений показателя. Прогноз выполняется путем нахождения значения полученной функции в соответствующей точке.

Правильно выбранная модель кривой роста должна соответствовать характеру изменения тенденции исследуемого явления. Кривая роста позволяет получить выровненные или теоретические значения уровней динамического ряда. Это те уровни, которые наблюдались бы в случае полного совпадения динамики явления с кривой.

Прогнозирование на основе модели кривой роста базируется на экстраполяции, т. е. на продлении в будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом.

При этом предполагается, что во временном ряду присутствует тренд, характер развития показателя обладает свойством инерционности, сложившаяся тенденция не должна претерпевать существенных изменений в течение периода упреждения.

Применение кривых роста при прогнозировании социально-экономических явлений требует соблюдения определенных условий:

1. Исходный временной ряд должен быть достаточно длинным (30-40 лет);

2. Исходный временной ряд не должен иметь скачков, и тенденция такого ряда должна описываться достаточно плавной кривой;

3. Использование кривых роста в прогнозировании социально-экономических явлений может давать достаточно хорошие результаты, если предел насыщения будет определен сравнительно точно.

Следует отметить, что кривые роста отражают кумулятивные возрастания к определенному заранее максимальному пределу.

Особенностью кривых роста является то, что абсолютные приращения уменьшаются по мере приближения к пределу. Однако процесс роста идет до конца.

Процедура разработки прогноза с использованием кривых роста включает в себя следующие этапы:

1. Выбор одной или нескольких кривых, форма которых соответствует характеру изменения временного ряда;

2. Оценка параметров выбранных кривых;

3. Проверка адекватности выбранных кривых прогнозируемому процессу, оценка точности моделей и окончательный выбор кривой роста;

4. Расчет точечного и интервального прогнозов.

В настоящее время в литературе описано несколько десятков кривых роста, многие из которых широко применяются для выравнивания экономических временных рядов.

1.2 Виды кривых роста

Кривые роста условно могут быть разделены на три класса в зависимости от того, какой тип динамики развития они хорошо описывают.

К I типу относятся функции, используемые для описания процессов с монотонным характером тенденции развития и отсутствием пределов роста. Эти условия справедливы для многих экономических показателей, например, для большинства натуральных показателей промышленного производства.

Ко II классу относятся кривые, описывающие процесс, который имеет предел роста в исследуемом периоде. С такими процессами часто сталкиваются в демографии, при изучении потребностей в товарах и услугах (в расчете на душу населения), при исследовании эффективности использования ресурсов и т.д. Примерами показателей, для которых могут быть указаны пределы роста, являются среднедушевое потребление определенных продуктов питания, расход удобрений на единицу площади и т.п.

Функции, относящиеся ко II классу, называются кривыми насыщения. Если кривые насыщения имеют точки перегиба, то они относятся к III типу кривых роста - к S-образным кривым.

Эти кривые описывают как бы два последовательных лавинообразных процесса (когда прирост зависит от уже достигнутого уровня): один с ускорением развития, другой - с замедлением.

S-образные кривые находят применение в демографических исследованиях, в страховых расчетах, при решении задач прогнозирования научно-технического прогресса, при определении спроса на новый вид продукции.

Вопрос о выборе кривой является основным при выравнивании ряда.

Существует несколько подходов к решению этой задачи, однако, все они предполагают знакомство с основными свойствами используемых кривых роста. Поэтому остановимся на характеристике отдельных типов кривых, наиболее часто применяемых на практике.

Среди кривых роста I типа, прежде всего, следует выделить класс полиномов:

(1)

где i = 0, 1, ... , p - параметры многочлена; t - независимая переменная (время), t = 1, 2, …, n.

Коэффициенты полиномов невысоких степеней могут иметь конкретную интерпретацию в зависимости от содержания динамического ряда. Например, их можно трактовать как скорость роста (a₁), ускорение роста (a₂), изменение ускорения (a₃), начальный уровень ряда при t = 0 (a₀).

Обычно в экономических исследованиях применяются полиномы не выше третьего порядка. Использовать для определения тренда полиномы высоких степеней нецелесообразно, поскольку полученные таким образом аппроксимирующие функции будут отражать случайные отклонения (что противоречит смыслу тенденции).

Полином первой степени

(2)

на графике изображается прямой и используется для описания процессов, развивающихся во времени равномерно.

Полином второй степени

(3)

применим в тех случаях, когда процесс развивается равноускоренно (т.е. имеется равноускоренный рост или равноускоренное снижение уровней).

Как известно, если параметр a₂ > 0 , то ветви параболы направлены вверх, если же a₂ < 0, то вниз. Параметры a₀ и a₁ не влияют на форму параболы, а лишь определяют ее положение.

Полином третьей степени имеет вид

(4)

Отличительная черта полиномов - отсутствие в явном виде зависимости приростов от значений ординат.

Оценки параметров в модели (1) определяются методом наименьших квадратов. Как известно, суть его состоит в нахождении таких параметров, при которых сумма квадратов отклонений расчетных значений уровней от фактических значений была бы минимальной. Таким образом, эти оценки находятся в результате минимизации выражения:

(5)

где y_t - фактическое значение уровня временного ряда; - расчетное значение; n - длина временного ряда.

Приведем систему нормальных уравнений, полученную в результате минимизации выражения (5):

(6)

Система (6) состоит из (p +1) линейных уравнений, содержащих в качестве неизвестных величин (p +1) коэффициентов a₀, a₁, ..., a_р. Решение этой системы позволяет вычислить оценки искомых коэффициентов.

Системы для оценивания полиномов невысоких степеней выглядят намного проще. Например, нормальные уравнения для оценивания параметров прямой (полинома первой степени) имеют вид

(7)

Решение этой системы относительно искомых параметров дает следующие выражения:

(8)

Для параболы 2-го порядка получим аналогичную систему нормальных уравнений:

(9)

Эта система содержит три уравнения, позволяющих найти оценки трех неизвестных коэффициентов a₀, a₁, a₂.

Составление нормальных уравнений можно упростить, воспользовавшись тем, что величины S_t , S_t2 , … не зависят от конкретных уровней динамического ряда. Эти суммы являются функциями только числа членов в динамическом ряду. Для них получены следующие формулы:

(10)

Другой подход к упрощению расчетов заключается в переносе начала координат в середину ряда динамики. Это позволяет упростить сами нормальные уравнения, а также уменьшить абсолютные значения величин, участвующих в расчете. Если до переноса начала координат t было равно 1, 2, 3,..., то после переноса:

· для четного числа членов ряда t = ..., -5; -3; -1; 1; 3; 5;...;

· для нечетного числа членов ряда t = ..., -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3;... .

Такой подход существенно упрощает систему (6).

После переноса начала координат в середину ряда динамики оценки параметров соответствующих полиномов определяются с помощью следующих выражений:

(11)

(12)

Для класса экспоненциальных кривых, в отличие от полиномов, характерной является зависимость приростов от величины самой функции. Эти кривые хорошо описывают процессы, имеющие «лавинообразный» характер, когда прирост зависит от достигнутого уровня функции.

Простая экспоненциальная (показательная) кривая имеет вид:

(13)

Если b > 1, то кривая растет вместе с ростом t, и падает, если b < 1.

Параметр a характеризует начальные условия развития, а параметр b - постоянный темп роста.

Действительно, темп роста равен

(14)

В данном случае

(15)

Соответственно и темпы прироста постоянны:

(16)

В нормальных уравнениях вместо фактических уровней выступают их логарифмы:

(17)

Найдем неизвестные параметры A и B. Зная значения A = lna и B = lnb, определим значения a и b, и с помощью потенцирования получим показательную функцию, служащую для выравнивания ряда.

Такой подход к оцениванию неизвестных параметров привлекает своей универсальностью. Однако следует иметь в виду, что полученные оценки параметров оказываются смещенными, т.к. при расчете участвуют не исходные уровни, а их логарифмы. Смещение будет тем значительнее, чем больше разность между последовательными уровнями динамического ряда. Не приводит к смещению в подобных случаях нелинейный метод наименьших квадратов.

Более сложным вариантом экспоненциальной кривой является логарифмическая парабола

(18)

Все рассмотренные типы кривых используются для описания монотонно возрастающих или убывающих процессов без «насыщения».

Когда процесс характеризуется «насыщением», его следует описывать при помощи кривой, имеющей отличную от нуля асимптоту. Примером такой кривой может служить модифицированная экспонента:

(19)

Где y = k является горизонтальной асимптотой.

Если параметр a отрицателен, то асимптота находится выше кривой, если a положителен, то ниже. При решении экономических задач чаще всего приходится иметь дело с кривой, у которой a<0, b<1. В этом случае рост уровней происходит с замедлением и стремится к некоторому пределу.

При решении экономических задач часто можно определить значение асимптоты исходя из свойств прогнозируемого процесса (например, коэффициент использования оборудования не может превышать 1). Иногда значение асимптоты задается экспертным путем. В этих случаях другие параметры кривой могут быть определены с помощью метода наименьших квадратов после приведения уравнения к линейному виду:

(20)

где k' - заданное значение асимптоты.

Для оценивания параметров модифицированной экспоненты возможно применение как нелинейного метода наименьших квадратов, так и ряда других методов.

Таким образом, модифицированная экспонента хорошо описывает процесс, на развитие которого воздействует ограничивающий фактор, причем влияние этого воздействия растет вместе с ростом достигнутого уровня.

Если воздействие ограничивающего фактора начинает сказываться только после определенного момента (точки перегиба), до которого процесс развивался по некоторому экспоненциальному закону, то для выравнивания используют S-образные кривые.

Наиболее известными из них являются кривая Гомперца и логистическая кривая (кривая Перла-Рида).

Уравнение кривой Гомперца имеет вид:

(21)

Если loga >0, асимптота, равная k, лежит ниже кривой, а сама кривая изменяется монотонно: при b<1 - монотонно убывает; при b>1 - монотонно возрастает.

Уравнение логистической кривой получается путем замены в модифицированной экспоненте y_t обратной величиной 1/ y_t :

(22)

Как видно из графика, логистическая функция возрастает сначала ускоренным темпом, затем темп роста замедляется и наконец рост почти полностью прекращается, о чем свидетельствует тот факт, что кривая асимптотически приближается к некоторой прямой, параллельной оси абсцисс.

С помощью этой функции хорошо описывается развитие новой отрасли (нового производства). Сначала технические методы производства еще недостаточно разработаны, издержки производства высоки и спрос на рынке на данный товар еще очень мал, поэтому производство развивается медленно. В дальнейшем, благодаря усовершенствованию технических методов изготовления, переходу к массовому производству и увеличению емкости рынка для данного товара производство растет быстрее. Затем наступает период насыщения рынка, рост производства все более замедляется и наконец почти прекращается. Наступает стабилизация производства на определенном уровне.

Однако выявленные закономерности развития следует обобщать с определенной осторожностью, причем для коротких периодов. Выявленная тенденция развития производства может быть нарушена, например, вследствие технического переворота в данной отрасли или связанной с нею.

Таким образом, в данной главе рассмотрены наиболее часто используемые в экономических исследованиях виды кривых роста. Выявленные особенности и свойства этих кривых могут существенно помочь при решении задачи выбора типа кривой.

1.3 Выбор формы кривой

Рассмотрим подробнее некоторые практические подходы, облегчающие процесс выбора кривой роста.

Наиболее простой путь - визуальный, опирающийся на графическое изображение временного ряда. Подбирают такую кривую роста, форма которой соответствует фактическому развитию процесса. Если на графике исходного ряда тенденция развития недостаточно четко просматривается, то можно провести некоторые стандартные преобразования ряда (например сглаживание), а потом подобрать функцию, отвечающую графику преобразованного ряда. В современных пакетах статистической обработки имеется богатый арсенал стандартных преобразований данных и широкие возможности для графического изображения, в том числе в различных масштабах. Все это позволяет существенно упростить для исследователя проведение данного этапа. В статистической литературе описан метод последовательных разностей, помогающий при выборе кривых роста полиномиального типа. Предположим, что уровни временного ряда могут быть представлены в виде суммы систематической составляющей f_t и случайной компоненты е_t:

(23)

При этом случайная компонента удовлетворяет условиям:

(24)

Если анализируемый временной ряд содержит в качестве неслучайной составляющей f_t алгебраический полином порядка p, то переход к последовательным разностям порядка р+1 исключает регулярную составляющую, оставляя только элементы, выраженные через остаточную случайную компоненту. . При этом уровни ряда разностей порядка р+1 будут связаны с элементами случайной компоненты следующим образом:

(25)

где t = p+2, p+3,..., n; С^j_m- число сочетаний из m элементов по j.

Определим среднее значение и дисперсию для Д^p+1_yt

(26)

Из (26) следует, что

(27)

Таким образом, если осуществлять последовательный переход к разностям Д^k_yt, k = 1,2, ..., р+1, то, начиная с порядка разностей k = р+1 ( и последующих порядков), выполняются условия (26). При этом с учетом равенства нулю среднего значения для последовательностей, образованных разностями этих порядков (k ? р+1), выборочную оценку дисперсии можно оценить как сумму квадратов элементов последовательности, деленную на n - k. В то же время такое оценивание дисперсии для разностей порядка k < р+1 будет приводить к завышенным оценкам. Это объясняется тем, что их уровни будут выражены не только через случайную составляющую е_t, но и через коэффициенты полинома и степени t, следовательно, средние значения для разностей порядка k < р+1 будут отличны от нуля.

Приведенные рассуждения позволяют сформулировать следующее правило подбора порядка р аппроксимирующего полинома.

Для исходного ряда у₁, у₁, …, у_n следует вычислить последовательные разности порядка k = 1, 2,..., а также определить оценки

(28)

Далее следует проанализировать зависимость разностей и у²(k) от k. Начиная с некоторого значения k = k₀ величина (28) стабилизируется, оставаясь примерно на одном уровне при дальнейшем росте к. Тогда оценка порядка сглаживающего полинома p = k₀ - 1. При этом уровни разностей порядка k₀ - 1 также будут демонстрировать стабилизацию.

В заключение отметим, что для выбора кривых роста нет жестких рекомендаций. Особенно осторожно следует подходить к решению этой задачи при использовании полученной функции для экстраполяции найденных закономерностей в будущее. Применение кривых роста должно базироваться на предположении о сохранении выявленной тенденции в прогнозируемом периоде.

2. Расчет прогнозного значения среднегодовой численности промышленно-производственного персонала с помощью моделей кривых роста

2.1 Исходные данные для прогнозирования

В табл. 1 представлены данные за 15 лет о среднегодовой численности промышленно-производственного персонала, занятого в электроэнергетике.

Таблица 1 Среднегодовая численность промышленно-производственного персонала (ППП), тыс. чел.

Год	Порядковый номер года	Численность ППП
1993	1	391
1994	2	448
1995	3	493
1996	4	512
1997	5	540
1998	6	563
1999	7	626
2000	8	666
2001	9	710
2002	10	750
2003	11	790
2004	12	810
2005	13	842
2006	14	880
2007	15	913

Требуется рассчитать прогнозное значение среднегодовой численности промышленно-производственного персонала в следующем году (период упреждения L = 1), исходя из предположения, что тенденция ряда может быть описана:

1. Линейной моделью

2. Параболической моделью

2.2 Исследование компонентного состава заданного временного ряда

Графически значения заданного временного ряда представлены на рис. 1.

Исследование компонентного состава изучаемого временного ряда выявило, что в данном случае присутствуют и трендовая, и случайная составляющая (рис.1).

Рис. 1 Графический анализ компонентного состава временного ряда

Для описания динамики данного ряда возможно применение моделей кривых роста полиномиального типа (I и II порядков). К I типу относятся функции, используемые для описания процессов с монотонным характером тенденции развития и отсутствием пределов роста. Эти условия справедливы для многих экономических показателей, например, для большинства натуральных показателей промышленного производства (что мы и имеем в нашем случае). Ко II классу относятся кривые, описывающие процесс, который имеет предел роста в исследуемом периоде.

Определение коэффициентов линейной и параболической моделей

Для расчета коэффициентов линейного тренда воспользуемся выражениями, полученными из системы нормальных уравнений после переноса начала координат в середину ряда (см. формулу (11)).

Так как число уровней ряда динамики нечетное (n = 15), то центральный уровень (восьмой) принимается за начало отсчета, ему соответствует t = 0. Вышестоящие уровни нумеруются с шагом - 1, нижестоящие - с шагом +1 (гр.3 табл.2).

В табл. 2 представлены необходимые вспомогательные вычисления.

Таблица 2 Расчет параметров линейной модели

t1	t	yt	ytt	t2
1	-7	391	-2737	49
2	-6	448	-2688	36
3	-5	493	-2465	25
4	-4	512	-2048	16
5	-3	540	-1620	9
6	-2	563	-1126	4
7	-1	626	-626	1
8	0	666	0	0
9	1	710	710	1
10	2	750	1500	4
11	3	790	2370	9
12	4	810	3240	16
13	5	842	4210	25
14	6	880	5280	36
15	7	913	6391	49
Сумма	8	9934	10391	280

В соответствии с формулой (11):

Следовательно, уравнение линейного тренда имеет вид:

Согласно этой модели оценка среднего уровня ряда при t = 0 равна 662,3 тыс. чел. Оценка среднегодового прироста численности ППП, занятого в отрасли, составляет 37,1 тыс. чел.

Для прогнозирования на базе полученной модели на одну точку вперед необходимо в нее подставить соответствующее значение временного параметра, т. е. t = 8. (Если бы оценки коэффициентов модели были получены без переноса начала координат в середину ряда, то следовало бы подставить в модель значение временного параметра t = 16).

Прогноз равен:

Таблица 3 Расчет прогнозного значения численности ППП по I модели

t1	t	yt	ytt	t2	у	et
1	-7	391	-2737	49	402,49	-11,49
2	-6	448	-2688	36	439,60	8,40
3	-5	493	-2465	25	476,71	16,29
4	-4	512	-2048	16	513,82	-1,82
5	-3	540	-1620	9	550,93	-10,93
6	-2	563	-1126	4	588,05	-25,05
7	-1	626	-626	1	625,16	0,84
8	0	666	0	0	662,27	3,73
9	1	710	710	1	699,38	10,62
10	2	750	1500	4	736,49	13,51
11	3	790	2370	9	773,60	16,40
12	4	810	3240	16	810,71	-0,71
13	5	842	4210	25	847,82	-5,82
14	6	880	5280	36	884,93	-4,93
15	7	913	6391	49	922,04	-9,04
Сумма	8	9934	10391	280	959,15

Рис. 2 Эмпирические данные и теоретические значения, полученные по I модели

Для расчета коэффициентов параболического тренда воспользуемся выражениями, полученными из системы нормальных уравнений после переноса начала координат в середину ряда (см. формулу (12)). Промежуточные вычисления представлены в табл. 3.

Таблица 4 Расчет параметров параболической модели

t1	t	yt	ytt	t2	yt*t2	t4
1	-7	391	-2737	49	19159	2401
2	-6	448	-2688	36	16128	1296
3	-5	493	-2465	25	12325	625
4	-4	512	-2048	16	8192	256
5	-3	540	-1620	9	4860	81
6	-2	563	-1126	4	2252	16
7	-1	626	-626	1	626	1
8	0	666	0	0	0	0
9	1	710	710	1	710	1
10	2	750	1500	4	3000	16
11	3	790	2370	9	7110	81
12	4	810	3240	16	12960	256
13	5	842	4210	25	21050	625
14	6	880	5280	36	31680	1296
15	7	913	6391	49	44737	2401
Сумма	8	9934	10391	280	184789	9352

Следовательно, уравнение параболического тренда примет вид:

Для определения прогноза показателя надо подставить в полученную модель соответствующее значение временного параметра (t = 8).

Прогноз равен:

Таблица 5 Расчет прогнозного значения численности ППП по II модели

t1	t	yt	ytt	t2	yt*t2	t4		et
1	-7	391	-2737	49	19159	2401	397,74	-6,74
2	-6	448	-2688	36	16128	1296	436,89	11,11
3	-5	493	-2465	25	12325	625	475,72	17,28
4	-4	512	-2048	16	8192	256	514,24	-2,24
5	-3	540	-1620	9	4860	81	552,45	-12,45
6	-2	563	-1126	4	2252	16	590,34	-27,34
7	-1	626	-626	1	626	1	627,92	-1,92
8	0	666	0	0	0	0	665,19	0,81
9	1	710	710	1	710	1	702,14	7,86
10	2	750	1500	4	3000	16	738,78	11,22
11	3	790	2370	9	7110	81	775,11	14,89
12	4	810	3240	16	12960	256	811,13	-1,13
13	5	842	4210	25	21050	625	846,83	-4,83
14	6	880	5280	36	31680	1296	882,22	-2,22
15	7	913	6391	49	44737	2401	917,29	-4,29
Сумма	8	9934	10391	280	184789	9352	918,25	9015,75

Рис. 3 Эмпирические данные и теоретические значения, полученные по II модели

2.4 Сравнение построенных моделей по характеристикам точности и проверка гипотезы об отсутствии автокорреляции

Сравним построенные модели по характеристикам точности: сумме квадратов отклонений эмпирических данных от теоретических значений, по средней абсолютной ошибке по модулю, средней относительной ошибке по модулю.

При применении метода наименьших квадратов для нахождения такой функции, которая наилучшим образом соответствует эмпирическим данным, считается, что сумма квадратов отклонений эмпирических точек теоретической линии должна быть величиной минимальной. Данное положение относится и к величинам средней абсолютной ошибке по модулю и средней относительной ошибке по модулю.

Наличие автокорреляции ошибок можно проверить с помощью критерия Дарбина-Уотсона :

Расчеты данных показателей для линейной и параболической моделей представлены в табл. 6 и 7.

Таблица 6 Исследование линейной модели

t	yt		et	Модуль абсолютной ошибки	Относительная ошибка	Модуль относительной ошибки	et2	(et-еt-1)2
1	391	402,5	-11,49	11,49	-2,94	2,94	132,06
2	448	439,6	8,40	8,40	1,87	1,87	70,52	395,58
3	493	476,7	16,29	16,29	3,30	3,30	265,26	62,24
4	512	513,8	-1,82	1,82	-0,36	0,36	3,33	328,00
5	540	550,9	-10,93	10,93	-2,02	2,02	119,56	83,01
6	563	588,0	-25,05	25,05	-4,45	4,45	627,26	199,11
7	626	625,2	0,84	0,84	0,13	0,13	0,71	670,26
8	666	662,3	3,73	3,73	0,56	0,56	13,94	8,35
9	710	699,4	10,62	10,62	1,50	1,50	112,84	47,46
10	750	736,5	13,51	13,51	1,80	1,80	182,57	8,35
11	790	773,6	16,40	16,40	2,08	2,08	269,00	8,35
12	810	810,7	-0,71	0,71	-0,09	0,09	0,50	292,78
13	842	847,8	-5,82	5,82	-0,69	0,69	33,88	26,12
14	880	884,9	-4,93	4,93	-0,56	0,56	24,31	0,79
15	913	922,0	-9,04	9,04	-0,99	0,99	81,75	16,90
сумма				139,60		23,35	1937,50	2147,29
средн.				9,31		1,56
							DW	1,108

Таблица 7 Исследование параболической модели

t	yt		et	Модуль абсолютной ошибки	Относительная ошибка	Модуль относительной ошибки	et2	(et-еt-1)2
1	391	397,7	-6,74	6,74	-1,72	1,72	45,48
2	448	436,9	11,11	11,11	2,48	2,48	123,44	318,79
3	493	475,7	17,28	17,28	3,50	3,50	298,53	38,04
4	512	514,2	-2,24	2,24	-0,44	0,44	5,02	381,00
5	540	552,4	-12,45	12,45	-2,31	2,31	154,94	104,17
6	563	590,3	-27,34	27,34	-4,86	4,86	747,52	221,81
7	626	627,9	-1,92	1,92	-0,31	0,31	3,69	646,16
8	666	665,2	0,81	0,81	0,12	0,12	0,66	7,47
9	710	702,1	7,86	7,86	1,11	1,11	61,74	49,64
10	750	738,8	11,22	11,22	1,50	1,50	125,81	11,28
11	790	775,1	14,89	14,89	1,88	1,88	221,66	13,48
12	810	811,1	-1,13	1,13	-0,14	0,14	1,27	256,48
13	842	846,8	-4,83	4,83	-0,57	0,57	23,32	13,71
14	880	882,2	-2,22	2,22	-0,25	0,25	4,92	6,82
15	913	917,3	-4,29	4,29	-0,47	0,47	18,44	4,31
сумма				126,33		21,66	1836,45	2073,17
средн.				8,42		1,44
							DW	1,129

Размещено на http://www.allbest.ru/

Таблица 8 Сравнительный анализ моделей

Показатель	Единица измерения	Линейная модель	Параболическая модель
Средняя абсолютная ошибка (по модулю)	тыс. чел.	9,31	8,42
Средняя относительная ошибка (по модулю)	%	1,56	1,44
DW		1,108	1,129

Уровень значимости 0,05,

число наблюдений - 15,

число объясняющих переменных - 1

Нижняя граница - 1,08

Верхняя граница - 1,36

Вывод: автокорреляции отсутствует.

Анализируя полученные для исследуемых моделей значения таких показателей как: сумма квадратов отклонений эмпирических данных от теоретических значений, средняя абсолютная ошибка по модулю, средняя относительная ошибке по модулю, можно сделать вывод о более высоком «качестве» параболической модели по сравнению с линейной.

Кроме того, отметим, что полученные на основе линейной модели прогнозные оценки сильно завышены. Фактическое значение показателя в 2008 г. было равно 926 тыс. чел. Значительно ближе к фактическим данным ложатся уровни, рассчитанные по параболической модели.

Таким образом, наиболее целесообразно применение параболической модели для получения прогнозных значений исследуемого показателя.

Заключение

Кривые роста, описывающие закономерности развития явлений во времени, получают путем аналитического выравнивания динамических рядов. Выравнивание ряда с помощью тех или иных: функций (т.е. их подгонка к данным) в большинстве случаев оказывается удобным средством описания эмпирических данных, характеризующих развитие во времени исследуемого явления. Это средство при соблюдении ряда условий (на них мы остановимся в последней главе книги) можно применить и для прогнозирования.

Процесс выравнивания состоит из двух основных этапов:

· выбора типов кривой, форма которой соответствует характеру изменения динамического ряда;

· определения численных значений (оценивание) параметров кривой.

Найденная функция позволяет получить выравненные или, как их иногда не вполне правомерно называют, теоретические значения уровней динамического ряда, т. е. те уровни, которые наблюдались бы, если бы динамика явления полностью совпадала с кривой. Эта же функция с некоторой корректировкой или без нее, применяется и для экстраполяции.

Вопрос о выборе типа кривой является основным при выравнивании ряда. При всех прочих равных условиях ошибка в решении этого вопроса оказывается более значимой по своим последствиям (особенно для прогнозирования), чем ошибка, связанная со статистическим оцениванием параметров. К выбору типа кривой можно подойти различными путями. Однако какой бы путь (или их сочетание) ни был принят, он обязательно предполагает знакомство с основными их свойствами, главным образом с характером изменения приростов и некоторыми преобразованиями.

Список используемых источников

1. Арженовский С.В., Молчанов И.Н. Статистические методы прогнозирования: Учебное пособие. - Ростов-н/Д., 2001.

2. Антохонова И.В. Методы прогнозирования социально-экономических процессов: Учебное пособие. - Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2004.

3. Бабешко Л.О. Основы эконометрического моделирования: Учебное пособие. - М.: КомКнига, 2006.

4. Гришин А.Ф. Статистические модели в экономике. - М.: ФЕНИКС, 2005.

5. Дуброва Т.А. Статистические методы прогнозирования: Учебное пособие. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003.

6. Елисеева И., Курышева С., Нерадовская Ю. Эконометрика: Учебник. - М.: Проспект, 2009.

7. Кандаурова Г.А. Прогнозирование и планирование экономики. - М.: Современная школа, 2005.

8. Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов. - М.: финансы и статистика, 2003.

9. Просветов Г.И. Статистика: задачи и решения: Учебно-практическое пособие. - М.: Альфа-Пресс, 2008.

10. Садовникова Н.А., Шмойлова Р.А. Анализ временных рядов и прогнозирование: Учебно-методический комплекс. - М.: Изд. центр. ЕАОИ, 2009.

11. Статистика: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Высшее образование, 2009.

12. Тельнов Ю.Ф. Реинжиниринг бизнес-процессов. Компетентная методология. - М.: Финансы и статистика, 2004.

13. Ханк Д.Э., Уичерн Д.У., Райтс А. Дж. Бизнес-прогнозирование / Пер. с англ. 7-е изд. - М. Издательский дом «Вильямс», 2003.

14. Четыркин Е. Н. Статистические методы прогнозирования. -- М.: Статистика, 1977.

15. Экономико-математические методы и прикладные модели. // Под ред. В.В. Федосеева. - М.: ЮНИТИ, 1999.

Размещено на Allbest.ru

...