Модельные представления аналитических решений краевых задач теории теплообмена на основе введения дополнительных граничных условий

Размещено на http://www.allbest.ru/

На правах рукописи

Специальность: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

Диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Модельные представления аналитических решений краевых задач теории теплообмена на основе введения дополнительных граничных условий

Стефанюк Е.В.

Москва 2010

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Самарском государственном техническом университете

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор

Радченко Владимир Павлович

Официальные оппоненты:Заслуженный деятель науки РФ, доктор физико-математических наук, профессор Формалев Владимир Федорович

(Московский авиационный институт - государственный технический университет)

Доктор физико-математических наук,

Денисова Ирина Павловна

(МАТИ - Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского)

Заслуженный деятель науки и техники РФ, доктор технических наук, профессор

Рудобашта Станислав Павлович

(Московский государственный агроинженерный университет им. В.П. Горячкина)

Ведущая организация: ОАО НПО «Стеклопластик»

Защита состоится « ___ » _________ 2010 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212.110.08 при ГОУ ВПО «МАТИ» ? Российском государственном технологическом университете им К.Э. Циолковского по адресу: 121552, г. Москва, Оршанская ул, д. 3, ауд. 612 а

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «МАТИ» - РГТУ им. К.Э. Циолковского

Автореферат разослан « ___» ___________ 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д212.110.08 к. ф.-м. н. М.В. Спыну

1. Общая характеристика работы

Актуальность проблемы

Существенным сдерживающим фактором усовершенствования ряда современных промышленных процессов и устройств является отсутствие аналитических методов исследования распределения температуры при сверхмалых значениях времени. К их числу относятся: обработка материалов короткими лазерными импульсами; высокоскоростное движение авиационных и космических аппаратов в атмосфере; распределение температуры в начальной стадии теплового удара; нагрев при динамическом распространении трещины; воспламенение взрывчатых веществ, инициируемых с помощью коротких импульсов лазерного излучения и многие другие быстропротекающие нестационарные процессы.

Известно, что точные аналитические решения, полученные с помощью классических аналитических методов, представляются в форме бесконечных рядов, плохо сходящихся в окрестностях граничных точек и при малых значениях временньй координаты. Исследования показывают, что сходимость точного решения задачи теплопроводности для бесконечной пластины при граничных условиях первого рода в диапазоне чисел Фурье наблюдается лишь при использовании от 2000 () до пятисот тысяч () членов ряда. В то же время, исследование кинетики теплового процесса при временах микросекундной длительности ? исключительно важная в практическом отношении проблема.

В аналитической теории теплопроводности известны методы, в которых используется понятие глубины термического слоя (интегральные методы теплового баланса). К ним, в частности, относятся интегральный метод теплового баланса, метод осреднения функциональных поправок, методы Швеца М.Е., Био М., Вейника А.И. и др. Несомненным их преимуществом является возможность получения простых по форме аналитических решений удовлетворительной точности как для регулярного, так и нерегулярного процессов теплопроводности. Однако их серьезным недостатком является низкая точность. Это связано с тем, что в основу интегральных методов положено построение так называемого интеграла теплового баланса, что равнозначно осреднению исходного дифференциального уравнения в пределах глубины термического слоя. Следовательно, очевидным путем повышения точности интегральных методов является улучшение выполнения исходного дифференциального уравнения. С этой целью в настоящей работе избрано направление аппроксимационного представления приближенного решения с определением любого числа его слагаемых. Для определения неизвестных коэффициентов таких полиномов основных граничных условий оказывается недостаточно. В связи с чем, возникает необходимость привлечения дополнительных граничных условий, определяемых из исходного дифференциального уравнения с использованием основных граничных условий и условий, задаваемых на фронте температурного возмущения.

В диссертации показана высокая эффективность дополнительных граничных условий при их использовании не только в интегральных методах теплового баланса, но и в ряде других методов,? в ортогональных методах Л.В. Канторовича и Бубнова-Галеркина, в методе разделения переменных и др. Физический смысл таких условий ? выполнение исходного дифференциального уравнения и производных от него в граничных точках и на фронте температурного возмущения , что, как показано в диссертации, приводит к выполнению исходного дифференциального уравнения во всем диапазоне изменения пространственной и временнуй координат. Причем, точность этого выполнения зависит от числа дополнительных граничных условий (числа приближений).

Цель работы

Целью работы является решение важной научной проблемы разработки нового направления получения аналитических решений краевых задач теплопроводности и тепломассопереноса, имеющей большое народно-хозяйственное значение в энергетике, машиностроении, авиационной и космической технике и других отраслях промышленности. Основой нового направления являются впервые введенные в расчетную практику дополнительные граничные условия, позволяющие получать эффективные приближенные аналитические решения сложнейших линейных и нелинейных краевых задач (аналитические решения которых в настоящее время не получены) благодаря аппроксимационному представлению решения практически с заданной степенью точности.

Разработка алгоритмов и комплексов программ для реализации разработанных в диссертации аналитических и численных методов решения краевых задач теплопроводности и тепломассопереноса.

Для достижения указанных целей решались следующие основные задачи:

1. Обоснование необходимости применения и разработка модели построения дополнительных граничных условий, получаемых из основного дифференциального уравнения краевой задачи с использованием исходных (классических) граничных условий.

2. Применение дополнительных граничных условий с целью определения собственных чисел краевой задачи Штурма-Лиувилля при моделировании нестационарной задачи теплопроводности путем совместного использования метода разделения переменных и ортогонального метода Бубнова-Галеркина.

3. Разработка математической модели получения аналитических решений краевых задач теплопроводности и тепломассопереноса на основе введения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий.

4. Разработка методов построения изотерм и определение скоростей их перемещения по пространственной координате во времени на основе полученных в диссертации аналитических решений с использованием дополнительных граничных условий.

5. Разработка математической модели решения обратных задач теплопроводности с целью определения начальных и граничных условий теплообмена на основе использования полученных в диссертации аналитических решений прямых задач.

Научное направление

Научное направление заключается в использовании дополнительных граничных условий в краевых задачах теплопроводности и тепломассопереноса с целью значительного упрощения как процесса получения, так и вида окончательных выражений для аналитических решений. При этом имеется возможность нахождения аналитических решений с заданной степенью точности для многих сложных задач математической физики, точные (а в ряде случаев и приближенные) аналитические решения которых в настоящее время не получены. Построение дополнительных граничных условий основано на использовании исходного дифференциального уравнения и заданных (классических) граничных условий. Достигаемый эффект обусловлен тем, что выполнение таких условий эквивалентно удовлетворению исходного дифференциального уравнения во всем диапазоне изменения пространственных координат и времени.

Научная новизна:

1. Решена важная, имеющая большое практическое значение научная проблема по разработке нового направления математического моделирования аналитических решений краевых задач теплопроводности и тепломассопереноса, основывающегося на введении дополнительных граничных условий, позволяющих применять аппроксимационное представление приближенного решения с определением любого числа его слагаемых и, как следствие, получать аналитические решения краевых задач практически с заданной степенью точности.

2. Разработана математическая модель получения аналитических решений краевых задач теплопроводности и тепломассопереноса на основе определения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий, позволяющая получать аналитические решения с заданной степенью точности во всем диапазоне времени нестационарного процесса, в том числе и для сверхмалых значений пространственной координаты и времени.

3. Доказана необходимость применения и разработана модель построения дополнительных граничных условий, задаваемых в граничных точках краевой задачи, выполнение которых эквивалентно выполнению исходного дифференциального уравнения во всем диапазоне пространственной координаты и времени нестационарного процесса. В диссертации показано, что с увеличением числа приближений собственные числа, определяемые из характеристического уравнения, совпадают с собственными числами соответствующей краевой задачи Штурма-Лиувилля, что подтверждает выполнение исходного дифференциального уравнения по координате и времени.

4. На основе использования исходного дифференциального уравнения и основных граничных условий разработана модель построения дополнительных граничных условий, удовлетворение которых эквивалентно выполнению исходного дифференциального уравнения в граничных точках и на фронте температурного возмущения.

5. Разработаны методы решения обратных задач теплопроводности по восстановлению теплофизических коэффициентов, начальных и граничных условий теплообмена на основе полученных в диссертации аналитических решений прямых задач и экспериментальных данных по температурному состоянию конструкций.

6. На основе использования дополнительных граничных условий впервые с заданной степенью точности получены аналитические решения нелинейных уравнений динамического и теплового пограничных слоев при граничных условиях первого и третьего рода на стенке. На основе полученных решений уточнены критериальные уравнения, используемые для определения коэффициентов теплоотдачи и касательных напряжений в пограничном слое движущейся жидкости.

На защиту выносятся:

1. Результаты решения научно-технической проблемы разработки нового направления получения аналитических решений краевых задач теплопроводности и тепломассопереноса на основе введения дополнительных граничных условий, позволяющих получать аналитические решения практически с заданной степенью точности.

2. Результаты разработки математической модели построения аналитических решений краевых задач теплопроводности и тепломассопереноса на основе определения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий, позволяющего получать высокоточные аналитические решения задач теплопроводности во всем диапазоне времени нестационарного процесса, включая сверхмалые значения времени и пространственной координаты.

3. Впервые предложенный в диссертации метод построения дополнительных граничных условий, необходимых для как можно более точного выполнения исходного дифференциального уравнения при аппроксимационном (модельном) представлении решения.

4. Результаты разработки математической модели построения дополнительных граничных условий, используемых при моделировании процессов теплопроводности с введением фронта температурного возмущения, позволяющих выполнять исходное дифференциальное уравнение в граничных точках и на фронте температурного возмущения. Применение таких условий позволяет при минимальном числе приближений получать высокоточные решения во всем диапазоне числа Фурье.

5. Впервые полученные в диссертации аналитические решения нелиинейных дифференциальных уравнений динамического и теплового пограничных слоев (уравнения Прандтля и Польгаузена) при граничных условиях первого и третьего рода на стенке, а также результаты уточнения критериальных уравнений по касательным напряжениям и теплоотдаче в движущейся жидкости.

6. Результаты применения разработанных в диссертации методов получения аналитических решений для расчетов температурного состояния взрывчатого вещества при воздействии на него лазерного излучения с целью определения диапазона мощности, при которой происходит его воспламенение.

7. Результаты расчетов коэффициентов теплоотдачи на внутренних поверхностях барабана парового котла БК3-420-140 НГМ Самарской ТЭЦ путем решения обратных задач теплопроводности с использованием полученных в диссертации аналитических решений прямых задач.

8. Результаты расчетов по определению начала и продолжительности пленочного кипения топлива и толщины коксовых отложений на внутренних стенках многослойных топливных коллекторов газотурбинных двигателей с использованием разработанных в диссертации методов решения прямых задач теплопроводности для многослойных конструкций.

9. Результаты расчетов температурного и термонапряженного состояния барабана парового котла БКЗ-420-140 НГМ на переходных режимах работы с использованием метода конечных элементов.

Достоверность результатов работы

Достоверность полученных автором решений подтверждается соответствием математических моделей физическим процессам, протекающим в энергетических устройствах, сравнением полученных в диссертации результатов с точными аналитическими решениями, с приближенными решениями других авторов, с решениями, полученными численными методами, с результатами натурного эксперимента.

Практическая значимость работы

1. Разработанные в диссертации методы, полученные аналитические и численные решения были использованы при создании компьютерных моделей и программных комплексов для теплосетей г. Самары, Саратова, Ульяновска, Тольятти, Новокуйбышевска, Балаково, теплосетей и циркуляционных систем Самарской ТЭЦ, ТЭЦ Волжского автомобильного завода, Тольяттинской ТЭЦ, Новокуйбышевских ТЭЦ-1 и ТЭЦ, ТЭЦ-23 ОАО “Мосэнерго” (акты о внедрении результатов работы приведены в приложениях диссертации).

2. На основе полученных в диссертации решений прямых задач теплопроводности путем решения обратных задач были найдены коэффициенты теплоотдачи на внутренней поверхности барабана парового котла БКЗ-420-140 НГМ Самарской ТЭЦ в процессах планового или аварийного останова, сопровождающихся сбросом давления.

3. Используя полученные в диссертации аналитические решения для многослойных конструкций, путем решения обратных задач теплопроводности выполнены расчеты по определению начала и продолжительности пленочного кипения топлива (керосин) на стенках многослойных топливных коллекторов камер сгорания газотурбинных двигателей, приводящего к отложению кокса на внутренних поверхностях стенок трубопроводов. На основе решения обратных задач была также выполнена оценка толщины коксовых отложений и разработаны рекомендации по снижению интенсивности процесса коксообразования.

4. Путем решения задачи теплопроводности с импульсным (гармоническим) изменением плотности теплового потока проведены исследования проблем воспламенения взрывчатых веществ при воздействии на них коротких импульсов потока лазерного излучения.

Связь диссертационной работы с планами научных исследований

Представленная работа является обобщением теоретических и экспериментальных исследований, выполненных автором в Самарском государственном техническом университете. Исследования проводились по планам госбюджетных тематик

Минвуза РФ № 551/02 (01.01.2002-31.12.2006 гг.) «Разработка методов определения собственных значений в краевых задачах теплопроводности». Исследования выполнялись также по планам НИОКР ОАО «Самараэнерго» за 2002-2006 гг.

Оценочный экономический эффект, подтвержденный соответствующими актами оценки экономического эффекта, приведенными в приложениях диссертации, составляет 700 тысяч рублей.

Личный вклад автора является определяющим на всех этапах исследований и заключается в постановке проблем исследований, непосредственном выполнении основной части работы, которая выполнена в соавторстве.

Апробация работы

Основные результаты работы были доложены и обсуждены на четвертой и пятой Международной Конференции “Обратные задачи: идентификация, проектирование и управление”, Москва, МАИ, 2003, МЭИ, 2007; Пятом и Шестом Международном форуме по тепло - и массобмену, Минск, АНБ, 2004, 2008; Всероссийских научно-технических конференциях “Математическое моделирование и краевые задачи”,
Самара, СамГТУ, (2003, 2004, 2005, 2007, 2008); на Четвертой Российской национальной конференции по теплообмену, Москва, МЭИ, 2006; на Четвертой Всероссийской научной конференции с международным участием, секция «Моделирование и оптимизация динамических систем и систем с распределенными параметрами», Самара, 2007; на Седьмой Международной конференции «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов», Ульяновск, 2009; на Школе-семинаре молодых ученых под руководством академика А.И. Леонтьева, Жуковский, 2009; научно-техническом семинаре Московского авиационного института, Москва, МАИ, 2009.

Публикации

По результатам выполненных исследований опубликовано 54 научные работы, в том числе 17 статей в центральных и академических изданиях, таких как ТВТ, ИФЖ, Известия АН Энергетика, Журнал вычислительной математики и мат. физики, «Известия вузов. Математика», “Проблемы энергетики”. Напечатано 5 книг, среди них две монографии и три учебных пособия, одно из которых издано с грифом Рособразования в издательстве «Высшая школа». В изданиях по перечню ВАК опубликовано 18 статей.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, восьми глав, выводов, списка используемой литературы, приложений: изложена на 315 страницах основного машинописного текста, содержит 137 рисунков, 20 таблиц. Список использованной литературы включает 297 наименований.

1. В первой главе диссертации представлен анализ известных работ по избранному направлению исследований. И, в частности, отмечено, что большой интерес представляют приближенные аналитические методы, позволяющие получать решения, хотя и приближенные, но в аналитической форме, с точностью, во многих случаях достаточной для инженерных приложений. Развитию этих методов посвящены работы Л.В. Канторовича, С.Г. Михлина, П.В. Цоя, Н.Н. Беляева, А.А. Рядно, Ю.Т. Глазунова, А.И. Вейника, М. Био, Т. Гудмена, М.Е. Швеца, Э.М. Карташова и других авторов.

Следует однако отметить, что, несмотря на определенный прогресс, существуют проблемы, пока еще не получившие окончательного решения. К их числу относятся:

1. Для большого числа нелинейных задач теплопроводности и тепломассопереноса в настоящее время не получены не только точные, но и приближенные аналитические решения.

2. Применительно к нестационарным задачам для получения решений при малых значениях временной и пространственной координат с помощью приближенных аналитических методов требуется использовать большое число приближений, что приводит к необходимости решения больших систем алгебраических линейных уравнений, матрицы коэффициентов которых, как правило, плохо обусловлены.

3. В ряде методов вместо системы алгебраических уравнений при большом числе приближений относительно собственных чисел краевой задачи получаются характеристические уравнения высокого порядка, решение которых, если оно возможно, приводит к низкой точности определения собственных чисел.

4. Низкая точность интегральных методов связана с тем, что при их использовании исходные уравнения осредняются и краевые задачи приводятся к различным интегральным уравнениям типа Вольтерра, Фредгольма, интегралу теплового баланса и др. Даже если точные решения этих уравнений находятся, исходные дифференциальные уравнения удовлетворяются лишь в среднем.

2. Во второй главе диссертации приводятся результаты разработки нового направления получения аналитических решений краевых задач теплопроводности и тепломассопереноса, основанного на использовании дополнительных граничных условий.

Настоящая глава посвящена спектральным задачам, лежащим в основе всей аналитической теории краевых задач теплопроводности и тепломассопереноса. Для их решения совместно с методом Фурье используется ортогональный метод Бубнова-Галёркина. Важной особенностью является введение дополнительных граничных условий, необходимость которых объясняется появлением дополнительного неизвестного параметра после разделения переменных в исходном дифференциальном уравнении. Дополнительные граничные условия выводятся из основного дифференциального уравнения путём его дифференцирования в граничных точках. Использование метода Бубнова-Галеркина значительно расширяет круг задач, решаемых с использованием метода Фурье, что связано с универсальностью метода Бубнова-Галеркина, при использовании которого на вид дифференциальных операторов не накладывается практически никаких условий.

В качестве конкретного примера рассмотрим задачу теплопроводности для бесконечно-протяжённой пластины при граничных условиях первого рода

; (; )

; (2) ; (3) .

Следуя методу Фурье, решение задачи (1) - (4) принимается в виде

.

Подставляя (5) в (1), получаем следующие два обыкновенных дифференциальных уравнения

; (6) ,

где - некоторая постоянная.

Решение уравнения (6), как известно, имеет вид

.

Граничные условия для уравнения (7) согласно (3), (4) будут

; (9) .

Решение задачи (7), (9), (10) разыскивается в виде следующего ряда

,

где () - неизвестные коэффициенты; - координатные функции.

Например, при пяти членах ряда (11) к имеющимся граничным условиям (9), (10) необходимо добавить ещё три дополнительных граничных условия, которые находятся из условия (9) и из уравнения (7) путём выполнения этого уравнения, а также производных от него в граничных точках и . Такие условия будут иметь вид

; (12) ; (13) . (14)

Подставляя (11) в (9), (10), (12) - (14), получаем пять алгебраических линейных уравнений относительно пяти неизвестных . При этом каждое из неизвестных , , входит лишь в одно уравнение, из которого они легко определяются. Все эти уравнения получаются из граничных условий при (условия (9), (12), (14)). Относительно неизвестных , необходимо решить два взаимосвязанных алгебраических линейных уравнения. В итоге для всех искомых неизвестных постоянных будем иметь следующие значения: ; ; ; ; .

Подставляя найденные значения в (11), получаем

.

Для определения первого собственного числа найдём интеграл взвешенной невязки уравнения (7), т. е.

.

Подставляя (15) в (16), относительно получаем характеристическое уравнение первой степени, из которого находим . Точное значение первого собственного числа .

Для уточнения первого собственного числа составим невязку уравнения (7) и потребуем ортогональность невязки к собственной функции (15), т. е.

. (17)

Подставляя (15) в (17), относительно получаем характеристическое уравнение

.

Его решение .

Для получения первых двух собственных значений вводятся следующие дополнительные граничные условия, получаемые из уравнения (7),

; (18) .

Подставляя (11) при во все граничные условия задачи, относительно получим семь алгебраических уравнений. Пять из этих уравнений разделяются и таким путём находятся неизвестные

; ; ; ; .

Неизвестные , находятся из системы двух алгебраических уравнений, составленных из граничных условий при .

; .

Определяя интеграл взвешенной невязки уравнения (7), для нахождения собственных чисел получаем уравнение

.

Его решение ; ; .

Для уточнения первых двух собственных чисел требуется ортогональность невязки уравнения (7) к собственной функции (11) при . Собственные числа в этом случае будут , .

Для получения решения при большем числе приближений используются следующие граничные условия

; ; ; ; ; …

Например, для пяти собственных чисел получены следующие их значения

; ; ; ; . Точные значения третьего, четвёртого и пятого собственных чисел ; ; .

Подставляя (8), (11) в (5), для каждого собственного числа будем иметь частные решения вида

. ()

Каждое частное решение точно удовлетворяет граничным условиям (3), (4) и приближённо (в пятом приближении) удовлетворяет уравнению (1) на отрезке . Однако ни одно из этих частных решений, в том числе и их сумма

,

не удовлетворяют начальному условию (2).

Для выполнения начального условия составляется его невязка и требуется ортогональность невязки к каждой собственной функции, т. е.

. ()

Определяя интегралы в (23), для нахождения коэффициентов () получаем систему пяти алгебраических линейных уравнений. Ее решение

; ; ; ; .

Собственные числа для различных приближений в сравнении с точными их значениями приведены в табл. 1.

Таблица 1

Число приближений	Собственные числа
1	2,4677419355	-	-	-	-
2	2,46740110	22,26983	-	-	-
3	2,4674011001	22,2066100	62,055342	-	-
4	2,4674011002	22,2066098	61,685017	120,9039	-
5	2,4674011002	22,206610	61,685023	120,9024	201,058
Точные значения	2,4674011003	22,2066099	61,685026	120,9026	199,859

Следует отметить высокую точность определения собственных чисел по сравнению с другими методами совместного использования точных и приближенных методов ? совместное использование интегральных преобразований Лапласа и метода Бубнова-Галеркина, методов Фурье и Бубнова-Галеркина (без использования дополнительных граничных условий). Все эти методы для одних и тех же задач приводят к примерно одинаковым результатам. В качестве конкретного примера в таблице 2 приведены собственные числа для четвертого и пятого приближений, полученные при решении задачи (1) - (4) путем совместного использования интегральных преобразований Лапласа и метода Бубнова-Галеркина.

Таблица 2

Число приближений	Собственные числа
4	2,4674	22,217	65,459	222,51	-
5	2,4674	22,207	61,696	139,45	409,02
Точные значения	2,4674	22,207	61,685	120,90	199,86

Отметим, что последние собственные числа как в четвертом, так и пятом приближениях почти в два раза отличаются от точных их значений. При использовании дополнительных граничных условий эти числа практически совпадают с точными.

При использовании тригонометрических координатных функций, заранее точно удовлетворяющих граничным условиям (3), (4), на основе изложенного выше метода в диссертации получено точное аналитическое решение задачи (1) - (4).

3. В третьей главе диссертации представлены результаты исследований, связанных с разработкой и развитием нового направления получения аналитических решений краевых задач, основанного на введении фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий.

Основную идею метода рассмотрим на примере решения задачи теплопроводности для бесконечной пластины в следующей математической постановке

; (; ) (24)

; (25) ; (26) .

Процесс нагрева разделим на две стадии по времени: и . Для этого введем движущуюся во времени границу (фронт температурного возмущения), разделяющую исходную область на две подобласти и , где - функция, определяющая продвижение границы раздела во времени (рис. 1). При этом в области, расположенной за фронтом температурного возмущения, сохраняется начальная температура. Первая стадия процесса заканчивается при достижении движущейся границей центра пластины , т. е. когда .

Рис. 1. Расчетная схема теплообмена

Во второй стадии изменение температуры происходит по всему объему тела . Здесь вводится в рассмотрение дополнительная искомая функция , характеризующая изменение температуры во времени в центре пластины.

Математическая постановка краевой задачи для первой стадии процесса имеет вид

;

; (29) ; (30) ,

где соотношения (30), (31) представляют условия сопряжения прогретой и не прогретой зон.

В связи с принятием допущения о равенстве температуры тела на фронте температурного возмущения его начальной температуре, обратим внимание на тот очевидный факт, что на первой стадии процесса задача (28) - (31) за пределами фронта температурного возмущения, т. е. на отрезке , вообще не определена. В связи с чем, здесь нет необходимости выполнения начального условия вида (25) по всей толщине пластины (поэтому такое условие отсутствует в математической постановке задачи (28) - (31)).

Решение задачи (28) - (31) разыскивается в виде следующего полинома

,

где неизвестные коэффициенты находятся из граничных условий (29) ? (31). После их определения соотношение (32) принимает вид

.

Интеграл теплового баланса для уравнения (28) имеет вид

.

Подставляя (33) в (34), получаем

.

Интегрируя уравнение (35), при начальном условии находим . Время окончания первой стадии процесса (при будет .

Соотношение (33) определяет решение задачи (28) - (31) в первом приближении. Расхождение с точным решением составляет 6-8 %.

Повышение точности решения связано с увеличением степени полинома (32). Для определения неизвестных коэффициентов необходимо привлекать дополнительные граничные условия. Для их получения будем последовательно дифференцировать граничные условия (29) - (31) по переменной , а уравнение (28) - по переменной . Сравнивая получающиеся при этом соотношения, можно найти любое количество дополнительных граничных условий. Получаемые таким путем первое, второе и третье дополнительные граничные условия имеют вид

; ; .

Во втором приближении, используя дополнительные граничные условия (36), совместно с заданными (29) - (31), можно найти уже шесть коэффициентов полинома (32), который в данном случае приводится к виду

.

Подставляя (37) в (34), находим

.

Интегрируя (38), при начальном условии получаем .

Соотношение (37) определяет решение задачи (28) - (31) во втором приближении. Анализ расчетов по формуле (37) в сравнении с точным решением позволяет заключить, что в диапазоне чисел Фурье их отклонение составляет 1-2 %.

Для получения решения в третьем приближении дополнительные граничные условия имеют вид

Соотношение (32) в третьем приближении будет

.

Подставляя (40) в (34), находим

 .

Интегрируя последнее уравнение, при начальном условии получаем . Время окончания первой стадии процесса .

Дополнительные граничные условия в четвертом приближении имеют вид

.

Решение задачи в четвертом приближении будет

,

где ;

Были также получены решения в пятом, седьмом, десятом и четырнадцатом приближениях. Времена окончания первой стадии процесса для десятого и четырнадцатого приближений соответственно будут и .

Анализируя результаты, можно заключить, что обыкновенные дифференциальные уравнения относительно функции в любом приближений имеют одинаковый вид и отличаются лишь коэффициентами, что существенно упрощает их решение.

Результаты расчетов для 3-го, 7-го, и 14-го приближений в сравнении с точным решением даны на рисунке 2. Их анализ приводит к заключению о том, что с увеличением числа приближений решение всякий раз уточняется. Так, уже в седьмом приближении значения температур в диапазоне чисел отличаются от точных их значений не более чем на 0,002 %, а в четырнадцатом приближении - на 0,0004 %. Следует отметить трудности получения точного решения для столь малых чисел Фурье. В частности, расчеты показали, что при для сходимости точного решения необходимо использовать около 2000 членов ряда. Для чисел ; ; ; ; сходимость точного решения наблюдается соответственно при следующих величинах чисел ряда: 5000; 10000; 50000; 200000; 500000.

С целью дополнительного более глубокого анализа получаемых с помощью интегрального метода решений проведем исследование закономерности изменения фронта температурного возмущения во времени в сравнении с точным решением. Графики перемещения по координате во времени даны на рис. 3.

Рис. 2. Изменение относительной избыточной температуры в пластине.

1 - третье приближение; 2 - седьмое; 3 - четырнадцатое; 4 - точное решение

Их анализ позволяет заключить, что с увеличением числа приближений время () достижения фронтом температурного возмущения координаты уменьшается. Так, например, в первом приближении оно составляет . Расхождение с точным решением в точке в первом приближении составляет 2,48 %.

Рис. 3. Кривые перемещения фронта температурного возмущения по координате во времени . 1, 2, 3, 4, 5, 7, 10, 14 - номер приближения

Время окончания первой стадии процесса во втором приближении . Погрешность второго приближения по отношению к точному решению составляет 0,31 %, в третьем приближении ? 0,0295 %, в четвертом ? 0,0028177 %, в четырнадцатом - %.

Анализ полученных результатов позволяет заключить, что с увеличением числа приближений точность полученного решения возрастает, а величина приближается к нулевому значению (). Полученный результат полностью согласуется с гипотезой о бесконечной скорости распространения теплового возмущения, лежащей в основе вывода параболического уравнения теплопроводности вида (24). Согласно этой гипотезе с момента начала действия граничного условия при температура на всем отрезке координаты , в том числе и в центре пластины , уже не равна начальной температуре и отличается от нее на некоторую (а в центре пластины на бесконечно малую) величину.

Вторая стадия теплового процесса, соответствующая времени , характеризуется изменением температуры уже по всему сечению пластины вплоть до наступления стационарного состояния. Для этой стадии понятие термического слоя теряет смысл, и в качестве дополнительной искомой функции принимается функция , характеризующая изменение температуры от времени в центре пластины (рис. 1).

Математическая постановка задачи для второй стадии процесса имеет вид

;

; ; .

Задача (43), (44) не содержит начального условия, что связано со следующими обстоятельствами. При и . Граничные условия (44) в этом случае становятся идентичными граничным условиям (29) - (31), и, следовательно, математические постановки задач (43), (44) и (28) - (31) полностью совпадают. Таким путем происходит плавный переход от первой стадии процесса ко второй.

Как и в первой стадии, решение задачи (43), (44) разыскивается в виде полинома n-ой степени

.

Неизвестные коэффициенты находятся из граничных условий (44). После их определения и подстановки в (45) получаем

.

Для нахождения решения в первом приближении составим невязку дифференциального уравнения (43) и проинтегрируем ее в пределах от до , т. е.

.

Подставляя (46) в (47) и определяя интегралы, относительно неизвестной функции приходим к следующему обыкновенному дифференциальному уравнению

.

Интегрируя уравнение (48), при начальном условии получаем

.

где .

Соотношения (46), (49) представляют решение задачи (43), (44) в первом приближении. Отличие полученного решения от точного составляет 8 %.

Увеличение точности решения связано с увеличением числа членов ряда (45). Появляющиеся при этом дополнительные неизвестные коэффициенты могут быть найдены из дополнительных граничных условий, которые получаются аналогично методу, изложенному выше, и имеют вид. теплопроводность изотерма пространственный координата

Соотношение (45) тогда будет

Подставляя (51) в (47), находим

Общее решение уравнения (52) разыскивается в виде суммы двух функций

,

где - частное решение неоднородного уравнения (52) (); - общее решение соответствующего однородного уравнения.

Характеристическое уравнение для однородного уравнения будет

Из его решения находим

Полученные собственные числа незначительно отличаются от собственных чисел краевой задачи Штурма-Лиувилля, точные значения которых .

С учетом найденных частного и общего решений соотношение (53) принимает вид

Подставляя (55) в (51), находим

,

где (найдено во втором приближении первой стадии процесса).

Расхождение решения (56) с точным не превышает 0,5 %.

Аналогично можно получить решение и в последующих приближениях.

4. В четвертой главе диссертации рассматриваются вопросы применения изложенного в третьей главе метода к исследованию моделей теплопроводности с переменными во времени граничными условиями и источниками теплоты.

Приведены результаты исследования следующих моделей:

? модель теплопроводности с переменной во времени температурой стенки (температура стенки ? линейная функция времени);

? модель теплопроводности с переменными во времени граничными условиями третьего рода (температура среды ? линейная функция времени);

? модель теплопроводности c переменными во времени коэффициентами теплоотдачи;

? c переменными во времени граничными условиями 2-ого рода (тепловой поток ? линейная функция времени);

? модель теплопроводности c переменными во времени внутренними источниками теплоты;

? модель теплопроводности c переменным начальным условием;

? модель теплопроводности с несимметричными граничными условиями.

Для каждой из рассмотренных задач приведены карты изотермических линий и графики скоростей движения изотерм.

Например, приближенное аналитическое решение задачи теплопроводности для пластины при граничных условиях 3-его рода при линейной зависимости коэффициента теплоотдачи от времени в первом приближении первой стадии процесса имеет вид

где при , .

Для различных и в формуле для будут изменяться лишь числовые коэффициенты.

5. В пятой главе диссертации рассмотрены наиболее сложные модели краевых задач, включая нелинейные задачи, решения для которых до сих пор не получены. С использованием метода, изложенного в третьей главе, приведены результаты исследования нелинейных моделей теплопроводности и моделей с переменными по пространственной координате физическими свойствами среды, точные аналитические решения которых в настоящее время не получены. И, в частности, приведены результаты исследования следующих моделей:

? нелинейная модель теплопроводности при линейной и степенной зависимости коэффициента температуропроводности от температуры;

? нелинейная модель теплопроводности с внутренними источниками теплоты;

? модель теплопроводности с экспоненциальной зависимостью коэффициента теплопроводности от пространственной координаты.

Решение нелинейной задачи теплопроводности для пластины с внутренним источником теплоты при линейной зависимости коэффициента температуропроводности в первом приближении первой стадии процесса записывается следующим образом

; ;

.

6. В шестой главе диссертации приводятся результаты исследований конвективного теплообмена в потоках жидкостей, выполненных с использованием изложенного в третьей главе метода решения краевых задач. Большое внимание уделено проблеме получения аналитических решений задач для динамического и теплового пограничных слоев.

Математическая постановка задачи для динамического пограничного слоя включает уравнения Прандтля с соответствующими граничными условиями

(57)

где ? кинематическая вязкость жидкости; ? составляющие скорости по соответствующим координатным осям; x, y ? координаты.

Граничные условия для уравнений (57) и (58) будут



где ? толщина динамического пограничного слоя; ? скорость невозмущенного потока вдоль оси х.

Математическая постановка задачи для теплового пограничного слоя включает уравнение Польгаузена с соответствующими граничными условиями

(64) (65) (66)

где t ? температура, ? температура стенки, ? температура среды; a ? коэффициент температуропроводности; ? толщина теплового пограничного слоя.

В теории пограничного слоя доказывается, что при задачи (57) ? (62) и (63) ? (67) оказываются подобными, и, следовательно, распределения безразмерных скоростей и температур будут одинаковыми.

Задачи (57) ? (62) и (63) ? (67) являются нелинейными. Их точные решения в настоящее время не получены. Найдены лишь решения путем численного интегрирования дифференциальных уравнений (57), (58) и (63).

Для облегчения процесса получения аналитического решения уравнений (57), (58) путем их осреднения по координате y эти уравнения приводятся к одному интегральному уравнению вида (уравнение Кармана)

Путем аналогичного осреднения уравнения (63) оно приводится к интегральному уравнению Г.Н. Кружилина

где

Решения краевых задач с использованием уравнений Кармана и Г.Н. Кружилина с соответствующими граничными условиями вида (59) ? (62) и (64) ? (67) в известной литературе получены лишь в первом приближении. Отличие таких решений от результатов численного интегрирования (точные решения) находятся в пределах
4-10 %. Причем, основная погрешность решения связана с неточным выполнением уравнений (57), (58) и (63) (граничные условия и уравнения (68), (69) в данном случае выполняются точно).

В настоящей работе путем применения дополнительных граничных условий получены аналитические решения задач (57) ? (62), (63) ? (67) практически с заданной степенью точности. Так, уже в четвертом приближении отличие получаемых решений от результатов численного интегрирования не превышает 0,01 %.

Применительно к решению динамической задачи дополнительные граничные условия для получения решения в четвертом приближении имеют вид



Аналитическое решение задачи для динамического пограничного слоя в четвертом приближении будет

Ввиду полной аналогии задач (57) ? (62) и (63) ? (67) при аналитическое решение задачи для теплового пограничного слоя имеет вид (71), где вместо следует применять , определяемое по формуле

Критериальное уравнение для определения коэффициентов теплоотдачи с использованием формул (71) ? (73) приводится к виду

где ? Критерий Нуссельта;

В диссертации приведено решение задачи (63) ? (67) в случае, когда вместо граничного условия (64) задано граничное условие третьего рода вида

Отметим, что аналитическое решение задачи (63), (65) ? (67), (75) в настоящее время не получено даже в первом приближении. Решение путем численного интегрирования уравнения (63) найдено А. Азизом в 2009 г. (Aziz A. A similarity solution for laminar thermal boundary layer over a flat plate with a convective surface boundary condition Commun Nonlinear Sci Numer Simulat 14 (2009) 1064-1068).

Используя дополнительные граничные условия, в диссертации получено аналитическое решение задачи (63), (65) ? (67), (75) в первом, втором, третьем и четвертом приближениях. Результаты расчетов безразмерных температур (см. табл. 3) показывают, что расхождение с точным решением (численное интегрирование, А. Азиз) не превышает 0,01 % (для табл. 3 ).

Таблица 3

Bi	0,05	0,1	0,4	0,8	5	10	20
по формуле (131)	0,1395	0,2449	0,5648	0,7219	0,9419	0,9701	0,9848
точное решение	0,1447	0,2528	0,5750	0,7302	0,9441	0,9713	0,9854

7. В седьмой главе диссертации приводятся результаты применения полученных в диссертации решений для решения обратных задач теплопроводности по определению коэффициентов теплоотдачи на внутренней поверхности барабана котла БКЗ-420-140 НГМ, а также на внутренних поверхностях стенок многослойных конструкций коллекторов газотурбинных двигателей.

В процессах сброса давления при плановых или аварийных остановах парового котла происходит вскипание жидкости в его барабане, что приводит к существенному возрастанию коэффициентов теплоотдачи на границе жидкость-стенка. Ввиду понижения температуры жидкости при сбросе давления и возрастания коэффициентов теплоотдачи происходит переохлаждение внутренней поверхности стенки барабана котла в области отверстий, к которым присоединяются экранные трубы. В результате возникают градиенты температур, приводящие к появлению напряжений, превышающих предел прочности материала барабана, что в итоге приводит к появлению трещин в отверстиях барабанов котлов, устранение которых связано с большими затратами финансовых средств.

Путем решения обратной задачи теплопроводности на основе полученного в диссертации решения прямой задачи, а также с использованием экспериментальных данных по изменению температуры на внешней поверхности барабана котла в процессе сброса давления были найдены коэффициенты теплоотдачи на внутренней его поверхности. Их величина оказалась равной 470 Вт/(м2К).

По найденному значению коэффициентов теплоотдачи было рассчитано температурное состояние стенки барабана, с использованием которого были найдены температурные напряжения в стенке барабана котла в зоне отверстий, к которым присоединяются экранные трубы. Их анализ показал, что максимальных значений температурные напряжения достигают в основном на внутренней кромке отверстий. Исследование различных вариантов конфигурации внутренней кромки отверстий показали, что выполнение фаски на кромке отверстия глубиной до 1 см. (при толщине стенки 11 см.) позволяет более чем в 2 раза снизить величину напряжений, возникающих в нестационарном режиме сброса давления и, тем самым, практически устранить процесс трещинообразования. В частности, напряжения снижаются с 65 кг/мм2 до 30 кг/мм2. Отметим, что предел прочности на растяжение для материала барабана котла составляет 47 кг/мм2.

В седьмой главе диссертации приводятся также результаты решения задачи по определению начала и продолжительности пленочного кипения топлива (керосина) на стенках многослойных (тепловая изоляция - металлическая стенка - отложения кокса на внутренней стенке трубопровода) топливных коллекторов авиационных газотурбинных двигателей в процессе их запуска из горячего состояния. Данное исследование было связано с определением коэффициентов теплоотдачи на внутренней поверхности стенки. Они находились путем решения обратной задачи теплопроводности на основе полученного в диссертации решения прямой задачи при использовании экспериментальных данных по температуре на внешней поверхности металлической стенки трубопровода.

Исследования показали, что при отсутствии пленочного кипения коэффициенты теплоотдачи на границе жидкость-стенка при скорости течения топлива 4 м/сек достигают 2500 - 3000 Вт/(м2К). В случае, когда стенка оказывается существенно перегретой по отношению к жидкости, например, при останове двигателя и повторном запуске, коэффициенты теплоотдачи уменьшаются до 60-100 Вт/(м2К), что явно свидетельствует о наличии пленочного кипения (парового пузыря) на стенке. Исследования показали, что продолжительность кипения может достигать 8-12 сек. и прекращается при охлаждении стенки до величин, безопасных для возникновения кипения. Отметим, что в процессе кипения топлива происходит отложение кокса (углеродных составляющих топлива) на внутренних поверхностях стенок топливных коллекторов. Это, в свою очередь, приводит к уменьшению внутреннего диаметра трубок коллектора, что влечет уменьшение расхода топлива и, следовательно, к уменьшению мощности двигателя.

В диссертации даны рекомендации по радикальным мерам предотвращения пленочного кипения. К ним, в частности, относятся применение тепловой изоляции на внешней и внутренней поверхности трубопровода, а также закручивание потока (его турбулизация) на участках трубопровода, наиболее подверженных пленочному кипению.

Аналогично, путем решения обратных задач теплопроводности для ряда конструкций газотурбинных двигателей была также найдена толщина коксовых отложений на внутренних поверхностях трубок топливных коллекторов. И, в частности, при диаметре трубок 10 мм толщина отложений, согласно проведенным исследованиям, может достигать 1-1,5 мм. При этом расхождение с экспериментальными данными, полученными путем вскрытия трубок коллекторов, составляет около 20 %.

8. В восьмой главе диссертации даны основные положения используемых в работе численных методов решения задач теплопроводности и тепломассопереноса. Рассмотренные методы были использованы для решения следующих краевых задач: для многослойной конструкции; с переменным начальным условием; нелинейной задачи теплопроводности при линейной зависимости коэффициента температуропроводности от температуры; задачи теплообмена при течении жидкости в плоском канале. Для решения указанных задач разработаны комплексы программ. Данные программные комплексы, реализующие метод конечных разностей, разработаны в среде разработки приложений Delphi (фирма-производитель программного продукта - Borland).

Программные комплексы, реализующие аналитические методы решения краевых задач, приведенных в третьей, четвертой, пятой и шестой главах диссертации, предусматривают выполнение необходимых математических расчетов, проведение сравнительного анализа полученных в диссертации результатов решения с результатами известных точных методов и построение соответствующих графиков. Данные программные комплексы реализуют единый для всех вышеперечисленных задач алгоритм. Унифицированная блок-схема данного алгоритма приведена в приложениях диссертации.

Данные программные комплексы разработаны с помощью математического пакета инженерных расчетов Mathcad 13 (фирма-производитель программного продукта - Mathsoft) для каждой краевой задачи. В качестве конкретного примера в приложениях диссертации приведено решение нелинейной задачи теплопроводности для первой и второй стадий процесса в первом и втором приближении.

2. Основные выводы и результаты работы

1. Решена важная научная проблема, имеющая большое практическое значение, по разработке нового направления математического моделирования аналитических решений краевых задач теплопроводности и тепломассопереноса, основывающегося на введении дополнительных граничных условий, позволяющих в аппроксимационном представлении приближенного решения определять любое число его слагаемых и получать аналитические решения сложных линейных и нелинейных задач практически с заданной степенью точности.

2. Обоснована необходимость применения и разработана математическая модель построения дополнительных граничных условий, получаемых из исходного дифференциального уравнения краевой задачи с использованием основных граничных условий. Подчинение решения дополнительным граничным условиям эквивалентно выполнению исходного дифференциального уравнения во всем диапазоне изменения пространственной координаты и времени. В диссертации показано, что собственные числа, определяемые из характеристических уравнений, полученных на основе использования дополнительных граничных условий, при большом числе приближений практически совпадают с собственными числами соответствующей краевой задачи Штурма-Лиувилля, решение которой находится классическими методами. Следовательно, решение с использованием дополнительных граничных условий с увеличением числа приближений приближается к точному.

...