Экономическая цикломатика: теория, методология, практика

Работа поддержана грантом № 08-06-07019 Российского фонда фундаментальных исследований.

Подходы использовались в анализе макроэкономической динамики США и России. На моделях регионального продовольственного маркетинга выполнен комплекс аналитических и прогностических работ, разработана система мониторинга рынка. Полученные модели, результата анализа и визуализации процессов, прогнозные решения используются торговым представительством ЗАО «Микояновский мясокомбинат» по Югу России - ООО «КавМком» (г. Ставрополь) в корпоративных отчётах, текущем анализе, планировании экономических показателей на перспективу, при заключении форвард-контрактов, просчёте ситуаций, которые могут возникнуть.

Обнаружены циклы финансовых потоков в системе Сберегательного Банка России. Новыми методами иллюстрированы циклы урожайности сельскохозяйственных культур, длина циклов оказалась далёкой от известных цифр. Показаны циклы федеральной и региональной внешней торговли (рис. 3). Динамика экономико-технологических показателей автохозяйства оказалась цикличной, оптимизация объёма регламентных работ повысила экономическую эффективность хозяйства. Цикличны характеристики собираемости налогов физических лиц в Ставропольском крае.

Перманентная фазовая цикломатика экономических процессов, эконометрические законы, построенные на сплайн-зависимостях - всё это позволило лучше понять и использовать «тонкую» составляющую структурной сложности природы экономических процессов.

Публикации. Основные результаты диссертационного исследования отражены в 47 опубликованных работах автора, в том числе в двух монографиях и 10 работах в журналах из перечня ВАК общим объёмом 59.7 п.л., в том числе автора 47.25 п.л.

Во введении рассматривается сложная структура современного рынка, дан набросок общих черт исследования экономической конъюнктуры, отдаётся дань исследователям, внёсшим значительный вклад в становление и развитие экономической динамики, ищется «ниша» для новых способов и подходов, уточняется научная база исследования, математическая и инструментальная.

Проведено обозрение наук о циклах, это: «ритмология», «периодизм», «повторяемость», «наследуемость» экономического поведения, «теории делового цикла», «волнообразность конъюнктуры», «колеблемость», «законы ритмичности», «законы волн». Логично предлагается этому разделу экономики дать название «экономическая цикломатика».

Выбор темы диссертации, её цели и рабочие гипотезы обосновываются, ставится проблема, которая затем декомозируется на задачи, выбираются «циклическая» парадигма и «кусочная» концепция, излагаются философская, понятийная, математическая, инструментальная и эмпирическая базы исследования.

В положениях, выносимых на защиту, и в научной новизне результатов диссертационного исследования определяется место предлагаемых подходов в ряду достижений современной экономической конъюнктуры и экономической футурологии, анализа макроэкономической динамики, регионального маркетинга, финансового менеджмента, внешнеэкономической торговли, налоговых задач.

В первом разделе «Классические и современные представления о детерминированном и случайном в экономике. Выбор подхода, аппарата и инструментов» прописываются исходные позиции, новая парадигма и концепция и реализующая их математическая и инструментальная база. В любом исследовании важна его философская основа, та системная база, тот круг идей, способов получения и обработки исходных данных, которые составляют его парадигму.

Парадигму будем определять как «совокупность теоретических и методологических положений, принятых научным сообществом на известном этапе развития науки и используемых в качестве образца, модели, стандарта для научного исследования, интерпретации, оценки и систематизации научных данных, для осмысления гипотез и решения задач, возникающих в процессе научного познания».

Такой парадигмой стала «циклическая». Структурный анализ экономических процессов и соответствующих им временных рядов в последнее время становится всё более важной частью экономической науки.

Специфика слабоформализованных процессов, эволюционирование которых представляется временными рядами, состоит в том, что в них всё чаще проявляется интерес и им присущи такие динамические характеристики, как хаотичность, периодичность, цикличность, спектральный состав, событийная составляющая динамики, «долговременная экономическая память», фрактальность.

Когда такая система проходит через некоторые критические значения внешних параметров, в ней могут возникнуть внезапные изменения структуры, часто называемые структурными скачками, структурными изменениями или событийными составляющими динамики. Так можно объяснить и охарактеризовать внутреннюю или имманентную сущность неустойчивости экономической системы.

В перечне задач было не просто показать новыми формальными методами цикличный характер рыночных процессов, но и объяснить его экономически. Первое глобальное объяснение полученной системной или неслучайной цикличности как раз и состоит в обращении к синергетической парадигме.

Экономическая синергетика, как наука, занимающаяся изучением поведения хаоса, утверждает, что не существует эволюционирующей экономической системы, которая перманентно была бы устойчива. Хаотическое поведение экономических переменных проявляется, в частности, в виде циклических построений с неопределёнными амплитудами и периодами.

Предлагается и второе, не менее общее объяснение. В замкнутой системе, каковой является рынок со своими спросом, предложением и их динамическим балансом, наличие «чистого» запаздывания приводит к появлению гармонических колебаний. Они на фазовых портретах и параметрических картинах взаимных зависимостей смотрятся как замкнутые стабильные циклические, «разворачивающиеся» (растёт амплитуда периодического процесса) или «сворачивающиеся» (затухающие колебания) спиралевидные конструкции. Источников «чистого» запаздывания в экономике может быть несколько.

Первый - в классическом экономическом анализе «паутинный алгоритм Тинбергена» каждый раз находит периодическими движениями единственную точку пересечения кривых спроса и предложения, делая это с запаздыванием, поэтому в системе следует ожидать стабильности периода и амплитуды колебаний.

Соответственно, на фазовых портретах мы должны увидеть цикл с одним периодом и радиусом. Однако, в реальности и в наших экспериментах это оказалось не так.

Поэтому за объяснением феномена мы обратились к новым методам компромиссного анализа рыночной экономики В.А. Кардаша. Наличие множества точек допустимых сделок на рынке данного товара (внутри «маршалловых ножниц») означает, что при попадании в разные точки компромиссной сделки мы получаем различающиеся амплитуды (радиусы циклов) и периоды (длина циклов) колебаний.

Второй - это принципиальное отставание отчётных точек баланса от сиюминутных экономических, производственных, маркетинговых, финансовых показателей, текущих on line. Цикличность потоков в системе становится следствием временного запаздывания между отчётными и управляющими документами и воздействиями.

Третий - неразворотливость менеджмента по выдаче регулирующих указаний вовремя из-за его неготовности к принятию решений, необученности, некомпетентности, страха за последствия и пр.

Есть смысл системно рассмотреть несколько путей и математических методов обработки исходной экономической информации, представления её в виде модели.

Реальные экономические показатели образуют конечное множество N измерений Y_i (i = 1..N), каждое в конце некоторого i-го отрезка времени Х_i (сутки, неделя, месяц, квартал, год). Это множество {Y(X_i)} или множество кортежей длины два {X_i, Y_i} принято называть «решётчатой» функцией.

К несомненным достоинствам подхода отнесём возможность количественного описания данных и операций математически точными определениями множества, кортежа, графика, его проекций, инверсии и композиции графиков, свойствами их функциональности и инъективности. Методы работы с такими конструкциями окажутся весьма полезными при построении графиков и эконометрических законов на фазовой плоскости.

Существует три способа статистической обработки «решётчатых» показателей и построения моделей на «решётчатых» функциях. Первый способ использует приёмы и операторы дискретной математики, работающие прямо по «решётчатым» показателям, к ним отнесём разностные операторы, факториальные многочлены, исчисление сумм, уравнения в конечных разностях, элементы комбинаторики.

Второй способ предполагает переход от дискретных отсчётов и «решётчатых» функций к непрерывным, гладким, аналитическим моделям при помощи аппарата аппроксимации.

Основная задача теории аппроксимации формулируется следующим образом: на некотором точечном множестве в пространстве произвольного числа переменных заданы две функции f(P) и F(P; A₁, A₂, .., A_N) от точки P , из которых вторая ещё зависит от некоторого числа параметров А₁, А₂, .. , А_N; эти параметры требуется определить так, чтобы уклонение в функции F(P; A₁, A₂, .., A_N) от функции f(P) было наименьшим. При этом надо указать, что понимают под уклонением F от f или, как ещё принято говорить, под «расстоянием» между F и f. Определим, что f(P) - «решётчатая» функция на N точках, F(P; A₁, A₂, .. , A_N) некоторый полином N-ой степени с a posteriori определяемыми параметрами А₁, А₂, .. , А_N.

Предлагаемый третий способ строит многозвенник, т.е. универсальную, унифицированную кусочно-аппроксимированную математическую модель, разные части или «куски» которой будут представлять поведение процесса на разных участках или подмножествах «узлов» «сетки». Многозвенная модель, «сшиваясь» оптимальным образом, будет представлять собой в конечном итоге один ансамбль.

Само слово «процесс» предполагает изменение некоторой переменной (экономического показателя) во времени. Понятие временного класса базируется на тесной взаимосвязи математических и экономических формулировок.

Современный взгляд на структуру любого экономического процесса и соответствующего ему временного ряда - это произвольная комбинация пяти компонент:

данные = тренд & сезонность & цикличность &

стохастичный остаток & событийная составляющая.

Различные пять структурные, базовые компоненты временного ряда можно оценивать группой способов. Остановимся лишь на разделении понятий «сезонность» и «цикличность». Сезонное поведение представляет собой периодический процесс, в котором a priori известны время начала, конца, длительность, продолжительность периода и объективные причины его повторяемости. Исторически слова «сезонные», «сезонная компонента» соответствовали точно повторяющимся влияниям времени года на поведение экономического показателя.

В противовес этому циклическое поведение - периодический процесс, в котором начало, конец, время, причины повторяемости, амплитуда, период колебаний и т.п. заранее, a priori, неизвестны, но могут быть найдены и вычислены в результате анализа, то есть a posteriori. Среднесрочная циклическая компонента состоит из последовательных повышений и понижений, но они не могут быть заранее соотнесены к каким-то календарным периодам и не повторяются регулярно. Поскольку эти повышения и понижения чередуются, их нельзя считать ни трендовой составляющей, ни достаточно малыми случайными компонентами независимой или нерегулярной ошибки, ни рассматривать как фрагмент событийных составляющих динамики.

Для того, чтобы получить более точные анализ и предсказание поведения (экстраполяцию) гладкой аналитической функции, строящейся наложением на «решётчатую» функцию исследуемого экономического процесса, необходимо знать временные классы как процесса, так и приближающих функций, из которых строятся аналитические модели. В проблеме наилучшего назначения временного класса модели экономического процесса присутствует важный этап определения меры расхождения между процессом и моделью, критерий согласия.

Во втором разделе ««Кусочная» концепция исследования экономической конъюнктуры» в результате системных исследований по анализу и поиску циклов в экономике было показано, как мало внимания обращается на тот очевидный факт, что в поведении самореорганизующейся экономики России и её отдельных регионов существуют периоды относительно стабильных политических, правовых, налоговых, таможенных и т.п. законов, правил, тарифов, положений, квот, отчислений, преференций и пр., сменяемых, правда, достаточно неожиданно и часто.

Для верификации формального (трендового, детерминированного) анализа, поиска циклов, визуализации и прогнозирования важен тип исследуемого экономического процесса. При одних наборах экзогенных условий процесс может показать экспоненциальный рост, при смене их динамика экономического показателя может стать линейно-падающей и т.д. Чтобы собрать статистику поведения экономических показателей и продолжить её в прогнозном построении, требуется сделать отчётный период достаточно долгим.

На длинном периоде увеличивается вероятность изменениях внешних условий, период неизбежно делится на отдельные «куски», внутри которых тип экономического поведения может кардинально меняться. Поэтому особую актуальность в экономике приобретает выбор унифицированной модельной системы. Эта универсальная система функций должна хорошо интерполировать и экстраполировать все виды типичных экономических процессов, автоматически «приспосабливаясь» своими фрагментами к их сезонности, структурным скачкам, асимптотичности, экспоненциальности, цикличности, хаотичности и пр.

В связи с этим в исследовании предлагается использовать «кусочную» концепцию на аппроксимационной базе.

Из кусочно-полиномиальных функций мы остановили свой выбор на сплайнах со сплайновым представлением интерполяционной кривой на дискретном множестве точек, сплайн-моделированием, сплайн-анализом и сплайн-визуализацией на фазовых портретах, параметрических картинах взаимозависимостей, со сплайн-прогнозированием. Отличительная особенность сплайнов - они состоят из отрезков степенного полинома малого порядка, которые сходятся и «сшиваются» в заданных узловых точках «решётчатой» экономической функции.

Кусочно-полиномиальные функции универсальны как в том, что используются единообразно для сплайн-моделирования, фазового сплайн-анализа, сплайн-визуализации, так и для сплайн-прогнозирования экономического поведения, когда его временной класс меняется на протяжении отчётного периода.

Кусочно-полиномиальные методы также универсально применяются в экономических, производственных, финансовых и маркетинговых задачах, заменяя спектр систем аппроксимирующих многочленов. Классики (Дж. Алберг, Дж. Уолш, Э. Нильсон) недаром говорили о «подвижности и гибкости сплайнов».

Математический сплайн q-го порядка непрерывен и имеет (q-1) непрерывную производную, q-я производная претерпевает в точках соединения (узловых точках, узлах «сетки» или просто «узлах») разрыв с конечным скачком. Более двух десятков замечательных свойств выделяют сплайны из всего множества аппроксимирующих функций.

В моделировании и анализе в полной мере используется известное применение сплайнов при построении интерполяционных кривых на дискретном множестве точек - spline-smoothing, «сплайн-сглаживание».

Строящаяся непрерывная сплайн-кривая становится действительно «гладкой», так сплайны визуально демонстрируют одновременно и периодичность, и «гладкость» процесса (рис. 4).

Математическая «сшивка» фрагментов сплайн-функции оптимально осуществляется значениями самой функции S(Y;X_j - 0) = S(Y;X_j + 0) = Y_j, значениями её производных S'(Y;X_j - 0) = S'(Y;X_j + 0), S”(Y;X_j - 0) = S”(Y;X_j + 0) .. слева и справа в узловых точках {X_j, Y_j} (j = 1..N), так что S(Y;X), S'(Y;X), S”(Y;X) .. становятся непрерывными функциями во всей сетке X₁, .., X_N.

Такая структура помогает выстраивать «кусочный» сплайн в единый аппроксимирующий ансамбль.

Из всех рассмотренных сплайн-систем в работе чаще используются кубические сплайн-функции или сплайны третьего порядка, предпочтение основывается на их исследованных и доказанных преимуществах.

У кубических сплайн-функций S(Y;X) f(X) свойство сплайнов, которое при поиске классов подходящих полиномов мы называем «внутренней оптимальностью», выражается теоремой Холлидея, утверждающей, что кубическое сплайн-построение минимизирует интеграл:

.

Это свойство кубического сплайна называется свойством наилучшего приближения, минимальной кривизны или нормы, именно оно лучше всего сохраняет статистическую «историю» процесса при переносе её в горизонт прогноза.

Сплайны имеют инвариантную внутреннюю структуру, универсальную математическую форму, это свойство «фракталоподобия» сплайнов, самоподобия его «кусков» при аналитическом однообразии позволяет представлять их однотипно и экономно, используя в полной мере аналитические возможности систем компьютерной математики.

При общем универсализме сплайновых моделей значительно выигрывает моделирование ими сезонных и циклических процессов. Линейное слагаемое сплайна моделирует линейный тренд, а при знакопеременных последовательно следующих «моментах» сплайна его квадратичные и кубичные параболические слагаемые на перемежающихся участках становятся выпуклыми то «вверх», то «вниз», как бы «кусочно-периодическими», моделируя таким образом сезонную или циклическую составляющую экономического процесса. Впервые периодическое экономическое поведение достаточно точно удаётся моделировать степенными многочленами низкого порядка. Кусочно-полиномиальные многочлены заменили собой громоздкие гармонические многочлены и ряды Фурье, громоздкое и малопонятное экономисту сочетание трендового, сезонного и циклического поведения удаётся анализировать и прогнозировать единой сплайн-технологией.

Принципиальное отличие сплайн-подходов от классических эконометрических состоит в том, что регрессионные эконометрические построения теряют значение параметра (времени), при котором они получены, в то время как сплайн-построения сохраняют временной показатель каждого дискретного отсчёта, что существенно сказывается на точности последующего перехода к построению прогноза.

Сплайн-подход обогащает эконометрику. Теперь после замены решётчатых функций исходного экономического процесса сплайн-функциями в эконометрике появилось разнообразие критериев сравнения. Стало возможным получение эконометрических законов и прогнозов прямо на фазовых портретах и параметрических картинах. Сплайн-подход выявил новые для эконометрики аналитические представления дискретных регрессионных соотношений.

Особенностью предлагаемого метода является конструктивность с доведением теории до реальных характеристик, с выделением важных и легко оцениваемых показателей, что позволяет просто, быстро и точно получать решение, в чём-то лучшее остальных, не требуя разных соображений, представлений, преобразований, допущений.

Малая степень составляющих сплайна и малый порядок его производных облегчают экономическую интерпретацию модели, это хорошо соотносится с тем, как экономист понимает, объясняет и управляет экономическим поведением, позволяет менеджерам легче расшифровывать экономический смысл сплайн-образов показателей. Теперь экономисты могут привлечь для исследования динамики экономических показателей всю гамму методов аналитического математического аппарата, найти крутизну участков подъёма и спада, точки экстремумов, построить фазовые портреты и параметрические картины взаимозависимостей с непрерывными кривыми, генерировать и визуализировать новые законы, находить прогнозы. Простота получения сплайнов любых степеней, надёжность работы алгоритма сплайн-аппроксимации, широкие возможности и наглядность сплайн-визуа- лизации дают в руки менеджера понятное, практическое орудие моделирования, мониторинга, анализа и прогнозирования рынка.

Требуется, чтобы система функций была исследована и достаточно широко применена математиками, тогда при преобразованиях гарантируется правильность и надёжность результатов. Это положение верно, математические сплайны известны с 1949 г. (Шёнберг) и с тех пор широко используются в научных и технических приложениях.

Так как сплайн проходит точно через все узлы «решётчатой» функции, то сплайн-моделирование, сплайн-прогнозирование, сплайн-анализ точны по сути, они лучше и тоньше определяют и сохраняют спектральный состав процесса, значительно улучшают интерполяцию, надёжнее накапливают статистику процесса в отчётном периоде.

Всё это приводит к констатации итогового факта, что сплайн-аппроксимационный подход, заменяющий «решётчатые» функции экономических процессов гладкими аналитическими функциями невысокой степени (1..4) и несколькими их непрерывными же производными с малыми степенями (0..3), важен для экономической динамики.

В третьем разделе ««Циклическая» парадигма исследования» представлены способы использования сплайнового представления для перехода от временных рядов экономических показателей рынка к фазовым соотношениям.

При этом аналитические возможности экономического сплайн-анализа усложняются и расширяются, что демонстрируется и визуализируется динамикой экономического поведения на фазовых сплайн-портретах в двух и трёх измерениях. Методами фазового анализа в параметрической форме (параметр - время) удаётся изучать взаимную зависимость переменных в многозначных функциях, характерных для регрессионных соотношений в эконометрике.

Фазовые портреты играют важную роль в математике и технике. Фазовым портретом называется построенная на плоскости кривая, представляющая собой зависимость первой производной Y'(t) от самой переменной Y(t), время t играет роль параметра. Отрезок прямой на фазовом портрете, находящийся над осью абсцисс и параллельный ей, на привычном дискретном «решётчатом» графике t_j,Y_j соответствует линейному росту переменной Y(t), так как первая производная положительна и постоянна, а переменная Y(t) растёт вдоль оси абсцисс слева направо.

Замкнутый цикл фазового портрета указывает на стабильные периодические колебания переменной Y(t), «раскручивающаяся» спираль свидетельствует о росте амплитуды колебаний со временем, «сворачивающаяся» спираль соответствует затуханию периодической составляющей.

Фазовый портрет может быть и пространственным (трёхмерным), тогда его координатными осями являются: сама функция; её первая производная; независимая переменная, в качестве которой оказывается удобным брать текущее время.

Следующим полезным инструментом сплайн-анализа является получение взаимных зависимостей характеристик рынка на параметрических сплайн-картинах зависимостей одних экономических показателей от других. Непрерывность сплайн-образов облегчает понимание инерционности, взаимной увязки разных процессов рынка.

Переход от временных рядов экономических показателей к параметрическим картинам взаимозависимостей позволяет перейти к новому демонстрационному качеству при построении параметрических кривых в двух и трёх измерениях, когда в одной координатной системе можно увидеть взаимодействие экономических переменных друг с другом.

Фазовый сплайн-анализ в наших исследованиях и вычислительных экспериментах показал, что широкий спектр экономических, маркетинговых и финансовых показателей имеет принципиально циклическую природу. Повсюду в экономике мы видим богатство циклических конструкций, которые необходимо обнаруживать, исследовать, объяснять, обсчитывая показатели циклов.

Выявленная цикличность позволяет по-новому взглянуть на многие экономические процессы, поэтому можно с полным правом выделить новый раздел экономики - «экономическую цикломатику». Складывается впечатление, что в экономике тренды как таковые просто не существуют, они строятся интерполяционно через характерные точки циклов (центры, точки пересечения ветвей и пр.).

В четвёртом разделе «Циклы в макроэкономике» описаны особенности периодических движений макроэкономических показателей. Именно в макроэкономике ярко проявляется цикличность, здесь происходит круговорот таких глобальных категорий, как ВВП, инфляция, безработица, норма процента, валютные курсы, цены на нефть. Было принято считать, что мегаэкономическое поведение в долгосрочном периоде трендово, а экономические флуктуации характерны для краткосрочной динамики. Это утверждение основывалось на том, что тренд интегрирует случайные выбросы и в итоге представляет собой устойчивую тенденцию, гладкую кривую с минимумом экстремумов, проходящую через характерные точки показателя.

Колебания большинства макроэкономических показателей синхронизованы (рис. 6) и ведущую роль играет обобщающий показатель экономической деятельности - реальный объём ВВП. Когда во время рецессии реальный объём ВВП снижается, то же происходит и с личными доходами, прибылью корпораций, потребительскими расходами, инвестициями, объёмом промышленного производства, объёмом розничных продаж и т.д., ибо спад отражается во всей экономике и проявляется почти во всех макроэкономических показателях. Хотя большинство макроэкономических переменных изменяется синхронно, можно, забегая вперёд, сказать - синфазно, временные лаги, формы, амплитуды и периоды их колебаний могут быть весьма различны.