Теория и приложения демографических потенциалов

, .

Для модели с учетом порядка рождения расчеты можно вести по формулам:

, ,

где - аналог потенциала Фишера в модели неоднородного населения для человека -й возрастной группы, у которого уже родилось детей (обоих полов); - асимптотический коэффициент роста населения, подбираемый так, чтобы потенциал был равен единице; - возрастные коэффициенты рождаемости с учетом порядка рождения; - то же самое, но с поправкой на младенческую смертность и долю девочек среди новорожденных. В работе приводится пример расчета для населения США.

В математической биологии получили распространение модели воспроизводства, в которых вместо/помимо возраста используются иные переменные (рост, масса тела, стадия развития организма и проч.) Применение концепции демографического потенциала в рамках таких моделей проиллюстрировано на примере стадийной модели Левковича.

В заключение главы формулируется непрерывная популяционная модель общего вида. Модель строится в операторной форме, на основе введения оператора , ставящего в соответствие плотности численности населения , , в момент времени плотность численности в момент времени :

.

Здесь и далее переменную возраста будем опускать, если это не вызовет разночтений. Функции плотности численности населения будем считать элементами пространства . Вводится оператор передвижки:

Оператор передвижки линеен и ограничен, его норма не превышает единицы. Он не является компактным. Если функция дожития непрерывна при , то оператор передвижки непрерывен. Если функция дожития еще и финитна, то

.

Если функция дожития не является финитной, но , то

,

Вводится так же оператор рождаемости такой, что:

.

На основе анализа примеров, положено, что оператор рождаемости линеен, ограничен, и компактен, отсюда, он так же и непрерывен.

Как у линейного ограниченного оператора в гильбертовом пространстве, у существует сопряженный линейный ограниченный оператор такой, что для любых выполняется равенство:

.

Отсюда получается уравнение динамики функции потенциала на основе аксиомы о постоянстве суммарного демографического потенциала:

для любых , . Отсюда, верно уравнение динамики вектора потенциала:

.

может быть представлен так же, как и оператор воспроизводства:

,

где справа стоят операторы, сопряженные к операторам рождаемости и передвижки, обладающие такими же свойствами.

Определение. Модель (57) обладает эргодическим свойством, если существует такая функция , такая, что для всякого начального населения

при некотором конечном действительном ; - спектральный радиус .

Показан ряд результатов, которые завершаются теоремами:

Теорема. Популяционная модель (57) обладает эргодическим свойством тогда и только тогда, когда максимальным по модулю собственным значением оператора является положительное действительное число, и ему соответствует только одна (с точностью до множителя) собственная функция, которая не ортогональна ни одной собственной функции сопряженного оператора, соответствующей тому же самому собственному значению.

Причем, в (66)

Теорема. Модель (57) обладает эргодическим свойством тогда и только тогда, когда этим свойством обладает модель (64).

Оценка (67) отражает фундаментальное свойство потенциала - пропорциональность асимптотической численности населения. Для классической популяционной модели условие неортогональности и верно всегда, из-за чего, ранее к этому условию не обращались. Это условие равносильно существованию нетривиального демографического потенциала.

В четвертой главе рассматриваются приведенные потенциалы, которые отражают не отдаленные перспективы воспроизводства, а вклад ныне живущего населения и его потомства в экономические, экологические и иные исследуемые процессы. В частности, приведённый жизненный потенциал рассчитывается как общее число будущих человеко-лет, приведённых (методом дисконтирования) к текущему или иному моменту времени. Если норма дисконта больше коэффициента Лотки, либо равна ему, приведенные потенциалы сводятся к чисто демографическому потенциалу, что подчёркивает его «фундаментальность». Для приведенного жизненного потенциала аксиому преемственности можно сформулировать так:

30. Приведенный жизненный потенциал замкнутой группы удовлетворяет:

,

- суммарный приведенный жизненный потенциал, а - численность населения в момент времени ; - сила дисконта, предполагаемая больше коэффициента Лотки. Может представлять также интерес приведение не к фиксированному начальному, а к текущему моменту времени:

,

или, что равносильно, .

Аналогия между демографическим потенциалом и физической энергией уместна и для приведенных потенциалов, но с поправкой на то, что население не может считаться замкнутым с точки зрения его недемографической роли. Выражения справа в (68) и (69), аналогичны работе физической системы, уменьшающей ее энергию.

Разработка аксиоматического подхода указала на существование смешанных демографических потенциалов, которые являются линейной комбинацией приведённого и чисто демографического потенциалов. Поскольку суммарный демографический потенциал замкнутого населения (в абсолютных единицах) неизменен, то сумма приведенного потенциала (68) и демографического потенциала с произвольным весом будет удовлетворять той же аксиоме преемственности, что и приведенный демографический потенциал. Эти же соображения указывают, что необходимо еще одно условие для однозначного определения приведенных потенциалов:

40. (Условие исчерпаемости). Приведенный жизненный потенциал (68) всякой замкнутой группы асимптотически равен нулю,

,

Для потенциала (69) условие исчерпаемости имеет вид:

. (

Физическая аналогия аксиомы: асимптотически, демографическая система расходует весь свой потенциал на «совершение работы».

Потенциалы (68) однополого, однородного, замкнутого населения равны:

Для потенциалов (69) соотношение (72) следует заменить на следующее:



В случае асимптотически стабильного населения потенциалы не зависят от времени и могут быть получены в явной форме:

.

.

В диссертации получены выражения для потенциалов двуполого населения, приведенные потенциалы разработаны для неоднородного открытого населения, исследованы условия разрешимости соответствующих систем, дается обзор областей приложения приведенных потенциалов, вводится понятие половозрастной потенциальной пирамиды.

В пятой главе рассмотрены свойства потенциалов. Сначала рассматриваются общие свойства демографического потенциала. Дается обобщение классического результата (6), который равносилен следующему:

.

Для населения с переменным режимом воспроизводства соотношение (76) неверно, но потенциал младенца «колеблется» около аналога (76):

, ,

где - некоторая функция, принимающая и неотрицательные, неположительные значения. Если динамика демографических показателей слабая, то можно считать небольшим по модулю. Причем, при любом режиме воспроизводства равенство (76) точное, по крайней мере, для одного значения . Для населения с постоянными показателями воспроизводства , а для населения с показателями воспроизводства, близкими к постоянным, , где - эффективный истинный коэффициент естественного прироста населения за некоторый период, включающий . Можно использовать в качестве характеристики воспроизводства населения на отрезке величину

,

что есть обобщение коэффициента Лотки на случай переменного режима воспроизводства, которое может оказаться эффективнее применения уравнения Эйлера-Лотки (4), поскольку его решения неустойчивы.

В диссертации так же даются оценки сверху и снизу для потенциалов, исследуются другие вопросы динамики потенциалов, рассмотрены потенциалы стабильного населения.

В диссертации рассмотрены вопросы устойчивости демографических потенциалов к вариации параметров модели. Показано свойство эргодичности для динамики потенциалов, гарантирующее, что реальная структура потенциалов будет определяться развитием режима воспроизводства только в некотором ближайшем будущем.

В случае режима воспроизводства, постоянного при приводится несколько лемм и теорема, которые, при обычных на практике условиях, гарантируют существование , причём, сходимость равномерная по x при и не хуже экспоненциальной. Расчёты указывают на быструю сходимость потенциалов даже при сильных и нереальных на практике возмущениях потенциалов после T. Причина в том, что для стабилизации потенциалов играет роль выравнивание возрастных структур в фертильных и младших возрастах, что происходит быстрее, чем стабилизация всей возрастной структуры. Компенсаторные процессы, сопровождающие нарушения режима воспроизводства, так же способствуют большей устойчивости потенциалов.

В диссертации так же показано, что в случае переменного режима воспроизводства динамике демографических потенциалов присуще свойство, аналогичное свойству слабой эргодичности популяционной модели. В силу (47), рассмотрение динамики потенциалов сводится к исследованию динамики потенциала младенца. Пусть даны два населения, динамика потенциала младенца в которых описывается соотношениями:

,

,

верхний индекс нумерует населения. Тогда существует положительный

,

что равносильно свойству (слабой) эргодичности для динамики потенциалов.

В работе исследованы свойства приведенных демографических потенциалов. Даются результаты по динамике приведенных потенциалов, по их значению для стабильного населения, по устойчивости к вариации параметров модели, исследованы вопросы эргодичности.

В шестой главе рассмотрена модель воспроизводства демографического потенциала, основанная на постулированных структуре возрастных коэффициентов и динамике демографического потенциала:

.

Здесь параметр (коэффициент воспроизводства) является не расчетной величиной, а входным параметром модели. Из (78) можно показать:

,

где - обычные коэффициенты передвижки. Из (79):

где , ; - числа живущих таблицы дожития. Получен общий результат: коэффициент является одним из корней векового уравнения матрицы воспроизводства, а для остальных собственных чисел :

.

Соотношение (81) позволяет дать содержательное толкование т.н. моделям с внутренней динамикой, в которых все матрицы Лесли имеют один и то же набор репродуктивных потенциалов, и отсутствует смертность. Они привлекли теоретический интерес, но не получили содержательной интерпретации. Между тем, они соответствуют динамике, вытекающей из априорно заданной динамики демографического потенциала с фиксированными возрастными коэффициентами; причем, предположение об отсутствии смертности излишне. Опираясь на (81), также показан результат:

Теорема. (О круге инстабильности модели воспроизводства демографического потенциала). Пусть заданы возрастная структура демографических потенциалов и числа живущих . Тогда существует круг такой, что режим воспроизводства обладает свойством эргодичности тогда и только тогда, когда коэффициент воспроизводства не принадлежит этому кругу. Указанный круг будем называть кругом инстабильности, а его радиус - радиусом инстабильности.

В диссертации рассмотрены следствия теоремы, показана причина неустойчивости некоторых известных моделей.

Удобно переписать (81) через потенциалы :

.

Теорема. (Об условиях эргодичности в модели воспроизводства демографического потенциала). Структура ожидаемых будущих относительных потенциалов младенца , , однозначно определяет соотношения между собственными числами матрицы воспроизводства и то, обладает ли модель воспроизводства свойством эргодичности.

В диссертации даются явные выражения, связывающие между собой собственные значения и значения демографических потенциалов.

В диссертации так же получены непрерывные аналоги (80)-(82) и других выражений, полученных в дискретном случае:

,

.

Спектральные свойства непрерывной модели исследованы в рамках операторной модели (57). Показано, что все собственные значения оператора воспроизводства, помимо главного, удовлетворяют уравнению:

,

которое является аналогом дискретного соотношения (81). В непрерывном случае верны результаты, аналогичные приведенным выше.

Седьмая глава посвящена теории монотонных показателей стабилизации. Имеет место

Теорема. Следующее расстояние в рамках дискретной популяционной модели с постоянными показателями монотонно убывает к нулю при (звездочкой помечены показатели стабильного населения):

,

где - функция уклонений, выпуклая как функция первого аргумента и равная нулю при равенстве аргументов между собой.

Куллбаковское расстояние (25) и показатель Рубинова-Чистяковой (26) могут быть сведены к виду (86), но не исчерпывают множества расстояний вида (86); в работе дается обширный выбор примеров таких расстояний. Расстояние (25) оказывается неустойчивым к ошибкам в параметрах модели.

Для практически важного случая двух реальных населений имеет место

Теорема. Расстояние между структурами двух асимптотически эквивалентных населений с одинаковым режимом воспроизводства

монотонно сходится к нулю, если функция уклонений выпукла как функция двух переменных и равна нулю при их равенстве между собой.

Функция расстояния (25) не удовлетворяет условию (87), что объясняет неудачную попытку его применения в литературе к реальным населениям.

Результаты по монотонным мерам сходимости возрастных структур нескольких населений, имеющих одинаковый режим воспроизводства, можно усилить, включив в рассмотрение более двух таких населений. При этом функция уклонений будет характеризовать разброс, наблюдаемый в анализируемой группе населений, и должна будет удовлетворять условию выпуклости как функция нескольких аргументов.

Теория так же развита на случай модели с переменным режимом воспроизводства, характерный для реальных населений. Имеет место

Теорема. Пусть функция уклонений выпуклая, однородная и равная нулю при равенстве аргументов между собой. Тогда расстояния вида

,

где индексы 1, 2 нумеруют населения, - ожидаемый демографический потенциал младенца по достижении возраста (переменная времени соответствует моменту рождения), монотонно убывают к нулю при . Как и в случае постоянного режима воспроизводства, результат можно усилить, включив в рассмотрение более двух реальных населений. Примеры расстояний вида (88):

,

где , суммарные потенциалы сравниваемых населений;

,

где k - некоторое число, не меньше единицы;

.

В диссертации теория монотонной сходимости рассмотрена так же в рамках непрерывной популяционной модели, для которой получены аналоги приведенных выше результатов. Так же обсуждаются области практических приложений разработанных показателей, с иллюстрацией на конкретных примерах анализа расово-этнических различий режимов воспроизводства населения США и на примере косвенного оценивания исторических показателей воспроизводства некоторых депортированных народов СССР.

В диссертации доказано, что при некоторых, обычных на практике, условиях, построенный класс монотонных показателей не может быть расширен, т.е. полученные результаты дают исчерпывающее решение проблеме разработки обоснованных показателей конвергенции возрастных структур.

Во второй части рассматриваются приложения к различным задачам теоретической и прикладной демографии. В восьмой главе обсуждаются приложения к анализу статистики движения населения и демографическому мониторингу. Приложения иллюстрируются на данных по населению России, США, европейских стран, депортированных народов СССР.

Девятая глава посвящена обсуждению прогностической значимости демографического потенциала, приложениям к оцениванию потенциала роста. Для среднего репродуктивного потенциала стабильного населения, фигурирующего в оценках потенциала роста, предложена линейная агрегированная модель:

,

где - коэффициент Лотки (в % годовых); - ожидаемая продолжительность жизни при рождении; , , - параметры модели. Модель апробирована по многолетним рядам данных из базы данных по смертности университета Беркли The Berkeley mortality database. - [Electronic resource] - Electronic data. - University of California, Berkeley, 1998. - Mode access : http://demog.berkeley. edu/wilmoth/mortality.. Так же разработана интервальная модель среднего потенциала стабильного населения.

На основе моделей девятой главы, в десятой главе приводится метод исследования кризисных аномалий в возрастной структуре смертности.

Одиннадцатая глава посвящена методам оценивания мальтузианского параметра по динамике демографического потенциала, апробированным на реальных примерах и в вычислительных экспериментах.

В двенадцатой главе разработаны агрегированные популяционные модели. В частности, показана эффективность следующих моделей:



В тринадцатой главе рассмотрены приложения концепции демографического потенциала и модели популяционной динамики (94) к исследованию динамики населения России в 20 веке и перспектив на 21 век.

В четырнадцатой главе проведен анализ оптимальных стратегий восстановления демографических потерь на примере России, дан обзор возможностей оценивания результативности демографической политики.

В пятнадцатой главе предлагается агрегированная модель популяционной динамики с учетом миграции, а также метод ретроспективных расчетов, использованный для оценивания исторической динамики миграции и нелегальной иммиграции в США.

В приложениях к диссертации приведены результаты расчета потенциалов для различных модельных режимов воспроизводства.

Основные результаты опубликованы в работах

Монографии:

1) Эдиев Д.М. Демографические потенциалы: Теория и приложения. М.: МАКС Пресс, 2007. 348 с.

2) Эдиев Д.М. Демографические потери депортированных народов СССР. Ставрополь: Изд-во СтГАУ «АГРУС»; Ставропольсервисшкола, 2003. - 336 с.

Статьи в зарубежных реферируемых изданиях с индексом цитирования:

1) Ediev D.M. On an extension of R.A. Fisher's result on the dynamics of the reproductive value. // Theoretical Population Biology, 72/4(2007): 480-484.

2) Ediev, D.M 2007. Book review: Robert Schoen (ed.): Dynamic Population Models // European Journal of Population. doi: 10.1007/s10680-007-9140-8.

3) Ediev D.M. On monotonic convergence to stability // Demographic Research. 2003.

4) Ediev D.M. Application of the demographic potential concept to understanding the Russian population history and prospects: 1897-2100 // Demographic Research. 2001.

Другие статьи в зарубежных изданиях:

1) Ediev D., D. Coleman D., and S. Scherbov. Migration as a Factor of Population Reproduction. Vienna, Vienna Institute of Demography of Austrian Academy of Sciences. European Demographic Research Papers 01/2007. 57pp.

2) Ediev D. M. Long-Term Effects of Childbearing Postponement. Vienna, Vienna Institute of Demography of Austrian Academy of Sciences. Working paper 09/2005. 18 pp.

3) Ediev D. M. Extension of Fisher's Result on Exponential Dynamics of the Reproductive Value to a Wide Class of Populations. Vienna, Vienna Institute of Demography of Austrian Academy of Sciences. Working paper 10/2005. 10 pp.

4) Ediev D. M. Principles of Aggregate Economic-Demographic Modeling Based on Demographic Potentials' Technique. Rostock: Max Planck Institute for Demographic Research, 2000.

5) Ediev D.M. Age structure of Russian Mortality: Continuity of Change? Reflection of the crisis mortality structure in the average demographic potential dynamics // Mortality in countries of the former USSR. Fifteen years after break-up: change or continuity? Киев, 2006. С. 55-66.

Статьи в российских реферируемых изданиях из списка ВАК:

1) Эдиев Д.М. Концепция демографического потенциала и ее приложения // Математическое моделирование. Т. 15 (2003) № 12. С. 37-74. (Обзорная статья.)

2) Эдиев Д.М. О роли среднего возраста родителя при рождении ребенка в долгосрочной демографической динамике // Вопросы статистики. №11 (2006). С. 23-31.

3) Эдиев Д.М. Об одной модели оценивания стратегий восстановления демографических потерь России // Математическое моделирование. Т. 17, №10 (2005). С. 113-126.

4) Эдиев Д.М. О нерасширияемости одного класса монотонных мер инстабильности возрастной структуры населения // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. №1 (2005). С. 32-33.

5) Эдиев Д.М. О сравнении возрастных структур реальных населений // Вопросы статистики. №10 (2004). С. 16-27. (Обзорная статья.)

6) Эдиев Д.М. Об условиях монотонной сходимости структуры населения к структуре стабильного эквивалентного населения в квадратичной метрике в рамках модели воспроизводства демографического потенциала // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. №4 (2002). С. 3-6.

7) Эдиев Д.М. О монотонных мерах сходимости возрастной структуры населения к структуре асимптотически эквивалентного стабильного населения // Известия ТРТУ, №8, 2004. С. 302-303.

Другие статьи в российских изданиях:

1) Эдиев Д.М. Приложение концепции демографического потенциала к анализу роли миграции в воспроизводстве населения // Материалы международной конференции «Миграция и развитие» (5-е Валентеевские чтения). Т. I. М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, 2007. С. 282-284.

2) Эдиев Д.М. Лучше больше да раньше // Российская газета. Юг России. № 93 (4059), 4.05.06. С. 10.

3) Эдиев Д.М. Методика мониторинга демографических процессов с использованием результатов теории демографического потенциала // Сб. Демографический кризис как угроза региональному развитию России: пути преодоления. М., 2006. С. 280-283.

4) Эдиев Д.М. Приложение концепции демографического потенциала к оцениванию коэффициента Лотки в системе мониторинга воспроизводства малочисленного населения // Политика народонаселения: настоящее и будущее. 4-е Валентеевские чтения. Сб. докладов (Книга 2). М.: МАКС Пресс, 2005. С. 256-262.

5) Эдиев Д.М. О моделировании оптимальных стратегий преодоления депопуляции России // Политика народонаселения: настоящее и будущее. 4-е Валентеевские чтения. Сб. докладов. М.: МАКС Пресс, 2005. С. 46-51.

6) Эдиев Д.М. Об использовании концепции демографического потенциала в разработке многоуровневой системы мониторинга и контроля эффективности демографической политики // Политика народонаселения: настоящее и будущее. 4-е Валентеевские чтения. Сб. докладов. М.: МАКС Пресс, 2005. С. 51-54.

7) Эдиев Д.М. Демографические потери депортированных народов СССР // Население и общество, №79, 2004. С. 1-4.

8) Эдиев Д.М. Демографические потери депортированных народов СССР // Демоскоп-уикли. №147-148 (2004).

9) Эдиев Д.М. Об условиях нерасширимости класса монотонных мер сходимости возрастной структуры населения к структуре стабильного эквивалентного населения // Материалы междунар. российско-казахского симпозиума «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики». Нальчик-Эльбрус, 2004. С. 311-316.

10) Эдиев Д.М. Международная миграция как фактор преодоления депопуляции России // В.А. Ионцев (гл. ред.) Науч. серия «Международная миграция населения: Россия и современный мир». Вып. 11. Миграция и национальная безопасность. М.: МАКС ПРЕСС, 2003. С. 62-72.

11) Эдиев Д.М. Взаимосвязь между спектральными свойствами матрицы Лесли и возрастной структурой демографического потенциала // Электронный журнал "Исследовано в России", 74, 2002 г

12) Ediev D. M. Interrelations between the spectrum of Leslie matrix and the age pattern of demographic potentials // Электронный журнал "Исследовано в России", 74е, 2002 г.

13) Эдиев Д.М. Об условиях монотонной сходимости структуры населения к структуре стабильного эквивалентного населения в куллбаковской метрике в рамках модели воспроизводства демографического потенциала // Электронный журнал "Исследовано в России", 17, 2002 г. С. 182-190. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2002/017.pdf

14) Эдиев Д.М. Реконструкция показателей иммиграции в США с использованием модели демографического потенциала // Электронный журнал "Исследовано в России", 140, 2001.

15) Ediev D. M. Reconstruction of the US immigration history: demographic potential approach // Электронный журнал "Исследовано в России", 140е, 2001.

16) Эдиев Д.М. Агрегированное прогнозирование численности населения с использованием техники демографического потенциала // Электронный журнал "Исследовано в России", 38, 2001.

17) Ediev D. M. Aggregate population forecasting with the use of demographic potentials technique // Электронный журнал "Исследовано в России", 38е, 2001.

18) Эдиев Д.М. Устойчивость экономико-демографических потенциалов к отклонениям режима воспроизводства населения от модельного // Специальная астрофизическая обсерватория РАН. Нижний Архыз, 1999. Препринт № 135Т. 4 с.

19) Эдиев Д.М. Экономический потенциал региона (экономико-демографический подход) // Сб. трудов международного научного симпозиума "Экономика и право - стратегии 3000". Т. IV "Математическое моделирование и компьютерные технологии". - Кисловодский институт экономики и права. Кисловодск, 1996. С. 18-23.

20) Эдиев Д.М. Экономический анализ демографической динамики // Междуведомственный сборник «Моделирование процессов управления и обработки информации». - Московский физико-технический институт. М., 1996. С. 76-80.

Тезисы в материалах всероссийских и международных конференций:

1) Ediev D. M. Demographic losses of deported soviet peoples // European Population: Challenges and Opportunities. Сб. тезисов Европейской конференции по народонаселению, Варшава, 23-27 августа 2003. С. 177.

2) Эдиев Д.М. Динамика демографического потенциала России // Сборник тезисов докладов II Всероссийского симпозиума "Математическое моделирование и компьютерные технологии". T.I "Экономико-математическое моделирование". Кисловодский институт экономики и права. Кисловодск, 1998. C. 100-101.

3) Эдиев Д.М. Демографический потенциал // Сборник тезисов докладов международной конференции "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики", - Кабардино-Балкарский научный центр РАН, НИИ прикладной математики и автоматизации. Нальчик, 1996. С. 109-110.

Другие публикации в материалах конференций:

1) Эдиев Д.М. Экономический потенциал Карачаево-Черкесской Республики // Сборник тезисов докладов региональной научно-практической конференции «Северный Кавказ на пороге XXI Века». Институт экономики и управления, научно-исследовательский центр "Кавказоведения". Пятигорск, 1998. С. 105-106.

2) Эдиев Д.М. Устойчивость экономико-демографических оценок // Сборник тезисов докладов XXXIX Юбилейной научной конференции Московского физико-технического института "Современные проблемы фундаментальной и прикладной физики и математики". - М.: МФТИ, 1996.

Размещено на Allbest.ru

...