Размещено на http://www.allbest.ru/

На правах рукописи

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

КАЧЕСТВЕННЫЕ И ПРИБЛИЖЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Голечков Юрий Иванович

Тверь 2007

Работа выполнена в Тверском государственном университете

Научный консультант: доктор технических наук

Д.Е. Пильщиков

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор С.И. Виницкий

доктор физико-математических наук,

профессор В.А. Колдунов

доктор физико-математических наук,

профессор В.Н. Щенников

Ведущая организация:Вычислительный центр им. А.А. Дородницына

Российской академии наук

Защита диссертации состоится«___» ___________2007 г. в 1400 час. на заседании диссертационного совета Д 212.263.04 в Тверскомгосударственном университете по адресу: 170000, г. Тверь, ул. Желябова, 33, ауд. 52.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотекеТвГУ по адресу: 170000, г. Тверь, ул. Володарского, 44а.

Автореферат разослан «___» ___________ 2007 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.263.04

доктор технических наук, профессор В.Н. Михно

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Область исследования и актуальность темы. Диссертационная работа посвящена развитию качественных и приближенно-аналитических методов и алгоритмов исследования характеристик динамических систем на различных этапах их математического моделирования, разработке проблемно-ориентированных программ исследования характеристик динамических систем, а также созданию и исследованию новых математических моделей для некоторых классов транспортных задач. В диссертации разработаны методы исследования таких характеристик динамических систем, как устойчивость, ограниченность, сходимость, диссипативность и др.

Под динамическими системами в диссертационной работе понимаются объекты и явления, эволюция которых происходит под действием силовых полей какой-либо природы и для которых определено понятие пространства состояний как совокупности значений некоторых величин в заданный момент времени и задан оператор, определяющий эволюцию начального состоянияво времени.

Методология математического моделирования позволяет применить как качественные, так и приближенно-аналитические методы исследования характеристик динамических систем и сочетает в себе достоинства теоретических и экспериментальных исследований.

Вопросы моделирования движения нелинейных динамических систем и вопросы, связанные с их устойчивостью, играют важную роль в развитии теории математического моделирования и системного анализа, поскольку они тесно связаны с решением ряда приоритетных задач управления сложными техническими объектами и техническими процессами, а также с разработкой автоматизированных систем управления. В связи с возросшими требованиями к проектированию, эксплуатации сложных технических объектов и технологических процессов, а также к управлению указанными объектами и процессами, возникает необходимость изучения новых математических моделей динамических процессов, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями. При этом оказывается целесообразным привлечение различных методов математического моделирования, качественной теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости движения, аналитической механики.

Необходимость освоения возрастающего объема перевозок пассажиров и грузов при обеспечении безопасности движения и эффективности транспортных средств является актуальным направлением развития транспортных отраслей. Решению задач, возникающих в этом направлении, служит разработка адекватных математических методов и эффективной инструментальной среды исследования особенностей поведения технических транспортных систем при высоких скоростях движения. Значимость этих задач подтверждается, в частности, примерами высокоскоростного движения пассажирских составов в различных странах мира (Франция, 536 км/ч; Япония, 500 км/ч; Германия, 400 км/ч). Наибольшую сложность для изучения представляют системы, характеризующиеся нерегулярным поведением, вибрациями и ударными возмущениями. Исследование подобных систем ведется во всех крупных научно-технических центрах мира и, несмотря на это, все еще остается широкий диапазон нерешенных задач, требующих тщательного моделирования и экспериментальной проверки.

Идейной основой полученных в диссертации результатов являются работы А.М. Ляпунова, А. Пуанкаре, Н.Н. Красовского, Е.А. Барбашина,В.В. Немыцкого и Ж.П. ЛаСалля. Тема диссертационной работы связана также с работами отечественных и зарубежных ученых Н.Н. Лузина, С.А.Чаплыгина, Н.П. Еругина, В.И. Зубова, В.М. Матросова, А.А. Шестакова, В.Н. Щенникова, Н. Онучика, З. Артштейна, Р. Баллея,К. Пейффера, И. Ньютона, С. Олеха,

Т. Важевского,А.А. Щелкунова,Ж. Видоссича, Т. Иосидзавы и других ученых.

В диссертационной работе развиваются качественные,приближенно-аналитические методы и алгоритмы исследования характеристик следующих типов динамических систем:

1. Динамические системы, описываемые дифференциальными уравнениями первого порядка в форме Коши

.

Соответствующие математическиемодели названы моделями типа 1. Конкретные модели типа 1 возникают при определенном выборе пространства и оператораэволюцииf(t, x) динамической системы. Для изучения характеристик динамических систем актуальной является проблема исследования математических моделей пространства состояний динамических систем, описываемых (1). Изучение такихматематическихмоделейявилось после А. Пуанкаре иА.М. Ляпунова предметом многочисленных работ многих ученых в области естественных наук.

Если модель типа 1 является диссипативной открытой системой, то она определяет структуры, называемые «автоволновым процессом» или «автоволной»,причем эти структуры возникают независимо от начальных условий.Простейшие автоволныбылиизученыА.Н.Колмогоровым,

И.Г.ПетровскимиН.С.Пискуновым.Режимы локализации, обострения идиффузионнойнеустойчивостиавтоволнвпервыерассмотрены А.А.Самарскими С.П.Курдюмовым.

Модели типа 1, порождаемые автономными уравнениями, определяют динамические потоки, зависящие от одного параметра, а порождаемые неавтономными уравнениями определяют динамические потоки, зависящие от двух параметров. В настоящей диссертации для модели типа 1 и ее частных случаев ставятся и решаются задачи: 1) получения условий асимптотической устойчивости и условий неустойчивости на основе развития метода локализации предельного множества, 2) получения условий ограниченности решений, 3) приближенного интегрирования на основе развития метода Чаплыгина и 4) построения алгоритма выбора узлов оптимальной сетки численного решения.

2. Динамические системы, представимые ньютоновской моделью (моделью типа 2) и описываемые дифференциальным уравнением второго порядка

где основные условия и ограничения, накладываемые на элементы модели, следующие: скалярная фазовая переменная у принимает вещественные значения; постоянная неотрицательна; функцииf,g, иeнепрерывны, для всех ; функцияeограничена по t. Функцииf, g, и e описывают различные характеристики изучаемой динамической системы.

Функцияfв (2) называется функцией диссипации. До настоящего времени как правило рассматривался лишь случай ограниченной функции диссипации . В связи с этим для модели типа 2 с неограниченной функцией диссипации в диссертации поставлена и решена задача описания класса неограниченных функций диссипации , для которого модели типа 2 обладают свойством асимптотической устойчивости. Для решения этой задачиразвит неклассический (обобщенный) прямой метод Ляпунова, дающий возможность существенно улучшить имеющиеся результаты об асимптотической устойчивости и получить конструктивные условия асимптотической устойчивости решений моделей типа 2 с неограниченной функцией диссипации.

Ньютоновская модель типа 2 возникает при описании и изучении нелинейных закономерностей в физике, химии, механике, технике, экономике, социологии, биологии и других науках. В истории науки и техники создание каждой модели ньютоновского типа является фундаментальным событием. Характерны в этом плане эволюции моделей Солнечной системы, построенные Ньютоном и Эйнштейном и решающие задачу определения планетных орбит. Заметный вклад в развитие теории устойчивости ньютоновских моделей внесли работы Н.Н.Красовского, В.А. Якубовича,В.М. Старжинского,Н. Левинсона, С. Лефшеца и многих других ученых.

3. Динамические системы, описываемые матричным дифференциальным уравнением второго порядка,

Это обобщенная матричная модель движения колесных транспортных средств, называемая транспортной моделью или моделью типа 3, в которой условия и ограничения, накладываемые на элементы модели, следующие: A, B и C квадратные матрицы (соответственно матрицы масс, демпфирования и жесткости), заданная нелинейная вектор-функция времени, перемещения и скорости (обобщенная возмущающая сила); евклидово пространство. Такие модели возникают при описании и изучении колебательных процессов летательных аппаратов в воздушном потоке, колебаний корпусов кораблей и подводных лодок при волнении в открытом море, колебаний элементов и узлов подвижного состава железнодорожного и автомобильного транспорта при движении по неровному пути. Особенностями изучаемой модели типа 3 является рассмотрение нестационарного вектора возмущений и большая размерность фазового пространства. До настоящего времени в динамике колесного транспорта в основном рассматривались модели с относительно небольшим числом фазовых переменных (от двух до двенадцати). Однако в ряде задач, связанных с изучением сложных систем подвижного состава, возникает необходимость рассмотрения существенно большего числа переменных, и здесь сказывается недостаточность разработки математического аппарата. В связи с этим возникает необходимость разработки метода исследования модели типа 3 при произвольно большомn.Длямоделитипа3в диссертациипоставлены и решены следующие задачи: 1) определить характеристики вертикальных колебаний в математической модели колесного транспортного средства при движении по неровному пути с заданной формой неровностей; реализовать алгоритмы и программы численных расчетов для различных значений скоростей движения; проанализировать влияние роста скорости на характер колебаний и безопасность движения; определить частоту колебаний сиденья водителя, соответствующую зоне комфортности; 2) исследовать случайные колебания в математической модели автомобильного средства, движущегося по неровному пути,имеющему случайнуюпоследовательностьвыступов и впадин; 3) разработать алгоритмы оптимизации проектных параметров железнодорожного экипажа на основе комбинированного подхода, использующего алгоритм квадратичного программирования и генетический алгоритм. Для моделирования движения колесных транспортных средств создан комплекс проблемно-ориентированных компьютерных программ.

4. Динамические системы, описываемые скалярным дифференциальнымуравнением вида

где u скалярная функция независимой переменной s, P непрерывная функция переменной s,Q непрерывно дифференцируемая функция переменной u. Соответствующая модель (модель типа 4) возникает при изучении вопроса о движении железнодорожного состава. Она рассматри- валась Н.Н. Лузиным для изучения вопросов качественного исследованиядвижения поезда. В диссертации решена задача о модификации метода Чаплыгина приближенного интегрирования и о применении указанного метода для интегрирования модели типа 4, описывающей движение железнодорожного состава.

5. Динамические системы, описываемые векторным дифференциальнымуравнением вида

где u векторная функция отs, , , P(s) непрерывная функция, Q(u) непрерывно дифференцируемая функция. Соответствующая математическая модель (модель типа 5) используется для изучения вопроса о характеристиках движении подвижного состава железнодорожного транспорта. В диссертации поставлена и решена следующая задача: провести качественный анализ модели типа 5 с целью установления условий существования периодических решений и оценки зон стабильности движения железнодорожного состава.

6. Динамические системы, описываемые матричным уравнением

AV + VA = - W,

где А, V и W постоянные квадратные матрицы, а штрих означает транспонирование. Это матричная модель Ляпунова или модель типа 6. Модель типа 6 возникает при изучении задач управления, стабилизации движения, при изучении качественных характеристик динамических систем. Несмотря на большое число работ, посвященных исследованию модели типа 6, ряд вопросов оказались нерешенными. В частности, в диссертации предложен эффективный итерационный метод численного решения матричной модели Ляпунова.

Цель работы. Целью диссертационной работы является развитие качественных, приближенно-аналитических и численных методов и алгоритмов исследования математических моделей динамических систем типов 16, описываемых нелинейными автономными и неавтономными дифференциальными уравнениями первого порядка типа Коши, ньютоновских моделей динамических систем, описываемых нелинейными скалярными дифференциальными уравнениями второго порядка, а также математическое моделирование движения технических транспортных средств.

Методы исследования. В диссертации широко использованы современные методы качествен ной теории дифференциальных уравнений и теории устойчивости движения, методы функционального анализа, а также методы математического моделирования и технологии вычислительного эксперимента. Использованы разработанные автором диссертации модификация метода локализации предельногомножества для качественного анализа математических моделей типа 1, приближенно-аналитические и численные методы исследования модели типа 1 и ньютоновских моделей типа 2, а также универсальный способ изучения характеристик движения технических транспортных средств.

Научная новизнадиссертации заключается в следующем. Разработан качественный метод локализации предельного множества автономной модели типа 1. Разработанный метод позволяет получить новые условия об асимптотической устойчивости движения моделей типа 1 при знакопеременной производной функции Ляпунова. Развиты приближенно-аналитические классические методы Ньютона, Чаплыгина для исследования моделей типа 1. Уточнен метод Ньютона для моделей типа 1 и установлена тождественность последовательностей в методах Ньютона и Чаплыгина для этих моделей.Полученныерезультатыразвиваютиобобщают исследования Т. Важевского, А.А. Щелкунова. Условие сходимости последовательности Чаплыгина навсемотрезкеобобщаетрезультатыН.Н. Лузина,С. ОлехаиЖ. Видоссича. Развиты численные методы исследования модели типа 2 и матричной модели Ляпунова типа 6. Установлено существование на заданном отрезке асимптотически оптимальной сетки с минимальном числом шагов для численного решения модели типа 1 при заданной погрешности. Получены достаточные условия асимптотической устойчивости без требования знакоопределенности производной функции Ляпунова, что является обобщением и дальнейшем развитием классических результатов. Результаты об устойчивости математических моделей могут применяться в задачах численного интегрирования дифференци альных уравнений при решении многих прикладных задач. Для оптимизации расчета характеристик транспортных динамических систем на основе первого метода Ляпунова предложен универсальный способ исследования влияния параметров диссипации и жесткости, инерционных параметров, а также геометрических параметров проектируемого экипажа на устойчивость движения транспортных динамических систем, разработано соответствующее программное обеспечение. Полученные результаты обобщают, уточняют и развивают результаты Н.Н. Лузина, С.А. Чаплыгина, Н.А. Панькина, Ю.И. Першица, И.П. Исаева, А.Х. Викенса, Е.П. Королькова, Т.А. Тибилова, Ю.М. Черкашина.

Практическая значимость. Результаты диссертации могут быть использованы для качественного анализа характеристик многих механических, физических, химических, биологических, технических и социальных динамических систем. Анализ устойчивости и качественных свойств необходим для обеспечения безопасности и оптимальных режимов функционирования сложных моделей динамических систем. Практическая значимость результатов диссертации состоит также в том, что разработанные диссертантом методы и алгоритмы позволили решить ряд теоретических и прикладных задач теории математического моделирования и явились основой для создания комплекса проблемно-ориентированных компьютерных программ, содержащего реализации как численных методов, так и программ расчета динамических характеристик транспортных средств.

В диссертации разработаны следующие программы расчета динамических характеристик моделейдвижения колесныхтранспортныхсредств:

1) программа численного решения специальноймодели типа 2 на основе специальной последовательности целых функций; 2) программа численного решения матричной модели Ляпунова типа 6; 3) программа численного расчета динамических характеристик колесных транспортных средств на основе модели типа 3; 4) программа графической иллюстрации результатов расчета динамических характеристик колесных транспортных средств; 5) программа исследования влияния характеристик демпфирования, геометрических и инерционных характеристик колесных транспортных средств на устойчивость вертикальных колебаний.

С помощью разработанных диссертантом методов исследованы модели движения железнодорожного экипажа, изучена устойчивость вертикальных колебаний колесного транспортного средства и железнодорожного вагона.

Результаты диссертации, касающиеся устойчивости и управления систем железнодорожного транспорта, могут найти применение при решении задач снижения износа гребней колес, снижения износа рельсов, задач оптимизации критических скоростей движения железнодорожного подвижного состава. Кроме того, результаты могут быть использованы при изучении устойчивости установившихся движений экипажа в кривых участках пути и вопросов установки двухосной тележки при ее движении в кривых.

В диссертационной работе получен ряд результатов, которые составляют основу практической методики для оценки критической скорости движения железнодорожного экипажа и для управления движением в условиях высоких скоростей. В этих методиках существенную роль играют методы моделирования на основе использования первого метода Ляпунова и генетических алгоритмов. Автором предложены алгоритмы вычисления критических скоростей движения. Отметим, что предложенные алгоритмы могут быть реализованы в виде компьютерных программ в одной из сред программирования, что позволяет широко использовать их при решении многочисленных технических задач, связанных с разработкой и внедрением новых технических средств и технологических процессов.

Реализация результатов. Результаты диссертации использованы в научно-исследовательской работе, проводимойвРоссийском государственном

откры том техническом университете путей сообщения, при выполнении науч но-исследовательской темы «Устойчивоподобные свойства траекторий динамических систем. Приложения к изучению математических моделей транспортных динамических процессов» (2001 2006 гг.). Результатыиспользованы также при выполнении работ по плану НИОКР ОАО «Российские железные дороги» по темам «Устойчивоподобные свойства технических систем» (2003 г.) и «Математическое моделирование и оптимизация параметров технических систем железнодорожного транспорта» (2004 г.).

Результаты диссертации могут быть также использованы при чтении курсов математиче ского моделирования, системного анализа, теории устойчивости движения, теории нели нейных колебаний, динамикиподвижного состава транспортных динамических систем.

Достоверность полученных результатов основана на корректности постановок за дач, строгом использовании аналитических и качественных методов, на сравнении с ре зультатами, полученными с помощью других методов, на результатах моделирования в широком диапазоне условий. Для утверждений даны строгие и корректные доказательства.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 40 научных работ, список которых приведен в конце автореферата. Десять работ из этого списка опубликованы в научных изданиях, рекомендованных ВАК России. Опубликованные работы полно отражают содержание диссертационной работы.

Личный вклад автора в проведенное исследование. В диссертацию включены только те результаты, которые принадлежат лично диссертанту. В совместно опубликован ных работах с соавторами последним принадлежат результаты по техническим деталям.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались:

на научном семинаре по качественной теории и теории устойчивости динамиче ских процессов Российского государственного открытого технического университета пу тей сообщения (Москва, 19952005 гг.);

на международном научном семинаре «Applications of the "Mathematiсa" system to social processes and mathematical physics» в Брестском государственном университете (Брест, 2003 г.);

на научном семинаре по методам нелинейного анализа Вычислительного центра РАН (Москва, 2004 г., 2007 г.);

на научном семинаре «Нелинейные задачи» Московского отделения Академии нелинейных наук (Москва, 2004 г.);

на научном семинаре по вариационным принципам и методам в математике и ес тествознании Российского университета дружбы народов (Москва, 2002 г.);

на межвузовских научно-методических конференциях «Актуальные проблемы и перспективы развития железнодорожного транспорта» Российского государственного открытого технического университета путей сообщения (Москва, 1996 г., 1997 г., 1998 г.);

на XL Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии в Российском университете дружбы народов (Москва, 2004 г.);

наВсероссийской конференции «Качественная теория дифференциальных уравнений и ее приложения» в Рязанском государственномуниверситете им. С.А. Есенина (Рязань, 2006 г.);

на научно-практической конференции «Современные проблемы взаимодействия подвижного состава и пути. Колесо-рельс 2003» (Щербинка, 2003 г.);

на Международной конференции «Высшее профессиональное заочное образова ние на железнодорожном транспорте: настоящее и будущее» (Москва, 2001 г.);

на совместном заседании кафедры математического моделирования, кафедры общей математики и математической физики и кафедры вычислительной математики Тверского государственного университета (Тверь, 2007 г.).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссер тации 250 с., список литературы включает в себя 186 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

2. ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

В настоящей диссертации дано развитие качественных, приближенно-аналитических и численных методов и алгоритмов исследования математических моделей динамических систем, моделируемых дифференциальными уравнениями в форме Коши и ньютоновского типа. С помощью названных методов изучаются качественные, асимптотические и количественные характеристики математических моделей динамических систем типов1 6. дифференциальный уравнение диссипация квадратичный

Во Введении содержится обоснование актуальности темы диссертации и характеристика области исследований. Дан обзор и сравнительный анализ научных результатов, относящихся к теме диссертации, приведены основные цели и задачи исследований, охарактеризованы методы решения задач, основные результаты, отмечены их научная новизна и практическая ценность. Приведено краткое содержание работы, а также представлена общая характеристика диссертации.

Первая глава«Качественные методы исследования характеристик динамических систем» диссертации посвящена качественному и асимптотическому изучению характеристик решений математических моделей динамических систем типов 1 5. В частности, приведены изучаемые математические модели (модели типов 1 ? 5) и предварительные сведения.

В первой главе развиты качественные методы исследования характеристик динамических систем. Здесь разработан обобщенный прямой метод Ляпунова исследования математических моделей, описываемых многомерными нелинейными дифференциальными уравнениями первого порядка в формеКоши. Эти модели являются моделями пространства состояний динамической системы и названы моделями типа 1. Для модели типа 1 установлены предложения о локализации положительного предельного множества, из которых вытекают новые условия об асимптотической устойчивости.Для модели типа 1 получен также признак об эвентуальной ограниченности решений и рассмотрены некоторые качественные свойства решений. В данной главе проведен качественный анализ ньютоновской модели (модели типа 2) с неограниченной функцией диссипации и обобщенной матричной модели (модели типа 3). Кроме того, проведен качественный анализ скалярной и векторной моделей (моделей типов 4 и 5), а именно, установлены условия существования периодических решений и дана оценка зон стабильности движения железнодорожного состава. Результаты первой главы служат теоретической основой для первого этапа математического моделирования широкого класса динамических систем нелинейной механики, в частности, в тех случаях, когда рассматривается неограниченная диссипация.

Пусть V(x) есть функция Ляпунова автономной модели типа 1, Щ положительное предельное множество решений ц(t) автономной модели типа 1, множество с-уровня функции V, множество нулей производной функции Ляпунова V в силу автономной модели типа 1 для . Показано, что если множество ограниченои , то: 1) множество положительно инвариантно , 2) имеют место включения

,

3) для каждого справедливо соотношение

,.

Этот результат является обобщением и модификациейтеоремы

А.А. Шестакова о локализации предельного множества относительно всех фазовых переменных автономной модели типа 1 на базе сходимости в хаусдорфовой метрике. Кроме того, в главе установлен аналогичный результат для случая не всех, а части переменных. Полученные в главе 1 результаты позволяют проводить качественный анализ и исследоватьдинамические характеристики, что проиллюстрировано на примерах двумерной и четырехмерной динамических систем.

В главе также рассмотрен вопрос о сохранении свойства ограниченности решений при возмущении неавтономной нелинейной модели типа 1. Наряду с системой (1) рассмотрена возмущенная система

гдеf,hнепрерывны наПоказано, что если для системы (1) выполнено обобщенное условие Липшица, решения системы (1) ограничены и если для возмущенной системы (7) выполнено условие интегральной сходимости, то решения возмущенной системы ограничены.

Указанный результат обобщает исследования Т. Иосидзавы и позволяет изучать свойства ограниченности решений широкого класса моделей, описываемых дифференциальными уравнениями в форме Коши.

Кроме того,в главе 1 дан качественный анализ обобщенной матричной модели движения колесных транспортных средств, описываемой матричным дифференциальным уравнением (3). Рассмотрена модель колебаний грузового вагона и модель движения колесной пары. На основе использования первого метода Ляпунова изучена устойчивость и асимптотическая устойчивость состояний равновесия.

В этой же главе рассмотрены модели типов 4 и 5, описываемые соответственно уравнениями (4) и (5). Известно, что модель, описываемая уравнением движения железнодорожного состава, имеет вид

,

где v cкорость движения, s длина пути по данному криволинейному профилю,f(v)g(v) сила, движущая состав и зависящая только от скорости, dy/ds синус угла наклона касательной профиля пути к горизонту, м постоянная. Нетрудно показать, что с математической точки зрения модель, описываемая уравнением (8), эквивалентна модели типа 4, описываемой уравнением (4).

Для моделей типов 4 и 5 изучены вопросы существования периодических решений и дана оценка зон стабильности движения. Для векторной модели типа 5 показано, что если выполнены условия: 1) P(s) непрерывная ограниченная функция и Q(u) непрерывно дифференцируемая функция, 2) симметризованная матрица Якоби DQ(u) функции Q(u) является знакоопределенной. Тогда существует единственное ограниченное на R решение u*(s) матричной модели типа 5, к которому стремится произвольное решение u(s) u*(s) при s + или при s .

Во второй главе«Приближенно-аналитические методы и алгоритмы исследования характеристик динамических систем» рассмотрены вопросы, связанные с дальнейшим развитием и модификацией приближенно-аналитического метода Чаплыгинаисследования математических моделей динамических систем. Результатом второй главы является модификация метода Чаплыгина, следствием которой является единообразие метода Чаплыгина для моделей типа 1 в конечномерном и бесконечномерном пространствах. Это дает возможность применять приближенно-аналитический метод Чаплыгина для исследования моделей, описываемых уравнениями с частными производными. В главе показано совпадение последовательности Ньютона для модели типа 1 и последовательности Чаплыгина для оператора, сопоставляемого с этой моделью, и выполнено обобщение метода Чаплыгина, позволяющее накладывать более слабые ограничения на модели по сравнению с предыдущими исследованиями. Указанное обобщение использовано для интегрирования модели, описывающей движение рельсового экипажа (модели типа 4). В главе предложен упрощенный итерационный алгоритм численного решения алгебраической матричной модели Ляпунова (модели типа 6).

Дана оценка ошибки сходимости последовательности Чаплыгина к единственному решениюхинтегрального уравнения

,

сопоставляемого с уравнением (1). Пусть выполнены условия: 1) - открытое множество в пространстве, 2) функция непрерывна, причем такая, что существует непрерывная и , где положительные постоянные, 3)существует такое, что для любой функции при последовательность Чаплыгина

,

отвечающая интегральному уравнению (9), определена на отрезке и совпадает с последовательностью Ньютона для оператора

начинающегося в точке.

При перечисленных условиях показано, что последовательность сходится равномерно на отрезке к единственному решениюх интегрального уравнения (9) с ошибкой

где.

Установлена сходимость последовательности Чаплыгина в большом,т. е.на всем отрезке [а, b],обобщающаярезультаты Н.Н.Лузина,С.Олеха,

Ж. Видоссича. Полученные результаты дают возможность получить точную оценку интервала сходимости.

Разработана модификация метода Чаплыгина на основе преобразования Лапласа и приведен соответствующий алгоритм. Модифицированный метод Чаплыгина применен для интегрирования модели типа 4, описывающей движение железнодорожного состава.

Доказано также существование на заданном отрезке асимптотически оптимальной сетки с минимальным числом шагов для численного решения задачи Коши модели типа 1 при заданной погрешности вычислений и предложен соответствующий алгоритм. Приведен иллюстрирующий пример.

Построен алгоритм численного решения задачи Коши модели типа 2, основанный на использовании специальной последовательности целых функций, показана улучшенная сходимость предложенного метода. Установлена связь между задачей численного интегрирования и устойчивостью численного решения задачи Коши для неавтономной скалярной моделитипа 1.

Разработан упрощенный алгоритм численного решения матричной модели Ляпунова типа 6, где матрица А устойчива, аматрица W симметрична. Показано, что решение модели типа 6 находится по рекуррентной формуле следующего вида , где , h > 0. Приведен иллюстрирующий пример.

Результаты, полученные во второй главе, дают возможность применять приближенно-аналитический метод Чаплыгина для исследования моделей, описываемых уравнениями с частными производными. Обобщение метода Чаплыгина, выполненное в главе 2, позволяет накладывать более слабые ограничения на исследуемые модели. Модифицированный метод Чаплыгина интегрирования скалярной модели типа 4, описывающей движение железнодорожного состава, может быть легко распространен на многомерное дифференциальноеуравнение (5). Построенный в главе алгоритм выбора узлов оптимальной сетки численного решения задачи Кошидля моделитипа 1 доказывает существование асимптотически оптимальной сетки, обеспечивающей минимальный объем вычислительной работы численного решения задачи Кошидля моделитипа 1 при наперед заданной погрешности вычисленийе > 0. В главе разработан алгоритм численного решения специальной модели типа 2 на основе последовательности целых функций. Соответствующая программа, написанная в главе 3, обладает быстрой сходимостью и полезна при численном решении дифференциальных уравнений на больших промежутках изменения независимой переменной без существенной потери точности вычислений. В главе 2 предложен также упрощенный алгоритм численного решения алгебраической матричной модели Ляпунова (модели типа 6), в соответствии с которым в главе 3 написана компьютерная программа.

Третья главадиссертации «Проблемно-ориентированные программы исследования характеристик динамических систем» посвящена разработке проблемно-ориентированных программ расчета характеристик динамических транспортных систем, моделируемых матричными дифференциальными уравнениями (модели типа 3) и содержитописания и тексты программ в интегрированной математической среде Maple. Указанные программы позволяют производить расчет характеристик вертикальных колебаний элементов конструкций колесных транспортных систем при движении по неровному пути с заданной формой неровностей, учитывать влияние характеристик демпфирования и жесткости на частоту колебаний кузова и других деталей подвижного состава железнодорожного транспорта. В третьей главе разработаны программы численного решения задачи Коши специальной модели типа 2 с помощью целых функций, а также численного решения матричной модели Ляпунова типа 6, написанные в интегрированной математической среде Mathcad согласно алгоритмам, предложенным в главе 2.

Комплекс программ, содержащийся в этой главе, позволяет проводить исследования математических моделей при решении задач динамики подвижного состава железнодорожного и автомобильного транспорта. В частности, разработанный комплекс программ включает в себя следующие программы: программу численного решения специальноймодели типа 2 на основе специальной последовательности целых функций, программу численного решения матричной модели Ляпунова типа 6, программу численного расчета динамических характеристик колесных транспортных средств на основе модели типа 3, программу графической иллюстрации результатов расчета динамических характеристик колесных транспортных средств и программу исследования влияния характеристик демпфирования, геометрических и инерционных характеристик колесных транспортных средств на устойчивость вертикальных колебаний железнодорожного или автомобильного экипажа.

Программа численного решения специальноймодели типа 2 составлена согласно алгоритму, предложенному в главе 2. В ней использованы операторы simplify, expand, collect,for , while и др. среды Mathcad. Она позволяет вычислять значения и в точках на промежутках с определенным шагом, а также производить учет заданного числа точек , в которых находится решение исходной математической модели, и обладает улучшенной сходимостью, которая достигается за счет использования специальной последовательности целых функций . Передзапуском данной программы необходимо указатьчисло (N) членов степенного ряда;число (M) функций, вычисляемых на каждом шаге;число (P) и значения точек , в которых находится решение математической модели; величину шага (h) вычислений. Решение представляется в виде матрицы, содержащей три столбца: , и .Особенность программы состоит также в том, что для больших значений независимой переменной t точность вычислений в конце промежутка задания независимой переменной уменьшается примерно на один знак.

Программа численного решения матричной модели Ляпунова типа 6 также написана в соответствии с алгоритмом изглавы 2. Достаточно простые итерационные вычисления организованы с помощью оператора while среды Mathcad. Итерационный процесс завершается при выполнении неравенства , где евклидова норма матрицы, заданная погрешность вычислений. Для запуска этой программы необходимо задать матрицы A и Wи погрешность вычислений > 0.

Программа расчета динамических параметров колесных транспортных средств написана в средеMapleв соответствии с алгоритмами, приведенными в главы 3 диссертации. Данная программа состоит из трех проблемно-ориентированных подпрограмм: подпрограмма 1, подпрограмма 2 и подпрограмма 3. Подпрограмма 1 предназначена для расчета собственных частот колебаний, перемещений, скоростей и ускорений перемещений узлов колесного транспортногосредства при движении по заданному профилю неровностей пути. Подпрограмма 2 позволяет определить характеристики случайных колебаний колесного транспортногосредства при движении по пути, поверхность которого имеет случайную последовательность выступов и впадин. Подпрограмма 3, наконец, осуществляет вычисление собственных частот колебаний, перемещений, скоростей и ускорений перемещений элементов железнодорожного вагона в вертикальной плоскости при его движении по неровному железнодорожному пути.

Указанные подпрограммы состоят из вспомогательных программных модулей и основной программы. Вспомогательные программные модули можно разделить на три группы: модули для ввода данных, для расчета и для вывода результатов. Исходные данные моделируемых транспортных динамических систем в соответствии с решаемыми задачами предварительно должны быть помещены в файлы: data_1, data_2 и data_3 соответственно. Результаты расчетов выводятся на дисплей ПЭВМ и записываются в принимающие файлы: rez_1, rez_2, rez_3 и rez_4.

Строки с командами программы пронумерованы в порядке возрастания. Текст подпрограммы 1 содержится в строках с номерами: 1172, подпрограммы 2 в строках: 173326, подпрограммы 3 в строках: 327467. Запуск подпрограмм 1, 2 и 3 осуществляется соответственно в строках с номерами: 158, 317 и 450.

При необходимости с помощью программы, программные модули которой приведены в строках 1-83, возможно произвести графическую иллюстрацию расчетов, выполненных с помощью подпрограмм 1, 2 и 3 соответственно. Запуск графических подпрограмм осуществляется соответственно в строках 1, 45, 57. Перед запуском программы необходимо указать директории расположения принимающих файлов: rez_1, rez_2, rez_3 и rez_4.

Программа исследования влияния геометрических характеристик G, инерционных характеристик I и характеристик демпфирования J колесных транспортных средств на устойчивость вертикальных колебаний железнодорожного экипажа включает строки 1-12. Она используется совместно с подпрограммой 3 программы численного расчета динамических характеристик колесных транспортных средств. В построении алгоритма программы исследования влияния характеристик G, I и J колесных транспортных средств на устойчивость вертикальных колебаний железнодорожного экипажа использованы положения первого метода Ляпунова. Результаты расчетов выводятся на дисплей в числовом и графическом виде и дают представление о влиянии геометрических G и инерционных I характеристик, а также характеристик демпфирования и жесткости J на устойчивость вертикальных колебаний железнодорожного экипажа, выраженное в процентах.

Глава 3 содержит комплекс проблемно-ориентированных программ расчета характеристик динамических транспортных систем типов 35 и численного решения моделей типов 2 и 6.

Четвертая глава «Организация и проведение вычислительного эксперимента, анализ результатов моделирования характеристик динамических систем» посвящена проведению вычислительного эксперимента и анализу результатов моделирования характеристик динамических систем. В частности, с помощью комплекса проблемно-ориентированных программ расчета характеристик динамических транспортных систем проведенвычислительный эксперимент по математическому моделированию характеристик движения:колесного транспортного средства по неровному пути, колесного транспортного средства по неровному пути со случайным характером неровностей и моделирование вертикальных колебаний при движении железнодорожного вагона. Далее дан анализ результатов моделирования вертикальных колебаний при движении колесных транспортных средств, показателей устойчивости движения железнодорожного экипажа со многими колесными парами, показателей устойчивости движения железнодорожного транспортного средства посредством комбинированного метода и устойчивости установок двухосной тележки при движении железнодорожного экипажа в кривых. Анализ характеристик транспортных динамических систем, оцененных в процессе вычислительного эксперимента, дает возможность вносить усовершенствования в конструкции транспортных средств, повышать безопасность и комфортабельность передвижения пассажиров и сохранность перевозимых грузов.

Математическое моделирование движения колесных транспортных средств, выполненное в главе 4, предусматривает, в частности, решение следующих задач: расчет нагрузок, которым подвергаются элементы подвески и само транспортное средство, сохранность перевозимых грузов, безопасность и комфортабельность передвижения пассажиров и т.д. Для исследования транспортных моделей типа 3 и решения указанных выше задач в диссертационнойработе использован комплекс проблемно-ориентированных программ, разработанный в главе 3.

В главе описан вычислительный эксперимент, в котором изучено движение в вертикальной плоскости автомобильного транспортного средства, состоящего из кабины, сиденья водителя, рамы, кузова, подвески и шин, через препятствие заданной формы. Общая система уравнения движения данного транспортного средства получается на основе частного случая транспортной модели типа 3:

гдеМ, С, К- соответственно матрицы масс, демпфирования и жесткости, Q - вектор обобщенных сил, z - вектор обобщенных координат, равный , - обобщенные перемещения i-го тела.

На рис. 1 и 2 представлены результаты расчетов с помощью комплекса проблемно-ориентированных программ зависимостей перемещенийz1, z2, z3 и z9 и линейных ускорений , , и от времени t дляv = 50 км/час концентрированных масс соответственно кабины, рамы, кузова и сиденья водителя моделируемого транспортного средства (толщина линий увеличивается с ростом номера соответствующей зависимости).

Рис. 1



Рис. 2

Установлено, что собственная частота колебаний frequency[9]=0,66 Hzсиденья водителя соответствует зоне комфортности, а при движении через препятствие сиденье подвергается значительным перегрузкам; наскоростиv = 60 км/час происходит отрыв колес от поверхности пути.

В главе 4 проведено также моделирование движения желез нодорожного вагона, состоящего из кузова и двух рам тележек с подбуксовым подвешиванием, вдоль желез нодорожного полотна. Изучены вертикальные колебания вагона на стыках железнодорожной колеи. Закон движения вагона в вертикальной плоскости соответствует частному случаютранспортноймодели типа 3:

гдеМ, С, К- соответственно матрицы масс, демпфирования ижесткости, Q(t) - вектор обобщенных сил, z - вектор обобщенных координат, , -обобщенные перемещения i-го тела.

Расчеты с помощью комплекса проблемно-ориентированных программ показывают, что перемещение кузова вагона невелико и практически не зависит от скорости движения вагона. Частота линейного ускорения возрастает с увеличением скорости вагона от 120 до 200 км/час и не принадлежит зоне комфортабельного передвижения.

Изучение влияния параметровG,IиЈна устойчивость вертикальных колебаний вагона показывает, что параметры демпфирования и жесткостиЈ оказывают значительно более существенное влияние на устойчивость вертикальных колебаний вагона, чеминер ционныеIигеометрическиеGпараметры (см. рис. 3).

Рис. 3

Результаты четвертой главы позволяют дать рекомендации по улучшению конструкции колесных транспортных средств и совершенствованию функционирования транспортных систем с точки зрения устойчивости движения, повышения безопасности и комфортабельности передвижения пассажиров и сохранности перевозимых грузов. Кроме того, разработанные методы и алгоритмы расчета позволяют выполнять расчет показателей устойчивости движения железнодорожного экипажа со многими колесными парами, показателей устойчивости движения железнодорожного транспортного средства посредством комбинированного метода и устойчивости установок двухосной тележки при движении железнодорожного экипажа в кривых.

В Заключении диссертации перечислены основные результаты работы, отмечены некоторые нерешенные задачи и перспективные направления, связанные с темой диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

На защиту выносятся следующие группы результатов:

I. Развитие качественных методов исследования характеристик динамических систем:

разработка обобщенного прямого метода Ляпунова исследования моделей типа 1, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями первого порядка в форме Коши;

развитие качественного метода исследования модели типа 2 при различных ограничениях на функцию диссипации;

качественный анализ обобщенной матричной модели типа 3.

II. Развитие приближенно-аналитических методов и алгоритмов исследования характеристик динамических систем:

установление тождественности последовательностей методов Чаплыгина и Ньютона исследования математических моделей типа 1;

применение модифицированного метода Чаплыгина для интегрирования модели типа 4, описывающей движение рельсового экипажа;

разработка оптимального алгоритма выбора сеток численного решения задачи Коши математической модели типа 1, обеспечивающего минимум суммы величин погрешностей на каждом шаге интегрирования в зависимости от заданной точности вычислений;

численное решение задачи Коши специальной модели типа 2 на основе специальной последовательности целых функций.

III. Проблемно-ориентированные программы исследования характеристик динамических систем:

разработка комплекса проблемно-ориентированных программ, в котором реализованы численные методы и методы расчета характеристик транспортных динамических систем;

разработка универсального способа определения влияния параметров транспортных динамических систем на устойчивость их движения.

IV. Организация и проведение вычислительного эксперимента, анализ результатов моделирования характеристик динамических систем:

проведение серии вычислительных экспериментов и анализ результатов моделирования характеристик транспортных динамических системпри движении по неровному пути, позволивший дать рекомендации по улучшению функционирования транспортных систем с точки зрения устойчивости, безопасности, комфортабельности;

разработка блок-схемы алгоритма расчета критической скорости при математическом моделировании поперечной устойчивости движения железнодорожного транспортного средства посредством комбинированного метода;

математическое моделирование вертикальных колебаний при движении железнодорожного вагона;

результаты математического моделирования устойчивости установок двухосной тележки при движении железнодорожного экипажа в кривых.

РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ

а)в научных монографиях:

1. Голечков Ю.И. Асимптотические и качественные методы исследования технических систем, моделируемых обыкновенными нелинейными дифференциальными уравнениями второго порядка. Монография./Рос. гос. откр. техн. ун-т путей сообщения. - М.: РГОТУПС, 2003. - 212 с.

2. Голечков Ю.И. Приближенно-аналитические методы исследования математических моделей, описываемых дифференциальными уравнениями в конечномерном и бесконечномерном пространствах. Научное издание. - М.: Изд-во РУДН, 2006. 61 с.

б)в научных изданиях, рекомендованныхВАКРФ:

3. Голечков Ю.И. О сохранении свойств ограничен ности решений при возмущениинелинейнойn-мернойдиф ференциальной системы// Дифференц.уравнения. 1985. Т. XXI. № 5. С. 748 752.

4. Голечков Ю.И. О качественном исследовании движения некоторых технических объектов // НТТ - наука и техника транспорта. 2002. №2. С. 21 25.

5. Голечков Ю.И., Шестаков А.А. Исследование поперечной устойчивости и оптимизация скорости железнодорожного экипажа // Транспорт: наука, техника, управление. 2004. № 4. С. 8 11.

6. Голечков Ю.И.О численно-аналитических методах изучения решений математических моделей динамических систем. // Труды ИСАРАН. Динамика неоднородных систем. 2005. Вып. 9 (1). С. 66 - 77.

7. Голечков Ю.И.Исследование качественных и асимптотических свойств математических моделей динамических систем. // Труды ИСАРАН. Динамика неоднородных систем. 2005. Вып. 9 (1). С. 78 - 84.

8. Голечков Ю.И. Модификация численно-аналитического метода Чаплыгина исследования решения дифференциальных уравнений // Труды ИСА РАН. Динамика неоднородных систем. 2005. Вып. 9 (2). С. 88 - 94.

9. Голечков Ю.И., Корольков Е.П. Устойчивость установок двухосной тележки при движении экипажа в кривых // Мир транспорта. 2006.№2. С. 14 - 17.

10. Голечков Ю.И. Об алгоритмах оптимизации проектныхпараметров экипажа // Мир транспорта. 2006.№3. С. 26 31.

11. Шестаков А.А., Голечков Ю.И. Устойчивость и безопасность движения транспортных динамических систем // Наукоемкие технологии. 2007. №7. С. 56 60.

12. Голечков Ю.И., Шестаков А.А., Ефимов И.А. О математи ческом моделировании безопасного движения по неровному пути колесного транспортного средства // Вопросы теории безопасности и устойчивости систем. 2007. Вып. 9. С. 193 - 200.

в)публикации в других научных изданиях:

13. ГолечковЮ.И.,Шестаков А.А. Математи ческое моделирование. Учебное пособие. Ч.1, 2. - М.: ВЗИИТ, 1993.

14. Голечков Ю.И. О предельном режиме решений обобщенного уравнения Льенара // Application of the «Mathematica» system to social processes and mathematical physics. Proc. of the International Workshop (Brest, 3-6 June 2003). Брестский гос. ун-т им. А.С. Пушкина, Wyzsza szkola finansow i zarzadzania w Siedlcach, Polska, 2003. С. 21 26.

15. Голечков Ю.И.,Шестаков А.А.Обобщение теорем Ла-Салля и Марачкова // В сб.: Проблемы динамики подвижного состава и устойчи вости движения динамическихсистем. Сб. науч. тр. М.: ВЗИИТ, 1990. С. 128 132.

16. Голечков Ю.И.Обэкстремальнойустойчивостинелинейного дифференциального уравнения второго порядка // Современные проблемы управления, устойчивос ти и колебаний нелинейных механических систем ж.-д. транспорта. Сб. науч. тр. М.: ВЗИИТ, 1991. Ч. II. С. 62 67.

17. Голечков Ю.И.Исследованиепритяженияреше нийнеавтономной дифференциальной системы с неограни ченной диссипацией // Управляемые динамические сис темы. Сб. науч. тр. Саранск: Мордовский гос. ун-т, 1991. С. 108 113.

18. Голечков Ю.И. Обалгоритме РунгеКуттачет вертого порядка // Оптимальное функционирование, сохранение устойчивости и надежности систем железнодорожного транспорта. Межвуз. сб. научн. тр. / Рос.гос. откр. техн. ун-т путей сообщения. М.: РГОТУПС, 1997. С. 18 20.

...