Многоступенчатый критерий VAR на произвольном однопериодном рынке

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Введение

В работе рассматривается методика построения оптимального портфеля инвестора со своим взглядом на свойства произвольного однопериодного рынка с конечным числом инструментов. Методика основана на разбиении инвестором пространства возможных сценариев стохастической динамики рынка на такое же количество подмножеств, приписывании им некоторых прогнозных вероятностей и выборе в них по одному типичному представителю. Рисковые предпочтения инвестора задаются возрастающей функцией критических доходов. Для нахождения оптимального портфеля инвестора определяется наведенный рынком вектор вероятностей сценариев и используется процедура Неймана-Пирсона. Методика демонстрируется на примерах разнообразных рынков.

В работах [1-7] автором рассматривались вопросы построения оптимального портфеля инвестора на рынке опционов. В них предполагается, что инвестор обладает собственным представлением относительно вероятностных свойств будущей цены лежащего в основе опционов актива (базового актива). Кроме того, инвестор характеризуется своими рисковыми предпочтениями, задаваемыми функцией критических доходов (континуальный аналог критерия VaR). Как объясняется в упомянутых работах, такой подход позволяет более точно описывать рисковые предпочтения инвестора, чем это делают традиционные методы, такие как портфельная теория Марковица, в которой мерой риска служит дисперсия, или методы хеджирования, в которых способом описания риска часто становится одномерный критерий допустимых потерь (VaR).

Подход, применяемый в упомянутых работах автора, основывается на методе Неймана-Пирсона и целиком привязан к свойствам дискретного по времени рынка опционов (например однопериодного). В этом случае удается предложить регулярную процедуру, посредством которой строится оптимальная для рассматриваемого инвестора континуальная (или дискретная для реального рынка опционов) по страйкам комбинация опционов типа колл и пут.

Теоретическое удобство (однопериодного) рынка опционов проявляется в том, что по их ценам, заданным для всех страйков из множества вещественных чисел, удается непосредственно сравнивать прогнозную плотность будущей цены базового актива со второй производной цен опционов (колл или пут). Однако представляется, что предложенный подход имеет значительно более широкую сферу применения и вовсе не обязательно ограничиваться рынком опционов.

Настоящая работа посвящена распространению предложенной в упомянутых работах методики на произвольный рынок финансовых инструментов. Удается в едином ключе подойти к решению задач управления произвольным портфелем ценных бумаг и хеджирования. Однако такое обобщение не дается бесплатно - приходится отказаться от континуального пространства возможных инструментов, что делает строящуюся теорию менее изящной и в некотором отношении приближенной, хотя и более реальной.

1. Предположения модели управления портфелем

инвестор хеджирование опционный

Рассмотрим однопериодный финансовый рынок, на котором торгуют N финансовыми инструментами. Как обычно, мы будем пренебрегать трансакционными издержками. Функционирование рынка подчинено действию ряда случайных факторов. Их различные сочетания будем называть сценариями, которые в формальном отношении можно считать выборочными точками многомерного пространства факторов. Реализация любого сценария приводит к получению инвестором определенного дохода по каждой из рассматриваемых ценных бумаг. Множество всех сценариев обозначим .

Нам будет удобно представлять себе, что на этом множестве существует некоторое распределение вероятностей, которое порождает распределение доходов по ценным бумагам и некоторым образом проявляется в их ценах. Однако это распределение (как правило, многомерное) неизвестно, а по конечному множеству цен инструментов восстанавливать его полностью обычно не удается. Кроме того, в ценообразовании инструментов играют немаловажную роль и субъективные факторы, которые привносят искажения в справедливые цены.

Как и в упомянутых работах автора, модель создается для некоторого абстрактного инвестора. Предполагается, что инвестор имеет свое представление относительно распределения вероятностей в пространстве . Ясно, что если инвестор будет задавать это распределение n параметрами, то восстановить их он сможет, вообще говоря, лишь в случае N n.

Разумным представляется следующий подход. Инвестору надлежит построить некоторым образом разбиение пространства сценариев на n подмножеств и в соответствии со своим прогнозом приписать им вероятности. Более того, для приближенного вычисления своего дохода ему следует выбрать в каждом подмножестве некоторый элемент, который будет представлять данное подмножество во всех необходимых расчетах. Именно с точностью, соответствующей уровню разбиения, инвестор и будет проверять соответствие рыночных цен своему прогнозу и использовать их расхождение в своих интересах.

Фактически, инвестор при известном навыке и развитой интуиции может строить прогноз сразу в форме результирующего дискретного распределения на выбранной системе подмножеств , а не на основе исходного, вообще говоря, непрерывного распределения.

Итак, подготовительный этап при нахождении инвестором оптимального рыночного портфеля состоит в разбиении пространства на систему n непересекающихся между собой подмножеств, выборе внутри каждого подмножества некоторого представительного элемента и приписывании всем им некоторых вероятностей, в сумме дающих 1. Полученную систему точек можно рассматривать в качестве дискретного аналога пространства всех сценариев.

Как и в [1-7], рисковые предпочтения инвестора мы будем задавать в форме непрерывной возрастающей функции критических доходов. Однако применительно к рассматриваемому дискретному случаю будут использоваться лишь ее значения в конечном числе точек, хотя заранее неизвестно, каких именно. Это неточное истолкование рисковых предпочтений инвестора также вносит свой вклад в искажение его оптимального портфеля. Но чем больше числа N инструментов и n отобранных сценариев, тем точнее могут быть представлены эти рисковые предпочтения.

Отметим еще, что для каждого набора рыночных инструментов инвестору выбор множества сценариев надлежит сопровождать специальным анализом, направленным на определение возможных линейных связей между инструментами на множестве сценариев. Задачи, возникающие при этом свойственны традиционным задачам решения систем линейных уравнений. Однако подробнее мы поговорим об этом позже после введения матрицы доходов.

Приведем примеры реальных сегментов финансового рынка, на которых может быть опробована подобная постановка проблемы и которые будут рассмотрены в последующих разделах. В качестве наиболее простого рынка можно привести пример игры в рулетку. Ее обобщенный аналог был рассмотрен в [1] в качестве преамбулы к построению континуального критерия VaR для построения оптимального портфеля инвестора опционного рынка. Игра в рулетку носит по существу дискретный характер, и потому для нее предлагаемая в настоящей работе методика носит точный характер в той части, которая касается выбора множества сценариев.

Другим примером может служить тот же самый рынок опционов, лежащий в основе построения континуального критерия VaR в [1-7]. Однако в данной работе мы на него будем смотреть под несколько иным углом зрения - с более общих позиций, отказываясь от специфики этого однопериодного рынка и от формул, ему свойственных. В качестве возможных инструментов можно использовать, например, коллы (или путы) для выбранного конечного множества страйков, а в качестве дискретного пространства сценариев - то же самое множество страйков, но рассматриваемое как совокупность возможных будущих значений цены базового актива.

Третьим примером является упрощенный рынок процентных бумаг. На нем обращаются несколько купонных облигаций с разными купонами, которые удовлетворяют требованиям нашего инвестора к двухпериодному инвестиционному горизонту. На первом интервале действует процентная ставка 0, и она известна, а на втором - . Вторая ставка - форвардная, она неизвестна, но можно находить ее наведенный аналог по кривой доходности, а также строить иные догадки (прогнозы). Случайным фактором, реализации которого мы называли выше сценариями, является именно форвардная процентная ставка .

Наиболее сложным представляется реализация данного подхода к произвольному фондовому рынку. В самом общем случае вероятностное пространство сценариев следовало бы отождествлять с пространством реализаций многомерной случайной величины, размерность которой совпадает с количеством котируемых на рынке ценных бумаг N. Однако даже при выборе для каждой (одномерной) случайной величины всего лишь двух возможных значений (чрезвычайно малая точность отображения их свойств), мы получаем выборочное пространство мощностью 2N, что превышает само N (при типичных значениях N - значительно).

В связи с этим напрашивается применение факторного анализа, при этом возможны два способа поведения. Первый реализуется в случае, если в задаче факторная модель возникает естественным образом, как это имеет место, например, в случае с опционным рынком (когда доходы по всем инструментам, фактически, определяются единственной случайной величиной - доходностью базового актива). Если модель с m факторами существует явно, то для каждого фактора k = 1, 2, …, m следует отобрать некоторое число nk его значений. И тогда при построении выборочного множества нужно следить лишь за выполнением неравенства N n1n2…nm, и если m значительно меньше N, то реализовать его уже значительно проще. Итак, проблема, возникающая на этом пути, сводится к созданию и анализу адекватной многофакторной модели.

Второй способ основан на неявной зависимости всех случайных величин от небольшого числа факторов. Здесь может пригодиться какой-либо известный метод факторного анализа, например метод главных компонент, применяемый в статистике. При наличии достаточно обширной статистической информацией по рыночным бумагам можно выявлять корреляционные связи между доходами по разным ценным бумагам и находить среди всех возможных их комбинаций небольшое число m наиболее существенных, которые приближенно можно рассматривать как базис соответствующего линейного пространства. Эти m векторов являются неким аналогом множества факторов. Далее для каждой отобранной случайной величины k = 1, 2, …, m вводится дискретная сетка с nk значениями. И вновь следует следить лишь за выполнением условия N n1n2…nm.

Итак, преимущества предлагаемой методики связаны с распространением методики из [1-7] на однопериодные рынки произвольной природы. Прочие ее преимущества по сравнению с традиционным одноступенчатым критерием VaR или с подходом, используемым в обычной портфельной теории, основанным на дисперсии как на инструменте оценивания риска, проявляются в более широком представлении интересов инвестора посредством применения многоступенчатого (в теоретической версии - континуального) критерия VaR. Обсуждению этого феномена мы уделяли достаточно места в упомянутых выше работах.

2. Формализация модели управления портфелем инструментов и ее задачи

Пусть si, iI = {1, 2, …, N} - элементарные ценные бумаги, обращающиеся на рынке. Эти бумаги мы называем элементарными, поскольку, вообще говоря, на рынке могут котироваться также другие инструменты, являющиеся линейными комбинациями выделенных элементарных инструментов. Так, например, на опционном рынке наряду с простейшими опционами типа колл и пут могут котироваться опционные спрэды, стрэддлы и стрэнглы, т.е. портфели (комбинации) опционов. Мы не отказываемся рассматривать рынки с подобным расширением, однако для наших целей нам удобно разделять все инструменты на элементарные и их комбинации.

Стоимости всех элементарных инструментов si, iI, заданы и равны mi. Для обозначения стоимости произвольного инструмента w на рынке будем использовать обозначение |w|, и потому mi = |si|, iI.

Положим теперь, что длинная позиция по инструменту si в количестве одного экземпляра порождает случайный доход yi. При реализации сценария j эта позиция дает доход (вполне определенный) si(j) = yij. Для матрицы этих доходов, имеющей размерность Nn, используем обозначение

Y = ||yij||. (1)

Портфелем w элементарных инструментов, задаваемым вектором-строкой w = (w1, w2, …, wn), где wi - количество (вес) инструмента i в портфеле, которое может принимать и отрицательные значения (в этом случае речь идет о короткой позиции по инструменту), называется комбинация

w = iI wi si.

При реализации сценария j портфельный доход инвестора составит

w(j) = i wi si(j) = i wi yij.

В матричной форме этот портфель может быть представлен в виде

w = w sT,

где s = (s1, s2, …, sn) - векторный инструмент, а верхний индекс T означает операцию транспонирования вектора или матрицы.

Обсудим проблему размерности задачи управления. Вообще говоря, для реализации развиваемой далее методики вовсе не обязательно требовать равенства количеств инструментов и сценариев. Для нас главное, чтобы по имеющимся инструментам можно было бы идентифицировать сценарии. И здесь возникает проблема, присущая традиционным задачам решения систем линейных уравнений, - проблема, связанная со значением ранга расширенной прямоугольной матрицы (за счет присоединения к ней столбца правых частей уравнений).

Ясно, что процедура выбора множества сценариев находится в распоряжении инвестора, и потому он этим выбором может управлять. Какие у него возникают возможности? Разумеется, как правило, для него не представит затруднений отобрать столько же сценариев, сколько и инструментов на рынке. Однако случается, что не все инструменты разумно выбирать в качестве элементарных. Примером может служить ситуация, о которой мы уже говорили выше, - когда на опционном рынке наряду с обычными коллами и путами котируются и некоторые их комбинации. Если не проявлять осторожности при выборе пространства , ставя целью лишь достижение равенства количеств элементов во множествах I и , то в результате построенная матрица Y окажется либо вырожденной, либо плохо обусловленной. Это происходит вследствие того, что фактически строки матрицы Y, отвечающие комбинациям инструментов, будут просто линейными комбинациями других строк.

Как следует поступать инвестору в таком случае? Ясно, что в любом случае инвестору придется сокращать пространство до тех пор, пока реальный ранг матрицы Y не станет равным ||. Но как быть, когда количество инструментов превышает количество сценариев, т.е. ранг матрицы? Естественно, для реализации нашей методики нужно будет сократить и количество инструментов в задаче. Понятно, что некоторые инструменты, которые являются линейными комбинациями других, можно было бы просто отбрасывать с тем, чтобы оставшаяся в результате матрица стала бы квадратной с рангом ||. Однако, как представляется, инвестору правильнее было бы поступать иначе.

Инвестору следует предварительно (перед отбрасыванием "лишних" инструментов) сопоставить матрицу Y вектору цен рыночных инструментов. Построим расширенную матрицу Yexp, дополняя Y столбцом этих цен. В этом случае перед инвестором возникают две возможности. Если ранг новой, расширенной, матрицы совпадает с рангом исходной, то, значит, между ценами инструментов выдерживается та же самая линейная связь, что и между самими доходами от инструментов. И тогда эти ("лишние") инструменты можно просто отбросить и в построениях не принимать во внимание. Если же при расширении ранг увеличивается на 1, то, значит, соотношение между ценами иное. В этом случае существуют расхождения в ценах, и инвестор может использовать их в своих интересах, проводя арбитражные операции и реализуя безрисковый доход с положительной вероятностью.

Как этот арбитраж следует проводить? Пусть N=|I|, n=||, rang Y = n, rang Yexp = n+1. В силу линейной зависимости строк матрицы Y для некоторых чисел aik, n < i N, 1 k n, имеет место

yij = kn aik ykj , n < i N. (2)

Поскольку ранг расширенной матрицы больше n, то аналогичное соотношение для цен инструментов не выполняется. Положим без ограничения общности, что ранг подматрицы ||yij||, 1 i,j n, равен n. Тогда существует такой инструмент si, n < i N, (отвечающий i-й строке матрицы Y), для которого

mi kn aik mk , n < i N.

В таком случае стратегия поведения инвестора очевидна: если mi > kn aik mk, то ему следует продать единицу инструмента si и купить портфель инструментов kn aik sk, если же mi < kn aik mk, то ему следует купить инструмент si и продать портфель kn aik sk. В любом из этих вариантов сделка инвестора носит кредитный характер - при заключении сделки общая стоимость проданных инструментов превышает стоимость приобретенных. Поскольку для доходов от инструментов участвующих в этой сделке, выполняется соотношение (2), то общий доход инвестора от сделки с вероятностью 1 равен нулю. Тем самым в результате сделки он обеспечивает себе безрисковый положительный доход.

Разумеется, подобная арбитражная возможность может оказаться неединственной. Выбор наилучшей возможности на реальном рынке зависит от трансакционных издержек, и эту задачу мы здесь не рассматриваем.

Как известно, на эффективном рынке возможности арбитража время от времени возникают, однако благодаря действиям многочисленных искусных трейдеров они очень быстро пропадают. Поэтому нашему инвестору следует изыскивать и иные возможности заработать на рынке деньги. Далее будем предполагать, что арбитраж на рынке невозможен, и потому после отбрасывания инструментов, представляющих собой линейные комбинации элементарных инструментов, будем полагать количества элементов во множествах I и совпадающими. Более того, далее мы их будем отождествлять, присваивая им общее обозначение I.

Почти все рассматриваемые далее свойства касаются переменных, рассматриваемых, как правило, на множестве I, и в случае, когда у переменной присутствует индекс и не оговорено иное, автоматически принимается, что он пробегает все множество I, и потому включение iI будет опускаться. Равным образом опускается это включение, когда речь идет о суммировании. При условии, что выражение содержит более одного индекса, мы будем лишь указывать, по какому индексу ведется суммирование.

Назовем базисным инструмент, который дает единичный доход при реализации лишь одного сценария и нулевой доход - при остальных. Разумеется, всего в нашей конструкции мы имеем n базисных инструментов. Базисный инструмент, который дает единичный доход при реализации именно сценария i, обозначим через ыi. Попытаемся воспроизвести (реплицировать) на основе наших n элементарных инструментов si все эти n базисных инструментов.

Для репликации ыi будем использовать портфели элементарных инструментов

ыi = jI zij sj.(3)

Используя обозначение векторного инструмента

ы = (ы1, ы2, …, ыn), (4)

совокупность n представлений (3) запишем в матричной форме:

ыT = Z sT, Z = ||zij||.(5)

Нам необходимо найти такие n портфелей, чтобы для всех сценариев выполнялись равенства

ыi(k) = jI zij sj(k) = jI zij yjk = ik, (6)

где ik - символ Кронекера. Совокупность этих соотношений можно переписать в матричной форме (если ввести обозначение E для единичной матрицы)

Z Y = E.

При условии, что у матрицы Y существует обратная, отсюда получаем

Z = Y-1. (7)

Таким образом, при наличии у матрицы Y обратной портфелям ценных бумаг, приводящим к репликации n базисных инструментов, отвечают строки обратной матрицы к матрице доходов. Иными словами, справедливы представления

ыi = jI yij(-1) sj, (8)

где yij(-1) - (i, j)-й элемент матрицы Y-1. С учетом (5) и (7) эти равенства записываются в матричной форме

ыT = Y-1sT. (9)

Из цен mi элементарных инструментов si с использованием (7) и (8) определяются цены всех базисных инструментов ыi. Вводя вектор c = (c1, c2,…, cn), находим

ci = |ыi| = jI mj yij(-1).

Это соотношение в матричной форме принимает вид

cT = Y-1mT. (10)

Полученным ценам можно придать вероятностный смысл, если их умножить на один и тот же нормирующий множитель

rrf = 1/j cj,(11)

который мы назовем наведенным безрисковым относительным доходом. С его помощью определяется вектор

c = rrf c. (12)

Сумма компонент этого вектора уже равна 1.

Параметр rrf является важной характеристикой рынка. Он показывает, какая безрисковая доходность может быть достигнута на рынке за рассматриваемый период времени. Действительно, сумма j cj означает стоимость комбинации элементарных инструментов, доставляющей единичный доход при любом сценарии, т.е. безрисковый единичный доход. Как правило, на реальном рынке параметр rrf должен быть слегка выше 1.

Вектор c не связан с предположениями инвестора о рынке; он вычисляется, исходя из цен элементарных инструментов. Как это принято в финансовой теории, подобный объект можно называть наведенным вектором вероятности на множестве сценариев I. В какой-то степени вероятности, образующие этот вектор, отражают истинные вероятности реализации тех или иных сценариев, но не тождественны им. Именно они, как проявление совместных интересов и действий всех участников рынка, имеют непосредственное значение для тестирования инвестором своего представления о вероятностных свойствах сценариев, выбора им стратегии своего поведения на рынке и построения им на основе этого представления оптимального для себя портфеля инструментов.

Однако по формальным соображениям можно обойтись и без их непосредственного использования - достаточно лишь самих цен.

Процедура Неймана-Пирсона, приводимая далее, вполне работоспособна и при сравнении с вероятностями инвестора не наведенных вероятностей, а реальных цен, - порядок во множестве сценариев, порождаемый процедурой, от этого не зависит. Теперь опишем представление инвестора о вероятностных свойствах рынка и его рисковые предпочтения.

Будем считать, что все соображения инвестора относительно свойств рынка сводятся к заданию им собственного вероятностного вектора сценариев, который мы будем обозначать

d = (d1, d2,…, dn). (13)

Для нахождения оптимального портфеля инвестора, по существу, именно этот вектор необходимо сопоставлять с вектором (12) либо с вектором (10).

Рисковые предпочтения инвестора, как и в работах [1-7], описываются монотонно возрастающей функцией критических доходов

Bcr(), [0, 1].(14)

Требуется, чтобы для всех [0, 1] выполнялись неравенства

, (15)

где Pt{E} - вероятностная мера события E с точки зрения инвестора, R - случайный доход от инвестиции. При этом предпочтение отдается меньшим значениям , т.е. удовлетворять эти неравенства нужно, начиная с = 0 и продвигаясь в сторону положительных значений по возможности вплоть до = 1.

В данной работе мы будем проводить все формальные построения, не задавая изначально инвестиционной суммы инвестора. При этом мы исходим из упрощающего допущения, что от масштаба инвестиции рисковые предпочтения инвестора не зависят, и потому результат, получаемый нами далее в терминах доходности, является универсальным для данного инвестора вне зависимости от его изначальной суммы. В случае если предпочтения инвестора такому допущению противоречат, т.е. они заданы как функция Bcr(, ), не представимая в виде Bcr(), то инвестиционная сумма A должна быть зафиксирована и тогда возможны, как отмечалось в [1-7], две постановки.

В первой постановке параметр также считается зафиксированным. Тогда разность A-|g| либо направляется на максимизацию Ropt, если она больше нуля, либо констатируется возможность лишь частичного решения задачи (не для всех [0,1]), если - меньше нуля. Оба случая не лишены недостатков. Даже если задача решается полностью, то возможно появление вырожденной компоненты у случайного дохода от инвестиции. Понятно, что в рассматриваемых далее дискретных конструкциях это условие в своей строгой форме не имеет смысла. Однако следует считаться и с дискретным аналогом вырождения вероятностного распределения. Речь идет о ситуации, когда значительные дополнительные суммы, не являющиеся необходимыми для выполнения условий (15), могли бы направляться на вложения в наиболее выгодный (с точки зрения среднего дохода) базисный инструмент. И это также, скорее всего, едва ли отвечает интересам инвестора.

Во второй постановке параметр является свободным и подлежит нахождению из условия A = |g|, где g - оптимальный инструмент. Это делается как раз для того, чтобы исключить недостатки первого подхода, связанные либо с появлением вырожденной компоненты дохода, либо с неполным решением задачи управления. Для простоты изложения эти варианты постановки задачи в данной работе при формальном ее решении не приводятся. Частично вторая постановка задачи будет отражена в разд. 5 при рассмотрении игры в рулетку. Здесь лишь отметим, что эта постановка фактически означает просто необходимость решения стандартного варианта задачи для ряда значений параметра , при этом должен быть организован поиск такого его значения, при котором выполняется условие равенства стоимости оптимального инструмента начальной инвестиционной сумме.

3. Процедура построения оптимального портфеля инвестора, его структура и доходность

Процедура построения "оптимального" портфеля инвестора проводится по методу Неймана-Пирсона и начинается с построения отношения правдоподобия (см., например, [11]). Вводится вектор

l = (L1, L2, …, Ln), Lj = cj/dj, (16)

и все сценарии из множества I упорядочиваются по убыванию этого отношения.

Обозначим через взаимнооднозначное отображение (подстановку) множества I на себя, отвечающее устанавливаемому отношением (16) порядку во множестве I. Именно: (1) означает сценарий с максимальным значением отношения L, (2) - сценарий, для которого отношение L принимает второе по величине значение, и т.д., наконец, (n) - сценарий с минимальным значением отношения L. (Если отношение L в двух точках совпадает, то выбор порядка в перестановке для этих точек произволен.) Далее также используется векторное обозначение = ((1), (2),…, (n)).

Отображение мы также будем задавать с помощью матрицы , определяемой условием

= ||ij||, ij = 1 при j = (i) и 0 в иных случаях, i,jI.(17)

В произвольной i-й строке этой матрицы имеется единственная единица, она занимает позицию j, если на j-й позиции располагается i-е по величине отношение L в порядке убывания. В частности, если наибольший элемент отношения L находится на j-й позиции, то в первой строке матрицы имеется единственная единица - в j-м столбце, при этом остальные элементы столбца - нули. При той же информативности Несмотря на некоторую избыточность Представление отображения в виде матрицы при одинаковой информативности с вектором менее лаконично, но более удобно при матричных преобразованиях.

Для произвольного вектора a длины n вектор aT (a T) означает такую перестановку компонент вектора aT (a), при которой в новом векторе компоненты приобретают порядок, соответствующий порядку убывания на векторе l отношения правдоподобия (если j = (i), то его j-я компонента перемещается на место i). Так, наряду с вектором (13) будем рассматривать и вектор

dro = (d(1), d(2),…, d(n)) = d T, (18)

определяющийся соответствующим порядку отношения правдоподобия переупорядочиванием компонент вектора d.

Теперь переходим непосредственно к нахождению портфеля инструментов, наилучшим образом отражающим интересы инвестора. Процедура является дискретным аналогом той, которая применялась в [1-7] для континуального случая.

В соответствии с (16) и (17) строится система подмножеств Xk множества I по правилу

Xk = {о(1), о(2),…, о(k)}, kI.

Поскольку каждому сценарию j инвестор приписывает вероятность dj, то множествам Xk будут отвечать вероятности

еk = Pt{Xk} = jk d(j) = jk dro,j,(19)

объединяемые в вектор е.

Вводится вектор критических доходов инвестора

b = (B1, B2,…, Bn), (20)

где

Bk = Bcr(еk), kI. (21)

Фактически, компоненты этого вектора являются аппроксимацией функции критических доходов инвестора в точках k, представимых в виде суммы вероятностей k сценариев, отвечающих наибольшим k значениям отношения правдоподобия.

Напомним идею такого построения. Каждому множеству сценариев Xk можно поставить в соответствие его "индикатор", являющийся финансовым инструментом, представимым в виде суммы базисных инструментов jk ы(j). А затем "оптимальный" инструмент g инвестора строится в виде комбинации этих "индикаторов" с коэффициентами, определяемыми критическими доходами (21), и в результате получается его окончательное представление

g = j Bj ы(j).(22)

Таким образом, предпочтениям инвестора отвечает взвешенная сумма инструментов ыj c весовыми коэффициентами, лежащими на графике функции критических доходов инвестора Bcr(). Чем более круто растет функция Bcr() при приближении к = 1 и, стало быть, последовательность Bk с ростом k, тем в большей степени инвестор для увеличения своего дохода готов идти на риск, и наоборот.

Используя векторные представления (4) для ы и (20) для b, а также матричное представление (17) для оператора подстановки , инструмент g, задаваемый равенством (22), представим в матричной форме

g = b ыT. (23)

Применяя соотношение (9), зададим этот инструмент в виде комбинации исходных элементарных инструментов sj:

g = b Y-1 sT. (24)

Итак, "оптимальным" портфелем инвестора является скалярное произведение

g = g sT, (25)

где

g = b Y-1, (26)

при этом каждая компонента этого вектора означает количество соответствующего элементарного инструмента, которое инвестору необходимо приобрести (продать, если компонента отрицательна).

Теперь вычислим параметры оптимального инструмента: его стоимость, средний доход инвестора (с его собственной точки зрения) и средний относительный доход (1 плюс доходность) от инвестиции.

Для нахождения стоимости воспользуемся тем очевидным фактом, что стоимость взвешенной суммы нескольких инструментов равна взвешенной сумме их стоимостей. Поэтому стоимость оптимального инструмента получается простой заменой в правой части равенства (24) (или (25) с учетом (26)) вектор инструментов s на вектор стоимостей m. Получаем

|g| = b Y-1 mT = g mT. (27)

Средний доход инвестора Ropt при условии, что он вычисляется в соответствии с его собственным представлением о вероятностных свойствах рынка, т.е. для вероятностного вектора на множестве сценариев d, согласно процедуре Неймана-Пирсона и с учетом представления оптимального инструмента (22) должен определяться из соотношения

Ropt = j Bj d(j),

или в матричной форме

Ropt = b dT = b droT. (28)

В результате относительный средний доход, как раз и характеризующий доходность вложения, получается делением среднего дохода (28) на объем инвестиции, совпадающий со стоимостью оптимального инструмента (27). Окончательно имеем

ropt = Ropt/|g| =(b droT)/(g mT). (29)

Отметим, что величина ropt вовсе не обязательно будет превышать 1. Можно лишь утверждать, что она будет не менее параметра rrf, получаемого по формуле (11). Но, как правило, в отражающих реальный рынок задачах она будет превышать 1 (в этих случаях даже rrf > 1).

Подытожим результат. Оптимальный инструмент инвестора задается соотношениями (24) или (25) с учетом (26). При этом исходный объем инвестиции определяется по формуле (27). Средний относительный доход от такого инструмента с точки зрения инвестора определяется соотношением (29). При этом вектор d означает вектор вероятностей, приписываемых инвестором каждому сценарию, dro - вектор с теми же компонентами, но расположенными в порядке убывания компонент вектора l, m - вектор рыночных цен элементарных инструментов, а матрица Y (1) определяет доходы по всем инструментам при каждом сценарии. Наконец, вектор b, связанный с рисковыми предпочтениями инвестора, задается соотношением (20), с учетом (19), (21) и правила переупорядочивания, определяемого (17) и вытекающего из метода Неймана-Пирсона.

Замечание. Если все вероятности dk совпадают между собой, то инвестор может свои рисковые предпочтения может формулировать в дискретном виде, сразу задавая вектор b, так как при равенстве вероятностей сценариев этот вектор инвариантен относительно процедуры Неймана-Пирсона и однозначно определяется функцией Bcr() и вектором d. В противном случае вектор b оказывается зависящим и от вектора , а он становится известным лишь после проведения этой процедуры. Поэтому в общем случае такое упрощение недопустимо, и инвестору при нахождении вектора b имеет смысл исходить из непрерывной функции Bcr().

4. Демонстрация методики построения "оптимального" портфеля инвестора

Рассматриваемые в данном разделе три примера основаны на единой условной модели рынка и преследуют чисто технические цели ознакомления с практикой применения предложенной процедуры и изучения ее свойств. В последующих разделах приводятся примеры рынков, носящих содержательный характер, на которых показывается, как работает предлагаемая методика в более реальных ситуациях.

Пример 1. Рассмотрим рынок, на котором обращаются всего 5 инструментов. В связи с этим ограничиваем пространство сценариев также только 5 элементами. Определим матрицу Y доходов от пяти инструментов для каждого сценария следующим образом

. (30)

Будет вполне правдоподобно, если стоимости этих инструментов образуют вектор

m = (0.772, 0.707, 0.514, 0.368, 0.716). (31)

Здесь сделаем небольшое отступление. С учетом иллюстративного характера примера, читатель, надеемся, простит некоторую подгонку результатов, предпринятую для получения более реальных цифр. При построении примера мы сначала задаем вектор с и лишь затем воссоздаем вектор m - отсюда и более содержательным оказывается важный вектор с. Если же взять вектор m "с потолка", то нельзя гарантировать положительности всех компонент вектора с. А это для реальности рассматриваемой конструкции необходимо - иначе возможен арбитраж. Действительно, компоненты этого вектора означают цены инструментов, не порождающих отрицательных доходов, и потому они должны быть положительными.

Если такое случается, то инвестору следует покупать реплицирующие их синтетические комбинации по "отрицательной цене", т.е. продавать их, обеспечивая себе безрисковую прибыль.

Построение на основе вектора m вектора цен базисных инструментов дает

с = (0.17, 0.23, 0.21, 0.19, 0.15). (32)

Как уже говорилось в разд. 2, нормированный вариант этого вектора c служит аналогом рыночных вероятностей каждого сценария. Поскольку сумма компонент вектора с равна 0.95, нормирующим множителем служит безрисковый относительный доход

rrf = 1.05263.(33)

Но инвестор по-своему смотрит на вероятности сценариев. Допустим, он задает их вектором

d = (0.2, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2),

т.е. приписывает всем сценариям равные вероятности.

Как мы отмечали в конце разд. 3, в этом случае инвестор может применить упрощенный способ задания своих рисковых предпочтений - непосредственно ввести 5-мерный вектор b с растущими (по его желанию) компонентами, так как критические доходы не зависят от результатов применения процедуры Неймана-Пирсона. Будем считать, что выбором инвестора служит вектор

b = (-0.1, 0.1, 0.4, 0.8, 1.5). (34)

Процедура Неймана-Пирсона тем не менее необходима для определения матрицы подстановки . В соответствии с этой процедурой нам надлежит сравнить векторы c и d и определить порядок, в котором убывает отношение правдоподобия Lj для разных сценариев j. Поскольку все компоненты вектора d одинаковы, порядок отношения L определяется исключительно порядком элементов вектора c. Поэтому наибольшее значение принимает 2-я компонента вектора l, затем в убывающем порядке последовательно идут 3-я, 4-я, 1-я и, наконец, 5-я компоненты. Поэтому отображение преобразует множество сценариев I (в исходном порядке) в вектор (2, 3, 4, 1, 5), т.е. вектор = (2, 3, 4, 1, 5), а матрица подстановки

. (35)

Этих данных достаточно для определения оптимального портфеля инвестора. Вектор коэффициентов элементарных инструментов в его составе

g = (0.493, -0.783, -0.120, -0.705, 1.298).

Поэтому оптимальный портфель инвестора принимает вид

g = 0.493s1 - 0. 783 s2 - 0. 120 s3 - 0.705 s4, + 1.298 s5.

Стоимость этого инструмента |g| = 0.435, а средний доход (с точки зрения самого инвестора) - Ropt = 0.54. В результате средний относительный доход от инвестиции

ropt = Ropt/|g| = 1.24138 > 1.05263 = rrf.

Рассмотрим в рамках этого примера наряду с уже описанным инвестором еще двух, по иному относящихся к риску. Сначала вектор (34) заменим вектором

b' = (1, 1, 1, 1, 1), (36)

который отвечает инвестору, совершенно не приемлющему риска. Проделывая те же расчеты (пересчитывать нужно лишь вектор g, стоимость |g| инструмента g и средний доход Ropt - процедура Неймана-Пирсона не меняется), мы получим для этого инвестора

g = (0.147, 0.098, 0.735, 0.313, 0.382).

|g| = 0.95, Ropt = 1.

Отсюда (как, впрочем, и должно быть)

ropt = 1.05263 = rrf.

Для расположенного к риску инвестора заменим вектор (34) вектором с более круто растущими критическими доходами при приближении к =1

b" = (-0.1, 0.0, 0.1, 0.2, 2.0). (37)

В этом случае вектор коэффициентов оптимального инструмента

g = (-0.208, 0.231, -1.014, -2.059, 2.219).

Этот инструмент требует использования короткой позиции по 1-му, 3-му и 4-му инструментам и длинной - по 2-му и 5-му. Его стоимость и средний доход по нему равны

|g| = 0.313, Ropt = 0.42

соответственно, а средний относительный доход от инвестиции

ropt = 1.34185.

Последний результат также вполне ожидаем. Этот инвестор идет на значительный риск и, естественно, он должен получить компенсацию от рынка в форме повышенной доходности.

Отметим, что для каждого фиксированного инвестора (т.е. при фиксации вектора его рисковых предпочтений) любое изменение выбранной по методу Неймана-Пирсона матрицы подстановки может лишь понизить доходность инвестиции (при выполнении всех условий многоступенчатого критерия VaR (15)). Так, если вместо (35) рассмотреть преобразование , которое переводит набор (1, 2, 3, 4, 5) в набор (4, 1, 2, 3, 5), то доходность инвестиции для вектора рисковых предпочтений b составит 1.11801 вместо вычисленной нами выше оптимальной доходности 1.24138. Аналогичная картина наблюдается и для вектора b".

Очевидным исключением является случай вектора b', поскольку он соответствует абсолютно не приемлющему риск инвестору и для него доходность всегда равна rrf.

Пример 2. Усложним условия предыдущего примера, хотя будет рассматриваться тот же самый рынок. Это значит, что матрица Y, векторы m и c, а также ставка rrf определяются формулами (30), (31), (32) и (33) соответственно, а пространство сценариев вновь содержит всего 5 элементов. Однако на этот раз прогноз инвестором свойств рынка иной: он приписывает сценариям уже разные вероятности. Пусть

d = (0.19, 0.20, 0.23, 0.23, 0.15). (38)

В этом случае инвестор уже не вправе задавать свои рисковые предпочтения непосредственно в форме 5-мерного вектора b с растущими компонентами, так как этот вектор должен зависеть от результатов процедуры Неймана-Пирсона. Но свои рисковые предпочтения он должен сформулировать уже сейчас. В соответствии с теорией инвестору надлежит задать растущую функцию критических доходов. Допустим, это будет функция

Bcr() = - 0.2, [0,1]. (39)

Теперь необходимо применить процедуру Неймана-Пирсона, для чего требуется построить покомпонентное отношение векторов c и d, т.е. (32) и (38). Получим вектор

l = (0.895, 1.150, 0.913, 0.826, 1.000).

Порядок, образованный компонентами этого вектора однозначно определяет отображение и матрицу подстановки : наибольшей оказывается 2-я компонента вектора, затем последовательно идут 5-я, 3-я, 1-я и, наконец, 4-я. Таким образом, отображение преобразует множество сценариев I (в исходном порядке) в вектор (2, 5, 3, 1, 4). При этом

.

Далее определяется вектор предпочтений b. Компоненты этого вектора находятся из (21) и (19). Сначала определяется скорректированный с учетом преобразования вектор dro. Имеем dic = Pt{(i)} = d(i), или в матричной форме

dro = d T.

Проделывая вычисления, находим

dro = (0.20, 0.15, 0.23, 0.19, 0.23). (40)

Далее находится вектор , k-я компонента которого k определяется по формуле (19), и мы имеем

= (0.20, 0.35, 0.58, 0.77, 1.00). (41)

Теперь мы готовы определить вектор рисковых предпочтений инвестора b. Используя формулу (21) и учитывая (39), находим

b = (0.00, 0.15, 0.38, 0.57, 0.80).(42)

Последующие вычисления проводятся аналогично примеру 1. На основании полученной информации мы уже можем определить оптимальный портфель инвестора и найти его финансовые характеристики. Вектор коэффициентов элементарных инструментов в оптимальном портфеле

g = (0.424, -0.843, 0.799, 1.641, -0.551),

а сам портфель

g = 0.424 s1 -0.843 s2 + 0.799 s3 + 1.641 s4, - 0.551 s5.

Стоимость этого инструмента |g| = 0.3512, а средний доход (с точки зрения самого инвестора) Ropt = 0.4022. В результате средний относительный доход от инвестиции составит

ropt = Ropt/|g| = 1.14522,

что, как и должно быть, превышает rrf.

Проделаем еще эксперимент, который определяет чувствительность результата к точности задания вероятностного распределения на сценариях. Поскольку в примере пространство сценариев содержит всего пять точек, то, грубо говоря, точность задания рисковых предпочтений определяется вероятностью, приписываемой отдельному сценарию. В данном случае средняя вероятность равна 0.2. Поэтому, учитывая линейность функции (39), рассмотрим наряду с ней также функцию

Bcr() = , [0,1]. (43)

Если для нее проделать все необходимые расчеты, то получим

b = (0.20, 0.35, 0.58, 0.77, 1.00),

g = (0.453, -0.824, 0.946, 1.704, -0.474),

|g| = 0.5412, Ropt = 0.6022, ropt = 1.11271.

Как видим, относительный доход изменился, хотя и не очень сильно - приблизительно на 3% (разумеется, доходность меняется значительнее). Думается, что это разумная точность при такой грубой сетке, выбранной в пространстве сценариев. И еще один вывод: то, что доходность изменилась в сторону уменьшения, еще раз свидетельствует о неукоснительном следовании в модели основному финансовому принципу: с ростом риска растет и вознаграждение. Сравнение функций (39) и (43) показывает, что первая отвечает более агрессивному инвестору, - он, в отличие от другого, более умеренного, готов согласиться и с отрицательными доходами.

Тем не менее оба до сих пор рассмотренных случая имеют отношение к инвестору, умеренно расположенному к риску. Имеет смысл в рамках данного примера провести вычисления и для инвесторов другого типа. Так, если инвестор вовсе не расположен к риску, т.е. описывается вектором предпочтений (36), то расчеты, проведенные по разработанной схеме, показывают, что он снова ни на что иное, как на безрисковый относительный доход, рассчитывать не может.

Для инвестора же, весьма расположенного к риску, вместо функции (39) (и (43)) следует рассмотреть иную, более круто возрастающую при приближении к точке = 1. Будем считать, что рисковые предпочтения этого инвестора описываются функцией

Bcr() = 4 - 0.2, [0,1]. (44)

В этом случае формулы (40) и (41) остаются без изменения, но вычисления (42) требуют коррекции. Учитывая (44), находим

b" = (-0.198, 0.185, 0.087, 0.152, 0.800). (45)

Для такого инвестора

g = (0.140, -0.304, -0.196, 2.619, -0.935),

|g| = 0.08614, Ropt = 0.12539, ropt = 1.4556.

Как и следовало ожидать, средний относительный доход оптимального инструмента для такого агрессивного инвестора превышает (причем значительно) аналогичный средний относительный доход для умеренно относящегося к риску инвестора.

Пример 3. В рамках примера 2 рассмотрим, взяв за основу функцию (43), семейство функций критических доходов, зависящих от некоторого параметра, и проведем исследование зависимости ropt от этого параметра. Хотя приводимое ниже исследование в значительной степени носит теоретический характер, тем не менее оно полезно в том, что касается предоставления инвестору рекомендаций в вопросах формирования им своих рисковых предпочтений. Это исследование должно предостеречь его от использования некорректного задания собственных рисковых предположений.

Итак, рассматривается тот же самый рынок, что и в примере 2. Более того, инвестор приписывает сценариям те же вероятности. Иными будут лишь функции критических доходов. Введем семейство функций

Bcr() = - h, [0,1].(46)

где параметр h может быть любым вещественным числом. Отметим, что в рамках примера 2 мы уже рассмотрели две функции этого семейства (39) и (43), в которых параметр h принимает значения 0 и 0.2 соответственно.

Проведем расчеты аналогично примеру 2 для ряда отобранных значений h. Результаты приведены в таблице.

Таблица 1. Свойства оптимального портфеля - зависимость от h

h	|g|	Ropt	ropt
-1000.0	900.541	1000.6	1.05267
-100.0	95.5412	100.602	1.05297
-10.0	10.0412	10.6022	1.05587
-1.0	1.4912	1.6022	1.07444
-0.1	0.6362	0.7022	1.10374
0.0	0.5412	0.6022	1.11271
0.1	0.4462	0.5022	1.1255
0.2	0.3512	0.4022	1.14522
0.3	0.2562	0.3022	1.17955
0.4	0.1612	0.2022	1.25434
0.5	0.0662	0.1022	1.54381
0.56	+0.0092	0.0422	+4.58696
0.57	-0.0003	0.0322	-107.333
0.58	-0.0098	0.0222	-2.26531
0.59	-0.0193	0.0122	-0.632124
0.6	-0.0288	0.0022	-0.07639
0.61	-0.0383	-0.0078	+0.203655
0.62	-0.0478	-0.0178	+0.372385
0.7	-0.1238	-0.0978	0.789984
0.8	-0.2188	-0.1978	0.904022
0.9	-0.3138	-0.2978	0.949012
1.0	-0.4088	-0.3978	0.973092
10.0	-8.9588	-9.3978	1.049
100.0	-94.4588	-99.3978	1.05229
1000.0	-949.459	-999.3978	1.0526

С ростом параметра h убывают как стоимость инструмента |g|, так и средний доход Ropt. При этом, поскольку всегда |g| Ropt, то сначала обращается в нуль |g| и лишь затем Ropt. Стоимость обращается в нуль при h = h1 0.57, а Ropt - при h = h2 0.60. Поэтому относительный доход ropt при h = h1 обращается в бесконечность, а при h = h2 - в нуль.

По своему характеру функция ropt(h) напоминает перевернутую гиперболу с асимптотами при h = h1 и ropt = rrf. На всей прямой ropt возрастает, принимает положительные значения на интервалах

(-, h1) и (h2, +), а отрицательные - на интервале (h1, h2). При приближении h к h1 слева ropt устремляется к +, а при приближении справа - к -. Когда h стремится к , относительный доход ropt стремится к безрисковому доходу rrf.

Обсудим эти формальные характеристики с содержательной точки зрения. Когда h<0 проблем с интерпретацией характера функции Bcr() не возникает. Чем больше h по абсолютной величине, тем меньше дифференциация в относительных значениях критических доходов, а это - свидетельство все меньшей расположенности инвестора к риску. Отсюда и снижение относительного дохода оптимального портфеля, вплоть до уровня rrf.

Рассмотрим теперь случай h > 0. Начальное возрастание h от нулевого уровня свидетельствует о росте расположенности инвестора к риску, так как помимо того, что увеличивается относительная дифференциация случайных доходов, инвестор допускает и отрицательные доходы. Формально этот аргумент является действенным вплоть до значения h = h1.

Отрицательные значения доходность ropt приобретает на интервале (h1, h2) вследствие того, что становится отрицательным объем инвестированных средств, необходимых для реализации ограничений (15). Можно с уверенностью сказать, что при подобных h это целиком связано с занижением инвестором своих потребностей в форме критических доходов.

Однако если инвестор для исходов значительной суммарной вероятностной меры задает в качестве критических доходов отрицательные значения, не компенсируя это достаточным увеличением положительной компоненты случайного дохода, то это уже вызывает сомнения в здравом рассудке инвестора. Поэтому представляется, что уже несколько раньше достижения уровня h = h1 отрицательные эффекты начинают преобладать над положительными и соответствующий выбор теряет здравый смысл.

Все, что касается случая h > h1, как нам представляется, действительно имеет лишь чисто теоретический интерес. Хотя и в этом случае все результаты совершенно четко укладываются в развитые теоретические конструкции и им можно придать теоретическое значение, но никакого здравого финансового смысла в них обнаружить не удается.

В следующих примерах рассматривается приложение предложенной методики к реальным объектам. В качестве таковых приводятся примеры рулетки, опционного рынка и рынка облигаций.

5. Оптимальная ставка при игре в рулетку

Рассмотрим игру в рулетку, когда игрок, от лица которого ведется исследования, имеет свой взгляд на ее вероятностные свойства. Подробное описание обобщенной игры в рулетку и ее связь с рынком опционов можно найти в [1]. Напомним лишь, что для простоты у рулетки отсутствует ячейка "зеро". Пример интересен тем, что к нему в чистом виде применима предлагаемая методика. Рулетка по существу является дискретным объектом, и потому выбор вероятностного пространства не составляет проблемы. В этом отношении методика для рассматриваемой задачи не является приближенной. Однако остается произвол в трактовке рисковых предпочтений игрока, так как неизбежна трансформация непрерывной функции критических доходов, дающей точное описание отношения игрока к риску, в ступенчатую функцию, отражающую это отношение лишь приближенно.

Пример рулетки очень прост еще и в том, что для него элементарные инструменты можно отождествить с базисными. Действительно, в качестве элементарных инструментов можно рассмотреть выбор игроком одной из n ячеек, на которую он делает ставку. Разумеется, мы будем рассматривать и множество других инструментов, представляющих сложные ставки, например, на "красное". Однако, чтобы матрица Y не была вырожденной, их уместнее интерпретировать портфелями элементарных инструментов.

Доход по этим элементарным инструментам определим очевидным образом: при ставке на ячейку j суммы 1/n игрок получает доход 1 при остановке рулетки в позиции j и нулевой доход в противном случае. Очевидно, что эти n инструментов одновременно являются и базисными инструментами. И потому Y = E, а вектор их рыночных цен имеет размерность n и равен

m = (1, 1, …, 1)/n.

В этом векторе находит отражение точка зрения казино, что все ячейки равноправны и шарик останавливается в них с равными шансами. Очевидно, что в нашем случае c = m.

Предположим теперь, что игрок, изучивший статистические свойства рулетки, думает иначе. Например, он полагает (оценивает по историческим рядам), что вероятность остановки рулетки в ячейке 13 наибольшая и равна 1.09, а в противоположной ячейке 31 - наименьшая и равна 0.91. В промежуточных ячейках вероятность изменяется по линейному закону. Иными словами, прогноз инвестора задается вектором

d = (0.97, 0.98, 0.99, 1.00, 1.01, 1.02, 1.03, 1.04, 1.05,

1.06, 1.07, 1.08, 1.09, 1.08, 1.07, 1.06, 1.05, 1.04,

1.03, 1.02, 1.01, 1.00, 0.99, 0.98, 0.97, 0.96, 0.95,

...