Многоступенчатый критерий VAR на произвольном однопериодном рынке

0.94, 0.93, 0.92, 0.91, 0.92, 0.93, 0.94, 0.95, 0.96)/36.

Деля компоненты вектора c на соответствующие компоненты вектора d, находим вектор отношения правдоподобия, который в виду своей громоздкости мы здесь не приводим. Но очевидно, что должно быть (приводим один из возможных вариантов)

= (31, 32, 30, 33, 29, 34, 28, 35, 27, 36, 26, 25, 1, 24, 2, 23, 3, 22,

4, 21, 5, 20, 6, 19, 7, 18, 8, 17, 9, 16, 10, 15, 11, 14, 12, 13).

Рассмотрим функцию предпочтения игрока в виде

Bcr() = , [0,1], (47)

и проведем расчеты для игроков трех типов: весьма расположенного к риску ( = 4), умеренно относящегося к риску ( = 1) и весьма не расположенного к риску ( = 0.25). Отметим, что для всех трех вариантов задачи, очевидно, rrf = 1). Решение задачи в каждом случае проводится по стандартной процедуре. При = 4 получаем структуру оптимальной ставки игрока - его игрового портфеля (с точностью до трех знаков после запятой)

g = (0.013, 0.024, 0.041, 0.065, 0.099, 0.146, 0.208, 0.289, 0.392,

0.523, 0.685, 0.884, 1.000, 0.780, 0.600, 0.454, 0.338, 0.246,

0.175, 0.121, 0.081, 0.052, 0.038, 0.018, 0.010, 0.007, 0.003,

0.001, 0.000, 0.000, 0.000, 0.000, 0.000, 0.000, 0.000, 0.000).

Как видим, наибольший вес приписывается ставке на 13-ю ячейку, а ставкам на "противоположные" ячейки (окрестность 31-й ячейки) приписываются пренебрежимо малые веса. Финансовые результаты такой стратегии:

|g| = 0.202589, Ropt = 0.214952, ropt = 1.06102.

Интересно еще отметить, что при увеличении разброса вероятностей, которые игрок в своем прогнозе приписывает ячейкам, в два раза (в частности, для 13-й ячейки вероятность положить равной 1.18, а для 31-й - 0.82), доходность его оптимальной стратегии возрастает также чуть более чем в два раза, поскольку в этом случае ropt = 1.12463.

При = 0.25 структура оптимальной ставки игрока качественно иная:

g = (0.764, 0.793, 0.819, 0.843, 0.866, 0.887, 0.907, 0.925, 0.943,

0.960, 0.977, 0.992, 1.000, 0.985, 0.969, 0.952, 0.934, 0.916,

0.897, 0.876, 0.855, 0.831, 0.806, 0.779, 0.748, 0.732, 0.695,

0.652, 0.598, 0.526, 0.399, 0.475, 0.565, 0.627, 0.674, 0.714).

Здесь уже различие весов не столь существенно, так как игрок не готов подвергать себя значительному риску. Этот инструмент довольно "близок" к безрисковому. Поэтому и финансовые результаты этой "консервативной" стратегии не впечатляют:

|g| = 0.802158, Ropt = 0.809929, ropt = 1.00969.

Стратегия игрока при = 1 занимает промежуточное положение между двумя приведенными выше. Для нее

|g| = 0.498866, Ropt = 0.513927, ropt = 1.03019.

Эффект очевиден - с ростом расположенности к риску растет и средний относительный доход игрока.

В качестве дополнения к нашему примеру рассмотрим игру в рулетку игрока, рисковые предпочтения которого зависят от масштаба ставок (см. обсуждение в конце разд. 2). Мы имеем в виду, что их функциональное представление претерпевает существенные изменения при изменении масштаба ставки. Для определенности будем иметь дело с умеренно (в целом) относящимся к риску игроком. Вместо (47) зададим функцию критических доходов, например, в виде

Bcr() = 1/, [0,1].

Понятно, что в таком представлении параметр уже не может играть роль чисто масштабного множителя. С ростом размер инвестиции растет, и это сопровождается снижением расположенности игрока к риску. В соответствии с упомянутым обсуждением мы должны зафиксировать инвестиционную сумму A. Задача состоит в нахождении такого значения параметра , при котором A = |g|. Как показывает пример данного раздела в последнем рассмотренном случае = 1, он дает приближенное решение формулируемой нами сейчас задачи при A = 0.5.

Расчеты проведем для двух новых вариантов значений параметра A. Сначала рассмотрим случай A = 3.0. Для приближенного нахождения искомого параметра воспользуемся идеями дихотомии и метода Ньютона, начиная с двух крайних значений = 1.00 и = 5.00. Результаты вычислений приводятся в таблице:

Таблица 2

	1.00	5.00	3.00	4.00	3.75	3.80	3.78
|g|	0.499	4.178	2.255	3.209	2.968	3.017	2.997
ropt	1.030	1.008	1.013	1.010	1.010	1.010	1.010

Как видим, с достаточно высокой точностью решение задачи (выполнение равенства A = |g|) дается параметром = 3.78. При таких ставках (порядка 3.00) наш игрок походит на весьма не расположенного к риску игрока, и доходность оптимальной для него ставки равна 1.010. Такое решение приближенно соответствует (47) при = 1/3.78 = 0.26, что согласуется с представлением об игроке как весьма консервативном.

Если игрок располагает значительно меньшей суммой - A = 0.1, то стиль его поведения будет иным. Реализуя комбинацию процедур дихотомии и метода Ньютона с крайними значениями = 1.00 и = 0.20, придем к таблице:

Таблица 3

	1.00	0.20	0.60	0.40	0.36	0.38	0.37
|g|	0.499	0.034	0.224	0.114	0.096	0.105	0.100
ropt	1.030	1.065	1.042	1.051	1.053	1.052	1.053

Из нее следует, что приближенно = 0.37. При таких ставках (порядка 0.1) наш игрок напоминает уже довольно расположенного к риску игрока, и доходность оптимальной для него ставки равна 1.053. Такое решение приближенно соответствует (47) при = 1/0.37 = 2.70, что согласуется с представлением об игроке как достаточно агрессивном.

5. Управление портфелем однопериодных опционов и задачи хеджирования

Рассмотрим приложение предложенной модели к рынку опционов с традиционно рассматриваемыми на нем задачами (см., например, [12]). Найдем оптимальные портфели инвестора в двух случаях: когда он полагает, что рынок будет более волатильным, чем об этом говорят опционные цены, и когда - менее волатильным. Для простоты рассмотрим однопериодный рынок, на котором котируются 10 опционов типа колл. Различаются они страйками, следующими друг за другом на равных расстояниях. В соответствии с платежной функцией опционов зададим матрицу доходов в виде

,

а цены инструментов - вектором

m = (0.524, 0.429, 0.343, 0.267, 0.2, 0.143, 0.095, 0.057, 0.029, 0.010).

В этих цифрах отражено свойство убывания цен опционов колл при возрастании страйка, однако точные значения этих цен мы вновь получаем, решая обратную задачу, из условия, чтобы все компоненты вектора c были равны между собой. Разумеется, в реальности ситуация на рынке может оказаться сложнее, но ее при необходимости также не сложно смоделировать.

Имеем

c = 2/21 (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1).

Рассмотрим два варианта прогноза инвестора. В первом случае положим

d = (0.08, 0.09, 0.10, 0.11, 0.12, 0.11, 0.10, 0.09, 0.08, 0.07)/0.95.

Поскольку инвестор приписывает средним значениям рассматриваемого интервала сценариев (страйков) вероятности, превышающие наведенные, то это значит, что он рассчитывает на меньшую волатильность рынка.

Образуем вектор отношения правдоподобия (без нормировки):

l = (1.131, 1.006, 0.905, 0.823, 0.754, 0.823, 0.905, 1.006, 1.131, 1.292),

из вида которого следует, что отображение преобразует множество I (в его изначальном порядке) в вектор (10, 1, 9, 2, 8, 3, 7, 4, 6, 5). Матрицу , которая теперь строится очевидным образом, мы здесь не приводим.

Вектор предпочтений инвестора b будет строиться на основе функции критических доходов

Bcr() = 4, [0,1], (48)

отвечающей весьма расположенному к риску инвестору.

В результате проведения стандартной процедуры получаем

= (0.074, 0.158, 0.242, 0.337, 0.432, 0.537, 0.642, 0.758, 0.874, 1.0),

b = 10-5 (3, 62, 343, 1287, 3469, 8306, 16999, 32944, 58266, 10000),

и мы получаем окончательное решение задачи:

g=10-3 (6, 116, 579, 1767, 4231, -10874, 47, 2774, 1040, 278),

|g| = 0.211172, Ropt = 0.263473, ropt = 1.24767,

притом, что rrf = 1.05.

Теперь рассмотрим второй случай, отличающийся от предыдущего лишь прогнозом инвестора. Он считает, что рынок более волатильный, чем это отражено в наведенных вероятностях, задаваемых нормированным вектором c.

Допустим, что его прогноз описывается вектором

d = (0.11, 0.10, 0.09, 0.08, 0.07, 0.08, 0.09, 0.10, 0.11, 0.12)/0.95.

В этом представлении о расчете инвестора на большую волатильность рынка говорят сниженные по сравнению с наведенными вероятности, приписываемые им средним значениям рассматриваемого интервала сценариев (страйков) в пользу крайних сценариев.

Образуем вектор отношения правдоподобия (без нормировки):

l = (0.823, 0.905, 1.006, 1.131, 1.292, 1.131, 1.006, 0.905, 0.823, 0.754),

из чего следует, что отображение преобразует множество I (в его изначальном порядке) в вектор (5, 6, 4, 7, 3, 8, 2, 9, 1, 10).

Допустим, что инвестор в этом втором случае точно так же относится к риску, как и инвестор в первом случае, т.е. ему отвечает та же функция критических доходов. Поэтому векторы и b не изменяются. Итак, во всей задаче новым становится лишь отображение . Но этого достаточно, чтобы изменился оптимальный опционный портфель инвестора. В результате проведения стандартных вычислений получаем, что

g = 10-3 (5827, -9953, 2774, 1040, 279, 40, 117, 579, 1767, 4232),

но при этом доходность портфеля остается прежней (что, правда, не должно вызывать удивления):

|g| = 0.211172, Ropt = 0.263473, ropt = 1.24767.

Отметим еще, что при проведении вычислительных экспериментов размерность задачи без труда увеличивалась многократно. Однако в силу громоздкости получаемых конструкций мы здесь ограничиваемся случаем n = 10.

Задачи хеджирования на опционном рынке принципиально не отличаются от обычных задач управления портфелем опционов, примеры которых были приведены выше. Качественное различие может проявиться только в выборе функции критических доходов. Под хеджированием обычно понимают снижение одностороннего риска. Поэтому можно, например, рассмотреть вместо (48) функцию вида

Bcr() = a + h, [0,1],(49)

где h (>0) характеризует критический уровень дохода, ниже которого доход инвестора не должен быть ни при каких обозримых обстоятельствах, иными словами, с вероятностью 1. Разумеется, инвестору такое хеджирование будет чего-то стоить (по сравнению с задачей с функцией (48)), и эта стоимость выразится в снижении доходности инвестиции ровно так же, как это было продемонстрировано при проведении анализа в примере 3 разд. 4. Реализуем эту идею при расчете параметров оптимального портфеля в случае, когда рынок и прогноз инвестора прежние, а рисковые предпочтения инвестора описываются функцией

Bcr() = 4 + h, [0,1], (50)

где параметру h припишем, например, значения 0.2 и 0.5.

Выше нами было получено решение задачи при h = 0.

В случае хеджирования при h = 0.2 структура оптимального портфеля будет задаваться вектором

g = 10-3 (7827, -11953, 2774, 1040, 279, 40, 117, 579, 1767, 4232),

а его параметры:

|g| = 0.401648, Ropt = 0.463473, ropt = 1.15393.

Если же h = 0.5, то

g = 10-3 (10827, -14953, 2774, 1040, 279, 40, 117, 579, 1767, 4232),

|g| = 0.687363, Ropt = 0.763473, ropt = 1.11073.

Очевидно снижение доходности портфеля с ростом параметра h. Кроме того, нетрудно видеть, что изменения в структуре оптимального портфеля касаются первых двух инструментов, а именно при добавлении в функцию (48) параметра h вес первого инструмента увеличивается на h , а второго - уменьшается на h. Но это вполне объяснимо: в соответствии с матрицей доходовY рассматриваемого рынка комбинация единицы длинного первого элементарного инструмента и единицы короткого второго, т.е. простейшего опционного спрэда "быка", на нашем выделенном пространстве сценариев означает не что иное как единичный безрисковый инструмент, обеспечивающий необходимое хеджирование. В соответствии с этим и полученные нами оптимальные инструменты отличаются друг от друга как раз на нужное количество этих спрэдов "быка".

Хотя подобные расчеты и вписываются в общую схему нахождения оптимального портфеля, но они не вполне отвечают духу задачи хеджирования портфеля инвестора.

В ней обычно требуется, чтобы с вероятностью 1 потери инвестора не превышали заданной доли от инвестиционной суммы. Как следует из представления (50), формально это сводится к определению такого значения h, при котором для заданного инвестором значения параметра < 1 выполнялось бы соотношение

|g| = h. (51)

Для решения задачи хеджирования в такой форме проведем серию расчетов, аналогичных проделанным выше, полагая, например, = 0.8 (т.е. инвестор не желает нести убытки, превышающие 20% от инвестиционной суммы). Из полученных на данный момент результатов можно видеть, что искомый параметр h должен превосходить 0.5, так как при h = 0.5 отношение h/|g| < 0.8, а оно, как нетрудно понять, с ростом h возрастает. Поэтому, задаваясь для h начальными значениями 0.5 и 1.0 и руководствуясь идеями дихотомии и метода Ньютона, можно быстро нащупать искомое значение параметра h, например, с точностью 0.01. Результаты расчетов представлены в таблице:

Таблица 4

h	0.50	1.00	0.75	0.70	0.71
|g|	0.687	1.163	0.925	0.878	0.887
h/|g|	0.727	0.859	0.810	0.797	0.800
ropt	1.111	1.086	1.095	1.098	1.097

Таким образом, в нашей задаче хеджирования выполнение условия (51) (с точностью до 0.001) обеспечивается выбором h = 0.71. В этом случае инвестиционная сумма будет равна |g| = 0.887 и потому с высокой степенью точности h/|g| = 0.8.

Могло бы показаться, что подобное хеджирование с использованием параметра h в какой-то степени противоречит проповедуемой нами идеологии, отраженной в исходной постановке задачи, так как инвестор для выработки своих предпочтений организует диалоговый режим. Однако можно заметить, что результат такого диалога фактически означает, что для описания рисковых предпочтений инвестора вместо соотношения (50) используется равенство (49), в котором параметр h фиксируется на уровне 0.8, а параметр a остается свободным, подлежащим выбору из условия равенства инвестиционной суммы 1, т.е. |g| = 1. Но эта задача уже вписывается в общую схему.

5. Оптимальное поведение инвестора на рынке облигаций

Рассмотрим очень простую версию рынка облигаций, на котором обращаются всего две облигации с разными купонами, и инвестора, желающего инвестировать на этом рынке и имеющего собственные представления о будущей динамике процентных ставок. Известно, что доходность к погашению зависит от купона и эта зависимость обусловлена рыночным прогнозом будущих процентных ставок (см., например, [10]). Поэтому, если рынок выстраивает свои цены, основывая свои предпочтения лишь на соображениях доходности к погашению, то инвестор, владеющий собственным прогнозом будущей динамики процентных ставок, может этим воспользоваться. Попробуем смоделировать эту ситуацию.

Итак, на рынке обращаются 2 облигации, и на нем функционирует инвестор с двухпериодным инвестиционным горизонтом (длиной в год). Для него каждая облигация определяется единственным параметром - величиной купона. Положим, что купонные платежи по облигациям осуществляются дважды в год в размере 2% и 8% от номинала соответственно (в годовом исчислении размер купона в два раза выше). Для инвестора рынок двухпериодный и на нем действуют две ставки: сегодняшняя 0 на ближайшие полгода, которая известна, и форвардная - также на полгода, но она начинает действовать через полгода. Форвардная ставка неизвестна, и именно относительно нее инвестор строит собственные прогнозы (как правило, вероятностные).

В соответствии с нашей моделью во множестве значений будущей процентной ставки выбираем 2 характерных элемента - сценария, - которым инвестор приписывает конкретные вероятности. Именно будем считать, что возможными значениями форвардной ставки являются 4% и 6%, притом, что текущая полугодовая ставка 0 = 5%.

Таким образом, I = {1, 2}. Реальный доход от облигации носит случайный характер и определяется ставкой реинвестирования - форвардной процентной ставкой (сценарием).

Для облигации с номиналом Fi, купоном Ci и форвардной ставкой j доход в конце 2-го периода составляет (доход от первого купона реально будет реинвестироваться по форвардной ставке j)

yij = Ci (1+j) + Ci + Fi.

В принятых предположениях по этой формуле легко рассчитывается матрица доходов

. (52)

Цены инструментов получаются из следующих соображений.

Будем предполагать, что рынок в среднем оценивает будущую доходность на уровне сегодняшней, равной 0 = 5% - при таком предположении доходность к погашению одинакова для обеих бумаг.

Тогда цена mi облигации i с купоном Ci на двухпериодном рынке должна рассчитываться по формуле

mi = Ci/(1+0) + (Ci + Fi.)/(1+0)2. (53)

В этом задании цен инструментов для нас важно не то, что рынок приписывает инструментам цены на основании, быть может, неверно оцениваемой будущей процентной ставки, а то, что доходность одна и та же для обеих облигаций, хотя у них сильно различающиеся купоны.

Проведя расчеты, получим

m = (94.422, 105.578),

а затем и вектор цен базисных инструментов

c = (0.4535, 0.4535).

Таким образом, в рыночных ценах инструментов зашифрована естественная зависимость от доходности, но эта доходность одна и та же для обоих инструментов.

Однако доходность не является адекватной мерой справедливой стоимости облигации, так как не учитывается ее зависимость от величины купона. В распоряжении инвестора остается зависимость дохода по инструменту от форвардной ставки процента (формула (52)) и его собственный прогноз форвардной ставки.

Этим ему и необходимо воспользоваться.

Допустим сначала, что инвестор прогнозирует рост (в среднем) процентных ставок в будущем. Можно считать, что этому представлению инвестора отвечает, например, вектор

d = (0.4, 0.6).

Образуем вектор отношения правдоподобия (без нормировки):

l = (1.1338, 0.7559).

Из него следует, что отображение множества I (в его изначальном порядке) на себя является тождественным и матрица - единичная.

Для построения вектора предпочтений инвестора в качестве функции критических доходов рассмотрим

Bcr() = 2, [0,1].(54)

Применение стандартной процедуры дает

= (0.4, 1.0),

b = (0,16, 1.0),

и оптимальное решение задачи (портфель из двух облигаций и его доходность) приобретает вид:

g = (-8.140, 7.285).

Для него

|g| = 0.526077, Ropt = 0.664, ropt = 1.26217,

притом, что rrf = 1.1025.

Если рассмотреть вариант этой же задачи с вектором

d = (0.6, 0.4),

свидетельствующим о том, что инвестор склонен прогнозировать снижение в будущем (в среднем) процентных ставок, а остальные параметры задачи оставить без изменения, то оптимальный портфель приобретает вид (при этом преобразование изменяет порядок элементов во множестве I на обратный)

g = (8.156, -7.289).

т.е. практически в портфеле короткая и длинная компоненты позиции меняются ролями. Все прочие финансовые показатели - |g|, Ropt и ropt - остаются без изменения.

Отметим, что потенциал предлагаемой модели в рассмотренном в данном примере случае выглядит несколько обедненным, так как он, фактически, имеет дело с традиционным критерием VaR, когда из всего многообразия возможных значений дохода инвестора остается всего два. В пользу его включения в текст работы можно сослаться на то, что такой случай имеет смысл рассматривать хотя бы из методологических соображений как еще один пример, на который модель может быть распространена.

К сожалению, рассмотрению рынка с большим количеством облигаций препятствует плохая обусловленность матрицы Y, не позволяющая достаточно точно вычислять обратную к ней матрицу. Это вызвано тем, что рынок облигаций в нашей упрощенной модели довольно однороден. Если рассматривать несколько бумаг с близкими значениями купонного дохода, то в матрице доходов Y соседние строки оказываются почти пропорциональными друг другу, т.е. между ними существует почти линейная зависимость, и в результате определитель матрицы близок к нулю. Поэтому построить базисные инструменты с достаточной точностью не удается. Разумеется, если рассматривать более сложную схему, чем строго двухпериодную, то этого эффекта, полагаем, можно избежать. Правда, при этом теряется простота и наглядность иллюстративного примера.

Литература

Агасандян Г.А. Финансовая инженерия и критерий допустимых потерь (VaR). М.: ВЦ РАН, 2001. 34 с.

Агасандян Г.А. Многоступенчатый критерий VaR на реальном рынке опционов. М.: ВЦ РАН, 2002. 35 с.

Agasandian G.A. Optimal Behavior of an Investor in Option Market // International Joint Conference on Neural Networks. The 2002 IEEE World Congress on Computational Intelligence (Honolulu, Hawaii, Mai 12-17, 2002). Pp. 1859-1864.

Агасандян Г.А. Описание поведения инвестора на многопериодном рынке опционов. М.: ВЦ РАН, 2003. 29 с.

Агасандян Г.А. Применение инвесторами методов финансовой инженерии на рынке опционов //Современные сложные системы управления (сссу/htcs` 2003). Третья международная конференция. Доклады. Воронеж, 26-28 мая 2003 г. 6 с.

Агасандян Г.А. Принцип минимума дохода для инвестора рынка опционов. М.: ВЦ РАН, 2004. 51 с.

Агасандян Г.А. Финансовая инженерия и континуальный критерий VaR на рынке опционов //Экономика и математические методы, 2005. 22 с.

Агасандян Г.А. Новый подход к управлению портфелем ценных бумаг. Современные сложные системы управления (СССУ / HTCS` 2004). Четвертая международная конференция. Доклады. Тверь, 24-25 мая 2004г., стр.8-10.

Agasandian G.A. A portfolio management approach based on continuous VaR-criterion //4-я Московская международная конференция по исследованию операций (ORM2004) (Москва, Сентябрь, 21-24, 2004) Труды. МАКС Пресс, стр. 4-9.

Рей К.И. Рынок облигаций. Торговля и управление рисками. М.: Дело, 1999. 600 с.

Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Наука, 1975.

Макмиллан Л.Г. Опционы как стратегическое инвестирование. 3-е издание. М.: Издательский дом "ЕВРО", 2003. 1225 с.

Размещено на Allbest.ru

...