Моделювання динаміки фондових індексів

Размещено на http://www.allbest.ru//

Міністерство освіти і науки України

Одеський національний політехнічний університет

Навчально-науковий інститут бізнесу, економіки та інформаційних технологій

Кафедра економічної кібернетики та інформаційних технологій

КВАЛІФІКАЦІЙНА РОБОТА МАГІСТРА

Моделювання динаміки фондових індексів

Дубенчук Юлія Олегівна

Керівник:

Андрієнко Валентина Михайлівна,

к.е.н., доцент

Одеса - 2019

АНОТАЦІЯ

ДУБЕНЧУК ЮЛІЯ ОЛЕГІВНА. МОДЕЛЮВАННЯ ДИНАМІКИ ФОНДОВИХ ІНДЕКСІВ.

Кваліфікаційна робота присвячена вивченню закономірностей динаміки світових фондових індексів та побудові адекватної авторегресійної математичної моделі для даних індексів.

Аналіз часових рядів показав, що всі індекси мають тренди різного типу, а детрендовані ряди є стаціонарними. Отримані результати можуть бути використані інвестиційними компаніями, приватними інвесторами, аналітиками фондових ринків, а також трейдерами як самостійними так і в компанії.

КЛЮЧОВІ СЛОВА: ФОНДОВИЙ ІНДЕКС, ЧАСОВИЙ РЯД, МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ, АВТОРЕГРЕСІЯ, СТАЦІОНАРНИЙ І НЕСТАЦІОНАРНИЙ ПРОЦЕС, ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНІСТЬ.

Робота викладена на 109 сторінках, містить 9 таблиць, 56 рисунків, 102 найменування літературних джерел, 2 додатка.

SUMMARY

DUBENCHUK YULIIA OLEGIVNA. MODELING THE DYNAMICS OF STOCK INDICES.

The qualifying work is devoted to the study of the laws of the dynamics of world stock indices and the construction of an adequate autoregressive mathematical model for these indices.

The analysis of time series showed that all indices have trends of different types, and the detranted series are stationary. The results obtained can be used by investment companies, private investors, stock market analysts, as well as traders as independent companies.

KEYWORDS: STOCK INDEX, TIME SERIES, MATHEMATICAL MODEL, AUTORREGREENCE, STATE AND NON-STATIONARY PROCESS, HETEROSCEDISTICITY.

Work is presented on 109 pages, contains 9 of table, 56 of figures, 102 of the designations of literary sources, 2 of application.

ВСТУП

Актуальність дослідження.

Фондовий ринок, будучи однією зі складових ринкової економіки, має можливості через свої механізми мобілізувати інвестиційні ресурси з метою економічного зростання, розвитку науково-технічного прогресу, інноваційної діяльності, освоєння нових виробництв. Беручи рішення про інвестиції, фінансовий менеджер постійно оцінює поведінку в майбутньому, як окремих фінансових активів, так і ринку в цілому. Саме тому вивчення процесів на фондовому ринку досить актуально. Всебічний аналіз і побудова на його основі математичних моделей, що дозволяють краще зрозуміти структуру і поведінку фондового ринку, є головними складовими досліджень в даній галузі.

Показником стану і динаміки ринку є фондовий індекс. Через зіставлення поточного значення індексу з його попередніми значеннями можна оцінити поведінку ринку, його реакцію на ті чи інші зміни, події і процеси. Тому фондові індекси є одним з основних інструментів аналізу поточної ситуації на фондовому ринку і в економіці країни. З їх допомогою відслідковуються зміни на ринку цінних паперів, визначаються успішність обраних інвестиційних стратегій, прибутковість портфелів інвестицій, тенденції та прогнози розвитку фондового ринку.

Слабкою стороною фондового ринку є його гостра схильність не тільки до економічних, але й до політичних потрясінь. Всі операції з цінними паперами завжди сполучені з ризиком. Приймаючи рішення про інвестиції, фінансовий менеджер постійно оцінює поведінку в майбутньому, як окремих фінансових активів, так і ринку в цілому. Учаснику ринку потрібно хоча б приблизно представляти картину майбутнього. Саме тому на перший план висувається задача оцінки стану і тенденції розвитку ситуацій на фондовому ринку. З цією метою вся поточна і минула фінансова інформація ретельно аналізується за допомогою методів фінансового аналізу. Це дає розуміння минулого і поточного стану фінансового ринку. Проте яким би детальним не було це розуміння, прогнози, складені тільки на такого роду аналізі, не можуть служити надійнoю основою для прийняття рішень про інвестування. У цьому зв'язку, побудова математичних моделей, що дозволяють краще зрозуміти структуру та поведінку ринку як єдиного цілого, так і його складових, довгий час привертала і продовжує привертати увагу дослідників і практиків. Ці моделі важливі і для інвесторів, які цікавляться можливістю прогнозування поведінки цін фінансових активів, і для регулюючих органів, яких цікавить можливість впливу на ринок так, щоб він найкращим чином відповідав цілям розвитку економіки.

Проблема моделювання динаміки фондових ринків та їх прогнозування є досить складною, і її не можна назвати вирішеною. У різних розділах сучасної фінансової математики та фінансової інженерії поширені різні погляди і підходи до зазначеної проблеми.

Значний внесок у розробки моделей динаміки фондових ринків зробили зарубіжні вчені У. Шарп, Г. Дж. Александер, Т. Болерслев, Д. Сорнетте, Дж. Бокс, Д. Бріллінджер, Л. Дж. Гітман, Е. Петерс. Серед вітчизняних вчених значну увагу аналізу і моделюванню фінансових систем взагалі та фондових ринків зокрема приділяють Н. Максишко, В. Н. Соловйов, В. М. Андрієнко, О. В. Піскун та інші.

Але моделювання динаміки фондових індексів розглянуто не достатньо і потребує додаткових досліджень.

Об'єкт дослідження - динаміка фондових індексів світових фондових ринків.

Предмет дослідження - авторегресійні математичні моделі динаміки фондових індексів.

Методи дослідження - аналітичний, графічний, експериментальний, емпіричний, математичне моделювання.

Метою роботи є побудова адекватної авторегресійної математичної моделі динаміки фондових індексів для світових фондових ринків.

Цій меті відповідають такі дослідницькі завдання:

провести аналітичний огляд існуючих моделей стаціонарних і нестаціонарних процесів;

освоїти методи приведення нестаціонарного процесу до стаціонарного;

провести аналіз структури статистичних рядів світових фондових індексів;

побудувати адекватні авторегресійні моделі;

провести порівняний аналіз одержаних моделей.

Наукова новизна роботи полягає в отриманні закономірностей динаміки світових фондових індексів.

Апробація: результати дослідження презентувалися на міжнародній науково-практичній конференції «Стабільність національної економіки: проблеми та шляхи забезпечення» [16].

Інформаційна база: емпіричні значення фондових індексів.

У першому розділі розглянуті основні теоретичні аспекти фондового ринку, а саме увага приділяється огляду фондових індексів та методів їх розрахунку.

У другому розділі наведено аналітичний огляд найбільш значущих методів і моделей динаміки фондових індексів та проведено аналіз структури статистичних рядів фондових індексів.

Третій розділ представляє собою практичну частину дипломної роботи. Побудовано моделі фондових індексів різних країн та на їх основі проведено оцінювання якості моделей по статистичним критеріям.

Отримані результати дослідження можуть бути практично застосовані для аналізу і прогнозування динаміки індексів DAX, DJ, CAC та PP, що дозволяє оцінювати ситуацію на відповідних фондових ринках.

РОЗДІЛ 1.ОПИС ОБ'ЄКТА ДОСЛІДЖЕННЯ

1.1 Індекси фондового ринку. Загальний огляд

Фондовий ринок на сьогодні є вагомою частиною економічного розвитку та фінансового сектору економіки країни. Основними індикаторами розвитку фондового ринку є індекси, що розраховуються на підставі котирувань певної групи цінних паперів. Однією з найважливіших цілей створення міжнародних фондових індексів є формування відповідної інформації для прийняття інвестиційних рішень міжнародними інвесторами. Індекси можуть створювати як фондові біржі, так і компанії, що аналізують ринок: торговці цінними паперами, інформаційні агентства та ін. Залежно від того, які компоненти містить індекс, він може відображати поведінку певної групи акцій або всього фондового ринку. Кожний з таких показників має своє позначення - абревіатуру, що складається з латинських букв і арабських цифр. Щоб зрозуміти, чому при падінні значень одних індексів може спостерігатися зростання інших, необхідно знати, на підставі котирувань яких акцій або похідних інструментів розраховується кожний з них. При цьому для інвестора важливе не саме значення індексу, а лише його зміна, оскільки вона дозволяє оцінити напрям руху ринку (зростання або падіння). Індекс фондового ринку є свого роду вимірювальним інструментом, що дозволяє інвесторові виносити судження про стан ринку в цілому. Побудувати індекс можна різними способами, тому одночасно можуть існувати декілька індексів одного і того ж ринку. Це дозволяє оцінювати ринок з декількох точок зору, що розрізняються (рис. 1.1).

Індекси США. Індекс Доу-Джонса (Dow Jones Industrial Average), виник в 1897 р., в нинішньому вигляді розраховується з 1928 р. [84]. Не дивлячись на назву "промисловий", в його склад нині входять три компанії сфери послуг і три банки. Розраховується як середня арифметична цін акцій 30 найбільших корпорацій. Як дільник використовується коефіцієнт, що враховує багатократне дроблення акцій (спліт) емітентами, що багато раз відбувалося з 1928 р., а не число компаній у вибірці. Розраховуються також транспортний індекс Доу-Джонса (20 акцій), комунальний індекс (15 акцій), композитний індекс Доу-Джонса (65 акцій) та ін.

Рисунок 1.1 - Показники фондових індексів станом на початок 2019 року

Найбільш споживаними серед професіоналів фондового ринку є індекси, що розраховуються рейтинговим агентством Standard&Poor's. Це індекси, зважені по ринкових капіталізаціях, і розраховані по 100 і 500 акціям найбільших корпорацій США. У сімейство входить також більше 90 галузевих індексів. Спільність методики розрахунку дозволяє легко зіставляти дані по різних секторах економіки. Розрахунок ведеться з 1941-1943 рр., початкова величина -10. Значення індексу Доу-Джонса за минулий рік показано на рис. 1.2.

Є ціле сімейство індексів Nasdaq. Якщо назва Nasdaq приводиться без розширення, мається на увазі індекс, складений в основному з компаній, що спеціалізуються на високих технологіях, - виробництву комп'ютерів, програмного забезпечення, і тому подібне, акції яких торгуються в системі електронної торгівлі Nasdaq.

Рисунок 1.2 - Значення індексу Доу-Джонса за період з 02.04.2018 по 21.02.2018

Значення індексу Nasdaq за період з 02.04.2018 по 21.02.2019 рр. показано на рисунку 1.3.

Рисунок 1.3 - Значення індексу Nasdaq за період з 02.04.2018 по 21.02.2019 рр.

Великобританія. FT-SE 30 Share Index, Financial Times Industrial Ordinary Share Index вперше почав публікуватися в 1935 р. Розраховується на основі курсів акцій 30 емітентів (промислових і торгових компаній). Цей індекс є геометричним середнім. FT-SE 100 - це найбільш поширений індекс Великобританії (виголошується "Футсі100"), що розраховується на базі 100 акцій. Відбір проводиться спеціальною комісією, до складу якої входять представники ряду професійних фінансових організацій, а також газети Financial Times. Індекс, зважений по ринковій капіталізації, розраховується з 3 січня 1984 р., початкове значення 1000. Компанії, що входять у вибірку, складають 70 % загальної капіталізації фондового ринку Великобританії. Індекс FT-SE Mid 250 характеризує стан ринку акцій середніх компаній з об'ємом капіталізації, що становить приблизно 20 % ринку Великобританії. Це 250 компаній, наступних після сотні найбільших, які потрапили в FT-SE 100. Розраховується з грудня 1985 р., початкове значення 100.

Значення індексу FT-SE 100 за період з 03.04.2018 по 22.02.2019 рр. показано на рисунку 1.4.

Рисунок 1.4 - Значення індексу FT-SE 100 за період з 03.04.2018 по 22.02.2019 рр.

Німеччина. Основним фондовим індексом в Німеччині є індекс DAX 30, що обчислюється по 30 акціям і зважений по капіталізації. За результатами торгів в електронній системі розраховується індекс Xetra DAX, він практично збігається з DAX 30, але електронна сесія довша, тому ціни закриття можуть істотно відрізнятися. Розраховуються також DAX 100 і композитний індекс CDAX по 320 акціям.

Значення індексу DAX за період з 03.04.2018 по 22.02.2019 рр. показано на рисунку 1.5.

Рисунок 1.5 - Значення індексу DAX за період з 03.04.2018 по 22.02.2019 рр.

Франція. Основними фондовими індексами у Франції є індекси САС 40 і САС General. САС 40 розраховується Паризькою біржею і Товариством французьких бірж по акціях 40 найбільших емітентів. За базу 1000 прийняте значення індексу на 31 грудня 1987 р. САС General обчислюється по акціях 250 емітентів.

Японія. Індекс Nikkei (Nikkei Dow Jones Average) підраховується на базі 225 акцій, що торгуються на Токійській фондовій біржі (ТФБ). Це середньоарифметичний індекс, що розраховується так само, як Dow Jones Industrial Average. Публікується з 1950 р. Індекс Topix розраховується з 1968 р. по всіх акціях, що торгуються на 1-ій секції ТФБ. Це класичний індекс, зважений по кількості випущених акцій.

Значення індексу Nikkei за період з 03.04.2018 по 22.02.2019 рр. показано на рисунку 1.6.

Рисунок 1.6 - Значення індексу Nikkei за період з 03.04.2018 по 22.02.2019 рр.

Канада. Індекс TSE 300 розраховується на Біржі Торонто. Це зважений по величині капіталізації індекс, акції яких котируються на біржі Торонто.

Представлено 14 секторів економіки. Базове значення індексу за станом на 1975 рік - 1000.

Мексика. Індекс IPC розраховується на Мексиканській фондовій біржі. Це зважений по величині капіталізації індекс, що розраховується на основі котирувань акцій 35 провідних мексиканських компаній. Список акцій, що включаються в розрахунок, змінюється кожні 2 місяці. Базове значення індексу за станом на 30 жовтня 1978 року - 0,78.

Бразилія. Індекс Bovespa розраховується на основі найбільш ліквідних акцій, що торгуються на Біржі Сан-Пауло. У період з 1985 р. по 1997 р. зменшення величини індексу в 10 разів відбувалося 10 раз через інфляцію, що бушувала в країні (до 2500 % в рік).

Гонконг. Індекс Hang Seng - зважений по капіталізації індекс, що розраховується на основі котирувань акцій 33 компаній, об'єм капіталізації яких на Гонконзькій фондовій біржі складає приблизно 70 %. До складу індексу входять компанії 4 секторів: комерція і виробництво, фінанси, комунальні послуги, земельна власність. Базове значення індексу за станом на 31 липня 1964 року - 100.

Росія. Індекси РТС і ММВБ. Індекс РТС (RTSI, RTS Index) фондовий індекс - основний індикатор фондового ринку Росії, розрахунок якого почався 1 вересня 1995 року з 100 пунктів Фондової біржі РТС. Розрахунок індексу РТС проводиться на основі 50 цінних паперів найбільш капіталізованих російських компаній. Індекс РТС відображає поточну сумарну ринкову капіталізацію (виражену в доларах США) акцій деякого списку емітентів у відносних одиницях. За 100 прийнята сумарна капіталізація цих емітентів на 1 вересня 1995 року. Таким чином, наприклад, значення індексу, рівне 2400 (середина 2008 року) означає, що за майже 13 років ринкова капіталізація (з перерахунком в долари США) компаній із списку РТС виросла в 24 рази. Кожний робочий день індекс РТС розраховується протягом торгівельної сесії при кожній зміні ціни інструменту, включеного в список для його розрахунку. Перше значення індексу є значенням відкриття, останнє значення індексу - значенням закриття. Список акцій для розрахунку індексів переглядається один раз на три місяці. Існують також (акції «другого ешелону») індекс РТС-2 і 7 галузевих індексів. Галузеві індекси РТС: Нафта і Газ (RTSog),Телекомунікації (RTStl), Метали і видобуток (RTSmm), Промисловість (RTSin), Споживчі товари і роздрібна торгівля (RTScr), Електроенергетика (RTSeu), Фінанси (RTSfn).

Значення індексу РТС за період з 03.04.2018 по 22.02.2019 рр. показано на рисунку 1.7.

Рисунок 1.7 - Значення індексу РТС за період з 03.04.2018 по 22.02.2019 рр.

Індекс ММВБ - ціновий, зважений по ринковій капіталізації композитний фондовий індекс, що включає 30 найбільш ліквідних акцій російських емітентів, що входять в лістинг Фондової біржі ММВБ (ФБ ММВБ). Індекс ММВБ є одним з основних індикаторів російського фондового ринку і розраховується з 22 вересня 1997 року (базове значення 100 пунктів). Індекс ММВБ розраховується як відношення сумарної ринкової капіталізації акцій, включених в базу розрахунку індексу, до сумарної ринкової капіталізації цих акцій на початкову дату, помножене на значення індексу на початкову дату. Значення індексу перераховується при здійсненні кожної операції на Фондовій біржі ММВБ з акціями, включеними в базу розрахунку індексу. У 2009 році для розрахунку індексу щодня використовується більше 450 тис. операцій на суму понад 60 млрд рублів., а сумарна капіталізація акцій, включених в базу розрахунку індексу ММВБ, складає більше 10 трлн рублів., що відповідає 80 % сукупної капіталізації емітентів, акції яких торгуються на біржі.

Польща. Варшавська фондова біржа - найбільша фондова біржа Східної та Центральної Європи. Варшавська фондова біржа зайняла друге місце в Європі за кількістю IPO в 2013 році (після Лондонської фондової біржі), згідно з даними IPO Watch Europe, опублікованого PricewaterhouseCoopers. Валюта торгів - злотий, євро. Біржеві індекси - WIG: всі зареєстровані на біржі компанії, WIG-20: 20 найбільших компаній.

Для зручності інвесторів було запроваджено біржові індекси - показники, на підставі яких можна оцінити ринкову ситуацію, не аналізуючи змін курсів окремих акцій. На ці показники впливають спади і зростання вартості акцій. Варшавська біржа публікує кілька індексів: WIG, WIG20, MIDWIG, WIRR, NIF. Індекс WIG обчислюють для всіх товариств, які котируються на основному ринку біржі, WIRR - на паралельному ринку, WIG20 - для 20 найбільших товариств, які котирувалися на основному ринку, а MIDWIG - для 40 середніх товариств з цього ринку. Індекс NIF обчислюється на основі курсів акцій п'ятнадцяти національних інвестиційних фондів.

Згідно з оцінкою журналу Euromoney, Варшавська фондова біржа (WSE) була названа кращим торговим майданчиком в Центральній і Східній Європі (ЦСЄ) в 2012 році, випередивши «колег» у Відні, Празі, Будапешті і т.д. За даними самої WSE, в 2012 році вона генерувала 54,2 % обсягу торгівлі акціями в ЦСЄ. Капіталізація акцій емітентів, що торгуються в Варшаві, становила 47,2 % від всього ринку регіону. Крім того, на частку цієї WSE довелося 77,4 % торгівлі ф'ючерсами на окремі акції і індексними ф'ючерсами, а також опціонами. Всі ці цифри свідчать про те, що за останні кілька років Варшавській біржі вдалося перетворитися в одну з найбільш сильних майданчиків в регіоні. На WSE торгуються акції таких, наприклад, російських емітентів, як VTB, Renaissance Capital і SIB, а також Exillon Energy Plc - компанія з нафтовими активами в Росії, розташованими в Західному Сибіру і в Тимано-Печорському регіоні.

На кінець липня 2013 року сумарна ринкова капіталізація власне польських компаній, акції яких котируються на Варшавській біржі, перебувала біля позначки $ 168 млрд, що становить приблизно 20 % ВВП країни, розрахованого за паритетом купівельної спроможності. Такий рівень співвідношення сумарної капіталізації національного фондового ринку до ВВП в цілому відповідає аналогічним показникам подібних ринків, що розвиваються. Сумарна ринкова капіталізація іноземних компаній - емітентів на Варшавській біржі на кінець червня 2013 року склала $ 69 млрд.

Ринкові індекси України. Індекс ПФТС (перша фондова торгівельна система), який розраховується на базі простих акцій підприємств, які пройшли лістинг в ПФТС. У перелік включені такі акції, по яких було зареєстровано найбільшу кількість двосторонніх угод, причому ціна двосторонньої угоди має бути не менше кращої ціни покупки і не більше кращої ціни продажу на момент введення звіту в систему. Індекс розраховується за рекурентною формулою (2.4) і визначає середній рівень найбільш ліквідних українських акцій, які мають найбільшу ринкову капіталізацію. Частина акцій компаній, які включаються в індекс і обертається на ринку, повинна перевищувати 10 % їх загального числа. Індекс ПФТС визнаний міжнародною фінансовою корпорацією (МФК) як єдиний індекс, що використовується цією організацією при моніторингу внутрішнього стану українського фондового ринку.

В Україні, окрім індексу ПФТС, існує ще ряд індексів. Наприклад, індекс UX розраховується в ході торгів на Українській біржі. Індекс розраховується в режимі реального часу, значення індексу публікуються кожні 15 секунд, а також транслюються всім учасникам торгів через біржовий термінал. Базовим періодом є 26 березня 2009 року - початок регулярних торгів. На цю дату значення індексу прийнято рівним 500. Індекс є зваженим по капіталізації з урахуванням вільних акцій. Індекс розраховується як відношення сумарної ринкової капіталізації цінних паперів «індексного кошика» (включених в список для розрахунку індексу), до сумарної ринкової капіталізації цих цінних паперів на дату базового періоду, помножене на значення індексу на початкову дату (500) і на поправочний коефіцієнт (в нині дорівнює одиниці). Склад «індексного кошика» визначається Індексним комітетом і складається не менше ніж з 10 найбільш ліквідних акцій українських компаній. Динаміку за останні півроку можна побачити нижче на рисунку 1.8:

Рисунок 1.8 - Динаміка фондових індексів ПФТС і UX

У відповідь на пропозицію Асоціації українських фондових торговців, Державна комісія з цінних паперів і фондового ринку ухвалила рішення відмовитися від проведення розрахунку інтегрального індексу фондового ринку (рішення 13 липня 2010 р.). Асоціація має намір рекомендувати впровадження уніфікованої методики розрахунку індексу фондового ринку для українських бірж з метою створення реального інструменту оцінки фондового ринку.

7 липня 2011 року орган змінив свою назву на сучасну ? Національну комісію з цінних паперів і фондового ринку. З 23 листопада 2011 року діє чинне Положення про НКЦПФР.

1.2 Методи розрахунку фондового індексу

Для правильної інтерпретації індексу необхідно розуміти методику його побудови. Наведемо основні положення, які визначають методику розрахунку індексу фондового ринку [27]:

1. Вибирається ринок. Як ринок зазвичай використовуються або окремо взяті торгівельні майданчики або системи, або сукупність цінних паперів, що обертаються (випущених) в якому-небудь регіоні (країні).

2. Проводиться відбір цінних паперів для включення в лістинг індексу. Відбору підлягають найбільш значимі для цього ринку цінні папери, які відображають його різноманіття (репрезентативність). При цьому зазвичай ведеться облік і інших параметрів, найважливішим з яких є ліквідність відібраних цінних паперів. Індекси біржових майданчиків або торгових систем зазвичай включають всі цінні папери, які беруть участь в торгівлі на цьому майданчику.

3. Вибираються інформаційні партнери, що поставляють необхідні для розрахунку індексу параметри. Зазвичай використовуються дані вибраних торгових майданчиків або дані інформаційних агентств по реальних операціях.

4. Визначається вплив вибраних цінних паперів на індекс. При цьому застосовується принцип пропорційності ринкової капіталізації, тобто цінний папір тим більше значить для ринку, чим вище його сумарна ринкова капіталізація, і навпаки.

5. Виконується безпосередньо розрахунок індексу. Індекси можуть розраховувати брокерські контори, консалтингові фірми і інформаційні агентства. Консалтингові і інформаційні компанії не мають прямої зацікавленості у впливу на ринок, тому в даний час найбільш широко використовувані індекси розраховуються саме такими організаціями, наприклад рейтинговим агентством Standard & Poor's в США або газетою Financial Times у Великобританії. Для розрахунку переважної більшості індексів ціни акцій беруться в національних валютах.

У загальному вигляді фондові індекси є середнім значенням цін певного набору цінних паперів. Момент або період часу, з яким відбувається порівняння, називається базисним. У базисний період ціни акцій, включених в той або інший індекс, для простоти розрахунків трансформуються так, щоб на цю дату індекс дорівнював 10, 100 або 1000. Не дивлячись на різноманітність фондових індикаторів, в основі їх розрахунків лежать три принципові методи розрахунків:

метод середньої арифметичної простої;

метод середньої геометричної;

метод середньої арифметичної зваженої.

При методі середньої арифметичної простої індекс дорівнює (фор. 1.1):

, (1.1)

де - кількість досліджуваних акцій, - ціни акцій емітентів, що входять в індекс на момент закриття торгів, кожна акція має однакову вагу незалежно від розміру компанії.

В цього методу є одна перевага - простота розрахунку. Слід, правда, мати на увазі, що навіть при найпростішому методі розрахунку реальне обчислення фондового індексу відбувається значно складніше, оскільки його формула включає різні коефіцієнти, які дозволяють при необхідності замінювати акції одного емітента на акції іншого, враховувати і складніші процеси на ринку - злиття, поглинання і так далі. Поряд з відносною простотою розрахунків метод середньої арифметичної простої має істотні недоліки:

він не враховує реальний масштаб ринку акцій конкретного емітента;

у його структурі однакове місце відведене і “найсильнішій”, і “найслабкішій” компанії у вибірці.

Приклад 1. Нехай база індексу складається з трьох корпорацій А, В та С. У корпорації А в момент часу t відбувся спліт у відношенні 1:2. Дані щодо вартості та кількості акцій корпорацій до та після спліту вказані в таблиці 1.1:

Таблиця 1.1 - Вартість та кількість акцій корпорацій до та після спліту

Корпорації	До спліту, момент часу t0	Після спліту, момент часу t
	Ціна акцій, гр. од.	Кількість, од.	Ціна акцій, гр. од.	Кількість, од.
А	60	100	30	200
В	40	100	40	100
С	80	100	80	100

Значення індексу до спліту обчислюємо за формулою 1.1. при t0:

==60, тобто середня ціна акцій цих трьох корпорацій дорівнює 60 гр. од. Якщо розрахувати індекс після спліту за тією самою формулою, тоді ==50. Середня ціна акцій зменшується на 10 гр. од., хоча насправді жодних змін на ринку не відбулося. Щоб усунути таке явище, необхідно змінити знаменник у формулі 1.1 на дільник, який забезпечує рівність індексу до та після зазначених подій та обчислюється за формулою 1.2:

, (1.2)

де - ринкова ціна акцій t-ої компанії до зазаначених подій;

- значення індексу до зазначених подій (обчислюється за формулою (1.1) при дорівнює n).

Отже, = = 60. Тоді:

== 2,5;

== 60.

Таким чином, на значення індексу, розрахованого за формулою 1.1, спліт акцій корпорацією А не вплинув. Значення дільника використовується і далі до наступної події відносно акцій цих корпорацій. Якщо відбувається спліт акцій, величина дільника у формулі 1.1 зменшується, при консолідації - збільшується.

Аналогічна процедура застосовується при зміні бази індексу та за інших ситуацій.

Індекс методом середньої геометричної обчислюється за формулою 1.3:

, (1.3)

де - число акцій в індексі, - ціни акцій емітентів.

Тут також не береться до уваги той факт, що об'єм торгівлі по акціях різних компаній може бути різним.

Приклад 2. Щодо ціни акцій трьох корпорацій А, В та С у базовому та поточному періодах відома інформація представлена в таблиці 1.2:

Таблиця 1.2 - Дані, щодо цін акцій трьох корпорацій А, В та С у базовому та поточному періодах

Корпорації	Ціна акцій, гр. од.
	Базовий період t = 0	Поточний період t
А	40	44
В	30	36
С	50	46

Потрібно розрахувати індекс темпів зміни курсів акцій методом середнього геометричного при базовому значенні індексу 2ѕ, яке дорівнює 100.

Розрахуємо індекси (темпи) змін цін акцій:

Р1 = 44 / 40 = 1,1; Р2 = 36 / 30 = 1,2; Р3 = 46 / 50 = 0,92.

Тоді індекс приросту курсів акцій 2ѕ за методом середнього геометричного дорівнює:

= 106,6892,

тобто у середньому темп курсів акцій корпорацій А, В та С зріс порівняно з базовим періодом на 6,6892 пунктів.

Метод середньої арифметичної зваженої застосовується для того, щоб відобразити в індексі вплив об'ємних показників, тобто використовується методика зважування цін акцій. Найчастіше як вага використовується ринкова капіталізація компанії. Цей метод найбільш популярний в світовій практиці фондових індексів, оскільки він адекватно враховує вплив тих акцій, по яких капіталізація вище і які найбільш ліквідні. Розглянемо сукупність активів чисельністю відповідно , , ціна кожного активу. Тоді (фор. 1.4):

(1.4)

Поточний стан ринку може порівнюватися із станом ринку в базисному, або в попередньому періоді.

Приклад 3. Розрахувати індекс, зважений за ринковою капіталізацією, компаній А, В та С при базовому значенні індексу за даних відображених в таблиці 1.3:

Ринкова сумарна капіталізація компаній у 2016 р. дорівнює 30 млн гр. од., у 2017 р. - 33 млн гр. од. Тоді: тобто у 2017 р. капіталізація зросла на 10 пунктів порівняно з 2016 р.

Таблиця 1.3 - Дані по трьом компаніям А, В та С

Компанії	Ціна, гр. од.	Емісія, тис. од.	Ринкова капіталізація, млн. гр. од.
2016 р.
А	20	400	8
В	25	520	13
С	30	300	9
Сумарна капіталізація	30
2017 р.
А	10	800	8
В	25	640	15
С	30	300	9
Сумарна капіталізація	33

Комітети з індексів регулярно переглядають його структуру. Компанії, акції яких включені в індекс, з часом можуть бути виключені з розрахунку. Це відбувається з різних причин. Наприклад, фірма вже не є, за базовими показниками діяльності, характерною для даної галузі або доля самої галузі в економіці вже змінила свою вагу. Можуть бути і інші причини, наприклад, публікація недостатньої фінансової звітності.

Приклад 4. У таблиці 1.4 наведені курси акцій німецьких емітентів станом на 2019 рік за підсумками торгів на DAX. Розрахуємо індекси ринку трьома способами.

Таблиця 1.4 Курси акцій за підсумками торгів на DAX

№	Емітент	Остання операція ($) ()	Об'єм Операцій (шт.)()
1	2	3	4	5
1	Amazon.com, Inc.	1623,33	200	324 666
2	Apple Inc.	174,18	1 589 797	276 910 841,46
3	Facebook, Inc.	165,47	1651	273 190,97
4	Netflix, Inc.	362,4	402	145 684,8
5	Microsoft Corp	111,66	2 087 640	233 105 882,4
6	Alphabet Inc.	1102,96	73 922	81 533 009,12
7	Tesla, Inc.	293,92	2 429	713 931,68
8	Cisco Systems Inc.	50,82	1 594 603	81 037 724,46
9	Micron Technology Inc	42,75	1 902 287	81 322 769,25
10	Intel Corp	53,095	1 344 759	71 399 979,105
11	Accenture plc class A	161,89	13035000	2 110 236 150
12	Activision Blizzard Inc	42,42	8250650	349 992 573
13	Adobe Inc.	258,48	1920000	496 281 600
14	Advance Auto Parts, Inc.	164,08	121	19 853,68
15	Advanced Micro Devices, Inc.	24,61	7 734	190 333,74
16	AeroVironment, Inc.	81,6	82	6 691,2
17	Aetna Inc.	207,53	350	72 635,5
18	Aflac Incorporated	48,88	90	4 399,2
19	AGCO Corporation	67	68	4 556
20	Agilent Technologies, Inc.	78,72	32	2 519,04
21	Air Products & Chemicals, Inc.	181,18	5	905,9
22	Akamai Technologies, Inc.	70,03	15	1 050,45
23	Aktobe Metalware Plant JSC	54,87	26	1 426,62
24	Albemarle Corporation	91,47	535	48 936,45
25	Alcoa Corporation	30,89	1 885	58 227,65
26	Alcoa Inc	30,78	19 763	608 305,14
27	Allergan plc	136,2	369	50 257,8
28	Alphabet Inc. Class A	1115,44	62	69 157,28
29	Altria Group, Inc.	52,07	469	24 420,83
30	Ameriprise Financial, Inc.	174,22	4	696,88
СУМА	7 052,95	31 834 950	3 784 442,38

Розрахунок середнього арифметичного індексу (фор. 1.5):

 (1.5)

Розрахунок середнього геометричного індексу (фор. 1.6):

(1.6)

Розрахунок середнього арифметичного зваженого індексу (фор. 1.7):

(1.7)

Статистичні дані фондового індексу

Для подальшого дослідження розглянемо статистичні дані значень фондових індексів DAX (Німеччина), DOW JONES (США), CAC (Франція) і PP (Розвиваючий ринок) на момент закриття торгів. Завантажимо дані з офіційного сайту АТ «Інвестиційний холдинг ФИНАМ» ? finam.ru.

Для того, щоб скачати дані по індексам, необхідно зайти у браузер на сайт finam.ru, і на панелі навігації (виділена жовтим кольором) натиснути вкладку «Про ринок» (рис. 1.9).



Рисунок 1.9 - Вікно головної сторінки сайту «Финам»

Відкриються підменю, де необхідно у переліку пакета «Инструменты для анализа» натиснути «Экспорт данных» (рис. 1.10).

Рисунок 1.10 - Перехід до експорту даних

У вікні, що з'явиться (рис. 1.11), потрібно заповнити наступні поля:

вказати тип даних під стрілкою 1, в даному випадку це «ETF»;

наступним кроком є вибір фондового індексу під стрілкою 2;

вказати інтервал та періодичність, відповідно під стрілками 3 та 4. Наприклад, з 6 липня 2017 року по 26 липня 2017 року з періодичністю в 1 день;

під стрілкою 5 з'явиться ім'я вихідного файлу. Ім'я вихідного файлу можна змінити;

для коректного виду даних вказати формат файлу «.csv» під стрілкою 5.1;

під стрілкою 6 вказується ім'я контракту, тобто назва індексу при експорті;

обрати формат дати та часу під стрілкою 7;

зазначити час закінчення свічки під стрілкою 8 (не обов'язково);

обрати роздільник для розрядів та полів чисел, як показано під стрілочкою 9;

обрати з списку під номером 10 формат запису в файл, тобто, які дані потрібно завантажити у файл;

відзначити під стрілкою 11 додавання заголовку до файлу. під стрілкою 12 можливо відзначити заповнення періодів без угод.

Рисунок 1.11 - Заповнення полів для скачування даних

Попередні дії необхідно повторити для скачування даних по трьом іншим індексам (DJ, CAC, РР).

Отримані дані розміщуємо в Excel-таблиці «Німеччина», «США», «Франція», «Розвиваючий ринок». В таблиці «Німеччина» знаходяться дані по індексу DAX за 261 торгові дні за 2016-2017 роки, в таблиці «США» знаходяться дані по індексу DJ за 295 торгові дні за 2016-2017 роки, в таблиці «Франція» знаходяться дані по індексу CAC за 261 торгові дні за 2016-2017 роки, в таблиці «Розвиваючий ринок» знаходяться дані по умовному індексу РР за 252 торгові дні за 2016-2017 роки (Додаток А).

Для того, щоб швидко привести дані одержані з сайту фінам (файл у форматі csv) у формат необхідний для роботи з Excel (файл у форматі xls) можно скористатися онлайн конвертером convertio.co (рис. 1.12).

Рисунок 1.12 - Інтерфейс онлайн-ресурса для конвертації csv в xls

Необхідно нажати на червону кнопку з надписом «С компьютера» і обрати файл у форматі .csv. Після загрузки файлу він появиться в списку для конвертації (рис. 1.13).

Рисунок 1.13 - Конвертація csv в xls

Далі необхідно нажати на кнопку «Преобразовать» і зачекати доки сервіс проведе конвертацію файлу. Після чого нажати на кнопку «Скачать» (рис. 1.14).

Рисунок 1.14 - Файл готовий для скачування

Висновки до розділу 1

З огляду на значну роль фондових ринків в економіці, виникає нагальна потреба розуміння законів, за якими функціонують ці ринки. Показником стану і динаміки ринку є розрахований на основі котировок певної групи цінних паперів фондовий індекс. Фондовий індекс показує те, що в нього заклали його розробники шляхом визначення вибірки складових і методу розрахунку. Як правило, чим ширше вибірка, тим індекс ближче до індикатора стану економіки чи окремої галузі. Більш мобільним і кон'юнктурним індикатором фондовий індекс стає при об'єднанні складових не за галузевою ознакою, а за критерієм капіталізації компанії, тобто сумарної ринкової вартості всіх акцій, що перебувають в обігу.

Через зіставлення поточного значення індексу з його попередніми значеннями можна оцінити поведінку ринку, його реакцію на ті чи інші зміни, події і процеси. Для цього використовують статистичні дані значень фондових індексів. Тому отримання статистичних даних є окреме завдання при вивчанні законів динаміки фондових індексів. В розділі розглянута процедура завантаження даних з офіційного сайту АТ «Інвестиційний холдинг ФИНАМ» ? finam.ru.

РОЗДІЛ 2.АНАЛІТИЧНИЙ ОГЛЯД МЕТОДІВ МОДЕЛЮВАННЯ ДИНАМІКИ ФОНДОВИХ ІНДЕКСІВ

2.1 Математичний опис статистичних рядів фондового ринку

Статистичні дані економічних показників надходять у формі часових рядів. Часовим рядом називається сукупність спостережень економічного показника в різні моменти часу. Принципові відмінності часового ряду від послідовності спостережень, що утворюють випадкову вибірку, полягають в наступному: члени часового ряду не є незалежними і не обов'язково є однаково розподіленими. Це означає, що властивості і правила статистичного аналізу випадкової вибірки не можна поширювати на часові ряди.

Зазвичай часовий ряд розглядають як вибірку з послідовності випадкових величин , де t приймає цілочисельні значення. Сукупність випадкових величин називають дискретним випадковим процесом або стохастичним процесом. Об'єктом нашого розгляду будуть дискретні випадкові процеси. Стохастичний процес називається стаціонарним в широкому сенсі, якщо його властивості не змінюються в часі. Зокрема, він має постійне математичне сподівання і постійну дисперсію, а коваріація залежить від різниці . Коваріація між значеннями і , відокремленими інтервалом в k одиниць часу, називається автоковаріацією з лагом (затримкою) k і визначається за формулою 2.1:

. (2.1)

Для стаціонарних процесів автоковаріація залежить тільки від лага і k і , де . Автокореляція з лагом k є нормованою автоковаріацією, вона дорівнює (фор. 2.2 - 2.3):

(2.2)

, (2.3)

тобто є коефіцієнтом кореляції і характеризує ступінь лінійного взаємозв'язку між і . Сукупність значень коваріацій при різних значеннях k називається автоковаріаційною функцією випадкового процесу, а сукупність автокореляцій називається автокореляційною функцією. Автокореляційна функція показує, наскільки статистично залежні значення часового ряду при різних зсувах часу (рис. 2.1).

Рисунок 2.1 - Автокореляційна функція

Наведемо декілька прикладів випадкових процесів, які будуть застосовуватись в подальшому викладенні [89]. Процесс має назву білий шум (white noise), якщо , , при . Цей процес є стаціонарним в широкому сенсі. Якщо величини мають нормальний розподіл в сукупності, то процес називається гаусовим білим шумом і позначається .

Статистичні оцінки наведених вище показників обчислюються за даними часового ряду і позначаються відповідно . Оцінка автокореляційной функції називається корелограмою ( рис. 2.2).

Слід зазначити, що при великих значеннях наведена вище оцінка для коефіцієнта автокореляції малонадійна, це пов'язано із заміною повного підсумовування частковим. Тому поведінці корелограми при великих значеннях не слід надавати великого значення. Для заданого рівня значущості (зазвичай при комп'ютерних обчисленнях беруть ) можна обчислити границі довірчого інтервалу, в якому знаходження значення функції автокореляції при заданому лагу з імовірністю не суперечить припущенню про відсутність кореляції перетинів з цим лагом. При графічному зображенні функції автокореляції або її оцінки - корелограми, ці інтервали дають дві граничні криві (вище і нижче основного графіка). Вихід за ці граничні криві розглядається як вказівка на значущість кореляції з відповідним лагом. Корелограма на рисунку 2.2 виходить за межі довірчого інтервалу на лагах 1,2, а також на лагах 10-15. Отже для цих лагів має місце кореляція між і ,

Рисунок 2.2 - Корелограма

Якщо випадковий процес або часовий ряд близький до білого шуму, то корелограма близька до горизонтальної осі, а її значення близькі до нуля. Якщо ряд стаціонарний, то автокореляційна функція, починаючи з деякого моменту, загасає або зовсім зникає [27]. Наприклад, вона або має вигляд загасаючої синусоїди, або експоненціально убуває. Якщо функція повільно убуває на досить тривалому часовому періоді, то можна припустити, що ряд характеризується довготривалою пам'яттю.

Економічні показники не завжди поводяться стаціонарним чином. З макроекономіки відомо сезонна і циклічна поведінка економічних показників, крім того, вони можуть мати тренд. Тренд є загальна систематична лінійна або нелінійна компонента, яка змінюється монотонно в часі. Аналітично це положення можна виразити рівнянням виду (фор. 2.4):

 , (2.4)

де - тренд (довготривала тенденція) розвитку; - сезонна компонента; - випадкова величина (випадкова компонента).

Структуру часового ряду можна визначити, розрахувавши кілька послідовних коефіцієнтів автокореляції. В результаті даних обчислень можна виявити лаг k, для якого значення вибіркового коефіцієнта автокореляції  є найбільшим. Аналіз структури часового ряду за допомогою коефіцієнтів автокореляції будується на наступних правилах:

досліджуваний часовий ряд містить тільки трендову компоненту, якщо найбільшим є значення коефіцієнта автокореляції першого порядку;

досліджуваний часовий ряд містить трендову компоненту і коливання з періодом, рівним одиниці, якщо найбільшим є коефіцієнт автокореляції першого порядку. Ці коливання можуть бути як циклічними, так і сезонними;

якщо жоден з коефіцієнтів автокореляції не є значущим, то робиться один з двох можливих висновків:

даний часовий ряд не містить трендової та циклічної компонент, а його коливання викликані впливом випадкової компоненти, тобто ряд представляє собою модель випадкового тренда;

даний часовий ряд містить сильну нелінійну тенденцію, для виявлення якої необхідно провести його додатковий аналіз.

Для виявлення прихованих періодичностей використовується періодограма. Періодограма є асимптотично незміщеною, але не спроможною оцінкою для спектральної щільності. Обчислення періодграми засновані на швидкому перетворенні Фур'є [36] і проводяться тільки за наявності комп'ютера з відповідною програмою (рис. 2.3). При аналізі періодограми потрібно звертати особливу увагу на її піки. Великий пік в області деякої частоти вказує на те, що в спектральному розкладі автокореляційної функції присутній цикл. Чим вище і різкіше виділений пік, тим більша частина потужності зосереджена біля частоти і тим більшу роль відіграє ця частота в описанні відповідного випадкового процесу або часового ряду. Якщо періодограма на низьких частотах наближається до нескінченності, то це свідчить про те, що процес має тренд або постійну складову.

Рисунок 2.3 - Періодограма

Для детермінованої неперіодичної складової періодограма нескінченно зростає на низьких частотах. Якщо випадковий процес або тимчасовий ряд близький до білого шуму, то періодограма близька до горизонтальної осі, а її значення близькі до нуля. Якщо детерміновані компоненти видалити з ряду, то можливо отримати стаціонарний ряд.

Довготривала пам'ять спостерігається в багатьох макроекономічних часових рядах. Класичним прикладом такої часової динаміки є ВВП США. Аналіз доходностей акцій українських і російських компаній свідчить про присутність довготривалої пам'яті в цих рядах [4, 6]. Для економіки, що розвивається, характерна наявність довгострокової стійкості і короткочасної нестабільності. У такій ситуації для дослідження процесів може бути використана теорія хаосу, що містить в себе методи теорії динамічних систем і фрактального аналізу [67, 68]. Методика аналізу часових послідовностей, яка розроблена в теорії хаосу, дозволяє розрізнити випадкові і детерміновано-хаотичні системи і оцінити складність цих систем [90]. Ряди з довготривалою пам?яттю не можна привести до стаціонарного вигляду.

2.2 Моделювання стаціонарними процесами

У 1938 році Г.Вольд довів наступний фундаментальний результат [102]. Чисто недетермінований стаціонарний в широкому сенсі випадковий процес може бути представлений в такому вигляді (фор. 2.5):

, (2.5)

де - математичне сподівання цього процесу, - коефіцієнти, а - білий шум із скінченним математичним сподіванням і дисперсією . Тобто всякий стаціонарний в широкому сенсі випадковий процес зображується у вигляді лінійної комбінації білих шумів. При цьому повинна виконуватися умова . Оскільки реалізації білого шуму не спостережувані, вагові коефіцієнти визначені з точністю до множника. Без втрати загальності можна вважати, що . Чим більше ваговий коефіцієнт , тим більше вплив випадкового збурення в момент на даний момент . Виявилось, що у багатьох випадках достатньо розглядати не загальне представлення Вольда, а його окремі випадки, коли число доданків скінченне. Розглянемо декілька прикладів.

Модель ковзного середнього (moving average) порядку скорочено MA(q) [21, 34, 54]. Якщо в формулі 2.5 припустити, що тільки перші коефіцієнтів відмінні від нуля, то такий стохастичний процес називається процесом ковзного середнього порядку (фор. 2.6), тобто:

(2.6)

Щоб підкреслити, що в даному випадку маємо визначений клас моделей, запишемо її у вигляді формули 2.7:

(2.7)

де , - вагові параметри моделі, .

Модель ковзного середнього порядку припускає, що в помилках моделі в попередні періоди зосереджена інформація по всій передісторії ряду. Назва «Ковзне середнє» пояснюється тим, що поточне значення випадкового процесу визначається зваженим середнім попередніх значень білого шуму. Процедуру ковзного середнього часто використовують для того, щоб згладити дані, які сильно коливаються. Процес стаціонарний, оскільки він є окремим випадком розкладу Вольда. Математичне сподівання (фор. 2.8):

(2.8)

і дисперсія (фор. 2.9):

= (2.9)

Коваріація (фор. 2.10):

при ,

при (2.10)

Іншими словами, між значеннями часового ряду, достатньо далеко віддаленими один від одного, відсутній кореляційний зв'язок. З отриманих виразів для коваріацій безпосередньо випливає вираз для автокореляційної функції: . Для процесу ковзного середнього автокореляційна функція обертається в нуль в момент часу . Таким чином, маємо систему співвідношень між автокореляціями і коефіцієнтами моделі ковзного середнього (фор. 2.11):

(2.11)

Якщо взяти перші співвідношень з формули 2.11, то отримаємо систему, з якої можна виразити значення коефіцієнтів через автокореляції (фор. 2.12):

(2.12)

Дана система є нелінійною. Її можна розв'язати одним з методів розв'язку нелінійних систем, наприклад, методом послідовних ітерацій, методом Марквардта та ін. [84, 24]. Проте, система може мати декілька розв'язків. Слід вибрати тільки ті з них, які забезпечують оберненість моделі. Для її оберненості необхідно, щоб корені рівняння лежали зовні одиничного кола. Оберненість процесу ковзного середнього забезпечує можливість виразити через . На практиці, замість дійсних кореляцій використовуються їх оцінки , тому отримані при розв'язуванні системи (фор. 2.12) оцінки є ненадійними, їх можна використовувати як перше наближення коефіцієнтів .

Ковзні середні згладжують коливання цінового графіка шляхом усереднення за певним історичним періодом. За методом усереднення розрізняють просте (SMA), експоненціальне (EMA), та лінійно-зважене (LWMA) ковзке середнє [36]. На рисунку 2.4 представлені ковзкі середні однакового періоду (за один вимір часу) з різним методом усереднення.

Рисунок 2.4 - Застосування ковзких середніх для цінового часового ряду, USD/JPY, 2014.06.19 - 2014.06.24

Simple Moving Average (SMA) - прості ковзні середні, середнє арифметичне цін закриття (відкриття) за певне число «одиничних періодів» (година, доба, тиждень) (фор. 2.13):

, (2.13)

де Pi - ціна закриття періоду інструменту; n - часовий період (одиничний період) розрахунку ковзної середньої.

Exponential Moving Average (EMA) - експоненціальні ковзні середні (фор. 2.14) мають перевагою те, що вона включає всі ціни попереднього періоду, а не лише відрізок, заданий при установці періоду. При цьому пізнішим значенням надаються більші ваги - використовується припущення про те, що максимальний вплив на майбутнє має теперішній момент, а минуле затухає «за експонентою».

(2.14)

де б - ваговий коефіцієнт в інтервалі від 0 до 1; Pi - значення ціни в період часу t; EMA(t-1) - значення експоненціальної ковзкої середньої в момент часу t-1.

Linear Weighted Moving Average (LWMA) - зважені ковзні середні практично ті ж ковзні середні, тільки з однією лише відмінністю: кожний доданок входить зі своєю вагою (таким чином, можна задати найвпливовіші компоненти), а результат виходить діленням на суму ваг (фор. 2.15)

, (2.15)

де Wi - значення ваги для ціни i періодів назад.

Хоча існують сотні інших підходів і їх кількість постійно збільшується, перевага використання ковзких середніх полягає в тому, що з їх допомогою досить просто визначити напрям тренду (тенденція визначається тангенсом кута нахилу дотичної до ковзної середньої), а також на практиці їх часто використовують як підтримку і (або) опір. Проте існує й істотний недолік - це запізнювання сигналу. Для його нівелювання використовують прийняття рішень за використанням одночасно декількох ковзких середніх, наприклад, їх перетину.

До недоліків методу ковзного середнього можна віднести наступні ситуації:

при використанні методу SMA для торгівлі по тренду запізнювання на вході і на виході з тренда як правило дуже значне, тому в більшості випадків втрачається велика частина трендового руху;

один з найбільш серйозних недоліків методу SMA, полягає в тому що воно надає однакові ваги як новими цінами, так і більш старими, хоча логічніше було б припустити, що нові ціни важливіші, тому що відображають більш близьку ринкову ситуацію до поточного моменту.

Авторегресійна модель AR(p) (autoregressive process) [4, 6, 67]. Якщо модель MA(q) обернена, то можна виразити через та отримати представлення MA у вигляді (фор. 2.16):

, (2.16)

де - вагові коефіцієнти; - випадкове збурення, випадкова величина, яка розподілена нормально з параметрами .

У цій моделі поточне значення ряду в момент t виражається через скінченне число минулих значень і величину збурення . Коваріації дорівнюють (фор. 2.17):

, (2.17)

Розділивши формулу 2.17 на , отримаємо рівняння для автокореляції (фор. 2.18):

, (2.18)

Запишемо характеристичне рівняння і хай - різні корені цього рівняння. Тоді загальний розв'язок формули 2.18 має вигляд (фор. 2.19):

(2.19)

Процес (фор. 2.15) буде стаціонарним, якщо . Якщо - дійсне число, то доданок спадатиме по експоненті із зростанням . Якщо , . - комплексно спряжені корені, то вираз для міститиме доданок вигляду . Оскільки , то цей доданок є затухаючою синусоїдою. З цього виходить, що коли AR(p) або MA(q) - стаціонарні процеси, то починаючи з деякого моменту автокореляційна функція починає затухати або зовсім зникає. Це важлива якісна відмінність стаціонарних і нестаціонарних процесів.

Коефіцієнти моделі обчислюються з системи рівнянь, яка виходить з формули 2.18 при і називається системою Юла-Уоркера (фор. 2.20):

(2.20)

Це система рівнянь з невідомими. Запишемо її в матричній формі. Для цього запровадимо позначення (фор. 2.21):

(2.21)

у матричній формі (фор. 2.22):

. (2.22)

Тоді коефіцієнти моделі обчислюються за формулою 2.23:

. (2.23)

Як було зазначено вище, на практиці можна знайти тільки оцінки , тому в фор. 2.21 підставляються . Також, як і в попередній моделі, отримані у такий спосіб коефіцієнти є ненадійними. Оцінки можна отримати методом найменших квадратів, розглядаючи регресію між рядами і .

Порядок регресійної моделі має важливе значення, оскільки він визначає число коефіцієнтів в моделі, для яких потрібно обчислити оцінки. У моделях ковзного середнього автокореляційна функція обривається після . Тому значення параметра дорівнює числу відмінних від нуля автокореляцій. Дещо інша ситуація складається в моделі AR(p). Характеристикою, яка вказує на точний порядок , є частинна автокореляційна функція. У частинній автокореляційній функції усувається залежність між проміжними спостереженнями (спостереженнями всередині лага). Іншими словами, частинна автокореляція на даному лагу аналогічна звичайній автокореляції, за винятком того, що при обчисленні з неї вилучається вплив автокореляцій з меншими лагами. Позначимо через - -е значення частинної автокореляційної функції. Можна показати, що, коли досліджуваний процес належить до виду AR(p), то . Більш того, для такого процесу поточне значення оптимально виражається рівно через попередніх значень, і врахування більш ранніх значень вже не може поліпшити прогноз. Це означає, що для процесу AR(p) = 0 при . Модель AR(0) - це просто білий шум, модель AR(1) - марківський процес, AR(2) - псевдоколивання.

...