Електрика і магнетизм
Аналіз закону Кулона. Сутність поняття "електричний заряд". Бурштин як матеріал, що притягає до себе предмети після тертя. Характеристика принципу суперпозиції кулонівських сил та суперпозиції полів. Особливості задач на знаходження потенціалів.
| Рубрика | Финансы, деньги и налоги |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 03.04.2013 |
| Размер файла | 687,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
25
Размещено на http://www.allbest.ru/
Вступ
кулон електричний заряд
Курс загальної фізики є профілюючим для радіофізиків. Але у ньому є центральний розділ - курс «Електрика і магнетизм». Можете бути певними, що без матеріалу із цього курсу ви не обійдетесь на будь-якій кафедрі. Курс дуже складний з математичної точки зору. На найближчих лекціях будемо користуватись елементами векторного аналізу, теорії функції комплексної змінної, розв'язувати системи диференціальних рівнянь, тощо.
Як завжди, будуть лекції, семінари, лабораторні заняття. Відвідування семінарів і лабораторних робіт є обов'язковим, пропущені заняття потрібно бути відпрацьовувати. Яким чином - вирішує конкретний викладач. Екзаменаційний білет буде містити задачу. Якщо ви її не розв'язуєте, оцінка не буде вищою, ніж «задовільно».
Залік ставиться за лабораторними роботами, оцінка за семінари подається лектору для врахування на екзамені.
Перша атестація виставляється викладачем, що веде семінари, друга - лектором за результатами колоквіуму.
Колоквіумів буде два : перший по електростатиці і діелектриках у електростатичному полі наприкінці жовтня; другий далі по курсу до рівнянь Максвелла, або їх включаючи, у кінці листопада або на початку грудня.
Рекомендована література. Основними є підручники
1. Калашников С.Г. Электричество;
2. Сивухин Д.В. Общий курс физики, т.3, «Электричество;
3. Матвеев А.Н. Электричество и магнетизм;
Додаткова література:
1. Тамм И.Е. Основы теории электричества;
2. Фейнман Р. и др. Фейнмановские лекции по физике. Т.5-7;
3. Парселл Э. Электричество и магнетизм (серия БКФ).
Для деяких розділів потрібні будуть книги
1. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела;
2. Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твердого тела, в 2-х томах;
3. Дэвис Д.А. Волны, атомы и твердые тела.
І, нарешті, для тих, хто глибше цікавиться наукою, пропоную пірнути ближче до першоджерел :
1. Максвелл Д.К. Трактат об электричестве и магнетизме, в 2-х томах.
Електростатика у вакуумі
Першим розділом нашого курсу буде «Електростатика у вакуумі», тобто властивості і взаємодія нерухомих зарядів у вакуумі.
Насамперед, введемо найфундаментальніше поняття нашого курсу - поняття про електричний заряд. Ще в стародавній Греції вчений Фалес із Мілета виявив, що неметалеві тіла, приведені в контакт (наприклад, потерті одне об одне), стають джерелом сил, що діють як між ними, так і на інші тіла. Він тер бурштин (янтарь - російською) об хутро, і до бурштину притягались легкі предмети. Історія не донесла, які саме. (Показати, як шматочки паперу притягаються до пластмасової (замість бурштину) лінійки чи гребінця).
Довго це лишалось лише цікавим фактом. І лише наприкінці ХVІ сторіччя англійський лікар Джильберт детально дослідив це явище, показав, що бурштин - не єдиний матеріал, що притягає до себе предмети після тертя, і, власне, дав назву явищу - електризація (від грецького слова електрон, що й означає бурштин).
Джеймс Максвелл, посилаючись у своєму трактаті про електрику і магнетизм на роботу лорда Кельвіна, пропонує такий дослід. Візьмемо шматок скла і шматок смоли, які не мають самі по собі ніяких електричних властивостей. Потремо їх один об другий і роз'єднаємо. Шматки будуть взаємно притягуватись.
Якщо взяти інший шматок скла та інший шматок смоли і повторити процедуру електризації, нова пара окремо буде також притягуватись. Підвісимо обидві пари поруч. Шматки скла будуть відштовхуватись один від одного; шматки смоли також будуть відштовхуватись один від одного; скло і смола будуть притягатись. Якщо будь-яке тіло поводить себе аналогічно склу, тобто відштовхує скло і притягує смолу, то кажуть, що тіло заряджене склоподібно. Якщо ж тіло притягає скло і відштовхує смолу, кажуть, що воно заряджене смолоподібно. Виявилось, що всі тіла електризується або склоподібно, або смолоподібно, інших випадків не буває.
Прийнято склоподібну електризацію вважати позитивною, а смолоподібну - негативною. Протилежні властивості обох видів електризації виправдовують приписування їм протилежних знаків, але який вид електризації вважати позитивним, є результатом домовленості, так само як і додатній напрямок осі абсцис відкладається праворуч. Сучасна фізика схильна розглядати позитивний і негативний заряди як протилежні прояви однієї якості.
Кількісно ступінь електризації характеризують кількістю електрики, або електричним зарядом. Отже, при електризації скла виникає позитивний заряд, а при електризації смоли - негативний заряд.
Давайте одразу домовимось із термінологією.
Таблица
|
Русский язык |
Українська мова |
||
|
числа |
положительные, отрицательные |
додатні, від'ємні |
|
|
напрямки |
положительные, отрицательные |
додатні, від'ємні |
|
|
заряди |
положительные, отрицательные |
позитивні, негативні |
Для розуміння електричної будови речовини суттєвими є дві відомі властивості заряду : заряд зберігається і заряд квантується.
Закон збереження заряду. В ізольованій системі повний електричний заряд, тобто алгебраїчна сума позитивного і негативного зарядів, залишається сталою
.
Це постулат, або емпіричний закон, який підтверджений величезною кількістю експериментів.
Квантування заряду. Експерименти показали, що в природі електричні заряди складаються із дискретних зарядів сталої величини. Ця величина позначається через і є зарядом електрону. Таку саму кількість електрики (додатню або від'ємну) містять всі заряджені елементарні частинки (позитрон, протон, електрон). Навіть припускаючи існування кварків із зарядом , поки що теорія не може пояснити, чому не можуть існувати частинки із зарядом або , а бо існувати можуть.
Все сказане стосується якісного розгляду електричного заряду. Початок кількісного вивчення електричних явищ припадає на 1785 рік, коли Шарль Огюстен Кулон встановив на досліді закон взаємодії електричних зарядів.
Закон Кулона. Спочатку зробимо два зауваження
1. Кулон встановив, що взаємодія зарядів залежить від того, як, де і яка кількість електрики була передана. Тобто, сила взаємодії буде залежати від форми тіл, їх лінійних розмірів, взаємного розташування, тощо. У загальному випадку, для тіл довільної форми і об'єму єдиного загального закону Кулону встановити не вдалось. А от збільшуючи відстань між зарядженими тілами, Кулон певну закономірність встановив. Вихід - перейти до точкових зарядів, тобто заряджених тіл нескінченно малих розмірів. Що тут мається на увазі під нескінченно малими розмірами ? У законі Кулона точковість зарядів означає, що розміри цих тіл малі порівняно із відстанню між ними. На такій відстані подальше зменшення розмірів тіл або зміна їх форми не впливає на силу взаємодії між зарядами.
2. На взаємодію зарядів може впливати і середовище, у якому вони розміщені. Може змінитись не тільки величина, а й напрямок дії сили. Отже, досліди треба було б проводити у вакуумі. Але оскільки повітря за властивостями не дуже відрізняється від вакууму, з достатньо високим ступенем точності досліди можна проводити у повітрі.
А тепер безпосередньо перейдемо до досліду Кулона. Раніше для вимірювання сили Кулон створив прилад, що отримав назву крутильні терези (крутильные весы). Саме їх він застосував для вимірювання сили взаємодії зарядів.
Крутильні терези складаються з легкого непровідного коромисла, горизонтально підвішеного на тонкій дротині або скляній нитці. На одному кінці коромисла міститься невеличка позолочена кулька, на другому кінці - противага. Коромисло може обертатись у горизонтальній площині, по градуйованому кільцю можна було визначити кут зміщення. Весь прилад містився у скляному циліндрі, щоб захистити рухомі частини від руху повітря.
Рис.
Друга невелика кулька закріплена на непровідному стрижні. Її можна було заряджати і вносити до об'єму, розміщуючи у будь-якій точці кола, яке описує закріплена на коромислі позолочена кулька.
Виміри Кулон проводив наступним чином. Нехай обидві кульки розряджені і коромисло знаходиться у рівновазі у положенні, що утворює кут з радіусом, що проходить через другу, зафіксовану кульку.
Зарядимо обидві кульки однаково. Вони відштовхнуться і коромисло займе положення, вказане пунктиром. Кут між коромислом і радіусом становитиме величину , де це був вихідний кут, а доданок є наслідком електростатичної взаємодії.
Рис.
Згадаємо тепер рівняння коливань крутильного маятника (зустрічались із ним і в механіці, і в молекулярній фізиці). Для малих коливань (відхилення відбувається на малі кути)
де момент інерції коромисла, момент сил, що діє на коромисло, модуль крутіння скляної нитки, кут повороту, кутове прискорення, мінус вказує, що пружність нитки намагається повернути коромисло у вихідний стан. Оскільки у нас стаціонарний випадок, система розглядається у рівноважному стані, то , отже рівняння збереження моменту сили виглядатиме як
,
тобто момент сили , що діє на коромисло внаслідок електростатичної взаємодії, компенсується пружною силою скляної нитки . У нашому конкретному випадку це рівняння набуває наступного вигляду. При взаємодії зарядів відстань між центрами кульок становитиме
,
де радіус коромисла. Якщо позначити силу електростатичної взаємодії між кульками, то момент цієї сили відносно осі крутіння є добутком цієї сили на плече її прикладання, довжина якого , отже
.
Момент цієї сили врівноважиться опором крутінню з боку нитки. Оскільки за рахунок електростатичної взаємодії коромисло повернулося на кут , то рівняння рівності моментів сил виглядатиме
.
Знаючи пружні властивості скляної нитки, розміри коромисла та вимірявши кути, можна визначити силу взаємодії.
Саму таким чином Кулон встановив, що сила електростатичної взаємодії між тілами 1 і 2 обернено пропорційна квадрату відстані між ними, і у скалярній формі
,
де відстань між тілами; деякий коефіцієнт, що залежить від ступеня електризації тіл (поки що не будемо конкретизувати, який саме).
Сила - величина векторна, вона повинна бути кудись направлена. Кулон встановив, що сили електростатичної взаємодії є центральними, тобто вони діють по лінії, що з'єднують центри зарядів (а фактично самі заряди, оскільки закон Кулона справедливий лише для точкових зарядів). Це означає, що у векторній формі закон Кулона набуває вигляду
,
де орт (одиничний вектор), що не впливає на абсолютне значення сили взаємодії, а лише вказує напрямок дії сили.
Йдемо далі. Від чого залежить множник ? Візьмемо три заряджені тіла 1, 2 і 3. Нехай тіла 1 і 2 знаходяться на відстані , а тіло 3 віднесемо на нескінченність. Природнім є припустити, що сила взаємодії між тілом 3 і тілами 1 і 2 прямує до нуля (; ). Воно не впливає на силу взаємодії тіл 1 і 2. Тоді сила взаємодії між тілами 1 і 2 становить .
Тепер віднесемо тіло 2 на нескінченність, а тіло 3 розмістимо на його місці. Тоді сила взаємодії між тілами 1 і 3 становить , а тіло 2 на їх взаємодію не впливає.
Знайдемо відношення сил взаємодії у обох випадках
Це очевидно, оскільки тіла кожного разу знаходились на однакових відстанях, і скорочується. Давайте інакше зарядимо (за абсолютною величиною) тіло 1 і повторимо всю процедуру. Дослід показав, що відношення і у цьому випадку залишиться таким самим. Це означає, що відношення сил взаємодії тіла 1 із тілами 2 і 3 не залежить від властивостей тіла 1! Оскільки тіла 2 і 3 відрізняються лише ступенем електризації (вони є точковими зарядами, і припустити, що їх відрізняє ще щось - важко), то можна було припустити, що
,
де величина, що характеризує ступінь електризації тіла. Вона називається кількістю заряду (або просто зарядом) тіла. Проводячи всі експерименти, ми не накладали ніяких обмежень на тіла 1, 2 і 3. Вони при взаємодії були рівноправні. Тому, якщо сила взаємодії пропорційна заряду тіла 2, то природно припустити, що вона пропорційна і заряду тіла 1, тобто
,
це слушне припущення не порушує справедливість записаного раніше відношення сил.
І, крім того, ми повинні припустити можливість існування деякого коефіцієнта , однакового для кожної сили взаємодії (добре, якщо він виявиться рівним одиниці, а якщо ні ?). Отже, відношення сил взаємодії, записане нами раніше, набуває вигляду
,
звідки для кожної із сил взаємодії між парами зарядів маємо
;
Остаточно закон Кулона можна записати у вигляді
і сформулювати наступним чином :
Сила взаємодії двох точкових зарядів у вакуумі прямо пропорційна добутку величин зарядів, обернено пропорційна квадрату відстані між ними і є центральною силою.
Тепер давайте звернемось до фізичного змісту константи . У законі Кулона ми маємо поки що дві невизначені величини : константу та величину заряду. Можна піти двома шляхами :
1. Надати якогось значення константі , і через неї визначити розмірність заряду.
2. Можна встановити інший закон, який дає можливість визначити константу, користуючись зарядами.
Різні підходи були використані у різних системах одиниць.
1. Гаусс запропонував покласти
Тоді у системі Гаусса закон Кулона набуває вигляду
У системі Гаусса основними є три одиниці : сантиметр, грам, секунда, тому її ще називають системою CGS (СГС). В цій системі одиниця заряду є похідною одиницею. Визначальним співвідношенням для неї є закон Кулона.
Візьмемо 2 кульки, заряджені однаково (можна зарядити лише одну кульку, а потім кульки з'єднати; заряд розподілиться порівну по обох кульках)
Тоді
Звідки
Поклавши всі величини у формулі закону Кулона рівними одиниці, таким чином можна ввести абсолютну електростатичну одиницю заряду. За Гауссом.
Абсолютна електростатична одиниця заряду є такий заряд, який діє у вакуумі на однаковий йому заряд на відстані 1 см з силою в 1 дину.
2. Другий підхід. Він використаний у системі SI (СІ). Основними одиницями у ній прийнято : метр, кілограм, секунда, ампер, Кельвін, кандела.
Одиницею електричного заряду у системі СІ є кулон. Це похідна одиниця від амперу. Означення ампера ґрунтується на законі магнітної взаємодії паралельних струмів.
Ампер дорівнює силі постійного струму, який при проходженні по двох паралельних прямолінійних провідниках нескінченної довжини і нескінченно малої площі перерізу, розташованих на відстані 1 м один від одного, викликав би на ділянці довжиною 1 м силу взаємодії Н.
Звідси можна ввести означення кулона як
Кулон - це кількість електрики (заряд), що переноситься за 1 с через поперечний переріз провідника при силі постійного струму в 1 А.
Хто не полінується, переконайтеся, що
Тепер ми визначили величину заряду, отже перейдемо до константи . Їй тепер не можна надавати довільного значення. В системі СІ використовується так звана раціоналізована форма запису законів електрики. Справа у тому, що багато формул містять множник , отже, щоб його в подальшому позбутись, константу у системі СІ записали як
Тоді і закон Кулона набуває у системі СІ вигляду
Величина має назву діелектрична стала вакууму (абсолютна діелектрична проникність, електрична стала). Вона фігурує лише у системі СІ, у системі Гаусса її немає, і являється розмірною величиною. Її значення можна легко знайти. Нехай взаємодіють два точкових заряди , віддалені на відстань 1 м = 102 см. Сила їх взаємодії у системі Гаусса
.
З іншого боку, у системі СІ
.
З цих рівнянь маємо
одиниць СІ.
З школи знаєте, що розмірність діелектричної сталої , але до неї ми повернемось у нашому курсі пізніше.
Експериментальна перевірка закону Кулона
Як це не смішно звучить, але закон Кулона був експериментально перевірений Генрі Кавендишем за 13 років до відкриття Кулона. Але Кавендиш не опублікував свої результати, отже втратив право на пріоритет. Його результати знайшов Максвелл, розбираючи архів лабораторії Кавендиша через 60 років після його смерті. Що, власне, треба було перевірити у законі Кулона ? Кулон отримав залежність сили взаємодії зарядів від відстані як
Результат був отриманий на крутильних терезах, точність вимірів на яких була дуже невисокою. Задача експериментальної перевірки закону Кулона зводиться до знаходження величини у виразі
Принцип проведення експерименту і запропонував Кавендіш. Вільні заряди у однорідному провіднику розташовані на його поверхні. Це експериментальний факт, і ми пояснимо його, розглядаючи провідники у електричному полі.
Рис.
На перший погляд це може здаватись наслідком відштовхування однойменних зарядів (якби це було б так, то заряди могли б відштовхуватись і всередину провідника). А насправді це наслідок того, що сила взаємодії точкових зарядів зменшується точно обернено пропорційно квадрату відстані, а не за іншим законом.
Розглянемо спочатку сферу, по площі поверхні якої рівномірно розподілений заряд із поверхневою густиною . Помістимо у довільній точці у середині сфери точковий заряд . Із цієї точки побудуємо у протилежних напрямках два однакові малі тілесні кути . Вони виріжуть на поверхні сфери заряджені площадки та . Заряд на площадках становитиме відповідно та . Тоді сили кулонівської взаємодії площадок із точковим зарядом всередині
та .
Із властивостей дотичних до кінців хорди випливає (самі переконайтеся !), що кути . Тоді можна перейти до площадок, перпендикулярних осі тілесних кутів
та .
Отже, вирази для сил набувають вигляду
та .
Тепер давайте згадаємо, що являє собою тілесний кут. Тілесний кут - це частина простору, що міститься всередині замкнутої конічної поверхні. Мірою тілесного кута є відношення площі, вирізаної конусом на сфері із центром у вершині кута, до квадрату радіуса сфери.
Отже, у нашому випадку
та ,
причому тілесні кути рівні за побудовою. Дивіться, якби ми не мали абсолютно квадратичного закону Кулона, ми не змогли б скористатися означенням тілесних кутів. А тепер глянемо, що нам це дає. Ми приходимо до того, що сили
рівні за абсолютною величиною, але будуть напрямлені у протилежні боки, оскільки заряди на площадках та однойменні.
Оскільки місцеположення точкового заряду всередині сфери та побудову тілесних кутів ми вибрали довільно, можна стверджувати, що у випадку, коли закон Кулона виконується (тобто існує обернена квадратична залежність від відстані), сила з боку поверхневого заряду на заряд всередині зарядженої сфери не діє. Це стосується сфери.
Що відбуватиметься із зарядженою кулею ? Припустимо, що всередині кулі існують певні заряди. Внаслідок сферичної симетрії системи заряди у кулі будуть розміщені теж сферично симетрично. Виберемо певний сферичний шар зарядів. На заряди цього шару не діють ніякі сили з боку зарядів, що розташовані зовні, це ми щойно показали. Але на заряди шару будуть діяти сили відштовхування з боку зарядів, що знаходяться всередині. А це означає, що сферичний шар почне посуватись у напрямку від центра до периферії. Таким чином, у стані рівноваги заряди всередині провідної кулі відсутні.
А що буде, якщо взаємодія відрізняється від кулонівської, тобто . Тоді сили взаємодії площадок із точковим зарядом усередині набудуть вигляду
;
;
а їх рівнодіючу можна записати у вигляді
,
причому, як бачимо, вона відмінна від нуля.
Наявність відмінної від нуля рівнодіючої сил веде до можливості рівноважного розподілу зарядів всередині провідної кулі, оскільки на заряди діятимуть сили не тільки з боку внутрішніх шарів, а й ззовні.
Отже, як бачите, питання про показник у законі Кулона носить принциповий характер. Якби у законі Кулона не була б рівно двійка, то не працювала би більшість законів електрики. Трохи далі ми розглянемо закон Гаусса, який є наслідком саме такої залежності. У випадку його невиконання порушується умова неперервності силових ліній електричного поля, та багато інших законів фізики.
Рис.
Отже, нарешті, власне дослід Кавендиша. До провідної кулі (пунктир) щільно прилягає сферична оболонка, що складається із двох половинок. Коли вона щільно одягнута на кулю, систему заряджають. Потім сферичну оболонку за ізолюючі ручки знімають. Вимірюється заряд на внутрішній кулі. Чим із більшою точністю буде виміряний цей заряд (чи його відсутність), тим точніше визначиться у показнику ступеня.
Кавендіш отримав, що . Зверніть увагу, це ще за півтора десятки років до Кулона. Максвел приблизно через 100 років після Кавендиша отримав . У 1936 році Плімптон і Лоутон досягли . І останнє, що мені вдалося знайти, це 1971 рік, вдосконалений метод Кавендиша (читайте у Матвєєва) дав .
Ну що, погодимось, що все ж квадрат ?
Останнє, на що треба звернути увагу, це межі застосування закону Кулона. Для яких відстаней він може бути застосований ?
Малі відстані. Для малих відстаней закон Кулона перевірявся у експериментах із взаємодією елементарних частинок. Навіть перші досліди Резерфорда показали, що закон Кулона виконується з великою точністю до відстаней м. А зараз у дослідах по пружному розсіюванню електронів підтвердили справедливість закону Кулона до відстаней порядку м.
Великі відстані. Тут ситуація складніша. Із збільшенням відстані сила кулонівської взаємодії зменшується . Навіть для кількох метрів відстані вже виникають проблеми. Для великих відстаней використовують непрямі методи, не пов'язані із класичною теорією електрики. Вони дали відстані до м, хоча немає підстав вважати, що він не виконуватиметься і для більших відстаней.
Принцип суперпозиції кулонівських сил
Тепер розглянемо коротко питання про адитивність дії електричних зарядів. Щоб зрозуміти це твердження, треба розглянути більше, ніж два заряди. Розглянемо три.
Рис.
Маємо три тіла із зарядами . Нехай тіла 1 і 2 знаходяться поблизу, а тіло 3 віднесене на нескінченність. Так ми можемо визначити силу взаємодії перших двох зарядів . Тепер віднесемо на нескінченність тіло 2. А на його місце поставимо тіло 3. Знайдемо силу взаємодії . А тепер поставимо тіла 2 і 3 поруч. Сила, з якою вони діють на тіло 1, дорівнює сумі виміряних сил.
Отже, дослід показав, що сила взаємодії двох зарядів не змінюється за наявності біля них третього, четвертого, десятого зарядів. Але оскільки сила - величина векторна, то для результуючої сили, яка діє на заряд з боку інших, можна записати
,
де сила взаємодії заряду з іншим.
Вектор напруженості електростатичного поля. Принцип суперпозиції полів
Тепер давайте задумаємось над ось таким питанням. При дослідженні електростатичної взаємодії зарядів чому виникають сили, які діють на заряди, і як вони передаються від одного заряду до іншого ?
Не буду детально зупинятись на позиціях далекодії і близькодії, погодимось із висновками Фарадея, Максвелла та інших кращих голів минулого про роль матерії у цих процесах передачі дії, а, отже, про признання близькодії.
Щоб зрозуміти походження і передачу сил, які діють між зарядами, слід припустити наявність між зарядами деякого фізичного агента, який здійснює взаємодію. Цим агентом є електричне поле. Електричне поле виникає біля зарядів у спокої. Коли ж заряди рухаються, або біля магнетиків, виникає магнітне поле, тобто матерія, фізичний агент, що передає магнітну взаємодію. Електричні і магнітні поля можуть перетворюватись одне у друге, і, власне, кожне з них є частинним випадком загальнішого електромагнітного поля. Але про це далі.
Будь-яке поле є матеріальним об'єктом, об'єктивною реальністю. Основною властивістю поля є те, що на заряд, поміщений у поле, починає діяти сила. Результат дії цієї сили можна зафіксувати.
Електричне поле треба охарактеризувати якоюсь величиною. Давайте візьмемо окремий заряд і розмістимо його у вакуумі. Якщо у довільну точку помістити інший заряд , між ними почне діяти сила. Наявність заряду змінює властивості оточуючого простору. Якщо ми поміщаємо туди ще один (пробний) заряд , виникає сила взаємодії. Так виникає поле сил.
Якщо не буде одного із зарядів, то другому не буде на що діяти, тому поняття сили електростатичної взаємодії можна розглядати по відношенню до двох тіл як мінімум. Якщо ж у просторі існують електричні сили, що проявляються при внесенні у нього електричних зарядів, то ми кажемо, що у ньому існує електричне поле.
Поле буде залежати від величини заряду. Очевидним здається, що чим більший заряд ми створимо, тим більше поле отримаємо. Якщо ми зафіксуємо величину заряду , то поле буде сталим. А от на пробний заряд буде діяти різна сила, пропорційна величині заряду . Щоб охарактеризувати кількісно величину електричного поля, створеного фіксованим зарядом, незалежно від величини пробного заряду, можна
1. У системі CGSE покласти ;
2. У системі SI віднести величину сили до величини пробного заряду ;
і тоді оскільки відношення сили, що діє на пробний заряд, до величини даного заряду не залежить від величини пробного заряду, воно може слугувати характеристикою поля у точці, де знаходиться заряд.
Ця величина називається напруженістю електростатичного поля. Її означення можна сформулювати і так :
Напруженість електростатичного поля - це сила, що діє з боку поля на одиничний позитивний заряд у вакуумі.
Вираз для напруженості електричного поля відрізняється у різних системах одиниць :
система CGSE;
система SI.
Отже, напруженість електростатичного поля, створеного точковим зарядом, прямо пропорційна величині цього заряду і обернено пропорційна квадрату відстані від нього, на якій вимірюється це поле. Звичайно ж, сила, з якою це поле діє на сторонній заряд, визначається як .
Оскільки за означенням напруженість поля є силою, то для електричних полів також справедливим є принцип суперпозиції
,
тобто сумарний вектор напруженості електростатичного поля є геометричною сумою всіх складових.
Теорема Остроградського-Гаусса
Електростатичне поле є векторним. Векторне поле - це поле, у кожній точці якого вектор визначений за абсолютною величиною і напрямком. Якщо відомий розподіл окремих точкових зарядів у просторі, то сумарне поле цих зарядів може бути визначеним, користуючись принципом суперпозиції. Такого роду операція у загальному випадку є дуже складною. У багатьох випадках, особливо достатньо симетричних, ця задача може бути розв'язана використанням певних теорем.
Зараз ми розглянемо теорему Остроградського-Гаусса і подивимось, як елегантно можна знайти величину електростатичного поля за її допомогою. Михайло Остроградський народився на Україні, у Полтавській губернії, навчався у Харкові і Парижі, працював потім у Петербурзі. У 1828 році довів теорему о перетворенні інтегралів, якою скористався у 1839 році Карл Фридрих Гаусс, застосувавши її до електричних явищ.
З поняттям потоку реального об'єкту ви вже зустрічались у механіці (потік рідини, повітря), молекулярній фізиці (потік молекул). З потоком вектору зустрічались хіба у курсі матаналізу.
Розглянемо будь-яку векторну величину . Під певним кутом він направлений на малу площадку (зверніть увагу, кут падіння відраховується від нормалі до поверхні). Та частина поверхні, в яку нормаль входить, називається внутрішньою, а з якої вона виходить - зовнішньою.
Як ми вводили минулого року поняття потоку ? Потік - це кількість чогось (речовини, а можна й вектору), що проходить за одиницю часу через одиничну площадку перпендикулярно до неї. Випадок у нас стаціонарний, тож час нас не цікавить. Запишемо потік вектору через площадку згідно із цим означенням потоку :
.
Друга рівність береться із означення скалярного добутку, оскільки чисельно він дорівнює проекції вектора на нормаль.
Якщо нам потрібно знайти повний потік через всю поверхню, ми інтегруємо по всій поверхні
.
Для потоків величин, як і для самих векторів існує принцип суперпозиції. Якщо справджується рівність
,
то домноживши доданки на , отримаємо
,
тобто якщо вектори додаються геометрично, потоки цих величин через одну й ту ж площадку додаються алгебраїчно.
Окремим випадком слід розглянути потік через замкнуту поверхню
.
Остроградський показав, що потік вектора через замкнуту поверхню дорівнює інтегралу від дивергенції цього ж вектора по об'єму, який ця поверхня охоплює
.
Коли об'єм настільки малий, що дивергенцію у ньому можна вважати сталою, можна переписати рівняння Остроградського у вигляді відношення потоку векторної величини через нескінченно малу замкнуту поверхню до нескінченно малого об'єму, який ця поверхня охоплює
.
Саме таким чином найчастіше вводять поняття дивергенції. Дивергенція векторної величини є величиною скалярною, нагадаю, що у декартових координатах вона має вигляд (скалярний добуток оператора набла на сам вектор)
.
Фізичний зміст дивергенції - це кількість джерел чи стоків, охоплених замкнутою поверхнею. Звичайно, що для напруженості електричного поля , джерелами та стоками є заряди, оскільки саме вони породжують електричне поле.
Якщо , це є наслідком рівності нулю потоку вектора через цю поверхню, а отже всередині немає ані джерел векторного поля, ані стоків. У нашому конкретному випадку електростатики це означає, що всередині немає зарядів. Якщо ж , то вона буде дорівнювати сумарній кількості джерел або стоків (тобто зарядів).
Рис.
Все це дає нам можливість перейти безпосередньо до доведення теореми Гаусса. Вона визначає потік вектора напруженості електричного поля через довільну замкнуту поверхню.
Візьмемо точковий заряд . Він створює у просторі електростатичне поле. Візьмемо у просторі довільну елементарну площадку , проведемо до неї нормаль . Площадку з точкового заряду видно у тілесному куті .
За означенням потоку потік вектора напруженості електричного поля через елементарну площадку запишемо як
.
З іншого боку, напруженість електростатичного поля, створеного точковим зарядом,
.
Підставимо його у вираз для потоку
.
Останній вираз отримали із таких міркувань. Розпишемо окремо скалярний добуток
.
Величина
є за означенням ні чим іншим, як отим тілесним кутом , у якому точковий заряд дивиться на площадку . Умовлено вважати, що тілесний кут додатній, якщо заряд дивиться на виділену площадку із внутрішнього боком, та від'ємний - коли із зовнішнього, це визначається знаком косинусу у попередньому виразі, тобто взаємним розташуванням вектора нормалі до поверхні та радіус-вектора, направленого з точкового заряду до вибраної поверхні.
Остаточно вираз для потоку вектору напруженості електричного поля набуває вигляду
.
Потік вектора напруженості електричного поля точкового заряду буде визначатись тією частиною, яка попадає у виділений тілесний кут. Зверніть увагу, результат не залежить від форми поверхні, а тільки від тілесного кута, під яким ця поверхня видна.
Потік вектора напруженості електричного поля через довільну незамкнуту поверхню визначається інтегруванням попереднього виразу. Оскільки величина заряду не залежить від положення площадки, її виносимо з-під знаку інтегралу
.
У випадку замкнутої поверхні, через яку ми шукаємо потік, ситуація ускладнюється. Тут треба розглядати різні випадки взаємного розташування заряду та поверхні та різні конфігурації поверхні.
Рис.
1. Заряд знаходиться всередині замкнутої поверхні. Простішою є ситуація, коли тілесний кут від заряду вирізає лише одну елементарну площадку. Тоді задача зводиться до звичайного інтегрування по повному тілесному куту
.
Частинним випадком є знаходження заряду у сфері. Для неї також справедливий цей вираз.
Складнішим є випадок, коли тілесний кут (один і той же) відтинає кілька елементарних площадок. На рисунку наведена ситуація, коли відтинається три елементарні площадки . Але на кожних двох сусідніх площадках тілесний кут має протилежні знаки (але однакову величину), бо чергуються внутрішні і зовнішні сторони, і змінюється кожного разу напрямок вектору нормалі до поверхні. Тому і у цьому випадку працюватиме цей же самий вираз, оскільки залишиться тільки одна зовнішня елементарна площадка, що дає внесок.
Рис.
2. Заряд знаходиться зовні замкнутої поверхні. Якщо заряд знаходиться зовні, то можна провести пучок дотичних до поверхні, сукупність яких утворює конус. У місці дотику конусу до поверхні утвориться замкнута лінія , що розділить поверхню на дві частини. Обидві частини видно від заряду під тим самим за абсолютною величиною тілесним кутом, але ліву частину під від'ємним (зовнішня поверхня), а праву - під додатнім. У цьому випадку потік вектору напруженості електричного поля складається з двох компонент : потоків через кожну частину, на які розділила поверхню лінія ,
,
де потоки через кожну частину поверхні.
3. Заряд знаходиться на поверхні. Цей випадок розглядати не будемо, оскільки на поверхні заряд не можна розглядати як точковий. Точковим він є на великих відстанях від об'єктів взаємодії. На поверхні це не справджується.
Підсумовуючи, можемо зробити висновок. Потік вектора напруженості електричного поля через замкнуту поверхню, створений точковим зарядом, дорівнює величині заряду, помноженій на
.
При цьому треба мати на увазі, що заряд знаходиться всередині такої поверхні.
Для окремого точкового заряду ми знайшли вираз. Але ж зрозуміло, що електрика має справу із сукупністю зарядів. Саме час застосувати принцип суперпозиції сил, полів і потоків. За принципом суперпозиції маємо
;
;
тобто нехай є сукупність точкових зарядів, поле є суперпозицією полів усіх точкових зарядів, потік напруженості сумарного електричного поля є суперпозицією потоків для окремих зарядів. Вираз для суперпозиції полів домножимо на та проінтегруємо. При цьому отримаємо вираз для потоку напруженості електричного поля
Після всіх перетворень ми нарешті отримали закон, що називається теорема Остроградського-Гаусса, або електростатична теорема Гаусса. Формулюється вона так:
Потік вектора напруженості електричного поля через замкнуту поверхню дорівнює помноженому на сумарному заряду всередині цієї поверхні.
Закон Гаусса є наслідком точної залежності у законі Кулона. Якби не було б точного квадрату, то закон не працював би. Фактично закон Гаусса в іншій формі виражає закон Кулона, закон Кулона можна отримати із закону Гаусса. Закон Гаусса більш загальний. Щоб отримати закон Кулона із закону Гаусса, треба накласти додаткову умову, що поле точкового заряду радіально напрямлене і має радіальну симетрію.
Справді, оточимо точковий заряд сферою радіуса , центр якої співпадає із точковим зарядом. Тоді закон Гаусса має вигляд
,
оскільки (поле направлене радіально і співпадає за напрямком із вектором нормалі до поверхні сфери), а заряд - лише один. З другої рівності маємо закон Кулона
.
Тепер, у якій системі одиниць ми отримали теорему Гаусса ? У системі Гаусса. Тепер давайте перейдемо до системи СІ. Для цього нам треба ввести нову фізичну величину. Вона називається вектор електричної індукції, або електричне зміщення, і вводиться як
.
Зауважте, це стосується лише системи СІ. В системі Гаусса (CGSE) , і вектор електричної індукції є рівним вектору напруженості електричного поля, тому вводити його немає сенсу. Більш коректно ми введемо вектор електричної індукції в діелектриках, частинним випадком яких є вакуум.
Для точкового заряду в системі СІ вектор електричної індукції має вигляд
.
В системі СІ теорема Гаусса формулюється для потоку вектора електричної індукції. Легко переконатись, що
Потік вектора електричної індукції через замкнуту поверхню, дорівнює алгебраїчній сумі всіх зарядів, розміщених всередині поверхні :
Бачите, в системі СІ відбулось деяке спрощення виразу закону Гаусса за рахунок введення .
Тепер звернемось до розмірностей. З останнього рівняння бачимо, що розмірність потоку вектора електричної індукції є Кл. Звідси електричну індукцію можна визначити як її потік через одиничну площадку нормальної до напрямку зміщення. Тому розмірність електричної індукції є .
Диференціальна форма запису теореми Остроградського-Гаусса
У різних системах одиниць ми отримали із вами теорему Остроградського-Гаусса у інтегральній формі. Чим це незручно ? Іноді в інтегральній формі розв'язати задачу неможливо з яких-небудь причин (складна форма поверхні, неоднорідне і несиметрично розподілене у просторі поле, тощо). Тоді переходять до локальних характеристик, тобто записують рівняння у диференціальній формі.
Знехтуємо дискретністю електричного заряду і введемо деякі абстрактні величини :
об'ємна густина заряду;
поверхнева густина заряду;
де елементарні об'єм та площа.
Ці характеристики є локальними. Пов'яжемо їх із напруженістю електричного поля та вектором електричної індукції.
Нехай є об'єм , площа поверхні якого , і у якому містяться точкові заряди, із сумарним зарядом . Тоді, нехтуючи дискретністю заряду, можемо записати
.
Тоді за теоремою Гаусса потік вектора електричної індукції через поверхню заданого об'єму
Тепер скористаємось, власне внеском Остроградського у закон. Він показав, що
.
Це дає нам можливість переписати рівняння Гаусса у вигляді
.
Чи завжди ці інтеграли рівні ? Якщо при зміні меж інтегрування рівність зберігається, то підінтегральні вирази рівні. Звідси теорема Гаусса у диференціальній формі
в системі SI;
в системі CGSE.
Ці рівняння мають назву рівняння Пуассона. А яку вони ще мають назву ? А це не що інше, як одне з рівнянь Максвелла у диференціальній формі ! (Його інтегральний аналог - також).
Зверніть увагу на фізичний зміст рівнянь. Дивергенція - це кількість джерел та стоків. А яке у нас джерело поля ? Заряд.
Давайте звернемось до силових ліній поля, щоб унаочнити картину. Нагадаю :
Силові лінії поля - це лінії, дотичні до яких у будь-якій точці співпадають із вектором напруженості електричного поля.
Оскільки дотична задасть два напрямки, то домовились за напрямок силової лінії вибрати напрямок дії сили на позитивний заряд. Також домовились лінії проводити густіше там, де поле вище. Ці домовленості узгоджуються із теоремою Гаусса та добре її ілюструють.
Рис.
Треба ще зауважити, що силові лінії ніколи не обриваються у просторі, вони починаються на одному заряді, а закінчуються на іншому. На рисунках наведені силові лінії точкових зарядів. Коли вони поруч, то проблем із замиканням силових ліній не виникне. Вони почнуться на позитивному заряді, а закінчаться на негативному. А що, коли є тільки один заряд ? А тоді силові лінії закінчуються або починаються на навколишніх предметах, на яких виникають індуковані заряди.
Крім того, силові лінії не можуть перетинатись, оскільки за означенням силової лінії, в кожній точці поля вектор напруженості має певний, цілком визначений напрямок.
Крім того, силові лінії завжди перпендикулярні контактам, інакше виникає складова струму вздовж контакту, що порушить закон збереження зарядів.
Рис.
Давайте будемо проводити лінії так, щоб через площадку, перпендикулярну напрямку ліній, проходила кількість ліній рівна, або пропорційна напруженості електричного поля. Тобто у нас буде кількість силових ліній на одиницю площі, проекція вибраної площадки на площину, перпендикулярну напрямку силових ліній. Тоді кількість силових ліній, що проходить через всю площадку . З іншого боку, за означенням потоку вектора напруженості електричного поля
Рис.
.
Візьмемо точковий заряд і оточимо його сферою довільного радіуса . Поле, яке він створить на такій відстані становить . Площа поверхні сфери, через яку пройде потік вектора напруженості електричного поля . Тоді величина потоку
.
Дивіться, яку красиву геометричну інтерпретацію закону Гаусса ми отримали. Ми взяли сферу на довільній відстані. Ближче до заряду - поле вище, кількість ліній більша, далі - менша. А потік не змінився. Він визначається лише величиною заряду; не буде заряду, буде відсутній потік.
Ще одна ілюстрація поведінки силових ліній як наслідку закону Гаусса. Візьмемо замкнутий контур площею і проведемо через нього силові лінії. Напрямок їх вказано. Вони утворять трубку. Виберемо інший переріз трубки . Розглянемо замкнуту поверхню, що утворилась. Зарядів всередині немає. Потік через бічну поверхню відсутній , тому нас цікавлять тільки потоки через перерізи. Вони мають різні знаки, оскільки нормалі до поверхонь направлені у різні боки.
Рис.
Сумарний потік становитиме . З іншого боку, за теоремою Гаусса відсутність зарядів у об'ємі означає відсутність потоку. Це приводить до . Чим визначаються потоки ?
.
Маємо повну аналогію із течією рідини, що не стискається, по трубі різного перерізу. Більший переріз - менша напруженість електричного поля (тобто рідше йдуть силові лінії). Застосування теореми Гаусса для знаходження напруженості електричного поля Теорема Гаусса дозволяє дуже просто і елегантно знайти напруженість електричного поля у багатьох випадках. Розглянемо деякі із них, решту знайдете на семінарах та в підручниках.
Рис.
Нескінченна заряджена площина. Тонка площина заряджена із поверхневою густиною заряду . Електричне поле, створене пластиною, напрямлене перпендикулярно до її площини з міркувань симетрії. Замкнутий об'єм виберемо у вигляді прямого циліндру, вісь якого перпендикулярна площині з площами основ, рівними . Він охопить заряд . Через бічні поверхні потік вектора напруженості електричного поля рівний нулю (рівність нуля косинусу). Тоді треба враховувати тільки потоки через дві основи. За теоремою Гаусса
,
звідки напруженість електричного поля поблизу пластини в системі Гаусса
.
В системі СІ
; .
Звідси поле в системі СІ
Поверхня зарядженого металу. При розв'язуванні задачі врахуємо, що поле всередині провідника дорівнює нулю.
Рис.
Провідник має вільні заряди. Ми розглядаємо електростатичну задачу, тобто нерухомих зарядів. За наявності поля у провіднику виникав би струм. Якщо таке поле й виникне, то одразу виникне протилежного знаку, щоб його скомпенсувати. Це випливає із закону збереження зарядів.
Силові лінії електричного поля перпендикулярні границі провідника. Інакше б виникав струм вздовж контактів.
Знову виділимо поблизу поверхні провідника прямий циліндр. Потоку через бічну поверхню не буде, а буде лише через одну основу
.
Напруженість поля поблизу поверхні металу (провідника) в системі Гаусса
.
В системі СІ :
; .
Може здивувати той факт, що в обох випадках визначається поле біля зарядженої поверхні, а результати відрізняються удвічі. Насправді, нічого дивного немає. Силові лінії, що починаються біля провідника, повинні закінчуватись на інших тілах, де індукується заряд. Тому формула практично враховує не тільки заряд площини, а й індукований заряд. Пояснити це легше на прикладі заряду конденсатора.
Рис.
Поверхневий заряд на одній з пластин конденсатора індукує заряд на другій. На першій пластині виникає поле , на другій - . Поля направлені у протилежних напрямках, тому віднімаються, і сумарне поле становить .
Рівномірно заряджена непровідна куля. Маємо кулю, рівномірно заряджену по об'єму із об'ємною густиною . Із симетрії задачі очевидно, що силові лінії поля будуть напрямлені радіально. Виберемо замкнуту поверхню у вигляді сфери радіуса .
Система Гаусса.
Для : . Сфера охоплює всю кулю. Охоплений заряд становить . Звідси поле поза кулею співпадає із полем точкового заряду, розташованого у її центрі
Для : , де . Звідси поле становитиме.
В системі СІ.
: , звідки , .
: , де . Отже ; .
Рис.
Графічно залежність електричного поля, створеного зарядженою непровідною кулею, наведена на рисунку.
Металева куля. У випадку металевої кулі все співпадає із випадком непровідної кулі, крім того, що всередині металевої кулі поля немає (дивись рисунок).
Нескінченна заряджена нитка. Нехай є нескінченно довга тонка нитка радіусом , заряджена з об'ємною густиною . На одиницю її довжини припадає заряд
.
З симетрії задачі очевидно, що силові лінії поля направлені радіально. У якості замкнутої поверхні виберемо коаксіальний циліндр довільної довжини і радіуса . Очевидно, що потік вектора напруженості електричного поля буде направлений лише через бічну поверхню циліндру.
Рис.
В системі Гаусса.
: , звідки .
: , звідки .
Потенціальний характер електростатичного поля
Нехай точковий заряд створює у вакуумі електричне поле . У цьому полі рухається інший заряд . Нехай вас не дивує рух заряду в електростатиці. Електростатика має на увазі, що поле створюється нерухомим зарядом.
Рис.
З боку нерухомого заряду на рухомий діє сила . Якщо заряд змістився на відстань , над ним виконується робота
З рисунка бачимо, що , тому вираз для елементарної роботи набуває вигляду
.
Робота, яка виконається на певному скінченому шляху, визначається інтегруванням
.
Як бачимо, робота при довільному виборі початкової і кінцевої точок залежить лише від положення цих точок (проведені до них радіус-вектори), а не від шляху.
Силові поля, робота в яких не залежить від форми шляху, називаються консервативними, або потенціальними.
Отже, електростатичне поле точкового заряду є потенціальним. Внаслідок принципу суперпозиції це справедливе і для будь-якої сукупності точкових зарядів. В загальному випадку будь-яку систему можна розділити на дрібні частини, кожну з яких розглядати як точковий заряд. В число таких зарядів повинні включатися і заряди, що індукуються на провідниках та діелектриках. Тому будь-яке електростатичне поле, не залежно від того, створене воно у вакуумі чи середовищі, є потенціальним.
Рис.
Давайте розглянемо ще таку ситуацію. Заряд можна перенести з точки 1 у точку 2 шляхом 132 і шляхом 142. Внаслідок потенціальності поля точкового заряду роботи у обох випадках рівні
.
Якщо ж заряд переносити по замкнутій ділянці 13241, то на ділянці 241 знак роботи зміниться, тому
,
Звідки
.
Отже, при переміщенні заряду по замкнутому шляху у електростатичному полі робота дорівнює нулю. (Згадайте роботу при оборотному процесі у термодинаміці).
Якщо заряд, що переміщується, є одиничним, то робота зводиться до криволінійного інтегралу . Такий інтеграл називається циркуляцією вектора напруженості електричного поля по відповідному замкнутому контуру. Отже, внаслідок потенціального характеру електростатичного поля маємо
Це дає можливість дати інше означення потенціальності поля.
Векторне поле називається потенціальним, якщо циркуляція вектора по будь-якому замкнутому контуру дорівнює нулю.
Із отриманого рівняння випливає, що силові лінії електростатичного поля не можуть бути замкнутими.
Рис.
Доведемо це твердження від супротивного. Нехай силова лінія замкнута, і ми використаємо її у якості контуру для інтегрування. За означенням силова лінія - це лінія, дотична до якої співпадає з напрямком вектора напруженості електричного поля. Кут між дотичною і силовою лінією не перевищуватиме 90. Отже, , тому при інтегруванні скалярного добутку величина буде домножена на додатню величину (відмінну від нуля). Отже, , що суперечить властивості потенціальності поля.
Диференціальне формулювання потенціальності електростатичного поля
Як і у теоремі Гаусса ми переходили до диференціальних величин за допомогою теореми Остроградського, так само перейдемо до диференціальної характеристики потенціального поля за допомогою формули Стокса. Формула Стокса встановлює зв'язок циркуляції векторного поля по контуру із потоком ротора (вихра) цього вектора через поверхню, обмежену цим контуром :
.
Коли контур дуже малий, ротор у ньому можна вважати сталим, і переписати рівняння Стокса у вигляді рівності проекції ротора вектора на довільний напрямок відношенню циркуляції вектора по нескінченно малому замкнутому контуру до нескінченно малої площі, яку цей контур охоплює
.
Таким чином вводять поняття ротора (згадайте, аналогічно через формулу Остроградського ми вводили дивергенцію). Ротор векторної величини є величиною векторною, і являє собою векторний добуток оператора набла на відповідний вектор
.
Отже, наклавши умову потенціальності електростатичного поля на вираз для проекції ротору на довільний напрямок, маємо
.
Оскільки ніяких обмежень на вектор не накладалось, він був довільним, то це означає, що і
.
Фізичний зміст ротору - це наявність чи відсутність у векторному полі циркуляції по замкнутому контуру.
З умови випливає, що електростатичне поле є безвихровим, тобто циркуляція вектора напруженості електричного поля у ньому відсутня. У ньому немає замкнутих силових ліній. Всі вони починаються на позитивних зарядах і закінчуються на негативних, хоча б і індукованих.
І останнє зауваження. Умови потенціальності електростатичного поля як у інтегральному вигляді, так і у диференціальному вигляді є частинними випадками рівнянь Максвелла ! (так само як і обидва вигляди теореми Остроградського-Гаусса.
Скалярний потенціал, різниця потенціалів
Ми вже переконались, що електричне поле можна характеризувати напруженістю електричного поля. Введемо ще одну характеристику.
Для потенціальних полів можна ввести поняття потенціалу, а, точніше, різниці потенціалів.
Різницею потенціалів (або електричною напругою) між точками 1 і 2 називається робота, яку виконують сили поля при переміщенні одиничного позитивного заряду довільним шляхом з точки 1 у точку 2 :
.
Зверніть увагу, у виразі для роботи заряд відсутній, бо він одиничний.
Таке визначення має сенс, оскільки ця робота не залежить від форми шляху, а визначається тільки положеннями початкової і кінцевої точок. Воно стосується тільки різниці потенціалів. Можна вибрати якусь початкову точку 0 і приписати потенціалу у цій точці значення . Тоді потенціали решти точок визначаться однозначно :
; .
Якщо змінити потенціал , решта потенціалів зміниться на таку ж саму сталу. Таким чином потенціал визначається з точністю до сталої, але це не має значення, оскільки фізичні явища пов'язані з напруженістю електричного поля, яка, в свою чергу, пов'язана саме з різницею потенціалів.
Оскільки існує і просто поняття потенціалу, то нам треба його якось визначити. Його можна визначати через ту ж саму роботу, якби позбавитись другого потенціалу. Коли потенціал може перетворитись на нуль ? Скоріше за все тоді, коли напруженість електричного поля перетвориться на нуль. А коли прямує до нуля напруженість поля точкового заряду ? На нескінченності. Тоді визначення потенціалу можна дати наступним чином :
Потенціал чисельно дорівнює роботі, що виконує поле при віддаленні одиничного позитивного заряду на нескінченність
Поняття різниці потенціалів широко використовують з двох причин.
По-перше, опис електричного поля за допомогою потенціалу значно простіший, ніж за допомогою напруженості електричного поля. Напруженість поля - вектор, а різниця потенціалів - скаляр. Для визначення напруженості у кожній точці треба знати три скалярні величини складові напруженості по координатах. Потенціал визначається в кожній точці лише одним скалярним значенням.
По-друге, різницю потенціалів простіше виміряти на досліді, існують відповідні прилади. Для вимірювання напруженості електричного поля зручних методів немає.
Тепер визначимо, в яких одиницях визначається різниця потенціалів (або напруга). Для цього давайте запишемо вираз для роботи, яка виконується при переміщенні не одиничного заряду, а заряду . Тоді
; .
Користуючись цією формулою і введемо одиниці виміру.
В системі Гаусса за одиницю потенціалу приймають різницю потенціалів між двома таким точками, що при переміщенні електростатичної одиниці заряду між ними електричне поле виконує роботу у 1 ерг :
.
Власної назви вона не має. Красуня просто. І, як бачите, дуже зручна.
Практично вживається одиниця потенціалу системи СІ - вольт.
Вольт - є різниця потенціалів між такими точками, коли при переміщенні заряду в 1 Кл з однієї точки в іншу електричне поле виконує роботу, рівну 1 Дж.
...Подобные документы
Поняття та економічна сутність грошей, їх основні функції та особливості використання в сучасному світі. Еволюція грошей від стародавніх часів до сьогодення. Структура, елементи грошових систем. Зміст, значення закону грошового обігу, сфери використання.
контрольная работа [30,9 K], добавлен 03.01.2011Поняття грошового обороту та його економічна основа. Модель грошового обігу. Сутність пересування фінансових потоків. Поняття грошової маси, агрегатів та грошової бази. Фактори, що впливають на швидкість обігу грошей. Суть закону, що його описує.
контрольная работа [487,3 K], добавлен 30.01.2015Поняття бюджету як обов’язкової умови ефективного функціонування держави, його сутність і особливості, вплив на політичну ситуацію та регулювання податків. Становлення та сучасний стан бюджетної системи США та Німеччини, їх особливості та відмінні риси.
контрольная работа [13,4 K], добавлен 12.04.2009Економічна сутність та значення податкового контролю для формування грошових ресурсів держави. Підходи до визначення поняття "податковий контроль" різними авторами, їх класифікація за ознаками, аналіз та співставлення. Ключові ознаки поняття "методика".
контрольная работа [29,4 K], добавлен 15.05.2011Поняття внутрішніх джерел фінансування підприємства, їх сутність і особливості, значення в діяльності організації. Способи формування прихованих резервів у балансі, визначення їх величини, порядок мобілізації. Поняття та використання тезаврації прибутку.
контрольная работа [30,5 K], добавлен 12.04.2009Сутність і функції грошового ринку в ринковій економіці. Роль, значення і структура грошового ринку. Особливості попиту та пропозиції на грошовому ринку. Аналіз грошового ринку України на сучасному етапі. Динаміка грошових агрегаті. Стан та огляд ринку.
курсовая работа [337,3 K], добавлен 13.12.2008Сутність, поняття та функції прибутку підприємства. Аналіз ліквідності, ділової активності та фінансової стійкості підприємства. Аналіз формування прибутку й показників рентабельності. Розрахунок впливу підвищення обсягів продажу на прибуток фірми.
дипломная работа [1,6 M], добавлен 09.06.2015Поняття рентабельності, особливості її оцінки у сучасних умовах, система показників. Фактори збільшення норми та принципи планування. Загальна характеристика діяльності, аналіз рентабельності діяльності підприємства, перспективи та шляхи її підвищення.
курсовая работа [647,4 K], добавлен 01.12.2014Походження, форми організації та розвиток центральних банків розвинутих країн. Поняття, сутність та види грошових реформ: формальних, деномінаційних, конфіскаційних, одномоментних, паралельного типу. Особливості проведення грошової реформи в Україні.
реферат [28,0 K], добавлен 20.12.2010Характеристика принципу обов'язковості, який для загальнодержавної системи оподаткування, як і для її підсистеми, сформованої у сільському господарстві, має визначальне значення. Дотримання детермінованості принципу обов'язковості в системі оподаткування.
реферат [22,8 K], добавлен 21.03.2012Сутність поняття фінансової стійкості. Характеристика показників фінансового стану підприємства з точки зору теорії. Рекомендації щодо підвищення рівня стійкості та платоспроможності підприємства. Аналіз фінансового стану ВАТ "Львівбудкомплектація".
курсовая работа [45,8 K], добавлен 17.01.2011Сутність, класифікація і політика управління фінансовими ризиками. Форми та види кредиту в ринковій економіці. Поняття та види пенсій. Аналіз ліквідності балансу. Функції банкрутства та його види. Політика залучення коштів. Метод балансової вартості.
шпаргалка [1,9 M], добавлен 02.10.2014Аналіз фінансових ринків на основі вивчення фінансово-економічної інформації. Класична праця Бенджаміна Грехема і Девіда Додда "Аналіз цінних паперів". Фундаментальний аналіз на фондовому ринку. Рівні фундаментального аналізу. Що і хто впливає на ринок.
презентация [3,2 M], добавлен 18.05.2016Поняття та характеристика коштів підприємства, завдання та джерела аналізу їх руху. Особливості та суть прямого та непрямого методів оцінки грошових коштів, вплив об'єктивних і суб'єктивних внутрішніх і зовнішніх факторів на ефективність їх використання.
курсовая работа [93,4 K], добавлен 14.01.2012Згідно зі ст. 1 Закону про податок з власників транспортних засобів фізична або юридична особа визначається платником податку, якщо є власником зареєстрованого в Україні транспортного засобу, визначеного як об'єкт оподаткування ст. 2 цього ж Закону.
реферат [21,8 K], добавлен 23.12.2008Функції грошей як засобу обігу та особливого товару, що є загальною еквівалентною формою вартості інших товарів. Історія виникнення грошей. Особливості функціонування грошової системи. Сутність закону грошового обігу. Гривня - національна валюта України.
презентация [10,2 M], добавлен 19.02.2013Сутність грошей як загального еквівалента. Раціоналістична та еволюційна концепція їх походження. Роль держави у їх створенні грошей та функціонуванні після демонетизації золота. Гроші як капітал. Специфіка вияву їх суті у різних економічних формаціях.
презентация [2,6 M], добавлен 13.06.2015Поняття і сутність фінансового ринку. Основні напрями його вдосконалення. Мета, принципи і завдання організації управління фінансовим ринком держави. Аналіз фінансово-економічних показників формування фінансового ринку України. Вплив держави на його стан.
курсовая работа [162,6 K], добавлен 20.06.2014Сутність та особливості регулювання дебіторської заборгованості, оцінка негативного впливу на фінансовий стан підприємства, проблеми управління. Первинна інформація про дебіторську та кредиторську заборгованість, особливості її відображення в обліку.
реферат [15,9 K], добавлен 08.09.2014Аналіз прибутку - основного фінансового результату підприємства. Сутність приватного сільськогосподарського підприємства "Промінь", його фінансовій аналіз. Поняття капітальних вкладень підприємства, основні джерела фінансування, напрями капіталовкладень.
курсовая работа [78,5 K], добавлен 18.03.2012
