Размещено на http://www.allbest.ru/

Тюменский государственный колледж профессионально-педагогических технологий

Лекции по финансовой математике

для студентов специальностей 0604 «Банковское дело», 0615 «Налоги и налогообложение»

О.Л. Сидорова

Тюмень - 2004



Модуль 1. Простые проценты

«Золотое правило бизнеса: Сумма, полученная сегодня, больше той же суммы, полученной завтра»

В основе финансово-экономических расчетов лежит понятие временной ценности денег. В практических финансовых и коммерческих операциях суммы денег обязательно связываются с некоторыми конкретными моментами или интервалами времени. Для этого в контрактах фиксируются соответствующие сроки, даты, периодичность поступлений денежных средств или их выплат.

Фактор времени играет не менее важную роль, чем размеры денежных сумм. Необходимость учета фактора времени определяется принципом не равноценности денег, относящихся к разным периодам времени.

Дело в том, что, даже в условиях отсутствия инфляции и риска, 1000 руб., полученных через год, не равноценны этой же сумме, полученной сегодня. Не равноценность определяется тем, что любая сумма денег может быть инвестирована сегодня и принести доход в будущем. Поступившие доходы в свою очередь могут быть реинвестированы и т.д.

Следовательно, сегодняшние деньги в этом смысле ценнее будущих, а будущие поступления менее ценны, чем современные.

Известный афоризм, «время - деньги» (Time is money) как нельзя лучше выражает сущность современного количественного финансового анализа.

Расчет и анализ любой финансовой операции начинается с приведения всех платежей, осуществленных в различные моменты времени, к одному моменту (настоящему или будущему), только после этого денежные суммы можно между собой сравнивать, вычитать, складывать.

Описание изменения денежных сумм во времени производится путем вычисления дохода от инвестирования денег, т.е. путем начисления процента на первоначальную сумму, поэтому теория процентных ставок - основа временной стоимости денег.

Основные понятия кредитной операции

Получение кредита - наиболее распространенная финансовая сделка. Она характеризуется следующими величинами:

K - начальный капитал или сумма ссуды;

S - наращенная сумма или полная стоимость кредита с процентами.

I = S - K - доход (процентные деньги, проценты), получаемый кредитором от предоставления денег в долг;

n - период начисления процентов в годах,

,

n =1 год - процентная ставка - относительная величина дохода в сумме долга за единицу времени.

Процентная ставка i может измеряться в процентах (%), в виде десятичной или натуральной дроби.

Например: i=15% =0.15;

i=200%=2.0 и т.д.

В формулах для финансовых расчетов процентная ставка берется в виде десятичной дроби.

1. По базе начисления проценты делятся на простые и сложные

Если база постоянна на весь период начисления процентов, используют простые проценты. Обычно период начисления в этом случае n < 1 года.

Если за базу для начисления принимается сумма, полученная из предыдущей, с прибавлением к ней процентов, то используют сложные проценты (иначе, процент на процент)

2. По принципу расчета процентов различают ставки наращения i и учетные ставки d.

Плата за кредит может взиматься как в конце срока, так и в его начале.

В первом случае проценты начисляются в конце срока, исходя из величины предоставляемой суммы K, и возврату подлежит сумма долга вместе с процентами, т.е.

S = K + I

Такой способ начисления процентов называется декурсивным

Процентная ставка

,

(n=1 год) называется ставкой наращения.

Во втором случае процентный доход D называемый дисконтом, выплачивается в начале срока. При этом должнику выдается сумма, уменьшенная на его величину, т.е S - D; а возврату в конце срока подлежит вся исходная ссуда S.

Такой способ начисления процентов называется антисипативным, а процентная ставка - учетной ставкой.

Учетная ставка

3. Процентные ставки могут быть фиксированными (постоянными), когда в контракте (сделке, финансовой операции) указывается их размер или «плавающие», когда фиксируется не сама ставка, а изменяющиеся во времени базовая ставка и надбавка к ней, называемая маржой.

4. По периоду начисления проценты делятся на дискретные проценты и непрерывные проценты.

Дискретные проценты начисляются за фиксированные в договоре интервалы времени (год, полгода, квартал, месяц, день).

Непрерывные проценты связаны с непрерывным интервалом начисления.

Операция наращения состоит в том, что по сегодняшней сумме ссуды K рассчитывается ее будущая стоимость S.

Операция дисконтирования состоит в том, что на сегодняшний момент времени пересчитывается некоторая будущая сумма денег S.

В этом случае сумму K называют современной или приведенной величиной.

Простые проценты

Простые проценты - это метод расчета дохода кредитора от предоставления денег в долг заемщику.

Сущность простых процентов состоит в том, что они начисляются на одну и ту же величину капитала К в течение всего срока ссуды. Простые проценты дают больший доход при их начислении на срок меньше года.

Основная формула простых процентов:

или , где

К - начальный капитал,

I - доход (процентный платеж, процентные деньги или просто проценты), получаемый кредитором от заемщика за пользование денежной ссудой;

p - процентная ставка, показывающая сколько денежных единиц должен заплатить заемщик за пользование 100 ед. капитала за год,

т. е. годовая ставка в процентах. Если ставка измеряется в долях единицы, то она обозначается буквой

Если деньги отданы взаймы под проценты, то заемщик возвращает наращенную сумму

S = K + I = K + Kni = K(1 + ni), где

- процентная ставка в долях единицы, n - время в долях года.

Доход за n лет I = Kni,

(1 + ni) - множитель наращения по простым процентам.

Итак, если по начальному капиталу (сегодняшним деньгам) K находится будущая сумма денег S, то операция называется наращением.

Если же, зная будущие деньги S, находят их сегодняшнюю сумму K по формуле:

,

то операция называется математическим дисконтированием,

- дисконтный множитель.

Задача 1

Капитал 200 тыс. руб. вложен в банк на 8 месяцев под 12% годовых.

Найти сумму, которая будет получена к концу срока.

К = 200 тыс. руб., n =года, i = 0,12, p = 12%. S = ?

Решение:

I способ

S = K + I, I =

I = = 16 тысяч руб.

S = 200 + 16 = 216 тысяч руб.

II способ

Ставка годовая, срок n в месяцах переведем в доли года: n = 8 месяцев = года.

S = K(1 + ni)=200(1 +.0,12) = 216 тысяч руб.

Задача 2

Капитал 200 тыс. руб. вложен в банк на 80 дней под 12% годовых.

Найти величину вклада через 80 дней. Расчет сделать точным и банковским методом.

Решение:

K = 200 тысяч руб. n =года или n = года, i = 0,12, S=?



1. Точный метод:

Т.К. ставка годовая, срок n переведем в доли года:

n = года,

S = K(1 + ni) = 200(1 + тыс. руб.

2. Банковский метод:

Срок n = года,

тыс.руб.

Банковский метод дает большее наращение

Ставка i и время n в этих формулах соразмеримы

Это значит, что если ставка годовая, время измеряется в годах; если ставка полугодовая - время в полугодиях и т.д.

Задача 3

Начальный капитал 30 млн. руб. Найти наращенную сумму через 5 месяцев по

а) ежегодной ставке 30 %;

б) ежемесячной ставке 3 %;

в) квартальной ставке 5 %.

Решение:

S = k(1 + ni), k = 30 млн., n = 5 месяцев.

а) Т.к. 30% - годовая ставка, время переводим в доли года n = 5 месяцев = года.

S = 30(1 + ) = 33,75 млн. руб.

б) I способ

Рассчитаем наращенную стоимость, используя ежемесячную ставку и время в месяцах:

3 % - ежемесячная ставка, n = 5 месяцев,

S = 30(1 + = 34,5 млн. руб.

II способ

Рассчитаем наращенную стоимость, переведя ежемесячную ставку в годовую, и время в месяцах переведем в доли года:

- годовая ставка, n = 5 месяцев = года,

S = 30(1 + = 34,5 млн. руб.

в) I способ

Рассчитаем наращенную стоимость, используя ежеквартальную ставку, и время в месяцах переведем в кварталы, помня о том, что 1 квартал равен 3 месяцам: 5% - ежеквартальная ставка, n = 5 месяцев = квартала,

S = 30(1 + = 32,5 млн. руб.



II способ

Рассчитаем наращенную стоимость, переведя ежеквартальную ставку в годовую, и время в месяцах - в доли года: квартала = 20% - годовая ставка, n = 5 месяцев = года,

S = 30(1 + = 32,5 млн. руб.

III способ

Рассчитаем наращенную стоимость, используя ежемесячную ставку и время в месяцах:

% - ежемесячная ставка, n = 5 месяцев,

S = 30(1 + = 32,5 млн. руб.

Обратите внимание:

Ставка годовая, срок измеряется в годах;

Ставка ежемесячная, срок - в месяцах и т. д.

Банковский учет. Учет векселей

Операция по учету векселей состоит в том, что банк до срока погашения покупает (учитывает) вексель у его держателя.

При работе с векселями начальный капитал К находят, используя учетную ставку d.

;



(1-nd) называется дисконтным множителем

Такое дисконтирование называется банковским учетом или учетом векселей.

Согласно этому методу, проценты за использование ссуды в виде дисконта D = Snd начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока (т.е. не на начальный капитал К, а на наращенную сумму S).

Из формулы банковского учета

Это формула наращения по простой учетной ставке.

В этих формулах n - срок от момента учета векселя до момента его погашения.

Задача 4

Векселедержатель предъявил для учета вексель на 5 млн. руб. со сроком погашения 28.09.96. Вексель предъявлен 13.09.96.

Какую сумму получит векселедержатель, если:

а) вексель погашается по учетной ставке d = 0,75;

б) вексель погашается по процентной ставке i = 0,75?

Решение:

1) по учетной ставке К = S(1 - nd) = 5(1 - 0,75) = 4,844 млн. руб.

по процентной ставке К == 4,848 млн. руб.

Вексель выгоднее учитывать по процентной ставке, в этом случае векселедержатель получает большую сумму.



Одновременное наращение и дисконтирование

В том случае, когда учету подлежит долговое обязательство, предусматривающее начисление простых процентов на первоначальную сумму долга K, необходимо решить две задачи:

1. определить конечную сумму долга S на момент его погашения;

2. рассчитать сумму K₁, получаемую при учете, путем дисконтирования конечной суммы долга, применяя учетную ставку, действующую в момент учета.

В задачах такого типа при работе с векселями рассматриваются три даты: выдачи векселя, его учета и его погашения.

Срок между датами выдачи и погашения обозначим n, за это время первоначальная сумма K по ставке i вырастет до суммы S = K(1+ni).

Срок между датами учета векселя и его погашением обозначим через n₁. Найдем сумму. Полученную при учете векселя, дисконтируя сумму S по ставке d:

K₁ = S(1-n₁d).

Оба действия можно объединить в одно:

K₁ = K (1+ni)(1-n₁d).

Задача 5

Платежное обязательство уплатить через 100 дней 2 млн. руб. с процентами, начисляемыми по ставке простых процентов i=20% годовых, было учтено за 40 дней до срока погашения по учетной ставке d =15%. Требуется найти сумму, полученную при учете.

Решение:

Формулы доходности финансовых операций

Если в формулах наращения по процентной и учетной ставке принять срок n = 1 году, то получим, что

.

Если n1 году,

.

Эти формулы принято называть формулами доходности или эффективности по простой ставке процентов и учетной ставке соответственно.

Задача 6

Предприятие получило кредит на 1 год в размере 100 млн. с условием возврата 150 млн.

Найти доходность операции для кредитора в виде процентной и дисконтной (учетной) ставок. К = 100 млн., S = 150 млн., n = 1 год. I = ?, d = ?

Решение:



Дисконтная ставка всегда меньше процентной, ибо она учитывает время более жестко

Иногда размер дисконта в контрактах фиксируется за весь срок ссуды в виде доли (или процента) от суммы погасительного платежа. Таким образом, уровень процентной ставки задается в неявном виде. Выведем формулы, с помощью которых можно вычислить значения этих ставок.

Пусть S- размер погасительного платежа (сумма ссуды к концу срока), d_n - доля этого платежа, определяющая величину дисконта за весь срок ссуды.

К = S(1 - d_n) - реально выдаваемая ссуда в момент заключения договора.

Тогда

;

.

Задача 7

Кредитор и заемщик договорились, что из суммы кредита, выданного на 200 дней, сразу удерживается дисконт в размере 25% указанной суммы. Требуется определить цену кредита в виде простой годовой учетной ставки d и годовой простой ставки i. Год полагать равным 365 дней.

Решение:

Простые переменные ставки

В кредитных соглашениях иногда предусматриваются изменяющиеся во времени процентные ставки.

Если i₁, i₂,… i_k - последовательные во времени простые ставки,

а n_1, n_2,… n_k - периоды, в течение которых применяются соответствующие ставки, тогда наращенная сумма определяется следующим образом:

Задача 8

Контракт предусматривает следующий порядок начисления процентов: первый год - ставка 16%, в каждый последующем полугодии ставка повышается на 1%. Определить множитель наращения за 2,5 года.

Дано:

n₁=1 год, i₁ =16%,

n₂=1/2 года, i₂ = (16+1)% = 17%,

n₃=1/2 года, i₃ = (17+1)% = 18%,

n₄=1/2 года, i₄ = (18+1)% = 19%,

Общий срок начисления процентов 1+1/2+1/2+1/2=2,5 года.

Множитель наращения =

Иначе, за 2б5 года начальный капитал увеличился в 1,43 раза.

Реинвестирование

В практике при реинвестировании средств в краткосрочные депозиты иногда прибегают к неоднократному последовательному повторению наращения по простым процентам в пределах заданного общего срока, т.е. к реинвестированию средств, полученных на каждом этапе наращения. (Напоминает наращение по сложным процентам, но только напоминает!)

В этом случае наращенная сумма для всего срока составит:

k - количество реинвестиций.

Если периоды начисления и ставки не изменяются во времени, то формула реинвестирования примет вид:

,

k - количество реинвестиций.

Задача 9

Сумму в 100 тысяч рублей положили 1 января на месячный депозит под 20% годовых. Каковой будет наращенная сумма, если операция повторяется 3 раза? Расчет сделать по точным и банковским процентам.

Решение:

По условию задачи депозит в 100 тысяч рублей реинвестируется трижды по простым процентам.

По точным процентам:

(Помните, что в январе 31 день, в феврале - 28 дней, в марте - 31 день!)

По банковским процентам при условии, что в каждом месяце по 30 дней:

Модуль 2. Сложные проценты

Наращение по сложным процентам

В средне и долгосрочных операциях, если проценты не выплачиваются сразу после их начисления, а присоединяются к сумме долга, то для наращения используются сложные проценты.

Сложные проценты отличаются от простых процентов базой начисления. Если в простых процентах она остается постоянной на весь срок начисления, то в сложных при каждом начислении процентные деньги присоединяются к первоначальной базе. Говорят, идет капитализация процентов. Формула наращения по сложным процентам, если проценты начисляются один раз в году, имеет вид

,

где i - годовая (номинальная) процентная ставка, n - число лет начисления,

- множитель наращения по сложным процентам.

Задача 1

Сумма, равная 800 тыс. руб., инвестируется на 3 года под 80% годовых. Найти наращенную сумму и сумму процентов за этот срок, используя простые и сложные проценты.

Решение:

1. Сложные проценты:



2. Простые проценты:

За 3 года 800 тыс. руб. увеличились в 5,832 раза по сложным процентам и только в 3,4 раза по простым процентам.

Задача 2

Сумма, равная 800 тыс. руб., инвестируется на 3 месяца под 80% годовых. Найти наращенную сумму и сумму процентов за этот срок, используя простые и сложные проценты.

Решение:

1. Сложные проценты:

2. Простые проценты:

Итак, сложные проценты работают лучше, если срок n больше 1 года и простые проценты лучше работают (дают большее наращение) внутри года. Если срок начисления процентов 1 год, простые и сложные проценты дают одинаковый результат.

Задача 3

Найти сумму долга в 15 млн. руб. через 8 месяцев, 320 дней, 2 года, 10 лет по сложным годовым ставкам 5% и 8%.

Решение:

;

Сумма долга зависит от процентной ставки и числа лет начисления. Сравните суммы по годам и по процентным ставкам. (Сумма долга растет с увеличением и процентной ставки, и числа лет начисления).

Наращение процентов m раз в году. Номинальная ставка

Номинальная ставка - годовая ставка, по которой проценты начисляются m раз в году. Обозначим эту ставку через j.

Если проценты начисляются m раз в году, то наращение процентов происходит по ставке , общее число начислений процентов за срок n равно mn.

Формула наращения процентов по номинальной ставке j при m-разовом начислении процентов в году примет вид:

.

Если j - номинальная ставка сложных процентов, то

при m = 2 получается полугодовая ставка,

при m = 4 - квартальная,

при m = 12 - ежемесячная,

при m = 365 (360) - ежедневная ставка процентов.

Задача 4

Очень важная задача! Обязательная задача при зачете по сложным процентам

Вложены деньги в банк в сумме 5 млн. руб. на 2 года с полугодовым начислением процентов под 20% годовых.

Составить схему наращения капитала, найти наращенные суммы по периодам начисления и к концу срока двумя способами:

1. по определению сложных процентов (как процент на процент);

2. по формуле

Решение:

Рассчитаем полугодовую ставку ; Множитель наращения

1 способ

По первому способу сумма, с которой идет наращение, увеличивается с каждым наращением процентов, т.к. по определению сложных процентов база для начисления изменяется за счет присоединения полученных на предыдущем шаге процентов, т.е.

2 способ

По второму способу наращения начальный капитал К=5,0 млн. руб. остается неизменным.

Естественно, что по обоим способам результаты получились одинаковыми

Задача 6

Сумма 10 млн. руб. инвестирована на 2 года по годовой ставке 120%. Найти наращенные за это время суммы и приросты при начислениях:

1. ежегодном (m=1),

2. полугодовом (m=2),

3. ежеквартальном (m=4),

4. ежемесячном (m=12),

5. ежедневном (m=365).

Решение:

1. при ежегодном начислении процентов



2. при полугодовом начислении процентов

3. при ежеквартальном начислении процентов

4. при ежемесячном начислении процентов

5. при ежедневном начислении процентов

Итак, чем чаще начисляются проценты, тем больше получается наращенная сумма

Помните, что это справедливо при прочих равных условиях,

а именно, ставка, срок, начальный капитал остаются неизменными, меняется только число начислений процентов в году.



Непрерывные проценты

Если число начислений процентов в году m, то формула наращения принимает вид

где - непрерывная ставка, - показатель роста.

Задача 7

На сумму 10 млн руб. начислить проценты по непрерывной ставке =12% за 5 лет.

Решение:

Дисконтирование по сложным процентам

Найдя из всех формул начальный капитал К, получим уравнение дисконтирования. Полученная при дисконтировании величина К часто называется сегодняшней или современной величиной

,

.

Наращение и дисконтирование по сложной учетной ставке

Начислять проценты можно и по сложной учетной ставке:



или ,

где d и f - годовые сложные учетные ставки,

m - число начислений процентов в году (при m=1, d = f).

Начисление процентов по ставке i называется декурсивным, а по учетной ставке d - антисипативным.

Антисипативное начисление дает большую наращенную сумму и используется в условиях высокой инфляции.

Задача 8

Вексель на 10 млн. руб. со сроком платежа через 5 лет учтен:

1) по сложной учетной ставке 10% годовых;

2) по простой учетной ставке 10% годовых.

Какое дисконтирование выгоднее векселедержателю?

Решение:

1) по сложной учетной ставке

2) по простой учетной ставке

Итак, векселедержателю выгоднее дисконтирование по сложной учетной ставке, т.к. в день учета он получит большую сумму.

Задача 9

Капитал 20 млн. руб. вложен на 4 года под 4% годовых. Найти доход от вложения денег при 1) декурсивном, 2) антисипативном способах расчета.

Какое вложение выгоднее кредитору?

Решение:

Т.к. срок вложения денег больше 1 года, расчет сделаем по сложным процентам.

1) декурсивные проценты

2) антисипативные проценты

Антисипативное начисление процентов выгоднее кредитору, т.к. он получает больший доход.

Эквивалентные ставки

Мы рассмотрели все возможные способы начисления процентов.

Однако, по какой бы ставке не начислялись проценты, следует соблюдать принцип эквивалентности, в соответствии с которым финансовый результат должен быть одинаков при начислении по любой ставке.

Такие ставки называются эквивалентными и находятся из равенства взятых попарно множителей наращения или дисконтирования.

Сравним, к примеру, множители наращения сложных процентов при начислении один раз и m раз в году:

.

Из равенства найдем

Ставка i называется эффективной годовой ставкой

Она дает тот же финансовый результат, что и номинальная ставка j при m-разовом начислении в году.

Это наиболее часто используемая ставка среди всех эквивалентных ставок.

Задача 8

Рассчитать накопленную сумму процентов за 1 год, если начальный капитал К = 1000 руб., годовая ставка j = 10%, при ежегодном, полугодовом, квартальном, ежемесячном, ежедневном и непрерывном начислении процентов. Найти базисные и цепные наращения. Для каждого случая рассчитать эффективные ставки и сделать по ним начисления на ту же сумму начального капитала.

Решение:

Начальный Капитал К	Частота начисления процентов в году m	Наращенная сумма	Базисное наращение (сравнение с ежегодным начислением процентов)	Цепное наращение (сравнение по цепочке с предыдущим начислением)
1000	ежегодное (m = 1)	1100	-	-
1000	полугодовое (m = 2)	1102,50	1102,5-1100 = 2,50	2,50
1000	квартальное (m = 4)	1103,81	1103,81-1100 = 3,81	1103,81-1102,50 = 1,31
1000	ежемесячное (m =12)	1104,71	4,71	1104,71-1103,81 = 0,90
1000	ежедневное (m =365)	1105,16	5,16	0,45
1000	непрерывное (m = )	1105,17 = 1000e	5,17	0,01

Рассчитаем эффективные ставки: и сделаем начисление на 1000 руб. по эффективной ставке, , n = 1год.

Число начислений m	m=1	m=2	m=4	m=12	m=365	m=
Эффективная ставка i	0,1	0,1025	0,10381	0,10471	0,10516	0,10517
Наращенная сумма	1100	1102,50	1103,81	1047,1	1051,6	1051,7

Сравните наращенные суммы в таблицах. Они одинаковы, что по эффективной ставке, что по номинальной ставке при определенном числе начислений процентов в году. Этот факт следует из понятия эквивалентных ставок: они обязаны давать одинаковый финансовый результат.

Основные уравнения эквивалентности

1. Простой процентной ставки i и простой учетной ставки d:

;

2. Простых и сложных ставок:

а) Простой процентной ставки i и сложной учетной ставки f при m-разовом начислении процентов в году:

б) Простой процентной ставки i и сложной процентной ставки j при m-разовом начислении процентов в году:

3. Сложной процентной ставки j и сложной учетной ставки f:

4. Сложных и непрерывных ставок:

а) Сложной ставки i и непрерывной ставки :

б) Сложной процентной ставки j при m-разовом начислении процентов и непрерывной ставки :

в) Сложной учетной ставки f при m-разовом начислении процентов и непрерывной ставки :

Из каждого соотношения при любой известной ставке можно найти эквивалентную ей ставку.

Задача 9

Найти номинальную процентную ставку, если полугодовая эффективная ставка 6 %.

Решение:

Из уравнения эквивалентности номинальной j и эффективной i ставок найдем j:



,

Заметьте: номинальная годовая ставка всегда чуть меньше эффективной

Задача 10

Найти эквивалентную учетную ставку d для сложной годовой ставки j=0,12 при квартальном начислении процентов(m=4). Начислить проценты по обеим ставкам на 1000 руб. Сравнить результаты (Срок n=1 год).

Решение:

Уравнение эквивалентности:

Наращенная сумма по сложной годовой процентной ставке j=12% при квартальном начислении процентов:

руб.,

Наращенная сумма по эквивалентной сложной годовой учетной ставке f =11,65% при квартальном начислении процентов:

руб.

Естественно, что , т.к. эквивалентные ставки дают одинаковое наращение.

Задача 12

Годовая ставка сложных процентов равна 15%. Чему равна эквивалентная сила роста?

Решение:

Воспользуемся уравнением эквивалентности сложной и непрерывной ставок:

Найдем из этого уравнения непрерывную ставку.

Непрерывная ставка =13,976% и сложная ставка I=15% дают одинаковый финансовый результат. Например, при начальном капитале K=2000 руб., сроке n=4 года, имеем

Инфляция

Инфляция - это обесценивание денег.

В экономике различают более 20 видов инфляции: инфляция, связанная с эмиссией денег; с большими кредитными расходами; превышения спроса над предложением; с ожиданием роста цен; с изменение цен на сырье; с ростом заработной платы и т.д.

Различают скрытую и открытую инфляции. Скрытой инфляции присущи дефицит товаров, отложенный спрос и постоянные цены. При открытой инфляции освобождаются цены и растут доходы.

Освобождение цен при накопившихся излишках денег ускоряет обращение денег в десятки раз в связи с боязнью населения нового витка повышения цен, что приводит к гиперинфляции.

Дефляция - сдерживание обесценивания денег или мероприятия по ограничению денежной массы в обращении. Осуществляется путем увеличения налогов, повышения процентных ставок, ограничения кредитов, снижения роста заработной платы, ограничения продажи ценных государственных бумаг на открытом рынке.

Характеристики инфляции

1. Индекс цен I_p или индекс покупательной способности .

Индекс цен показывает, во сколько раз приросли цены за соответствующий период. Индекс покупательной способности показывает, во сколько раз уменьшилась покупательная способность за этот же период.

Например, пусть сегодня получены 5000 руб. Известно, что за три предшествующих года цены возросли в 5 раз, т.е. , тогда и реальная стоимость С сегодняшних денег в деньгах трехлетней давности

С = 5000 = 1000 руб

2. Темп инфляции Н - относительный прирост цен за период. Измеряется в %, находится по формуле:

Следовательно,

Например, если цены увеличились в 2 раза, то их прирост составил

И наоборот, если темп прироста цен составил 70%, то цены увеличились в

3. Среднегодовой темп роста цен , среднегодовой темп инфляции

Если рассматривается индекс цен за несколько периодов, то

Если

, то

Задача 9

Темп инфляции h=10% в месяц. Найти рост цен за год и годовой темп инфляции.

Решение:

т.е. цены выросли за год в 3,1384 раза

Задача 10

Последовательный прирост цен за 3 месяца составил 25%, 20%, 18%. Найти темп инфляции за эти месяцы.

Решение:

Два случая учета инфляции

Первый случай учета инфляции: при расчете наращенной суммы.

Пусть S - наращенная сумма, С - та же сумма с учетом инфляции.

.

Конкретизируем формулу:

Для простых процентов:

Наращенная сумма простых процентов



.

Тогда .

Для сложных процентов:

Наращенная сумма сложных процентов

.

Тогда .

Если i - реальный рост суммы денег;

если i - “эрозия” капитала, нет реального роста денег;

если i = - наращение поглощается инфляцией.

Задача 11

Последовательный прирост цен за 3 месяца составил 25%, 20%, 18%. Найти реальную сумму 1,5 млн. руб., накопленные проценты и инфляционную сумму, реальный доход, реальную доходность, если наращение идет по ставке i=50% а) сложных годовых, б) простых процентов.

Решение:

Индекс инфляции найден в задаче 10. Цены за 3 месяца увеличились в 1,77 раз.

Рассчитаем реальную сумму 1,5 млн. руб.

А) по сложным процентам:

Наращенная сумма по сложным процентам

млн. руб.

млн. руб.

- реальная стоимость 1,66 млн. руб. с учетом инфляции

Накопленные проценты

I = S K = 1,66 1,5 = 0,16 млн. руб.;

инфляционная сумма (сумма, которую “съела” инфляция)

K_h = S C = 1,66 0,938 = 0,722 млн. руб.;

реальный доход

I₁ = C K = 0,938 1,5 = - 0,562 млн. руб.;

реальная доходность

Сложная годовая ставка 50% при трехмесячной инфляции 77% дает отрицательную годовую доходность 150%.

б) По простым процентам:

Наращенная сумма по простым процентам

млн. руб.

млн. руб.

- реальная стоимость 1,6875 млн. руб. с учетом инфляции по простым процентам.

Накопленные проценты

млн. руб.;

инфляционная сумма

млн. руб.;

реальный доход

I₁ = C K = 0,953 1,5 = 0,547 млн. руб.;

реальная доходность

Простая годовая ставка 50% при трехмесячной инфляции 77% дает годовую отрицательную доходность 146%.

Второй случай учета инфляции: при измерении эффективности (доходности) финансовой операции

В этом случае применяется индексация процентной ставки, которая сводится к увеличению ставки процентов на величину, так называемой, инфляционной премии.

Назовем ставку с поправкой на инфляцию брутто-ставкой и обозначим ее r (ставка i + маржа).

Для нахождения брутто-ставки составляется уравнение эквивалентности множителей наращения по брутто-ставке и по ставке i с учетом инфляции.

Рассчитаем брутто-ставки:

1. Для простых процентов:

Уравнение эквивалентности имеет вид:

реальная ставка

2. Для сложных процентов:

Уравнение эквивалентности имеет вид:

,

реальная ставка

Задача 12

Продолжим решать задачу 11. В условиях этой задачи рассчитаем брутто-ставки для годовой простой и сложной ставки 50%.

а) Брутто-ставка простых процентов

Простая годовая ставка 396,5% годовых компенсирует инфляцию и дает реальный доход 50% годовых.

Проверка:

1) Наращенная сумма денег с учетом инфляции по брутто-ставке:

млн. руб.

2) Наращенная сумма по ставке i без учета инфляции:

млн. руб.

б) Брутто-ставка сложных процентов

Т.к. ставка i - годовая ставка, то темп инфляции должен быть рассчитан за год.

- на столько процентов увеличились цены за год.

Годовая сложная брутто-ставка r= 1372,25% компенсирует инфляцию и дает годовой доход 50%.

Проверка:

1) Наращенная сумма денег с учетом инфляции по брутто-ставке r:

млн. руб.

2) Наращенная сумма по ставке i без учета инфляции:

млн. руб.

Модуль 3. Консолидация и пролонгация финансовых обязательств

Эквивалентные обязательства

Постановка задач на консолидацию и пролонгацию

В практике нередко возникают случаи, когда необходимо изменить условия финансовых сделок (досрочно погасить задолженность, объединить (консолидировать) несколько платежей в один, продлить платежи и т.д.) В данных ситуациях прибегают к принципу финансовой эквивалентности обязательств, который предполагает неизменность финансовых отношений сторон до и после изменения контракта.

Эквивалентными считаются такие платежи, которые, будучи “приведены” к одному моменту времени, оказываются равными. Приведение осуществляется путем дисконтирования к более ранней дате или, наоборот, наращения суммы платежа, если эта дата относится к будущему.

Две суммы денег и , выплачиваемые в разные моменты времени, считаются эквивалентными, если их современные (или наращенные) величины, рассчитанные по одной и той же процентной ставке и на один момент времени, одинаковы.

Общий метод решения задач подобного рода заключается в разработке уравнения эквивалентности, в котором сумма заменяемых платежей, приведенных к некоторому моменту времени, называемому базовым, приравнивается к сумме платежей по новому обязательству, приведенных к той же дате.

Наиболее распространенным способом изменения условий контрактов является консолидация (объединение) и пролонгация (продление) финансовых обязательств.

Здесь решаются две задачи:

1) при известных суммах платежей и их сроках, известном сроке объединяемого платежа, находится его сумма;

2) при известных суммах платежей и их сроках, известной сумме консолидированного платежа, находится срок его выплаты.

Задача о нахождении суммы консолидированного платежа при известных сроках выплат всех платежей

Здесь можно рассмотреть 3 случая.

Случай 1

Консолидированный платеж S₀ расположен между консолидируемыми платежами. Иначе, есть платежи до и после консолидированного платежа.

Расположим платежи на временной оси в порядке возрастания их дат.

Размещено на http://www.allbest.ru/



Найдем величину консолидированного платежа S₀, используя простую процентную ставку i. Платежи S₁, S₂, Sj производятся раньше консолидированного платежа s₀, поэтому они наращиваются.

Платежи S_к-1, Sк производятся позднее консолидированного платежа s₀, поэтому они дисконтируются.

Формула для расчета консолидированного платежа будет выглядеть так:

.

Случай 2

Консолидированный платеж S₀ расположен раньше всех консолидируемых платежей.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Формула для расчета консолидированного платежа будет выглядеть так:

.

Случай 3

Консолидированный платеж S₀ расположен позднее всех консолидируемых платежей.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Формула для расчета консолидированного платежа будет выглядеть так:

.

Задача 4

Три платежа млн. руб., млн. руб., млн руб. со сроками уплаты соответственно через 100, 120 и 150 дней заменяются одним со сроком уплаты через 180 дней при простой ставке 20%. Найти сумму консолидированного платежа (год принять равным 360 дней).

Решение:

Платежи и даты их выплат изобразим точками на временной оси в порядке возрастания дней выплат:

Размещено на http://www.allbest.ru/

За базовую дату примем день выплаты консолидированного платежа

Т.к. срок объединяемых платежей меньше срока платежа , то приведение платежей к моменту выплаты консолидированного платежа будет выполняться с помощью операции наращения.

Задача о нахождении срока консолидированного платежа при известных суммах выплат всех платежей

В этом случае все платежи приводятся на одну более раннюю дату операцией дисконтирования. Составляется уравнение эквивалентности, в левой части которого стоит дисконтированная стоимость платежа S ₀, а в правой - сумма дисконтированных стоимостей объединяемых платежей P₀.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решаем задачу, используя ставку i. Запишем уравнение эквивалентности, дисконтируя все платежи, включая S₀ на начальную дату «0».

.

Обозначим через P₀ сумму дисконтированных стоимостей объединяемых платежей, т.е.

.

Тогда



Очевидно, что в полученной формуле консолидированная стоимость платежей S₀ должна быть больше суммы дисконтированных консолидируемых платежей P₀. Иначе срок платежа n₀ получится отрицательным.

Задача 6

Фирма, в погашение задолженности банку за предоставленный кредит под 70% годовых, должна произвести 2 платежа в сроки 18.05 (138-й день), 1.09 (244-й день) суммами млн. руб. и млн. руб. Фирма договорилась объединить оба платежа в один суммой млн. руб. с продлением срока выплаты.

Найти срок выплаты консолидированного платежа. (В скобках указан порядковый номер даты платежа)

Решение:

Срок выплаты консолидированного платежа найдем по формуле

,

где P-современная величина консолидируемых платежей.

млн. руб.

года

t = 365 дней 0,7937287 дней. По календарю это 14 октября (приложение табл.1).

Общая постановка задачи изменения условий выплаты платежей

При решении задачи изменения условий выплаты платежей составляется уравнение консолидации по следующему правилу:

«Старые» долги равны «новым» долгам, но и те, и другие должны быть приведены на одну дату консолидации.

Дата консолидации либо устанавливается во взаимном соглашении, либо выбирается произвольно.

Задача 7

Две суммы 12 и 8 млн. руб. должны быть выплачены 1.09.00 (244) и 1.01.01 (1). Стороны договорились пересмотреть условия контракта: должник 1.12.00 (335) выплачивает 10 млн. руб., остаток долга гасится 1.04.01 (91). Найти эту сумму при условии, что пересчет осуществляется по ставке простых процентов, равной 12% (год равен 365 дней).

Решение

Размещено на http://www.allbest.ru/

Возьмем за базовую дату 1.04.01 и составим уравнение эквивалентности, учитывая два условия:

1) все платежи приведены к базовой дате;

старые долги равны новым долгам.

Т.к. базовая дата самая поздняя из всех, то платежи и наращиваются.

млн. руб.



Модуль 3. Рентные платежи

Современные финансово-банковские операции часто предполагают не отдельные или разовые платежи, а некоторую их последовательность во времени. Например, погашение задолженности в рассрочку, периодическое поступление доходов от инвестиций, выплата пенсий и т.д.

Такие последовательности называются потоком платежей, а отдельный элемент последовательности - членом потока.

Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы между платежами одинаковы, называется финансовой рентой или аннуитетом.

Характеристики ренты

Рента характеризуется следующими параметрами:

член ренты R - размер отдельного годового платежа;

период ренты - временной интервал между двумя последовательными платежами;

срок ренты n - время от начала первого периода ренты до конца последнего периода;

процентная ставка i;

число p платежей в году;

частота m начисления процентов.

деньги процент кредитный рента

Классификация рент

1. ренты немедленные (начало срока ренты и начало действия контракта совпадают) и ренты отсроченные;

2. ренты с ежегодным начислением процентов (m=1), начислением процентов m раз в году и непрерывным начислением процентов;

3. ренты с постоянными и переменными членами;

4. ренты конечные и бесконечные. Если срок ренты более 50 лет, рента считается вечной.

5. рента обычная или постнумерандо, если платежи производятся в конце периода; рента пренумерандо, если платежи производятся в начале периода.

Пример 4-х летней ренты постнумерандо:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Пример 4-х летней ренты пренумерандо:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Обычно анализ потока платежей предполагает расчет или наращенной суммы или современной стоимости.

Наращенная сумма S ренты

Наращенная сумма - сумма всех членов потока платежей с начисленными на них к концу срока процентами.

1. Годовая рента постнумерандо

Ее характеристики: член ренты R, срок ренты n, ставка i, число выплат в году p=1, число начислений процентов в году m=1.

Положим n=4 года и выведем формулу наращенной суммы ренты.

Построим схему наращения членов ренты на временной оси. Т.к. срок ренты больше одного года, естественно использовать сложные проценты.

Например, на член ренты R, внесенный в конце первого года, будут начисляться проценты 3 года. К концу срока ренты эта сумма будет составлять .

Подобным образом, на член ренты R, внесенный в конце второго года, будут начисляться проценты 2 года. К концу срока ренты эта сумма будет составлять . И т. д.

Размещено на http://www.allbest.ru/

По определению наращенной суммы ренты

Замечание:

Воспользовались формулой возрастающей геометрической прогрессии:

Тогда общая формула наращенной суммы ренты будет иметь вид:

- коэффициент наращения ренты, будем находить его, пользуясь математическим калькулятором.

Пример 1

Создается фонд. Средства в фонд поступают в виде годовой постоянной ренты в течении 6 лет в конце года. Размер разового годового платежа 20 тыс. руб. На поступившие взносы начисляются 25% годовых. Найти величину фонда к концу срока.

Решение:

Рассматривается годовая рента постнумерандо, член ренты R=20 тыс. руб., срок ренты n=6 лет, ставка i=25%.

Величина фонда к концу срока

2. Годовая рента, постнумерандо, начисление процентов m раз в году, выплаты p один раз в году

(Характеристики ренты R, n, j, m1, p=1)

Наращенная сумма ренты

Пример 2

В условиях примера 1 найти величину фонда к концу срока, если проценты начисляются ежеквартально, т.е. m=4.



Решение:

Внимание! Наращенная стоимость возрасла. Следовательно, чем чаще начисляются проценты, тем больше S.

Рента p-срочная постнумерандо, проценты начисляются один раз в году, выплаты p раз в году

(Характеристики ренты R, n, i, m=1, p1)

Наращенная сумма ренты

Пример 3

В условиях примера 1 найти величину фонда к концу срока, если выплаты делаются ежеквартально, т.е. p=4.

Решение:

Рента p-срочная постнумерандо, проценты начисляются m раз в году, число выплат в году p равно числу начислений процентов m (Характеристики ренты R, n, j, m=p1)

Наращенная сумма ренты

Пример 4

В условиях примера 1 найти величину фонда к концу срока, если проценты начисляются ежеквартально, т.е. m=4, число выплат в году также равно p=4.

Решение:

Рента р - срочная, проценты начисляются m раз в году, выплаты p не совпадают с начислением процентов (Характеристики ренты R, n, j, )

Наращенная сумма ренты

Пример 5.

В условиях примера 1 найти величину фонда к концу срока, если выплаты делаются ежемесячно, т.е. m=12, число выплат в году равно p=4.

Решение:

6. Рента годовая постнумерандо, проценты начисляются непрерывно (Характеристики ренты R, n, , p=1).

Наращенная сумма ренты



Пример 6

В условиях примера 1 найти величину фонда к концу срока, если непрерывная ставка = 25%.

Решение:

7. Годовая рента пренумерандо, проценты начисляются один раз в году

(Характеристики ренты R, i, n, m=1, p=1)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Положим, что n =4 года и выведем формулу наращенной суммы ренты. Снова применим сумму геометрической прогрессии (см. выше ренту постнумерандо)



Наращенная сумма ренты

Наращенная сумма ренты пренумерандо больше наращенной суммы постнумерандо с такими же параметрами в (1+i) раз!

Пример 7

В условиях примера 1 найти величину фонда к концу срока, если выплаты делаются ежегодно в начале года.

Решение:

Рента годовая пренумерандо.

Современная стоимость ренты

Под современной стоимостью А потока платежей понимают сумму всех его членов, дисконтированных на начало срока ренты.

1. Годовая рента постнумерандо (Характеристики ренты R. n, i, p=1, m=1).

Схема дисконтирования:

Пусть n=4 года. Найдем современную стоимость ренты.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Замечание:

Воспользовались формулой суммы убывающей геометрической прогрессии

Современная стоимость ренты сроком n лет

- коэффициент приведения ренты

Пример 8

Рента постнумерандо характеризуется следующими параметрами:

Член ренты R=4 млн. руб., срок ренты n=5 лет, годовая ставка i = 18,5%. Найти сегодняшнюю стоимость ренты.



Полученная сумма означает, что если сегодня положить 12,368 млн. руб. под годовую ставку18,5%, то в течении 5 лет в конце каждого года можно получать по 4млн. руб.

2. Годовая рента постнумерандо, начисление процентов m раз в году (Характеристики ренты R, n, j, m1, p=1)

Современная стоимость

;

3. Рента р-срочная постнумерандо, проценты начисляются 1 раз в году (Характеристики ренты R, n, i, m=1, p1)

Современная стоимость

;

4. Рента р-срочная постнумерандо, проценты начисляются m раз в году, число выплат p совпадает с числом начисления процентов m (Характеристики ренты R, n, j, mp1)

Современная стоимость

;

5. Рента р-срочная постнумерандо, проценты начисляются m раз в году, периоды выплат p не совпадают с периодами начислений процентов

(Характеристики ренты R, n, j, mp1)

Современная стоимость

Вечная рента постнумерандо

В последней формуле современной стоимости ренты увеличим срок ренты n до бесконечности (n). Коэффициент приведения ренты а_ni стремится к величине , поэтому современная величина такой ренты, называемой вечной, имеет вид

.

Годовая рента пренумерандо

(Характеристики ренты R, n, i, m=1, р=1)

Схема дисконтирования

Размещено на http://www.allbest.ru/



Современная стоимость ренты



Модуль 4. Оценка инвестиционных проектов

Основными показателями инвестиций являются: чистый приведенный эффект (доход), индекс рентабельности, внутренняя норма доходности, срок окупаемости инвестиций.

Чистый приведенный доход NPV (net present value)

Метод расчета чистого приведенного дохода основан на сопоставлении величины исходной инвестиции IC с общей суммой дисконтированных чистых денежных поступлений PV, генерируемых ею в течение прогнозируемого срока n. Т.к. приток денежных средств распределен во времени, он дисконтируется по ставке r, установленной инвестором.

Пусть делается прогноз, что инвестиция IC будет генерировать в течение n лет годовые доходы P₁, P₂,…, P_n.

Тогда сумма дисконтированных доходов

(1)

Чистый приведенный доход

(2)

Общее правило:

Если NPV > 0, то проект следует принять, иначе его следует отклонить.

Основное достоинство этого метода: показатели NPV различных проектов можно суммировать

Типовые примеры на расчет показателя чистого приведенного дохода

Пример 1:

Фирма собирается вложить средства в приобретение нового оборудования, стоимость которого вместе с доставкой и установкой составит 100 000 ден. ед. Ожидается, что внедрение оборудования обеспечит получение на протяжении 6 лет чистых доходов в 25 000, 30 000, 35 000, 40 000, 45 000, и 50 000 ден. ед. соответственно. Принятая норма дисконта равна 10%. Определить экономическую эффективность проекта.

Решение:

Изобразим ежегодные поступления от инвестиций на временной оси.

проект следует принять

Как видим, при условии правильной оценки денежного потока проект обеспечивает возмещение произведенных затрат (примерно к концу четвертого года) и получение 10% чистой прибыли, а также дополнительной (сверх установленной нормы) прибыли, равной величине NPV=57 302,37.

Другое объяснение полученного показателя NPV могло бы состоять в следующем: если проект финансировался за счет долгосрочной ссуды из 100 000 ден. ед., взятой на 6 лет под 10% годовых, ее величина и проценты могли бы быть полностью выплачены из поступлений наличности проекта. Кроме того, после расчетов с кредиторами остаток полученной от проекта наличности составил бы сумму в 57 302,37 ден. ед.

Пример 2:

Проект, требующий инвестиций в размере IC=160 000 $, предполагает получение годового дохода в размере P_K=30 000$ на промежуток n = 15 лет. Оценить целесообразность такой инвестиции, если коэффициент дисконтирования r =15%.

Решение:

Обратите внимание на тот факт, что все ежегодные поступления одинаковы, поэтому можно принять при расчете формулу современной стоимости ренты.

Рассчитаем чистый приведенный доход проекта:

,

проект следует принять.

Индекс рентабельности инвестиций PI (profitability index)

Индекс рентабельности PI рассчитывается по формуле:

PI =

Общее правило:

Если PI > 1, то проект следует принять, иначе его следует отклонить.

Этот относительный показатель, удобен при выборе одного проекта из ряда альтернативных, имеющих одинаковый NPV, либо при комплектовании портфеля инвестиций с максимальным суммарным NPV.

...