Основы финансовой математики. Основные понятия математических методов исследования экономики и математического программирования экономических процессов
Понятие о наращении по процентной ставке и дисконтировании ссуды. Суть финансовой ренты, наращение и дисконтирование потоков платежей. Погашение займа разовым платежом и в рассрочку. Понятие экономико-математических методов, моделей и их классификация.
| Рубрика | Финансы, деньги и налоги |
| Вид | книга |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 16.10.2013 |
| Размер файла | 298,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Оглавление
1. Основы финансовой математики
1.1 Наращение и дисконтирование
1.1.1 Начисление процентов
1.1.2 Наращение по простым процентным ставкам
1.1.3 Сложные процентные ставки и начисление сложных процентов
1.1.4 Номинальная и эффективная процентная ставки
1.1.5 Наращение и инфляция
1.1.6 Математическое дисконтирование
1.1.7 Банковский (коммерческий) учет
1.1.8 Определение срока ссуды и величины ставки
2. Потоки платежей и финансовые ренты
2.1 Основные положения
2.2 Наращение и дисконтирование потоков платежей
3. Консолидация задолженности. Эквивалентность ставок
3.1 Финансовая эквивалентность обязательств
3.2 Определение суммы консолидированного платежа
3.3 Определение срока консолидированного платежа
3.4 Эквивалентность ставок
4. Кредитные расчеты
4.1 Планирование погашения долгосрочной задолженности
4.1.1 Основные положения
4.2 Погашение займа разовым платежом
4.3 Погашение займа в рассрочку
5. Основные понятия математических методов исследования экономики
5.1 Необходимость создания экономико-математических моделей
5.2 Определение модели. Математическая модель
5.3 Экономические модели. Понятие экономико-математической модели
5.4 Классификация экономико-математических моделей и методов
5.5 Математическая экономика и эконометрика
6. Основные понятия математического программирования экономических процессов
6.1 Основные понятия и этапы построения оптимизационных моделей
6.2 Принцип оптимальности в планировании и управлении, общая задача оптимального программирования
6.3 Формы записи задачи линейного программирования и ее экономическая интерпретация
6.4. Симплексный метод решения задачи
6.5 Симплекс-таблицы
1. Основы финансовой математики
1.1 Наращение и дисконтирование
ссуда дисконтирование финансовый рента
Фактор времени и оценка потоков платежей
В условиях рыночной экономики при проведении долгосрочных финансовых операций важнейшую роль играет фактор времени. «Золотое» правило бизнеса гласит:
Сумма, полученная сегодня, больше той же суммы, полученной завтра.
Неравноценность двух одинаковых по величине, но разных по времени получения денежных сумм - явление, широко известное и осознанное в финансовом мире. Его существование обусловлено целым рядом причин. Вот лишь некоторые из них:
· любая имеющаяся в наличии денежная сумма в условиях рынка может быть немедленно инвестирована и спустя некоторое время принести доход;
· даже при небольшой инфляции покупательная способность денег со временем снижается;
· в общем случае индивидуум предпочитает текущее потребление будущему и др.
Исследования этого явления нашли свое воплощение в формулировке принципа временной ценности денег. Согласно этому принципу, сегодняшние поступления ценнее будущих. Соответственно будущие поступления обладают меньшей ценностью по сравнению с современными.
Из принципа временной ценности денег вытекают, по крайней мере, два важных следствия:
· необходимость учета фактора времени при проведении долгосрочных финансовых операций;
· некорректность (с точки зрения анализа долгосрочных финансовых операций) суммирования денежных величин, относящихся к разным периодам времени.
1.1.1 Начисление процентов
Под процентными деньгами или процентами понимают абсолютную величину дохода от предоставления денег в долг в любой его форме. Под процентной ставкой понимается отношение дохода (процентных денег) к сумме долга за единицу времени.
Пусть: PV - первоначальная сумма ссуды;
I - сумма перечисленных процентов, процентный платеж; тогда:
,
где i - процентная ставка.
Временной интервал, к которому приурочена процентная ставка, называется периодом начисления (n):
Размещено на http://www.allbest.ru/
Под наращенной суммой ссуды, долга, депозита (FV) понимают первоначальную ее сумму с начисленными процентами к концу срока.
Ставки процентов могут применяться к одной и той же начальной сумме на протяжении всего срока ссуды (простые процентные ставки) или к сумме с начисленными на нее процентами в предыдущем периоде (сложные процентные ставки).
1.1.2 Наращение по простым процентным ставкам
Основная формула наращения денег по простым процентным ставкам имеет вид:
.
Величина - множитель наращения простых процентов. Отсюда:
Пример. Определить процентный платеж (I) и сумму накопленного долга (FV), если ссуда (PV) в размере 700 тыс. руб. выдана на срок (n) 4 года под простую процентную ставку (i) 20% годовых.
Решение:
Для проведения подобных вычислений по краткосрочным ссудам (при n<1) применяются три варианта расчета простых процентов:
Представим срок ссуды n следующим образом:
,
где t - число дней (месяцев) ссуды;
k - число дней (месяцев) в году (временная база).
В связи с этим различают:
1. Точные проценты с точным числом дней ссуды: если n = 1 год, то
.
2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды:
.
3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды:
.
Отсюда, формула наращения денег по простым процентам для краткосрочных ссуд имеет вид:
.
Пример. Ссуда 1 тыс. руб. выдана 20.01. по 05.10. включительно (дни выдачи и возврата ссуды считаются за один день). Какую сумму должен выплатить должник в конце срока, используя простую процентную ставку 18% годовых, по трем вариантам начисления простых процентов по краткосрочным ссудам?
Решение: Точное число дней - 258, приближенное - 255.
Точные проценты с точным числом дней ссуды:
Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды:
Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды:
1.1.3 Сложные процентные ставки и начисление сложных процентов
Если проценты не выплачиваются сразу после начисления, а присоединяются к сумме долга, то для наращения применяются сложные проценты. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая послужила базой для их начисления, называют капитализацией процентов. Формула для расчета наращенной суммы при ежегодной капитализации процентов имеет вид:
где - годовая сложная ставка процентов;
- множитель наращения по сложной процентной ставке.
Пример. Какой величины достигнет долг, равный 1 тыс. руб. через 5 лет при росте по сложной ставке 15,5% годовых?
Решение:
Кроме этого существует смешанный метод начисления процентов, который предполагает начисление процентов за целое число лет по формуле сложных процентов и по формуле простых процентов - за дробную часть периода:
,
где, а - целое число периодов (лет);
b - дробная часть периода, т.е. n = a + b.
Пример. Кредит в размере 3 тыс. руб. выдан на 3 года и 160 дней под 16,5% сложных годовых. Определить сумму возврата долга по формуле сложных процентов и по смешанному методу.
Решение: по формуле сложных процентов:
по смешанному методу:
1.1.4 Номинальная и эффективная процентная ставки
На практике наращение денег производится один раз в году по ставке i или m раз в году по ставке j/m.
Годовая ставка i, при которой финансовый результат не будет отличаться от результата при начислении процентов m раз в году по ставке j/m, называется эффективной или действительной ставкой; j при этом является номинальной ставкой.
Эффективная ставка характеризует тот реальный относительный доход, который получает кредитор за год при начислении процентов m раз в году по ставке j/m. Расчет наращенной суммы с использованием номинальной процентной ставки при m-разовом начислении процентов в году производится по формуле:
,
где m - количество начислений процентов в году.
Пример. Какой величины достигнет долг, равный 1 тыс. руб., через 5 лет при росте по сложной процентной ставке 15,5% годовых? Проценты начисляются поквартально.
Решение:
По определению:
отсюда:
.
Замена в договоре номинальной ставки j при m-разовом начислении процентов на эффективную ставку i не изменяет финансовых обязательств сторон, т.е. обе ставки эквивалентны в финансовом отношении.
Пример. Какова эффективная ставка, если номинальная - 25% годовых при ежемесячном начислении процентов?
Решение:
.
Т.о, для сторон в сделке безразлично: применить ставку 25% (при ежемесячном начислении) или ставку 28,07% при начислении процентов раз в году.
1.1.5 Наращение и инфляция
В кредитных отношениях иногда предусматриваются дискретно изменяющиеся во времени простые и сложные процентные ставки. Т.о. кредитор снижает свой риск недополучения дохода, связанный с ожидаемым темпом падения покупательной способности денег.
для случая простых процентов:
для случая сложных процентов:
Идею учета инфляционного фактора поясним, опираясь на простую ситуацию выдачи годового кредита. Пусть кредитор желает получить ir ссужаемую им сумму PV. При инфляции деньги обесцениваются, и поэтому реальный эквивалент наращиваемой за год суммы:
составит величину
,
где r - годовой темп инфляции.
В результате реальная ставка процентов составит
.
При достаточно большом r ставка процентов ir может стать даже отрицательной. Отсюда видно, что, если кредитор не отреагирует на инфляцию достаточным увеличением ставки, он будет работать себе в убыток, а заемщик при этом будет обогащаться. Чтобы выровнять условия, следует скомпенсировать обесценивающее влияние индекса цен p = 1 + r. Этого можно достичь, опираясь на наращение по ставке j, определяемой из условия:
,
то есть
.
Полагая в формуле
i = j,
получим, что ir = i.
Таким образом, используя скорректированную ставку, кредитор получит реальный процент, равный тому доходу, который бы он имел в условиях без инфляции.
При невысокой инфляции величины i и r незначительны, и их произведением можно пренебречь. В этом случае поправка на инфляцию ограничивается величиной темпа r, и ставку корректируют по формуле:
.
1.1.6 Математическое дисконтирование
В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной наращению процентов. Этот процесс называется дисконтированием.
Необходимость дисконтирования возникает, например, при покупке краткосрочных обязательств, оплата которых должником произойдет в будущем.
В более широком смысле дисконтирование - это средство приведения любой стоимостной величины, относящейся к будущему, на более ранний момент времени.
Итак, если сумма FV дисконтируется (или учитывается), то сам процесс начисления процентов и их удержание называют учетом, величину PV называют современной величиной суммы FV, а удержанные проценты - дисконтом (D) или скидкой с конечной суммы долга.
Существуют два метода дисконтирования:
математическое дисконтирование (с использованием процентной ставки i);
банковский (коммерческий) учет (с использованием учетной ставки d).
Математическое дисконтирование представляет собой формальное решение задачи, обратной наращению первоначальной суммы ссуды. Формула математического дисконтирования по простой процентной ставке имеет вид:
,
Величина называется дисконтным множителем.
Формула математического дисконтирования с применением сложной процентной ставки имеет вид:
,
где - дисконтный множитель.
При наращении и капитализации процентов m раз в году формула имеет вид:
,
где - дисконтный множитель.
1.1.7 Банковский (коммерческий) учет
Суть операции учета: банк до наступления срока платежа по векселю или иному платежному обязательству приобретает его у владельца по цене, которая меньше суммы, указанной на векселе, т.к. покупает (учитывает) его с дисконтом (т.е. со скидкой). Получив при наступлении срока векселя деньги, банк реализует дисконт.
Важно, что при банковском учете проценты за пользование ссудой начисляются не на первоначальную сумму, а на сумму, подлежащую уплате в конце срока ссуды, т.е. применяется простая или сложная учетная ставка d:
.
Формула банковского учета по простой учетной ставке имеет вид:
,
где n - срок от момента учета до даты погашения векселя.
- дисконтный множитель.
Формула банковского учета по сложной учетной ставке имеет вид:
Операции начисления процентов и дисконтирования по учетной ставке могут совмещаться. Например, при учете долгового обязательства, предусматривающего начисление простых процентов, следует решить две задачи:
,
где - первоначальная сумма ссуды;
- сумма, полученная при учете;
- общий срок платежного обязательства (срок начисления процентов);
- срок от момента учета до даты погашения долгового обязательства, причем .
Учетная ставка отражает фактор времени более жестко, нежели процентная:
Так, при выражение смысла не имеет. Т.е. при относительно большом сроке векселя учет может привести к нулевой или отрицательной сумме PV, что совершенно лишено смысла. Например, если d =20% и , то уже при n=5 FV = 0; если d = 100% годовых, то уже при появляется отрицательный результат.
Пример. Через 180 дней после подписания договора должник уплатит 310 руб. Кредит выдан под 16% годовых. Какова первоначальная сумма долга, % простые, точные, год не високосный.
Решение:
Пример. Сумма 5 тыс. руб. выплачивается через 5 лет. Определить ее современную стоимость, если = 12% годовых (для случая начисления процентов один и два раза в году).
Решение:
Пример. Вексель выписан на сумму 1 тыс. руб. с уплатой 17 ноября. Владелец векселя учел его в банке 23 сентября по простой учетной ставке 20% годовых. Оставшийся до конца срока период равен 55 дням. Определить полученную при учете сумму и дисконт.
Решение:
Важно! При учете векселя временная база - 360 дней.
Пример. Пусть на первоначальную сумму (1 тыс. руб.) начисляются простые проценты по ставке 20,5 % годовых. Определить наращенную сумму долга и сумму, полученную при учете, если общий срок платежного обязательства - 120 дней.
Решение:
1.1.8 Определение срока ссуды и величины ставки
При разработке условий контрактов или их анализе возникает необходимость в решении ряда вторичных задач - определении срока ссуды или размера процентной ставки в том или ином ее виде при всех прочих заданных условиях.
1. Определение срока ссуды.
1.1. При условии простой процентной ставки:
.
1.2. При условии сложной процентной ставки:
1.3. При условии простой учетной ставки:
.
1.4. При условии сложной учетной ставки:
.
2. Определение величины ставки.
2.1. Простая процентная:
.
Простая учетная:
.
2.2. Сложная процентная:
2.3. .
2.4. Сложная учетная:
2.5. .
2. Потоки платежей и финансовые ренты
2.1 Основные положения
Очень часто в финансовой практике, кроме разовых платежей, встречается множество распределенных во времени выплат и поступлений (получение и погашение долгосрочного кредита, денежные показатели инвестиционного процесса и т.д.).
Поток платежей - это распределенный во времени ряд платежей, члены которого могут быть как положительными (поступление), так и отрицательными (выплаты) величинами.
Финансовая рента (аннуитет) представляет собой поток платежей, члены которого - положительные величины, а временные интервалы между ними постоянны. Например, финансовой рентой является ряд, состоящий из выплат процентов по облигациям, взносы по погашению потребительского кредита, уплата страховых взносов и т.д.
Финансовая рента описывается следующими параметрами:
член ренты - величина каждого отдельного платежа - R;
период ренты - временной интервал между двумя платежами;
срок ренты - время от начала финансовой ренты до конца ее последнего периода - n;
процентная ставка - ставка, используемая при наращении или дисконтировании платежей, из которых состоит рента - i.
Наращенная сумма ренты представляет собой всю сумму последовательных платежей с начисленными на них процентами к концу ее срока.
Под современной (дисконтированной) величиной потока платежей понимают сумму всех его членов, дисконтированных на некоторый момент времени, совпадающий с началом потока платежей.
2.2 Наращение и дисконтирование потоков платежей
Наращенная сумма обычной ренты (выплата (R) производится один раз в году, проценты начисляются ежегодно) рассчитывается по формуле:
,
где R - член ренты;
i - ставка процентов;
n - срок ренты (в годах).
Пример. Создается фонд посредством ежегодных взносов по 10 тыс. $ в течение шести лет. На собранные средства банк начисляет проценты по ставке 15% годовых. Определить размер фонда к концу шестого года.
Решение:
.
В случае, когда проценты начисляются m раз в году, формула примет вид:
,
где j - номинальная ставка процентов,
множители: и
называются коэффициентами наращения ренты.
Пример. Предположим, что при условиях, изложенных в предыдущем примере (см. выше), проценты капитализируются поквартально, тогда:
В целой области финансовых расчетов, главным образом это касается финансового анализа, целесообразно воспользоваться методом наращения ренты с помощью непрерывных процентов. При дискретном потоке платежей общая формула выглядит следующим образом:
,
где - непрерывная сложная процентная ставка.
Пример. Используя данные вышеназванных примеров, наращенную сумму фонда определим с помощью непрерывных процентов.
Решение:
.
Для весьма широкого круга финансовых проблем приходится решать задачу, обратную наращению финансовых рент - определять современную (дисконтированную) величину потока денежных средств. Современная величина потока платежей является важнейшим показателем качественного финансового анализа. Без понимания сущности этого метода нельзя разобраться в таких проблемах, как измерение кредитных операций, инвестиционных процессов, сравнение условий контрактов и т.д.
Общая формула для расчета дисконтированной величины ренты имеет вид:
.
Множитель называется коэффициентом приведения ренты.
Аналогично получаем формулы расчета PV для случая номинальной и непрерывной ставок:
,
.
Пример. Виновный в автомобильной аварии должен выплатить пострадавшему 80 тыс. руб. в течение восьми лет. Ставка банковского процента, которую можно принять за расчетную, равна 20% годовых. Определить современную величину потока платежей.
Решение:
Т.о., разовая выплата в размере 38371,598 руб. в начале срока ренты:
эквивалентна выплате 80 тыс. руб. в течение восьми лет с ежегодными взносами.
Проверочная таблица
Таблица 1.1
|
период |
Номинальная выплата, руб. |
Дисконтный множитель (i=20%) |
Дисконтированная выплата, руб. |
|
|
1 |
10000 |
0,833333333 |
8333,333333 |
|
|
2 |
10000 |
0,694444444 |
6944,444444 |
|
|
3 |
10000 |
0,578703704 |
5787,037037 |
|
|
4 |
10000 |
0,482253086 |
4822,530864 |
|
|
5 |
10000 |
0,401877572 |
4018,77572 |
|
|
6 |
10000 |
0,334897977 |
3348,979767 |
|
|
7 |
10000 |
0,279081647 |
2790,816472 |
|
|
8 |
10000 |
0,232568039 |
2325,680394 |
|
|
Итого: |
80000 |
- |
38371,59803 |
В практике иногда сталкиваются со случаями, когда на этапе разработки условий контракта или даже в ходе его выполнения необходимо, в силу каких-либо причин, изменить условия выплаты аннуитета. Речь идет о конвертировании условий аннуитета, простейшими случаями которого являются:
выкуп ренты (замена ренты разовым платежом);
рассрочка платежа (замена разового платежа рентой).
В первом случае задача сводится к определению современной стоимости потока платежей - ; а во втором - к определению самого члена ренты (R) из формул расчета наращенной и современной стоимости потока платежей.
К более сложным случаям конвертирования условий аннуитета относятся: консолидация рент (объединение нескольких рент в одну), замена ренты с одними условиями на ренту с другими условиями. Для изучения вышеуказанных проблем целесообразно обратиться к следующему параграфу.
3. Консолидация задолженности. Эквивалентность ставок
3.1 Финансовая эквивалентность обязательств
В практике возникают случаи, когда необходимо заменить одно обязательство другим, например, с более отдаленным сроком платежа, досрочно погасить задолженность, объединить несколько платежей в один (консолидировать платежи) и т.п. В таких случаях речь идет о финансовой эквивалентности обязательств, которая предполагает неизменность финансовых отношений сторон до и после изменения контракта.
Эквивалентными считаются такие платежи, которые после приведения их к одному моменту времени оказываются равными. Метод решения подобного рода задач заключается в разработке уравнения эквивалентности (equation of value). Одним из распространенных случаев изменения условий сделки является консолидация (объединение) платежей.
Пусть платежи со сроками заменяются одним в сумме и сроком . В этом случае возможны две постановки задачи: определение суммы консолидированного платежа () при заданном сроке () и определение срока консолидированного платежа () при заданной сумме ().
3.2 Определение суммы консолидированного платежа
При объединении обязательств можно применять простые и сложные процентные и учетные ставки. При условии, что все сроки выплат пролонгируются (удлиняются, т.е. ), сумма платежей, наращенных по простой ставке определяется следующим образом:
· по простой процентной ставке:
по простой учетной ставке:
,
где - размер объединяемых платежей со сроками ;
.
Пример. Два платежа - 1 и 0,5 тыс. руб. со сроками уплаты соответственно 150 и 180 дней - объединяются в один со сроком 200 дней. Пусть стороны согласились на применение простой процентной ставки, равной 20% годовых. Определить консолидированную сумму платежей.
Решение:
тыс. руб.
Пример. По условиям предыдущего примера определить сумму консолидированного платежа при использовании простой учетной ставки, временная база при этом - 360 дней.
Решение: тыс. руб.
3.3 Определение срока консолидированного платежа
Если при объединении платежей задана величина консолидированного платежа , то для определения срока уравнение эквивалентности удобно представить в виде равенства современных стоимостей соответствующих платежей. В расчетах так же применяются простые и сложные ставки. При использовании простой ставки равенство имеет вид:
,
Отсюда
.
Очевидно, что решение может быть получено при условии, что:
,
т.е. размер заменяющего платежа должен быть больше суммы современных стоимостей заменяемых платежей.
Пример. Суммы в размере 10, 12 и 15 тыс. руб. должны быть выплачены через 50, 80 и 150 дней соответственно. Стороны согласились заменить их одним платежом в размере 50 тыс. руб. с отсрочкой выплаты долга. Определить современную стоимость заменяемых платежей () и срок консолидированного платежа при условии, что i = 10% годовых и временная база - 365 дней.
Решение: тыс. руб.
Согласно формуле, находим:
года или 512 дней.
Пусть теперь размер заменяющего платежа составляет 45 тыс. руб.
Тогда срок сократится и станет равным 0,264 года.
3.4 Эквивалентность ставок
В финансовых операциях замена одного вида ставки на другой при соблюдении принципа эквивалентности не изменяет отношения сторон сделки. Такие ставки называются эквивалентными.
Эквивалентность между простой и сложной процентными ставками описывается формулой:
Размещено на http://www.allbest.ru/
Отсюда:
и
Эквивалентность простых процентной и учетной ставок (при этом необходимо равенство временных баз) описывается соотношением:
.
Отсюда,
и
.
Пример. Вексель учтен за год до даты его погашения по простой учетной ставке 15% годовых. Какова доходность учетной операции в виде простой процентной ставки?
Решение:
или 17,647%.
Т.о., операция учета по учетной ставке 15% за год дает тот же доход, что и наращение по ставке 17,647%.
Эквивалентность сложных процентной и учетной ставок описывается соотношением:
.
Отсюда:
и
.
Подобным образом можно составить соотношения различных видов ставок: простых, сложных, эффективных, номинальных, процентных, учетных, непрерывных, дискретных и т.д.
4. Кредитные расчеты
4.1 Планирование погашения долгосрочной задолженности
4.1.1 Основные положения
Одной из наиболее важных задач количественного финансового анализа долгосрочной задолженности является разработка плана погашения займа, адекватного принятым условиям финансового соглашения. Она заключается в составлении графика периодических платежей должника. Планируемые расходы по погашению займа называют обслуживанием долга. Разовую сумму обслуживания долга называют срочной уплатой. Срочные уплаты охватывают как текущие процентные платежи, так и средства, направленные на погашение основного долга.
Условиями кредитного договора предусматриваются: срок, продолжительность льготного периода, уровень процентной ставки, методы погашения и уплаты процентов и основной суммы долга. Проценты обычно выплачиваются на протяжении всего срока займа, но иногда они начисляются и присоединяются к основной сумме долга. Основная сумма долга чаще всего погашается частями, реже - в конце срока. В льготном периоде основная сумма долга не погашается, проценты обычно выплачиваются, но иногда присоединяются к основной сумме долга. Если не затрагивать займы без обязательного погашения (например, «вечные облигации»), то все долговые обязательства можно разделить на две группы:
Займы с обязательным погашением в один срок, когда должник возвращает ссуду в оговоренный срок и выплачивает проценты (периодически или в конце срока).
Займы с обязательным погашением в несколько сроков, когда должник возвращает занятую сумму по частям и регулярно выплачивает доход от кредита в виде процентов.
4.2 Погашение займа разовым платежом
Если по условиям договора заемщик обязуется в конце обусловленного срока возвратить сумму долга в виде разового платежа, то он должен предпринять меры для обеспечения этого, т.е. полезно создать погасительный фонд. Необходимость формирования такого фонда иногда оговаривается в договоре выдачи займа в качестве гарантии его погашения. Однако создание фонда необязательно связывается только с погашением долга (например, его создание полезно при накоплении амортизационных отчислений на замену изношенного оборудования).
Погасительный фонд обычно формируется из последовательных взносов на специально открытом в банке счете с начислением процентов. Взносы могут быть как постоянными, так и переменными во времени. Обратимся к изучению постоянных взносов.
Пусть накопление средств в фонде производится путем регулярных ежегодных взносов R, на которые начисляются сложные проценты по ставке i. Одновременно происходит выплата процентов, начисляемых на долг по ставке q. В этом случае срочная уплата составит:
,
где PV - сумма задолженности (займа).
В данном случае размер погасительного фонда , тогда используя формулу наращенной суммы обычной ренты, преобразуем формулу:
,
.
Отсюда:
В случае, когда проценты присоединяются к основной сумме долга, формула имеет вид:
,
при этом
,
где FV - сумма возврата долга.
Пример. Долг в сумме 100 тыс. руб. выдан под 10% годовых на 5 лет. Для его погашения единовременным платежом создается фонд. На размещаемые на нем средства начисляются проценты по ставке 11% годовых. Определить ежегодные расходы заемщика (срочные уплаты), если:
А) проценты выплачиваются ежегодно;
Б) проценты присоединяются к сумме долга.
Решение:
А)
Таблица 4.1
Б)
Таблица 4.2
Естественно, что взносы в погасительный фонд могут производиться не один раз в год, а несколько. В этом случае удобно использовать в расчетах формулы номинальной процентной ставки, где величина m - количество начислений процентов в году.
4.3 Погашение займа в рассрочку
В финансовой практике долг часто погашается частями. Такой метод погашения часто называют амортизацией долга. Особенность этого метода заключается в том, что должник регулярными платежами кредитору погашает первоначальную сумму долга и, кроме того, выплачивает проценты на остаток долга.
При погашении займа в рассрочку база для начисления процентов постоянно уменьшается. Поэтому величина срочной уплаты будет также уменьшаться по истечении каждого периода времени.
Пример: Долг в сумме 100000 рублей выдан под 10% годовых на 5 лет. Составить план погашения долга в рассрочку с выплатами 1 раз в год.
Решение:
Таблица 4.3
При погашении займа в рассрочку могут применяться и другие методы: равные срочные уплаты, переменные срочные уплаты. В соответствии с первым методом на протяжении всего срока ссуды регулярно выплачивается постоянная срочная уплата, часть которой идет на погашение ссуды, а другая - на уплату процентов. Исходя из того, что величина долга постоянно убывает, убывает и выплата процентов. Суммы же, идущие на погашение долга, постоянно увеличиваются. Фактически, происходит прогрессивное погашение долга.
Второй метод применяется в случаях ощутимого влияния факторов, затрудняющих проведение срочных уплат, одинаковых по величине. Это происходит при резких колебаниях спроса на продукцию заемщика, при нарушении сроков оплаты продукции покупателями и т.д.
5. Основные понятия математических методов исследования экономики
5.1 Необходимость создания экономико-математических моделей
Экономические проблемы, возникающие перед специалистами, в большинстве своем сложные. Они зависят от множества различных, иногда противоречащих друг другу факторов, изменяются с течением времени и влияют на другие проблемы и процессы. Проводить эксперименты с экономикой очень сложно, а часто и просто невозможно. В отсутствие предварительного анализа экономической ситуации такие эксперименты могут привести к весьма негативным последствиям (как к экономическим, так и социальным). Поэтому для изучения экономических явлений создают модели - копии изучаемых реальных объектов.
Во всем мире экономико-математические методы и модели завоевывают сегодня доминирующее место в хозяйственной практике. Их использование создает надежную базу для компьютеризации процессов управления предприятием.
Для моделирования экономики применяют не одну модель, а систему моделей, описывающих разные стороны экономики. Есть модели экономики страны (их называют макроэкономическими), есть модели экономических явлений на отдельном предприятии или даже модель одного экономического события (их называют микроэкономическими).
В настоящее время в связи с переходом к смешанной экономике происходит существенная адаптация методов математического моделирования, учитывающая как рыночные механизмы, так и методы государственного регулирования. Роль математических моделей на современном этапе значительно возрастает, так как появилось больше свободы при выборе решений на всех уровнях деятельности. Если в условиях директивного управления основная задача предприятия заключалась в выполнении плана при выделенных ресурсах, т.е. экономическая деятельность осуществлялась в рамках жестко ограниченных условий, то сейчас имеется возможность самостоятельно определять как внешние, так и внутренние условия деятельности предприятия. Это создает стимулы для более активного поиска путей наилучших решений, их обоснования и оценки надежности.
5.2 Определение модели. Математическая модель
Реальные объекты слишком сложны, поэтому для их изучения создают модели -- копии изучаемых реальных объектов. С одной стороны, модели должны быть доступны для изучения, в силу чего они не должны быть слишком сложными -- значит, они неминуемо будут лишь упрощенными копиями. Но, с другой стороны, выводы, полученные при их изучении, мы хотим распространить на реальные объекты-прототипы, следовательно, модель должна отражать существенные черты изучаемого реального объекта.
В силу такой двойственности построение, составление моделей во многом является искусством. Чем удачнее будет подобрана, построена модель, чем лучше она будет отражать существенные черты реального объекта, тем успешнее будет ее исследование и полезнее вытекающие из этого исследования выводы и рекомендации.
Модель - это образ реального экономического процесса, отражающий существенные свойства этого процесса и замещающий его в ходе исследования и управления. Процесс построения моделей называется моделированием.
В научном исследовании используются самые различные модели: натуральные (например, в лаборатории строят маленький ручеек и над ним возводят копию ГЭС в масштабе 1:100) и абстрактные -- физические (из трансформаторов, резисторов, вольтметров и т.п.), математические (из переменных, функций, неравенств и т.п.).
Составление математических моделей и называется математическим моделированием. Именно через составление математических моделей применяется математика в научных исследованиях, в других науках. Это довольно ярко заметно и в экономической науке.
5.3 Экономические модели. Понятие экономико-математической модели
Для изучения различных экономических явлений экономисты используют их упрощенные формальные описания, называемые экономическими моделями. Примерами экономических моделей являются модели потребительского выбора, модели фирмы, модели экономического роста, модели равновесия на товарных, факторных и финансовых рынках и многие другие. Строя модели, экономисты выявляют существенные факторы, определяющие исследуемое явление, и отбрасывают детали, несущественные для решения поставленной проблемы. Формализация основных особенностей функционирования экономических объектов позволяет оценить возможные последствия воздействия на них и использовать такие оценки в управлении.
Как обычно строится экономическая модель?
1. Формулируются предмет и цели исследования.
2. В рассматриваемой экономической системе выделяются структурные или функциональные элементы, соответствующие данной 'цели, выявляются наиболее важные качественные характеристики этих элементов.
3. Словесно описываются взаимосвязи между элементами модели.
4. Вводятся символические обозначения для учитываемых характеристик экономического объекта и формализуются, насколько возможно, взаимосвязи между ними.
5. Проводятся расчеты по математической модели и анализ полученного решения.
Следовательно, в процессе построения экономической модели ей придается математическая структура, и она превращается в экономико-математическую модель.
Экономико-математическая модель - это математическая модель, предназначенная для исследования экономической проблемы.
По своей сути любая экономическая модель абстрактна и, следовательно, неполна, поскольку, выделяя наиболее существенные факторы, определяющие закономерности функционирования рассматриваемого экономического объекта, она абстрагируется от других факторов, которые, несмотря на свою относительную малость, все же в совокупности могут влиять не только на отклонения в поведении объекта, но и на само его поведение. Так, в простейшей модели спроса считается, что величина спроса на какой-либо товар определяется его ценой и доходом потребителя. На самом же деле на величину спроса оказывает также влияние ряд других факторов: вкусы и ожидания потребителей, цены на другие товары, воздействие рекламы, моды и так далее. Обычно предполагают, что все факторы, не учтенные явно в экономической модели, оказывают на объект относительно малое результирующее воздействие в интересующем нас аспекте. Состав учтенных в модели факторов и ее структура могут быть уточнены в ходе совершенствования модели. Необходимым требованием, предъявляемым к модели, должна быть адекватность, т.е. соответствие модели реальному процессу по свойствам, которые считаются существенными для исследования.
При этом следует подчеркнуть нетривиальный характер обеспечения заданного уровня точности при исследовании поведения сложноорганизованного объекта. Один из возможных способов его решения заключается в формировании и применении разных классов экономико-математических моделей, характеризующих принцип множественности описания такого объекта.
Создать достаточно адекватную реальности модель очень сложно. Так, модель Кейнса, отражающая возможности рыночной экономики адаптироваться к возмущающим воздействиям, была построена лишь под впечатлением жестоких уроков тяжелейшего кризиса 1929-1933 гг. Однако применение этой модели для выхода из послевоенного кризиса в Германии и Японии было весьма успешным и получило название "экономического чуда".
Таким образом, для выработки правильных экономических решений необходим скрупулезный учет как всего прошлого опыта, так и результатов, полученных по концептуальным и математическим моделям, наиболее адекватным данной экономической ситуации.
5.4 Классификация экономико-математических моделей и методов
Перейдем к вопросам классификации экономико-математических моделей. Единой системы классификации экономико-математических моделей в настоящее время не существует, однако можно привести ряд классификационных рубрик таких моделей. Рассмотрим некоторые из них.
1. По учету фактора неопределенности модели бывают детерминированные и стохастические (вероятностные).
Детерминированные модели предполагают жесткие функциональные связи между переменными модели, результаты на выходе однозначно определяются управляющими воздействиями. Несмотря на кажущуюся простоту этих моделей, к ним сводятся многие практические задачи.
Стохастические модели - это модели с неизвестными факторами - случайными величинами, для которых известны функции распределения и различные статистические характеристики (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение). При задании на входе стохастической модели определенной совокупности значений на ее выходе могут получаться различные результаты в зависимости от действия случайного фактора.
Среди стохастических моделей можно выделить:
- модели стохастического программирования, в которых либо в' целевую функцию (1.3), либо в ограничения (1.4) входят случайные величины;
- модели теории случайных процессов, предназначенные для изучения процессов, состояние которых в каждый момент времени является случайной величиной;
- модели теории массового обслуживания, в которых изучаются многоканальные системы, занятые обслуживанием требований.
К стохастическим моделям можно также отнести эконометрические модели, которые более подробно будут рассмотрены ниже.
Стохастические модели используют инструментарий теории вероятности и математической статистики.
2. По учету фактора времени модели подразделяются на статические и динамические.
В статических моделях все зависимости отнесены к одному моменту или периоду времени без учета изменения их параметров.
Динамические модели описывают экономические системы в развитии. В них отражается не только зависимость переменных от времени, но их взаимосвязь во времени.
Например, динамика инвестиций определяет динамику величин основного капитала, что в свою очередь является важнейшим фактором изменения объема выпуска.
Расчет динамических моделей сложен, и для каждой конкретной задачи необходимо разрабатывать специальный алгоритм решения. В них (т.е. моделях) обычно используется аппарат дифференциальных и разностных уравнений, вариационного исчисления.
3. По степени агрегирования объектов моделирования модели разделяются на макроэкономические и микроэкономические. Хотя между ними и нет четкого разделения, но к первым из них относят модели, отражающие функционирование экономики как единого целого, в то время как микроэкономические модели связаны, как правило, с такими звеньями экономики, как предприятия и фирмы. Макроэкономические модели связывают между собой укрупненные материальные и финансовые показатели: валовой национальный продукт, потребление, инвестиции, занятость, процентная ставка, количество денег и др.
Микроэкономические модели описывают взаимодействие структурных и функциональных составляющих экономики либо поведение отдельной такой составляющей в рыночной среде. Вследствие разнообразия типов экономических элементов и форм, их взаимодействия на рынке микроэкономическое моделирование занимает основную часть экономико-математической теории. Наиболее серьезные теоретические результаты в микроэкономическом моделировании в последние годы получены в исследовании стратегического поведения фирм в условиях рынка с использованием аппарата теории игр.
4. По предназначению, т.е. по цели создания и применения выделяют балансовые модели, оптимизационные модели, трендовые модели и имитационные модели.
Балансовые модели требуют соответствия наличия ресурсов и их использования, отражают взаимосвязь экономических показателей в виде линейных уравнений. Они записываются в виде системы уравнений, каждое из которых выражает требование равенства (баланса) между количеством продукции, производимой отдельным экономическим объектом, и совокупной потребностью в этом продукте. Отсюда происходит название модели.
Впервые балансовые модели начали использоваться в нашей стране в 20-х годах. В более или менее законченном виде теория балансовых моделей была разработана американским ученым В.В. Леонтьевым в середине 30-х годов. Однако в те годы ни уровень развития математической науки, ни качество вычислительной техники не позволили широко распространить балансовый метод. Большая заслуга в разработке и внедрении балансовых моделей принадлежит советскому академику В.С. Немчинову.
В 1960 г. под его руководством возобновилась работа по составлению межотраслевого баланса. В настоящее время интерес к балансовым моделям достаточно широк. Это объясняется тем, что модель хорошо отражает многие существенные особенности современного производства и в то же время легко поддается расчету. Во многих странах мира балансовый метод используется для экономического анализа, планирования и прогнозирования.
Оптимизационные модели предназначены для выбора наилучшего варианта из определенного числа вариантов производства, распределения или потребления. В каждой из оптимизационных экономико-математических моделей имеется критерий оптимальности - целевая функция, глобальный экстремум которой отыскивается при заданных ограничениях. В зависимости от вида целевой функции и ограничений оптимизационные модели разделяются на линейные - целевая функция и ограничения выражены линейными функциями и нелинейные - целевая функция или ограничения отображены нелинейными функциями.
В трендовых моделях развитие моделируемой экономической системы отражается через тренд (длительную тенденцию) ее основных показателей.
Имитационные модели предназначены для использования в процессе машинной имитации изучаемых систем или процессов.
5. По типу информации, используемой в модели, экономико-математические модели делятся на аналитические, построенные на априорной информации, и идентифицируемые, построенные на апостериорной информации.
6. По возможности применения различают теоретические и прикладные модели. Теоретические модели позволяют изучать общие свойства экономики и ее характерные элементы путем дедукции выводов и формальных предпосылок. Прикладные модели дают возможность оценить параметры функционирования конкретного экономического объекта и сформулировать рекомендации для принятия практических решений.
Процесс моделирования не заканчивается составлением моделей, а только им начинается. Составив модель, выбирают метод нахождения ответа, решают задачи. Применяемые здесь экономические методы - это методы исследования экономики, изучающие экономические процессы с количественной стороны.
Рассмотрим вопросы классификации экономико-математических методов. Эти методы представляют собой комплекс экономико-математических дисциплин, являющихся сплавом экономики, математики и кибернетики. Поэтому классификация экономико-математических методов сводится к классификации научных дисциплин, входящих в их состав. Хотя общепринятая классификация этих дисциплин пока не выработана, с известной степенью приближения в составе экономико-математических методов можно выделить следующие разделы:
* экономическая кибернетика: системный анализ экономики, теория экономической информации и теория управляющих систем;
* математическая статистика: экономические приложения данной дисциплины - выборочный метод, дисперсионный, корреляционный, регрессионный, многомерный статистический, факторный анализы, теория индексов и др.;
* математическая экономика и изучающая те же вопросы с количественной стороны эконометрика: теория экономического роста, теория производственных функций, межотраслевые балансы, национальные счета, анализ спроса и потребления, региональный и пространственный анализ, глобальное моделирование и др.;
* методы принятия оптимальных решений, в том числе исследование операций в экономике. Это наиболее объемный раздел, включающий в себя следующие дисциплины и методы: оптимальное (математическое) программирование, в том числе методы ветвей и границ, сетевые методы планирования и управления, программно-целевые методы планирования и управления, теорию и методы управления запасами, теорию массового обслуживания, теорию игр, теорию и методы принятия решений, теорию расписаний. В оптимальное (математическое) программирование входят в свою очередь линейное, нелинейное, динамическое, дискретное (целочисленное), дробно-линейное, параметрическое, сепарабельное, стохастическое, геометрическое программирование;
* методы и дисциплины, специфичные отдельно как для централизованно планируемой экономики, так и для рыночной (конкурентной) экономики. К первым можно отнести теорию оптимального функционирования экономики, оптимальное планирование, теорию оптимального ценообразования, модели материально-технического снабжения и др. Ко вторым - методы, позволяющие разработать модели свободной конкуренции, капиталистического цикла, монополии, индикативного планирования, модели теории фирмы и т.д. Многие из методов, разработанных для централизованно планируемой экономики, могут оказаться полезными и при экономико-математическом моделировании в условиях рыночной экономики;
* методы экспериментального изучения экономических явлений. К ним относят, как правило, математические методы анализа и планирования экономических экспериментов, методы машинной имитации (имитационное моделирование), деловые игры. Сюда можно отнести также и методы экспертных оценок, разработанные для оценки явлений, не поддающихся непосредственному измерению.
...Подобные документы
Современная величина обычной ренты. Определение процентной ставки финансовой ренты. Математическое и банковское дисконтирование. Эквивалентность процентных ставок и средних ставок. Расчет наращенных сумм в условиях инфляции. Консолидация платежей.
контрольная работа [80,7 K], добавлен 28.11.2013Особенности определения размера выданной ссуды и величины начисленных процентов по кредиту. Вычисление размера первоначального взноса в случае формирования резервного фонда с постоянным абсолютным приростом платежей. Расчет схемы финансовой ренты.
контрольная работа [9,4 K], добавлен 25.06.2012Определение размера погасительного платежа при начислении процентов по простым, сложным процентным и учетным ставкам. Методы расчета ссуды по простым фиксированным процентным ставкам. Математическое дисконтирование при простой процентной ставке.
контрольная работа [27,9 K], добавлен 17.03.2014Основные виды аннуитетов: регулярные взносы в пенсионный фонд, погашение долгосрочного кредита, выплата процентов по ценным бумагам. Расчет будущей стоимости постоянного аннуитета. Вычичсление параметров финансовой ренты постнумерандо и пренумерандо.
презентация [136,7 K], добавлен 25.03.2014В чем заключается принцип неравноценности денег. Случаи использования простых процентов. Описание использования при математическом дисконтировании сложных процентных ставок. Определение наращенной суммы ренты пренумерандо, ее отличие от обычной ренты.
контрольная работа [61,2 K], добавлен 22.12.2010Формирование ставок дисконтирования. Достоинства и недостатки методов их расчета. Рисковые и безрисковые активы, их влияние на выставление процентной ставки. Модель оценки капитальных активов. Выбор корректировок для выбранной ставки дисконтирования.
курсовая работа [73,4 K], добавлен 24.09.2012Краткая характеристика учебно-опытного хозяйства "Пригородное". Структура финансовой службы предприятия. Анализ денежных потоков. Планирование и прогнозирование деятельности. Содержание экономико-математического моделирования в финансовом планировании.
контрольная работа [27,7 K], добавлен 25.03.2014Понятие, состав, виды и содержание финансовой отчетности. Характеристика методов анализа финансовых отчетов. Анализ специализации сельскохозяйственного предприятия, анализ структуры его активов и пассивов, денежных потоков, финансовых результатов.
курсовая работа [73,4 K], добавлен 06.06.2011Понятие, цели и виды финансовой отчетности, ее ключевые элементы. Состав финансовой отчетности, адреса и сроки ее предоставления. Основные формы финансовой отчетности. Требования к информации о финансовой отчетности, обоснование ее конфиденциальности.
презентация [378,3 K], добавлен 05.11.2015Теоретические основы финансовых вычислений. Валютный курс и инфляция. Составление плана погашения долгосрочного кредита, выданного Национальным Резервным банком на ремонт квартиры. Влияние валютного курса и инфляции на величину процентной ставки.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 26.09.2011Понятие финансовой системы, ее сфера и звенья. Краткая характеристика звеньев государственных финансов. Субъекты управления финансовой системой. Развитие финансовой системы России. Оптимизация материальных и финансовых потоков в государстве.
курсовая работа [24,3 K], добавлен 06.01.2004Теоретические основы финансово-коммерческих вычислений: простые и сложные проценты. Сравнение роста по сложной и простой процентной ставке: переменные ставки, дисконтирование, потребительский кредит. Влияние инфляции на современный валютный курс.
курсовая работа [114,9 K], добавлен 14.12.2011Понятие финансовой грамотности и значение экономических знаний для населения в современном обществе. Направления финансовой грамотности в России и за рубежом. Основные направления деятельности государства по повышению финансовой грамотности в стране.
эссе [17,1 K], добавлен 05.12.2013Определение вексельной суммы, процентной ставки, эквивалентной банковской учетной ставке. Расчет реальной годовой доходности по облигациям при заданных номинальной процентной ставке и уровне инфляции. Ожидаемая реальная доходность держателя векселя.
контрольная работа [26,4 K], добавлен 21.12.2012Сущность финансовой устойчивости предприятия, основные пути ее укрепления. Классификация методов и приемов финансового анализа. Анализ финансовой устойчивости ООО "Платон". Разработка мероприятий по достижению оптимальной структуры баланса предприятия.
курсовая работа [4,6 M], добавлен 28.06.2013Сущность государственного регулирования экономики и построение ее математических моделей. Роль и функции налогов в трехсекторной экономике как сборов, взимаемых с хозяйствующих субъектов и граждан. Влияние повышения пошлины на производство и потребление.
курсовая работа [397,9 K], добавлен 14.06.2011Понятие финансового состояния экономических субъектов. Классификация методов и приемов финансового анализа. Горизонтальный и вертикальный анализ баланса, анализ платежеспособности, ликвидности и рентабельности предприятия, его сильных и слабых сторон.
дипломная работа [115,1 K], добавлен 13.10.2011Концептуальные основы управления финансовой деятельностью ЗАО "Волгострой", понятие финансовой деятельности. Экономическая характеристика объекта исследования и анализ системы управления финансовой деятельностью. Характеристика основных показателей.
дипломная работа [319,6 K], добавлен 18.10.2009План движения денежных потоков и оценка экономической эффективности программы. Кредиторская задолженность предприятия как отвлечение денежных средств. Понятие максимальной ставки дисконтирования. Схема сценария поступления ежегодных платежей от проекта.
контрольная работа [732,9 K], добавлен 01.02.2011Сущность, цель и основные задачи анализа финансовой устойчивости предприятия. Нормативно-правовые и законодательные акты, регулирующие анализ финансовой устойчивости предприятий. Применение экономико-математического моделирования при прогнозе выручки.
дипломная работа [136,4 K], добавлен 26.01.2011
