Основы финансовой математики. Основные понятия математических методов исследования экономики и математического программирования экономических процессов
Понятие о наращении по процентной ставке и дисконтировании ссуды. Суть финансовой ренты, наращение и дисконтирование потоков платежей. Погашение займа разовым платежом и в рассрочку. Понятие экономико-математических методов, моделей и их классификация.
| Рубрика | Финансы, деньги и налоги |
| Вид | книга |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 16.10.2013 |
| Размер файла | 298,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
* метод приведения параллельных данных основан на сопоставлении двух или нескольких рядов статистических величин. Такое сопоставление позволяет установить наличие связи и получить представление о ее характере.
5.5 Математическая экономика и эконометрика
Математическая экономика - раздел экономической науки, занимающийся анализом свойств и решений математических моделей экономических процессов. Математическая экономика отделяется обычно от эконометрики, занимающейся статистической оценкой и анализом экономических зависимостей и моделей на основе изучения эмпирических данных. Задачей математической экономики является изучение вопроса о существовании решения модели, условиях его неотрицательности, стационарности и наличии других свойств.
Среди моделей математической экономики можно выделить два крупных плана - модели равновесия в экономических системах и модели экономического роста. Модели равновесия помогают исследовать состояния экономических систем, в которых равнодействующая всех внешних сил равна нулю. Это, вообще говоря, статические модели, в то время как экономическая динамика описывается с помощью моделей роста.
Эконометрика - наука, исследующая количественные закономерности и взаимозависимости в экономике при помощи методов математической статистики. Основа этих методов - корреляционно-регрессионный анализ. Использование современных методов математической статистики началось в биологии. В последней четверти XIX в. английский биолог К. Пирсон положил начало современной математической статистике изучением кривых распределения числовых характеристик человеческого организма. Затем он и его школа перешли к изучению корреляций в биологии и построению линейных функций регрессии.
Первые работы по эконометрике появились в конце XIX - начале XX вв. В 1897 г. появилась работа одного из основателей математической школы в экономической теории В. Парето, посвященная статистическому изучению доходов населения в разных странах.
В самом начале XX в. вышло несколько работ английского статистика Гукера, в которых он применил корреляционно-регрессионные методы, разработанные Пирсоном и его школой, для изучения взаимосвязи экономических показателей, в частности - влияния числа банкротов на товарной бирже на цену зерна. В работах Гукера содержалась идея временного лага между экономическими переменными, а также идея корреляционного анализа не самих величин, а их приращений. В дальнейшем появилось огромное число работ как по развитию теории математической статистики и ее прикладных элементов, так и по практическому применению этих методов в экономическом анализе.
Эконометрические методы и модели сейчас - это не только мощный инструментарий для получения новых знаний в экономике, но и широко применяемый аппарат для принятия практических решений в прогнозировании, банковском деле, бизнесе.
6. Основные понятия математического программирования экономических процессов
6.1 Основные понятия и этапы построения оптимизационных моделей
Рассмотрим процесс экономико-математического моделирования, т.е. описания экономических и социальных систем и процессов в виде экономико-математических моделей. Эта разновидность моделирования обладает рядом существенных особенностей, связанных как с объектом моделирования, так и с применяемыми аппаратом и средствами моделирования. Поэтому целесообразно более детально проанализировать последовательность и содержание этапов экономико-математического моделирования, выделив следующие шесть: постановка экономической проблемы, ее качественный анализ; построение математической модели; математический анализ модели; подготовка исходной информации; численное решение; анализ численных результатов и их применение. Рассмотрим каждый из этапов более подробно.
1. Постановка экономической проблемы и ее качественный анализ.
На этом этапе требуется сформулировать сущность проблемы, принимаемые предпосылки и допущения. Необходимо выделить важнейшие черты и свойства моделируемого объекта, изучить структуру и взаимосвязь его элементов, хотя бы предварительно сформулировать гипотезы, объясняющие поведение и развитие объекта.
2. Построение математической модели.
Это этап формализации экономической проблемы, т.е. выражения ее в виде конкретных математических зависимостей (функций, уравнений, неравенств и др.). Построение модели подразделяется в свою очередь на несколько стадий. Сначала определяется тип экономико-математической модели, изучаются возможности ее применения в данной задаче, уточняются конкретный перечень переменных и параметров и форма связей. Для некоторых сложных объектов целесообразно строить несколько разноаспектных моделей: при этом каждая модель выделяет лишь некоторые стороны объекта, а другие стороны учитываются агрегировано и приближенно. Оправдано стремление построить модель, относящуюся к хорошо изученному классу математических задач, что может потребовать некоторого упрощения исходных предпосылок модели, не искажающего основных черт моделируемого объекта. Однако возможно и такая ситуация, когда формализация проблемы приводит к неизвестной ранее математической структуре.
3. Математический анализ модели.
На этом этапе чисто математическими приемами исследования выявляются общие свойства модели и ее решений. В частности, важным моментом является доказательство существования решения сформулированной задачи. При аналитическом исследовании выясняется, единственно ли решение, какие переменные могут входить в решение, в каких пределах они изменяются, каковы тенденции их изменения и т.д. Однако модели сложных экономических объектов с большим трудом поддаются аналитическому исследованию; в таких случаях переходят к численным методам исследования.
4. Подготовка исходной информации.
В экономических задачах это, как правило, наиболее трудоемкий этап моделирования, так как дело не сводится к пассивному сбору данных. Математическое моделирование предъявляет жесткие требования к системе информации; при этом надо принимать во внимание не только принципиальную возможность подготовки информации требуемого качества, но и затраты на подготовку информационных массивов. В процессе подготовки информации используются методы теории вероятностей, теоретической и математической статистики для организации выборочных обследований, оценки достоверности данных и т.д. При системном экономико-математическом моделировании результаты функционирования одних моделей служат исходной информацией для других.
5. Численное решение.
Этот этап включает разработку алгоритмов численного решения задачи, подготовку программ на ЭВМ и непосредственное проведение расчетов; при этом значительные трудности вызываются большой размерностью экономических задач. Обычно расчеты на основе экономико-математической модели носят многовариантный характер. Многочисленные модельные эксперименты, изучение поведения модели при различных условиях возможно проводить благодаря высокому быстродействию современных ЭВМ. Численное решение существенно дополняет результаты аналитического исследования, а для многих моделей является единственно возможным.
6. Анализ численных результатов и их применение.
На этом этапе, прежде всего, решается важнейший вопрос о правильности и полноте результатов моделирования и применимости их как в практической деятельности, так и в целях усовершенствования модели. Поэтому в первую очередь должна быть проведена проверка адекватности модели по тем свойствам, которые выбраны в качестве существенных (другими словами, должны быть произведены верификация и валидация модели) Верификация модели -- проверка правильности структуры (логики) модели; валидация модели -- проверка соответствия данных, получен-ных на основе модели, реальному процессу.. Применение численных результатов моделирования в экономике направлено на решение практических задач (анализ экономических объектов, экономическое прогнозирование развития хозяйственных и социальных процессов, выработка управленческих решений на всех уровнях хозяйственной иерархии).
Перечисленные этапы экономико-математического моделирования находятся в тесной взаимосвязи, в частности, могут иметь место возвратные связи этапов. Так, на этапе построения модели может выясниться, что постановка задачи или противоречива, или приводит к слишком сложной математической модели; в этом случае исходная постановка задачи должна быть скорректирована. Наиболее часто необходимость возврата к предшествующим этапам моделирования возникает на этапе подготовки исходной информации. Если необходимая информация отсутствует или затраты на ее подготовку слишком велики, приходится возвращаться к этапам постановки задачи и ее формализации, чтобы приспособиться к доступной исследователю информации.
6.2 Принцип оптимальности в планировании и управлении, общая задача оптимального программирования
Линейное программирование -- это частный раздел оптимального программирования. В свою очередь оптимальное (математическое) программирование -- раздел прикладной математики, изучающий задачи условной оптимизации. В экономике такие задачи возникают при практической реализации принципа оптимальности в планировании и управлении.
Необходимым условием использования оптимального подхода к планированию и управлению (принципа оптимальности) является гибкость, альтернативность производственно-хозяйственных ситуаций, в условиях которых приходится принимать планово-управленческие решения. Именно такие ситуации, как правило, и составляют повседневную практику хозяйствующего субъекта (выбор производственной программы, прикрепление к поставщикам, маршрутизация, раскрой материалов, приготовление смесей и т.д.).
Суть принципа оптимальности состоит в стремлении выбрать такое планово-управленческое решение
,
где - его компоненты, которое наилучшим образом учитывало бы внутренние возможности и внешние условия производственной деятельности хозяйствующего субъекта.
Слова «наилучшим образом» здесь означают выбор некоторого критерия оптимальности, т.е. некоторого экономического показателя, позволяющего сравнивать эффективность тех или иных планово-управленческих решений. Традиционные критерии оптимальности: «максимум прибыли», «минимум затрат», «максимум рентабельности» и др.
Слова «учитывало бы внутренние возможности и внешние условия производственной деятельности» означают, что на выбор планово-управленческого решения (поведения) накладывается ряд условий, т.е. выбор осуществляется из некоторой области возможных (допустимых) решений D; эту область называют также областью определения задачи.
Таким образом, реализовать на практике принцип оптимальности в планировании и управлении - это значит решить экстремальную задачу вида:
, (2.1)
, (2.2)
где - математическая запись критерия оптимальности -- целевая функция.
Задачу условной оптимизации (2.1), (2.2) обычно записывают в виде:
Найти максимум или минимум функции
(2.3)
при ограничениях
,
, (2.4)
,
. (2.5)
Условие (2.5) необязательно, но его всегда при необходимости можно добиться. Обозначение говорит о том, что в конкретном ограничении возможен один из знаков: ?, = или ?. Более компактная запись:
, (2.6)
, (2.7)
(2.8)
Задача (2.6)-(2.8) -- общая задача оптимального (математического) программирования, иначе -- математическая модель задачи оптимального программирования, в основе построения (разработки) которой лежат принципы оптимальности и системности.
Вектор (набор управляющих переменных ) называется допустимым решением, или планом задачи оптимального программирования, если он удовлетворяет системе ограничений. А тот план (допустимое решение), который доставляет максимум или минимум целевой функции , называется оптимальным планом (оптимальным поведением, или просто решением) задачи оптимального программирования.
Таким образом, выбор оптимального управленческого поведения в конкретной производственной ситуации связан с проведением с позиций системности и оптимальности экономико-математического моделирования и решением задач оптимального программирования.
6.3 Формы записи задачи линейного программирования и ее экономическая интерпретация
Как отмечено выше, среди широкого класса задач оптимального программирования имеются важные подклассы задач, для которых разработаны эффективные методы решения. Наиболее изученным подклассом задач являются задачи линейного программирования.
В задаче линейного программирования (ЗЛП) требуется найти экстремум (максимум или минимум) линейной целевой функции :
(2.9)
при ограничениях (условиях):
,
, (2.10)
,
, (2.11)
где аij, bi, cj () - заданные постоянные величины.
Так записывается общая задача линейного программирования в развернутой форме; знак означает, что в конкретной ЗЛП возможно ограничение типа равенства или неравенства (в ту или иную сторону).
Систему ограничений (2.10) называют функциональными ограничениями ЗЛП, а ограничения (2.11) -- прямыми.
Вектор , удовлетворяющий системе ограничений (2.10), (2.11), называется допустимым решением, или планом ЗЛП, т.е. ограничения (2.10), (2.11) определяют область допустимых решений, или планов задачи линейного программирования (область определения ЗЛП).
План (допустимое решение), который доставляет максимум или минимум целевой функции (2.9), называется оптимальным планом (оптимальным решением) ЗЛП.
Канонической формой записи задачи линейного программирования (КЗЛП) называют задачу вида (запись с использованием знаков суммирования):
Найти
(2.12)
при ограничениях:
, (2.13)
(2.14)
Векторная форма записи КЗЛП имеет вид:
Найти:
при ограничениях
,
где , ,
СХ -- скалярное произведение векторов С, Х;
Аj и В -- вектор-столбцы:
, , …, , .
Матричная форма записи КЗЛП:
при условиях
АХ = В, Х ? 0.
Здесь С = (с1, с2,..., сn) - вектор-строка;
А = (аij) -- матрица размерности тЧп, столбцами которой являются вектор-столбцы Аj;
- вектор-столбец, - вектор-столбец.
Иногда используется стандартная форма записи ЗЛП:
,
АХ ? (?)В, Х ? 0.
При этом запись Х ? 0 понимают как вектор (или вектор-столбец в зависимости от контекста), у которого все компоненты (элементы) неотрицательны.
Приведение ЗЛП к каноническому виду осуществляется введением в левую часть соответствующего ограничения вида (2.10) k-й дополнительной переменной со знаком « - » в случае ограничения типа ? и знаком «+» в случае ограничения типа ?.
Если на некоторую переменную хr не накладывается условие неотрицательности, то делают замену переменных хr = хr' - хr'', хr ? 0, хr'' ? 0. В преобразованной задаче все переменные неотрицательные. Переход к задаче на максимум достигается изменением в случае необходимости знака у целевой функции.
К математическим задачам линейного программирования приводят исследования конкретных производственно-хозяйственных ситуаций, которые в том или ином виде интерпретируются как задачи об оптимальном использовании ограниченных ресурсов (задача о раскрое, смесях, диете и т.д.).
6.4 Симплексный метод решения задачи
Среди универсальных методов решения задач линейного программирования наиболее распространен симплексный метод (или симплекс-метод), разработанный американским ученым Дж. Данцигом. Суть этого метода заключается в том, что вначале получают допустимый вариант, удовлетворяющий всем ограничениям, но необязательно оптимальный (так называемое начальное опорное решение); оптимальность достигается последовательным улучшением исходного варианта за определенное число этапов (итераций). Нахождение начального опорного решения и переход к следующему опорному решению осуществляется на основе применения метода Жордана-Гаусса для системы линейных уравнений в канонической форме, в которой должна быть предварительно записана исходная ЗПЛ; направление перехода от одного опорного решения к другому выбирается при этом на основании критерия оптимальности (целевой функции) исходной задачи.
Итак, рассмотрим задачу линейного программирования с ограничениями в форме уравнений. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными
(2.15)
и линейная функция
. (2.16)
Среди неотрицательных решений системы (2.15) нужно найти такое, которое минимизирует функцию (2.16).
Для начала работы по симплекс-методу требуется, чтобы заданная система уравнений была приведена к допустимому виду. Это означает, что какие-то из неизвестных должны быть выражены через остальные неизвестные, причем свободные члены этих выражений неотрицательны.
Пример допустимой системы:
(2.17)
здесь свободные члены равны соответственно 5, 4 и 0.
Неизвестные в допустимом виде системы, которые выражены через остальные, называются базисными, а весь набор этих неизвестных, который мы обозначим для краткости одной буквой Б, -- допустимым базисом неизвестных. Остальные неизвестные называются небазисными или свободными. Например, в системе (2.17) допустимый базис образован неизвестными , , неизвестные же и - свободные.
По поводу возможности приведения системы (2.15) к допустимому виду заметим пока только следующее. Если система (2.15) совместна, то метод Гаусса позволяет выделить в ней базис неизвестных. Весь вопрос в том, будет ли этот базис допустимым, т. е. будут ли все свободные члены в правых частях уравнений неотрицательными. Можно, конечно, попытаться перебрать все возможные базисы неизвестных, чтобы отыскать среди них допустимый базис, но это весьма трудоемкая работа.
После того как выделен допустимый базис неизвестных, можно в выражении (2.16) для целевой функции заменить каждое базисное неизвестное его выражением через свободные. В итоге функция f запишется через одни лишь свободные неизвестные.
Например, если
,
а система ограничений приведена к виду (2.17), то новое выражение для f будет
.
Чтобы упростить дальнейшие записи, будем считать, что имеется всего пять неизвестных , , , , и система ограничений приведена к допустимому виду с базисом :
(2.18)
а целевая функция -- к виду
. (2.19)
Напомним, что решается задача о минимизации f при ограничениях (2.18) и условиях .
Положим все свободные неизвестные равными нулю:
,
и найдем из системы (2.18) значение базисных неизвестных:
.
Полученное таким путем решение системы (2.18):
(б, в, г, 0, 0) (2.20)
будет неотрицательным. Оно называется базисным решением, отвечающим базису . Для базисного решения значение функции f равно fБ = д.
Возможны три случая.
I. Все коэффициенты при свободных неизвестных в выражении для f неотрицательны: .
Тогда для любого неотрицательного решения системы (2.18) имеем значит, . Таким образом, minf= д, т. е. базисное решение является оптимальным--задача решена.
II. Имеется свободное неизвестное, коэффициент при котором в выражении f отрицателен, а все коэффициенты при этом неизвестном в уравнениях (2.18) -- неотрицательны.
Пусть, например, д4 < 0, а б4 ? 0, в4 ? 0, г4 ? 0 . Тогда, отправляясь от базисного решения (2.20), будем наращивать значение х4 (не меняя х5 = 0). Значения базисных неизвестных также будут меняться; мы получим:
т. е. решение (х1, х2, х3, х4, 0) будет оставаться неотрицательным. При этом , и ввиду д4 < 0 значение f с ростом x4 будет неограниченно уменьшаться. Таким образом, в этом случае, т. е. задача решения не имеет.
III. Имеется свободное неизвестное, коэффициент при котором в f отрицателен, но и среди коэффициентов при этом неизвестном в уравнениях (2.18) также есть отрицательные.
В этом случае производится шаг, а именно, от базиса Б мы переходим к новому базису Б', с таким расчетом, чтобы значение fБ уменьшилось или по крайней мере не увеличилось: fБ' ? fБ . Разумеется, изменение базиса влечет за собой соответствующую перестройку системы (2.18) ограничений и выражения (2.19) для функции/.
Опишем конкретно содержание шага. Пусть, например, б4 и в4 отрицательны, а г4 -- положительно или равно 0;
б4 < 0, в4 <0, г4 ? 0 (2.21)
Если снова, как в случае II, наращивать значение х4, то будем иметь:
Ввиду б4 < 0 и в4 <0 значения х1и х2 будут уменьшаться, а значение х3 будет оставаться неотрицательным (так как по-прежнему х3 ? г).
При наращивании х4 наступит момент, когда одно из неизвестных х1 или х2 обратится в нуль: для х1таким моментом будет , а для х2 будет . Выберем из этих отношений и наименьшее.
Пусть, например, это будет = с.
Тогда наращивание х4 возможно только от 0 до с.
При х4 = с неизвестное х1 обратится в нуль, а при дальнейшем росте х4 неизвестное х1 станет уже отрицательным, что допускать нельзя.
Полагая в системе (2.18) х4 = с и х5 = 0, получим неотрицательное решение
, (2.22)
для которого значение функции f будет в4с + в ? в (поскольку в4 < 0 и с ? 0).
Таким образом, с ростом х4 первым из базисных неизвестных обращается в нуль неизвестное х1. Это служит для нас сигналом к замене базиса Б = на Б' =, а именно: из старого базиса удаляется неизвестное х1, и вместо него в базис вводится неизвестное х4 (из числа прежних свободных).
Смена базиса, как уже говорилось, влечет за собой перестройку системы (2.18). Из первого уравнения (для х1) выражаем:
(2.23)
и подставляем это выражение для х4 в остальные два уравнения. В итоге получаем систему вида
(2.24)
с базисным решением
, (2.25)
которое должно совпадать с решением (2.22), поскольку, как видно из самой системы (2.23) , двух разных решений с х1 = 0, х5= 0 быть не может. Таким образом, базисное решение (2.24) является снова неотрицательным.
Что же касается нового значения функции f, то оно равно
(2.26)
и, таким образом, fБ' ? fБ (следует учесть, что в4 < 0 и поэтому ). Итак, с переходом от базиса Б к Б' система ограничений сохранила допустимую форму (2.24), где а ? 0, b ? 0, с ? 0, а значение функции f для базисного решения уменьшилось или осталось прежним.
Переход от базиса Б к новому базису Б' и означает шаг, который (напомним) делается в случае III. Разумеется, старое выражение для f, т. е. (2.19), должно быть теперь заменено новым:
(2.27)
которое получается из (2.19) заменой неизвестного х4 по формуле (2.23).
Если для полученной задачи (2.24), (2.25) снова имеет место случай III, то делаем следующий шаг, т. е. переходим к новому базису Б", для которого fБ'' ? fБ'.
И так до тех пор, пока не придем к одному из случаев I или II. Тогда процесс заканчивается.
Пример 1. Решим задачу f = х4 - х5 > тin при условиях
(2.28)
Здесь неизвестные х1, х2, х3 образуют базис (допустимый), а функция f выражена через свободные неизвестные х4 и х5.
Среди коэффициентов при свободных неизвестных в выражении f имеется отрицательное число -- это коэффициент при х5. Просматривая коэффициенты при х5 в уравнениях (2.28), мы видим, что и среди них имеются отрицательные. Следовательно, перед нами случай III, и в соответствии с изложенной выше методикой необходимо сделать шаг. Выбрав уравнения с отрицательными коэффициентами при х5.-- а это второе и третье уравнения,-- составляем для каждого из них отношение свободного члена к коэффициенту при х5, взятому со знаком минус. Получаем два отношения:
и ,
из которых меньшим является отношение , отвечающее уравнению для х2.
Производим замену базиса по схеме х2- х5. Это означает, что вместо х2 в базис вводится х5. Новый базис теперь состоит из х1, х5, х3. Чтобы осуществить соответствующую перестройку системы (2.28), нужно выразить эти неизвестные через х2 и х4.
Начинаем с уравнения для х2, из которого выражаем х5 (новое базисное неизвестное):
;
затем выражаем х1 и х3 и f:
Итак, задача приведена к виду:
(2.29)
(мы сохранили порядок уравнений в (2.28)) и
. (2.30)
Для полученной задачи снова имеем случай III, так как коэффициент при х4 в выражении f отрицателен и среди коэффициентов при х4 в уравнениях (2.29) также имеются отрицательные. Последним является коэффициент при х4 только в одном уравнении -- для х3, поэтому производим замену базиса по схеме х4 - х3.
Из третьего уравнения выражаем х4 и подставляем это выражение в остальные уравнения и в функцию f. В итоге получим:
(2.31)
. (2.32)
Выкладки предоставляем читателю провести самостоятельно.
Для полученной задачи имеет место случай I, так как оба коэффициента при свободных неизвестных в выражении f неотрицательны. Это означает, что последнее базисное решение:
является оптимальным, а искомый минимум f равен . Итак, оптимальное решение есть
и minf = . Задача решена.
В разобранном примере 1 процесс закончился случаем I, т. е. нахождением оптимального решения. Однако имеется еще одна возможность окончания процесса -- когда наступает случай II, тогда . Разберем пример.
Пример 2. Решим задачу f =- х1 - х2 > тin при условиях
(2.32)
Здесь имеем случай III, так как коэффициент при х1 в выражении для f отрицателен и среди коэффициентов при х1 в уравнениях тоже есть отрицательный коэффициент. Производя смену базиса по схеме х4 - х1, получим задачу
Для этой задачи имеем случай II, так как при неизвестном х2 коэффициент в выражении f отрицателен, а в каждом из уравнений -- коэффициент неотрицателен.
Следовательно, , и оптимального решения не существует.
6.5 Симплекс-таблицы
Производя расчеты по симплекс-методу, нет необходимости выписывать все вычисления столь подробно, как мы делали это в предыдущих примерах. Оказывается, весь процесс можно записать в виде последовательности однотипно заполняемых таблиц, причем каждому шагу будет отвечать переход к следующей таблице.
Описание симплекс-таблиц произведем на примере задачи (2.18), (2.19), где требуется минимизировать функцию (2.19) при ограничениях (2.18) и условиях хi ? 0 (i =1,…,5).
Для заполнения первой таблицы необходимо в каждом из уравнений (2.18) перенести все члены, кроме свободного, из правой части в левую, т. е. записать (2.18) в виде:
(2.33)
Аналогичную работу следует проделать и с равенством (2.19):
.
Про систему типа (8.20) часто говорят, что в ней столбцы коэффициентов при базисных неизвестных образуют единичный базис. Имеется в виду, что эти столбцы совпадают в некотором порядке со столбцами единичной матрицы Е.
Теперь можно заполнить симплекс-таблицу 1:
|
Базисные неизвестные |
Свободные члены |
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
|
|
х1 |
б |
1 |
0 |
0 |
- б5 |
||
|
х1 |
в |
0 |
1 |
0 |
- в4 |
- в5 |
|
|
х1 |
г |
0 |
0 |
1 |
- г4 |
- г5 |
|
|
f |
д |
0 |
0 |
0 |
- д4 |
- д5 |
Заглавная строка таблицы и характер заполнения, не считая стрелок, в комментариях не нуждаются. Расстановку стрелок поясним ниже.
В соответствии с ранее описанной методикой мы должны прежде всего выяснить, имеется ли в первоначальном выражении для
хотя бы один отрицательный коэффициент при х4 и х5. Поскольку при внесении в таблицу коэффициенты при х4 и х5 поменяли знаки, то мы должны, следовательно, выяснить, имеются ли в последней строке таблицы (не считая свободного члена д) положительные числа. Если таковых нет, то базисное решение, отвечающее данному базису, т. е. (а, (б, в, г, 0,0), является оптимальным, а -- задача решена.
Предположим, что в последней строке имеется (не считая д) положительное число д4. Отмечаем столбец, в котором оно находится, вертикальной стрелкой. Далее просматриваем остальные числа этого столбца. Если среди них нет отрицательных чисел -- это означает, что б4 ? 0, в4 ? 0 г4 ? 0 и мы имеем случай П. Тогда , и процесс снова прекращается.
Пусть, наконец, среди чисел отмеченного столбца, кроме последнего числа, имеются положительные числа. Это означает, что мы имеем случай III и, следовательно, должны сделать шаг. Например, как мы считали ранее, пусть -б4 > 0, -в4 >0 ( это означает б4 < 0, в4 < 0), а -г4 ? 0 (т. е. г4 ? 0) в точном соответствии с предположением (2.21). В этой случае описанная ранее методика предписывает составить отношения и и выбрать из них наименьшее.
Пусть, например, таковым является отношение , отвечающее строке таблицы с базисным неизвестным х1. Отмечаем эту строку горизонтальной стрелкой. Элемент таблицы, состоящий в отмеченном столбце и отметенной строке, называется разрешающим элементом. В данном случае это -б4 (в таблице он обведен пунктиром».
С этого момента начинается перестройка таблицы, цель которой состоит в переходе к новому базису .
Ее можно осуществить при помощи все того ас метода Гаусса. А именно умножаем выделенную строку на такое число, чтобы на месте разрешающего элемента появилась единица, т. е. умножаем на . Это соответствует тому, что первое из уравнений (2.33) разрешается относительно нового базисного неизвестного х4.
Полученную таким образом новую строку вписываем уже в новую таблицу снова в виде первой строки. Затем к каждой из остальных строк таблицы 1 прибавляем вновь полученную строку, умноженную на такое число, чтобы в клетке отмеченного столбца появился нуль -- это соответствует исключению неизвестного х4 из остальных уравнений, а также из выражения для f. Преобразованные таким образом строки пишем в новую таблицу на место прежних строк. В результате получаем новую таблицу 2.
К новой таблице применяется та же процедура. В результате или находится оптимальное решение (случай I), или обнаруживается, что (случай II), или же производится следующий шаг (случай III) -- получаем новую таблицу 3. И так далее, пока процесс не остановится (случай I или случай III).
Вот как будет выглядеть при такой методике решение примера 1. Исходная таблица имеет вид:
|
Базисные неизвестные |
Свободные члены |
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
|
|
1 |
|||||||
|
х1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
- 2 |
||
|
х2 |
2 |
0 |
1 |
0 |
- 2 |
||
|
х3 |
3 |
0 |
0 |
1 |
3 |
1 |
|
|
f |
0 |
0 |
0 |
0 |
- 1 |
1 |
Заполнение следующей таблицы начинается со строки х5. Содержимое таблицы соответствует (8.15) и (8.16).
Таблица имеет вид:
|
Базисные неизвестные |
Свободные члены |
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
|
|
-3 |
|||||||
|
х1 |
5 |
1 |
2 |
0 |
0 |
||
|
х5 |
2 |
0 |
1 |
0 |
- 2 |
1 |
|
|
х3 |
1 |
0 |
-1 |
1 |
0 |
||
|
f |
-2 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
0 |
Следующая таблица соответствует(2.31) и (2.32).
|
Базисные неизвестные |
Свободные члены |
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
|
|
0 |
|||||||
|
х1 |
1 |
0 |
|||||
|
х5 |
0 |
0 |
1 |
||||
|
х4 |
0 |
1 |
0 |
||||
|
f |
0 |
0 |
0 |
В этой таблице последняя строка (не считая свободного члена) не имеет положительных чисел. Значит, достигнуто оптимальное решение
а minf = .
Разумеется, практически удобнее все таблицы «пристыковывать» друг к другу по вертикали, что позволяет, начиная со второй таблицы, не писать заглавную строку.
Итак, подведем итог в виде следующего алгоритма.
Алгоритм работы по симплекс-методу
1. Выделяем исходный допустимый базис и заполняем первую таблицу.
2. Если в последней строке полученной таблицы, кроме, быть может, первого числа, нет положительных чисел, то базисное решение является оптимальным -- задача решена.
3. Пусть среди указанных в пункте 2 чисел имеется положительное число (скажем, в столбце хj). Отмечаем столбец хj вертикальной стрелкой. Просматриваем остальные числа этого столбца. Если среди них нет положительных чисел, то -- задача решения не имеет.
4. Пусть среди просмотренных в пункте 3 чисел имеются положительные числа. Для каждого из таких чисел а составляем отношение , где b - первое число в той же строке (свободный член). Из всех таких отношений выбираем наименьшее. Пусть оно соответствует строке для базисного неизвестного хi. Отмечаем эту строку горизонтальной стрелкой. Число а, стоящее в отмеченной строке и отмеченном столбце, называется разрешающим элементом таблицы.
5. Переходим к новой таблице. Для этого отмеченную строку умножаем на (чтобы на месте разрешающего элемента появилась единица) и пишем ее на месте прежней. К каждой из остальных строк таблицы прибавляем строку, полученную на месте отмеченной строки, умноженную на такое число, чтобы элемент, стоящий в отмеченном столбце, обратился в 0. Полученную строку пишем на месте прежней.
6. С новой таблицей возвращаемся к выполнению пункта 2.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Современная величина обычной ренты. Определение процентной ставки финансовой ренты. Математическое и банковское дисконтирование. Эквивалентность процентных ставок и средних ставок. Расчет наращенных сумм в условиях инфляции. Консолидация платежей.
контрольная работа [80,7 K], добавлен 28.11.2013Особенности определения размера выданной ссуды и величины начисленных процентов по кредиту. Вычисление размера первоначального взноса в случае формирования резервного фонда с постоянным абсолютным приростом платежей. Расчет схемы финансовой ренты.
контрольная работа [9,4 K], добавлен 25.06.2012Определение размера погасительного платежа при начислении процентов по простым, сложным процентным и учетным ставкам. Методы расчета ссуды по простым фиксированным процентным ставкам. Математическое дисконтирование при простой процентной ставке.
контрольная работа [27,9 K], добавлен 17.03.2014Основные виды аннуитетов: регулярные взносы в пенсионный фонд, погашение долгосрочного кредита, выплата процентов по ценным бумагам. Расчет будущей стоимости постоянного аннуитета. Вычичсление параметров финансовой ренты постнумерандо и пренумерандо.
презентация [136,7 K], добавлен 25.03.2014В чем заключается принцип неравноценности денег. Случаи использования простых процентов. Описание использования при математическом дисконтировании сложных процентных ставок. Определение наращенной суммы ренты пренумерандо, ее отличие от обычной ренты.
контрольная работа [61,2 K], добавлен 22.12.2010Формирование ставок дисконтирования. Достоинства и недостатки методов их расчета. Рисковые и безрисковые активы, их влияние на выставление процентной ставки. Модель оценки капитальных активов. Выбор корректировок для выбранной ставки дисконтирования.
курсовая работа [73,4 K], добавлен 24.09.2012Краткая характеристика учебно-опытного хозяйства "Пригородное". Структура финансовой службы предприятия. Анализ денежных потоков. Планирование и прогнозирование деятельности. Содержание экономико-математического моделирования в финансовом планировании.
контрольная работа [27,7 K], добавлен 25.03.2014Понятие, состав, виды и содержание финансовой отчетности. Характеристика методов анализа финансовых отчетов. Анализ специализации сельскохозяйственного предприятия, анализ структуры его активов и пассивов, денежных потоков, финансовых результатов.
курсовая работа [73,4 K], добавлен 06.06.2011Понятие, цели и виды финансовой отчетности, ее ключевые элементы. Состав финансовой отчетности, адреса и сроки ее предоставления. Основные формы финансовой отчетности. Требования к информации о финансовой отчетности, обоснование ее конфиденциальности.
презентация [378,3 K], добавлен 05.11.2015Теоретические основы финансовых вычислений. Валютный курс и инфляция. Составление плана погашения долгосрочного кредита, выданного Национальным Резервным банком на ремонт квартиры. Влияние валютного курса и инфляции на величину процентной ставки.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 26.09.2011Понятие финансовой системы, ее сфера и звенья. Краткая характеристика звеньев государственных финансов. Субъекты управления финансовой системой. Развитие финансовой системы России. Оптимизация материальных и финансовых потоков в государстве.
курсовая работа [24,3 K], добавлен 06.01.2004Теоретические основы финансово-коммерческих вычислений: простые и сложные проценты. Сравнение роста по сложной и простой процентной ставке: переменные ставки, дисконтирование, потребительский кредит. Влияние инфляции на современный валютный курс.
курсовая работа [114,9 K], добавлен 14.12.2011Понятие финансовой грамотности и значение экономических знаний для населения в современном обществе. Направления финансовой грамотности в России и за рубежом. Основные направления деятельности государства по повышению финансовой грамотности в стране.
эссе [17,1 K], добавлен 05.12.2013Определение вексельной суммы, процентной ставки, эквивалентной банковской учетной ставке. Расчет реальной годовой доходности по облигациям при заданных номинальной процентной ставке и уровне инфляции. Ожидаемая реальная доходность держателя векселя.
контрольная работа [26,4 K], добавлен 21.12.2012Сущность финансовой устойчивости предприятия, основные пути ее укрепления. Классификация методов и приемов финансового анализа. Анализ финансовой устойчивости ООО "Платон". Разработка мероприятий по достижению оптимальной структуры баланса предприятия.
курсовая работа [4,6 M], добавлен 28.06.2013Сущность государственного регулирования экономики и построение ее математических моделей. Роль и функции налогов в трехсекторной экономике как сборов, взимаемых с хозяйствующих субъектов и граждан. Влияние повышения пошлины на производство и потребление.
курсовая работа [397,9 K], добавлен 14.06.2011Понятие финансового состояния экономических субъектов. Классификация методов и приемов финансового анализа. Горизонтальный и вертикальный анализ баланса, анализ платежеспособности, ликвидности и рентабельности предприятия, его сильных и слабых сторон.
дипломная работа [115,1 K], добавлен 13.10.2011Концептуальные основы управления финансовой деятельностью ЗАО "Волгострой", понятие финансовой деятельности. Экономическая характеристика объекта исследования и анализ системы управления финансовой деятельностью. Характеристика основных показателей.
дипломная работа [319,6 K], добавлен 18.10.2009План движения денежных потоков и оценка экономической эффективности программы. Кредиторская задолженность предприятия как отвлечение денежных средств. Понятие максимальной ставки дисконтирования. Схема сценария поступления ежегодных платежей от проекта.
контрольная работа [732,9 K], добавлен 01.02.2011Сущность, цель и основные задачи анализа финансовой устойчивости предприятия. Нормативно-правовые и законодательные акты, регулирующие анализ финансовой устойчивости предприятий. Применение экономико-математического моделирования при прогнозе выручки.
дипломная работа [136,4 K], добавлен 26.01.2011
