Основы финансовых вычислений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования

«Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации»

Уфимский филиал

Контрольная работа

«Основы финансовых вычислений»

Студентки: Замула Ю.Ю.

Курс: 3 № группы: 13БЭБ

Преподаватель: Хусаинова З.Ф.

Уфа 2014



Содержание

1. Задача на выбор управленческих решений в ситуациях неопределенности

2. Задача на выбор управленческих решений в ситуациях риска

3. Определение основных характеристик отдельной ценной бумаги с учетом рыночного риска

Список используемой литературы



1. Задача на выбор управленческих решений в ситуациях неопределенности математический риск актив

Дана матрица последствий Q, в которой строки -- возможные управленческие решения, а столбцы -- исходы, соответствующие альтернативным вариантам реальной ситуации (состояниям внешней среды).

Выберите рациональную управленческую стратегию, применяя критерии (правила) максимакса, Вальда, Гурвица и Сэвиджа. Примите рекомендуемое значение б-критерия Гурвица.

Решение:

Полная неопределенность означает отсутствие информации о вероятностных состояниях среды («природы»), например о вероятностях тех или иных вариантов реальной ситуации. В лучшем случае могут быть известны диапазоны значений рассматриваемых величин. Рекомендации по принятию решений в таких ситуациях сформулированы в виде определенных правил (критериев).

1. Критерий (правило) максимакса. По этому критерию определяется вариант решения, максимизирующий максимальные выигрыши (например, доходы) для каждого варианта ситуации. Это критерий крайнего («розового») оптимизма, в соответствии с которым наилучшим является решение, дающее максимальный выигрыш, равный . Рассматривая i_е решение, предполагают самую хорошую ситуацию, приносящую доход , а затем выбирают решение с наибольшим значением ai. Критерий максимакса означает, что нужно по каждой строке матриц Q найти максимальное значения, а среди максимальных значений найти максимальное.

Кликнем на ячейку H3, введем в нее функцию =МАКС(B3:G3) из Категории Статистические и нажмем клавишу Enter или ОК.

В ячейке H3 появляется максимальное значение дохода для альтернативы А1 равное 7.

Для остальных альтернатив эта величина вычисляется путем протягивания ячейки H3 по столбцу (H3:H6). В ячейку H7 введем функцию =МАКС(H3:H6) и нажмем клавишу Enter: в ячейке H7 появится число 10. Сравнивая его с числами в ячейках (H3:H6), находим, что оно совпадает с максимальным значением дохода для альтернативы А3, которая, следовательно, и является наилучшей по критерию максимакса.



Рис. 1 Выбор рационального решения в условиях неопределенности по критерию максимакса

Делаем вывод, к какой стратегии отнесем максимальное значение 10 - к 3 стратегии.

2. Правило Вальда (правило максимина, или критерий крайнего пессимизма). Рассматривая i_e решение, будем полагать, что на самом деле ситуация складывается наихудшая, то есть приносящая наименьший доход . Но теперь выберем решение i0 с наибольшим bi0. Итак, правило Вальда рекомендует принять решение i0 такое, что .

Критерий Вальда означает, что необходимо найти среднее минимальное значение по каждой строке максимальное (максимум из минимальных).

В ячейку I3 (рис. 2.) введем функцию =МИН(В3:G3) из Категории Статистические, нажмем клавишу Enter или ОК и получим в ячейке I3 минимальное значение доходности для альтернативы А1, равное -8.



Рис. 2. Выбор рационального решения в условиях неопределенности по критерию Вальда (для сравнения сохранен выбор решения по критерию максимакса)

Рис. 3 Ввод функций

Для остальных альтернатив аналогичная величина вычисляется путем протягивания ячейки I3 по столбцу (I3:I6). В ячейку I7 введем функцию =МАКС(I3:I6) и нажмем клавишу Enter: в ячейке I7 появится число -1 Сравнивая его с числами в ячейках (I3:I6), заметим, что оно совпадает с минимальным значением дохода для альтернативы А3, которая, следовательно, и является оптимальной по критерию Вальда.

Делаем вывод, к какой стратегии отнесем максимум из минимальных значений -1 - к 3 стратегии.

3. Правило (б-критерий) Гурвица (взвешивающий пессимистический и оптимистический подходы к выбору решений). По данному критерию выбирают вариант решения, при котором достигается максимум выражения, где б выражает долю пессимизма (параметр пессимизма) в характере ЛПР, причем а € [0; 1].

Таким образом, критерий Гурвица рекомендует руководствоваться некоторым средним результатом между крайним оптимизмом и крайним пессимизмом. При б = 0 критерий Гурвица совпадает с критерием максимакса, а при б = 1 -- с критерием Вальда. Значение б выбирается из субъективных (интуитивных) соображений.

Решение:

В ячейках L3 набираем заданное значение параметра б. В ячейку H3 введем формулу =$L$3*I3+(1-$L$3)*H3 соответствующая и нажмем клавишу Enter. В ячейке J3 появится значение критерия Гурвица для альтернативы А1, равное 1 при б = 0,4. Ячейку J3 протягиваем по столбцу (J3:J6), в результате будут вычислены значения критерия Гурвица для всех альтернатив и всех заданных значений параметра б.

Рис.4. Выбор рационального решения в условиях неопределенности по б-критерию Гурвица (для сравнения сохранен выбор решений по критерию максимакса и правилу Вальда)

В ячейку J7 введем функцию =МАКС(J3:J6) и нажмем клавишу Enter: в ячейке H7 появится число 5,6. Сравнивая его с числами в ячейках (J3:J6), найдем, что оно совпадает со значением критерия Гурвица для альтернативы А3 равная 5,6, которая и является оптимальным решением при б = 0,4.



Рис.5. Ввод функций

Делаем вывод, к какой стратегии отнесем максимум из минимальных значений 5,6 - к 3 стратегии.

4. Правило Сэвиджа (критерий минимаксного риска). Этот критерий аналогичен критерию Вальда, но ЛПР принимает решение, руководствуясь не матрицей последствий Q = {qij}, а матрицей рисков R = {rij}. По этому критерию наилучшим является решение, при котором максимальное значение риска будет наименьшим, то есть равным . Рассматривая i_e решение, предполагают ситуацию максимального риска и выбирают вариант решения i0 с наименьшим .

Пусть принимается решение Ai. Очевидно, если бы было известно, что реальная ситуация будет Cj, то ЛПР приняло решение, дающее доход q q j i ij =max . Однако i_е решение принимается в условиях неопределенности. Значит, ЛПР рискует получить доход не qj, а только qij. Таким образом, существует реальная возможность недополучить доход, и этому неблагоприятному исходу можно сопоставить в качестве меры недополучения дохода риск rij, размер которого целесообразно оценить как разность rij = qj - qij.

Матрица R = {rij} называется матрицей рисков.

Необходимо посчитать матрицу рисков.

Найдем максимальные значения элементов матрицы по столбцам. Для этого выделим ячейку В7, вызовем Мастер функций > Категория Статистические > МАКС. На панели в строке формул появляется =МАКС(В3:В6), нажимаем кнопку ОК: в ячейке В7 появляется число 9 -- максимальный доход q1 для состояния среды С1. Максимальные доходы для остальных ситуаций находим, протягивая ячейку В7 по строке (В7:G7) c помощью крестика.

Для вычисления элементов матрицы рисков выделим ячейку В13, введем в нее формулу =В$7_В3 и нажмем клавишу Enter. В ячейке В13 появится вычисленное значение риска r11 = 4. Ячейку В13 протягиваем по строке (В13:G13), а выделенные ячейки -- по столбцу (G13:G16). Матрица рисков будет вычислена в ячейках (В13:G16).

Рис. 6 Расчет матрицы рисков по матрице №1 в MS Excel

Рассмотрим матрицу рисков R на листе Excel (рис. 6.). В ячейку H13 введем функцию =МАКС(B13:G13) и нажмем клавишу Enter: в ячейке H13 появится максимальное значение риска для альтернативы А1.

Протягивая ячейку H13 по столбцу (H13:H16), получим максимальные риски для остальных альтернатив. В ячейку H17 введем функцию =МИН(H13:H16) и нажмем клавишу Enter. В ячейке H17 появится число 8 -- минимальное значение из набора максимальных рисков (критерий Сэвиджа). Сравнивая его с числами в ячейках (H13:H16), находим рациональное решение по критерию Сэвиджа -- альтернативу А3.

Рис. 7 Выбор рационального решения в условиях неопределенности по критерию Сэвиджа (для сравнения сохранен выбор решений по различным критериям для матрицы последствий)

Делаем вывод, к какой стратегии отнесем максимум из минимальных значений 8 - к 3 стратегии.

Ответ: Рациональное оптимальное значение стратегия №3

2. Задача на выбор управленческих решений в ситуациях риска

Рассматриваются два альтернативных проекта A и B. Оценив их рисковость, выберите наиболее привлекательный проект. Приняты следующие обозначения: pi -- вероятности состояния внешней среды; xi -- соответствующие доходности проектов.

Рис. 8 Исходные данные

Решение:

Табличный способ организации выбора решений. Рассмотрим ряд распределения значений доходности ценной бумаги хi(ri), соответствующих определенным состояниям экономической конъюнктуры, для которых известны вероятности их реализации pi (табл. 1.).

Прежде чем рассчитывать характеристики, а именно математическое ожидание и дисперсию доходности необходимо проверить: ?PiA=1; ?PiB=1.

Рис. 9 Проверка

Математическое ожидание доходности ценной бумаги рассчитывается по формуле. Классической мерой риска служит среднеквадратическое отклонение (риск вложения денежных средств в проект). В расчетах часто бывает целесообразно использовать формулу, где под знаком корня находится разность между средним квадратом доходности и квадратом средней доходности.

Речь идет о выборе между двумя ценными бумагами, этих двух характеристик недостаточно. В этом случае целесообразно ввести в рассмотрение такой показатель, как коэффициент вариации , который имеет смысл риска, приходящегося на единицу ожидаемой доходности. Этот показатель находится как отношение среднего квадратического отклонения к математическому ожиданию для каждого проекта.

Рис.10. Выполнение расчетов в MS Excel, позволяющих выбрать оптимальный проект

Рис. 11 Ввод функций

Ответ: Чем меньше коэффициент вариации, тем привлекательнее соответствующий проект. Так как VA<VB, то проект А привлекательнее и при этом ожидаемая доходность составит 8,7%.

3. Определение основных характеристик отдельной ценной бумаги с учетом рыночного риска

Найти оптимальный портфель минимального риска из двух ценных бумаг с учетом рыночного индекса и доходностью не ниже доходности по облигациям. Текущие котировки исходных данных акций, индекса рынка и облигаций представлены в таблице 1.

Таблица 1. Исходные данные

Требуется:

1) рассчитать доходности соответствующих активов по месяцам;

2) определить характеристики каждой ценной бумаги: ai, вi, бi R2, а также общий рыночный, или систематический и собственный, или несистематический риск;

3) сформировать портфель минимального риска из двух видов ценных бумаг при условии, что обеспечивается доходность портфеля не меньшая, чем по безрисковым ценным бумагам (облигациям) с учетом доходности по рыночному индексу РТС;

4) построить линию рынка ценных бумаг -- SML.

Решение:

В таблице №1 «Исходные данные» уже рассчитаны доходности соответствующих торговых инструментов, таким образом нам не нужно рассчитывать доходность инструментов за каждый месяц по формуле

Проведем предварительные расчеты. Для дальнейших расчетов потребуются значения оценок математического ожидания доходностей по безрисковой ценной бумаге (облигации) mf и ценным бумагам, рыночному индексу РТС mr, а также квадрата риска (волатильности) доходности по рыночному индексу.

Нахождение указанных величин с помощью MS Excel проводится в несколько этапов:

Этап 1. Определение значений оценок математического ожидания доходностей по безрисковой ценной бумаге (облигации) mf и ценным бумагам, а также рыночному индексу РТС mr основывается на применении функций СРЗНАЧ и ДИСП категории Статистические.

Обращаясь к Мастеру функций, вызываем функцию СРЗНАЧ, затем аналогичным образом -- функцию ДИСП. (рисунок 12 и 13)

Рис. 12 Функция СРЗНАЧ



Рис.13. Функция ДИСП

Риис.14. Определение значений оценок математического ожидания MS Excel.

Этапы 2-3. Для оценки таких характеристик каждой ценной бумаги, как ai, вi, R2, а также общего рыночного и собственного риска используем инструмент Регрессия из пакета Анализа данных (Сервис >Анализ данных > Регрессия).

Рис.15. Таблица для вызова инструмента Регрессия и формирования оценок на этапах 2-3 решения задачи

Найдем корреляцию с рынком с помощью Функции>Статистические>КОРРЕЛ. В Массив 1 выделяем данные индекса рынка на каждый месяц, а в Массив 2 доходы по акции М1 и М2.

Рис.16. Функция КОРРЕЛ



Коэффициенты парной корреляции ry,x используются для измерения силы линейных связей различных пар признаков из их множества. Для множества m признаков n наблюдений получают матрицу коэффициентов парной корреляции. Количество наблюдений n=18. Количество факторов (переменных) m=2.

Коэффициент парной корреляции вычисляется по формуле:

Из коэффициентов корреляции видно, что связь межу индексом рынка и акциями М2 и М4 прямая связь. Связь между акциями и индексом рынка (r(Y,М2)), (r(Y,М4)) достаточно тесная (допустимая),так как выполняется неравенство 0,5?r<0,7.

Чем ближе коэффициент корреляции к единице тем теснее связь между двумя показателями. Чем ближе к 0 тем слабее связь между двумя показателями.



Рис.17. Запуск инструмента Регрессия для формирования оценок на этапах 2-3 решения задачи

Рис.18. Заполнение диалоговых окон инструмента Регрессия

Рис.19. Протокол отчета инструмента Регрессия для акции компании «Аэрофлот»

Аналогичным образом получаем протокол отчета инструмента Регрессия для акций компании «МТС».

Рис.20. Протокол отчета инструмента Регрессия для акции компании «МТС»

Далее заполняем следующие показатели из протоколов Регрессии:

Рис.21. Пример протокола с пояснением смысла некоторых ячеек.



Для акци Аэрофлот

Для акции МТС

Рис. 22. Нахождение собственного риска

Найдем собственный риск для каждой акции для этого нужно все остатки (Е) из регрессии возвести в квадрат (Е2), сложить и разделить на количество наблюдений (N-1=18-1=17).

Рыночный риск находим по формуле в2*Mr (дисперсию индекса рынка), так рассчитываем для каждой акции.

Произведем проверку собственный риск плюс рыночный риск по каждой акции должен быть равен дисперсии каждой акции.

Доля рыночного риска - это коэффициент Детерминации (R2) определен инструментом «Регрессия» пакета «Анализ данных» в Excel в Регрессионной статистике. Долю рыночного риска отражаем в процентах. Этот коэффициент тоже рассчитываем для каждой акции. Этот показатель характеризует долю риска данных ценных бумаг вносимая рынком, то есть поведение акции портфеля на 23,4% и 35,3% предсказуем с помощью индекса рынка.

3. Сформируем портфель минимального риска из двух акций на основе математической модели с помощью Поиска решения. Прежде всего, следует подготовить шаблон для использования Поиска решения.

Рис.23. Шаблон для использования Поиска решения

где xi -- доля i-й ценной бумаги в составе портфеля ценных бумаг, и выдвигается требование о неотрицательности долей ценных бумаг, включаемых в портфель;

-- ожидаемая доходность (математическое ожидание) i-й ценной бумаги;

бi, вi -- оценки параметров регрессии доходности i-й ценной бумаги mi(t) на рыночный индекс mr(t), где вi -- чувствительность ценной бумаги к рынку;

-- чувствительность портфеля к рынку, взвешенная по чувствительностям ценных бумаг, входящих в портфель;-- дисперсия величины mr(t), то есть квадрат риска (волатильности) доходности по рыночному индексу;

-- квадрат систематического (рыночного) риска портфеля;

-- квадрат собственного риска портфеля, представляющий собой сумму квадратов собственных (не подверженных влиянию рынка) рисков ценных бумаг, взвешенных по долям этих бумаг в портфеле.

Заметим, что неравенство отражает требование того, что доходность портфеля должна быть не меньше, чем доходность по безрисковым ценным бумагам, а равенство учитывает необходимость выполнения условия о том, что сумма долей ценных бумаг, входящих в портфель, должна быть равна единице.



Рис.24. шаблон для использования Поиска решения с вводимыми формулами

Рис.25. Заполненный шаблон для использования поиска решений

Заметим, что ограничение на неотрицательность долей ценных бумаг вводить нецелесообразно, так как оно может быть учтено Поиском решения (в разделе параметры надо потребовать их неотрицательность)

Рис.26. Заполнение диалоговых окон Поиска решения

Целевая функция - риск портфеля - минимизируется



Рис.27. Ввод в параметры Поиска решения ограничения на неотрицательность долей ценных бумаг, включаемых в портфель

Рис.28. Результаты Поиска решения (оптимальное решение найдено)

На рис. 28 представлены результаты поиска решений, суть которых сводится к тому, что оптимальный портфель ценных бумаг должен содержать 81,20% акций компании «МТС» и 18,80% акций компании «Аэрофлот». При этом риск будет минимальным (4,66%), а доходность -- совпадать с безрисковой доходностью (0,15%).

Построим линию рынка ценных бумаг -- SML. Чтобы построить линию рынка ценных бумаг, необходимо использовать Точечную диаграмму в Мастере диаграмм, откладывая по оси абсцисс значения в-коэффициента, а по оси ординат -- доходность. Для проведения этой прямой достаточно двух точек: безрисковой доходности по облигациям (в = 0) и среднерыночной доходности (в = 1).

Подготовка исходных данных для построения Точечной диаграммы.

После построения SML следует добавить еще три ряда -- для каждой акции, портфеля и премия, причем каждый ряд будет представлять собой одну точку, координаты которой -- соответствующие доходности и в-коэффициент .

Таблица 3. Исходные данные для построения Точечной диаграммы

Для определения премии за риск рассчитаем

Премия за риск показывает, насколько смещены точки, соответствующие отдельным акциям, относительно линии рынка ценных бумаг.

Таким образом, акции компании «МТС» уступают рынку в доходности на 0,6%, тогда как акции компании «Аэрофлот» имеют доходность на 0,3% выше, чем в среднем по рынку при соответствующем уровне риска.

Рис. 29. Проверка премии за риск в портфеле

Рис.30. Подготовка исходных данных для построения Точечной диаграммы



Рис.31. Ввод данных при построении Точечной диаграммы

Рис 32. Окончательный вид диаграммы с линией рынка ценных бумаг

Ответ: таким образом, сформированный портфель имеет доходность выше среднерыночной при соответствующем уровне риска в силу включения в него акции компании «Аэрофлот» и «МТС». Включение акции «Аэрофлот» в портфель позволяет снизить его риск с 8,13 до 4,66%, а акции «МТС» в портфель позволяют снизить его риск с 4,91 до 4,66%.

Список используемой литературы

1. Оценка и анализ рисков. Компьютерный лабораторный практикум для студентов шестого курса, обучающихся по специальности 080105.65 «Финансы и кредит», специализация «Финансовый менеджмент». -- М.: ВЗФЭИ, 2011.

2. Финансовая математика. Методические указания по выполнению лабораторной работы для студентов, обучающихся по направлениям 080200.68 «Менеджмент», программа «Финансовый менеджмент», 080100.68 «Экономика», программа «Корпоративные финансы», квалификация (степень) магистр. -- М.: ВЗФЭИ, 2012.

3. Орлова И.В., Половников В.А. Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование: Учеб. пособие. - 3-е изд., перераб. И доп. - М.:Вузовский учебник: ИНФРАМ-М, 2012. - 389 с.

Размещено на Allbest.ru

...