Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

На тему предсказания дефолтов написано множество работ. Большинство из них посвящено предсказанию корпоративных дефолтов. Существующие работы предлагают большое количество различных моделей для оценки вероятности дефолта (Z-статистика Альтмана, D-статистика Блюмса, КМВ-Мертоновская модель).

Данная работа описывает исследование в более узком направлении: предсказание дефолта корпоративных облигаций. Целью данной работы исследование возможности прогнозирования дефолта облигаций, используя проспект эмиссии, а также выявление факторов, значимых для предсказания дефолта. Объектом исследования работы являются российские корпоративные облигации нефинансовых компаний.

Работа построена следующим образом. В первой части приводится обзор нескольких написанных ранее теоретических статей, на которые опирается данная работа. Далее приводится описание выбранных данных и переменных, которые проверяются на значимость и используются для построения модели. После этого следует описание теоретической базы, на основе которой строятся модели в данной работе, а также описание методов оценки качества моделей. После чего приводится описание методик построения моделей, непосредственное построение моделей и оценка их качества. В данной работе подробно рассматривается построение 9 различных моделей для оценки вероятности дефолта облигаций.

В результате работы выявлена значимость таких факторов, как отношение нераспределенной прибыли к активам компании, отношение прибыли до налогообложения к краткосрочным обязательствам, некоторых параметров купона облигации и параметров денежных потоков компании, для прогнозирования дефолта облигации на горизонте 3 года. Кроме того, построено несколько моделей, обладающих достаточно хорошей предсказательной способностью.

1. Обзор теоретических работ

корпоративный облигация эмиссия дефолт

Данное исследование основано на нескольких более ранних работах в области предсказания дефолтов. Эта проблема известна достаточно давно, и базовой работой в этом направлении можно считать статью Э. Альтмана “Financial Ratios, Discriminant Analysis and the Prediction of Corporate Bankruptcy” . В своей работе Альтман отказался от традиционного анализа финансовых показателей в пользу метода MDA. Данный статистический метод позволяет отнести каждую переменную к заранее определенной группе, таким образом классифицируя их по определенным параметрам. Эта модель относится к скоринговым моделям, тому типу модели, которая будет построена в данной работе.

Данные Альтман подбирал следующим образом. В изначальной выборке было 66 корпораций, по 33 фирмы в каждой из двух групп. В первой группе были компании, обанкротившиеся в период с 1946 по 1965 год. Во второй -- компании, продолжавшие свою деятельность в 1966 году. После того, как группы были сформированы, были проанализированы их бухгалтерские отчетности, и выбраны 22 переменные, которые потенциально были значимыми при предсказании банкротства компании. В конечном итоге 5 из этих 22 переменных были включены в модель, которая приняла следующий вид:

Z=0.012 X₁+0.014 X₂+0.033 X₃+0.006 X₄+0.999 X₅, где:

· X₁=Оборотный капитал/Активы

· X₂=Нераспределенная прибыль/Активы

· X₃=EBIT/Активы

· X₄=Рыночная стоимость акции/Балансовая величина совокупного долга

· X₅=Выручка от продаж/Активы

· Z=Значение индекса.

Эти показатели были включены в список используемых в данной работе.

В 1977 году Альтман, Хальдеман и Нараянан опубликовали статью “ZETA Analysis: A New Model to Identify Bankruptcy Risk of Corporations”, в которой описали разработанную ими скоринговую модель второго поколения (Зета-модель), которая была усовершенствованной версией модели Альтмана 1968 года. Одной из основных причин для разработки новой модели явилось то, что значительно изменился размер фирм, подвергавшихся процедуре банкротства. На этот раз выборка состояла из 53 обанкротившихся компаний и 58 не обанкротившихся компаний на временном промежутке 1969-1975гг. Также модель теперь учитывала структуру компаний. В конечном варианте, было выделено 7 наиболее значимых показателей:

· доходность активов, которая измеряется отношением EBIT к общим активам;

· стабильность прибыли, которая измеряется нормализованной стандартной ошибкой оценки 5-10 летнего тренда доходности активов;

· покрытие долга, которое измеряется отношением EBIT к процентам к уплате;

· кумулятивная прибыльность, которая измеряется отношением нераспределенной прибыли к активам компании;

· ликвидность, измеряемая отношением оборотных активов к текущим обязательствам;

· капитализация;

· размер компании, который определяется размером активов фирмы.

В итоге, модель, использовавшая данные предыдущего года для подсчета вероятности дефолта оказалась на 96.2% точной для дефолтных компаний (что оказалось достаточно близким значением к аналогичному показателю модели Альтмана -- 93.9%) и на 89.7% точной для недефолтных компаний. В то же время, на пятилетнем отрезке точность Зета-модели падала до 70%, тогда как модель Альтмана была точна только на 36%.

Еще одной скоринговой моделью, на которую опирается данная работа, является методика предсказания банкротства фирм, описанная в статье М. Блюмса Автор данной статьи разрабатывает концептуальную модель, в которой представляет вероятность банкротства как функцию от ликвидности, прибыльности и текущего благосостояния фирмы. Для своего исследования М. Блюмс отобрал все американские компании, которые в ноябре 2003 года имели активы на сумму от 50 до 500 млн. долл., из которых для конечной выборки было случайным образом выбрано 850 компаний. Кроме того, были исключены финансовые компании, так как они имеют другую финансовую структуру. В конечном итоге была разработана модель, которая имеет следующий вид:

D=- 4.9 - 2.11 X₁ + 0.0006 X₂ - 1.73 X₃- 0.016 X₄ - 0.005 X₅ + 5.86 X₆, где:

· X₁=Чистая прибыль/Активы

· X₂=Долг/Акции

· X₃=Акции/Активы

· X₄=6-ти месячное изменение рыночной цены акции

· X₅=Рост продаж за три года

· X₆=Текущие обязательства/Активы

· D=Значение индекса

Данная модель определила как проблемные 90% действительно проблемных компаний и, соответственно, не выявила 10% проблемных компаний. Модель также определила 71% не проблемных компаний как не проблемные и 29% не проблемных компаний как проблемные.

Еще одним типом моделей, предсказывающих вероятность дефолта, являются структурные модели. Основной работой в этом направлении является КМВ-Мертоновская модель предсказания дефолта. Данная модель определяет вероятность дефолта для каждой компании в выборке в каждый момент времени. Она основана на статье Роберта Мертона, в которой он предложил свою модель определения цены облигации фирмы. В своей модели Мертон использует уравнение Блэка-Шоулза для определения цены акции, а также отношение волатильности стоимости фирмы к волатильности ее акции. Наиболее значимыми переменными в этой модели являются, соответственно, рыночная стоимость акции, величина долга и волатильность акций. При падении цены акции вероятность дефолта возрастает.

Еще одной моделью предсказания дефолтов является модель, разработанная аналитиками рейтингового агентства Moody's. При разработке этой модели изначальный пробит-анализ 43 фундаментальных показателей свелся к тому, что были отобраны 6 из них, которые считаются наиболее значимыми в этой модели:

· (EBIT + Аннуитет/3)/(Расходы на уплату процентов + Аннуитет/3 + Дивиденды по привилегированным акциям/0.65);

· Долг/Балансовая стоимость капитала;

· Денежные средства и их эквиваленты/Активы;

· ;

· Нераспределенные денежные потоки/Долг;

· Рост активов

Данная модель рассчитана на предсказание дефолта больших нефинансовых компаний на однолетнем горизонте. В 1999-2003 годах точность данной модели колебалась от 72.4% до 87.8%.

Модель, разработанная совместно Эдвардом Альтманом и Габриэлем Сабато описана в статье “Modeling Credit Risk for SMEs: Evidence from the US Market” 2005 года. Авторы использовали логит-анализ на данных 2,000 американских компаний с продажами меньше $65 млн. в период с 1994 по 2002 год. Данные также включали в себя 120 дефолтных компаний. Данная модель выделяет 5 финансовых показателей, являющихся значимыми для определения вероятности дефолта:

· EBITDA/Активы;

· Краткосрочные обязательства/Балансовая стоимость акции;

· Нераспределенная прибыль/Активы;

· Денежные средства и их эквиваленты/Активы;

· EBITDA/Расходы на уплату процентов.

Кроме того, эта модель на 30% более точна в предсказании дефолта, чем разработанная ранее скоринговая модель Альтмана.

В апреле 2003 года была опубликована статья Эвелины Хейден. В данной статье ставилась цель составить рейтинговые системы, основанные на различных определениях дефолтов и данных по австрийским компаниям. В статье рассматриваются определения дефолтов и определяется временной промежуток рассматриваемых данных. Изначально данные включали в себя 230,000 годовых наблюдений по различным фирмам в период с 1975 по 2000 годы, но позднее из-за различного рода ошибок объем данных пришлось уменьшить до 199,000. Методология данного исследования использовала логит-анализ данных. Из начального набора из 66 различных показателей были выбраны 9 наиболее значимых, которые в итоге и вошли в финальную модель:

· Обязательства/Активы;

· Задолженность перед банком/Активы;

· Краткосрочные обязательства/Активы;

· Денежные средства и их эквиваленты/Краткосрочные обязательства;

· (Чистая выручка от продаж - Стоимость материалов)/Расходы на персонал;

· Доход от хозяйственной деятельности/Активы;

· Чистая выручка от продаж/Чистая выручка от продаж за прошлый год;

· Правовая форма фирмы.

В статье 2009 года “Using Structural Models for Default Prediction” автор - Гуннар Грасс - предлагает новую процедуру вывода вероятности дефолта используя скоринговые модели, основанную на анализе кредитных спредов в мертоновской модели структуры капитала. Кроме того, в данной статье автор сравнивает предсказанные параметры дефолта с частотой дефолта, определенной по мертоновской модели расстояния до дефолта. Грасс приходит к выводу, что для стабильных фирм его оценки имеют более высокие значения по сравнению с мертоновской моделью, а для фирм с большим долгом и высокой волатильностью активов - более низкие.

Авторы статьи “A Market-Based Framework for Bankruptcy Prediction” (2004) Александр Рейз и Клаудиа Перлих попытались оценить вероятность банкротства 5,784 промышленных фирм в период с 1988 по 2002 годы с помощью модели, в которой акция рассматривается как барьерный опцион на активы фирмы. Вероятности, определенные с помощью этой модели, оказались более точными в сравнении с результатами модели Блэк-Шоулза, моделью Мертона и моделью KMV. Кроме того, авторы сделали вывод о том, что скоринговые модели, основанные на бухгалтерских показателях, более точны в предсказании дефолта, чем структурные модели.

В работе “Comparing Models of Corporate Bankruptcy Prediction: Distance to Default vs. Z-Score.” (2009) Уоррен Миллер сравнивает две модели предсказания дефолта компании: скоринговую модель Альтмана и разработанную агентством Morningstar модель, основанную на моделях Блэка-Шоулза и Мертона. Модель расстояния до дефолта менее интуитивна, чем скоринговая модель Альтмана и основана на предположении, что акции компании - это опционы на ее активы. Дефолт компании происходит, когда рыночная стоимость активов компании меньше стоимость ее обязательств. Таким образом, модель расстояния до дефолта представляет вероятность дефолта как функцию от разницы между стоимостью активов компании и величиной обязательств. Автор приходит к выводу, что модель расстояния до дефолта лучше определяет вероятность дефолта, чем скоринговая модель Альтмана, особенно, когда вероятность дефолта высока. Несмотря на это, обе модели имеют достаточно значимую величину ошибки первого рода, классифицируя компании, которые не испытывают дефолт как потенциально опасные.

В статье “Introducing the Morningstar Solvency Score, A Bankruptcy Prediction Metric” (2009) Уоррен Миллер описывает разработанную агентством Morningstar модель предсказания дефолта, основанную на платежеспособности фирмы, и сравнивает ее с моделью расстояния до дефолта и скоринговой моделью Альтмана. Модель платежеспособности использует четыре параметра: процентные значения долгового рычага фирмы, отношения EBITDA/Проценты к уплате, отношения оборотных активов к краткосрочным обязательствам и доходности инвестированного капитала. Автор делает вывод, что модели платежеспособности и расстояния до дефолта лучше предсказывают дефолт, чем скоринговая модель Альтмана. Кроме того, Миллер акцентирует внимание на том, что комбинация этих двух моделей, возможно, даст еще более сильный в плане предсказания дефолта индикатор.

В статье “Default Prediction Model for SME's: Evidence from Indonesian Market Using Financial Ratios” авторы - Б. Эрманто и С. Гунавиджайа - описывают результаты построенных ими моделей для предсказания дефолта малых и средних предприятий на примере индонезийского рынка. Авторы используют логит- и пробит-анализ для построения моделей дефолтов, используя в качестве переменных финансовые соотношения 1,845 компаний за 2005-2007 годы. В финальную модель вошли только три показателя:

· Коэффициент текущей ликвидности;

· Коэффициент покрытия процентных платежей;

· Коэффициент оборачиваемости дебиторской задолженности.

В статье 2006 года “Predicting Probability of Default of Indian Corporate Bonds: Logistic and Z-score Model Approaches” (Journal of Risk Finance, 22 июня, 2006) автор - Бандйопадхйай Ариндам - попытался разработать для предсказания дефолта индийских корпоративных облигаций. Целью этой работы было дать возможность банкам и другим финансовым институтам оценивать вероятность дефолта индийских компаний, используя их финансовые показатели. По мнению автора, показатели, включенные в модель предсказания дефолта, должны отражать как свойства денежных потоков фирмы, так и ее долговые обязательства, и изменение стоимости активов фирмы. Автор переопределил классическую модель Альтмана для индийских компаний. В своем исследовании Бандйопадхйай Ариндам рассмотрел 542 индийские компании, выпустившие облигации в период с 1998 по 2004 годы, и случайным образом выбрал из них 52 дефолтные и 52 недефолтные компании. Кроме финансовых показателей автор в своем исследовании использует такие параметры как возраст компании, совместное владение, наличие сертификата качества ISO, переменные отрасли. Проведя логит-анализ, автор выделяет следующие значимые для определения дефолта облигаций переменные:

· Коэффициент долгосрочной платежеспособности фирмы, который рассчитывается как отношение активов к общей сумме заемных средств, краткосрочные обязательств и резервов за вычетом авансов от налоговых платежей;

· Отношение суммы чистой прибыли и амортизации к активам;

· Отношение оборотного капитала к активам;

· Отношение выручки от продаж к активам;

· Отношение рыночной стоимости акции к балансовой стоимости долга.

Кроме того, автор утверждает, что фиктивная переменная наличия сертификата ISO имеет обратную связь с вероятностью дефолта. А также фиктивные переменные отрасли, к которой принадлежит фирма, имеют коэффициенты, отличные от 0, что говорит о присутствии связи между отраслью и вероятностью дефолта облигаций.

2. Данные и переменные

Выбор данных

В данном исследовании дефолт облигаций определяется на горизонте в 3 года. Данный выбор связан с недостаточным количеством наблюдений на горизонте 1-2 года. В то же время на горизонте 5 лет и больше падает точность предсказания (Альтман, Хальдеман, Нараянан “ZETA Analysis: A New Model to Identify Bankruptcy Risk of Corporations”)

В качестве данных для исследования были выбраны проспекты эмиссий облигаций, соответствующие определенным параметрам.

В качестве данных по дефолтным облигациям из общего списка компаний, выпустивших облигации, начиная с 2005 года, были исключены финансовые компании, банки и муниципальные компании. Далее были выбраны компании, чьи облигации хотя бы один раз за период 3 года с момента эмиссии были в дефолте по одному из типов обязательств: оферта, выплата купона, погашение номинала. Из оставшегося списка компаний были выбраны те проспекты эмиссий, облигаций которых имели бухгалтерскую отчетность за полный год, предшествовавший году решения о выпуске облигаций. Кроме того, были исключены непроизводственные компании. В конечную выборку компаний, чьи облигации побывали в дефолте, вошли 19 компаний. Из проспектов эмиссий этих компаний были выбраны показатели, необходимые для расчетов переменных, описанных ниже. Для подсчета бухгалтерских переменных были выбраны параметры из бухгалтерских отчетностей за полный год, предшествовавший году решения о выпуске облигаций.

В качестве данных по недефолтным облигациям случайным образом были выбраны проспекты эмиссий компаний, которые примерно соответствуют по времени эмиссии компаниям, облигации которых были в дефолте. Для компаний с недефолтными облигациями были также исключены финансовые компании, банки и производственные компании. Проспекты эмиссий недефолтных облигаций также должны были содержать бухгалтерскую отчетность за полный год, предшествующий году решения о выпуске облигаций. В конечную выборку вошли 31 компания. Из проспектов эмиссий недефолтных облигаций необходимые показатели были выбраны по тем же принципам, что и для дефолтных облигаций.

3. Выбор и описание переменных

К 1981 году в 26 различных работах на тему предсказания дефолта было проанализировано более 100 различных финансовых показателей, в том числе 65 показателей из бухгалтерского баланса. Из них 41 были отмечены как полезные в определении дефолта или вошли в конечную модель хотя бы в одной работе. Для данного исследования были отобраны показатели, имеющиеся в проспекте эмиссии, которые могут быть связаны с вероятностью дефолта. Кроме того, были добавлены некоторые показатели, которые специфичны для компании, выпускающей облигации, а также другие показатели из проспекта эмиссии, такие как, например, параметры купона облигации. Конечный список из 44 переменных представлен в Таблице 1.

Таблица 1. Рассматриваемые параметры

Показатель	Расшифровка	Описание
WC/TA	Оборотный капитал/Активы	Переменная рассчитывается как разница между оборотными активами и краткосрочными обязательствами, деленная на активы компании.
RE/TA	Нераспределенная прибыль/Активы	Отношение нераспределенной прибыли к активам компании.
EBIT/TA	EBIT/Активы	Отношение выручки до уплаты налогов и процентов к активам компании.
Sales/TA	Выручка/Активы	Отношение выручки от продажи товаров к активам компании.
CA/CL	Оборотные активы/Краткосрочные обязательства	Отношение оборотных активов к краткосрочным обязательствам компании.
NI/Sales	Чистая прибыль/Выручка	Отношение чистой прибыли (убытка) компании к выручке от продажи товаров.
PBT/Sales	Прибыль до налогообложения/Выручка	Отношение прибыли (убытка) до налогообложения к выручке от продажи товаров.
Debt/TA	Долг/Активы	Отношение суммы краткосрочных и долгосрочных кредитов и займов к активам компании.
Debt*/TA	Долг*/Активы	Отношение суммы долга и объема эмиссии к активам компании.
EBIT/Total interest payments	EBIT/Расходы на уплату процентов	Отношение EBIT к разности процентов к уплате и процентов к получению.
(Net worth + LT Debt)/PPE	(Капитал и резервы + долгосрочные обязательства)/Основные средства	Отношение суммы капитала и резервов и долгосрочных обязательств к основным средствам)
NI/TA	Чистая прибыль/Активы	Отношение чистой прибыли (убытка) компании к активам компании.
CL/TA	Краткосрочные обязательства/Активы	Отношение краткосрочных обязательств к активам компании.
PBT/CL	Прибыль до налогообложения/Краткосрочные обязательства	Отношение прибыли (убытка) до налогообложения к активам компании.
CF1/Debt	ДС1/Долг	Отношение величины чистых денежных средств от текущей деятельности к сумме долгосрочных и краткосрочных кредитов и займов.
CF2/Debt	ДС2/Долг	Отношение величины денежных средств от финансовой деятельности к сумме долгосрочных и краткосрочных кредитов и займов.
CF3/Debt	ДС3/Долг	Отношение величины чистых денежных средств от инвестиционной деятельности к сумме долгосрочных и краткосрочных кредитов и займов.
CF4/Debt	ДС4/Долг	Отношение чистого увеличения (уменьшения) денежных средств к сумме долгосрочных и краткосрочных кредитов и займов.
CF1/Debt*	ДС1/Долг*	Отношение величины чистых денежных средств от текущей деятельности к сумме долгосрочных и краткосрочных кредитов и займов и объема эмиссии.
CF2/Debt*	ДС2/Долг*	Отношение величины денежных средств от финансовой деятельности к сумме долгосрочных и краткосрочных кредитов и займов и объема эмиссии.
CF3/Debt*	ДС3/Долг*	Отношение величины чистых денежных средств от инвестиционной деятельности к сумме долгосрочных и краткосрочных кредитов и займов и объема эмиссии.
CF4/Debt*	ДС4/Долг*	Отношение чистого увеличения (уменьшения) денежных средств к сумме долгосрочных и краткосрочных кредитов и займов и объема эмиссии.
WC/Debt	Оборотный капитал/Долг	Переменная рассчитывается как разница между оборотными активами и краткосрочными обязательствами, деленная на сумму долгосрочных и краткосрочных кредитов и займов.
WC/Debt*	Оборотный капитал/Долг*	Переменная рассчитывается как разница между оборотными активами и краткосрочными обязательствами, деленная на сумму долгосрочных и краткосрочных кредитов и займов и объема эмиссии.
Fixed asset turnover	Показатель оборачиваемости основных средств	Переменная рассчитывается как отношение выручки от продажи товаров к величине основных средств.
Sales/Inventory	Выручка/Запасы	Отношение выручки от продажи товаров к величине запасов компании.
Asset turnover	Показатель оборачиваемости активов	Переменная рассчитывается как отношение выручки от продажи товаром к величине активов компании.
Debt/EBITDA	Долг/EBITDA	Отношение суммы краткосрочных и долгосрочных кредитов и займов к показателю EBITDA
Debt*/EBITDA	Долг*/EBITDA	Отношение суммы краткосрочных и долгосрочных кредитов и займов и объема эмиссии к показателю EBITDA.
Cash and equivalence/Assets	Денежные средства и их эквиваленты/Активы	Отношение величины денежных средств и их эквивалентов к активам компании.
(Current debt - cash)/Assets	(Краткосрочные обязательства - денежные средства и их эквиваленты)/Активы	Отношение разности краткосрочных обязательств и денежных средств и их эквивалентов к величине активов компании.
Current debt/Cash and equivalence	Краткосрочные обязательства/Денежные средства и их эквиваленты	Отношение краткосрочных обязательств к величине денежных средств.
EBITDA/Interest expense	EBITDA/Расходы на уплату процентов	Отношение показателя EBITDA к разности между процентами к уплате и процентами к получению.
Gross cash flow/Debt	Чистые денежные потоки/Долг	Переменная рассчитывается как сумма чистой прибыли (убытка) и амортизации, деленная на сумму долгосрочных и краткосрочных кредитов и займов.
Gross cash flow/Debt*	Чистые денежные потоки/Долг*	Переменная рассчитывается как сумма чистой прибыли (убытка) и амортизации, деленная на сумму долгосрочных и краткосрочных кредитов и займов и объема эмиссии.
Inventories/TA	Запасы/Активы	Отношение величины запасов компании к активам компании.
EBIT/Revenue	EBIT/Выручка	Отношение показателя EBIT к выручке от продажи товаров.
Operating profit/Revenue	Операционная прибыль/Выручка	Отношение прибыли (убытка) от продаж к объему выручки от продажи товаров.
Volume of issue/Assets	Объем размещения/Активы	Отношение объема размещения облигаций к активам компании.
Coupon1	Купон1	Купон (1 - фиксированный, 0 - переменный)
Coupon2	Купон2	Величина купона (% в год)
Coupon3	Купон3	Периодичность купонных выплат в год.
Repayment period	Период погашения	Период погашения облигаций в днях.
Default	Дефолт	Наличие дефолта на временном горизонте 3 года. 1 - есть дефолт, 0 - нет дефолта.

Расчет переменных

С помощью выбранных показателей рассчитаны переменные, описанные в Таблице 1. В случае, если значение переменной не может быть посчитано ввиду того, что знаменатель равен 0 (например, переменная EBIT/Total interest payments), этой переменной для данной компании присваивается максимальное значение по выборке, так как стремящийся к нулю знаменатель фактически означает, что значение данной переменной стремится к бесконечности.

Если знаменатель переменной отрицателен, то такая переменная не имеет смысла. В этом случае этой переменной для данной компании присваивается максимальное значение по выборке.

4. Методы построения моделей и оценки их качества

Логит и логит с регуляризацией

Для построения скоринговой модели в данной работе будет использоваться логит-анализ. Логистическая регрессия применяется для оценки вероятности возникновения какого-либо события, принимая в расчет множество переменных. Для построения логистической регрессии вводится зависимая переменная, которая обычно принимает два значения: 0 и 1, а также набор независимых переменных, по значениям которых будет оцениваться вероятность того, что зависимая переменная примет одно из двух своих значений.

В основе логистической регрессии лежит так называемая логистическая функция (сигмоид), которая всегда принимает значения от 0 до 1 и имеет следующий вид:

(Уравнение 1).

где , и и x - вектор-столбцы значений коэффициентов регрессии (и₁, …,и_m) и независимых переменных (x₁, …, x_m).

Для подбора коэффициентов регрессии (и₁, …,и_m) вводится следующая функция штрафа, которую необходимо минимизировать:

Принимая во внимание, что y всегда равняется либо 0, либо 1

Таким образом, функция штрафа принимает следующий вид:

Кроме обычной логистической регрессии также применяется логистическая регрессия с регуляризацией. Данный метод применяется для уменьшения эффекта переобучения и заключается в том, что вектор параметров и рассматривается как случайный вектор с некоторой заданной плотностью распределения. В случае логистической регрессии с регуляризацией функция штрафов принимает следующий вид:

где л - параметр регуляризации.

Наша цель - по-прежнему минимизация данной функции штрафа относительно вектора параметров и. С увеличением значений параметров регрессии, значение функции штрафов также будет увеличиваться.

5. Метод скользящего контроля

Для тестирования моделей в данной работе используется метод скользящего контроля. Метод скользящего контроля заключается в следующем. Исходная выборка делится на две подвыборки: обучающую и контрольную. По обучающей подвыборке происходит построение модели, после чего средняя ошибка модели оценивается с помощью контрольной подвыборки. Иными словами, по обучающей подвыборке строится модель, а затем с помощью данных из контрольной подвыборки проверяется, насколько верно данная модель способна предсказывать результат на новых данных, не использованных для ее построения. Существует несколько разновидностей скользящего контроля. Вследствие малого размера выборки во избежание ее дальнейшего уменьшения в данной работе используется контроль по отдельным объектам (leave-one-out CV). Данная разновидность метода скользящего контроля в качестве контрольной подвыборки использует одно наблюдение. То есть, если выборка состоит из N наблюдений, данный метод предполагает построение модели по N - 1 наблюдению и тестирование модели на оставшейся переменной. Такое перестроение модели повторяется N раз.

6. Оценка качества построенной модели

Для оценки качества построенной модели в данной работе используется метод кривой ошибок или ROC-кривой (receiver operating characteristic, операционная характеристика приемника). Это график, позволяющий оценить качество бинарной классификации. В данном конкретном случае этот график будет отображать долю верно определенных дефолтных облигаций в зависимости от доли неверно определенных дефолтных облигаций при последовательном рассмотрении каждого элемента выборки.

Для построения кривой ошибок сделаем предположение, что определение облигации как дефолтной - это положительный исход. Мы можем составить таблицу сопряженности, отображающую соотношение определенных моделью и фактических исходов.

Таблица 2. Таблица сопряженности. Источник: Н. Паклин, «Логистическая регрессия и ROC-анализ - математический аппарат»

	Фактически
Модель	Дефолт	Не дефолт
Дефолт	TP	FP
Не дефолт	FN	TN

· TP (True Positives) - верно классифицированные дефолтные облигации;

· TN (True Negatives) - верно классифицированные недефолтные облигации;

· FN (False Negatives) - дефолтные облигации, классифицированные как недефолтные (ошибка I рода);

· FP (False Positives) - недефолтные облигации, классифицированные как дефолтные (ошибка II рода).

Для построения ROC-кривой используются не абсолютные показатели, а относительные:

· Доля истинно положительных исходов (True Positives Rate):

· Доля ложноположительных исходов (False Positives Rate):

Также вводится еще два определения: чувствительность (sensitivity), которая равняется доле истинно положительных исходов:

А также специфичность (specifity) - доля истинно отрицательных исходов, определенных моделью:

Кривая ошибок строится следующим образом:

· При последовательном добавлении каждого следующего параметра в выборке считаются значения чувствительности Se и специфичности Sp.

· Строится график зависимости: по оси Y откладывается чувствительность Se, по оси X - (100 - Sp), или, что то же самое FPR.

Для непосредственной оценки качества модели используется показатель площади под кривой ошибок (Area Under Curve, AUC). Теоретически этот показатель может изменяться от 0 до 1. Но, так как величина показателя равная 0.5 соответствует модели, в которой тот или иной исход предсказывается просто случайным выбором, обычно говорят об изменении показателя площади под кривой в диапазоне от 0.5 до 1. Чем ближе показатель к 1, тем лучше построенная модель. Обычно при оценке качества полученной модели используется следующая шкала значений площади под кривой ошибок:

Таблица 3. Шкала значений AUC для оценки качества модели. Источник: Н. Паклин, «Логистическая регрессия и ROC-анализ - математический аппарат»

Интервал AUC	Качество модели
0.9 - 1.0	Отличное
0.8 - 0.9	Очень хорошее
0.7 - 0.8	Хорошее
0.6 - 0.7	Среднее
0.5 - 0.6	Неудовлетворительное

7. Построение моделей

Модель 1

Для построения каждой описанной ниже модели будут использоваться алгоритмы, написанные на языке программирования MATLAB. Для удобства построения алгоритмы написаны таким образом, что при построении моделей и вычислении коэффициентов уже учтен знак “ - “ перед переменной Z в уравнении логистической функции (Уравнение 1). Таким образом, результатом построения моделей будет переменная Z`, от которой в дальнейшем можно вычислять значение логистической функции, равное:

Чем выше значение Z`, тем ниже вероятность дефолта.

Перед построением модели необходимо выбрать параметр регуляризации. Как правило, данный параметр подбирается эмпирически. Для упрощения задачи с помощью языка программирования MATLAB написан алгоритм для построения графика, отображающий зависимость площади под кривой (AUC) от параметра регуляризации (л). При построении данной зависимости используется метод скользящего контроля. Данная зависимость представлена на Графике 1. В качестве исходных данных для построения Модели 1 была взята вся выборка компаний, и протестированы все 43 переменных. Из графика 1 следует, что для данной выборки площадь под кривой максимальна при л = 10.

График 1. Зависимость площади под кривой от параметра регуляризации в Модели 1.

Таким образом, Модель 1 будет построена, используя параметр регуляризации равный 10. Результатом построения Модели 1 является вектор коэффициентов и, где каждый элемент соответствует коэффициенту определенной переменной. Вектор коэффициентов и и соответствующие каждому элементу переменные представлены в Таблице 3.

Таблица 3. Параметры модели 1.Источник: расчеты автора

Параметр	и	Параметр	и
Константа	-0.9065	CF4/Debt*	-0.0098
WC/TA	-0.0223	WC/Debt	-0.0737
RE/TA	-0.065	WC/Debt*	-0.0321
EBIT/TA	-0.0436	Fixed asset turnover	0.0036
Sales/TA	0.028	Sales/Inventory	-0.0027
CA/CL	0.034	Asset turnover	0.028
NI/Sales	-0.0572	Debt/EBITDA	-0.0231
PBT/Sales	0.068	Debt*/EBITDA	0.0105
Debt/TA	-0.0089	Cash and equivalence/assets	-0.0134
Debt*/TA	0.1111	(Current debt-cash)/Assets	0.0982
EBIT/Total interest payments	0.0736	Current debt/Cash and equivalence	-0.0006
(Net worth + LT debt)/FA	0.0001	EBITDA/interest expense	-0.0666
NI/TA	-0.0286	Gross cash flow/Debt	-0.1461
CL/TA	0.0838	Gross cash flow/Debt*	-0.0663
PBT/CL	-0.1651	Inventories/TA	0.0121
CF1/Debt	-0.0855	EBIT/Revenue	0.2167
CF2/Debt	0.0509	Operating profit/Revenue	-0.0215
CF3/Debt	-0.0024	Volume of issue/Assets	0.1281
CF4/Debt	-0.0315	Coupon1	-0.0835
CF1/Debt*	-0.0644	Coupon2	-0.023
CF2/Debt*	0.036	Coupon3	-0.0192
CF3/Debt*	0.0188	Repayment period	0.0001

Для данной модели кривая ошибок представлена на Графике 2.

График 2. Кривая ошибок Модели 1

Площадь под кривой для Модели 1 без применения метода скользящего контроля равна 0.862. такой высокий показатель означает, что данная модель достаточно хорошо разделяет дефолтные и недефолтные облигации в данной конкретной выборке.

Однако, применяя метод скользящего контроля, мы получаем кривую ошибок, представленную на Графике 3.

График 3. Кривая ошибок Модели 1 с применением метода скользящего контроля

После применения метода скользящего контроля площадь под кривой ошибок становится равной 0.477. Эта величина ниже, чем соответствующая случайному выбору величина 0.5. Данный результат означает, что Модель 1 не способна предсказывать дефолт облигаций. Это можно объяснить переобучением, присутствующим в Модели 1: при размере выборки, равном 50, модель построена по 43 параметрам. При этом даже регуляризации не позволяет избежать переобучения.

Чтобы избежать переобучения в дальнейшем, следует ограничить набор переменных, по которым строится модель.

Для всех переменных проведен двусторонний, двухвыборочный т-тест с неравными распределениями, в котором в качестве массивов данных используются значения переменных для дефолтных облигаций и для недефолтных облигаций. С помощью этого теста выделены показатели, средние значения которых для дефолтных и недефолтных облигаций различаются на уровне до 10%. В Таблице 4 приведен список данных показателей, указаны средние значения, стандартные отклонения для выборок дефолтных и недефолтных облигаций, а также значение вероятности того, что эти две выборки взяты из генеральных совокупностей, имеющих одно и то же среднее.

Таблица 4. Отобранные переменные. Источник: расчеты автора

Дефолтные облигации	Недефолтные облигации
Показатель	Среднее значение	Стандартное отклонение	Среднее значение	Стандартное отклонение	Значение вероятности
RE/TA	0.02	0.035	0.126	0.189	0.0046
PBT/CL	0.017	0.15	0.295	0.62	0.02
CF4/Debt	0.048	0.068	0.126	0.228	0.082
CF1/Debt*	-0.064	0.165	0.098	0.335	0.027
CF2/Debt*	-0.065	0.181	-0.279	0.484	0.03
Gross cash flow/Debt*	0.023	0.041	0.186	0.356	0.017
Coupon2	12.44	1.98	11.205	3.24	0.1

Модель 2

Перед построением Модели 2, как и перед построением Модели 1, необходимо определить параметр регуляризации.

Максимальное значение площадь под кривой ошибок принимает при параметре регуляризации л равном 0.2. Эта величина параметра регуляризации и будет использоваться для построения Модели 2.

Результатом построения Модели 2 является вектор коэффициентов и, где каждый элемент соответствует коэффициенту определенной переменной. Вектор коэффициентов и и соответствующие каждому элементу переменные представлены в Таблице 5.

Таблица 5. Параметры модели 2.Источник: расчеты автора

Параметр	и
Константа	-0.8068
RE/TA	-2.1781
PBT/CL	-1.2861
CF4/Debt	-1.0732
CF1/Debt*	-1.3079
CF2/Debt*	1.3059
Gross cash flow/Debt*	-1.3446
Coupon2	0.9919

Не применяя метод скользящего контроля, мы получаем кривую ошибок, представленную на Графике 4.

График 4. Кривая ошибок модели 2

Площадь под кривой ошибок без применения метода скользящего контроля равняется 0.784, что является достаточно высоким значением. Это объясняется тем, что Модель 2 хорошо разделяет дефолтные и недефолтные облигации в данной выборке.

Протестировав Модель 2 с применением метода скользящего контроля, мы получаем кривую ошибок, представленную на Графике 5.

График 5. Кривая ошибок модели 2 с применением метода скользящего контроля

Площадь под кривой ошибок Модели 2 после применения метода скользящего контроля равняется 0.664. Данное значение площади под кривой ошибок означает, что Модель 2 достаточно хороша в предсказании дефолта облигаций. Стоит также отметить, что предсказательная способность модели резко падает при значении параметра регуляризации, равном 0. При отсутствии регуляризации площадь под кривой ошибок после применения метода скользящего контроля становится равной 0.591. Таким образом, регуляризации является хорошим инструментом для повышения качества модели. Ниже представлена формула для вычисления переменной Z`, полученная в результате построения Модели 2.

Знаки переменных, полученных в Модели 2, говорят об обратной зависимости между вероятностью дефолта и переменными RE/TA, PBT/CL, CF1/Debt*, Gross cash flow/Debt* и прямой зависимости между вероятностью дефолта и переменными CF2/Debt* и Coupon2. Таким образом, увеличение, например, размера активов снижает вероятность дефолта облигации, как и увеличение денежных потоков от финансовой деятельности. В то время как увеличение размера нераспределенной прибыли и выручки до налогообложения увеличивает вероятность дефолта. Кроме того, увеличение размера купона также снижает вероятность дефолта.

Модель 3

Для построения Модели 3 из списка переменных, представленных в Таблице 4, исключены переменные CF4/Debt и Coupon2. Таким образом, модель строится в зависимости от переменных, распределения которых различаются на 5% уровне значимости.

Как и ранее, параметр регуляризации для построения модели подбирается эмпирически. Максимальное значение площади под кривой ошибок достигается при параметре регуляризации л равном 0.34. Используя данное значение параметра регуляризации, мы определяем коэффициенты Модели 3.

В результате построения Модели 3 получен вектор коэффициентов и, где каждый элемент соответствует коэффициенту определенной переменной. Вектор коэффициентов и и соответствующие каждому элементу переменные представлены в Таблице 6.

Таблица 6. Параметры модели 3.Источник: расчеты автора

Параметр	и
Константа	-0.0223
RE/TA	-1.2456
PBT/CL	-1.026
CF1/Debt*	-0.9914
CF2/Debt*	1.3175
Gross cash flow/Debt*	-1.0781

Тестируя Модель 3 без применения метода скользящего контроля, мы получаем значение площади под кривой ошибок (График 6) равное 0.762. Это значение свидетельствует о том, что построенная модель хорошо разделяет дефолтные и недефолтные облигации по данной выборке.

График 6. Кривая ошибок модели 3

Далее мы проводим тестирование Модели 3 с применением метода скользящего контроля. Площадь под кривой ошибок, построенной с применением метода скользящего контроля (График 7), равна 0.666. Данное значение говорит о том, что Модель 3 достаточно хорошо предсказывает дефолт облигаций по 5 переменным, по которым она построена.

График 7. Кривая ошибок модели 3 с применением метода скользящего контроля

Ниже представлена формула для вычисления переменной Z`, полученная в результате построения Модели 3, от которого вычисляется значение логистической функции.



Знаки переменных, полученные в Модели 3 повторяют результаты Модели 2.

Модель 4

Для построения Моделей 4 - 6 будет использоваться массив данных, отличный от того, который использовался для построения Моделей 1 - 3. В последующих моделях исходные данные нормированы. Для этого для каждой переменной в исходной выборке было найдено минимальное и максимальное значение, после чего каждой переменной в исходной выборке было присвоено новое значение, равное:

Таким образом, максимальное значение переменной по выборке получило новое значение, равное 1, а минимальное значение переменной по выборке - новое значение, равное 0. Остальным значениям переменных было присвоено новое значение в диапазоне от 0 до 1. Модель 4 построена по всем 43 нормированным переменным.

Максимальное значение площади под кривой ошибок достигается при параметре регуляризации л, равном 0.16, которое и будет использовано для построения модели.

Модель 4 построена по всем 43 нормированным переменным. Результатом построения Модели 4 является вектор коэффициентов и, где каждый элемент соответствует коэффициенту определенной переменной. Вектор коэффициентов и и соответствующие каждому элементу переменные представлены в Таблице 7.

Таблица 7. Параметры модели 4.Источник: расчеты автора

Параметр	и	Параметр	и
Константа	-0.6787	CF4/Debt*	-0.7273
WC/TA	1.1452	WC/Debt	0.2937
RE/TA	-2.322	WC/Debt*	-0.1978
EBIT/TA	0.3327	Fixed asset turnover	1.3849
Sales/TA	0.3711	Sales/Inventory	-1.0383
CA/CL	0.6878	Asset turnover	0.3711
NI/Sales	-0.6458	Debt/EBITDA	-0.8461
PBT/Sales	1.0824	Debt*/EBITDA	-0.526
Debt/TA	0.3418	Cash and equivalence/assets	0.2948
Debt*/TA	0.386	(Current debt-cash)/Assets	0.3549
EBIT/Total interest payments	0.6828	Current debt/Cash and equivalence	-0.816
(Net worth + LT debt)/FA	0.667	EBITDA/interest expense	0.6145
NI/TA	0.2761	Gross cash flow/Debt	0.4414
CL/TA	0.3541	Gross cash flow/Debt*	-1.6178
PBT/CL	-1.8646	Inventories/TA	0.3633
CF1/Debt	-0.0853	EBIT/Revenue	1.1951
CF2/Debt	0.2054	Operating profit/Revenue	-0.2082
CF3/Debt	-0.1951	Volume of issue/Assets	0.4736
CF4/Debt	-1.2814	Coupon1	-0.9475
CF1/Debt*	-1.5301	Coupon2	0.748
CF2/Debt*	0.7856	Coupon3	0.3216
CF3/Debt*	0.2135	Repayment period	0.5116

Не применяя метод скользящего контроля, мы получаем кривую ошибок, представленную на Графике 8 Площадь под кривой ошибок равна 0.895. Такое значение данного параметра свидетельствует о том, что Модель 4 хорошо разделяет дефолтные и недефолтные облигации по заданным переменным.

График 8. Кривая ошибок модели 4

Для оценки предсказательной силы модели применим метод скользящего контроля. На Графике 9 изображена новая кривая ошибок Модели 4.

График 9. Кривая ошибок модели 4 с применением метода скользящего контроля

Площадь под кривой ошибок с применением метода скользящего контроля равна 0.531. Это говорит о том, что Модель 4 обладает определенной предсказательной силой, что отличает ее от модели случайного предсказания. Тем не менее, предсказательная способность Модели 4 гораздо ниже, чем у моделей 2 и 3. Для вычисления переменной Z` используя Модель 4, применяется следующая формула:

где и и Х - вектор-столбцы коэффициентов модели и нормированных переменных, посчитанных, используя информацию из проспектов эмиссии, соответственно.

Модель 5

Так как Модели 2 и 3 обладали достаточно хорошей предсказательной силой, далее будет проведен логит-анализ, основанный на переменных, использованных в Моделях 2 и 3, значения которых статистически различаются для дефолтных и недефолтных облигаций.

Для построения Модели 5 используются нормированные переменные RE/TA, PBT/CL, CF4/Debt, CF1/Debt*, CF2/Debt*, Gross cash flow/Debt*, Coupon2, значения которых различаются на 10% уровне значимости.

Максимальное значение площади под кривой ошибок достигается при значении параметра регуляризации, равном 0.31. Это значение параметра регуляризации будет использоваться для построения Модели 5. Результатом построения Модели 5 является вектор коэффициентов и, где каждый элемент соответствует коэффициенту определенной переменной. Вектор коэффициентов и и соответствующие каждому элементу переменные представлены в Таблице 8.

Таблица 8. Параметры модели 5.Источник: расчеты автора

Параметр	и
Константа	-0.7208
RE/TA	-1.7445
PBT/CL	-1.1154
CF4/Debt	-0.9046
CF1/Debt*	-1.056
CF2/Debt*	1.0337
Gross cash flow/Debt*	-1.0401
Coupon 2	0.8447

Тестируя Модель 5 без применения метода скользящего контроля, получаем кривую ошибок, изображенную на Графике 10. Высокое значение площади под кривой ошибок (0.789) свидетельствует о том, что модель хорошо разделяет дефолтные и недефолтные облигации по заданным переменным внутри выборки.

График 10. Кривая ошибок модели 5

Для проверки того,...