Задача хеджирования закупок авиационного керосина

Размещено на http://www.allbest.ru/

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ХЕДЖИРОВАНИЯ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ЗАДАЧЕ ЗАКУПОК АВИАЦИОННОГО КЕРОСИНА

1.1 Понятие, цели, стратегии и инструменты хеджирования закупок авиационного керосина.

1.2 Критерии оптимальности хеджирования.

1.3 Теоретические подходы к оптимальному портфелю хеджирования.

ГЛАВА 2. ЗАДАЧА ОЦЕНИВАНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ХЕДЖИРОВАНИЯ

2.1 Методы оценки оптимального коэффициента хеджирования минимальной дисперсии

2.2 Методы оценки оптимального коэффициента хеджирования на основе альтернативных критериев оптимальности

ГЛАВА 3. ОЦЕНКА ОПТИМАЛЬНОГО КОЭФФИЦИЕНТА ХЕДЖИРОВАНИЯ ЦЕНЫ АВИАЦИОННОГО КЕРОСИНА

3.1 Оценка оптимального коэффициента хеджирования минимизирующего дисперсию

3.2 Оценка коэффициента хеджирования на основе альтернативных критериев оптимальности.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ



ВВЕДЕНИЕ

В последние годы наблюдается тенденция роста удельных расходов на топливо российских авиакомкомпаний, на данный момент их доля достигает около 30% . Расходы на топливо являются основной причиной ежегодного роста общих расходов авиакомпаний. Поэтому, изменчивость цены на топливо существенно отражается на колебаниях общего объема расходов, и, как следствие, величине прибылей и убытков компании. Для снижения рисков, связанных с топливными закупками, российские авиакомпании в последние годы применяют хеджирование. Однако стратегии хеджирования существенно менял от года к году в попытках подобрать оптимальный вариант. Таким образом, выбор оптимальной стратегии, минимизирующей ценовые риски, является актуальной задачей, требующей разработки соовтствующих методик хеджирования и и сравнения различных подходов на эмпирических данных.

Целью работы является рассмотрение задачи хеджирования (ценового риска) закупок авиационного керосина в условиях базисного риска. Для достижения данной цели решены следующие задачи:

· изучение доступных авиационным компаниям возможностей хеджирования

· анализ подходов к оценке оптимальности хеджирования фьючерсными контрактами

· оценка коэффициента хеджироапния минимальной дисперсии

· построение модели коррекции ошибок для оценки коэффициента хеджирования

· оценка коэффициента хеджирования альтернативными методами (на основе альтернативных критериев оптимальности)

Объект исследования - стратегии хеджирование на примере задачи закупки авиационного керосина.

Предмет исследования - оценка оптимальных характеристик хеджирования.

Тема исследования рассматривалась зарубежными авторами в нескольких ключевых направлениях. В направлении исследования параметров стратегии и отраслевого анализа состояния хеджирование закупок авиационного керосина работали следующие авторы: Коббс Р., Вольф А., Моррелл П., Сван У., Джернер М., Ронн Э и др. В направлении исследования оптимального коэффициета хеджировании портфеля работали: :Эдерингтон Л., Джонсон Л., Майер Р., Чеккетти С., Кумай Р, Фиглевский С., Ленс С., Чжан К., Кван К., Юип П., Колб Р., Окунев Я., Льен Д., Луо Х., Тсе Ю., Шаффер Д., Шалит Х., Чен С., Ли К., Шресха К., Де'Йонг А., Де Рон Ф., Велд К., крум Р., Лаухханн Д., Паен Ю., Бенет Б., Говард К., Д'Антонио Л., Хсин К., Куо Ю., Байлли Р., Майерс Р., Кронер К., Салтен Дж., Гхош А. и др. В направлении исследования оптимального портфеля хеджировния работали следующие авторы: Лапан Х., Мосчини Г., Хансон С., Фрут К., Стеин Ю., Гай Г., Нам Ю., Турак М., Чоу А., Карр П., Хобсон Д.Рогерс Л. и др.

Работа состоит из введения, трех глав, хаключения и предложений. В первой главе рассмотрены подходы к определению параметров стратегии хеджирование закупок авиационного керосина, теоретические подходы к оптимальным фьючерсным коэффициентам хеджирования, теоретические подходы к оптимальному портфелю хеджирования. Во второй главе исследованы методы расчета оптимального коэффициента хеджирования. В третьей главе осуществлена оценка оптимального клэффициента хеджирования на основе методики минимальной дисперсии и альтернативными методами (на основе альтернативных критериев оптимальности).

В работе использованы методы системной методологии: монографичекий, информационный поиск, статистический анализ, графический, эконометрический анализ.

Методологической базой для изучения данной темы стали: теоретические разработки российских и зарубежных ученых, учебники и монографии; публикации в периодических изданиях; ресурсы сети Интернет. Статистические данные, по которым проводился расчет показателей хеджирования, были взяты с биржи NYMEX, которая находится в США, В НЬю-Йорке.

Научная значимость проведенного исследования заключается в системном рассотрении подходов к формированию стратегии хеджирования закупок автационного керосина авиакомпаниями, разработке методологии подбора оптимального коэффициента хеджирования на основе реальных статистических данных.

Практическая значимость исследования состоит в разработке методики поиска оптимального коэфиициента хеджирования закупок авиационного керосина авиакомпаниями.



ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ХЕДЖИРОВАНИЯ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ЗАДАЧЕ ЗАКУПОК АВИАЦИОННОГО КЕРОСИНА

1.1 Понятие, цели, стратегии и инструменты хеджирования закупок авиационного керосина

Xеджировать топливные риски авиакомпании начали в конце 1980-х годов. Наиболее распространенная хеджевая стратегия - открытие позиций в других видах нефтепродуктов или в сырой нефти. Основаны все эти стратегии на том, что рынок авиационного топлива менее ликвиден, чем рынок, например, сходного по характеристикам дизельного топлива. Поэтому на бирже по стандартным фьючерсным контрактам авиационное топливо не торгуется, и авиакомпании приобретают его на внебиржевом рынке.

Крупные мировые авиаперевозчики хеджируют 15-90% топливных рисков, и не удивительно ведь расходы на топливо в данной индустрий вторые по величине после оплаты труда (их доля 20-50%). Применительно к нашей стране в первую очередь хотелось бы выделить две особенности. Осознание необходимости хеджирования к отечественным авиаперевозчикам пришло по большому счету лишь в последние годы. Сейчас они активно пробуют «примерять» те или иные производные инструменты, у них нет четкого понимания проблемы и концептуальной долгосрочной стратегии, поэтому они меняют ее от года к году, как бы «экспериментируя» с хеджированием, т.к. объемы хеджирования у нас сейчас даже недотягивают до минимальных западных перевозчиков, успешная практика применения хеджирования пока отсутствует. Вторая особенность - специфика российского внутреннего рынка (неразвитость инфраструктуры, слабо развитая конкуренция и д.р.), определяющее значительно отличное поведение цены на топливо от мировой.

Авиакомпании хеджируют закупки топлива, чтобы стабилизировать топливные расходы. Топливо составляет приблизительно 15-30% расходов авиакомпаний. Другие расходы менее изменчивы, чем цены на топливо, поэтому хеджирование топлива стабилизирует совокупные расходы авиакомпании. Более стабильные расходы также означают более стабильную прибыль.

Хеджирование стабилизирует цены на топливо и вследствие этого совокупные расходы, денежные потоки и прибыль. Очевидно, рынок реагирует на понижение волатильности прибыли более высокой ценой на акции авиакомпании.

Прибыль авиакомпании волатильна по двум причинам. Во-первых, спрос на путешествия чувствителен к доверию потребителей, которое коррелировано с производительностью фондового рынка. Во-вторых, авиакомпании по своей специфике имеют высокую долю заемных средств, так как обычно закупают авиационную технику за счет кредитных средств или лизинга. Небольшие изменения в прибыли являются причиной больших изменений в доходности акций.

Не отрицая сказанное выше, важно отметить, что основная цель хеджирования закупок топлива авиакомпаниями состоит в недопущении банкротства. Сами по себе большие колебания прибыли могут не представлять угрозу в относительно длинном периоде (например, год), где убытки будут компенсированы выигрышами. Угрозу представляют длительные и глубокие убытки, которые могут возникнуть по причине существенного скачка цен на топливо, которые не будут компенсированы в относительно длинном периоде, и поставят авиакомпанию на грань банкротства и/или перебоев в работе.

Morrell (2006) в своей работе выделил три основных экономических принципа хеджирования применительно к закупкам авиационного керосина авиакомпаниями.

Первый основной принцип рынка - ожидаемая ценность топливного хеджирования является нулевой. Авиакомпании, которые ставят целью заработать деньги, хеджируя топливо, должны открыть отдельное подразделение для спекуляций ценами на топливо (по крайне мере, United Airlines поступила так). В противном случае ставки на топливо равномерно сбалансированы между продавцами и покупателями. Рынки широко торгуются, ликвидны, и привлекают внимание большого количества профессиональных трейдеров: поставщиков топлива и портфельных инвесторов. Покупки авиакомпании являются маленькими, и не изменяют рыночные цены. Таким образом, авиакомпании получают рыночную цену. Ожидаемая ценность такой ставки является нолем. Если ожидания авиакомпаний иные, они больше не хеджируют - они спекулируют на топливе.

Идея в том, что авиакомпании получают прибыль только случайно от долгосрочных методов хеджирования. Авиакомпании не хеджируют, чтобы улучшить прибыль. Они хеджируют, чтобы сократить колебание в прибыли. То есть они хеджируют, чтобы получаемая прибыль оставалась ближе к среднему числу.

Второй основной рыночный принцип рынка - инвесторы не оценивают рыночное хеджирование. То есть, инвесторы не должны вознаграждать сокращенную волатильность прибыли более высокими курсами акций, если то сокращение достигнуто хеджированием с инструментами рынка. В соответствии с теорией CAPM инвестиций инвесторы платят только за сокращения рыночного риска. Т.е. они ожидают более высокие доходы для акций с высокими корреляциями с движением рынка и более низкие доходы для акций с более низкой корреляцией. Но они не ожидают более высоких доходов от акций, прибыль которых изменчива, если высокие колебания присущи отрасли в целом.

Последний принцип - хеджирование в стадии банкротства. Когда авиакомпания в стадии банкротства, хеджирование цен на топливо может быть целесообразным. Банкротство приносит дополнительные убытки, поскольку авиакомпания или разделяется на части или управляется на платной основе. В этой ситуации они платит, чтобы застраховать от внезапных увеличений цены на топливо, которые могут вызвать перебои в работе. К сожалению, в тот самый момент, приобретение форвардных контрактов цены на нефть невозможно. Авиакомпания в стадии банкротства не в состоянии поддержать фьючерсные обязательства.

Рассмотрев работы Morrell (2006), Gerner (2012), Cobbs (2004), можно выделить следующие способы управления риском цены на топливо, которые используются авиакомпаниями:

- Форвардные контракты

- Фьючерсные контракты

- Опционы, колларсы, свопы и т.д.

Форвардные контракты являются соглашением между двумя сторонами, посредством чего одна сторона покупает фиксированное количество топлива у другой по фиксированной цене в определенную будущую дату. На практике применение данных контрактов в виду их специфики, часто недостаточно удобно и, как следствие, мало распространено.

Фьючерсы лучше подходят для хеджирования топливных закупок. В соответствии с ним одна сторона по договору соглашается поставить другой стандартизированное количество топливо по согласованной цене (цене страйк) в согласованную дату в будущем. Они могут быть легко прекращены до истечения срока, как привило, физическая поставка никогда не осуществляется. Фактически, согласно NYMEX, меньше чем 1% торговли фактически приводит к поставке базового товара, для случаев нефть и ее производных продуктов.

Главными площадками, предлагающими эти договоры, является Международная нефтяная биржа (IPE) в Лондоне и NYMEX в Нью-Йорке. В отношении фьючерсов сырой нефти Брент, один договор составляет 1,000 баррелей. Качество нефти фиксировано, договоры могут быть фиксированы в течение каждого месяца до двух лет вперед, и затем раз в полгода до трех лет. Ликвидность по контрактам свыше одного года снижения значительно. Существует Клиринговая Палата, которая гарантирует финансовые показатели контракты с помощью установленных требований к контрагентам.

Опционы доступны и в газоил сорта Брента и в сырой нефти Брент на IPE. Они основываются на базовых фьючерсах, и, если они осуществляются (но это не обязательно так), то возникает соответствующая фьючерсная позиция. Опционы предлагают добавленную гибкость по фьючерсам, давая держателям возможность защитить себя от неблагоприятной динамики цен, одновременно давая им возможность использовать благоприятные движения. Опционы (и свопы) могут также быть заключены с другими сторонами (например, утвержденные контрагенты, такие как банки) в авиационном топливе.

Реактивное топливо редко не торгуется на биржах и таким образом является внебиржевым. Оно включают риск контрагента для обеих сторон, и таким образом финансово слабым авиакомпаниям было бы трудно найти другие стороны, готовые взять на себя этот риск.

Позже авиакомпании перешли к использованию комбинаций колл и опциона "пут", названного коллар. Колл защищает участника от неблагоприятного роста цен выше его цены исполнения (страйк), за стоимость опционной премии, которая должна быть оплачена при любых обстоятельствах. Обладатель этого колла также заключает опцион "пут", который ограничивает преимущество, которым он может воспользоваться если его цена ниже страйк цены. Общая стоимость взятия этих двух опционов является уплаченным страховым взносом опциона "колл" за вычетом полученной премии опциона "пут". Этот инструмент удобен для авиакомпаний, так как это блокирует цену между двумя занее известными значениями. Но, коллар ограничивает спекулятивный риск для маленького диапазона ценовых движений.

Свопы представляют собой индивидуальные фьючерсными контрактами, посредством чего авиакомпания обменивается платежами в будущем (своп может быть заключен для реактивного авиа топлива и может быть длиннее, чем возможности товарной биржи), на основе цены на топливо или цены на нефть. Они могли быть заключены с поставщиком, таким как Air BP, к примеру. Предположим, авиакомпания купила своп сроком на один год по определенной цене исполнения за указанную сумму реактивного топлива в месяц. Средняя цена в течение того месяца тогда по сравнению с ценой исполнения, и если бы это превышает его, контрагент оплатил бы авиакомпании временные различия суммы топлива. Однако, если бы она была ниже, тогда то авиакомпания оплатила бы разницу. Так свопы блокируют цену, аналогично форвардными контрактам.

Таким образом, само авиационное топливо может хеджироваться через только через внебиржевые рынки с дополнительным риском контрагента. Хеджирование топлива на биржах, таких как NYMEX или SIMEX, которые регулируют стандартизированные договоры, устраняет риск контрагента. Они также - более ликвидны и позволяют авиакомпании закрывать позицию в день оплаты. Инструменты сырой нефти имеют хорошая ликвидность для более длинных периодов. Контракты на реактивное топливо имеют ликвидность в течение более коротких периодов.

1.2 Критерии оптимальности хеджирования

хеджирование закупка критерий оптимальность

Одна из главных проблем в хеджировании фьючерсными контрактами заключается в определении оптимального коэффициента хеджирования, то есть количества единиц. Оптимальный коэффициент хеджирования зависит от определенной объективной функции, которая будет оптимизирована. В настоящее время используются много различных объективных функций. Например, одна из наиболее широко используемых в хеджировании стратегия основываются на минимизации дисперсии хеджируемого портфеля (Ederington. 1979: Myers, 1989). Это так называемый коэффициент хеджирования минимальной дисперсии (MV). Однако коэффициент хеджирования MV полностью игнорирует ожидаемую доходность хеджируемого портфеля. Поэтому, эта стратегия в целом противоречива со структурой среднего отклонения, если частные лица не являются бесконечно не склонными к риску, или ожидаемое изменение цены фьючерса является нолем.

Недавно были предложены другие стратегии, которые включают ожидаемую доходность и риск (дисперсию) хеджируемого портфеля (Cecchetti, 1988; Hsin, 1994). Эти стратегии являются непротиворечивыми с структурой среднего отклонения. Однако можно показать что, если цена фьючерса является мартингальным процессом, то оптимальный коэффициент хеджирования среднего отклонения совпадет с коэффициентом хеджирования MV.

Другой аспект основы стратегии среднего отклонения - то, что даже при том, что они - улучшение по сравнению со стратегией MV, для них, чтобы быть непротиворечивыми с принципом максимизации ожидаемой полезности, или функция полезности должна быть квадратной или доходности, должно быть совместно нормальными. Если ни одно из этих предположений не действительно, то коэффициент хеджирования может не быть оптимальным относительно принципа максимизации ожидаемой полезности. Некоторые исследователи решили эту проблему, получая оптимальный коэффициент хеджирования на основе максимизации ожидаемой полезности (Lence, 1995). Однако этот подход требует использования определенной функции полезности и определенного распределения дохода.

Были предприняты попытки устранить эти определенные предположения относительно функции полезности и распределений дохода. Некоторые из них включают минимизацию среднего расширенного Джинни коэффициента (MEG), который согласуется с концепцией стохастической доминирования (Shalit, 1995). Автор показывает что, если цены будут обычно распределены, то основанный на MEG коэффициент хеджирования совпадет с коэффициентом хеджирования MV.

Недавно были предложены коэффициенты хеджирования на основе обобщенной полудисперсии (GSV) (Chen, 2001). Эти коэффициенты хеджирования являются также непротиворечивыми с понятием стохастического доминирования. Кроме того, у этих основанных на GSV коэффициентов хеджирования есть другая привлекательная особенность, посредством чего они измеряют портфельный риск GSV, который согласуется с риском, воспринятым менеджерами из-за его акцента на доходы ниже целевой доходности. Авторы показывают, что, если фьючерсы и спот доходы совместно нормально распределяются и если цена фьючерса является мартингальным процессом, то минимизированный-GSV коэффициент хеджирования будет равен коэффициенту хеджирования MV.

Большинство упомянутых выше исследований игнорирует операционные расходы, а также инвестиции в другие ценные бумаги, за исключением Lence (1995). Данный автор получает оптимальный коэффициент хеджирования, где операционные расходы и инвестиции в другие ценные бумаги включены в модель. При помощи функции полезности CARA автор находит, что при определенных обстоятельствах, оптимальный коэффициент хеджирования является нолем; т.е., оптимальная стратегия хеджирования не состоит в том, чтобы хеджировать вообще.

В дополнение к использованию различных объективных функций в происхождении оптимального коэффициента хеджирования предыдущие исследования также отличаются с точки зрения динамического характера коэффициента хеджирования. Например, некоторые исследования предполагают, что коэффициент хеджирования является постоянным в течение долгого времени. Следовательно, эти статические коэффициенты хеджирования оценены, используя безусловные распределения вероятности (Benet, 1992). С другой стороны, несколько исследований позволяют коэффициенту хеджирования изменяться в течение долгого времени. В некоторых случаях эти динамические коэффициенты хеджирования оцениваются с использованием условных распределений, связанных с моделями ARCH и GARCH (Sephton, 1993).С другой стороны, коэффициенты хеджирования можно сделать динамическими, рассматривая модель мультипериода, где коэффициенты хеджирования могут различаться для разных периодов. Этот метод используется в работе Lien (1993a).

Когда дело доходит до оценки коэффициентов хеджирования в настоящее время используются много различных методов. Например, некоторые из них используют такой простой метод в качестве метода обычных наименьших квадратов (OLS) (Benet, 1992). Однако другие используют более сложные методы, такие как методы условной гетероскедастичности (ARCH или GARCH) (Sephton, 1993), метод случайных коэффициентов, коинтеграционный метод (Lien, 1993a; Chou, 1996), или коинтеграционно-гетероскедастичный метод.

Далее рассмотрим данные подходы к определению оптимального коэффициента хеджирования более подробно.

Базовая концепция хеджирования предполагает объясняет инвестиции в спот-рынок и фьючерсный рынок целью сформировать портфель, который устранит (или сократит), колебания в его стоимости. В частности рассмотрите портфель, состоящий из отделений C_s единиц длинных спот позиций и C_f коротких фьючерсных позиций. S_t и F_t обозначают спот и фьючерсные цены в период времени t, соответственно. Так как фьючерсные контракты используются, чтобы сократить колебания в позициях спот, получающийся портфель известен как хеджируемый портфель. Доходность от хеджируемого портфеля, R_h, рассчитывается по формуле:

(1.1)

где h = C_fF_t/C_sS_t является коэффициентом хеджирования, R_S = (S_t+1 - S_t)/S_t и R_f = (F_t+1 - F_t)/F_t являются доходностями определенного периода спот и фьючерсных позиций, соответственно. Иногда, коэффициент хеджирования рассматривается с точки зрения изменений цен (прибыль) вместо доходностей.

В этом случае прибыль от хеджируемого портфеля, , и коэффициент хеджирования, , рассчитываются соответственно:

и (1.2), (1.3)

где и

Главная цель хеджирования состоит в том, чтобы выбрать оптимальный коэффициент хеджирования, h или H. Как говорилось выше, оптимальный коэффициент хеджирования будет зависеть от определенной объективной функции, которая будет оптимизирована. Кроме того, коэффициент хеджирования может быть статичным или динамичным.

Сперва рассмотрим статический коэффициент хеджирования. Коэффициент хеджирования статичен, если он не изменяется в течение долгого времени. Статические коэффициенты хеджирования, описанные в той или иной литературе, могут быть разделены на восемь категорий, как показано в Таблице 1.

Таблица 1

Различные статичные коэффициенты хеджирования и объективные функции, лежащие в их основе

Рассмотрим каждый из них.

Коэффициент хеджирования минимальной дисперсии

Наиболее широко используемым статический коэффициентом хеджирования является коэффициентом хеджирования минимальной диcперсии (minimum variance hedge ratio). Johnson (1960) в своей работе получает этот коэффициент хеджирования, минимизируя портфельный риск, где риск задан различием изменений в стоимости хеджируемого портфеля следующим образом:

(1.4)

Коэффициент хеджирования минимальной диcперсии в этом случае будет получен как:

(1.5)

Аналогично, если мы используем определение (1.2) и , чтобы представить портфельный риск, тогда коэффициент хеджирования минимальной диcперсии рассчитывается минимизацией , что дает:

(1.6)

Тогда, коэффициент хеджирования минимальной диcперсии в этом случае будет получен как:

(1.7)

где - коэффициент корреляции, и - стандартные отклонения и , соответственно.

Следует отметить, что в целом коэффициент хеджирования минимальной диcперсии не согласуется со структурой среднего отклонения, так как он игнорирует ожидаемую доходность от хеджируемого портфеля. Чтобы быть согласованным со структурой среднего отклонения, или инвесторы должны быть бесконечно несклонными к риску или ожидаемая доходность от фьючерсного контракта должна быть равна нулю.

Оптимальный коэффициент хеджирования средней дисперсии

Различные исследования включили и риск и доходность в расчет коэффициента хеджирования. Например, Hsin (1994) получают оптимальный коэффициент хеджирования, который максимизирует следующую функцию полезности:

(1.8)

где A представляет параметр несклонности к риску. Данная сервисная функция включает и риск и доход. Поэтому, коэффициент хеджирования на основе этой сервисной функции согласуется со структурой средней дисперсии. Оптимальное количество фьючерсных контрактов и оптимальный коэффициент хеджирования соответственно определяются по формуле:

(1.9)

Проблема, связанная с этим типом коэффициента хеджирования, состоит в том, что, чтобы получить оптимальный коэффициент хеджирования, мы должны знать параметр несклонности к риску индивидов. Кроме того, различные индивиды выберут различные оптимальные коэффициенты хеджирования, в зависимости значения их параметра несклонности к риску.

Также, укажем условие, при котором вышеупомянутый коэффициент хеджирования совпал бы с коэффициентом хеджирования минимальной дисперсии. Формула (1.7) совпадет с (1.9) при А> ? или = 0, тогда h₂ будет равен коэффициенту хеджирования минимальной дисперсии . Первое условие предполагает несклонность к риску индивидов. Второе условие подразумевает, что даже если бы индивиды являются несклонными к риску на каком-либо конечном значении, коэффициент хеджирования минимальной дисперсии совпадет бы с оптимальным коэффициентом хеджирования средней дисперсии, если ожидаемая доходность от фьючерсного контракта является нолем (т.е., цены фьючерсов являются мартингальным процессом). Поэтому, если цены фьючерсов являются мартингальным процессом, то нам не нужно знать параметр несклонности к риску инвестора, чтобы найти оптимальный коэффициент хеджирования.

Коэффициент хеджирования Шарпа

Другой способ включить доходность портфеля в стратегию хеджирования осостоит в использовании критериев "риск-доходности" (мера Шарпа). Авторы Howard (1984) полагают, что оптимальный уровень фьючерсных контрактов, максимизирует отношение избытка доходности портфеля к его волатильности:

(1.10)

где и являются безрисковой процентной ставкой. В этом случае оптимальное количество фьючерсных позиций, , будет получено как:

(1.11)

Из оптимизации фьючерсной позиции можно получить оптимальный коэффициент хеджирования:

(1.12)

Eсли , то то сводится к:

(1.13)

который является таким же как коэффициент хеджирования минимальной дисперсии.

Коэффициент хеджирования максимизации ожидаемой полезности

Выше мы рассматривали коэффициенты хеджирования, которые включают только риск, а также те, которые включают и риск и доходность. Методы, которые включают риск и ожидаемую доходность в рассчете оптимального коэффициента хеджирования, являются непротиворечивыми со структурой среднего отклонения. Однако эти методы могут не согласовываться с принципом максимизации ожидаемой полезности, если функция полезности является квадратичной или доходности совместно нормально распределены. Поэтому, чтобы сделать коэффициент хеджирования непротиворечивым с принципом максимизации ожидаемой полезности, мы должны получить коэффициент хеджирования, который максимизирует ожидаемую полезность. Однако, чтобы максимизировать ожидаемую полезность, мы должны использовать определенную функцию полезности.. Например, автор Cecchetti (1988) получает коэффициент хеджирования, который максимизирует ожидаемую полезность, где функция полезности, как предполагается, является логарифмом предельного благосостояния. Они получают оптимальный коэффициент хеджирования, который максимизирует следующую функцию ожидаемой полезности, следующим образом:



(1.14)

где функция плотности , как предполагается, двумерная нормальный. Третьего порядка линейная двумерная ARCH модель используется для получения условной дисперсии и ковариационной матрицы, и численный метод используется, чтобы максимизировать целевую функцию относительно коэффициента хеджирования.

Коэффициент хеджирования минимизации среднего расширенного Джини коэффициента (Minimum mean extended-Gini coefficient hedge ratio)

Этот подход получения оптимального коэффициента хеджирования согласуется с понятием стохастического доминирования и включает использование среднего расширенного Джини коэффициента. Например, работы (Shalit, 1995; Lien, 1993a; Kolb, 1992) рассматривают этот подход. Они минимизирует средний расширенный Джини коэффициент, , определенный следующим образом:

(1.15)

где G является кумулятивным распределением вероятности и является параметром несклонности к риску. Обратите внимание на то, что 0 ? < 1, подразумевает склонных к риску инвесторов, = 1 подразумевает нейтральных к риску инвесторов, и > 1 подразумевает несклонных к риску инвесторов. Автор Shalit, (1995) доказал что, если бы фьючерс и спот доходности были совместно нормально распределены, то минимумизирующий средний расширенный Джини коэффициента совпал бы с коэффициентом хеджирования минимальной дисперсии.

Оптимальный усредненный MEG коэффициент хеджирования (Optimum mean-MEG hedge ratio)

Вместо того, чтобы минимизировать средний расширенный коэффициент Джини, Kolb (1992), альтернативно считают максимизацию функции полезности определенную следующим образом:

(1.16)

Коэффициент хеджирования на основе функции полезности определен (1.15) обозначен как усредненный средний расширенный коэффициент Джини. Различие между MEG и коэффициентами хеджирования M-MEG - то, что коэффициент хеджирования MEG игнорирует ожидаемую доходность от хеджируемомого портфеля. Если цены фьючерсов являются мартингальным процессом (т.е., = 0), то коэффициент хеджирования MEG совпал бы с коэффициентом хеджирования M-MEG.

Коэффициент хеджирования минимальной обобщенной полудисперсии (Minimum generalized seюmivariance hedge ratio)

Новый подход для определения коэффициента хеджирования был предложен в работах Chen (2001), De Jong (1997). Этот новый подход основывается на связи между GSV и ожидаемой полезностью. В этом случае оптимальный коэффициент хеджирования получен, минимизируя GSV:

(1.17)

где является функцией распределения вероятности дохода от хеджируемого портфеля . Параметры и (оба являются действительными числами) представляют целевую доходность и несклонность к риску, соответственно. Под риском понимается ожидание инвесторами доходности ниже . GSV, вследствие его акцента на доходы ниже целевого дохода, является непротиворечивым с риском, воспринятым менеджерами. Кроме того, GSV является непротиворечивым с понятием стохастического доминирования. Коэффициент хеджирования GSV, который получен, минимизируя GSV, совпадает с коэффициентом хеджирования MV, если фьючерсные и спот цены совместно нормально распределены и цены фьючерсов являются мартингальным процессом.

Коэффициент хеджирования средней минимальной обобщенной полудисперсии (Optimum mean-generalized semivariance hedge ratio)

В работе Chen (2001) расширен коэффициент хеджирования GSV до среднего коэффициент хеджирования GSV (M-GSV), включая средний доход. Коэффициент хеджирования M-GSV получен, максимизируя следующую усредняющую риск функцию полезности:

(1.18)

Этот подход к коэффициенту хеджирования не использует параметр несклонности к риску, чтобы умножить GSV, как сделано в стандартных моделях среднего риска. Это вызвано тем, что параметр ухода от риска уже включен в определение GSV. Как прежде, коэффициент хеджирования M-GSV совпал бы с коэффициентом хеджирования GSV, если цены фьючерсов являются мартингальным процессом.

Динамический случай

До сих пор мы рассматривали ситуации, в которых коэффициент хеджирования фиксирован на оптимальном уровне и не пересматривается во время периода хеджирования. Однако, может быть выгодным, изменять коэффициент хеджирования в течение долгого времени. Один способ позволить коэффициенту хеджирования изменяться, пересчитывать коэффициент хеджирования на основе текущей (или условный) информация о ковариации (у_sf) и дисперсии (). Он предполагает вычисление коэффициента хеджирования на основе условной информации (т.е., у_sf |Щ_t?1 и |Щ_t?1) вместо безоговорочной информации. В этом случае коэффициентом хеджирования MV будет получен как:



(1.19)

Корректировка коэффициента хеджирования на основе новой информации может быть включена, используя такие условные модели как АRCH и GARCH или используя перекатывающихся окон. Также можно позволить коэффициенту хеджирования изменяться во время периода хеджирования, используя модели мультипериода, данный подход описан в работе Lien (1993).

Lien (1993) рассматривают хеджирование с Т периодами горизонта планирования и минимизируют дисперсию благосостояния в конце горизонта планирования, W_T. Рассмотрите ситуацию, где C_s,t является позицией спот в начале периода t, и соответствующая фьючерсная позиция представляет Cf,t = ?b_tCs,t. Благосостояние в конце горизонта планирования, W_T, будет получено следующим образом:

(1.20)

Оптимальный b_t коэффициент вычисляется по следующей формулой:

(1.21)

Очевидно, что оптимальный коэффициент хеджирования будет меняться течение долгого времени. Коэффициент хеджирования мультипериода будет отличаться от коэффициента хеджирования единственного периода вследствие второго слагаемого уравнения (1.21). Однако, интересно отметить, что коэффициент хеджирования мультипериода отличался бы от единственного периода, если изменения в текущих фьючерсных ценах коррелированы с изменениями в будущих будущих фьючерсных цен или с изменениями в будующих ценах спот.

1.3 Теоретические подходы к оптимальному портфелю хеджирования

Несмотря на то, что структура среднего отклонения часто используется в научных исследованиях, этот подход имеет значительные недостатки относительно оценки результатов деятельности нелинейных финансовых инструментов в хеджировании портфелей. Как известно, использование опционов приводит к усечению функции вероятности цены и таким образом не может быть смоделирована симметричная объективная функция со средним отклонением, которая предусматривает наказания как риск снижения и потенциал роста. Во-вторых, как утверждается в Lapan (1991) применение нелинейных деривативов приводит к немонотонному аргументу в случайных переменных прикладной функции полезности. Следовательно, нормально распределенные доходности подразумевают, что линейные инструменты превосходят опционные контракты в хеджировании в структуре среднего отклонения, так как такая структура не учитывает асимметричный характер подверженности риску. Напротив, исследуя сельскохозяйственный сектор, другие исследования рассмотрели величину риска, структуры мультипериода, и искажение распределения дохода. Эти дополнения приводят к объединению инструментов типа опционов при установлении оптимальной стратегии хеджирования.

Другое направление литературы преобладающе фокусируется на идее, что главная цель фирмы состоит в том, чтобы генерировать постоянную прибыль. Как уже указано в Froot (1993), эта идея следует за предположением, что внутренние фонды более привлекательны с точки зрения фирмы как источник финансирования, чем внешне привлеченный капитал. Gay (2003) расширяет стандартную установку, учитывая издержки финансовых трудностей. Авторы прежде всего анализируют оптимальное соединение линейных и нелинейных деривативов относительно определенной цены фирмы и величину корреляции. Исследователи сумели показать, что оптимальный портфель хеджирования фирмы в решающей степени зависит от уровня корреляции между (товарными) ценами и результатом деятельности фирмы. Соответственно, естественный хедж существует, если цена и количество отрицательно коррелированны (с высокими ценами и низким выпуском продукции или наоборот), что предполагает спрос фирмы на линейные инструменты хеджирования снижается.

Помимо обсуждения относительно оптимального соединения линейных и нелинейных инструментов, несколько работ уточняют вопрос, способны ли экзотические опционы точно настроить корпоративный портфель хеджирования. Carr (1997) показывают, что барьерные опционы предоставляют дополнительную гибкость при использовании в подходе хеджирования фирмы. Авторы указывают, что экзотические инструменты позволяют пересмотреть план портфеля без издержек, как только определенный критический уровень цен достигнут. Подобный результат представлен в работе Brown (2001), кто оценивает преимущества включения барьерных опционов в корпоративный портфель в случае, если у фирмы есть определенное мнение о рынке относительно будущей динамики цен. Brown (2001) оценивают, как оптимальный портфель фьючерсов и опционов (собственно разработанные экзотические опционы) может быть построен на предположении, что фирма при максимизации стоимости сталкивается со стихийными затратами. Они показывают, что, вводя адаптировал экзотические деривативы в портфель хеджирования корпорации, фирма в состоянии точно настроить свою подверженность риску вследствие дополнительного нелинейного платежного компонента. Они выдвигают на первый план факт, что сделанные на заказ экзотические опционы обычно превосходят простые инструменты, особенно когда корреляции между ценами и количествами являются значительно большими и положительными. С увеличением горизонтом хеджирования, коэффициент хеджирования фирмы будет обычно уменьшаться, и нелинейные инструменты - особенно экзотические опционы - предпочтительны для их линейных аналогов.

В работе Gerner (2011) представляет подход, демонстрирующий стратегию хеджирования, используемую международным воздушным перевозчиком, управляющую ценой на реактивное топливо. Обсуждаются оптимальные соединения линейных и нелинейных инструментов хеджирования, предоставлен всесторонний анализ политики хеджирования фирмы производными инструментами. При помощи самоопределенной неявной объективной функции транспортной компании на основе годовой степени детализации авторы показали, что воздушный перевозчик мог точно настроить свой текущий портфель хеджирования, добавляя адаптированные экзотические опционы. В частности они разработали годовой опцион средней цены и включили этот дериватив в портфель хеджирования компании, приводя к превосходящей позиции с точки зрения хеджирования стоимости и полного воздействия фирмы на колебания цен реактивного топлива.



ГЛАВА 2. ЗАДАЧА ОЦЕНИВАНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ХЕДЖИРОВАНИЯ

2.1 Методы оценки оптимального коэффициента хеджирования минимальной дисперсии

В первой главе мы рассмотрели разные подходы к получению оптимальных коэффициентов хеджирования. Однако, чтобы применить эти оптимальные коэффициенты хеджирования на практике, мы должны оценить эти коэффициенты хеджирования. Есть различные способы оценить их. В этой части работы мы кратко обсуждаем эти методы оценки.

Для оценки коэффициента хеджирования минимальной дисперсии используются следующие методы:

- метод OLS

- ARCH и GARCH методы

- метод случайных коэффициентов

- коинтеграционный метод и модель коррекции ошибкок

Рассмотрим каждый из названных метод более подробно.

Метод OLS

Сперва, рассмотрим оценку коэффициента хеджирования минимальной дисперсии методом OLS. Стандартный подход к оценке коэффициента хеджирования MV включает регресс изменений в ценах спот на изменения в фьючерсных ценах, используя метод OLS (например, Juncus, 1985). Уравнение регрессии запишем следующим образом:

(2.1)

где оценка коэффициента хеджирования MV, H_J, представляет собой коэффициент a₁. Метод OLS довольно надежный и простой в использовании. Однако, чтобы метод OLS был действенным и эффективным, должны быть соблюдены предпосылки регрессии. Если хоть одно из них не соблюдено, то остаточный член уравнения будет гетероскедастичным.

Другой проблемой, связанной с методом OLS, как указали Myers, является факт, что метод использует безусловные типовые моменты вместо условных типовых моментов, которые используют доступную в текущий момент информацию. Они предлагают использование условной ковариации и условной дисперсии. В этом случае, условная версия оптимального коэффициента хеджирования, рассчитана по следующей формуле:

(2.2)

Предположим, что текущая информация () включает вектор переменных (X_t-1), а также изменения в спот и фьючерсных ценах, на основе которых формируется следующая модель равновесия:

(2.3)

В этом случае оценка максимального правдоподобия коэффициента хеджирования MV получена последующей формуле [36]:

(2.4)

где является ковариацией между остатками и , а ковариация остатков . В целом оценки OLS полученые из (2.1) отличалось бы от полученных из (2.4). Чтобы эти оценки совпали, спот и фьючерсные цены должны быть сгенерированы следующей моделью:

(2.5), (2.6)



Другими словами, если спот и фьючерсные цены являются случайным блужданием, то эти две оценки будут одинаковы. В противном случае коэффициент хеджирования, оцененный регрессией OLS (2.1), не будет оптимален.

ARCH и GARCH методы

Далее, рассмотрим оценку коэффициента хеджирования минимальной дисперсии ARCH и GARCH методами. С возникновением ARCH и GARCH моделей, метод OLS оценки коэффициента хеджирования был обобщен, чтобы принять во внимание гетероскедастичность остатков от уравнения регрессии. В этом случае, вместо того, чтобы использовать безусловную дисперсию и ковариацию, используется условная дисперсия и ковариация модели GARCH для оценки коэффициента хеджирования. Как говорилось выше, такой метод позволяет изменяться коэффициенту хеджирования в течении периода хеджирования.

Рассмотрим следующий двумерное модель GARCH, представленную в работах Cecchetti (1988), Ballie (1991):

(2.7)

(2.8)

(2.9)

Условный коэффициент хеджирования MV в период t можно получить как h_t-1 = H_12,t/H_22,t. Эта модель позволяет коэффициенту хеджирования изменяться, таким образом получается ряд коэффициентов хеджирования вместо единственного коэффициента для всего горизонта хеджирования.

Метод случайных коэффициентов

Теперь, рассмотрим оценку коэффициента хеджирования минимальной дисперсии методом случайных коэффициентов. Существует другой способ борьбы с гетероскедастичностью. Он предполагает использование модели случайных коэффициентов, как было предложено в работе Grammaticos (1983). Эта модель предполагает проведение оценки по следующей формуле:

(2.10)

где коэффициент хеджирования является случайным. Эта модель может, в некоторых случаях, улучшить эффективность стратегии хеджирования. Однако, этот метод не допускает обновление коэффициента хеджирования в течение времени даже при том, что исправление для хаотичности может быть сделано по оценке коэффициента хеджирования.

Коинтеграционный метод и модель коррекции ошибкок

Наконец, рассмотрим оценку коэффициента хеджирования минимальной дисперсии коинтеграционным методом и моделью коррекции ошибкок

Методы, описанные выше, не учитывают то, что спот и фьючерсные цены могут быть представлены нестационарными временными рядами. Если у обоих рядов будут единичные корни, то возникает следущая проблема. Если два ряда являются коинтегрированными, как определеноEngle (1987), то регрессия (2.1) будет неправильно определена, и период исправления ошибок должен быть включен в уравнение. Так как арбитражное условие связывает спот и фьючерсную цены, они не могут находиться далеко друг от друга в долгосрочной перспективе. Поэтому, если оба ряда будут случайным блужданием, то следует ожидать, что два ряда будут коинтегрированны, в этом случае необходимо оценить модель коррекции ошибок. Для этого требуется провести коинтеграционный анализ.

Коинтеграционный анализ состоит из двух шагов. Во-первых, каждый ряд должен быть проверен на единичный корень. Во-вторых, если у обоих рядов имеется единичный корень, то должен быть проведен коинтеграционный тест.

Проведению коинтеграционнго анализа предшествует проверка на стационароность исследуемых временных рядов.

На первом этапе проведем проверку на стационарность исходных временных рядов. Другими словами, установим класс каждого из рассматриваемы экономических показателей: либо ряд является стационарным относительно детерминированного тренда (TS-ряд), либо имеет стохастический тренд (DS-тренд). Отличие состоит в том, что в стационарности ряда вычитание из него детерминированного тренда приводит к стационарному ряду, а в случае нестационарного ряда вычитание детермированной составляющей оставляет его нестационарным из-за наличия у него стохастического тренда. DS-ряд может быть приведен к стационарному ряду только путем взятия разностей.

Результаты, полученные на данном этапе, играют большую роль для проведения дальнейшего исследования, так как в основе коинтеграционного анализа лежит определение долгосрочных взаимосвязей между нестационарными переменными с одинаковым порядком интегрированности.

Кроме того, определение порядка интегрированности позволяет корректно произвести преобразование временных рядов (путем взятия соответствующих разностей), что обеспечивает их стационарность. Это имеет важное значение для корректного применения эконометрических методов и избежания так называемой ложной регрессии.

Для получения достоверных результатов при проведении исследований используются различные тесты по проверке на единичный корень и стационарность. Однако, как правило, данные тесты, сформулированные в виде статистических критериев, обладают достаточно низкой мощностью. В результате этого, часто не отвергается первоначальная статистическая гипотеза, когда на самом деле она не выполняется. Имеено поэтому при принятии решений об отнесении отдельно взятого временного ряда к классу стационарных или нестационарных используют графический анализ поведения экономических переменных и проводят несколько тестов для подтверждения принимаемого решения.

Графики стационарных временных рядов имеют линию тренда, относительно которой происходят частые колебания ряда выше и ниже этой линии. В отличии от стационарных временных рядов, графики нестационарных рядов кроме детерминированного тренда (если он есть), имеют еще и стахостический тренд, из-за которого значения ряда долго пребывают по одну сторону линии детерминированного тренда, удаляясь от нее на значительные расстояния.

Дальнейшая проверка стационарности и наличия единичного корня предполагает проведение специальных тестов. В практических исследованиях часто используется расширенный тест Дики-Фуллеера, а также тест Филлипсона и Перрона.

Процесс авторегрессии порядка можно записать следующим образом:

(2.11)

Основная гипотеза формулируется как . Если данная гипотеза верна, то данная модель авторегрессии имеет единичный корень, т. е. подчиняется процессу авторегрессии первого порядка.

Проверка основной гипотезы осуществляется для различных типов регрессионных уравнений:

(2.12)

(2.13)



(2.14)

Дики и Фуллер провели исследования, в результате которых определили критические значения критерия для проверки гипотезы в зависимости от вида модели регрессии и объема выборочной совокупности. Данные статистики обозначаются как - для первой модели регрессии, - для второй модели регрессии, - для третьей модели регрессии. Они приведены в таблице критических значений статистик Дики-Фуллера для различных уровней значимости.

Если сумма коэффициентов модели регрессии вида

(2.15)

равна единице, т. е. то параметр т. е. в данной модели имеется единичный корень.

Как описывается в работах Chou (1996), Ghosh (1993), если ряды спот и фьючерсных цен оказываются коинтегрированы, то коэффициент хеджирования можно оценить в два этапа. Первый этап предполагает оценку следующего коинтеграционного соотношения:

(2.16)

На следующем этапе оценивается следующая модель коррекции ошибки

(2.17)

где ряд остатков от коинтеграционной регрессии. Оценкой коэффициента хеджирования является в оценкой. Некоторые исследователи (например, Lien, 1993a) предполагают, что долгосрочное коинтеграционное отношение выражается как (S_t ? F_t), и оценивают следующую модель коррекции ошибок:

(2.18)

В работе Chou (1996) предложили оценивать следующую модель коррекции ошибок:

(2.19)

где представляет собой ряд остатков от (2.11).

Kroner (1993).объединяют модель коррекции ошибок с моделью GARCH, чтобы оценить оптимальный коэффициент хеджирования. В частности, они используют следующую модель:

(2.20)

Как и ранее, оптимальный коэффициент хеджирования рассчитывается как h_t-1 = H_12,t/H_22,t

Рассмотрим подход Йохансена. Для одиночных уравнений тестирование интегрированности заключается в проверке равенства наличия единичных корней в соответствующей авторегрессии. В случае коинтеграции аналогичную роль может играть векторная авторегрессия. В общем случае процедура тестирования коинтеграции следующая. Рассматривается векторная модель авторегрессии VAR(p)

Эту модель можно представить в виде векторной модели исправления ошибок (VEC, Vector Error Correction)

(2.21)

Отвлекаясь от экзогенных переменных x из данного представления видно, что если первые разности рядов по предположению стационарны, то - тоже должна быть стационарна. Согласно теореме Грэнджера о представлении если ранг коинтеграции меньше числа переменных, матрицу П можно представить в виде произведения двух матриц , где вторая матрица - матрица из коинтегрирующих векторов. Ранг матрицы П определяет ранг коинтеграции. Йохансен показал, что задача нахождения параметров эквивалентна задаче нахождения собственных векторов определённой матрицы. Для тестирования ранга коинтеграции используется тест отношения правдоподобия, статистика которой в данном случае сводится к функции от собственных значений этой матрицы. Нулевая гипотеза заключается в предположении, что ранг коинтеграции равен данному значению r. Альтернативная гипотеза в подходе Йохансена состоит в том, что ранг коинтеграции больше данного. Соответствующая LR-статистика имеет вид (статистика следа)

(2.22)

где -i-е наибольшее собственное значение определённой матрицы.

Последовательная процедура Йохансена заключается в том, чтобы начинать проверку гипотезы с ранга 0 до ранга k-1. Если гипотеза не отвергается для ранга 0, то ранг считается нулевым (отсутствие коинтеграции). И так далее до k-1. В последнем случае альтернативная гипотеза заключается в стационарности исходных рядов.

Также возможна проверка нулевой гипотезы против альтернативной о том, что ранг на единицу больше, чем предполагается в нулевой. В таком случае применяется статистика максимального собственного числа

...