Задача хеджирования закупок авиационного керосина

(2.23)

Распределение LR статистики зависит от наличия детерминированных трендов в данных и в коинтеграционном уравнении. Поэтому тестировать следует для нескольких вариантов: в данных отсутствуют детерминированные тренды (в CE не включается ни константа и тренд, или включается только константа), в данных есть линейный детерминированный тренд (в CE константа без тренда или константа и тренд), в данных есть квадратический тренд (в CE включается константа и линейный тренд).

2.2 Методы оценки оптимального коэффициента хеджирования на основе альтернативных критериев оптимальности

Оценка оптимальных коэффициентов хеджирования, полученных методами среднего отклонения и Шарпа

Оценка оптимального коэффициентов хеджирования среднего отклонения и Шарпа представлены формулами (1.9) и (1.12), соответственно. Эти хедж коэффициенты можно оценить путем простой замены теоретических моментов на их выборочные моменты. Например, ожидаемые доходы могут быть заменены на выборочные средние доходы, стандартные отклонения могут быть заменены выборочные стандартные отклонения и корреляция может быть заменена выборочной корреляцией.

Оценка коэффициента хеджирования максимизации ожидаемой полезности

Коэффициента хеджирования максимизации ожидаемой полезности включает максимизацию ожидаемой полезности. Поэтому необходимо провести оценку распределений изменений спот и фьючерсных цен. Как только распределения оценены, нужно использовать числовой метод, чтобы получить оптимальный коэффициент хеджирования. Такой метод описан в работе Cecchetti (1988) где модель используется модель ARCH, чтобы оценить требуемые распределения.

Оценка коэффициента хеджирования минимизации среднего расширенного Джини коэффициента

Коэффициент хеджирования MEG предполагает минимизацию следующего MEG коэффициента:

(2.24)

Чтобы оценить MEG коэффициент, мы должны оценить кумулятивную плотность распределения вероятности G(R_h). Кумулятивная плотность распределени/я вероятности обычно оценивается ранжированием наблюдаемых доходов от хеджируемого портфеля. Следуя работе Kolb (1992) кратко опишем этот метод здесь.

Кумулятивное распределение вероятности оценено при помощи ранжирования следующим образом:

(2.25)

где N является объемом выборки. Как только у нас есть ряд для функции распределения вероятности, MEG оценивается путем замены теоретической ковариации на выборочную ковариационных следующим образом:

(2.26)

где:

и (2.27)

Таким образом, оптимальный коэффициент хеджирования задается коэффициентом хеджирования, который минимизирует оценкам MEG.

Оценка GSV коэффициента хеджирования

GSV может быть оценен выборочным способом путем использования следующего типового выражения:

(2.28)

Где

(2.29)

Подобный методу MEG, оптимальный коэффициент хеджирования GSV может быть оценен путем выбора коэффициента хеджирования, минимизирующего выборочные GSV, . Численные методы могут быть использованы, чтобы рассчитать оптимальный коэффициент хеджирования. Точно так же коэффициент хеджирования M-GSV может быть получен, минимизируя функцию усреднения риска, данную (1.18), то, где ожидаемая доходность от хеджируемого портфеля заменена выборочной средней доходностью и GSV заменено выборочным GSV. Можно вместо этого использовать ядерный метод оценки плотности, чтобы оценить GSV, и числовые методы могут использоваться, чтобы найти оптимальный коэффициент хеджирования GSV.



ГЛАВА 3. ОЦЕНКА ОПТИМАЛЬНОГО КОЭФФИЦИЕНТА ХЕДЖИРОВАНИЯ ЦЕНЫ АВИАЦИОННОГО КЕРОСИНА

3.1 Оценка оптимального коэффициента хеджирования минимизирующего дисперсию

Описание и спецификация модели.

Xеджировать топливные риски авиакомпании начали в конце 1980-х годов. Наиболее распространенная хеджевая стратегия - открытие позиций в других видах нефтепродуктов или в сырой нефти. Основаны все эти стратегии на том, что рынок авиационного топлива менее ликвиден, чем рынок, например, сходного по характеристикам дизельного топлива. Поэтому на бирже по стандартным фьючерсным контрактам авиационное топливо не торгуется, и авиакомпании приобретают его на внебиржевом рынке.

Более низкая, по сравнению с биржевым рынком, ликвидность рынка авиатоплива подразумевает более высокие риски, сопряженные с будущими поставками, а также более высокую волатильность этого узкоспециализированного рынка. Кроме того, внебиржевой характер торговли этим топливом подразумевает, что авиакомпания не имеет возможности заранее приобрести фьючерсы на необходимое ей количество топлива, например, на весь ближайший год, так как авиатопливо в силу ограниченности спроса закупается и оплачивается, как правило, на рынке спот. Другой важной основой хеджирования рисков является сходство по физическим и химическим свойствам авиационного топлива и торгуемых на бирже видов топлива.

Это сходство при прочих равных условиях обеспечивает и взаимосвязанность колебаний цен. Предположим, что авиакомпания не имеет возможности путем приобретения топлива по фьючерсным контрактам обеспечить свои топливные нужды на определенный период времени вперед. Однако компания может приобрести фьючерсы на сырую нефть, топочный мазут или дизельное топливо. Эти продукты сходны с авиатопливом по химическим свойствам, а потому колебания цен на эти продукты происходят, как правило, одновременно.

Описание используемых данных.

Исходными данными для расчетов являются цены с биржи NYMEX на керосин для заправки авиадвигателей (спот), фьючерсные цены на мазут и нефть - как базисный актив.

Таблица 2

Исходные данные для расчетов

Обозначение	Наименование ряда, единицы измерения, тип временных данных	Временной интервал
ksp	Weekly U.S. Gulf Coast Kerosene-Type Jet Fuel Spot Price FOB (Dollars per Gallon)	04.01.1995 - 27.12.2013
cf30	Weekly Cushing, OK Crude Oil Future Contract 1 (Dollars per Barrel)	04.01.1995 - 27.12.2013
cf60	Weekly Cushing, OK Crude Oil Future Contract 2 (Dollars per Barrel)	04.01.1995 - 27.12.2013
cf90	Weekly Cushing, OK Crude Oil Future Contract 3 (Dollars per Barrel)	04.01.1995 - 27.12.2013
cf180	Weekly Cushing, OK Crude Oil Future Contract 4 (Dollars per Barrel)	04.01.1995 - 27.12.2013
hf30	Weekly New York Harbor No. 2 Heating Oil Future Contract 1 (Dollars per Gallon)	04.01.1995 - 27.12.2013
hf60	Weekly New York Harbor No. 2 Heating Oil Future Contract 2 (Dollars per Gallon)	04.01.1995 - 27.12.2013
hf90	Weekly New York Harbor No. 2 Heating Oil Future Contract 3 (Dollars per Gallon)	04.01.1995 - 27.12.2013
hf180	Weekly New York Harbor No. 2 Heating Oil Future Contract 4 (Dollars per Gallon)	04.01.1995 - 27.12.2013

Заметим, что для части расчетов временные ряды Kerosene-Type Jet Fuel и Crude Oil Future Contract били преобразованы в соответствующие логарифмированные временные ряды.

Посмотрим на графики исследуемых временных рядов.

Рис. 1. Kerosene-Type Jet Fuel Spot Price

Рис. 2. NYMEX Crude Oil Futures (30 days)



Рис. 3. NYMEX Heating Oil Futures (30 days)

Рис. 4. Kerosene-Type Jet Fuel Spot Price и NYMEX Crude Oil Futures (30 days), логарифмированные данные



Рис. 5. Kerosene-Type Jet Fuel Spot Price и NYMEX Heating Oil Futures (30 days)

По графикам видно, что исходные временные ряды являются, предположительно, нестационарными. Очевидна высокая корреляция между изменением цены нефти и керосина, и мазута и керосина. Данное явление объясняется тем, что мазут и керосин являются продуктами переработки нефти. Также интересно обратить внимание, что цена на мазут во все периоды времени несущественно отлична от цены на керосин для одного галлона.

Расчет оптимального коэффициента хеджирования MV методом OLS

Для исходных данных были оценены следующие OLS модели (см. прил. 1, прил. 2, прил. 3, табл. 3.2, табл. 3.3)

Таблица 3

Коэффициент корреляции между изменениями спот цены керосина и нефти

	NYMEX Crude Oil Futures (первые разности, логарифмированные значения)
	30 дн.	60 дн.	90 дн.	180 дн.
Kerosene-Type Jet Fuel Spot Price (первые разности, логарифмированные значения)	0.74817	0.86188	0.91852	0.96234

Таблица 4

Коэффициент корреляции между изменениями спот цены керосина и мазута

	NYMEX Heating Oil Futures (первые разности)
	30 дн.	60 дн.	90 дн.	180 дн.
Kerosene-Type Jet Fuel Spot Price (первые разности)	0,97537	0,99563	1,00557	0,90245

Рассчитанные регрессионные коэффициенты представляют собой коэффициенты хеджирования минимальной дисперсии. Наименьшее число позиций следует занимать при покупке 30 дн. фьючерсов на нефть (h=0.74817), наибольшее - при покупке 90 дн. фьючерсов на мазут (h=1.00557).

Анализ интегрированности данных.

Следуя методике, описанной в главе 2, анализ интегрированности начнем с рассмотрения графиков исследуемых временных рядов и их первых разностей.



Рис. 6. Графики рядов NYMEX Crude Oil Futures и NYMEX Heating Oil Futures, в уровня и первых разностях

Рис. 7. Графики рядов Kerosene-Type Jet Fuel Spot Price, в уровня и первых разностях

На основании графического анализа были сделаны предварительные выводы о нестационарности исследуемых временных рядов. Визуально видно, что первые логарифмические разности всех рядов стационарны. На обоих графиках есть участок 2008-2009 года, где наблюдается быстрый большой скачек и резкий спад, что стало следствием мирового финансово-экономического кризиса.

Проведем тесты по проверке на стационарность и единичный корень. Используем следующие разнонаправленные тесты: ADF - ряд нестационарен (Н0), PP -ряд нестационарен (Н0). Если рассчитанное значение вероятности Prob. для тестовой статистики превышает значение 0,05, то нулевая гипотеза не может быть отвергнута. Расчеты тестов приведены в Приложении №4-14. Ниже подитожим результаты тестов.

Для всех исследуемых временных рядов установлена нестационарность (наличие единичного корня), также было выявлено, что первые разности являются стационарными (см. табл. 5)



Таблица 5

Результаты тестов на единичный корень и стационарностьs Расшифровка обозначений: DS UR - difference stationary with unit root - временной ряд является стационарным в разностях, имеет единичный корень. Обозначение С, СТ - говорит о присутствии константы, константы и тренда. I(..) - общепринятое обозначение порядка интегрированности ряда. Также для каждого теста приведено количество автоматически рассчитанных запаздывающих разностей - для нашего случая это 1, для все рядов.

	Dickey-Fuller ADF	Phillips-Perron
ksp	DS UR, I(1), 1	DS UR, I(1)
lnksp	DS UR, I(1), 1	DS UR, I(1)
lncf30	DS UR, C, I(1), 1	DS UR, I(1)
lncf60	DS UR, I(1), 1	DS UR, I(1)
lncf90	DS UR, I(1), 1	DS UR, I(1)
lncf180	DS UR, I(1)	DS UR, I(1)
hf30	DS UR, I(1)	DS UR, I(1)
hf60	DS UR, I(1)	DS UR, I(1)
hf90	DS UR, I(1)	DS UR, I(1)
hf180	DS UR, I(1)	DS UR, I(1)

Коинтеграционный анализ и модель коррекции ошибок

Проведем коинтеграционный анализ в виде процедуры Йохансена, благодаря которому устраняется проблема нестационарности исходных временных рядов и осуществляется установление коинтеграционной зависимости между исследуемыми показателями. Расчеты представлены в Приложении 15-30.

В результате проведения теста Йохансена было установлено, что существует как минимум одно коинтеграционное соотношение для каждого из анализируемы временных рядов. Полученное коинтеграционное соотношение позволяет построить модель коррекции ошибок для спот цены авиационного керосина. Соответствующий коэффициент уравнения (2.12) представляет собой коэффициент хеджирования минимальной дисперсии на основе модели коррекции ошибки.

Расчитанные с использованием программного пакета E-Views модели коррекции онибок (VECM) представлены уравнениями следующих видов.

D(LNKSP) = 0.000524*( LNKSP(-1) - 1.06658790191*LNCF30(-1) + 3.81458049762 ) + 0.748172*D(LNKSP(-1)) + C(3)*D(LNKSP(-2)) + C(4)*D(LNCF30(-1)) + C(5)*D(LNCF30(-2)) + C(6) + 0.74244*DLNCF30 и тд.

Рассмотрим расчитанные коэффициенты, сразу же сопоставив их с коэффициентами, полученными методом OLS (см. таблица 6).

Таблица 6

Коэффициент хеджирования минимальной дисперсии методами OLS и VECM для фьючерсов на нефть и мазут

Коэфт-т хеджирования минимальной дисперсии	Длина фьючерсного контракта
	30 дн.	60 дн.	90 дн.	180 дн.
OLS метод, Crude Oil Futures	0.74817	0.86188	0.91852	0.96234
VECM, Crude Oil Futures	0.74244	0.85138	0.90523	0.94780
OLS метод, Heating Oil Futures,	0,97537	0,99563	1,00557	0,90245
VECM, Heating Oil Futures	0.98180	1.00600	1.02543	0.89816

Мы видим, что коэффициенты хеджирования, полученные методом коитеграции и модели коррекции ошибок отличаются от коэффициентов хеджирования, рассчитанных методом простой регрессии. Первые выражают долгосрочное отношение между фьючерсной и спот ценой, считаются наиболее предпочтительными для анализа. Расчеты показали существенное различие двух видов коэффициентов, поэтому применение базовых регрессионных коэффициентов может повлечь ошибочность расчетов и стать причиной дополнительных убытков.



3.2 Оценка коэффициента хеджирования на основе альтернативных критериев оптимальности

Проведем оценку оптимальный коэффициент хеджирования методом минимизации обобщенной полудисперсии.

Исходными данными для расчетов являются цены с биржи NYMEX на керосин для заправки авиадвигателей (спот), фьючерсные цены на мазут и нефть - как базисный актив. Для расчета нам потребуется перейти от временных рядов в уровнях к показателям доходности. Для расчета доходностей фьючерсных и спот цен воспользуемся следующими формулами:

(3.1)

(3.2)

где и спот и фьючерсные цены в момент времени t.

В табл. 8 (Приложение 31) представлены итоговые статистики для расчитанных доходностей спот и фьючерсных цен. Доходности спот и фьючерсных цен всех рядов не являются нормально распределенными. Об это свидетельствет рассчитанное значение вероятности статистики Jarque-Bera (Prob<0.05), а также другие показатели. Поскольку спот и фьючерсные цены всех рядов не являются нормально распределенными, то расчитанные значения коэффициента хеджирования минимальной дисперсии (MV-клэффициент) и коэффициента хеджирования минимизации обобщенной полудисперсии (GSV - коэффициент) будут отличаться друг от друга.

Проверим равенство математического ожидания доходностей фьючерсных цен нулю. еслиданный факт будет подтвержден, то динамика доходностей фьючерсных цен будет являться мартингальным процессом. Данная процедура проводится на основе рассчета t-статистики Стьюдента. В Eviews данная процедура реализуется посредством опции Simple Hypothesis Tests, где рассчитанные для ряда значения мат ожидания сравниваются с заданным значением (ноль, в нашем случае). Результаты расчета предствлены в Приложении 25-26. Видим, что рассчитанные гипотеза о равенстве математического ожидания всех рядов доходностей фьючерсных цен нулю не отвергается на 5%-м уровне значимости (рассчитанное Prob>0.05). Т.е. изменение доходностей фьючерсных цен на нефть и мазут является мартингальным процессом. Из этого следует вывод, что то коэффициент хеджирования MEG совпадает с коэффициентом хеджирования M-MEG.

Рассчитем оптимальный коэффициент хеджирования методом минимизации обобщенной полудисперсии. На основе ранее изложенных и объясненных в работе формул (1.1), (1.17), (1.18), (2.28), (2.29) алгоритм рассчета будет вседен к максимизации следущей целевой функции полезности:

(3.3)

где:

(3.4)

Выполним два альтернативных варианта расчета. В первом варианте параметр целевой доходности будем рассматривать равным E(R_h). В другом варианте параметр целевой доходности будем рассматривать равным нулю.

Рассмотрим первый вариант. В качестве параметра целевой доходности было выбрано значение E(R_h), параметра склонности к риску было выбрано значение 2. В программе Excel с использованием «надстройки» была осуществлена оптимизация целевой функции , в ходе которой было подобрано значение коэффициента h, при котором достигается максимум функции. Полученное значение h является оптимальный коэффициент хеджирования минимизации обобщенной полудисперсии или GSV коэффициентом хеджирования.

Для рядов доходностей Kerosene-Type Jet Fuel Spot Price, R_KSP, и NYMEX Crude Oil Futures (30 days), R_СF30, получены следующие результаты:

max[ (3.5)

(3.6)

где:

Т.е. оптимум целевой функции был достигнут при h=. Полученное значение h= является оптимальный коэффициентом хеджирования минимизации обобщенной полудисперсии или GSV коэффициентом хеджирования для рядов доходностей Kerosene-Type Jet Fuel Spot Price, R_KSP, и NYMEX Crude Oil Futures (30 days), R_СF30, .

Аналогичные рассчеты были проведены для остальных рядов фьючерсных цен: NYMEX Crude Oil Futures (30 days, 60 days, 90 days, 180 days) и NYMEX Heatihg Oil Futures (30 days, 60 days, 90 days, 180 days). Все рассчитанные GSV коэффициенты хеджирования представлены в табл. 8 и табл. 9.

Рассмотрим второй вариант. В качестве параметра целевой доходности было выбрано значение ноль, параметра склонности к риску было выбрано значение 2. С применение программы Excel была осуществлена оптимизация целевой функции , в ходе которой было подобрано значение коэффициента h, прикотором достигается максимум функции. Полученное значение h является оптимальным коэффициентом хеджирования минимизирующим обобщенную полудисперсию или GSV коэффициентом хеджирования.

Для рядов доходностей Kerosene-Type Jet Fuel Spot Price, R_KSP, и NYMEX Crude Oil Futures (30 days), R_СF30, получены следующие результаты:

max[

(3.7)

где:

Т.е. оптимум целевой функции был достигнут при h=. Полученное значение h= является оптимальный коэффициент хеджирования минимизации обобщенной полудисперсии или GSV коэффициентом хеджирования для рядов доходностей Kerosene-Type Jet Fuel Spot Price, R_KSP, и NYMEX Crude Oil Futures (30 days), R_СF30, .

Аналогичные рассчеты были проведены для остальных рядов фьючерсных цен: NYMEX Crude Oil Futures (30 days, 60 days, 90 days, 180 days) и NYMEX Heatihg Oil Futures (30 days, 60 days, 90 days, 180 days). Все рассчитанные GSV коэффициенты хеджирования представлены в табл. 8 и табл. 9.



Таблица 8

Коэффициент хеджирования GSV спот цены керосина и фьючерсной цены нефти

	NYMEX Crude Oil Futures (первые разности, логарифмированных значений)
	30 дн.	60 дн.	90 дн.	180 дн.
Kerosene-Type Jet Fuel Spot Price (первые разности, логарифмированные значения), при условии	0,616463	0,722284	0,793305	0,787582
Kerosene-Type Jet Fuel Spot Price (первые разности, логарифмированные значения), при условии	0,556918	0,652557	0,710673	0,726725

Таблица 9

Коэффициент хеджирования GSV спот цены керосина и фьючерсной цены мазута

	NYMEX Heating Oil Futures (первые разности, логарифмированных значени1)
	30 дн.	60 дн.	90 дн.	180 дн.
Kerosene-Type Jet Fuel Spot Price (первые разности, логарифмированные значения), при условии	0,799318	0,867083	0,894807	0,81747
Kerosene-Type Jet Fuel Spot Price (первые разности, логарифмированные значения), при условии	0,794214	0,86439	0,882078	0,820415

Сравним коэффициенты хеджирования GSV рассчитанные двумя альтернативными способами: при условии и . Для всех видов фьючерсных цен GSV-коэффициенты, рассчитанные при целевой доходности равной матожиданию (), превышают GSV-коэффициенты, рассчитанные при целевой доходности равной нулю (). Исключение составляет лишь коэффициент хеджирования для NYMEX Heating Oil Futures 180 days. Из меньшего значения коэффициента хеджирования, следует, что будет приобретаться меньшее количество фьючерсных контрактов для хеджирования. Из этого следует, что авикомпания, которая использует оптимальный коэффициент хеджирования GSV ( вынуждена выплатить более высокую сумму из-за большего количества требуемых фьючерсных контрактов, чем при использовании GSV (. Т.е. при прочих равных условиях для хеджера (авиакомпании) предпочтительнее целевая доходность равная нулю и, соответственно, GSV (.

Что же касается значения коэффициента хеджирования GSV относительно базисного актива, нефти или мазута, то, как и с MV методикой, коэффициенты хеджирования GSV для нефти меньше, чем коэффициенты хеджирования GSV для мазута. Исключение составляет лишь коэффициенты хеджирования для NYMEX Heating Oil Futures 180 days. Т.е. при прочих равных условиях для хеджера (авиакомпании) предпочтительнее приобретение нефтяных фьючерсов.

Рассмотрим распределения доходностей спот цен, фьючерсных цен, и доходности портфеля при оптимальном GSV коэффициенте хеджирования. (рисунки 8 -21, Приложение).



Рис.8. Гистограмма доходностей спот цен Kerosene-Type Jet Fuel Spot Price

Рис. 9. Гистограмма доходностей NYMEX Crude Oil Futures 30 days.



Рис. 10. Гистограмма доходностей портфеля из Kerosene-Type Jet Fuel Spot Price и NYMEX Crude Oil Futures 30 days, при условии

Рис. 11. Гистограмма доходностей портфеля из Kerosene-Type Jet Fuel Spot Price и NYMEX Crude Oil Futures 30 days, при условии

В целом гистограммы свидетельствуют об эффективности хеджирования на основе GSV-коэффициента. Для значений доходностей оптимизированного портфеля по сравнению со спот и фьючерсными доходностями куртозис увеличивается, сигма значительно уменьшилась, что в целом говорит об эффективности хеджирования. Данная эффективность обусловлена основной целью хеджирования - от глубокого системного убытка. Для рынка нефтяных фьючерсов GSV-коэффициент, рассчитанный на основе оптимизации при условии равенства целевой доходности матожиданию доходности портфеля ( ), оказался эффективнее GSV-коэффициента, рассчитанного при условии равенства целевой доходности нулю (). Для рынка фьючерсов на мазут можно сделать вывод о равнозначности применения GSV-коэффициента, рассчитанного при и . Если при принятии решения о хеджировании методом GSV- учитывать рассмотренные распределения доходностей портфеля, то по данному критерию предпочтение следует отдать хеджированию фьючерсами на мазут.

Наконец, сравним оптимальные коэффициенты хеджирования минимальной дисперсии (коэффициенты хеджирования MV), рассчитанные методами OLS и VECM, и коэффициенты хеджирования, рассчитанные методом минимизации обобщенной полудисперсии (коэффициенты хеджирования GSV) (см. таблица 9).

Таблица 9.

Коэффициент хеджирования минимальной дисперсии методами OLS и VECM для фьючерсов на нефть и мазут

Коэфт-т хеджирования	Длина фьючерсного контракта
	30 дн.	60 дн.	90 дн.	180 дн.
MV optimal hedge ratio, OLS метод, Crude Oil Futures	0.74817	0.86188	0.91852	0.96234
MV optimal hedge ratio, метод VECM, Crude Oil Futures	0.74244	0.85138	0.90523	0.94780
GSV optimal hedge ratio (order () Crude Oil Futures	0,616463	0,722284	0,793305	0,787582
GSV optimal hedge ratio (order ( Crude Oil Futures	0,556918	0,652557	0,710673	0,726725
MV optimal hedge ratio, OLS метод, Heating Oil Futures,	0,97537	0,99563	1,00557	0,90245
MV optimal hedge ratio, метод VECM, Heating Oil Futures	0.98180	1.00600	1.02543	0.89816
GSV optimal hedge ratio (order () Heating Oil Futures s	0,799318	0,867083	0,894807	0,81747
GSV optimal hedge ratio (order ()) Heating Oil Futures	0,794214	0,86439	0,882078	0,820415

В соответствии с методикой MV, риск измеряется дисперсией, которая может принимать значения, как выше, так и ниже, средней доходности. В то время как в методике GSV мы используем LPM (lower partial moment) для расчета риска, который рассматривает значения только ниже средней (целевой) доходности. Таким образом, логично, GSV оптимальный коэффициент хеджирования будет меньше, чем MV коэффициент.

Чтобы исправить эти недостатки, были введены другие методы для получения оптимального коэффициента хеджирования, который используют альтернативные критерии оптимальности (измерения риска). Одними из них являются. GSV и M-GSV методы, которые используют критерий LPM для измерения риска. LPM в отличии от дисперсии, которая расценивают положительные и отрицательные колебания как риск, будет в качестве риска рассматривать только отрицательные отклонения от целевой доходности.

Для обоих базисных активов (нефть, мазут) в различных сроков зрелости фьючерсных контрактов коэффициенты хеджирования MV прнимают на 0,1-0,2 более высокие значения, чем GSV коэффициенты.

Вопрос выбора базисного актива является несколько неоднозначным.

Фьючерсы на сырую нефть более ликвидны, кроме того во фьючерсных ценах на сырую нефть существует определенная премия, которую платит продавец, и, соответственно, получает покупатель. С другой стороны фьючерсные цены на топочный мазут сильнее коррелированны с ценами спот на авиационный керосин, что вполне объяснимо так как оба товара являются продуктом переработки сырой нефти (разложения на фракции). Поэтому хеджирование будет более эффективно с точки зрения снижения риска

Для Crude Oil Futures для обоих MV и GSV оптимальных коэффициентов хеджирования по мере роста срока зрелости фьючерсного контракта значения коэффициентов увеличивается. Это может связано с большей волатильностью фьючерсных контрактов с меньшим сроком до истечения (так называемый эффект Самуэльсона, наблюдаемый на фьючерсных рынках, заключается в увеличении волатильности с приближением срока до исполнения контрактов). Также короткие фьючерсные контракты сильнее коррелированы со спот ценой. Однако короткие фьючерные контракты, во-первых, требуют больших операционных расходов из-за необходимости более частого «перекладывания» в следующий контракт по мере истечения текущих позиций. Во-вторых, хеджирование может быть неполным, связанным с потерями при возобновлении позиций, так как фьючерсные цены для больших сроков до истечения могут измениться ранее на ожиданиях роста спот цен в будущем (за горизонтом текущего хеджа).

Для Heating Oil Futures вывод в целом такой же.



ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основная цель хеджирования закупок топлива авиакомпаниями состоит в недопущении системного убытка и банкротства. Среди способов управления риском цены на топливо, которые используются авиакомпаниями наиболее удобными и широко распространенными являются фьючерсные контракты на нефть и мазут.

В отношении спот цен на авиационный керосин и фьючерсных цен на базисный актив (нефть или мазут) коэффициент хеджирования, оптимизирующий портфель из них, наиболее часто подбирается методом минимизации дисперсии. Однако коэффициент хеджирования MV полностью игнорирует ожидаемую доходность хеджируемого портфеля. Поэтому, эта стратегия в целом противоречива со структурой среднего отклонения, если частные лица не являются бесконечно не склонными к риску, или ожидаемое изменение цены фьючерса является нолем.

В к. 80-х - 90-х гг. были разработаны другие стратегии, которые включают ожидаемую доходность и риск (дисперсию) хеджируемого портфеля. Эти стратегии являются непротиворечивыми со структурой среднего отклонения. Коэффициент методом средней дисперсии в реальных условиях может не быть оптимальным относительно принципа максимизации ожидаемой полезности, что соблюдается при условии квадратичности функции полезности квадратной или доходности, совместно нормальном распределении доходностей.

Были предприняты попытки устранить эти определенные предположения относительно функции полезности и распределений дохода. Некоторые из них включают минимизацию среднегорасширенного Джинни коэффициента (MEG), который согласуется с концепцией стохастической доминирования.

В 2000-е гг. были предложены коэффициенты хеджирования на основе обобщенной полудисперсии (GSV). Эти коэффициенты хеджирования являются также непротиворечивыми с понятием стохастического доминирования. Кроме того, у этих основанных на GSV коэффициентов хеджирования есть другая привлекательная особенность, посредством чего они измеряют портфельный риск GSV, который согласуется с риском, воспринятым менеджерами, из-за его акцента на доходы ниже целевой доходности.

Стандартный подход к оценке коэффициента хеджирования MV включает регресси изменений в ценах спот на изменения в фтючерсных ценах, используя метод OLS. Однако, чтобы метод OLS был действенным и эффективным, должны быть соблюдены предпосылки регрессии. С возникновением ARCH и GARCH моделей, метод OLS оценки коэффициента хеджирования был обобщен, чтобы принять во внимание гетероскедастичность остатков от уравнения регрессии, такой метод позволяет изменяться коэффициенту хеджирования в течении периода хеджирования. ошибок. Описанные методы не учитывают то, что спот и фьючерсные цены могут быть представлены нестационарными временными рядами (а именно такими они чаще всего и оказываются в реальности. Данную проблему решает метод коррекции ошибки. GSV может быть оценен путем выбора коэффициента хеджирования, минимизирующего выборочные обобщенные полудисперсии.

В соответствии с методикой MV, риск измеряется дисперсией, которая может принимать значения, как выше, так и ниже, средней доходности. В то время как в методике GSV мы используем LPM (lower partial moment) для расчета риска, который рассматривает значения только ниже средней (целевой) доходности. Таким образом, логично, GSV оптимальный коэффициент хеджирования будет меньше, чем MV коэффициент.

Чтобы исправить эти недостатки, другие методы были введены для получения оптимального коэффициента хеджирования, который используют альтернативные критерии оптимальности (измерения риска). Одними из них являются. GSV и M-GSV методы, которые используют критерий LPM для измерения риска. LPM в отличии от дисперсии, которая расценивают положительные и отрицательные колебания как риск, будет в качестве риска рассматривать только отрицательные отклонения от целевой доходности.

Для обоих базисных активов (нефть, мазут) в различных сроков зрелости фьючерсных контрактов коэффициенты хеджирования MV прнимают на 0,1-0,2 более высокие значения, чем GSV коэффициенты.

Вопрос выбора базисного актива является несколько неоднозначным. Фьючерсы на сырую нефть более ликвидны, кроме того во фьючерсных ценах на сырую нефть существует определенная премия, которую платит продавец, и, соответственно, получает покупатель. С другой стороны фьючерсные цены на топочный мазут сильнее коррелированны с ценами спот на авиационный керосин, что вполне объяснимо так как оба товара являются продуктом переработки сырой нефти (разложения на фракции). Поэтому хеджирование будет более эффективно с точки зрения снижения риска

Для Crude Oil Futures для обоих MV и GSV оптимальных коэффициентов хеджирования по мере роста срока зрелости фьючерсного контракта значения коэффициентов увеличивается. Это может связано с большей волатильностью фьючерсных контрактов с меньшим сроком до истечения (так называемый эффект Самуэльсона, наблюдаемый на фьючерсных рынках, заключается в увеличении волатильности с приближением срока до исполнения контрактов). Также короткие фьючерсные контракты сильнее коррелированы со спот ценой. Однако короткие фьючерные контракты, во-первых, требуют больших операционных расходов из-за необходимости более частого «перекладывания» в следующий контракт по мере истечения текущих позиций. Во-вторых, хеджирование может быть неполным, связанным с потерями при возобновлении позиций, так как фьючерсные цены для больших сроков до истечения могут измениться ранее на ожиданиях роста спот цен в будущем (за горизонтом текущего хеджа).

Для Heating Oil Futures вывод в целом такой же.



СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Baillie, R. T. & Myers, R. J. (1991), `Bivariate estimation of the optimal commodity futures hedge', Journal of Applied Econometrics 6(1), 109-124.

2. Benet, B. A. (1992). Hedge period length and ex ante futures hedging effectiveness: The case of foreign-exchange risk cross hedges. Journal of Futures Markets, 12, 163-175.

3. Bos, C. & Gould, P. (2007), Dynamic correlations and optimal hedge ratios. Discussion paper. Department of Econometrics & O.R., Vrije Universiteit Amsterdam.

4. Brown, H., Hobson, D., and Rogers, L. (2001). Robust hedging of Barrier Options, Mathematical Finance, 11(3), 285-314.

5. Carr, P. and Chou, A. (1997). Hedging Complex Barrier Options, Morgan Stanley Working Paper.

6. Cecchetti, S. G., Cumby, R. E.,&Figlewski, S. (1988). Estimation of the optimal futures hedge. Review of Economics and Statistics, 70, 623-630.

7. Chen, S. S., Lee, C. F. & Shrestha, K. (2003), `Futures hedge ratios: a review', The Quarterly Review of Economics and Finance 43(1), 433-465.

8. Chen, S. S., Lee, C. F., & Shrestha, K. (2001). On a mean-generalized semivariance approach to determining the hedge ratio. Journal of Futures Markets, 21, 581-598.

9. Chou,W. L., Fan, K. K., & Lee, C. F. (1996). Hedging with the Nikkei index futures: The conventional model versus the error correction model. Quarterly Review of Economics and Finance, 36, 495-505.

10. Cobbs R., Wolf A. Jet Fuel Hedging Strategies: Options Available for Airlines and a Survey of Industry Practices // Finance 467 . Spring 2004

11. De Jong, A., De Roon, F., & Veld, C. (1997). Out-of-sample hedging effectiveness of currency futures for alternative models and hedging strategies. Journal of Futures Markets, 17, 817-837.

12. Ederington, L. H. (1979). The hedging performance of the new futures markets. Journal of Finance, 34, 157-170.

13. Engle, R. F., & Granger, C. W. (1987). Co-integration and error correction: Representation, estimation and testing Econometrica, 55, 251-276.

14. Froot, K., Scharfstein, D., and Stein, J. (1993). Risk Management: Coordinating Corporate Investment and Financing Policies, Journal of Finance, 48(5), 1629-1658.

15. Gay, G., Nam, J. and Turac, M. (2003). On the Optimal Mix of Corporate Hedging Instruments: Linear Versus Nonlinear Derivatives, Journal of Futures Markets, 23(3), 217-239.

16. Gerner M., Ronn E. Fine-Tuning a Corporate Hedging Portfolio - The Case of an Airline Company // Working Paper First version: January 2011 This version: January 2012

17. Ghosh, A. (1993). Hedging with stock index futures: Estimation and forecasting with error correction model. Journal of Futures Markets, 13, 743-752.

18. Grammatikos, T.,&Saunders, A. (1983). Stability and the hedging performance of foreign currency futures. Journal of Futures Markets, 3, 295-305.

19. Harvey, A. C., Ruiz, E. & Shephard, N. (1994), `Multivariate stochastic variance models', Review of Economic Studies 61(2), 247-264.

20. Howard, C. T., & D'Antonio, L. J. (1984). A risk-return measure of hedging effectiveness. Journal of Financial and Quantitative Analysis, 19, 101-112.

21. Hsin, C. W., Kuo, J., & Lee, C. F. (1994). A new measure to compare the hedging effectiveness of foreign currency futures versus options. Journal of Futures Markets, 14, 685-707.

22. Hull, J. (2000), Options, Futures, and Other Derivatives, Prentice Hall.

23. Johnson, L. L. (1960). The theory of hedging and speculation in commodity futures. Review of Economic Studies, 27, 139-151

24. Junkus, J. C., & Lee, C. F. (1985). Use of three index futures in hedging decisions. Journal of Futures Markets, 5, 201-222.

25. Kolb, R.W.,&Okunev, J. (1992). An empirical evaluation of the extended mean-Gini coefficient for futures hedging. Journal of Futures Markets, 12, 177-186.

26. Kroner, K. F., & Sultan, J. (1993). Time-varying distributions and dynamic hedging with foreign currency futures. Journal of Financial and Quantitative Analysis, 28, 535-551.

27. Lapan, H., Moschini, G., and Hanson, S. (1991). Production, Hedging and Speculative Decisions with Options and Futures Markets, American Journal of Agricultural Economics, 73(3), 66-74.

28. Lence, S. H. (1995). The economic value of minimum variance hedges. American Journal of Agricultural Economics, 77, 353-364.

29. Lien, D. H. D. & Tse, Y. K. (2002), `Some recent developments in futures hedging', Journal of Economic Surveys 16(1), 357-383.

30. Lien, D., & Luo, X. (1993a). Estimating the extended mean-Gini coefficient for futures hedging. Journal of Futures Markets, 13, 665-676.

31. Morrell, P. & Swan, W. (2006), `Airline jet fuel hedging: Theory and practice', Transport Reviews 26(6), 713-730

32. Myers, R. J., & Thompson, S. R. (1989). Generalized optimal hedge ratio estimation. American Journal of Agricultural Economics, 71, 858-868.

33. Nascimento J., Powell W. An Optimal Solution to a General Dynamic Jet Fuel Hedging Problem // Department of Operations Research and Financial Engineering

34. Sephton, P. S. (1993a). Hedging wheat and canola at the Winnipeg commodity exchange. Applied Financial Economics, 3, 67-72

35. Shalit, H. (1995). Mean-Gini hedging in futures markets. Journal of Futures Markets, 15, 617-635.

36. Tunaru, R. & Tan, M. (2002), Minimizing risk techniques for hedging jet fuel: an econometrics investigation. Discussion paper. Bussiness School, Middlesex University.

37. Wang L., Wissel J. Mean-variance hedging with oil futures // School of ORIE, Cornell University Ithaca, NY 14853 USA



Приложение 1

Результаты расчета уравнений регрессии для Kerosene-Type Jet Fuel Spot (в логарифмированном виде, значения приростов), NYMEX Crude Oil Futures 30 days (в логарифмированном виде, значения приростов), NYMEX Crude Oil Futures 60 days (в логарифмированном виде, значения приростов) с использованием программного пакета E-Views



Приложение 2

Результаты расчета уравнений регрессии для Kerosene-Type Jet Fuel Spot (в логарифмированном виде, значения приростов), NYMEX Crude Oil Futures 90 days (в логарифмированном виде, значения приростов), NYMEX Crude Oil Futures 180 days (в логарифмированном виде, значения приростов) с использованием программного пакета E-Views



Приложение 3

Результаты расчета уравнений регрессии для Kerosene-Type Jet Fuel Spot (значения приростов), NYMEX Crude Heating Futures 30 days (значения приростов), NYMEX Crude Heating Futures 60 days (значения приростов) с использованием программного пакета E-Views



Приложение 4

Результаты расчета уравнений регрессии для Kerosene-Type Jet Fuel Spot (значения приростов), NYMEX Heating Oil Futures 90 days (значения приростов), NYMEX Heating Oil Futures 180 days (значения приростов) с использованием программного пакета E-Views



Приложение 5

Результаты расчета Dickey-Fuller ADF и Phillips-Perron тестов для Kerosene-Type Jet Fuel Spot (в логарифмированном виде) с использованием программного пакета E-Views



Приложение 6

Результаты расчета Dickey-Fuller ADF и Phillips-Perron тестов для Kerosene-Type Jet Fuel Spot с использованием программного пакета E-Views



Приложение 7

Результаты расчета Dickey-Fuller ADF и Phillips-Perron тестов для NYMEX Crude Oil Futures 30 days (в логарифмированном виде) с использованием программного пакета E-Views



Приложение 8

Результаты расчета Dickey-Fuller ADF и Phillips-Perron тестов для NYMEX Crude Oil Futures 60 days (в логарифмированном виде) с использованием программного пакета E-Views



Приложение 9

Результаты расчета Dickey-Fuller ADF и Phillips-Perron тестов для NYMEX Crude Oil Futures 90 days (в логарифмированном виде) с использованием программного пакета E-Views



Приложение 10

Результаты расчета Dickey-Fuller ADF и Phillips-Perron тестов для NYMEX Crude Oil Futures 180 days (в логарифмированном виде) с использованием программного пакета E-Views



Приложение 11

Результаты расчета Dickey-Fuller ADF и Phillips-Perron тестов для NYMEX Crude Heating Futures 30 days с использованием программного пакета E-Views



Приложение 12

Результаты расчета Dickey-Fuller ADF и Phillips-Perron тестов для NYMEX Crude Heating Futures 60 days с использованием программного пакета E-Views



Приложение 13

Результаты расчета Dickey-Fuller ADF и Phillips-Perron тестов для NYMEX Crude Heating Futures 90 days с использованием программного пакета E-Views



Приложение 14

Результаты расчета Dickey-Fuller ADF и Phillips-Perron тестов для NYMEX Crude Heating Futures 180 days с использованием программного пакета E-Views



Приложение 15

Результаты расчета теста Йохансена для Kerosene-Type Jet Fuel Spot (в логарифмированном виде), NYMEX Crude Oil Futures 30 days (в логарифмированном виде) с использованием программного пакета E-Views



Приложение 16

Результаты расчета VAR-ECM модели для Kerosene-Type Jet Fuel Spot (в логарифмированном виде), NYMEX Crude Oil Futures 30 days (в логарифмированном виде) с использованием программного пакета E-Views



Приложение 17

Результаты расчета теста Йохансена для Kerosene-Type Jet Fuel Spot ((в логарифмированном виде), NYMEX Crude Oil Futures 60 days (в логарифмированном виде) с использованием программного пакета E-Views



Приложение 18

Результаты расчета VAR-ECM модели для Kerosene-Type Jet Fuel Spot (в логарифмированном виде), NYMEX Crude Oil Futures 60 days (в логарифмированном виде) с использованием программного пакета E-Views



Приложение 19

Результаты расчета теста Йохансена для Kerosene-Type Jet Fuel Spot (в логарифмированном виде), NYMEX Crude Oil Futures 90 days (в логарифмированном виде) с использованием программного пакета E-Views



Приложение 20

Результаты расчета VAR-ECM модели для Kerosene-Type Jet Fuel Spot (в логарифмированном виде), NYMEX Crude Oil Futures 90 days (в логарифмированном виде) с использованием программного пакета E-Views



Приложение 21

Результаты расчета теста Йохансена для Kerosene-Type Jet Fuel Spot (в логарифмированном виде), NYMEX Crude Oil Futures 180 days (в логарифмированном виде) с использованием программного пакета E-Views



Приложение 22

Результаты расчета VAR-ECM модели для Kerosene-Type Jet Fuel Spot (в логарифмированном виде), NYMEX Crude Oil Futures 180 days (в логарифмированном виде) с использованием программного пакета E-Views



Приложение 23

Результаты расчета теста Йохансена для Kerosene-Type Jet Fuel Spot, NYMEX Heating Oil Futures 30 days с использованием программного пакета E-Views



Приложение 24

Результаты расчета VAR-ECM модели для Kerosene-Type Jet Fuel Spot, NYMEX Heating Oil Futures 30 days с использованием программного пакета E-Views



Приложение 25

Результаты расчета теста Йохансена для Kerosene-Type Jet Fuel Spot, NYMEX Heating Oil Futures 60 days с использованием программного пакета E-Views



Приложение 26

Результаты расчета VAR-ECM модели для Kerosene-Type Jet Fuel Spot, NYMEX Heating Oil Futures 60 days с использованием программного пакета E-Views



Приложение 27

Результаты расчета теста Йохансена для Kerosene-Type Jet Fuel Spot, NYMEX Heating Oil Futures 90 days с использованием программного пакета E-Views



Приложение 28

Результаты расчета VAR-ECM модели для Kerosene-Type Jet Fuel Spot, NYMEX Heating Oil Futures 90 days с использованием программного пакета E-Views



Приложение 29

Результаты расчета теста Йохансена для Kerosene-Type Jet Fuel Spot, NYMEX Heating Oil Futures 180 days с использованием программного пакета E-Views



Приложение 30

Результаты расчета VAR-ECM модели для Kerosene-Type Jet Fuel Spot, NYMEX Heating Oil Futures 180 days с использованием программного пакета E-Views

Приложение 31

Таблица 7

Итоговые статистики для спот и фьючерсных доходностей

	RKSP	RCF30	RCF60	RCF90	RCF180	RHF30	RHF60	RHF90	RHF180
Mean	0.0001835	0.001751	0,001753	0,001747	0,001793	0,001843	0,001838	0,001843	0,001847
Median	0.004861	0.003380	0,003170	0,002994	0,003044	0,003565	0,003163	0,003169	0,002674
Maximum	0.212396	0.172191	0,167054	0,151796	0,138366	0,206089	0,122602	0,115785	0,225370
Minimum	-0.228181	-0.189564	-0,187437	-0,178337	-0,169086	-0,188666	-0,182108	-0,164789	-0,160643
Std. Dev	0.043608	0.040696	0,037278	0,035167	0,033413	0,039748	0,036774	0,0346676	0,034231
Skewness	-0.1759830	-0,413184	-0,447571	-0,479900	-0,488702	-0,107754	-0,229646	-0,282701	-0,156130
Kurtosis	5.254502	5,292002	4,989656	4,898616	4,859572	4,460171	4,128008	4,125633	6,179651
Jarque-Bera	214.7746	244,8665	196,3504	186,6957	182,0498	89,86493	61,18822	65,45257	421,0671
Prob. J.-B.	0.000000	0,000000	0,000000	0,000000	0,000000	0,000000	0,000000	0,000000	0,000000

Приложение 32

Расчет t-статистик Стьюдента для проверки гипотезы равенства матожидания фьючерсных цен нулю (проверка рядов на мартингальность) с использованием программного пакета E-Views



Приложение 33



Приложение 34

Рис. 12. Гистограмма доходностей NYMEX Crude Oil Futures 90 days.

Рис. 13. Гистограмма доходностей портфеля Kerosene-Type Jet Fuel Spot Price и NYMEX Crude Oil Futures 90 days, при условии



Приложение 35

Рис. 14. Гистограмма доходностей портфеля из Kerosene-Type Jet Fuel Spot Price и NYMEX Crude Oil Futures 30 days, при условии

Рис. 16. Гистограмма доходностей NYMEX Heating Oil Futures 30 days.



Приложение 36

Рис. 17. Гистограмма доходностей портфеля из Kerosene-Type Jet Fuel Spot Price и NYMEX Heating Oil Futures 30 days, при условии

Рис. 18. Гистограмма доходностей портфеля из Kerosene-Type Jet Fuel Spot Price и NYMEX Heating Oil Futures 30 days, при условии



Приложение 37

Рис. 19. Гистограмма доходностей NYMEX Heating Oil Futures 90 days.

Рис. 20. Гистограмма доходностей портфеля из Kerosene-Type Jet Fuel Spot Price и NYMEX Heating Oil Futures 90 days, при условии



Приложение 38

Рис. 21. Гистограмма доходностей портфеля из Kerosene-Type Jet Fuel Spot Price и NYMEX Heating Oil Futures 30 days, при условии

Размещено на Allbest.ru

...