Нарощення з використанням процентних ставок

Размещено на http://www.allbest.ru

НАРОЩЕННЯ З ВИКОРИСТАННЯМ ПРОЦЕНТНИХ СТАВОК



1. НАРОЩЕННЯ ПРИ ЗАСТОСУВАННІ МЕХАНІЗМУ ПРОСТОГО НАРАХУВАННЯ ПРОЦЕНТІВ

Визначення майбутньої вартості при застосуванні механізму простого нарахування процентів пов'язане з процесом нарощування вартості, що передбачає, з одного боку, спрямованість розрахунку у часі, - від сьогодні в майбутнє (від PV до FV), а з іншого боку, передбачає застосування тільки простого механізму розрахунку, тобто такого нарахування, що являє собою обчислення процента тільки від початкової суми (від суми PV) та подальшого приєднання процента до неї в кожному з періодів нарахування процентів (просте нарахування) на відміну від обчислення процента від попередньої суми (складне нарахування). У розділі 2 розглянуто механізми нарощення із застосуванням лише процентних ставок.

1.1 Просте нарахування, яке має цілу кількість періодів нарахування процентів

нарощення процент простий складний

Для розуміння і засвоєння механізму простого нарахування процентів (англ. simple interest) проаналізуємо й розв'яжемо модельну задачу 1 (умова - жирним шрифтом, пояснення до задачі - звичайним).

Ви вклали в комерційний банк 1000 грн на строк 4 роки під 10 % річних на умові щорічного простого нарахування процентів.

Це означає, що наприкінці кожного року Ви одержите в банку процент, що дорівнює 100 грн (1000 грн помножені на 0,1). Цей процент Ви зобов'язані забрати з банку. Наприкінці четвертого року Вам повернуть 1000 грн, вкладені на початку першого року. Внесок грошей у банк називається депозитний вклад (внесок). Потрібно знайти фактичну загальну суму грошей, що Ви одержите по закінченні чотирьох років.

Розв'язання модельної задачі 1 включає розгляд фінансової операції за періодами нарахування процентів.

В умові задачі період нарахування процентів - 1 рік.

ПЕРІОД 1 (перший рік): на початку першого року Ви поклали на депозит 1000 грн; наприкінці першого року Ви маєте на депозитному рахунку 1100 грн:

- розрахунок в періоді 1: 1000 грн + 1000 грн · 0,1 = = 1000 грн · (1+0,1) =1100 грн.

У періоді 1 дія: 1000 грн · 0,1 = 100 грн - це розрахунок Вашого процента за перший рік, який Ви одержуєте в банку на руки. Тому на початку другого року у Вас на депозитному рахунку залишається 1000 грн.

ПЕРІОД 2 (другий рік): наприкінці другого року Ви маєте на депозитному рахунку 1100 грн:

- розрахунок періоду 2: 1000 грн + 1000 грн · 0,1 = = 1000 грн · (1+0,1) = 1100 грн.

100 грн - Ваш процент за другий рік, який Ви забираєте з банку. На початку наступного, третього, року у Вас на депозитному рахунку залишаються вкладені Вами на депозит 1000 грн.

ПЕРІОД 3 (третій рік): наприкінці третього року Ви маєте на депозитному рахунку 1100 грн:

- розрахунок періоду 3: 1000 грн + 1000 грн · 0,1 = = 1000 грн · (1+0,1) = 1100 грн.

У кінці третього року сума 100 грн - Ваш процент за третій рік, який Ви одержуєте в банку на руки. На початку четвертого року у Вас на депозитному рахунку залишаються все ті ж 1000 грн.

ПЕРІОД 4 (четвертий рік): наприкінці четвертого року Ви маєте на депозитному рахунку 1100 грн:

- розрахунок періоду 4: 1000 грн + 1000 грн · 0,1 = = 1000 грн · (1+0,1) = 1100 грн.

У кінці четвертого року Ви одержуєте з банку на руки 1100 грн, які складаються з 1000 грн, вкладених Вами на початку першого року й 100 грн - процент за четвертий період нарахування процентів.

Отже, на початку першого року Ви вклали 1000 грн, а по закінченні чотирьох років Ви одержали фактично 1400 грн, тобто Вам повернули вкладені Вами 1000 грн і нарахували та віддали Вам в кожному із чотирьох років проценти по 100 грн, що в сумі становило 400 грн процентів.

Базою для розрахунку процентів при механізмі простого нарахування процентів є сума вкладу (внеску), що є сумою на початку фінансової операції (PV). МЕХАНІЗМ ПРОСТОГО НАРАХУВАННЯ ПРОЦЕНТІВ МАЄ ЗА УМОВУ НЕЗМІННІСТЬ БАЗИ (БАЗА - PV), ВІД ЯКОЇ ЙДЕ НАРАХУВАННЯ.

У фінансах вираз «механізм простого нарахування процентів» може мати декілька виразів-синонімів: «нарощення за простою процентною ставкою», «нарахування простих процентів», «проста нарощена вартість», «прості проценти», «проста позика», будь-які інші.

Під простим процентом розуміємо операцію нарахування процентів на теперішню вартість (вкладу, позики тощо) в кінці кожного періоду нарахування процентів. Період нарахування процентів зазначається умовами фінансової операції (може бути - місяць, квартал, рік тощо).

_____НЕОГОЛОШЕНЕ ПРАВИЛО_(повторно)___

ЯКЩО НЕ ЗАЗНАЧЕНО тривалості періоду нарахування процентів, то ПЕРІОД НАРАХУВАННЯ ПРОЦЕНТІВ - ОДИН РІК.

У модельній задачі 1 вкладені Вами в банк на депозит 1000 грн - це PV, отримані Вами фактично 1400 грн - це FV, процентна ставка дорівнює 10% річних - це i. Крім цих, відомих раніше (див. підрозділ 1), показників, які позначені символами PV, FV, i, з'являється показник, що відображає, скільки разів упродовж строку фінансової операції нараховувалися проценти. Про нього вже йшла мова у підрозділі 1.6 і цей показник позначили символом «n».

Оскільки прості проценти нараховуються тільки на початкову суму, проценти, що нараховані в кожному періоді нарахування процентів, дорівнюють PV · i.

Тому нарощена вартість грошей (FV) за n періодів нарахування процентів розраховується так:

FV=PV+=PV+PV·i·n=PV·(1+i·n), (1)

де PV•i•n - сума процентів за n періодів нарахування.

З аналізу поступового розв'язку модельної задачі 1 (розв'язку за періодами нарахування процентів), а також керуючись розрахунком (1), можемо записати формулу простого нарахування процентів:

FV = PV·(1+i·n), (2)

де FV - майбутня вартість у грошових одиницях (докладніше дивися початок підрозділу 1.6);

PV - початкова вартість у грошових одиницях (докладніше дивися початок підрозділу 1.6);

i - процентна ставка у кожному з періодів нарахування процентів n (але у формулі (2) процентна ставка i стає показником, що не має розмірності, тобто у формулі показник i використовується не у відсотках, а в частках, «як темп»);

n - кількість періодів нарахування процентів упродовж часу (строку) застосування ставки і; також, у кожному із цих періодів процентні ставки відповідають періодам та рівні між собою.

У запису формули (2) показник (1 + і · n) в лексиці фінансових розрахунків має свою окрему назву - множник нарощення простих процентів, або англ. - simple interest factor, звідки стає зрозумілою позначка -. Формулу (2) можемо записати у вигляді



FV = PV ·. (3)

Як правило, у фінансах використовують формулу (2), а із (3) працюють за наявності фінансових таблиць.

Формула (2) відображає 2-й варіант співвідношення між періодом нарахування процента і строком (стор. 53), а саме, що період нарахування процента менший за строк, і при цьому тривалість періоду кратна строку, тобто строк має цілу кількість періодів. Проте формула (2) використовується не тільки, коли кількість періодів нарахування процентів n є кількісно цілим показником. Формула (2) універсальна і використовується, коли n має цілу і дробову частини або коли n має дробове значення (див. далі пункти 1.2 та 1.4).

У модельній задачі 1 період нарахування процентів - 1 рік, строк - чотири роки, кількість періодів нарахування процентів (n) дорівнює цілій кількості періодів - чотирьом. Отже, можемо використати формулу (2) в розв'язуванні модельної задачі 1.

Використовуючи (2), розв'язок модельної задачі 1 стає коротеньким:

FV = 1000 грн • (1 + 0,1• 4) = 1400 грн.

Відповідь: у модельній задачі 1 фактична загальна сума грошей, що Ви одержите по закінченні чотирьох років, - буде FV = 1400 грн.

Формулу (2) використовують тоді і лише тоді, коли в кожному періоді нарахування процентів процентні ставки (і) рівні між собою (постійні ставки).

Коли процентні ставки в кожному з періодів нарахування відрізняються, тобто якщо процентна ставка змінна, а саме:

- впродовж періодів процентна ставка дорівнює ,

- впродовж періодів процентна ставка дорівнює ,

……………………………………………………………

- впродовж періодів процентна ставка дорівнює ,

то формула простого нарахування процентів набирає вигляду

FV=PV·(1+·+·+ …+·)=PV·(1+). (4)

Формула (4) - це формула для обчислення нарощеної суми грошей у разі використання схеми нарахування простих процентів при різних у періодах нарахування процентних ставках (змінних ставках).

Формула (4) відображає (див. стор. 53) 2-й варіант співвідношення між періодом нарахування процента і строком, а саме, що період нарахування процента менший за строк, і при цьому тривалість періоду кратна строку, тобто строк має цілу кількість періодів. Також вона працює і тоді, коли тривалість періоду нарахування процентів має дробовий показник або ціле число з дробом, тобто 3-й і 4-й варіанти співвідношення між періодом і строком.

1.2 Просте нарахування, яке має дробову кількість періодів нарахування процентів

Розглянемо варіант 4-й (див. стор. 53), коли період нарахування процента більший за строк фінансової операції.

Задано ставку і - річну і строк фінансової операції, що менший за 1 рік, виражений у днях або в місяцях, кварталами тощо.

У фінансовій звітності, а отже, і у фінансових розрахунках, як правило, за розрахунковий (звітний) період береться 1 рік.

Позначимо строк операції через t (time), тривалість року, виражену в тих самих одиницях, - через у (year). Тобто якщо t позначено місяцями, то і у позначається місяцями (у =12), а якщо t зазначено кількістю днів, то і у - кількість днів у році. У формулі (5) показник у фінансисти іноді називають часовою базою нарахування процентів (time basis). Тоді n = t / y, а формула (2) набирає вигляду

FV = PV·(1+ i ·). (5)

Якщо строк операції зазначено у днях, то у формулі (5) t і y можуть бути обчислені як точно, так і приблизно.

Для y застосовують дві часові бази: y = 360 днів (12 місяців по 30 днів) або y = 365, 366 днів. Якщо y = 360, то маємо звичайні, або комерційні, проценти (ordinary interest), а при використанні у розрахунках дійсної тривалості року (365, 366 днів) проводять розрахунок точних процентів (exact interest).

Показник t також можна вимірювати приблизно і точно. У першому випадку строк фінансової операції розраховується за умови, що в будь-якому місяці кількість днів дорівнює 30. А точна кількість днів розраховується шляхом підрахунку кількості днів між датою надання позики і датою її погашення. День видачі і день погашення вважаються за один день.

Залежно від вибору ступеня точності, що закладають у показники t і у, можуть бути різні способи розрахунків. У ряді країн існують такі способи розрахунків:

Англійська практика: t і у виміряні точно. Метод називається вирахуванням точних процентів із фактичним строком операції. Для визначення t користуються таблицею порядкових номерів днів у році, яка дає результат розрахунку кількості днів: з номера дня закінчення опера-ції віднімають день її початку, при цьому день видачі і день погашення позики вважаються за один день. Трива-лість року (у) - 365 (366) днів, а тривалість місяців року - згідно з календарним обчисленням. Цей метод дає найточніші результати. Він застосовується центральними банками багатьох країн, а також великими комерційними банками, наприклад, у Великобританії та США. У комерційних документах його позначають як 365/365 або АСТ/АСТ.

Французька практика: t виміряне точно, а у - приблизно. Метод називається нарахуванням звичайних (комерційних) процентів із фактичним строком операції. У цьому випадку проценти отримують більшими, ніж у першому, тому що знаменник (у) дробу дорівнює завжди 360 днів, а не 365 або 366, а чисельник (t) - тривалість місяців за днями - відповідає календарному обчисленню. Зазначимо, що при t більше 360 сума нарахованих процентів буде більшою, ніж передбачено річною ставкою. Наприклад, якщо t = 365, то n = 365/360 = 1,01389. Множник нарощення за 1 рік за умови, що і = 20 %, становитиме 1,20278. Як правило, за таким принципом проводять банківські операції і тому цей метод іноді називають банківським (Banker's Rule). Метод використовують комерційні банки в міждержавних операціях позики та на внутрішніх грошових ринках Франції, Бельгії, Швейцарії. Метод позначається як 365/360 або АСТ/360.

Німецька практика: t і у виміряні приблизно. Метод називається нарахуванням звичайних (комерційних) процентів із приблизним строком операції. Показник (у) дорівнює 360 днів, показник (t) дорівнює кількості днів із розрахунку 30 днів у кожному календарному місяці. Такий метод застосовують тоді, коли не вимагається великої точності, наприклад, при проміжних розрахунках із населенням. Він діє на практиці у комерційних банках Німеччини, Швеції, Данії. Метод позначається як 360/360.

Випадок, коли t виміряне приблизно, a у - точно, на практиці не використовується.

1.3 Українська практика простого нарахування з дробовою кількістю періодів нарахування процентів

В Україні на рівні інструктивних матеріалів НБУ розроблено, введено в дію та є обов'язковими до застосування методи простого нарахування процентів, причому при розрахунку цими методами не має значення тривалість строку фінансової операції. Звертаємо увагу, що цими методами проводять розрахунок кредитних і депозитних операцій банківські установи України. Щоб відрізняти «власне банківські методи» простого нарахування процентів від загальнофінансових розрахунків, будемо називати «власне банківські методи», що застосовуються в Україні, ТОЧНИМ НАРАХУВАННЯМ ПРОЦЕНТІВ.

Якщо необхідно розраховувати процент упродовж строку, як правило, що менше 1 року, то розраховується розмір точного процента. Точний процент обчислюється виходячи з точної кількості днів користування кредитом. В Україні нарахування точного процента за виданими кредитами (вкладеними депозитами) проводиться банками ЩОМІСЯЦЯ за формулою

, (6)

де - нараховані проценти за користування кредитом (депозитом);

- сума виданого кредиту (вкладеного депозиту);

- річна процентна ставка, що обумовлена в договорі кредитування (у депозитному договорі);

t - кількість днів користування кредитом (депозитом) у минулому місяці.

НБУ в «Правилах бухгалтерського обліку процентних і комісійних доходів і видатків» від 25.09.97 року № 316 дотримується трьох методів визначення кількості днів для розрахунку процентів:

а) метод “факт/факт”:

t - фактична кількість днів користування кредитом у минулому місяці;

365 (366) - фактична кількість днів у році;

б) метод “факт/360”:

t - фактична кількість днів користування кредитом у минулому місяці;

360 - умовна кількість днів у році для нарахування процентів;

в) метод “30/360”:

t - кількість днів у якому-небудь ПОВНОМУ місяці користування кредитом умовно дорівнює 30, у НЕПОВНОМУ місяці кількість днів користування кредитом береться за фактом;

360 - умовна кількість днів у році для нарахування процентів.

УВАГА: при розрахунку процентів за формулою (6) будь-яким із трьох методів ДЕНЬ ВИДАЧІ КРЕДИТУ ВКЛЮЧАЄТЬСЯ В РОЗРАХУНОК, А ДЕНЬ ПОГАШЕННЯ КРЕДИТУ - НЕ ВКЛЮЧАЄТЬСЯ.

Сплата розрахованих процентів проводиться відповідно до умов кредитного (депозитного) договору, в якому б, доречно було б, зафіксувати і метод.

Можливі такі варіанти:

- сплата процентів розраховується й проводиться щомісяця;

- сплата процентів розраховується й проводиться за обумовленими методами щокварталу або за півріччями;

- сплата процентів розраховується й проводиться наприкінці строку кредитування.

_Приклад 1___________________________________

Розглянемо практичне застосування формули (6) на прикладі розв'язання задачі.

Задача

Ваше підприємство взяло в банку позику в розмірі 100 тис. грн на строк із 08.01.12 по 05.05.12 під 30 %. Проценти потрібно сплачувати щомісяця. Розрахувати розмір процентів методами «факт/факт» і «30/360».

Для розрахунку використаємо формулу (6) і розраховуємо суму процентів щомісячно.

Розв'язування задачі

Метод «факт/факт»:

Процент за січень:

Процент за лютий:

Процент за березень:

Процент за квітень:

Процент за травень:

Метод «30/360»

Процент за січень:

Процент за лютий:

Процент за березень:

Процент за квітень:

Процент за травень:

1.4 Просте нарахування процентів, яке має цілу і дробову кількість періодів нарахування процентів

У цьому підрозділі мова йтиме про 3-й варіант (див. с. 53) співвідношення між періодом нарахування процента і строком.

Якщо процентні ставки і в кожному з n періодів нарахування рівні між собою, то формула простого нарахування процентів у разі, коли n має цілу і дробову кількість періодів нарахування процентів, є формулою (2). Наприклад, період нарахування процентів - 1 рік, а строк - 5 років і 5 місяців, таким чином, n дорівнює 5 періодів нарахування. Підставляючи такий показник n (число ціле з дробом) у формулу (2), одержимо майбутню вартість при простому нарахуванні процентів. Взагалі, формули (2) і (5) - це формули сестри-близнюки. Формула (5) по суті є формулою (2), тільки в ній n = t / y.

Якщо процентні ставки і в кожному з n періодів нарахування не рівні між собою, то формула простого нарахування процентів в операції, де n має цілу і дробову кількість періодів нарахування, є формулою (4). Підставляючи у формулу (4) показники n, що відповідають своїм ставкам, одержимо результат обчислення операції, де і ставки різні, і проміжки часу, де вони діють, теж відрізняються.

1.5 Розрахунок процента при застосуванні механізму простого нарахування процентів

Раніше згадувалося, що різницею між майбутньою та теперішньою вартостями є процент (позначимо його І від англ. Interest), і нагадуємо, що зазначили механізм його розрахунку як різницю (FV - PV).

У фінансових розрахунках може бути корисним розрахунок суми процента не за схемою (FV - PV), а за схемою, коли відомим є, поряд з кількістю періодів (n) та ставкою процента (і) , або тільки показник PV, або тільки показник FV.

У цьому підрозділі розглядалася схема розрахунку - нарощення від PV до FV, при якому малося на увазі, що початкова сума PV - відома величина. У цьому випадку розрахунок суми процента з використанням відомих показників PV, i, n має вигляд

I_si =PV•i•n, (7)

де I_si - процент (сума грошей), розрахований із використанням простої процентної ставки. Позначка I_si - від англ. Interest of simple interest. Формула (7) виникає, коли в схему (FV - PV) замість FV підставляємо вираз із формули (2).

Використовуючи формулу (4), маємо

= PV·(·+·+ …+·)=PV·. (8)

За допомогою формули (5) одержуємо

= PV· i ·. (9)

А формула (6) і є сама по собі формулою розрахунку процента з використанням простої процентної ставки:

=. (6)



2. НАРОЩЕННЯ ПРИ ЗАСТОСУВАННІ МЕХАНІЗМУ СКЛАДНОГО НАРАХУВАННЯ ПРОЦЕНТІВ

2.1 Складне нарахування, яке має цілу кількість періодів нарахування процентів

Для розуміння і засвоєння механізму складного нарахування процентів (англ. compound interest) проаналізуємо й розв'яжемо модельну задачу 2 (умова - жирним шрифтом, пояснення до задачі - звичайним).

Ви вклали в комерційний банк 1000 грн на строк 4 роки під 10 % річних на умові щорічного складного нарахування процентів. Внесок (вклад) грошей на від-критий у банку на своє ім'я рахунок має назву «депозит-ний вклад». Відкриття депозитного рахунку на умові щорічного складного нарахування процентів означає, що наприкінці кожного року Ви не будете одержувати у банку проценти. Ці проценти Ви будете залишати наприкінці кожного року на своєму рахунку, і на них будуть нараховуватися проценти таким же чином, як і на вкладені перші 1000 грн. Наприкінці четвертого року Вам повернуть Ваші 1000 грн, вкладені на початку першого року, та проценти, нараховані за всі 4 роки. Потрібно знайти фактичну загальну суму грошей, що Ви одержите по закінченні чотирьох років.

Розв'язання модельної задачі 2 включає розгляд фінансової операції за періодами нарахування процентів.

В умові задачі період нарахування процентів - рік.

ПЕРІОД 1 (перший рік): на початку першого року Ви поклали на депозит 1000 грн; наприкінці першого року Ви маєте на депозитному рахунку 1100 грн:

- розрахунок в періоді 1: 1000 грн + 1000 грн · 0,1 = = 1000 грн · (1+0,1) =1100 грн.

Дія: 1000 грн · 0,1 = 100 грн - це розрахунок Вашого процента за перший рік. Ваш процент за перший рік залишається в банку на Вашому депозитному рахунку. На початку другого року у Вас на депозитному рахунку вже 1100 грн.

ПЕРІОД 2 (другий рік): наприкінці другого року Ви маєте на депозитному рахунку 1210 грн:

- розрахунок періоду 2: 1100 грн + 1100 грн · 0,1 = = 1100 грн · (1+0,1) = 1210 грн.

Цей розрахунок можна провести інакше:

1000 грн · (1+0,1) · (1+0,1) = 1000 грн · (1+0,1)² = = 1000 грн · 1,21 = 1210 грн.

На початку третього року у Вас на депозитному рахунку вже 1210 грн.

ПЕРІОД 3 (третій рік): наприкінці третього року Ви маєте на депозитному рахунку 1331 грн:

- розрахунок періоду 3: 1210 грн + 1210 грн · 0,1 = = 1210 грн · (1+0,1) = 1331 грн.

Цей розрахунок можна провести інакше:

1000 грн·(1+0,1)·(1+0,1)·(1+0,1) = 1000 грн · (1+0,1) ³ = = 1000 грн ·1,331 = 1331 грн.

На початку четвертого року у Вас на депозитному рахунку вже 1331 грн.

ПЕРІОД 4 (четвертий рік): наприкінці четвертого року Ви маєте на депозитному рахунку 1464,1 грн:

- розрахунок періоду 4: 1331 грн + 1331 грн · 0,1 = = 1331 грн · (1+0,1) = 1464,1 грн.

Цей розрахунок можна провести інакше:

1000 грн · (1+0,1)·(1+0,1)·(1+0,1)·(1+0,1) =

= 1000 грн · (1+0,1) ⁴ = 1000 грн · 1,4641 = 1464,1 грн.

Наприкінці четвертого року Ви одержите з банку на руки 1464,1 грн, після чого депозитний рахунок закривається і фінансова операція закінчується.

Отже, на початку першого року Ви вклали 1000 грн, а по закінченні чотирьох років Ви одержали фактично 1464,1 грн, тобто Вам повернули вкладені Вами 1000 грн і нарахували в кожному із чотирьох років проценти за складною схемою (нарахування процентів на процент), що в сумі становило 464,1 грн процентів.

Розрахунок за механізмом складного нарахування процентів може мати інші назви-синоніми: такі, як «нарахування процентів на проценти», «нарощення за складною процентною ставкою», «нарахування складних процентів», «складна нарощена вартість», «складні проценти», «складна позика», будь-які інші.

Механізм нарахування складних процентів має послідовно змінну базу для розрахунку. Застосування змінної бази означає, що в наступному періоді за базу береться сума, отримана в попередньому періоді нарахування.

Процедура приєднання нарахованих процентів до попередньої суми може називатися їх реінвестуванням, або капіталізацією.

Нарощення з використанням механізму складного нарахування процентів може мати назву «компаундінг» або «компандування» (англ. compound), або «мультиплікація».

У модельній задачі 2 вкладені Вами на депозит 1000 грн - це PV, отримані Вами фактично 1464,1 грн - це FV, процентна ставка дорівнює 10% річних - це i, кількість разів (кількість періодів) нарахування процентів - це n.

З аналізу етапів модельної задачі 2 можемо записати формулу складного нарахування процентів:

FV = PV · (1+ і), (10)

де FV - майбутня вартість у грошових одиницях (докладніше дивися початок підрозділу 1.6);

PV - початкова вартість у грошових одиницях (докладніше дивися початок підрозділу 1.6);

i - процентна ставка у кожному з періодів нарахування процентів n (але у формулі (10) процентна ставка i стає показником, що не має розмірності, тобто у формулі показник i використовується не у відсотках, а в частках, «як темп»);

n - кількість періодів нарахування процентів упродовж часу (строку) застосування ставки і; також у кожному з цих періодів процентні ставки рівні між собою.

Показник (1+ і ·n) у формулі (2) та показник (1+ і)ⁿ із формули (10) називаються в деяких українських навчальних виданнях мультиплікуючими множниками. В інших джерелах їх називають коефіцієнтами, або множниками нарощення. Їх чисельні показники для різних значень ставки і і числа періодів п табульовані (заздалегідь розраховані) і наводяться в так званих фінансових таблицях. Існують множники механізмів простого і склад-ного нарахування процентів. Про множник нарощення простих процентів уже мова йшла - формула (3). Показник (1+ і)ⁿ на відміну від по суті є множником нарощення за складними процентами, або англ. - compound interest factor, звідки і походить позначка множника -. Через множник складного нарощення формулу (10) можна переписати у вигляді

FV = PV ·. (11)

Після цього досить лише виписати з фінансової таблиці значення множника і підставити у формулу (11).

Мультиплікуючий (мультиплікативний) множник при будь-якому механізмі нарахування процентів показує, у скільки разів збільшується початкова сума грошей при заданих процентній ставці і і кількості періодів нарощення процентів п. До сучасного широкого впровадження комп'ютерів і під час відсутності ручних калькуляторів таблиці цих множників користувалися широкою популярністю у фінансових установах. Тепер необхідність у них практично відпала.

Але використання множників може стати в пригоді при записі формули у випадку, якщо механізм нарахування процентів змінюється впродовж строку фінансової опера-ції, також змінюється процентна ставка і, також, зміню-ється період нарахування процентів. У такому разі треба визначити свої множники нарощення або на які потрібно помножити все, що отримано на попередньому етапі. У підсумку формула для визначення нарощеної суми при будь-якій зміні способів нарахування процентів, процентних ставок і періодів нарахування набирає вигляду

. (12)

На практиці у фінансових обчисленнях в основному використовують формулу (10), а не (12).

На відміну від формули простого нарахування процентів (2), яка є прийнятною для всіх варіантів співвідношення між періодом нарахування процентів і строком, формула (10) відображає виключно тільки 2-й варіант співвідношення між періодом нарахування процента і строком (див. с. 53), а саме, що період нарахування процента менший за строк, і при цьому тривалість періоду кратна строку, тобто строк має цілу кількість періодів.

При застосуванні механізму складного нарахування процентів за 3-м та 4-м варіантами (див. с. 53 - 54), тобто, коли n має цілу і дробову частини або тільки дробову, в цих випадках використовують формули не у вигляді (10), а інші формули (див. пункти 2 та 3).

У модельній задачі 2 період нарахування процентів - 1 рік, строк - чотири роки, кількість періодів нарахування процентів (n) дорівнює цілій кількості періодів - чотирьом. Отже, можемо використати формулу (10) в розв'язуванні модельної задачі

Використовуючи (10), розв'язання модельної задачі 2 набирає лаконічного вигляду

Відповідь: у модельній задачі 2 фактична загальна сума грошей, що Ви одержите по закінченні чотирьох років, буде FV = 1464,1 грн.

Формулу (10) використовують тоді, коли:

- періоди нарахування процентів (n) рівні між собою;

- у кожному періоді нарахування процентів (n), процентні ставки (і) рівні між собою (постійні ставки).

Коли процентні ставки в кожному з періодів нарахування відрізняються, а періоди нарахування процентів згруповані за ознакою рівності між собою (n₁, n₂, …, n_k), тобто якщо процентна ставка змінна, а саме:

- впродовж n₁ періодів процентна ставка дорівнює i₁,

- впродовж n₂ періодів процентна ставка дорівнює i₂,

……………………………………………………………

- впродовж n_k періодів процентна ставка дорівнює i_k,

то формула складного нарахування процентів набирає вигляду

(13)

де і, і,…, і- процентні ставки за періоди n, n,…, n відповідно.

_Приклад 2___________________________________

Задача

Підприємство одержало кредит у сумі 100 млн грн строком на 6 років за схемою нарахування складних процентів на таких умовах :

- за перший рік процентна ставка становить 10 %;

- для другого і третього років передбачена надбавка до ставки в розмірі 2 %;

- для четвертого і наступного років надбавка до ставки третього року - 3 %. Визначити суму боргу наприкінці строку позики.

Розв'язання задачі

Використовуємо формулу (10).

FV = 100 ·(1+0,1)·(1+0,12)·(1+ 0,15)= 209,85 (млн грн).

Відповідь: розмір боргу наприкінці строку позики дорівнює 209,85 млн грн.

Як видно з розв'язування модельних задач 1 і 2, застосування різних механізмів нарахування процентів (за всіх інших рівних умов) приводить при однакових розмірах внеску (сума внеску - 1000 грн) до зовсім різних кінцевих сум грошей. Схема простих процентів становить, у підсумку 1400 грн, а схема складних процентів - 1464,1 грн. Бачимо, що схема складних процентів дає більшу майбутню вартість.

_________НЕОГОЛОШЕНЕ ПРАВИЛО__________

У науковій та навчальній літературі, ЯКЩО НЕ ЗАЗНАЧЕНО (НЕ ОБУМОВЛЕНО) МЕХАНІЗМ НАРАХУВАННЯ ПРОЦЕНТІВ (СКЛАДНИЙ ЧИ ПРОСТИЙ), ТО ЗАВЖДИ РОЗРАХУНОК ПРОВОДЯТЬ ЗА СКЛАДНОЮ СХЕМОЮ НАРАХУВАННЯ ПРОЦЕНТІВ.

У науковій економічній та фінансовій літературі, а також і в навчальній цим правилом користуються завжди, АЛЕ В БАНКІВСЬКІЙ ДІЯЛЬНОСТІ, на практиці, при оформленні депозитних договорів, якщо не обумовлено механізм, то він простий, а при оформленні кредитних договорів може бути навпаки. При оформленні договорів (кредитних, депозитних) пропонується про цей момент домовитись і записати в текст договору.

Закріпимо отримані знання на прикладі розв'язання такої задачі (приклад 3).

_Приклад 3___________________________________

Задача

Розрахувати нарощену суму з початкової суми 2 млн грн при розміщенні її в банку на строк 10 років на умовах нарахування: а) простих і б) складних процентів, якщо ставка 15 %, а періоди нарощення (нарахування) такі: квартал, півріччя, один рік, 5 років, 10 років.

Підготовчий аналіз перед розв'язуванням задачі

Для вирішення поставленого завдання потрібно зробити 10 розрахунків і одержати 10 значень величини FV, п'ять розрахунків за механізмом простого нарахування процентів і п'ять - за механізмом складного (відповідно до кількості періодів нарахування). В умовах задачі не обумовлено, яка ставка: річна чи інша, процентна чи облікова? За неоголошеними правилами знаємо, що ставка 15 % - річна і процентна.

Розв'язування задачі

Механізм нарахування процентів - простий. Використовуємо формулу (2):

1) щоквартальне нарахування процентів:

спочатку підготуємо дані, що входять до формули (2), за умовами задачі PV = 2 млн грн, n розраховуємо знаючи, що рік має 4 квартали, а загальна кількість років 10. Отже, кількість періодів нарахування n = 40, процентна ставка в умові задачі дається, як річна, але для періоду нарахування - кварталу - процентна ставка і = 0,15/4. Підготовлені значення підставимо у формулу (2):

FV = PV·(1+ i·n) = 2 млн грн · (1 + · 40) = 5 млн грн;

2) піврічне нарахування процентів:

n розраховуємо знаючи, що рік має 2 півріччя, а загальна кількість років 10. Отже, кількість періодів нарахування (кількість кварталів) n = 20, процентна ставка в умові задачі дається як річна, отже, для півріччя процентна ставка i = 0,15/ Підготовлені значення підставимо у формулу (2), одержимо

FV = PV·(1+ i·n) = 2 млн грн · (1 + · 20) = 5 млн грн;

3) річне нарахування процентів:

n = 10, i = 0,15. Підготовлені значення підставимо у формулу (2), одержимо

FV = PV·(1+ i·n) = 2 млн грн · (1 + 0,15·10) = 5 млн грн;

4) нарахування процентів один раз на 5 років:

n розраховуємо знаючи, що в 10 роках вміщається два періоди по 5 років. Отже, кількість періодів нарахування n = 2, процентна ставка в умові задачі дається як річна, отже, для п'ятирічного періоду нарахування процентна ставка i = 0,15·5. Підготовлені значення підставимо у формулу (2), одержимо

FV = PV·(1+ i·n) = 2 млн грн · (1 + 0,15·5·2) = 5 млн грн.;

5) нарахування процентів один раз на 10 років:

n розраховуємо знаючи, що в 10 роках вміщується один період із 10 років. Отже, кількість періодів нарахування n = 1, процентна ставка в умові задачі дається як річна, отже, для десятирічного періоду процентна ставка i = 0,15·10. Підготовлені значення підставимо у формулу (2), одержимо

FV = PV·(1+ i·n) = 2 млн грн · (1 + 0,15·10·1) = 5 млн грн.

Механізм нарахування процентів - складний.

Використовуємо формулу (10):

1) щоквартальне нарахування процентів:

Для початку підготуємо дані, що входять до формули (10), за умовами задачі PV = 2 млн грн, n розраховуємо знаючи, що рік має 4 квартали, а загальна кількість років 10. Отже, кількість періодів нарахування (кількість кварталів) n = 40, процентна ставка в умові задачі дається як річна, але для кварталу процентна ставка і = 0,15/4. Підготовлені значення підставимо у формулу (10), одержимо

FV = PV· (1+ і)= 2 млн грн · (1 + )= 8,721 млн грн;

2) піврічне нарахування процентів:

n розраховуємо знаючи, що рік має 2 півріччя, а загальна кількість років 10. Отже, кількість періодів нарахування (кількість півріч) n = 20, процентна ставка в умові задачі дається як річна, отже, для півріччя процентна ставка i = 0,15/ Підготовлені значення підставимо у формулу (10), одержимо

FV = PV· (1+ і)= 2 млн грн · (1 + )= 8,496 млн грн;

3) річне нарахування процентів:

n = 10, i = 0,15. Підготовлені значення підставимо у формулу (10), одержимо

FV = PV· (1+ і)= 2 млн грн · (1 + 0,15)= 8,091 млн грн;

4) нарахування процентів один раз на 5 років:

n розраховуємо знаючи, що в 10 роках є два періоди по 5 років. Отже, кількість періодів нарахування n = 2, процентна ставка в умові задачі дається як річна, отже, для п'ятирічного періоду процентна ставка i = 0,15 · 5. Підготовлені значення підставимо у формулу (10), одержимо

FV =PV· (1+ і)= 2 млн грн·(1 + 0,15·5)= 6,125 млн грн;

5) нарахування процентів раз за 10 років:

n розраховуємо знаючи, що в 10 роках вміщується один період із 10 років. Отже, кількість періодів нарахування n = 1, процентна ставка в умові задачі дається як річна, отже, для десятилітнього періоду процентна ставка i = 0,15·10. Підготовлені значення підставимо у формулу (10), одержимо

FV =PV· (1+ і)= 2 млн грн·(1 + 0,15·10)= 5,000 млн грн;

Аналізуючи розв'язок задачі з прикладу 3, який надано вище, можна зазначити таке: використання у фінансових розрахунках механізму простих і складних процентів дає неоднакові кінцеві результати.

ВИСНОВОК 1. При використанні механізму простого нарахування процентів поділ строку на більшу кількість періодів нарахування не впливає на розмір нарощеної суми. Нарощена сума FV не змінюється, якщо в межах строку Т кількість періодів нарахування n збільшується або зменшується.

ВИСНОВОК При використанні механізму склад-ного нарахування процентів поділ строку на періоди нарахування впливає на розмір нарощеної суми. Поділ строку Т на більшу кількість періодів нарахування при застосуванні механізму нарахування складних процентів забезпечує більший розмір нарощеної суми. Як бачимо із попередньої задачі, найбільшу «прибавку» в нарощенні дає перехід від n = 1 до n = Подальше зростання n дає меншу суму нарощення стосовно попередньої.

ВИСНОВОК 3. Порівнюючи механізми простого та складного нарахуваннь процентів із позиції розрахованих результатів, можемо констатувати: механізм простого нарахування процентів завжди дає результат, який дорівнює результату за механізмом складного нарахування процентів при кількості періодів нарахування n = 1 (звісно, за умови тотожності показників PV, Т, і, тривалості періодів нарахування процентів). Прогляньте у прикладі 3 результати всіх розрахунків за механізмом простого нарахування процентів та порівняйте їх із останнім розрахунком, який проведено за механізмом складного нарахування процентів (розрахунок 5) нарахування процентів раз на 10 років). Нарахування за механізмом простого нарахування процентів - це той самий розрахунок, що й за механізмом складного нарахування процентів за умови, що період нарахування процентів лише один і завжди один. Отже, можемо зазначити, що при механізмі простого нарахування процентів n охоплює та являє собою весь строк Т, тобто що при механізмі простого нарахування процентів n = Т. Тоді формула (2) FV = PV·(1+ i·n) може мати і такий запис:

FV = PV·(1+ i·Т), (14)

де FV - майбутня вартість у грошових одиницях;

PV - початкова вартість у грошових одиницях;

i - річна процентна ставка, яка застосовується та не змінюється впродовж строку Т ;

Т - строк фінансової операції (в роках), або, що одне й те саме, строк (у роках) застосовування річної ставки і.

2.2 Складне нарахування процентів: ціла і дробова кількість періодів нарахування процентів

Якщо період нарахування процентів менший за строк фінансової операції і при цьому тривалість періоду не кратна строку, тобто строк має цілу кількість періодів і ще часинку наступного (цілу і дробову) - (3-й варіант, див. с. 51), то застосовується не формула (10), а інша, що походить від (10), формула, яку далі будемо називати «формула змішаного нарахування процентів».

При нарахуванні складних процентів за цілу й дробову кількість періодів нарахування процентів застосовується так звана змішана схема, що передбачає нарахування складних процентів за ціле число періодів нарахування й простих процентів за дробову частину періоду нарахування. Розглянемо механізм змішаного нарахування процентів за допомогою розв'язування модельної задачі 3.

Умови модельної задачі 3.

Банк видав позику (кредит) у розмірі 500 тис. грн на строк 2 роки й 4 місяці. Процентна ставка - 40 %. Яку суму поверне боржник банку наприкінці строку при періодах нарахування процентів: а) щорічних; б) за півріччями; в) щоквартальних?

Розв'язування модельної задачі 3.

Розглядаємо фінансову операцію за періодами нарахування процентів. Ставка - річна, механізм нарахування - складний (згідно з неоголошеними правилами).

Нарахування процентів щорічне.

ПЕРІОД 1 (перший рік): на початку першого року видано кредит 500 тис. грн; у кінці першого року у позичальника перед банком борг зростає на суму процента, розрахунок в періоді 1: 500 тис. грн + 500 тис. грн · 0,4 = = 500 тис. грн · (1+0,4) = 700 тис. грн.

У кінці першого періоду (першого року) борг перед банком 700 тис. грн, ця ж сума є базою для нарахування процентів у другому періоді.

ПЕРІОД 2 (другий рік): на початку другого року борг перед банком 700 тис. грн; у кінці другого року у позичальника перед банком борг зростає на суму процента, розрахованого від бази, - 700 тис. грн. Розрахунок у межах періоду 2: 700 тис. грн + 700 тис. грн · 0,4 = = 700 тис. грн · (1+0,4) = 980 тис. грн.

Вищепроведений розрахунок можна записати інакше:

500 тис. грн·(1+0,4)·(1+0,4) = 500 тис. грн · (1+0,4) ² = = 500 тис. грн · 1,96 = 980 тис. грн.

Отже, на кінець другого року борг перед банком 980 тис. грн. Розрахована сума є базою для розрахунку процента у наступному періоді.

ПЕРІОД 3 (третій рік): на початку третього року борг перед банком 980 тис. грн. Третій рік, (період нарахування) - неповний, а частина року - 4 місяці. Протягом 4 місяців нарахування процентів відбувається на суму 980 тис. грн. Звісно, якби період нарахування був повним, то розмір процента був би таким: 980 тис. грн 0,4 = 352 тис. грн, але період нарахування становить лише частину від повного періоду (року), а саме 4/1 Отже, за ці 4 місяці і процент буде не 352 тис. грн, а 4/12 від 352 тис. грн. Запис розрахунку процента за 4 місяці має такий вигляд: 980 тис. грн · 0,4 · 4/12 = 130,7 тис. грн. Тоді сума боргу перед банком на кінець строку становить: 980 тис. грн + 980 тис. грн · 0,4 · 4/12 = 1110,7 тис. грн.

Цей розрахунок можна записати інакше:

500 тис. грн·(1+0,4)·(1+0,4)·(1+0,4·4/12) = 1110,7 тис. грн.

Розрахунок можна записати також і так:

500 тис. грн · (1+0,4)² · (1+0,4·4/12) = 1110,7 тис. грн.

При щорічному нарахуванні процентів банк очікує на повернення 1110,7 тис. грн.

У проведеному розрахунку кількість періодів нарахування процентів становить n = 2 цілих 4/12 року. Використовуючи формулу (10), за умов третьої модельної задачі 3 розрахунок записується так:

FV = 500 тис. грн ·= 1110,7 тис. грн.

Нарахування процентів за півріччями

ПЕРІОД 1 (перше півріччя): на початку першого півріччя видано кредит 500 тис. грн; у кінці першого півріччя у позичальника перед банком борг зростає на суму процента, розрахунок у періоді 1: 500 тис. грн + + 500 тис. грн · 0,4/2 = 500 тис. грн·(1+0,4/2) = 600 тис. грн.

У кінці першого періоду (першого півріччя) борг перед банком 600 тис. грн, ця ж сума є базою для нарахування процентів у другому періоді.

ПЕРІОД 2 (друге півріччя): на початку другого півріччя борг перед банком 600 тис. грн; у кінці другого півріччя у позичальника перед банком борг зростає на суму процента, розрахованого від бази, - 600 тис. грн. Розрахунок у межах періоду 2: 600 тис. грн + 600 тис. грн 0,4/2 = 600 тис. грн · (1+0,4/2) = 720 тис. грн.

Цей розрахунок можна записати інакше:

500 тис. грн. · (1+0,4/2) · (1+0,4/2) = 500 тис. грн (1+0,4/2) ² = 500 тис. грн · 1,44 = 720 тис. грн.

На кінець другого півріччя борг перед банком 720 тис. грн.

ПЕРІОД 3 (третє півріччя): на початку третього півріччя борг перед банком 720 тис. грн; у кінці третього півріччя у позичальника перед банком борг зростає на суму процента, розрахованого від бази, - 720 тис. грн. Розрахунок у межах періоду 3: 720 тис. грн + 720 тис. грн 0,4/2 = 720 тис. грн · (1+0,4/2) = 720 тис. грн.

Цей розрахунок можна записати інакше:



500 тис. грн · (1+0,4/2) · (1+0,4/2) · (1+0,4/2) = = 500 тис. грн·(1+0,4/2)³ = 500 тис. грн·1,728 = 864 тис. грн.

На кінець третього півріччя борг 864 тис. грн.

ПЕРІОД 4 (четверте півріччя):

500 тис. грн · (1+0,4/2) · (1+0,4/2) · (1+0,4/2) · (1+0,4/2) = = 500 тис. грн · (1+0,4/2)⁴ = 500 тис. грн · 2,0736 = = 1036,8 тис. грн.

На кінець четвертого півріччя борг перед банком 1036,8 тис. грн.

Чотири півріччя - це два роки. Залишилося 4 місяці наступного півріччя.

ПЕРІОД 5 (п'яте півріччя): на початку п'ятого півріччя борг перед банком 1036,4 тис. грн. П'ятий період нарахування - неповний, а лише частина півріччя - чотири місяці з шести. Упродовж 4 місяців нарахування процентів відбувається на суму 1036,8 тис. грн. Звісно, якби період нарахування був повним, то розмір процента був би таким: 1036,8 тис. грн · 0,4/2 = 207,36 тис. грн, але період нарахування становить лише частину від повного періоду (півріччя), а саме 4/6. Отже, за ці 4 місяці і процент буде не 207,36 тис. грн, а 4/6 від 207,36 тис. грн. Запис розрахунку процента за 4 місяці має такий вигляд: 1036,8 тис. грн · 0,4/2 · 4/6 = 138,24 тис. грн. Тоді сума боргу перед банком на кінець строку становить:

1036,8 тис. грн. + 1036,8 тис. грн · 0,4/2 · 4/6 = = 1175,04 тис.грн.

Розрахунок можна записати інакше:

500 тис. грн (1+0,4/2) · (1+0,4/2) · (1+0,4/2) · (1+0,4/2) · (1+0,4/2·4/6) = = 1175,04 тис. грн.



Розрахунок можна записати також і так:

500 тис. грн · (1+0,4/2)· (1+0,4/2·4/6) = 1175,04 тис. грн.

При піврічному нарахуванні процентів банк очікує на повернення 1175,04 тис. грн.

У проведеному розрахунку:

- кількість періодів нарахування процентів становить n = 4 цілих 4/6 півріччя;

- процентна ставка в кожному з періодів нарахування процентів і = 0,4/

За аналогією з (10) розрахунок записується

FV = 500 тис. грн · = 1175,04 тис. грн.

Нарахування процентів щоквартальне

ПЕРІОД 1 (перший квартал): на початку першого кварталу видано кредит 500 тис. грн; у кінці першого кварталу у позичальника перед банком борг зростає на суму процента, розрахунок у періоді 1: 500 тис. грн + +500 тис. грн · 0,4/4 = 500 тис. грн ·(1+0,4/4) = 550 тис. грн.

У кінці першого періоду (першого кварталу) борг перед банком 550 тис. грн, ця ж сума є базою для нарахування процентів у другому періоді.

ПЕРІОД 2 (другий квартал): на початку другого кварталу борг перед банком 550 тис. грн; у кінці другого кварталу у позичальника перед банком борг зростає на суму процента, розрахованого від бази, - 550 тис. грн. Розрахунок у межах періоду 2: 550 тис. грн + 550 тис. грнЧ Ч 0,4/4= 550 тис. грн · (1+0,4/4) = 605 тис. грн.

Цей розрахунок можна записати інакше:

500 тис. грн · (1+0,4/4) · (1+0,4/4) = 500 тис. грн (1+0,4/4) ² = 500 тис. грн · 1,21 = 605 тис. грн.

На кінець другого півріччя борг перед банком 605 тис. грн.

ПЕРІОД 3 (третій квартал), розрахунок:

500 тис. грн · (1+0,4/4) · (1+0,4/4) · (1+0,4/4) = = 500 тис. грн · (1+0,4/4)³ = 500 тис. грн · 1,331 = = 665,5 тис. грн.

На кінець третього півріччя борг - 665,5 тис. грн.

Загалом, у модельній задачі 3, яка розв'язується, за умови щоквартального нарахування процентів періодів нарахування процентів десять відповідно до кількості кварталів і в тому числі дев'ять повних (цілих) кварталів і один останній, десятий, не повний, який має один місяць із трьох (бо квартал, як відомо, має у своєму складі три місяці).

ПЕРІОД 9 (дев'ятий квартал), розрахунок за логікою попередніх періодів:

500 тис. грн · (1+0,4/4) · (1+0,4/4) · (1+0,4/4) · (1+0,4/4) Ч

Ч (1+0,4/4) · (1+0,4/4) · (1+0,4/4) · (1+0,4/4) · (1+0,4/4) =

= 500 тис. грн · (1+0,4/4)⁹ = 500 тис. грн · 2,357947691 = = 1178,974 тис. грн.

ПЕРІОД 10 (десятий квартал), розрахунок розглянемо знову детально. На початку десятого кварталу борг перед банком 1178,974 тис. грн. Десятий період нарахування - неповний, а лише частина кварталу - один місяць із трьох. Упродовж цього 1-го місяця нарахування процентів відбувається на суму 1036,8 тис. грн. Звичайно, якби період нарахування був повним (3 місяці), то розмір процента був би таким: 1178,974 тис. грн · 0,4/4 = = 117,90 тис. грн, але період нарахування становить лише частину від повного періоду (кварталу), а саме 1/3. Отже, за один місяць процент буде не 117,90 тис. грн, а 1/3 від 117,90 тис. грн. Запис розрахунку процента за один місяць має такий вигляд: 1178,974 тис. грн Ч 0,4/4 · 1/3 = = 39,30 тис. грн. Тоді сума боргу перед банком на кінець строку становить 1178,974 тис. грн + 1178,974 тис. грн · · 0,4/4 · 1/3 = 1218,273 тис. грн.

...