Нарощення з використанням процентних ставок

Розрахунок можна записати інакше:

500 тис. грн Ч Ч (1+0,4/4) · (1+0,4/4) · (1+0,4/4) · (1+0,4/4) · (1+0,4/4) Ч Ч (1+0,4/4) · (1+0,4/4) · (1+0,4/4) · (1+0,4/4) · (1+0,4/4·1/3) = = 1218,273 тис. грн.

Розрахунок можна записати також і так:

500 тис. грн · (1+0,4/4)⁹ · (1+0,4/4·1/3) = 1218,273 тис. грн.

При щоквартальному нарахуванні процентів банк очікує на повернення 1218,273 тис. грн.

У проведеному розрахунку:

- кількість періодів нарахування процентів становить n = 9 цілих 1/3 кварталу;

- процентна ставка в кожному з періодів (кварталів) нарахування процентів і = 0,4/4.

Використовуючи формулу (10), розрахунок записується

FV = 500 тис. грн ·= 1218,273 тис. грн.

Всі три варіанти розв'язання модельної задачі 3 завершилися записом розрахунку у вигляді формули (10), у записі якої з'явилася особливість. Показник кількості періодів нарахування n має цілу і дробову частини. Позначимо цілу частину кількості періодів через k, а дробову - через f, тоді n = k + f. При такому n формула (10) трансформується, перетворюється хоча і в споріднену до (10), але в іншу формулу, яка має назву «ФОРМУЛА ЗМІШАНОГО НАРАХУВАННЯ ПРОЦЕНТІВ»:

, (15)

де FV, PV, i - мають зміст той самий, що й у формулах (2), (10);

k - ціла частина кількості періодів нарахування;

f - дробова частина кількості періодів нарахування процентів.

Модельна задача 3 розв'язується за допомогою формули (15) стисло і швидко:

- нарахування процентів щорічне:

FV = 500 тис. грн · =

= 500 тис. грн · (1+0,4)· (1+0,4 · ) = 1110,7 тис. грн;

- нарахування процентів за півріччями:

FV = 500 тис. грн · =

= 500 тис. грн · (1+)· (1+·) = 1175,04 тис. грн;

- нарахування процентів щоквартальне:

FV = 500 тис. грн · =

= 500 тис. грн · (1+)· (1+·) = 1218,273 тис. грн.

У посібнику навмисно подано детальне розв'язування модельної задачі 3. Автор не випадково витратив близько шести сторінок тексту, на яких проводилися розрахунки без використання відомих до цього моменту формул. Посилання на формулу з'явилося в кінці розрахунку, бо, безпосередньо, сам хід фінансових розрахунків приводив нас до запису розрахунку у формалізованому вигляді. Хід розрахунків «народжує» формулу, а не навпаки. Спочатку, на практиці, людство виконувало розрахунки, а потім, для полегшення розрахунків, винаходило формули. Такий підхід і така поетапна демонстрація розв'язку модельної задачі 3 дають можливість розвіяти деякі міфи відносно застосування формули (15).

_Додаткова інформація_________________________

При застосуванні у фінансових розрахунках формули (15) звертають увагу на наступне.

Якщо загальна кількість періодів нарахування має ціле число (цілу кількість періодів) і залишок, то для цілого числа періодів використовується формула складних процентів, а для залишку - або формула складних, або формула простих процентів, однак останнє застосовується частіше. Таким чином, якщо k - ціла кількість, а f - частина неповного періоду нарахування, то формула (15) набирає вигляду:

- при застосуванні механізму простих процентів у частині неповного періоду нарахування

;

- при застосуванні механізму складних процентів в частині неповного періоду нарахування

.

Міф перший полягає у тому, що для останнього не цілого періоду нарахування можливі два способи розрахунку: простий, що має вигляд (1+f·i), та складний, що має вигляд .

Це зовсім не так. Механізм розрахунку складного нарахування процентів показує, що складне нарахування - це нарахування (перемноження) попередніх періодів нарахування на наступний, це нарощення періодами нарахування. Лише коли період нарахування закінчується тільки тоді база помножується на множник періоду нарахування (тобто зростає база). Складне нарахування процентів - це нарахування за періодами нарощення, умовно можна сказати, це нарахування між періодами нарощення, а ніяк не в межах, не в «середині», не в кордонах кожного окремо взятого періоду нарахування. У «межах кожного окремо взятого періоду нарахування», як це не дивно, механізм нарахування процентів завжди простий. Це є ще одним неоголошеним правилом.

З позиції внутрішнього механізму формування множника нарощення у формулі (15) останній не повний період нарахування нічим не відрізняється від попередніх. Якщо в «середині», в межах попередніх цілих періодів нарахування, зростання має просту схему, то чому в останньому періоді схема нарахування стає складною? Як правило, формування множників у кожному з періодів нарахування проходить за одним і тим самим механізмом - і не за складним, а за простим. Отже, випадок, коли у формулі (15) у «частині неповного періоду нарахування застосовують механізм складних процентів», не відповідає практичним реаліям фінансових розрахунків.

Таким чином, у формулі (15) для множника за неповний період нарахування не існує двох способів розрахунку: простого, що має вигляд (1+f·i), та складного, що має вигляд (1+і)^f». Існує лише один спосіб розрахунку, - простий, що має вигляд (1 + f · i).

Міф другий. Цілком справедливим є твердження, що у формулі (10) показник кількості періодів нарахування процентів «n» є показником степеня, степеня з математичної точки зору. Але у формулі (15) показник «n», що має цілу і дробову частини, не є показником степеня, як у математиці.

Математика - це набір різноманітних інструментів. Для конкретної фінансової операції беруться не всі, а обираються з переліку лише потрібні інструменти. Дії з розрахунку конкретної фінансової операції вимагають застосування не всіх, а тільки відповідних до обчислення інструментальних математичних засобів. Дії з обчислення конкретної фінансової операції вказують на відповідний математичний інструмент і обирають цей інструмент для розрахунку, а не навпаки. Не математичні інструменти «головують» у фінансових розрахунках, а фінансові обчислення «обирають і одягають на себе» математичний інструментарій.

В економічних науках і особливо у фінансах часто-густо математична системність подавляє практичну обумовленість.

У ході фінансових розрахунків одержали випадок, коли у формулі (10) показник кількості періодів нарахування процентів «n» є в той самий час і одним із математичних інструментів - показником степеня. Проте автоматичне і необґрунтоване перенесення цієї властивості на формулу (15) є помилкою. Звичайно, формула (15) відображає механізм складного нарахування процентів, складність (а не простоту) механізму нарахування в цій формулі, як і у формулі (10), дає добуток множників, що розраховуються в дужках. Але розрахунок в останніх дужках формули (15) відрізняється від розрахунку в попередніх дужках.

Якщо у формулі (15) усі показники в дужках, крім останнього, чисельно рівні між собою, то виражати їх добуток показником степеня є цілком обґрунтованим. Остання дужка чисельно відрізняється від попередніх множників і не належить, а тому і не включається до попереднього степеневого ряду, а є окремим показником. У цього окремого і завжди в однині множника є свій окремий показник степеня - він за правилами математики не позначається але завжди мається на увазі, що цей показник степеня дорівнює одиниці. Показником степеня останньої дужки у формулі (15) завжди є одиниця, але цю одиницю неможливо додати до показника степеня попередніх дужок тому, що в них різні основи.

У формулі (15) позначку, що показує кількість періодів нарахування процентів, а саме (n = k + f), підставляють на місце показника степеня і тому виникає помилковий висновок, що це показник степеня, який має цілу k і дробову f частини, і що k - показник степеня, і f - також показник степеня. Але перебіг, логіка фінансових розрахунків показують, що при «і», рівних між собою, та при рівних між собою періодах нарахування процентів k стає показником степеня, а f ніколи не стане показником степеня. Запис n сумою k + f свідчить, що k та f мають спільну основу, але ця основа - не основа для показника степеня. Основи для k як показника степеня і для f як показника степеня різні. Залишається інша основа, за якою можливе додавання k + f , а саме, що це показник кількості періодів нарахування.

У формулі (15) показник «n», що має цілу і дробову частини, не є показником степеня, а є показником виключно тільки кількості періодів нарахування процентів.

Міф третій. Формулюється так: формула змішаного нарахування процентів передбачає нарахування процентів за цілу кількість періодів за формулою складних процентів і за дробову частину періоду за формулою простих процентів.

Не вдаючись до детального розгляду такого формулювання, зазначимо наступне. Формула змішаного нарахування процентів (15) не складається з двох формул і не «передбачає нарахування процентів за цілу кількість періодів за формулою складних процентів, і за дробову частину періоду за формулою простих процентів». Формула лише нагадує своїми частинами дві інші формули, якщо умовно її поділити на частини. Наголошуємо, формула (15) «лише нагадує!» у випадку, якщо «умовно!» її «поділити». Поділити формулу не умовно, а на практиці цілком можливо, але виділені в результаті поділу формули вже будуть іншими формулами, відмінними від попередньої, не поділеної.

Формула змішаного нарахування процентів є самостійною формулою, відмінною по суті і за формою від формул складного і простого нарахувань процентів.

У попередній додатковій інформації згадувалося ще про одне неоголошене правило. Визначимо його окремо.

_________НЕОГОЛОШЕНЕ ПРАВИЛО__________

У МЕЖАХ КОЖНОГО ПЕРІОДУ НАРАХУВАННЯ ПРОЦЕНТИ ЗРОСТАЮТЬ ВИКЛЮЧНО ЗА МЕХАНІЗ-МОМ ПРОСТОГО НАРАХУВАННЯ ПРОЦЕНТІВ.

2.3 Складне нарахування, яке має дробову кількість періодів нарахування процентів

Розглядаємо варіант 4 (див. с. 54), коли період нарахування процента більший за строк фінансової операції.

Уже було доведено, що випадок, коли у формулі (15) в «частині неповного періоду нарахування застосовують механізм складних процентів», не відповідає практичним реальностям фінансових розрахун-ків. У формулі (15) для множника за неповний період нарахування існує лише один спосіб розрахунку - простий, що має вигляд (1+f·i). Розглянемо випадок при застосуванні формули (15), - коли k = 0, а f є дробовим числом. У цій формулі k виконує функції показника степеня (на відміну від f, який «не працює» як показник степеня). Формула (15) стає такою:

. (15.1)

Математика підказує, що завжди будь-яке число або його показник у нульовому степені дорівнює одиниці.

З фінансової точки зору показник степеня «0» означає, що нарахування процентів не проводилося.

Таким чином, формула (15.1) перетворюється у таку формулу (15.2):

. (15.2)

Отже, маємо, що , і таке рівняння у фінансах має місце завжди.

Варіант, що розглядається в цьому пункті (п. 3) і є випадком, коли період нарахування неповний, тобто дробовий, і це означає, що період усього один.

Механізм складного нарахування процентів є механізмом зростання суми з попереднього періоду за наявності наступного, тобто періодів нарахування повинно бути декілька (обов'язково два і більше), тоді і тільки тоді може йти мова про застосування механізму складного нарахування процентів. Але якщо період нарахування всього один, то зрозуміло, що немає на чому застосовувати механізм складного нарахування процентів. Саме тому, коли період нарахування процентів більший за строк операції, нарахування процентів завжди просте, складному нарахуванню немає на чому застосовувати свій механізм.

У фінансових розрахунках не може йти мова про застосування механізму складного нарахування процентів, коли існує тільки дробова кількість періодів нарахування процентів.

Дробова кількість періодів нарахування процентів завжди розраховується за механізмом простого нарахування процентів.

Інформація про механізм простого нарахування процентів із дробовою кількістю періодів нарахування подана в підрозділі 1, пункти 1.2, 1.3.

3.4 Розрахунок процента при застосуванні механізму складного нарахування процентів

Проведемо розрахунок суми складного процента за допомогою схем , але коли відомими є кількість періодів (n), ставка процента (і) і показник PV.

Якщо в схему замість FV підставляємо вираз FV із формули (10), то формула розрахунку процента в цілому така:

(16)

де - процент (сума грошей), розрахований при застосуванні механізму складного нарахування процентів. Позначка від англ. Interest of compound interest.

Використовуючи формулу (13), маємо

(17)

де і, і,…,і- процентні ставки за періоди n, n, …, n відповідно.

За допомогою формули змішаного нарахування процентів (15) одержуємо

(18)

де FV, PV, i мають зміст той самий, що й у формулах (2), (10);

k - ціла частина кількості періодів нарахування;

f - дробова частина кількості періодів нарахування.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Бакаєв Л. О. Кількісні методи в управлінні інвестиціями : навч. посіб. / Л. О. Бакаєв. - К. : КНЕУ, 2000. - 151 с.

Бланк И. А. Основы финансового менеджмента : в 2 т. / И. А. Бланк. - 3-е изд. - К. : Эльга; Ника-Центр, 2007. - Т. 1.- 624 с.

3. Гриценко Олена. Гроші та грошово-кредитна політика : навч. посіб. / Олена Гриценко. - К. : Основи, 1997. - 180 с.

4. Гроші та кредит : навч. посіб. / С. Б. Ільїна, В. П. Шило, В. І. Кисла, Н. І. Шрамкова. - К. : «ВД «Професіонал», 2007. - 368 с.

5. Гроші та кредит : підручник / М. І. Савлук, А. М. Мороз, І. М. Лазепко та ін. ; за заг. ред. М. І. Савлука. - 4-те вид., перероб. і доп. - К. : КНЕУ, 2006. - 744 с.

6. Долінський Л. Б. Фінансові обчислення та аналіз цінних паперів : навч. посіб. / Л. Б. Долінський. - К. : Майстер-клас, 2005. - 192 с.

7. Ковалёв В. В. Курс финансовых вичислений / В. В. Ковалёв, В. А. Уланов. - М. : Финансы и статистика, 1999. - 328 с.

8. Кутуков В. Б. Основы финансовой и страховой математики: методы расчета кредитных, инвестиционных, пенсионных и страховых схем / В. В. Кутуков. - М. : Дело, 1998. - 304 с.

9. Машина Н. І. Вищі фінансові обчислення : навч. посіб. / Н. І. Машина. - К. : Центр навчальної літератури, 2003. - 208 с.

10. Медведев Г. А. Начальный курс финансовой математики : учеб. пособие / Г. А. Медведев. - М. : ТОО «Острожье», 2000. - 267 с.

11. Мелкумов Я. С. Финансовые вычисления. Теория и практика : учебно-справочное пособие / Я. С. Мелкумов. - М. : ИНФРА-М, 200 - 383 с.

1 Михайловська І. М. Гроші та кредит: практикум : навч. посіб. / І. М. Михайловська, К. Л. Ларіонова. - Львів : Новий Світ - 2000, 2008. - 312 с.

13. Семко Т. В. Гроші та кредит у схемах і таблицях : навч. посіб. / Т. В. Семко, М. В. Руденко. - К. : Центр навчальної літератури, 2006. - 158 с.

14. Словник іншомовних слів / за ред. О. С. Мельничука. - К. : АН УССР, 1974. - 775 с.

15. Четыркин Е. М. Финансовая математика : учеб. / Е. М. Четыркин. - М. : Дело, 2000. - 400 с.

Размещено на Allbest.ru