Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Финансовая математика

1. Единовременные платежи

1.1 Основные понятия

финансовый пренумерандо платеж

В основе всех финансовых расчетов лежит принцип временной ценности денег. Деньги - это мера стоимости товаров и услуг. Покупательная способность денег падает по мере роста инфляции. Это означает, что денежные суммы, полученные сегодня (обозначим их PV-present value - настоящее, текущее значение), больше, ценнее тех же сумм, полученных в будущем. Для того чтобы деньги сохраняли или даже наращивали свою ценность, нужно обеспечить вложение денег, приносящее определенный доход. Принято обозначать доход буквой I (interest), на финансовом и бытовом жаргоне его называют процентом.

Существует много способов вложения (инвестиции) денег.

Можно открыть счет в сберегательном банке, но процент должен превышать темп инфляции. Можно одолжить деньги в виде кредита с целью получения в будущем, так называемой, наращенной суммы FV (future value - будущее значение). А можно инвестировать денежные средства в производство.

Простейшей финансовой операцией является однократное предоставление или получение суммы PV с условием возврата через время t наращенной (будущей) суммы FV. Сумму, которую получает дебитор (например, мы с Вами или фирма), будем считать положительной, а ту, которую отдает кредитор (опять же мы с Вами или банк) - отрицательной.

Эффективность такой операции характеризуется темпом прироста денежных средств, отношением r (rate-отношение) дохода I к базовой величине PV, взятыми по абсолютной величине.

. (1)

Темп роста капитала r за время t выражают десятичной дробью или в процентах и называют процентной ставкой, нормой доходности или скоростью оборота денежных средств за это время.

Поскольку PV и FV имеют противоположные знаки, то настоящее и будущее значения связаны соотношением (назовем его уравнением эквивалентности)

FV+ PV (1+ r)=0, (2)

где r - процентная ставка за время t.

Величину К, показывающую, во сколько раз будущая сумма возросла по абсолютному значению по отношению к текущей

К= FV/ PV=(1+ r), (3)

называют коэффициентом наращения капитала.

В расчетах, как правило, за r принимают годовую процентную ставку, ее называют номинальной ставкой.

Существуют две схемы наращения капитала:

схема простых процентов;

схема сложных процентов.

1.2 Простые проценты

Схема простых процентов предполагает неизменность суммы, на которую происходит начисление процентов. Простые проценты используются в краткосрочных финансовых операциях (со сроком менее периода начисления процентов) или когда проценты периодически выплачиваются и не присоединяются к основному капиталу.

Рассмотрим два вида вклада: постой и срочный.

1) По простому вкладу (деньги по такому вкладу можно снять в любой момент) за t дней будет начислено

FV+ PV (1+ r)=0 (4)

где Т - число дней в году. Коэффициент наращения при этом

К=(1+ r).

В зависимости от определения Т и t применяют следующие методики.

1. Точные проценты. В России, США, Великобритании и во многих других странах принято считать Т =365 в обычном году и Т =366 - в високосном, а t - число дней между датой выдачи (получения) ссуды и датой ее погашения. Дата выдачи и дата погашения считаются за один день.

2. Банковский метод. В этом методе t определяется как точное число дней, а число дней в году принимается за 360. Метод дает преимущества банкам особенно при выдаче кредита на срок более 360 дней и широко используется коммерческими банками.

3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней. В некоторых странах, например во Франции, Бельгии, Швейцарии принимают Т =360, а t - приближенным, так как считается, что в месяце 30 дней.

Пример 1 Фирма взяла ссуду в банке на расширение производства в размере 1 млн. руб. под 18% годовых с 20.01 по 05.10 включительно. Какую сумму она должна вернуть в конце срока при начислении процентов один раз в год? Определите коэффициент наращения.

Решение. Пусть год не високосный Т=365. Точное число дней между указанными датами

t =258, а приближенное - t=255.

1. Из (4) по точному методу получим

FV= -1 000 000 (1+0,18)= -1 127 233 руб.

Итак, в конце срока фирме придется отдать (FV отрицательно) на 127 233 руб. больше, чем она брала.

Коэффициент наращения в этом случае

К=(1+0,18)=1,1273

2. По банковскому методу

FV= -1 000 000 (1+0,18)= -1 129 000 руб.

К=(1+0,18)=1,129

3. По обыкновенному методу с приближенным числом дней

FV= -1 000 000 (1+0,18)= -1 127 500 руб.

К=(1+0,18)=1,1275

Как видно из примера, при банковском методе расчета банку удастся больше «поживиться» за счет фирмы.

2) По срочному вкладу (деньги кладутся в банк на определенный срок: полгода, год или другой) проценты начисляются через определенные периоды. Обозначим

m - число периодов в году.

m =12 - при ежемесячном начислении процентов;

m =4 - при ежеквартальном начислении;

m =2 - при начислении раз в полугодие;

m =1 - при начислении раз в год.

В этом случае процентная ставка за один период составит величину , и уравнение эквивалентности запишется в виде:

FV + PV (1+)=0 (5)

Коэффициент наращения

К=(1+).

Пример 2 Пенсионер положил 3000 руб. на срочный пенсионный вклад на полгода под 14% годовых. Какая сумма у него накопится в конце срока, и какой процент он сможет снять? Каков коэффициент наращения?

Решение. Поскольку пенсионер отдал свои деньги банку, то первоначальная сумма отрицательна; m =2, так как начисления - раз в полгода.

FV = - (-3000) (1+0,14/2)=3210 руб.

I= FV - PV=210 руб.

К=1+0,14/2=1,07

По формулам (2) - (.5) можно решить обратную задачу: какую первоначальную сумму PV нужно дать в долг или положить в банк, чтобы по истечении срока получить сумму FV при заданной годовой процентной ставке r:

.

Пример 3 Через 180 дней после подписания договора фирма обязуется уплатить 310 тыс. руб. Кредит выдан под 16% годовых. Какова первоначальная сумма кредита?

Решение. В конце срока фирма должна вернуть деньги, следовательно, будущая сумма - отрицательная величина, а первоначальная - положительная. Из (5)

1.3 Сложные проценты

Формула сложных процентов

Схема сложных процентов предполагает их капитализацию, таким образом, базовая сумма, с которой происходят начисления, постоянно растет. Сложные проценты применяются в среднесрочных и долгосрочных финансовых операциях, то есть срок операции составляет несколько периодов начисления процентов.

Пусть Вы положили в банк срочный вклад в сумме PV на k лет под годовую процентную ставку r. Число периодов начисления процентов в году m. Тогда в соответствии с формулой (4) к концу первого периода, т.е. после первого начисления процентов, у Вас окажется сумма FV, определяемая соотношением

FV + PV (1+)=0.

Если Вы не забрали причитающиеся Вам проценты, то к началу нового периода первоначальная сумма составит уже PV (1+r/m), а к концу второго периода на нее снова нарастут проценты и Ваша сумма вклада будет определяться из соотношения

и так далее.

К концу года Ваш вклад будет равен

.

Сумма, накопленная Вами в банке через k лет при годовой ставке r и начислениях процентов m раз в году, составит:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

(6)

Эквивалентное уравнение (6) называют формулой сложных процентов.

Из уравнений (4) - (6) можно определить одну из величин:

FV - будущую сумму;

PV - текущую сумму;

r - номинальную процентную ставку;

t или k - срок сделки в днях или годах, выразив их через остальные известные величины.

Определение будущей суммы

Пример 4 От продажи родительского дома у Вас оказалось 50 тыс. руб. Вы знаете, что в течение 5 лет Вам эти деньги не понадобятся, и Вы решили открыть счет в банке. Годовая ставка банка 12%. Банк предлагает следующие виды вкладов:

с ежемесячным начислением процентов;

с ежеквартальным начислением процентов;

депозит на 6 месяцев;

депозит на 12 месяцев.

Какой из вкладов принесет больший доход через 5 лет?

Решение. Воспользуемся формулой (6). В нашем примере PV= -50 000, r =0,12, k =5.

В первом случае m =12 и

90834,83 руб.

Во втором - m =4 и

90305,56 руб.

В третьем случае - m =2 и

89542,38 руб.

В последнем варианте - m =1 и

88117,08 руб.

Как видно из примера, чем меньше период начисления процентов при той же годовой процентной ставке, тем выгоднее вклад.

Определение текущей стоимости. Дисконтирование

В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной наращению процентов: по заданной будущей сумме FV, которую следует уплатить или получить через некоторое время, необходимо рассчитать современную, текущую сумму PV полученной ссуды или вклада в банк. Такая ситуация может возникнуть: при разработке контракта, при определении текущей стоимости векселя

По формуле простых процентов (4)

PV = -, (7)

где t - срок финансовой сделки в днях, T - число дней в году, r - годовая процентная ставка. Знак минус указывает на то, что в финансовых операциях настоящая и будущая суммы всегда имеют противоположные знаки.

Расчет PV по FV необходим и тогда, когда проценты с суммы удерживаются вперед, непосредственно при выдаче кредита, ссуды. В этих случаях говорят, что сумма FV дисконтируется, или учитывается, сам процесс начисления процентов и их удержания называют учетом, а удержанные проценты - дисконтом, или скидкой D.

D=FV-PV, (8)

где FV и PV берутся в (8) по абсолютной величине.

Отношение v=PV/FV называют дисконтным или дисконтирующим множителем. По формуле простых процентов

v=1/(1+r). (9)

По формуле сложных процентов (6) текущая сумма вклада или текущая стоимость векселя записывается в виде

, (10)

где m - число раз начисления процентов в году, k - срок дисконтирования.

Дисконтирующий множитель

v=. (11)

Пример 5. Клиент должен получить в конце года 10000 руб. На какой вклад ему выгоднее положить деньги: простой или срочный с ежемесячным начислением процентов. Годовая процентная ставка в обоих случаях 16%

Дисконтирующий множитель по простым процентам v=1/(1+r t/T)=1/(1+0,16)=0,862069,

PV= - FV·v =10000·0,862= - 8620,69 руб.

Дисконтирующий множитель по сложным процентам

v=1/(1+r/m)^(m k)=1/(1+0,16/12)^12=0,853045

PV=-FV v=10000·0,853045= - 8530,45 руб.

Совершенно очевидно, что срочный вклад выгоднее клиенту, так как в начале года по нему нужно вложить на 90 руб. меньше, чем по простому вкладу.

Пример 6 Фирме предстоит через 10 лет уплатить за кредит банку $100 000. Номинальная ставка 28%. Проценты начисляются раз в полгода. Определите текущую стоимость кредита и дисконт банка.

Текущая стоимость

PV= - (-100000)/(1+0,28/2)^(2·10)=$7276,17

Такую ничтожную сумму фирма получит в качестве кредита.

Дисконт банка

D=FV - PV =100000-7276,17=$92723,83

Такую величину составит доход банка

Определение срока ссуды (вклада)

По формуле простых процентов (4) срок финансовой сделки определяется в днях t

t=, (12)

где T принятое число дней в году.

По формуле сложных процентов (6) срок финансовой сделки определяется в годах k

. (13)

В выражениях (12) и (13) r - номинальная ставка; текущая PV и будущая FV суммы берутся по абсолютной величине.

Пример 7 Сколько лет нужно копить деньги при первоначальном взносе 5000 руб., годовой процентной ставке 18% и ежеквартальных начислениях, чтобы накопить 10000 руб.?

k=ln (FV/PV)/ln (1+r/m)/m

k= ln (10000/5000)/ln (1+0,18/4)/4=3,9374 года.

Определение размера процентной ставки

Нередко возникает вопрос, под какую ставку нужно дать кредит в сумме PV, чтобы через определенный срок получить обратно сумму FV?

По формуле простых процентов

. (14)

По формуле сложных процентов

. (15)

Пример 8 Фирма дала в кредит дочерней фирме 50 000 руб. сроком на 3 года с ежегодным начислением процентов. Под какой процент нужно дать кредит, чтобы вернуть 60 000 руб.?

r=m·((FV/PV)^(1/(m·k)) - 1)

r=(6/5)^(1/3) - 1=0,06266

r6,27%

Номинальная и эффективная ставки

Величину годовой процентной ставки r часто называют номинальной ставкой в отличие от процентной ставки за период r t/T или 1/m.

Для сравнения эффективности предложений различных банков по кредитным операциям их пересчитывают к эффективной процентной ставке , обеспечивающей ту же доходность, но при начислении процентов один раз в году. Сравнивая (6) с

,

получим ,

откуда = (16)

Пример 9 Определим эффективную годовую ставку в первых трех случаях примера 4.

Решение. Очевидно, что в четвертом случае, при ежегодных начислениях процентов, она составляет 12%. Для

m = 12 =(1+0,12/12)^12-1=0,1268;

m = 4 =(1+0,12/4)^4-1=0,1255;

m = 2 =(1+0,12/2)^2-1=0,1236.

Как и следовало ожидать, ежемесячное начисление обеспечивает самую большую эффективную ставку.

Замена в договоре номинальной ставки r при m - разовом начислении процентов на эффективную не изменяет финансовых обязательств участвующих сторон. Обе ставки эквивалентны в финансовом отношении. Вообще разные по величине номинальные ставки являются эквивалентными, если соответствующие им эффективные ставки имеют одну и ту же величину.

При подготовке контрактов может возникнуть необходимость в определении r по заданным значениям и m. Из (16) находим

(17)

Типовые задачи

1.1 Ссуда в размере 100 тыс. руб. выдана с 10 января по 10 сентября включительно под ставку 22% годовых. Какую сумму заплатит должник в конце срока? Рассчитать тремя методами.

1.2 Выдан кредит в сумме 10 тысяч долларов с 15.02 по 15.05 под 18% годовых. Рассчитайте будущую сумму тремя способами.

1.3 Фирма должна выплатить по кредиту, взятому на 4 месяца под ставку 20% годовых, 180 тыс. руб. Какова была сумма кредита и каков коэффициент наращения?

1.4 Банк принимает срочные вклады на 3 месяца с объявленной годовой ставкой 12%, на полгода с годовой ставкой 12,5% и на год с годовой ставкой 13%. Как выгоднее положить вклад на два года?

1.5 Ссуда в 15000 долларов выдана на 2,5 года под ставку 25% годовых с ежеквартальным начислением процентов. Определите сумму конечного платежа и коэффициент наращения.

1.6 Банк предлагает кредиты на 3 года с ежеквартальным начислением процентов и на два года с ежемесячным начислением процентов. В обоих случаях годовая процентная ставка составляет 20%. Какой кредит выгоднее фирме? Сравните эффективные ставки в обоих случаях.

1.7 Годовая процентная ставка коммерческого банка 24%. Начисление процентов ежемесячное. На какой минимальный срок нужно поместить клиенту вклад в 30 тысяч рублей, чтобы наращенная сумма составила не менее 35 тысяч рублей?

1.8 Рассчитайте будущее значение вклада 1000 долларов через 5 лет в зависимости от ставки (5%, 10%, 15%, 20%. 25%, 30%)

1.9 Рассчитайте коэффициент наращения вклада под 15% годовых через 1, 2, 3 года при ежеквартальном и ежемесячном начислении процентов.

1.10 Для совершения сделки клиенту необходимо иметь через полгода 3 тыс. долларов наличными. В настоящее время у него только 2,6 тыс. долларов. Под какую минимальную номинальную ставку он должен положить деньги в коммерческий банк, чтобы иметь нужную сумму к указанному времени при ежемесячном начислении процентов?

1.11 Сумма наращивается по сложной процентной ставке 18% с начислением раз в квартал. Определите эффективную ставку.

1.12 Фирма дала дочерней фирме в долг на три года 200000 руб. с условием возврата 250000 руб. Вычислите годовую процентную ставку.

1.13 Выдан кредит 200000 руб. на три года. Проценты начисляются раз в квартал. Определите величину процентной ставки за период, если по договору возврат должен составить 250000 руб.

1.14 Клиент внес в банк 14 тыс. руб. на срок с 14 марта по 20 апреля того же года. Годовая процентная ставка 12%, проценты простые. Определите наращенную сумму при расчете по: а) точным процентам с точным числом дней; б) банковскому методу; в) обыкновенным процентам с приближенным числом дней.

1.15 Определите наращенную сумму вклада в 300 тыс. руб. при сроке вклада 2 года. Годовая процентная ставка 14%. Начисление процентов производится: а) один раз в год; б) по полугодиям; в) поквартально; г) ежемесячно.

2. Постоянные регулярные потоки платежей

2.1 Основные понятия

При проведении большинства финансовых операций возникают денежные потоки - чередующиеся в течение ограниченного или неограниченного промежутка времени поступления и выплаты денежных средств. Поток состоит из отдельных элементов потока - платежей. Поступления денег считаются положительными платежами, а выплаты - отрицательными. В первой главе мы рассмотрели одноразовые поступления и выплаты и наращенные на них проценты. Денежный поток - это последовательность платежей разных направлений. Денежные потоки делятся:

по распределению во времени - на регулярные (периодические) и нерегулярные;

по величине элементов - на постоянные и переменные.

Периодические платежи могут осуществляться в конце периода - постнумерандо (обыкновенные) или в начале периода - пренумерандо.

Денежный поток, элементы которого Сi поступают через равные промежутки времени, называются финансовой рентой. Постоянная рента предполагает получение или выплату одинаковых сумм C в течение всего срока операции.

В этой главе будут рассматриваться только периодические постоянные потоки платежей, то есть постоянные ренты. Будем сначала полагать, что число платежей m раз в году и их момент (пренумерандо или постнумерандо) совпадают с числом и моментом начисления процентов, причем процентная ставка не меняется в течение всего срока операции.

Существует три основных вида операций.

Срочным аннуитетом называется денежный поток с равными поступлениями С в течение ограниченного промежутка времени в конце каждого периода. Например, клиент вносит в банк первоначальную сумму, а в обмен получает серию периодических выплат в течение срока действия договора. В конце срока договора ему причитается получить сумму FV.

Банковский кредит - это аннуитет наоборот. Клиент получает денежную ссуду PV, а потом выплачивает свой долг равными платежами С в течение срока погашения кредита. В конце срока операции ему остается выплатить сумму FV. Эту ситуацию можно записать (PV, - С, - С,… - С, - FV).

Накопление периодическими взносами (формирование денежных фондов). В начале срока финансовой сделки вносится вклад в размере PV и через равные промежутки времени к нему добавляются суммы С. К концу срока сделки с учетом начисленных процентов накопится сумма FV. Эту ситуацию можно записать (-PV, - С, - С,… - С, FV) и изобразить графически

Анализ потока платежей предполагает решение

а) прямой задачи, когда проводится оценка с позиции будущего, т.е. вычисляется сумма всех платежей с начисленными процентами на конец срока проведения операции;

б) обратной задачи, когда проводится оценка с позиции настоящего, т.е. определяется современная стоимость всех платежей, приведенная на момент начала операции.

2.2 Будущая сумма пренумерандо и постнумерандо без первоначальной суммы

Рента пренумерандо

Пусть одинаковые платежи размером С (cost - стоимость) осуществляются пренумерандо в течение n периодов. На них нарастают проценты по номинальной (ежегодной) процентной ставке r. Сначала рассмотрим С по абсолютной величине.

В начале первого периода осуществлен взнос С. К концу периода на него нарастут проценты, и будущая сумма составит

FV₁ = С·(1 + r).

В начале второго периода внесена сумма С, а к концу второго периода на нее и на FV₁опять нарастут проценты

FV₂=С·(1+r)+С·(1+r)².

К концу третьего периода

FV₃ = С·(1+r)+С·(1+r)²+С·(1+r)³ и т.д.

К концу n-ого периода будущая сумма составит

FV_n = С· (1+r)+С· (1+r)²+… +С· (1+r)ⁿ = С· (1+r) ·.

Нетрудно видеть, что это сумма геометрической прогрессии с общим членом

= ₁·q^{n -1}, где ₁=С· (1+r), a q=1+r.

Как известно, сумма такой геометрической прогрессии

S_n=.

Таким образом, получаем

FV_n=.

Если взносы осуществляются m раз в году в течение k лет, то число периодов сделки n=k·m, а процентная ставка за период составляет r/m. В этом случае

FV=. (18)

Рента постнумерандо

Те же условия, что в разделе 2.2.1, но рента вносится в конце каждого периода - постнумерандо.

К концу первого периода сделан взнос С и FV₁=С

К концу второго периода снова сделан взнос С, а на FV₁ наросли проценты:

FV₂=С+С·(1+r).

К концу третьего:

FV₃=С+С·(1+r)+С·(1+r)² и т.д.

Будущая сумма к концу n-ого периода

.

Это геометрическая прогрессия с первым членом 1=С и частным q=(1+r). Следовательно,

.

Если взносы осуществляются m раз в году в течение k лет, то n=m·k

. (19)

Формулы (18) и (19) можно объединить в одну.

(20)

Здесь тип=0, для взносов постумерандо,

тип=1, для взносов пренумерандо.

Очевидно, что при выплатах пренумерандо абсолютная величина будущей накопленной суммы больше.

Поскольку выплаты С и конечная сумма имеют, как правило, разные знаки (-С; - С; - С; FV) или (С; С; С; - FV), то их сводят в уравнение эквивалентности

 (21)

В выражениях (18) - (21) величина m - это число взносов и начислений процентов в году.

При ежемесячных взносах m=12;

при ежеквартальных взносах m=4;

при взносах раз в полгода m=2;

при ежегодных взносах m=1.

Пример 10. Сколько денег можно накопить в банке в течение года, внося ежемесячно по300 руб. во вклад под 18% годовых? Первый случай - взносы постнумерандо (тип=0)

Второй случай - взносы пренумерандо (тип =1)

Если бы мы копили эти деньги в банке из под кофе, то в конце года имели бы только

FV=300*12=3600 руб.

Таким образом, в обоих случаях за счет процентов банк нам приплачивает в конце года больше трехсот руб. Однако во втором случае (выплаты в начале каждого месяца) мы получим почти на 60 руб. больше.

2.3 Уравнение эквивалентности в общем виде

В первом параграфе мы вывели уравнение эквивалентности (6) между одноразовым взносом и накопленной к концу срока финансовой сделки суммой FV при условии наращивания процентов по номинальной ставке r. В этом уравнении не учитывались периодические платежи С.

В параграфе 2.2.2 выведено уравнение эквивалентности (21), связывающее периодические платежи С и накопленную сумму FV при условии, что не было первоначального взноса PV.

В повседневных финансовых операциях накопления денег, кредитования, аннуитета фигурируют как первоначальные, так и периодические взносы.

Все эти ситуации описываются общим эквивалентным уравнением, объединяющим уравнения (6) и (21)

(22)

Из этого уравнения можно определить одну из величин как функцию остальных:

FV=f (PV, С, r, m, k) - будущую сумму в любой момент;

PV=f (FV, С, r, m, k) - текущую сумму, пересчитанную к любому моменту финансовой сделки;

С=f (PV, FV, r, m, k) - выплаты;

k=f (PV, FV, С, r, m) - срок договора;

r=f (PV, FV, С, m, k) - норму, годовую процентную ставку.

Определение будущей суммы

Пример 11. Изменим условия примера 10. Пусть в начале срока вложена сумма PV=1000 руб. Ежемесячно вносится еще по 300 руб. Годовая процентная ставка 18%. Как при этом изменятся суммы в конце года постнумерандо и пренумерандо.

1. Взносы постнумерандо.

2. Взносы пренумерандо.

Определение текущей суммы

Из уравнения (22) получим в общем виде

. (23)

Откуда

(24)

Пример 12. Пенсионер получил наследство и хотел бы заключить договор с пенсионным фондом с условием получения 500 руб. в конце (начале) каждого месяца на протяжении 5 лет. Какая сумма обеспечит получение такого дохода при процентной ставке 24% годовых?

1) Выплаты в конце месяца (тип=0)

2).Выплаты в начале месяца (тип=1)

Во втором случае вклад должен быть значительнее почти на 350 руб. Знак минус показывает, что первоначальную сумму PV нужно отдать в банк.

Определение периодических выплат

Какую сумму С нужно вносить регулярно в начале (в конце) периода, чтобы при первоначальном взносе PV и годовой процентной ставке r через n=m·k периодов накопить капитал FV? Из (24) имеем

. (25)

Пример 13 Родители решили накопить за 18 лет на образование ребенка 50000 руб. Банк обеспечивает 6% годовых по вкладу. Сколько денег нужно вносить в конце каждого месяца?

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

За 18 лет родители внесут в банк 129,08·18·12=27881,28 руб.

Остальные 50000 - 27881,28=22118,72 руб. доплатит банк.

Расчет срока ренты

При разработке условий контракта иногда возникает необходимость в определении срока ренты. Решая уравнение (24) относительно числа лет k, получим

 (26)

Пример 14 Фирме нужно выплатить долг 300 млн. руб. ежегодными платежами по 111,52 млн. руб. Процентная ставка согласно договору между кредитором и фирмой установлена 12% годовых. Нужно определить срок платежа

Фирма выплачивает долг, пока сумма его не станет равной нулю.

По формуле (26)

Определение размера процентной ставки

Необходимость в определении величины процентной ставки возникает всякий раз, когда речь идет о выяснении эффективности (доходности) соответствующей финансово - банковской или коммерческой операции. Вопрос стоит так, под какую процентную ставку r нужно дать кредит в сумме PV, чтобы при периодических выплатах С через n периодов получить обратно сумму FV? Однако, расчет ставки по остальным параметрам ренты не так прост. Величина r не выражается в явном виде из уравнения (24). Поэтому необходимо решить нелинейное уравнение (24) относительно r. Раньше его решали методом линейной интерполяции или итерационным методом. Сейчас эта задача и все остальные примеры и задачи, рассмотренные в пособии, легко решаются с помощью финансовых функций в Excel.

Типовые задачи

2.1 На счет в банке вносится ежегодно постнумерандо сумма в 5000 долларов под 5% годовых. Какая сумма окажется на счете через 10 лет?

2.2 Рассматриваются две схемы вложения денег на 5 лет: в начале каждого года под 14% годовых или в конце каждого года под 18% годовых. Какая схема выгоднее?

2.3 Рассматриваются два варианта покупки квартиры: заплатить сразу 250 тыс. руб. или платить ежемесячно по 800 руб. в течение 10 лет при ставке 8% годовых?

2.4 За какой срок сумма в 50 тыс. руб. достигнет 100 тыс. руб. при начислении процентов два раза в году по годовой процентной ставке16%?

2.5 Ссуда 60 тыс. долларов, выданная под 6% годовых погашается ежеквартальными платежами по 8 тыс. долларов. Рассчитайте срок погашения ссуды.

2.6 Пенсионер накопил в банке к моменту выхода на пенсию 30000 рублей. В конце каждого месяца ему начисляют пенсию в размере 2000 руб. Банк обеспечивает по пенсионному вкладу 14% годовых. Сколько лет пенсионер сможет снимать со своего вклада в конце каждого месяца по 3000 рублей?

2.7 Сколько денег нужно положить в банк сегодня, чтобы при ежемесячных вложениях по 500 рублей и процентной ставке 12% в год через 5 лет накопить сумму 50000 рублей?

2.8 Ваша фирма собирается дать кредит в размере 1 000 000 рублей сроком на 5 лет с ежегодным погашением по 200 000 руб. Под какой процент следует дать кредит, чтобы в конце срока получить обратно в общей сложности 1 500 000 рублей?

2.9 Родители оставили Вам наследство 50 000 рублей. Вы решили через 3 года накопить на автомашину 100 000 рублей. Вы вложили деньги в банк под 12% годовых. Какую сумму Вам необходимо вносит ежемесячно? Сколько лет Вам бы пришлось копить эти деньги дома?

2.10 Вы решили накопить в банке 300 000 рублей на квартиру. Вначале Вы внесли 50 000 рублей и можете вкладывать в банк ежемесячно по 8000 рублей. Банк имеет годовую процентную ставку 11%. Сколько времени Вам придется копить эти деньги? Сколько времени Вы копили бы деньги дома?

2.11 Фирма взяла в банке кредит в размере $200 000 сроком на 7 лет под 7,2% годовых. Определить ежегодные выплаты и составить таблицу погашения основного долга, выплат по процентам и остатка долга по годам. Построить график.

2.12 В конце каждого месяца семья вкладывает в банк по 5000 руб. под номинальную процентную ставку 20%. Начисление процентов ежемесячное. Какой срок необходим для того, чтобы сумма сбережения стала достаточной для покупки легкового автомобиля стоимостью 250 тыс. руб.?

2.13 Какую сумму фирма должна ежемесячно переводить в банк постнумерандо, чтобы на ее счете через 2 года накопилась сумма 3 млн. руб.? Номинальная процентная ставка банка - 12% при ежеквартальном начислении процентов.

2.4 Решение финансовых задач с помощью финансовых функций Excel

Общие рекомендации

В пакете Excel существует группа функций, предназначенных для расчета финансовых операций по кредитам, ссудам, займам. Эти расчеты основаны на концепции временной стоимости денег и предполагают неравноценность денег, относящихся к разным моментам времени. Эта группа функций охватывает следующие расчеты:

· определение наращенной суммы (будущей стоимости),

· определение начального значения (текущей стоимости),

· определение срока платежа и процентной ставки,

· расчет периодических платежей, связанных с погашением займов.

Для расчетов Excel использует приведенную выше формулу (22)



Эти формулы используют встроенные функции БC, КПЕР, ПC, ПЛТ, ЭФФЕКТ и другие.

В финансовых функциях Excel необходимо строго учитывать знаки величин PV, FV и С. Когда мы отдаем какую-либо величину, ставим перед ней знак минус, если получаем - плюс.

Работать с финансовыми функциями удобно с помощью Мастера функций

Когда появляется окно выбранной функции, в его поля нужно ввести заданные значения. Если какое-либо значение равно нулю, это поле можно не заполнять. Если рента постнумерандо, поле Тип тоже можно не заполнять.

Не забывайте в поле Норма вводить величину процентной ставки за период r/m, а в поле Число - периодов - число периодов выплат или начисления процентов n=k·m.

Вычисление будущего значения

В Excel будущему значению FV соответствует функция БС.

БС - стоимость постоянных платежей в определенные периоды на основе постоянной процентной ставки.

Позволяет рассчитать объем вклада через определенный промежуток времени на основе периодических постоянных платежей и постоянной процентной ставки.

Синтаксис

БС (ставка; кпер; плт; пс; тип)

ставка - процентная ставка за период.

кпер - количество периодов, в которые производится выплата годовых процентов.

плт - выплата - размер выплаты, производимой в каждом периоде; это значение постоянно в течение всего времени выплат. Обычно плата состоит из основного платежа и платежа по процентам без учета других налогов и сборов.

пс - общая сумма всех будущих платежей с настоящего момента. Если аргумент пс опущен, то он полагается равным 0.

тип - число, определяющее когда должна производиться выплата. Может принимать значения 0 или 1: 0 - выплата в конце периода, 1 - выплата в начале периода.

Единицы измерения для аргументов ставка и кпер должны быть согласованы. Если производятся ежемесячные платежи по четырехгодичному займу из расчета 12% годовых, то норма должна быть 12%/12, а кпер должно быть 4*12. Если производятся ежегодные платежи по тому же займу, то ставка должна быть 12%, а кпер должно быть 4.

Ваш вклад представляется отрицательным числом, а деньги, которые вы получите, представляются положительным числом.

В принятых в данной работе обозначениях

FV=БС (r/m; k·m; С; PV; тип).

Пример 15 Определим, сколько денег будет на счету через год, если вы собираетесь вложить 1000 рублей под 6% годовых (что составит в месяц 6%/12 или 0,5%). Причем вы собираетесь вкладывать по 100 рублей в начале каждого следующего месяца в течение года.

Через год на счете будет:

БС (0,5%; 12; - 100; - 1000; 1)=2301,40 р.

Определение будущей стоимости на основе постоянной процентной ставки.

Пример 16 Определить сумму вклада на банковском счете, если положить 37 тыс. руб. на 3 года под 11,5% годовых. Проценты начисляются каждые полгода.

Алгоритм решения задачи:

Поскольку необходимо рассчитать единую сумму вклада на основе постоянной процентной ставки, то используем функцию БС(). В связи с тем, что проценты начисляются каждые полгода, аргумент ставка равен 11,5%/2. Общее число периодов начисления равно 3*2 (аргумент кпер). По условию аргумент пс (начальное значение) равен 37000 руб. и задается в виде отрицательной величины (- 37 000), т.к. с точки зрения вкладчика это отток его денежных средств (вложение средств). Аргумент платеж отсутствует, т.к. вклад не пополняется, аргумент тип равен 0, т.к. в подобных операциях проценты начисляются в конце каждого периода (задается по умолчанию). Тогда к концу 3-го года на банковском счете имеем:

= БС (11,5%/2; 3*2; - 37000) = 51746,86 руб.

Отметим, что по условию задачи указаны годовой процент и число лет. Если процент начисляется несколько раз в год, то следует рассчитать общее число периодов начисления процентов и ставку процента за период начисления. Для наиболее распространенных методов внутригодового учета процента можно привести следующую таблицу расчета основных величин.

Расчет процентной ставки для различной периодичности начислений

Метод начисления процентов	Общее число периодов начисления процентов	Ставка процента за период начисления, %
Ежегодный	N	K
Полугодовой	N*2	K/2
Квартальный	N*4	K/4
Месячный	N*12	K/12
Ежедневный	N*365	K/365

Расчет текущей суммы

ПС - текущий объём вклада

Позволяет рассчитать текущий объем вклада.

Синтаксис

ПС (ставка; кпер; плт; бс; тип)

ставка - процентная ставка за период. Так, если Вы получили ссуду под станок под 15% годовых и делаете ежемесячные выплаты, то ставка процента за месяц составит 15%/12, или 1,25%. Аргумент ставка в данном случае может принимать значения 15%/12 или 1,25% или 0,0125.

кпер - общее число периодов выплат годовых процентов. Так, если Вы получили ссуду на 3 года под станок и делаете ежемесячные платежи, то Ваша ссуда имеет 3*12 (или 36) периодов. Аргумент кпер в данном случае принимает значение 36.

плт (выплата) - размер выплаты, производимой в каждом периоде и не меняющейся в течение всего времени выплаты процентов. Обычно, выплата включает основные платежи и платежи по процентам без учета других сборов или налогов. Например, ежемесячная выплата по четырехгодичному займу в 10 000 руб. под 12% годовых составит 308,3 руб. Аргумент выплата в данном случае принимает значение -308,3.

бс - будущая стоимость или баланс наличности, который нужно достичь после последней выплаты. Если бс опущено, оно полагается равным 0 (будущая стоимость займа, например, равна 0). Например, если Вы хотите накопить 50000 руб. в течение18 лет, то 50 000 руб. это и есть будущая стоимость. Вы можете сделать предположение о сохранении заданной процентной ставки и определить, сколько нужно откладывать каждый месяц.

тип - число, определяющее, когда должна производиться выплата. Может принимать значения 0 или 1: 0 означает - выплата в конце периода, 1 - выплата в начале периода.

Выбранные единицы измерения для аргументов ставка и кпер должны соответствовать друг другу. Если Вы делаете ежемесячные выплаты по четырехгодичному займу под 12% годовых, то используйте 12%/12 для задания аргумента ставка, 4*12 для задания аргумента кпер. Если Вы делаете ежегодные платежи по тому же займу, то используйте 12% для задания аргумента норма и 4 для задания аргумента кпер.

В функциях, связанных с интервалами выплат, выплачиваемые деньги представляются отрицательным числом, а получаемые деньги представляются положительным числом. Например, депозит в банк на сумму 1 000 руб. представляется для вкладчика аргументом -1000, а для банка аргументом 1000.

В принятых здесь обозначениях

PV=ПC (r/m; k*m; С; FV; тип).

Пример 17

Фирме потребуется 5000 руб. через 12 лет. В настоящее время фирма располагает деньгами и готова положить их на депозит единым вкладом, чтобы через 12 лет он достиг 5000 руб. Определим необходимую сумму текущего вклада, если ставка процента по нему составляет 12% годовых.

Необходимая сумма текущего вклада составит:

ПС (12%; 12; 5000)=-1283.38 руб.

Расчет срока ренты

КПЕР - определение срока платежа

Эта функция вычисляет общее число периодов выплат как для единой суммы вклада (займа), так и для периодических постоянных выплат на основе постоянной процентной ставки. Если платежи производятся несколько раз в год, найденное значение необходимо разделить на число расчетных периодов в году, чтобы найти число лет выплат.

Синтаксис

КПЕР (ставка; плт; пс; бс; тип)

ставка - норма прибыли за период.

плт (выплата) - размер выплаты, производимой в каждом периоде.

пс - общая сумма всех будущих платежей с настоящего момента. Если аргумент пс опущен, то он полагается равным 0.

бс - будущая стоимость или баланс наличности, который нужно достичь после последней выплаты.

тип - число, определяющее, когда должна производиться выплата.

В принятых здесь обозначениях

n=КПЕР (r/m; C; PV; FV; Тип).

Пример 18

Ожидается, что ежегодные доходы от реализации проекта составят 33 млн. руб. Необходимо рассчитать срок окупаемости проекта, если инвестиции к началу поступления доходов составят 100 млн. руб., норма дисконтирования 12.11%.

Срок окупаемости проекта составит:

КПЕР (12.11%; 33; - 100)=4 года.

Определение размера процентной ставки

Расчет эффективной и номинальной ставки процентов в Excel осуществляется с помощью встроенных функций ЭФФЕКТ и НОМИНАЛ.

Функции ЭФФЕКТ и НОМИНАЛ предназначены для расчета эффективной и номинальной процентной ставки. При выпуске ценных бумаг, заключении финансовых контрактов, займах на долговом соглашении указывается годовая номинальная процентная ставка и период начисления (год, полугодие, квартал).

Начисление процентов по номинальной ставке производится по формуле сложных процентов. Годовая ставка, обеспечивающая тот же доход, что и номинальная ставка после начисления сложных процентов, - это эффективная процентная ставка. Номинальная и эффективная процентная ставки эквивалентны.

Функция ЭФФЕКТ вычисляет действующие (эффективные) ежегодные процентные ставки, если заданы номинальная годовая процентная ставка и количество периодов, составляющих год.

Синтаксис функции:

ЭФФЕКТ (номинальная_ставка, кол_пер).

Функция НОМИНАЛ вычисляет номинальную годовую процентную ставку, если известны эффективная ставка и число периодов, составляющих год.

Синтаксис функции:

НОМИНАЛ (эффект_ставка, кол_пер).

Пример 19

Ставка банка по срочным валютным депозитам составляет 18% годовых. Какова реальная доходность вклада (т.е. эффективная ставка) если проценты выплачиваются:

а) ежемесячно

=ЭФФЕКТ (0,18; 12) (Результат: 0,1956 или 19,56%);

г) раз в год

=ЭФФЕКТ (0,18; 1) (Результат: 0,18 или 18%).

Функция НОМИНАЛ() выполняет обратное действие, т.е. позволяет определить номинальную ставку по известной величине эффективной. Например:

=НОМИНАЛ (0,1956; 12) (Результат: 0,1799 или 18%).

Выбор банка кредитования и составление плана погашения кредита

Разработка планов погашения кредитов - одна из важнейших и часто встречающихся на практике задач. Как правило, кредит погашается одинаковыми платежами, равномерно распределенными во времени. Такой метод погашения часто называется амортизацией долга. Возникающие при этом денежные потоки представляют собой аннуитет.

Основная задача планирования поступлений (выплат) по кредитам сводится к начислению составных элементов платежей и распределению их во времени. Для этих целей в Excel реализована специальная группа функций, формат которых приведен в таблице.

Функции для разработки планов погашения кредитов

Функция	Синтаксис функции
ПЛТ	ПЛТ (ставка; период; кпер; пс; бс; тип)
ПРПЛТ	ПРПЛТ (ставка; период; кпер; пс; бс; тип)
ОСПЛТ	ОСПЛТ (ставка; период; кпер; пс; бс; тип)
ОБЩПЛАТ	ОБЩПЛАТ (ставка; кпер; пс; нач_период; кон_период; тип)
ОБЩДОХОД	ОБЩДОХОД (ставка; кпер; пс; нач_период; кон_период; тип)

В таблице использованы следующие обозначения:

· ставка - это процентная ставка за период;

· период - это период, для которого требуется найти прибыль и который должен находиться в интервале от 1 до кпер;

· кпер - это общее число периодов выплат годовой ренты;

· пс - это текущая стоимость, или общая сумма всех будущих платежей с настоящего момента;

· бс - это будущая стоимость или баланс наличности, которого нужно достичь после последней выплаты;

· тип - это число 0 или 1, обозначающее, когда должна производиться выплата;

· нач_период - это номер первого периода, участвующего в вычислениях. Периоды выплат нумеруются, начиная с 1;

· кон_период - это номер последнего периода, участвующего в вычислениях.

Рассмотрим эти функции подробнее.

ПРПЛТ - платежи по процентам за период на основе постоянных периодических выплат и постоянной процентной ставки

С помощью данной функции можно рассчитать процентные платежи за текущий период при периодических постоянных выплатах и постоянной процентной ставке. Полное описание аргументов функции ПРПЛТ и более подробная информация о функциях, связанных с ежегодными выплатами, приведены в описании функции ПС.

Синтаксис

ПРПЛТ (ставка; период; кпер; пс; бс; тип)

ставка - процентная ставка за период.

период - текущий период, в котором требуется определить прибыль (может принимать значения от 1 до кпер).

кпер - общее число периодов выплат.

пс - сумма, которую составят будущие платежи с настоящего момента.

бс - баланс платежей, который нужно достичь после последней выплаты.

тип - число, определяющее, когда должна производиться выплата. Может принимать значения 0 или 1: 0 - выплаты в конце периода, 1 - выплаты в начале периода.

Ш Единицы измерения для аргументов ставка и кпер должны быть согласованы. Если производятся ежемесячные платежи по трехгодичному займу из расчета 10% годовых, то ставка должна быть 10%/12, а кпер должно быть 3*12. Если производятся ежегодные платежи по тому же займу, то ставка должна быть 10%, а кпер должно быть 3.

Ш Выплачиваемые денежные средства представляются отрицательным числом, а получаемые денежные средства представляются положительным числом.

Пример 20 Требуется определить доход за первый месяц от четырехгодичного займа в 1000000 рублей из расчета 15% годовых:

ПРПЛТ (0,15/12; 1; 48; 1000000)= -12500 рублей.

Минус в ответе говорит о разнонаправленности денежных потоков. Чтобы избежать минуса в ответе, функцию можно ввести в виде:

- ПРПЛТ (0,15/12; 1; 48; 1000000)= 12500 рублей

или

ПРПЛТ (0,15/12; 1; 48; - 1000000)= 12500 рублей.

ПЛТ - расчет постоянных периодических выплат

Функция вычисляет величину выплаты за один период на основе фиксированных периодических выплат и постоянной процентной ставки. Выплаты, рассчитанные функцией ПЛТ, включают основные платежи и платежи по процентам.

Синтаксис

ПЛТ (ставка; кпер; пс; бс; тип)

Пример 21 Предположим, что необходимо накопить 4000 руб. за 3 года, откладывая постоянную сумму в конце каждого месяца. Какой должна быть эта сумма, если норма процента по вкладу составляет 12% годовых?

Величина ежемесячных выплат составит:

ПЛТ (12%/12; 12*3; - 4000)= 92.86 руб.

ОСПЛТ - расчет основных платежей по займу

Функция вычисляет величину основного платежа (выплаты задолженности) по займу, который погашается равными платежами в конце или начале каждого расчетного периода, на указанный период.

Синтаксис

ОСПЛТ (ставка; период; кпер; пс; бс; тип)

Пример 22 Банком выдан кредит в 7000 руб. на 3 года под 17% годовых, начисляемых один раз в конце каждого периода.

Определите размер ежегодных основных выплат по займу.

Основная часть платежа на каждый из трех периодов составит соответственно:

ОСПЛТ (17%; 1; 3; - 70000)=19780.16 руб.

ОСПЛТ (17%; 2; 3; - 70000)=23142.78 руб.

ОСПЛТ (17%; 3; 3; - 70000)=27077.06 руб.

Комплексный пример

Банк выдал долгосрочный кредит в сумме 40 000 $ на 5 лет под 6% годовых. Погашение кредита должно производиться равными ежегодными выплатами в конце каждого года, включающими погашение основного долга и процентные платежи. Начисление процентов производится 1 раз в год. Составить план погашения займа.

Решение:

Периодический платеж по данной операции составит

ПЛТ (6%; 5; - 40000)=9495,86 $.



Рис. 1. План погашения кредита

Процентная часть платежа на первый период составит:

ПРПЛТ (6%; 1; 5; - 40000)=2400,00 $.

Основная часть платежа, направленная на погашение долга за первый период, составит:

ОСПЛТ (6%; 1; 5; - 40000)=7095,86 $.

Как видно выполняется тождество:

ПЛПРОЦ()+ОСНПЛАТ()=ППЛАТ()=9495,86 $.

Будущее значение суммы, которую банк получит в результате проведения операции:

ПЛТ (6%; 5; - 40000)*5=47479,28 $.

Лабораторная работа

Финансовые функции Excel

1. Решить без использования встроенных функций

Задача 1.

В банке открыт срочный депозит на сумму 50 тыс. руб. по 12% на 3 года. Рассчитать наращенную сумму если проценты:

а) простые

б) сложные.

Задача 2.

В банке открыт срочный депозит на сумму 100 тыс. руб. по 15% на 3 года. Рассчитать наращенную сумму, если проценты начисляются ежеквартально.

Задача 3.

Банк предлагает два варианта депозита

1) под 120% с начислением процентов в конце года

2) под 100% с начислением процентов в конце каждого квартала.

Определить более выгодный вариант размещения депозитов на один год.

Задача 4.

Банк принимает депозиты по ставке 50% с начислением процентов ежеквартально. Определить эффективную ставку.

Задача 5.

Процентная ставка 50% с начислением процентов в конце срока. Рассчитать эквивалентную ставку с начислением процентов раз в 6 месяцев.

2. Решить, используя встроенные функции

ЗАДАЧА 1. Сумма вклада, помещенного в банк на 5 лет под 5% годовых, составляет 10000 ден. ед.

1.1. Определите будущую величину вклада, если начисление процентов осуществляется:

а) раз в году;

б) раз в полгода;

в) раз в квартал;

г) раз в месяц.

1.2. В предположении, что целью вкладчика является накопление суммы 15000 ден. ед. определите, какова должна быть сумма начального вклада при тех же условиях (срок вклада - 5 лет, годовой процент - 5%). Использовать аппарат Подбор параметра или функцию ПС

ЗАДАЧА 2. Фирма «X» предполагает взять кредит в 100000 ден. ед. на 5 лет под 12% годовых. Проценты начисляются ежеквартально и подлежат выплате вместе с основной суммой долга по истечении срока кредита. Определите сумму выплаты на момент погашения кредита.

Допустим, что фирма «X» имеет альтернативную возможность получения кредита в 100000 ден. ед. На 5 лет под 11% годовых, выплачиваемых ежемесячно. Какой вариант получения кредита выгоднее?

ЗАДАЧА 3. По вкладу в 10000 ден. ед., помещенному в банк под 5% годовых, начисляемых ежегодно, была выплачена сумма 12762,82. Определите срок проведения операции (количество периодов начисления).

ЗАДАЧА 4. Фирма определила возможную для себя ежемесячную выплату по кредиту 720 тыс. руб. Зная размер ежемесячных выплат, размер кредита 45000 тыс. руб., процентную ставку 12%, определите количество платежей (месяцев) для расчета по кредиту.

ЗАДАЧА 5. Фирма хотела взять валютный кредит на 5 лет под 10% годовых, выплачивая проценты один раз в конце года. За год фирма имеет возможность выплачивать не более 1000 $. Определите сумму кредита, который может получить фирма.

...