После того, как результат получен, вычисляется пересечение дат портфеля и Индекса ММВБ 10 для построения совместного графика. Данные объединяются в одну временную таблицу с соответствующим названием столбцов. И функцией charts.PerformanceSummary из пакета PerformanceAnalytics строится график. Далее строится линейная регрессия для численного сравнения портфеля с индексом.

Рис. 43. Сравнение построенного портфеля с Индексом ММВБ 10

Данная линейная регрессия соответствует модели CAPM. Коэффицент альфа - Intercept близок к нулю, это означает, что портфель не обыгрывает и не проигрывает бенчмарку - Индексу ММВБ 10. Коэффициент бета - test[, 1] близок к единице, значит портфель максимально полно следует данному индексу. Результат линейной регрессии говорит о том, что построенный равновзвешенный портфель из акций, которые входили в индекс, максимально близко повторяет основной Индекс ММВБ 10, даже с учетом комиссий.



Рис. 44. Результат регрессии портфеля на Индекс ММВБ 10

Ниже продемонстрировано графическое сравнение кумулятивной доходности построенного портфеля и Индекса ММВБ 10. График равновзвешенного портфеля из акций, которые входили в индекс, максимально близко повторяет график Индекса ММВБ 10.

Первый график - это график кумулятивной доходности. Второй график показывает гистограмму месячной доходности Индекса ММВБ 10. Нижний график демонстрирует отрицательную доходность, как по построенному портфелю, так и по индексу.

Для составления портфеля на основе фьючерса на Индекс МосБиржи с ближайшей датой исполнения применяется другой алгоритм. Поскольку при торговле фьючерсами есть важные отличия от торговли активами на примере паевых фондов или акций. Первое отличие заключается в том, что фьючерс - это заключение контракта по текущей цене, и на момент заключения контракта резервируется сумма гарантийного обеспечения, которая нужна для того, чтобы обезопасить выполнение контракта. Прибыль получается в том случае, если будет заключен противоположный контракт с более высокой ценой, либо в последний день торговли фьючерсом его расчётная цена окажется выше цены при заключении контракта. Фьючерс может быть поставочным или расчётным, в случае поставочного инструмента по контракту поставляется товар, а в случае расчётного одна из сторон контракта перечисляет другой разницу между текущей ценой инструмента и ценой инструмента в контракте. Фьючерс на Индекс МосБиржи является расчётным. Размер гарантийного обеспечения меньше, чем цена контракта, что создаёт эффект плеча, когда при незначительном движении цены контракта можно получить как большую доходность, так и больший убыток. Это достигается за счёт того, что на одну и ту же сумму денежных средств можно инвестировать в больший объем контрактов, чем покупая их за реальную цену.

Рис. 45. Графики доходности портфеля и Индекса ММВБ 10

Данный портфель можно использовать в качестве бенчмарка, так как он максимально полно следует Индексу ММВБ 10, что говорит, об отсутствии дополнительных рисков, которые бы повлияли на доходность, иначе это было бы отражено на графике.



2.3 Инвестиционный портфель на основе фьючерса на Индекс МосБиржи

Другое отличие заключается в том, что каждый торговый день изменяется расчётная цена контракта. В результате чего, в конце каждого торгового дня между сторонами, заключившими контракт, возникает маржинальное требование, которое необходимо перечислить одной из сторон. Фьючерсный контракт для обеих сторон это игра с нулевой суммой - одна из сторон гарантированно получит убыток. Маржинальное требование является убытком для одной стороны и прибылью для другой. Для той стороны, кто заключил длинную позицию по фьючерсу - купил фьючерс, если произойдёт повышение расчётной цены по отношению к расчётной цене предыдущего торгового дня, то маржинальное требование будет положительным, значит для данной стороны по фьючерсу будет прибыль.

Торговля фьючерсами сводится к изменению размера гарантийного обеспечения и величины маржинального требования, которые не зависят от клиента. В случае увеличения размера гарантийного обеспечения необходимо резервировать дополнительные денежные средства, и наоборот, в случае уменьшения - часть средств освобождается. Отрицательное маржинальное требование так же нужно удовлетворять в конце каждого торгового дня из свободных денежных средств, что означает, что у клиента должен быть запас денежных средств. Размер гарантийного обеспечения изменяется вследствие резкого изменения цены фьючерса в одну из сторон. Гарантийное обеспечение также зависит от волатильности базового актива, в данном случае Индекса МосБиржи.

Перед построением портфеля задаются изначальные параметры: величина свободных денежных средств для инвестирования, наименование фьючерса, где отсутствие наименования означает, что портфель пустой, а также таблица, в которой будет вестись история изменения стоимости портфеля.

Рис. 46. Начальные параметры для портфеля на основе фьючерса

Ниже приведён сам алгоритм формирования портфеля, где основной цикл похож на цикл для паев фондов или акций, описанный выше. Цикл проходит по таблице с индикаторами, указывающими на то, какой фьючерс должен быть в портфеле. Далее в переменную buy записывается сокращенное наименование фьючерса с ближайшей датой исполнения. В случае если портфель не пустой и фьючерс в портфеле не совпадает с данным, тогда происходит освобождение гарантийного обеспечения, и данная сумма возвращается в свободные денежные средства.

Рис. 47. Определение фьючерса для портфеля, освобождение ГО

Если наименование фьючерса не совпадает с фьючерсом в портфеле, значит далее произойдет инвестирование в новый фьючерс. Вначале записывается в переменную price цена фьючерса, в качестве которой выступает размер гарантийного обеспечения, которое будет зарезервировано, но по истечению срока контракта будет возвращено. Далее вычисляется количество фьючерсов, которое будет добавлено в портфель. В данном случае не будет использован эффект плеча, поскольку нет цели получить какую-либо доходность, поэтому в качестве цены подставляется полная стоимость фьючерса. В результате объём инвестиций в фьючерс полностью покрывает портфель, но будет лишь зарезервировано гарантийное обеспечение, оставшиеся свободные средства будут использованы в случае изменения гарантийного обеспечения и покрытия маржинального требования, которое может быть значительным. Затем свободные денежные средства уменьшаются на размер гарантийного обеспечения, и данная инвестированная сумма сохраняется в другую переменную portfel.warranty. Также записывается наименование нового фьючерса в переменную portfel.name.

Рис. 48. Заключение контракта по фьючерсу

Стоит упомянуть, что, поскольку фьючерс - это контракт на базовый актив, то по контракту количество базового актива может быть больше одного. В данном случае фьючерс на Индекс МосБиржи включает в себя сто базовых активов. Или, другими словами, расчётная цена фьючерса вычисляется как среднее значения Индекса МосБиржи за период с 15:00 до 16:00 в последний день заключения контракта, умноженное на 100.

Если в портфеле есть фьючерс на Индекс МосБиржи, то далее происходит расчёт актуального размера гарантийного обеспечения на данную итерацию цикла. Если новое значение гарантийного обеспечения больше того, что зарезервировано, тогда из свободных денежных средств данная разница перераспределяется. В случае, если требуемое гарантийное обеспечение меньше, чем зарезервировано, тогда эта разница добавляется к свободным средствам. В результате выполняется условие обеспечение необходимого уровня ГО (гарантийное обеспечение).

Далее вычисляется размер маржинального требования, которое в случае отрицательного значения, вследствие уменьшения расчётной цены по отношению к предыдущему торговому дню, будет выплачено из свободных денежных средств другой стороне по контракту. В случае положительного значения - получено от другой стороны и добавлено к свободным средствам. Маржинальное требование в день покупки рассчитывается как разница между ценой покупки и расчётной ценой на данный день.

Если количества зарезервированного гарантийного обеспечения и величины свободных денежных средств в сумме не хватает на покрытие маржинального требования, то возникает ситуация “margin call” - произойдет принудительное закрытие позиции, контракт по фьючерсу будет расторгнут автоматически, если по правилам биржи не внести требуемую сумму до конца торговой сессии следующего дня. Принудительное закрытие позиции означает большой убыток для клиента. В случае длинной позиции величина маржинального требования резко увеличивается из-за большого падения цены, в случае короткой позиции, когда клиент продавал фьючерс, из-за большого роста расчётной цены.



Рис. 49. Расчёт гарантийного обеспечения и маржинального требования

В конце каждой итерации цикла сохраняется стоимость портфеля, которая состоит из зарезервированного гарантийного обеспечения и свободных денежных средств.

Рис. 50. Ситуация margin call, сохранение стоимости портфеля

В результате данного алгоритма сформирована история стоимости портфеля, который инвестируется во фьючерс на Индекс МосБиржи с ближайшей датой исполнения. Данный портфель имеет дневную доходность, которая далее переводится в месячную, после чего сравнивается с Индексом МосБиржи.

Рис. 51. Сравнение портфеля с Индексом МосБиржи

По значению альфы Intercept из линейной регрессии данного портфеля на индекс можно говорить, что доходность близка к нулю. Значение беты test[, 1] указывает на то, что портфель следует индексу, но не полностью совпадает с ним, и данный коэффициент также является значимым.

Рис. 52. Результат регрессии портфеля на Индекс МосБиржи

Ниже представлено графическое сравнение построенного портфеля и Индекса МосБиржи. По графику видно, что портфель повторяет индекс, но не совпадает с ним. Когда график портфеля выше графика индекса, то это означает, что по данному фьючерсу происходит ситуация контанго - когда рынок оценивает будущую цену базового актива выше, чем цена на текущий момент, или в данном случае - значение Индекса МосБиржи. Контанго наблюдалось до октября 2016 года. Далее происходила ситуация бэквордация - когда рынок оценивает будущую стоимость базового актива фьючерса ниже его текущей стоимости. Поэтому график портфеля и Индекса МосБиржи не совпадают. Также не учитывались комиссии биржи при составлении портфеля, так как комиссии на Московской Бирже по фьючерсам составляют фиксированную величину в три рубля за контракт, и данная величина мала по сравнению со стоимостью портфеля.

Рис. 53. График доходности портфеля на фьючерс и Индекса МосБиржи

В результате было построено три портфеля, каждый из которых будет использован в качестве бенчмарка для оценки открытых не отраслевых паевых инвестиционных фондов акций.

3. Бутстрап модель

3.1 Описание бутстрап подхода

Цель бутстрап подхода определить паевые инвестиционные фонды, которые получили не случайную избыточную доходность альфа относительно других фондов. В данной реализации бутстрап модели будет использована модель CAPM для определения характеристик фонда, таких как альфа и бета коэффициент, а также t-статистика, по отношению к бенчмарку. В качестве бенчмарка будут использованы три сформированных портфеля, которые были построены на основе Индекса МосБиржи и Индекса ММВБ 10. При построении данных портфелей преследовалась цель использовать финансовые инструменты, которые доступны инвестору для возможности инвестировать в рыночный индекс. Для портфеля на основе Индекса МосБиржи использовались два инструмента: индексные паевые инвестиционные фонды и фьючерсы на Индекс МосБиржи. Для портфеля на основе Индекса ММВБ 10 при помощи архивной базы расчёта данного индекса в равновзвешенный портфель были включены акции, которые когда-либо входили в состав индекса.

Технически модель CAPM реализуется с использованием линейной регрессии избыточной доходности инвестиционного портфеля, в качестве которого выступает определённый паевой инвестиционный фонд, на избыточную доходность бенчмарка. Избыточная доходность вычисляется как доходность инвестиционного портфеля или бенчмарка после вычета доходности по безрисковой ставке. В данной работе в качестве безрисковой ставки выступает кривая бескупонной доходности однолетних государственных облигаций Российской Федерации.

Особенностью бутстрап модели является удаление реального альфа коэффициента из модели CAPM и создание доходности данного инвестиционного портфеля заново без данного коэффициента. Альфа коэффициент является безрисковой доходность портфеля, или, в данной работе в качестве портфеля выступает паевой инвестиционный фонд, где альфа коэффициент можно назвать навыком управляющего фондом. После удаления альфа коэффициента из модели это означает, что из модели убрали навык управляющего. После чего снова строится регрессия созданной искусственно доходности фонда на бенчмарк. В результате данной регрессии получаются симулированные коэффициенты, и новое значение альфа коэффициента говорит о том, влияет ли навык управляющего на доходность фонда или нет.

Регрессия с симулированными доходностями повторяется много раз, в результате чего получается массив альфа коэффициентов по одному паевому фонду. Затем данный метод повторяется для всех паевых инвестиционных фондов. В результате получается один массив реальных альфа коэффициентов, который включает в себя все фонды. И определенное количество наборов с симулированными альфа коэффициентами, количество данных массивов зависит от количества повторений регрессии с симулированными данными.

В качестве сравнения фондов друг с другом вместо альфа коэффициентов будет использоваться t-статистика коэффициента альфа, поскольку данная характеристика включает в себя волатильность доходности, полученной фондом. При сравнениях фондов между собой это говорит о том, что при двух одинаковых доходностях фондов будет лучше та, которая получена с меньшей волатильностью.

На последнем этапе бутстрап подхода все симулированные альфа коэффициенты или t-статистики, в данной работе, объединяются в один большой массив. Из данного массива выбираются лучшие значения из распределения массива, а точнее, выбираются значения из правого хвоста распределения с заданным уровнем значимости, который обычно выбирается на интервале от 97,5% до 99%. В конце реальные коэффициенты паевых инвестиционных фондов, альфа коэффициенты или t-статистики, полученные на первом этапе, сравниваются с выборкой лучших симулированных коэффициентов аналогичного типа. Фонды, коэффициенты которых вошли в данную симулированную выборку, отмечаются как лучшие фонды, среди остальных фондов из данной выборки. В результате безрисковая доходность выбранных фондов была получена не случайно, что говорит о влиянии навыков управляющего фондом на доходность данного фонда.

3.2 Алгоритм бутстрап подхода

- Исходные данные представляют собой выборку месячных доходностей по открытым не отраслевым паевым инвестиционным фондам акций, где - количество фондов, и данные о доходности бенчмарка и безрисковой доходности по месяцам;

- Далее для каждого фонда вычисляется линейная регрессия (2), соответствующая модели CAPM, где - избыточная доходность _го фонда (), - избыточная доходность бенчмарка. Избыточная доходность вычисляется по формуле: , где - доходность портфеля или бенчмарка, - безрисковая доходность. В данной работе в качестве безрисковой доходности используется бескупонная доходность однолетних государственных облигаций Российской Федерации;

- Формула линейной регресси:

,

где: - избыточная доходность _го фонда;

- коэффициент альфа -го фонда;

- коэффициент бета -го фонда;

- избыточная доходность бенчмарка;

- временной ряд остатков по -му фонду.

Данные коэффициенты являются оценками на реальных данных. Для сравнения фондов между собой будет использоваться t-статистика альфа коэффициента из данной регрессии. Данный коэффициент вычисляется по следующей формуле:

,

где: - коэффициент альфа доходности паевого фонда;

- среднеквадратичное отклонение доходности паевого фонда;

В данном коэффициенте учитывается волатильность доходности паевого инвестиционного фонда.

- На данном шаге происходит восстановление избыточной доходности фонда по следующей формуле:

,

где: - воссозданная избыточная доходность по -му фонду;

-реальный бета коэффициент -го фонда;

- избыточная доходность бенчмарка;

- перемешанные ошибки из регрессии на реальных данных.

- Необходимо снова построить линейную регрессию , но с использованием восстановленной избыточной доходности паевого фонда;

- Затем из данной регрессии вычисляется симулированный коэффициент альфа или t-статистика коэффициента альфа , в зависимости от того, какая оценка будет использована для сравнения фондов;

- Данную регрессию можно повторить раз, при этом на каждом шаге необходимо перемешивать ошибки из регрессии на реальных данных, ;

- Из каждой регрессии для все паевых фондов как на реальных данных, так и на каждом повторений регрессии на симулированных данных значение коэффициента альфа или, в данной работе, значение t-статистики коэффициента альфа сохраняется в таблицу, размером :

,

где: - t-статистика коэффициента альфа на реальных данных для -го паевого фонда;

- t-статистика коэффициента альфа на восстановленных данных для -го паевого фонда;

- количество паевых инвестиционных фондов;

- количество повторений бутстрапов, оценки регрессии на восстановленных данных.

Количество строк в таблице равняется количеству паевых фондов, количество столбцов равняется количеству повторений бутстрапов плюс первый столбец с оценками коэффициентов на реальных данных.

- На завершающем этапе происходит сравнение паевых фондов и выбор лучших фондов из данной выборки. По каждому из столбцов симулированных коэффициентов выбираются значения из правого хвоста распределения для каждого столбца. Уровень квантили для выбора может варьироваться от 97,5% до 99% в зависимости от того, какое значение квантили будет задано в реализации алгоритма. В результате после выборки из столбцов сформируется массив симулированных коэффициентов, которые являются лучшими среди всех коэффициентов, полученных на восстановленных данных.

- На последнем этапе коэффициенты альфа или t-статистики коэффициентов альфа, полученные на реальных данных и находящиеся в первом столбце, сравниваются с массивом лучших симулированных коэффициентов. В данном случае можно задать условие простого вхождения фонда в данную выборку, чтобы отметить данный фонд как лучший. Также можно задать уровень квантили для выборки лучших симулированных коэффициентов, и, если реальный коэффициент фонда выше данного значения, тогда отмечать фонд как лучший по сравнению с другими фондами из выборки.

- В результате будет получен список паевых инвестиционных фондов, которые обыгрывают бенчмарк и остальные паевые фонды из выборки. При этом доходность, получаемая лучшими фондами, является статистически значимой и может сохраняться на длительном промежутке времени в будущем. Также данный результат показывает положительное влияние навыков инвестиционного управляющего на получаемую безрисковую доходность фонда.

3.3 Применение бутстрап подхода

Реализация бутстрап модели была сделана в виде функции, которая принимает в качестве входных параметров следующие переменные:

- таблица с доходностями паевых инвестиционных фондов;

- доходность бенчмарка;

- доходность по безрисковой ставке;

- количество повторений бутстрапа ;

- минимальная длина периода для оценки коэффициентов;

- уровень квантили при выборе симулированных коэффициентов;

- уровень квантили при выборе лучших фондов по коэффициентам на реальных данных относительно лучших симулированных коэффициентов.

В начале в функции происходит подключение библиотеки для перемешивания остатков линейной регрессии на реальных данных, имеющих временной формат данных. Также создаётся основная таблица размером для значений t_статистик коэффициентов альфа паевых фондов. По умолчанию у функции задано количество бутстрапов как 100, период оценки коэффициентов в 24 месяца, уровень квантили для лучших симулированных коэффициентов величиной 99%, уровень квантили при выборе лучших фондов равен 50%.

Рис. 54. Начало функции бутстрапа, создание таблицы для t-статистик

Далее идёт цикл по каждому фонду, где в переменную считываются все данные по одному фонду из определённого столбца таблицы. Пустые значения в переменной с данными фонда удаляются. Если количество данных, в данном случае количество месяцев, по фонду больше, чем минимальное значение, заданное ранее, тогда цикл продолжается и находится пересечение дат по фонду, бенчмарку и безрисковой ставке для правильного сопоставления временного интервала данных.

Рис. 55. Начало основного цикла функции бутсрапа

Если общий временной интервал данных удовлетворяет минимальному условию длины данных, тогда на основе общих дат вычисляется избыточная доходность паевого фонда и избыточная доходность бенчмарка. После чего, если длины избыточных доходностей совпадают, то можно приступать к регрессии на реальных данных. В переменную capm записывается описание результата данной регрессии, где указаны значения всех необходимых коэффициентов. Соответствующая t-статистики коэффициента альфа записывается в общую таблицу, на основе бета коэффициента и избыточной доходности бенчмарка восстанавливаются значения избыточной доходности паевого фонда.

Рис. 56. Оценка регрессии на реальных и восстановленных данных

На следующем шаге производится бутстрап, где к восстановленным данным прибавляются перемешанные ошибки. Бутстрап повторяется в цикле заданное количество раз, где при каждой итерации перемешиваются ошибки из регрессии на реальных данных. После чего, строится линейная регрессия восстановленной избыточной доходности фонда на восстановленную избыточную доходность бенчмарка. В результате данной регрессии значение t_статистики коэффициента альфа сохраняется в общую таблицу под соответствующим номер фонда и соответствующим номером итерации цикла бутстрапа. На этом получение значений коэффициентов завершается.

Далее создаётся массив, и в цикле по каждому столбцу в таблице, где столбец соответствует одной итерации бутстрапа, кроме первого, выбираются значения коэффициентов, которые имеют положительные значения и больше заданного уровня квантили распределения значений из данного столбца. Уровень квантили по умолчанию задан на уровне 99%. И выбранные значения объединяются в один массив.

Рис. 57. Выбор лучших коэффициентов симулированных t-статистик по столбцам

На последнем шаге остаётся выбрать лучшие паевые фонды. В цикле по каждому коэффициенту фонда в первом столбце по результату регрессии на реальных данных происходит сравнение данного значения с массивом лучших коэффициентов, полученных выше. В данной работе задан уровень квантили 50% для лучших коэффициентов. Если значение t-статистики коэффициента альфа у фонда выше, чем 50% выборки лучших значений, тогда данный фонд отмечается как лучший, по сравнению с другими, и данный фонд добавляется в отдельный массив вместе с наименованием и значением t-статистики. инвестиционный портфель фьючерс актив



Рис. 58. Выбор лучших фондов по значению t-статистик на реальных данных

В результате данной функции возвращается массив лучших паевых инвестиционных фондов, отсортированных в порядке убывания значений t_статистик коэффициентов альфа. Данная функция оценивает линейную регрессию на всей доступной выборке данных по выбранному паевому фонду.

Рис. 59. Возврат массива лучших фондов в качестве результата функции

Для вычисления лучших фондов и получения результата нужно вызвать функцию с необходимыми параметрами. Для получения бенчмарка на основе индексных фондов вычисляется историческая стоимость портфеля, затем доходность данного портфеля. После чего происходит вызов ранее описанной функции и в переменную best.pif возвращается массив лучших фондов. Затем из общей таблицы характеристик фондов по внутреннему номеру фонда выбирается наименование данного фонда.



Рис. 60. Бутстрап подход на основе индексного портфеля

Далее печатается в консоль список лучших фондов и их значение t-статистик коэффициентов альфа.

Рис. 61. Список лучших фондов

Ниже представлена таблица с лучшими фондами с использованием бутстрап подхода, где в качестве бенчмарка выступает портфель, состоящий из индексных паевых инвестиционных фондов со стратегией следования Индексу МосБиржи.

Таблица 4 Лучшие фонды на основе индексного портфеля

Наименование фонда	t-стат.
Апрель Капитал - Акции	3,36
Апрель Капитал - Акции сырьевых компаний	3,35
Арсагера - Фонд Акций	3,23
ВТБ - Фонд Акций	3,19
Регион Фонд Акций	2,9

Далее вычисляются лучшие фонды на основе портфеля, состоящего из акций, которые входили в Индекс ММВБ 10. Данный портфель восстановлен по исторической базе расчёта данного индекса.

Рис. 62. Бутстрап подход на основе портфеля акций Индекса ММВБ 10

Вызывая функцию бутстрапа, где в качестве бенчмарка портфель на основе Индекса ММВБ 10, возвращается следующий результат:

Рис. 63. Список лучших фондов

Ниже представлен список лучших фондов на основе бенчмарка, который следует Индексу ММВБ 10.

Таблица 5 Лучшие фонды на основе портфеля акций Индекса ММВБ 10

Наименование фонда	t-стат.
РСХБ - Фонд Акций	3,47
РСХБ -- Лучшие отрасли	2,97

Далее вычисляются лучшие паевые инвестиционные фонды, где в качестве бенчмарка выступает портфель, основанный на инвестиции во фьючерсы с ближайшей датой исполнения на Индекс МосБиржи.



Рис. 64. Бутстрап подход на основе портфеля фьючерсов на Индекс МосБиржи

Функция возвращает следующий результат:

Рис. 65. Список лучших фондов

Ниже представлены лучшие паевые фонды по результату бутстрап подхода, где в качестве бенчмарка используется портфель, стратегия которого следует Индексу МосБиржи, где в качестве инструментов используются фьючерсы на данный индекс с ближайшей датой исполнения.

Таблица 6 Лучшие фонды на основе портфеля фьючерсов на Индекс МосБиржи

Наименование фонда	t-стат.
Апрель Капитал - Акции	3,18
Апрель Капитал - Акции сырьевых компаний	2,9
РСХБ - Фонд Акций	2,85

В результате бутстрап подхода и на основе трёх бенчмарков, которые были построены из инструментов, которые доступны инвестору, и с использованием которых можно воспроизвести Индекс МосБиржи или Индекс ММВБ 10, были определены лучшие фонды. Для воссоздания Индекса МосБиржи было создано два портфеля, один из которых строился из паёв индексных паевых инвестиционных фондов, стратегия которых следовать данному индексу. Второй портфель строился на основе фьючерсов с ближайшей датой исполнения на данный индекс, которые доступны инвестору на Московской Бирже. Другой портфель воспроизводил Индекс ММВБ 10, поскольку по данному индексу доступна полная историческая база расчёта, а также историческая цена акций на Московской Бирже, которые когда-либо составляли данный индекс.

Список лучших фондов:

- Апрель Капитал - Акции;

- Апрель Капитал - Акции сырьевых компаний;

- Арсагера - Фонд Акций;

- ВТБ - Фонд Акций;

- Регион - Фонд Акций;

- РСХБ - Фонд Акций;

- РСХБ - Лучшие отрасли.

Данные фонды являются лучшими среди всей выборки в 57 открытых не отраслевых паевых инвестиционных фондов акций. Также данные фонды превосходят по доходности не только построенные портфели, которые выступают в качестве бенчмарка, но и остальные паевые фонды в выборке.

1.1. Инвестиционная стратегия на основе бутстрап подхода

Данная стратегия похожа на стратегию, которая применялась при выборе индексного паевого инвестиционного фонда, где критерием выбора было максимально полное следование паевого фонда Индексу МосБиржи. В данном случае критерием выбора паевого инвестиционного фонда акций будет результат бутстрапа.

В стратегии используется движущийся период в 24 месяца. На данном периоде применяется бутстрап метод для определения лучших фондов за период. После чего лучшие фонды за данный период отмечаются в общей таблице всех фондов. Таким образом накапливается статистика о том, какие фонды становились лучшими среди других на разных периодах. Далее данная полученная таблица оценивается с плавающим периодом в четыре месяца, и выбирается один лучший фонд по сумме данных четырёх месяцев, в который будут инвестироваться средства на следующие четыре месяца. Подобная стратегия применялась при создании портфеля на основе индексных паевых инвестиционных фондов, где период инвестирования составлял двенадцать месяцев. По прошествии четырех месяцев по стратегии данного портфеля, снова принимается решение об инвестировании в паевой фонд по результатам бутстрапа на прошедшем периоде в четыре месяца.

Для данной стратегии функция бутстрапа была модифицирована, при этом входные параметры остаются прежними, но переменная периода изменяет роль с длины минимального периода на роль длины периода для движущегося окна по всей протяженности данных.

В начале функции создаётся таблица, которая по структуре копирует таблицу доходностей паевых инвестиционных фондов. В данной таблице будут отмечаться лучшие фонды по результату бутстрапа за определенный период.

Рис. 66. Начало функции, создание общей таблицы

Далее начинается основной цикл с движущимся окном в 24 месяца по всей длине данных. В отдельную переменную dta.m записываются данные по доходности для всех фондов за данный период. Информация из данной таблицы будет участвовать в бутстрапе. Также создаётся таблица с оценками t-статистик коэффициентов альфа по фондам. В функции бутстрап подхода по всей длине данных создаётся только одна таблица на весь период, в данной версии такая таблица создаётся на каждом периоде.

Рис. 67. Основной цикл с движущимся периодом, таблицы t-статистик

Далее производятся действия, как в функции бутстрапа, описанной ранее. Так же происходит цикл по каждому фонду, где проверяется, что количество данных по фонду равняется длине периода в 24 месяца. Также данную проверку проходит длина общего временного периода для фонда, бенчмарка и безрисковой ставки для нахождения избыточной доходности фонда и избыточной доходности бенчмарка.

Рис. 68. Цикл по каждому фонду, вычисление избыточной доходности

После того, как проверки пройдены, производится линейная регрессия на реальных данных и значение t-статистики коэффициента альфа записывается в таблицу. Далее происходит восстановление избыточной доходности бенчмарка. Ошибки из регрессии сохраняются в отдельную переменную для дальнейшего перемешивания.

Рис. 69. Вычисление линейной регрессии на реальных данных

Далее производится бутстрап, где на каждом шаге перемешиваются ошибки регрессии на реальных данных, и производится восстановление избыточной доходности фонда без участия коэффициента альфа. Далее оценивается t-статистика на восстановленных данных и записывается в таблицу.

Рис. 70. Бутстрап цикл на восстановленных данных

На завершающем этапе заполняется массив лучших t-статистик коэффициентов альфа на симулированных данных за данный период в 24 месяца, путём выбора из каждого столбца с результатом бутстрапа значений, которые выше заданной квантили распределения уровня 99%.

На последнем этапе выбираются лучшие паевые фонды на периоде в 24 месяца, через сравнение значений t-статистик на реальных данных из первого столбца с массивом лучших симулированных коэффициентов отобранных ранее. Если значение оценки для фонда выше уровня квантили в 50% для данного массива, тогда фонд отмечается как лучший среди остальных на данном периоде.

Рис. 71. Выбор лучших фондов на определённом периоде

Данные о лучших фондах за период заносятся в таблицу, созданную в самом начале. В данной таблице для выбранных фондов указывается вес, который равен порядковому номеру фонда в массиве значений t-статистик, отсортированного в порядке убывания. Лучший фонд с высоким значением, который находится на первом месте в массиве лучших фондов, в таблице будет отмечен с весом в единицу, второй фонд с весом два и так далее.



Рис. 72. Запись весов лучших фондов в таблицу

В конце функции, когда бутстрап с движущимся периодом сделан по всей длине данных, возвращается результат в виде таблицы, созданной в самом начале. Но перед этим из данной таблицы удаляются фонды, которые ни в одном периоде не входили в список лучших и не были отмечены. Поиск таких фондов происходит путём суммирования данных из данной таблицы по столбцам. Те фонды, сумма столбцов которых отлична от нуля, остаются в таблице.

Рис. 73. Выбор фондов, по которым есть данные

Для составления таблицы с индикаторами, которые указывают на то, какие паевые фонды составляют инвестиционный портфель в определенный момент, используется алгоритм, который применялся при составлении портфеля на основе индексных паевых инвестиционных фондов, где на протяжении 12 месяцев выбирался индексный фонд, наиболее близкий по доходности к Индексу МосБиржи, и в данный фонд инвестировался портфель на следующие 12 месяцев.

Данная функция принимает в качестве параметров таблицу с данными по бутстрапу о лучших фондах на определенный период и длину периода, на котором будут сравниваться фонды. Инвестиции также будут происходить на значение длины заданного периода. В процессе сравнения выбирается один лучший фонд на определенном периоде. В данный фонд происходят инвестиции на следующий период в четыре месяца по умолчанию.

Рис. 74. Функция составления таблицы с индикаторами инвестирования

В конце в качестве результата функция возвращает таблицу с индикаторами, которые обозначают фонды, в которые нужно инвестировать на определённом периоде. Из таблицы удалены фонды, которые ни разу не отмечены для инвестиций. С использованием данной таблицы и таблицы с ценами по данным паевым инвестиционным фондам можно построить портфель.

Функция вычисления лучших фондов по периодам выполняется продолжительное количество времени, поскольку используется движущееся окно и на каждом периоде задано сто повторений бутстрапа. Далее по функции описанной выше ставятся индикаторы для фондов, по которым будет строиться портфель. Далее по функции строится портфель, где в качестве параметров передаются историческая стоимость паевых фондов, таблица с индикаторами, количество денежных средств для инвестирования и комиссии на покупку и продажу паев.

Рис. 75. Построение портфеля по стратегии с использованием индексного портфеля

В конце вычисляется доходность портфеля и его сравнение с бенчмарком, в качестве которого выступает портфель индексных фондов по Индексу МосБиржи. Также для оценки портфеля относительно бенчмарка вычисляется регрессия по модели CAPM. По результатам сравнения коэффициент альфа портфеля созданного по данной стратегии имеет коэффициент значимости на уровне 1%, а само значение альфа близко к 1%. Коэффициент бета также имеет высокий уровень значимости, и значение бета равно 0,75. Графическое сравнение портфеля и бенчмарка демонстрирует, что портфель обыгрывает бенчмарк, который соответствует Индексу МосБиржи.



Рис. 76. Результат регрессии, коэффициенты альфа и бета

Рис. 77. Графики доходности стратегии и индексного портфеля

Также данную стратегию можно применить на основе бенчмарка, в основе которого портфель, построенный из акций, когда-либо составляющих базу расчёта Индекса ММВБ 10.

Наилучший результат был достигнут при периоде инвестирования в определенный фонд на период в 12 месяцев, при использовании данного портфеля, построенного на основе Индекса ММВБ 10, для выбора наилучших паевых инвестиционных фондов. Альфа коэффициент построенного портфеля по данной стратегии равняется 0,7% и p-value на уровне значимости 5%. Бета коэффициент данного портфеля равен 0,93, что показывает высокую чувствительность доходности портфеля к бенчмарку, и данный коэффициент также имеет высокий уровень значимости.



Рис. 78. Построение портфеля по стратегии

Рис. 79. Результат регрессии, коэффициенты альфа и бета

Также на графике построенный портфель на основе данной стратегии обыгрывает портфель, который основан на Индексе ММВБ 10.

Рис. 80. Графики доходности стратегии и портфеля акций Индекса ММВБ 10



Далее на основе данной стратегии можно построить портфель на основе бенчмарка, в качестве которого выступает портфель, состоящий из фьючерсов на Индекс МосБиржи. Период инвестирования в лучший фонд также составляется четыре месяца.

Рис. 81. Построение портфеля по стратегии

В результате сравнивая построенный по стратегии портфель с бенчмарком были получены коэффициенты по модели CAPM через вычисление линейной регрессии. Коэффициент альфа для портфеля составил 0,7% при уровне значимости 10%. Коэффициент бета равняется 0,82 также при высоком уровне значимости, как и в предыдущих портфелях, созданных по данной стратегии.

Рис. 82. Результат регрессии, коэффициенты альфа и бета

Ниже приведено графическое сравнение доходностей портфеля, построенного по данной стратегии, и портфеля, который создан с использованием фьючерсов с ближайшей датой исполнения на Индекс МосБиржи. Данный график показывает, что данный портфель обыгрывает бенчмарк на основе фьючерса на Индекс МосБиржи.

Рис. 83. Графики доходности стратегии и портфеля фьючерсов на Индекс МосБиржи

В данной главе была описана бутстрап модель, при использовании которой можно произвести оценку паевых инвестиционных фондов как между собой, так и относительно бенчмарка. Также разработан бутстрап подход, который реализует данную модель, в результате чего были оценены российские паевые инвестиционные фонды акций и выбраны лучшие из них. Был реализован алгоритм на языке программирования R, с использованием которого был применён данный бутстрап подход на реальных данных.

При оценке фондов в модели было задействовано три бенчмарка. Данные бенчмарки были построены из инструментов, которые доступны инвесторам на финансовом рынке. Первый бенчмарк создан на основе инвестиций в индексные паевые инвестиционные фонды, стратегия которых следовать значению Индекса МосБиржи. Второй бенчмарк был воспроизведён по архивной базе расчёта Индекса ММВБ 10, которая доступна на сайте Московской Биржи. В основу данного портфеля вошли акции, которые в определённый момент составляли Индекс ММВБ 10 и торговались на фондовом рынке. Последний бенчмарк был построен на основе фьючерсов с ближайшей датой исполнения на Индекс МосБиржи, данные по которым доступны на сайте Московской Биржи, включая размер гарантийного обеспечения и значения расчётной цены на каждый торговый день.

В конце главы на основе данного подхода была предложена стратегия с движущимся периодом, на котором воспроизводился бутстрап подход и в результате чего отмечались лучшие фонды за определённый период. Далее на основе полученного результата на определённом периоде производился выбор одного фонда, в который будут инвестироваться средства портфеля на такой же период. По прошествии данного периода снова производился выбор фонда на следующий период.

Данная стратегия продемонстрировала хорошие показатели на основе коэффициентов альфа и бета из модели CAPM через вычисление линейной регрессии. Построенный портфель на основе стратегии с использованием бенчмарка, созданного из индексных фондов со стратегией следования Индексу МосБиржи, продемонстрировал наиболее высокие показатели доходности.



Заключение

В данной работе был продемонстрирован полный этап прохождения от получения и обработки данных, описания, построения и реализации модели, заканчивая получением результата на реальных данных и разработкой инвестиционной стратегии.

В первой главе описаны способы получения данных по паевым инвестиционным фондам акций, индексным инвестиционным фондам, кривой бескупонной доходности однолетних государственных облигаций Российской Федерации, исторической стоимости акций на Московской Бирже, архивной базе расчёта Индекса ММВБ 10 и данных по фьючерсам с ближайшей датой исполнения на Индекс МосБиржи, а также исторические значения Индекса МосБиржи и Индекса ММВБ 10. Далее в данной главе описываются методы обработки полученных данных для дальнейшей реализации бутстрап модели на их основе.

Во второй главе описаны методы построения бенчмарков из инструментов, которые доступны инвестору. Первый бенчмарк основан на инвестиции в портфель индексных паевых фондов, где фонды выбираются по критерию близости значений к Индексу МосБиржи на определённом периоде. Второй бенчмарк создавался по архивной базе расчёта Индекса ММВБ 10. И последний бенчмарк строился из фьючерсов с ближайшей датой исполнения на Индекс МосБиржи.

В третьей главе описана методика бутстрап модели, разработан подход по её реализации, и создан программный модуль, который воспроизводит данную модель. В результате применения данного метода были определены лучшие фонды, которые получили избыточную безрисковую доходность не только относительно бенчмарка, но и по отношению к другим паевым инвестиционным фондам. В конце данной главы на основе бутстрап подхода была предложена стратегия, которая по результатам тестов обыгрывает бенчмарк и показывает коэффициент альфа на уровне значимости 1%.

Среди построенных портфелей на основе Индекса МосБиржи и Индекса ММВБ 10, наиболее подходящим для бенчмарка является портфель из индексных паевых инвестиционных фондов. Поскольку при создании данного портфеля применялась стратегия, которая выбирает фонд для инвестиций по критерию близости значений фонда к Индексу МосБиржи. Второй портфель из акций Индекса ММВБ 10 обладает недостатком, что данный индекс в меньшей степени характеризует российский фондовый рынок, чем Индекс МосБиржи. Но по Индексу ММВБ 10 есть полная архивная база расчёта, которую предоставляет Московская Биржа, и в данной работе продемонстрирован подход создания портфеля по данному индексу. Портфель из фьючерсов на Индекс МосБиржи также не в полной мере повторяет Индекс МосБиржи, что не всегда возможно, поскольку фьючерс может быть в состоянии контанго или бэквордация, что является следствием того, что цена по данному инструменту это ожидаемая участниками фондового рынка стоимость данного базового актива в будущем.

В дальнейшем данная работа может стать базисом для тестирования других методов оценки паевых инвестиционных фондов на собранных данных и с использованием реализованных способов получения актуальных данных. Также продолжением данного исследования может стать модификация предложенных методов оценки паевых фондов и улучшение программной реализации. Особо актуальным предметом дальнейшего исследования является продолжение разработки инвестиционной стратегии, предложенной в данной работе. Поскольку характеристика данной стратегии в сравнении с бенчмарком по модели CAPM демонстрируют большой потенциал, так как на данном этапе были получены значения безрисковой избыточной доходности на уровне значимости в 1% для коэффициента альфа. Также остаётся актуальным разработка новых стратегий на основе бутстрап оценки паевых инвестиционных фондов, реализованной в данном исследовании.



Список литературы

1. Муравьёв Д.М. (2006), Обыгрывают ли российские паевые фонды рынок? / Препринт # BSP/2006/085 R. - М.: Российская Экономическая Школа, 2006. - 29 с. (Рус.)

2. Паршаков П.А. (2014), Оценка эффективности деятельности по управлению активами российских паевых инвестиционных фондов. - М.: Высшая Школа Экономики, 2014. - 184 с. (Рус.)

3. Центральный банк Российской Федерации (2018), Обзор ключевых показателей паевых и акционерных инвестиционных фондов 2017 № 4. - М.: Центральный банк Российской Федерации, 2018. - 21 с. (Рус.)

4. Консультант Плюс (2018), Федеральный закон от 29.11.2001 N 156-ФЗ (ред. от 03.07.2016) "Об инвестиционных фондах" (с изм. и доп., вступ. в силу с 01.01.2017)

5. Cuthbertson, K., Nitzsche, D. and O'Sullivan, N. (2010), Mutual Fund Performance: Measurement and Evidence. Financial Markets, Institutions & Instruments, 19: 95-187. doi:10.1111/j.1468-0416.2010.00156.x

6. Kosowski, R., Timmermann, A., Wermers, R. And White, H. (2006), Can Mutual Fund “Stars” Really Pick Stocks? New Evidence from a Bootstrap Analysis. The Journal of Finance, 61: 2551-2595. doi:10.1111/j.1540-6261.2006.01015.x

7. Fama, E. F. And French, K. R. (2010), Luck versus Skill in the Cross-Section of Mutual Fund Returns. The Journal of Finance, 65: 1915-1947. doi:10.1111/j.1540-6261.2010.01598.x

8. Cbonds group (2018), Invetsfunds, available at: http://investfunds.ru/ (accessed 22 February 2018).

9. Harrison, J. (2018), “wdman: 'Webdriver'/'Selenium' Binary Manager”, available at: https://CRAN.R-project.org/package=wdman (accessed 22 February 2018).

10. Harrison, J. (2018), “RSelenium: R Bindings for 'Selenium WebDriver'”, available at: https://CRAN.R-project.org/package=RSelenium (accessed 22 February 2018).

11. Ryan, J., Ulrich, J., Thielen, W. (2007), “quantmod: Quantitative Financial Modelling Framework”, available at: https://CRAN.R-project.org/package=quantmod (accessed 22 February 2018).

12. Wickham, H., Bryan, J., RStudio, Kalicinski, M., Komarov,V., Leitienne, C., Colbert, B., Hoerl, D. (2018), “readxl: Read Excel Files”, available at: https://CRAN.R-project.org/package=readxl (accessed 15 March 2018).

13. Trapletti, A., Hornik, K., LeBaron, B. (2018), “tseries: Time Series Analysis and Computational Finance”, available at: https://CRAN.R-project.org/package=tseries (accessed 22 February 2018).

14. Wickham, H. (2018), “rvest: Easily Harvest (Scrape) Web Pages”, available at: https://CRAN.R-project.org/package=rvest (accessed 15 March 2018).

15. Ryan, J., Ulrich, J (2018), “xts: eXtensible Time Series”, available at: https://CRAN.R-project.org/package=xts (accessed 15 March 2018).



Приложение

Исходный программный код:

require(RSelenium) # парсит сайт

require(wdman) # браузер

require(xts)

require(gdata) # скачивание файла

pjs <- phantomjs() # запуск сервера - браузера

pjs$output()

rem <- remoteDriver(remoteServerAddr = "localhost"

, port = 4567L

, browserName = "phantomjs"

) # описание подключения для Selenium

rem$open() # подключение к браузеру

rem$getStatus()

links=names=c() # массив ссылок и названий

for (i in 0:1){ # 2 страницы

rem$navigate(link) # открытие страницы

rem$getCurrentUrl() # текущий адрес

elem <- rem$findElements(using = 'xpath', "//tr/td[1]/a[@class='link']") # выбор элементов

names <- append(names,unlist(lapply(elem, function(x){x$getElementText()}))) # запись названий ПИФов

links <- append(links,unlist(lapply(elem, function(x){x$getElementAttribute("href")}))) # запись ссылок ПИФов

}

all=data.frame( # таблица с описанием и общей информацией ПИФов

Name=as.character(), # название ПИФа

Link=as.character(), # ссылка на ПИФ

Number=as.character(), # внутренний номер

FeeMan=as.numeric(), # вознаграждение менеджера

FeeDep=as.numeric(), # вознаграждение депозитария

FeeOth=as.numeric(), # прочие расходы

stringsAsFactors=FALSE

)

allD=list() # данные по цене и СЧА для ПИФов

dir=getwd()

for(i in 1:length(names)){ # цикл по каждому ПИФу

all[i,"Name"]<-names[i] # название ПИФа

all[i,"Link"]<-links[i] # ссылка на ПИФ

all[i,"Number"]<-regmatches(links[i], regexpr("[0-9]+", links[i], perl=TRUE)) # внутренний номер ПИФа на сайте

rem$navigate(links[i]) # открытие страницы ПИФа

elem<-rem$findElement(using = 'xpath', "//a[@class='popup-link arr-open-title']") # поиск конпки на сайте для отображения информации

elem$clickElement() # нажатие кнопки

elem <- rem$findElements(using = 'xpath', "//td[@style='border-top:0px;text-align:center']") # список данных по вознаграждению

z=unlist(lapply(elem, function(x){x$getElementText()})) # текстовое представление данных по вознагржадению

all[i,c("FeeMan","FeeDep","FeeOth")]=as.numeric(regmatches(z, regexpr("[0-9.]+", z, perl=TRUE)))/100 # сохранения в числовом виде

download.file(paste0("http://pif.investfunds.ru/funds/export_to_excel.php?f2[0]=",all[i,"Number"],"&export=2&export_type=xls&start_day&finish_day=08&finish_month=02&finish_year=2018&rnd=5030"),destfile="pif.xls",mode="wb",quiet=TRUE) # скачивание файла с данными по цене и СЧА ПИФа

x<-read.xls(xls=paste0(dir,"/pif.xls"),perl="C:/Perl64/bin/perl.exe") # чтение файла в переменную - таблицу

x<-x[which(x[,1]!=""&x[,1]!="00.00.0000"),] # очистка пустых строк и неправильных дат

x<-x[2:length(x[,1]),1:3] # очистка от названий

x[,2]=as.numeric(gsub(" ","",as.character(x[,2]))) # преобразование цены из тектсового в числовой формат

x[,3]=as.numeric(gsub(" ","",as.character(x[,3]))) # преобразование СЧА из тектсового в числовой формат

x1<-as.xts(x[,2],order.by=as.Date(x[,1], "%d.%m.%Y")) # преобразование цены в xts формат

x2<-as.xts(x[,3],order.by=as.Date(x[,1], "%d.%m.%Y")) # преобразование СЧА в xts формат

allD[[i]]=list(x1,x2) # сохранение в лист двух xts фреймов

print(rem$getCurrentUrl()) # печать текущего адреса страницы

}

names(allD)=all[,"Number"] # название в листах соответствуйте внутреннему номеру ПИФов

save(all, file="F:/vkr/pifdata/index/all.RData") # сохранение в файл

save(allD, file="F:/vkr/pifdata/index/allD.RData") # сохранение в файл

require(quantmod)

require(PerformanceAnalytics)

load("F:/allD.RData")

load("F:/all.RData")

Sys.setlocale("LC_TIME", "English")

pif.price=xts()

pif.return=xts()

for(i in 1:length(allD)){

if(i==1){

# заполненеи первой колонки таблицы

pif.price=Cl(to.monthly(allD[[i]][[1]],indexAt = 'lastof'))

pif.return=monthlyReturn(to.monthly(allD[[i]][[1]],indexAt = 'lastof'))

} else {

# добавление следующих колонок в таблицу

pif.price=cbind(pif.price,Cl(to.monthly(allD[[i]][[1]],indexAt = 'lastof')))

pif.return=cbind(pif.return,monthlyReturn(to.monthly(allD[[i]][[1]],indexAt = 'lastof')))

}

}

colnames(pif.price)=names(allD)

colnames(pif.return)=names(allD)

for(i in 1:ncol(pif.return)){

pr=tail(which(is.na(pif.return[,i])),n=1)

if(length(pr)>0) pif.return[1:pr,i]=NA

pp=tail(which(is.na(pif.price[,i])),n=1)

if(length(pp)>0) pif.price[1:pp,i]=NA

rm(pr,pp)

}

Sys.setlocale("LC_TIME", "English")

# чтение данных из файла

ru.1y=read.csv("F:/vkr/RU1Y.csv",stringsAsFactors = FALSE)

# преобразование в формат данных xts

ru=xts(as.numeric(ru.1y[(1:(nrow(ru.1y)-2)),2]),order.by = as.Date(ru.1y[(1:(nrow(ru.1y)-2)),1], format = "%b %d, %Y"))

# перевод доходности за год к доходности за месяц

ru.1y=xts((1 + Cl(to.monthly(ru,indexAt = 'lastof'))/100)^(1/12)-1)

# чтение данных из файла

moex=read.csv("F:/vkr/MOEX.csv",stringsAsFactors = FALSE)

# преобразование в формат данных xts

moex=xts(as.numeric(gsub(",", "", moex[,2])),order.by = as.Date(moex[,1], format = "%b %d, %Y"))

# вычисление доходности за месяц

moex=monthlyReturn(to.monthly(moex, indexAt = 'lastof'))

# период оценки

period = 24

# таблица оценки

pif.act=pif.return

# очистка значений

pif.act[]=NA

# движущийся период оценки в цикле

for(i in 1:(nrow(pif.return)-(period-1))){

...