Размещено на http://www.allbest.ru/

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР

СООБЩЕНИЯ ПО ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКЕ

О ПРОБЛЕМАХ ПЕРЕФОРМИРОВАНИЯ ПОРТФЕЛЯ НА ОПЦИОННЫХ РЫНКАХ

Г.А. АГАСАНДЯН

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР РАН

МОСКВА 2008

Оглавление

• 1. Вариационная маржа и чистая инвестиционная сумма для опционного портфеля
• 2. Процедура переформирования портфеля
• 3. Иллюстративные примеры
• 3.1 Покрытая продажа колла
• 3.2 Покрытая продажа пута
• Введение
• вариационный маржа финансовый опционный
• В работе изучаются некоторые проблемы поведения инвестора на финансовых рынках, предполагающих использование маржевых счетов. Для произвольного портфеля опционов, включающего и базовый актив, алгоритмизируются общие принципы определения вариационной маржи, принятые на опционных рынках, и дается соответствующая ей приближенная оценка эффективного инвестиционного расхода. Рассматривается целесообразность переформирования заданного портфеля в портфель произвольного иного типа с применением маржевых счетов, для чего предлагается процедура, определяющая, сколько экземпляров портфеля этого типа может быть построено, и рассчитывающая доходность трансформации. Методика иллюстрируется числовыми примерами.

Ключевые слова: опционный портфель, маржевый счет, начальная маржа, поддерживающая маржа, вариационная маржа, доверительная вероятность, критические цены, переформирование портфеля, чистая инвестиция, доходность.

В работе изучаются некоторые аспекты управления инвестором собственными денежными средствами на финансовых рынках, предполагающих использование маржевых счетов. Для определенности рассматривается рынок опционов как наиболее разнообразный и стандартизированный финансовый рынок. Некоторые особенности подобной системы торговли на опционных рынках можно почерпнуть, например, в работах [1-3].

При анализе проблемы с необходимостью должны быть учтены следующие соображения.

· Инвестиционный горизонт, как правило, бывает достаточно большим, чтобы задачу можно было рассматривать однопериодной. Поэтому возникает задача управления портфелем на всем его протяжении, что требует постоянного слежения за рынком и в подходящие моменты времени принятия решений о переформировании портфеля.

· Имеет смысл такую задачу разбивать на ряд последовательно решаемых подзадач, каждая из которых рассматривается на временном интервале относительно небольшой протяженности и может уже рассматриваться однопериодной. Речь идет о построении самофинансируемой стратегии, образованной временнуй последовательностью решений одноэтапных задач, для каждой из которых прогноз динамики цены базового актива составляется в скользящем режиме на выбранный интервал времени, окончание которого обычно привязывается к дате истечения срока опционов портфеля. В рамках предлагаемой модели можно рассматривать и расширение самофинансируемой стратегии с вливаниями и изъятиями денежных средств извне, заданными программно или зависящими лишь от предыстории состояния рынка, предшествующей текущему моменту. В этом случае для каждой одноэтапной задачи это внешнее воздействие заранее задано и не является предметом выбора строящейся в работе системы управления.

· Разные инвестиционные стратегии для задачи в целом следует сравнивать по их доходности, реализуемой, вообще говоря, на всем горизонте инвестирования. Для этого разность между конечным капиталом и начальным нужно поделить на начальный капитал (оба капитала в денежном выражении). Однако при решении каждой подзадачи требуется адекватное оценивание начального капитала, определяемого не только денежными средствами, но и текущим портфелем инвестора. А этого без привлечения эвристических соображений сделать не удается.

· Применение инвестором коротких позиций по опционам или базовому активу и длинных позиций по базовому активу требует адекватного моделирования. В процессе мониторинга своей позиции при принятии решения о переформировании портфеля инвестору следует принимать во внимание возможность возникновения маржевых требований со стороны брокера к инвестору. Нужно прогнозировать их размер соответственно некоторой выбираемой им доверительной вероятности с целью создания необходимого резерва денежных средств на счете и оценивания влияния вариационной маржи на эффективность портфеля.

· Если размера резерва будет недостаточно для покрытия маржевых требований, то инвестору придется избавляться от части текущего портфеля, что повлечет определенные издержки. В принципе, желательно было бы оценивать эти издержки, но тогда речь следовало бы вести уже о задаче нахождения оптимального уровня доверительной вероятности и соответствующего ему размеру резерва. Однако такую (излишне сложную) задачу мы решать не будем, а ограничимся экзогенным заданием доверительной вероятности.

· Рассмотрение проводится для рядового инвестора, покупающего финансовые инструменты по ценам продавца (asked prices, или offer prices) и продающего их по ценам покупателя (bid prices), что приводит к значительным потерям инвестора, пытающегося проводить переформирование портфеля излишне часто.

При текущих рыночных условиях наилучший портфель, если его строить с нуля (когда на руках инвестора лишь деньги и портфель пуст), может не совпадать с наилучшим портфелем, получаемым исходя из старого портфеля. Это связано с тем, что стоимость перехода от одного портфеля к другому зависит от близости этих двух портфелей. Ведь инвестор покупает инструменты по цене продавца, а продает - по цене покупателя, причем первая цена выше второй, т.е. при переформировании портфеля инвестор всегда теряет на спрэде цен продавца и покупателя.

Решая задачу о переформировании портфеля, мы отвечаем на вопрос, что лучше - сохранить данный портфель или перейти к новому портфелю некоторого заданного типа и что мы при этом можем выгадать. Подобный анализ позволяет нам также выбирать наиболее предпочтительный портфель и из произвольного фиксированного множества портфелей. Для реализации такого выбора мы располагаем всеми текущими ценами и вероятностным прогнозом будущей цены базового актива на выбранный нами будущий момент времени.

В первом разделе изучается проблема составления прогнозов маржевых требований для портфелей опционов и определение инвестиционной суммы. Во втором разделе приводится процедура, оценивающая целесообразность переформирования портфеля.

1. Вариационная маржа и чистая инвестиционная сумма для опционного портфеля

При инвестировании на фондовых, опционных и фьючерсных рынках приходится иметь дело с такими понятиями, как начальная маржа (initial margin), поддерживающая маржа (maintenance margin) и вариационная маржа (variation margin). Все они предназначены для того, чтобы оградить брокера от возможных убытков, возникающих от снижения стоимости портфеля инвестора при неблагоприятном движении рынка.

Начальная маржа - это объем денежных средств, вносимых инвестором по требованию брокера при создании новой опционной позиции. Поддерживающая маржа определяет минимально необходимый уровень собственных средств, который инвестор должен держать на маржевом счете в процессе обслуживания своей позиции.

Вариационная маржа - это сумма, которую инвестор должен дополнительно вносить в этом процессе на свой маржевый счет, чтобы довести уровень собственных средств на этом счете до величины поддерживающей маржи в том случае, когда этот уровень оказывается ниже последней. Наоборот, при благоприятном движении цены базового актива у инвестора появляются излишки собственных средств на счете, которыми он имеет право воспользоваться по своему усмотрению, например, для приобретения дополнительных инструментов. При этом можно условиться говорить об отрицательном значении вариационной маржи.

Очевидно, что на случайном рынке в процессе управления портфелем могут возникать как те, так и другие ситуации. Это требует от инвестора резервирования дополнительных запасов средств, чтобы отвечать возможным требованиям брокера. В оценке инвестиции инвестор должен учитывать возможное состояние своего счета на конец его инвестиционного горизонта: либо ему потребуется вложить дополнительные средства, либо он сумеет изъять со счета часть средств.

Расхождение в ряде случаев начальной и поддерживающей марж приводит к тому, что при некотором интервале цен базового актива (положительной вероятностной меры) значение вариационной маржи равно нулю. Иными словами, брокер допускает определенное снижение собственных средств инвестора на счете при неблагоприятном движении цены.

Маржевые требования всеми брокерами формируются по единому принципу, хотя возможны и расхождения в деталях, в величинах отдельных параметров и пр. Примеры назначения маржевых требований можно найти на сайтах http://
www.interactivebrokers.com/en/trading/ marginRequirements/ stockIndexOption
и http://www.cannontrading.com/traders/margins.php.

Под "чистым" инвестиционным расходом мы далее понимаем те расходы, которые идут непосредственно на построение портфеля и ее поддержание. При этом в полную инвестиционную сумму кроме чистого инвестиционного расхода входят и все иные денежные средства, участвующие в инвестиции (например, такие, как необходимые резервы и неиспользованные остатки), что учитывается в окончательной оценке доходности инвестиции.

Введем необходимые обозначения, отмечая некоторые очевидные взаимосвязи между ними:

m - коэффициент, показывающий, какому количеству базовых акций соответствует один опцион (например 100);

- признак короткой позиции по базовому активу, т.е. = 1 для короткой позиции и = 0 - для длинной;

C₀ - суммарные денежные средства на момент переформирования портфеля на маржевом счете и счете до востребования;

D₀ - суммарная денежная задолженность инвестора перед брокером к моменту переформирования портфеля (возникает при покупке базового актива по маржевому счету);

D_s0 - задолженность инвестора перед брокером в акциях к моменту переформирования портфеля (возникает при короткой продаже базового актива);

A - портфель инвестора перед переформированием портфеля;

f - комиссионные (f_I, f_T, f_F - комиссионные при создании новой позиции, трансформации портфеля и ликвидации позиции соответственно), f₀ - вектор "удельных" комиссионных расходов для компонент портфеля;

n₀, n₁, …, n_k - количества инструментов в портфеле; индекс "0" соответствует базовому активу в портфеле, остальные - опционам;

p_m = (p₀, p₁, …, p_k) - вектор рыночных цен всех инструментов из портфеля, средних между ценами покупателя и продавца;

= (₀, ₁,…, _k) - вектор спрэдов цен продавца и покупателя;

U - единичный портфель, тестируемый инвестором для переформирования портфеля (например покрытая продажа колла);

B - портфель инвестора, получающийся в результате переформирования портфеля (B' - первая, грубая, оценка);

E_q - собственные средства в портфеле на маржевом счете
при покупке базового актива по маржевому счету; E_q = 0 для короткой позиции по базовому активу;

E_d - депозит денежных средств на маржевом счете при короткой продаже базового актива по маржевому счету; E_d = 0 для длинной позиции по базовому активу;

M_is(N), M_io(N), M_i(N) = M_is(N) + M_io(N) - начальная маржа соответственно для базового актива портфеля N, опционной части портфеля и портфеля в целом (расходуется на покупку базового актива или служит обеспечением при короткой продаже и является чистым инвестиционным расходом); M_is(N) = E_q + E_d;

R - денежные средства, выделяемые инвестором в качестве резерва и откладываемые на счете до востребования для обеспечения возможных предстоящих выплат вариационной маржи брокеру на интервале инвестирования для поддержания позиции;

D₁ - денежная задолженность инвестора перед брокером непосредственно после переформирования портфеля (возникает при покупке базового актива по маржевому счету);

D_s1 - задолженность инвестора перед брокером в акциях непосредственно после переформирования портфеля (возникает при короткой продаже базового актива);

T = T(A, B) - стоимость преобразования портфеля A в портфель B (деньги, потраченные на приобретение новых инструментов, за вычетом денег, полученных от продажи ненужных старых инструментов, плюс комиссионные), T_s(N), T_o(N), T(N) - стоимости построения с "нуля" фондовой части портфеля N, его опционной части и портфеля в целом соответственно.

S - денежные средства, получаемые при короткой продаже базовых акций, которые инвестор заимствует у брокера; эту сумму инвестор должен держать на маржевом счете до погашения акций (задолженности D_s1); для коротких акций S = -T_s(B);

I_n = M_i(N; p) + T_o(N) + f - чистая начальная инвестиционная сумма с резервом при построении портфеля N "с нуля" (используется при расчете доходности трансформации портфеля);

I_f = I_n + R - чистая начальная инвестиция, дополненная резервной суммой;

C₁ = C₀ - D₀ + D₁ - T(A, B) - суммарные денежные средства на обоих счетах инвестора сразу после переформирования портфеля;

C_m = - T_s(B) + M_is + M_io - необходимые денежные средства на маржевом счете сразу после переформирования портфеля;

C_d = C₁ - C_m - денежные средства, которые сразу после трансформации портфеля можно направить на счет до востребования;

C₁ = C_d - R - возникающие при переформировании портфеля излишки денежных средств, которых недостаточно, чтобы приобрести целый единичный портфель (балансовое соотношение);

C_n - суммарные денежные средства на обоих счетах на конец интервала инвестирования без учета вариационной маржи;

Следующие обозначения используются при оценивании доходности целевого портфеля. Заданные извне параметры:

- длина интервала инвестирования в годах;

r_m - маржевая процентная ставка;

r_d - безрисковая процентная ставка по счету до востребования;

d - дивиденды, выплачиваемые инвестором брокеру при короткой продаже акций (d > 0) или получаемые на акции при их покупке (d < 0) на интервале инвестирования.

Переменные, определяемые на конец интервала инвестирования в зависимости от цены x базового актива:

x - цена базового актива в конце интервала инвестирования;

E_q(x) - собственные средства в портфеле на маржевом счете при цене x базового актива (требование возникает при покупке базового актива по маржевому счету); E_q(x) = 0 для короткой позиции по базовому активу;

E_d(x) - размер необходимого депозита денежных средств на маржевом счете при цене x базового актива (требование возникает при короткой продаже базового актива по маржевому счету); E_d(x) = 0 для длинной позиции по базовому активу;

M_m(x) - поддерживающая маржа;

a(x) (0), b(x) (0) - объемы денежных средств, которые инвестор должен вносить на маржевый счет и может изымать с маржевого счета соответственно; a(x) и b(x) не могут быть положительными одновременно;

M_vs(x), M_vo(x), M_v(x) = M_vs(x) + M_vo(x) - вариационная маржа соответственно для базовых акций, опционной составляющей портфеля и портфеля в целом; также M_v(x) = a(x) - b(x);

I_svm(x), I_ovm(x), I_vm(x) = I_svm(x) + I_ovm(x) - интегральные оценки на интервале инвестирования чистого инвестиционного расхода (с учетом временной стоимости денег), обусловленного вариационной маржей, соответственно для фондовой, опционной частей портфеля и портфеля в целом;

Q = mI_vm(x) - эффективная (приведенная к началу временного интервала) оценка объема денежных средств, которые на рассматриваемом интервале инвестирования переводятся со счета до востребования на маржевый счет (при Q > 0) или обратно (при Q < 0) для погашения требований брокера по вариационной марже;

P_B(x) - платежная функция портфеля B;

F(x) = C_n + P_B(x) - Q(x)r_d - капитал инвестора на конец интервала инвестирования;

Y(x) = (F(x) - K_m)/(K_m) - доходность трансформации портфеля за интервал инвестирования в годовом выражении.

Наиболее существенный вклад в состояние и динамику маржевого счета вносит базовый актив, когда он является самостоятельной компонентой инвестиционного портфеля. Хотя маржевые требования определяются структурой портфеля в целом, к назначению той их составляющей, которая связана с наличием в портфеле базовой акции, брокеры применяют, как правило, единый подход. Изучим по отдельности два случая. В первом будем рассматривать длинную позицию по базовому активу, а во втором - короткую. В них начальная маржа задается соответственно параметрами м_l < 1 и м_s < 1, а поддерживающая - параметрами м_ml м_l и м_ms м_s.

Рассмотрим сначала случай с длинной позицией по базовому активу. В этом случае начальная маржа определяет необходимый уровень собственных средств E_q на счете. Так, при цене акций p начальная маржа (в пунктах) на каждый лот акций

M_is = E_q = м_lp.

Остальная часть стоимости базовых акций заимствуется у брокера, поэтому объем заимствований

D = p - E_q = (1-м_l)p.

При движении цены базового актива изменяется объем собственных средств на счете. При цене x без вмешательства извне он составит

E_q(x) = x - (1-м_l)p.

Однако брокер требует от инвестора вносить на счет денежные средства (вариационную маржу) в таком объеме, чтобы

E_q(x) м_mlx.(1)

Применение этих двух соотношений означает, что инвестор должен внести на маржевый счет дополнительно сумму

a(x) = max[м_mlx - E_q(x), 0] = max[(1-м_l)p - (1-м_ml)x, 0].

Инвестор может также изымать средства со своего счета, когда ситуация на рынке складывается в его пользу и объем собственных средств оказывается выше уровня начальной маржи. Требуется лишь, чтобы после изъятий выполнялось аналогичное (1) неравенство с иным параметром:

E_q(x) м_lx.

Таким образом, если цена x вырастает достаточно, то излишек денежных средств на счете инвестор может использовать по своему усмотрению. Очевидно, что в этом случае излишек

b(x) = max[E_q(x) - м_lx, 0] = max[(1-м_l)(x-p), 0].

Ясно, что a(x) и b(x) не могут одновременно быть строго больше нуля. Неравенство a(x)>0 выполняется в левой части спектра возможных значений x, т.е. при малых значениях x, а b(x)>0 - в правой, т.е. при больших значениях x. Инвестор не предпринимает никаких действий на ценовом интервале

p(1-м_l)/(1-м_ml) < x < p.

Итоговый результат дополнительных операций на счете можно задать единой формулой

M_v(x) = a(x) - b(x).

Если при этом M_v(x)>0, то от инвестора потребуются дополнительные вложения средств в размере M_v(x), а если M_v(x)<0, то инвестор может изъять средства со счета в размере |M_v(x)|.

Перейдем к случаю короткой позиции.

Для продажи ценных бумаг, которыми инвестор не располагает, он заимствует их у брокера и немедленно продает. Сумма p, полученная от продажи лота базового актива, обязана быть размещена на маржевом счете и процентов инвестору не приносит. Она фактически используется им лишь при возврате брокеру заимствованных бумаг. В конце интервала инвестирования он покупает базовый актив на бирже, его короткая позиция по активу закрывается и он возвращает долг брокеру. При этом инвестор идет на дополнительные расходы, если стоимость актива с момента его продажи возросла, или, наоборот, выигрывает, если стоимость актива понизилась.

Для гарантирования сделки с брокером от инвестора требуется также внести начальную маржу. При цене p акций инвестор вносит на каждый лот акций собственные средства в размере

M_is = E_d = м_sp.

Поэтому общая сумма денежных средств на маржевом счете составит (1+м_s)p.

Инвестор должен перечислять брокеру дивиденды по бумагам d, если их выплата приходится на интервал инвестирования. Но зато он не платит процентов по долгу, поскольку не заимствует денежных средств. Поэтому в данном случае

D = 0.

При движении цены базового актива изменяется объем собственных средств на счете. При цене x без вмешательства извне он составит (при этом стоимость долговых обязательств x)

E_d(x) = (1+м_s)p - x.(2)

Однако брокер всякий раз при нарушении неравенства

E_d(x) м_msx(3)

требует от инвестора внесения на счет вариационной маржи.

Анализ неравенств (2) и (3)приводит к выводу, что размер вариационной маржи при цене x должен составить

a(x) = max[м_msx - E_d(x), 0] = max[(1+м_ms)x - (1+м_s)p, 0].(4)

Если ситуация на рынке складывается в пользу инвестора, то излишек ему можно снимать со счета. Требуется лишь, чтобы выполнялось аналогичное (3) неравенство с иным параметром:

E_d(x) м_sx.

Этот излишек определяется очевидной формулой

b(x) = max[E_d(x) - м_sx, 0] = max[(1+м_s)(p-x), 0].(5)

И снова, a(x) и b(x) не могут одновременно быть строго больше нуля. Но на этот раз неравенство a(x)>0 выполняется при больших значениях x, а b(x)>0 - при малых. Инвестор ничего не предпринимает на ценовом интервале

p < x < p(1+м_s)/(1+м_ms).

Итоговый результат дополнительных операций на счете можно задать единой формулой для вариационной маржи:

M_v(x) = a(x) - b(x).

Вариационная маржа M_v(x) является составной частью инвестиционного процесса. При оценивании эффективности инвестиции из-за распределенности расходов M_v(x) во времени возникают трудности учета временного фактора. Если, например, рост величины M_v(x) реализуется в основном на небольшом промежутке времени в начале интервала инвестирования (при резком начальном падении цены базового актива), то средства в размере M_v(x) необходимо переводить на маржевый счет фактически в начале интервала. Если же M_v(x) достигается на небольшом промежутке времени в самом конце инвестиционного горизонта (при резком падении цены базового актива в конце срока инвестирования), то переводимые средства в размере M_v(x), фактически, не влияют на эффективность инвестиции.

Строгое решение подобных задач лежит в сфере теории случайных процессов. Нужно строить вероятностную модель движения цены базового актива, а решение задачи находить либо аналитически, если это возможно, либо методом Монте-Карло. Однако, думается, можно ограничиться упрощенным приемом.

Будем считать, что цена базового актива меняется по линейному закону. Такое допущение позволяет для определения зависимости момента начала дополнительных инвестиционных поступлений от х использовать геометрические соображения. Содержательно наличие такого начала следует из того, что из-за несовпадения уровней начальной и поддерживающей маржи величина a(x) не может стать положительной сразу - для этого должно пройти время, и тем большее, чем больше различие в уровнях и чем менее интенсивно падает цена базового актива. Предполагается также, что поступления на счет (и изъятия с него) равномерно распределены во времени.

Предлагаемые здесь геометрические соображения, лежащие в основе эвристического способа оценивания влияния вариационной маржи на инвестиционный процесс, иллюстрирует рис. 1.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1 Упрощенная динамика собственных средств инвестора

Обозначая длину интервала времени от начала инвестиции до момента "зарождения" вариационной маржи через ₁, длину остальной части интервала - через ₂ = - ₁, а также полагая

Д = (м-м_m)p,

из подобия возникающих здесь треугольников находим, что

₂/₁ = a(x)/Д, ₂/ = a(x)/(a(x)+Д).

Наконец, сделаем последнее упрощение, вполне оправданное при невысоких процентных ставках, заменяя равномерное распределение дополнительных инвестиционных расходов на интервале (₁, ) с суммарным объемом a(x) приближенно одним расходом того же объема, сосредоточенным в середине этого отрезка. В результате мы получаем, что эквивалентный размер инвестиции, соответствующей вариационной марже,

I_svm = a(x)/2₂/ = Ѕ a(x)/(1+Д/a(x)).(6)

Рассмотрения подобной конструкции (с Д 0) для учета влияния компоненты b(x) дополнительных "инвестиционных" изъятий на размер инвестиции не требуется, поскольку при повышении цены x демпферной зоны, аналогичной случаю падения цены, обычно правилами не предусматривается. Окончательно имеем, что при значении x будущей цены базового актива в момент времени

I_svm = Ѕ (a(x)/(1 + Д/a(x)) - b(x)).(7)

Подобным же образом исследуется случай короткой позиции по базовому активу. Формулы для величины инвестиционного расхода аналогичны формулам (6) и (7) для длинной позиции, только параметры маржевых требований иные, и a(x) и b(x) получаются по другим соотношениям - (4) и (5) соответственно.

Таким образом, мы рассмотрели способ учета маржи для позиций по базовому активу. По своим формулам определяются и маржевые требования для опционной части портфелей. В этом случае сохраняется общая схема получения формул типа (6) и (7), только вместо требований M_is для базового актива следует использовать общие маржевые требования M_i для портфеля.

Мы не предлагаем здесь универсального алгоритма, а лишь намечаем его схему, которая инвестором должна быть приспособлена к конкретному брокеру и рассматриваемому множеству опционных портфелей. Отметим лишь, что для опционной части портфеля маржевые требования таковы, что при нахождении инвестиционного расхода I_ovm, аналогичного I_svm для базовых акций, можно использовать формулу (7), в которой = 0.

Замечание. Формулы для длинной и короткой позиций можно записывать более единообразно, если для короткой позиции принять <0, n<0. Тогда в обоих случаях формулы для начальной маржи для базовой акции и чистой начальной инвестиции примут соответственно вид: M_is = T_s, N_i = M_is + M_io + T_o. При этом начальная маржа M_is для акции будет положительной для всех позиций, а стоимости приобретения акций, опционов и портфеля в целом - соответственно T_s, T_o, T = T_s + T_o - отрицательны для коротких позиций.

Однако расхождения остаются. Так, для длинной позиции E_q = M_is, D = T_s(1-), а для короткой - E_d = M_is, D = 0. Кроме того, на маржевом счете до погашения коротких акций сохраняется выручка от их продажи (-T_s). В случае с короткими акциями инвестор выплачивает брокеру дивиденды, а с длинными - проценты по ссуде.

2. Процедура переформирования портфеля

Перейдем к задаче переформирования портфеля. Обозначим портфель инвестора в текущий момент времени A. Он может состоять из нескольких лотов (по m = 100) акций и нескольких опционов колл и пут на эту акцию (каждый опцион охватывает также m акций). Изучается целесообразность перехода от A к новому портфе-лю B = qU где U - единичный портфель заданного типа, а q - целое число, подлежащее определению.

Частный случай такой задачи возникает при первом выходе инвестора на рынок, когда он владеет лишь некоторой суммой денег, а его портфель инструментов пуст.

Рассматривается система торговли, при которой используется маржевый счет, предполагающий возможность заимствования денежных средств и ценных бумаг (при короткой продаже) у брокера. На нем фиксируются все активы и пассивы инвестора в произвольный момент времени: денежные средства, записи о составе портфеля и долг брокеру. Для простоты принимается, что использование ценных бумаг в качестве обеспечения сделок не допускается. Обеспечение реализуется лишь в форме денежных средств.

Для оценивания трансформации портфеля необходимо определить, сколько единиц нового портфеля может организовать инвестор сообразно располагаемым ресурсам, т.е. параметр q, а также вычислить доходность такого перехода на планируемом временном интервале инвестирования. Основной характеристикой при этом служит чистая инвестиция, определяющая, во что инвестору обходится построение нового портфеля. Но важно учесть и то, сколько вариационной маржи может понадобиться инвестору на всем интервале для поддержания своей позиции.

Проблема здесь в том, что в отличие от начальной маржи вариационная маржа на момент трансформации позиции неизвестна и моделируется случайной величиной, зависящей от будущей цены базового актива. Поэтому решение этой проблемы видится в создании резерва на счете до востребования, что должно обеспечивать оперативный перевод средств на маржевый счет, если в том возникает необходимость. Размер этого резерва будет подбираться из соображений гарантий погашения брокерских требований с достаточно большой и устанавливаемой самим инвестором вероятностью.

Каждый портфель N означает вектор размерности k+1, где k - общее количество котируемых на рынке опционов заданного класса. Компонентами вектора N являются количества используемых в портфеле инструментов - опционов и акций, N = (n₀, n₁, …, n_k). Вектором p = (p₀, p₁, …, p_k) будем обозначать совокупность рыночных цен всех инструментов из портфеля, средних между ценами покупателя и продавца. Введем также вектор = (₀, ₁, …, _k), где _i (>0) - спрэд цен для i-го инструмента. Обозначим через v_m(N) среднюю стоимость портфеля N, через s(N) - спрэд цен портфеля N. Наряду со средней стоимостью портфеля используется нижняя стоимость v_l(N), которая получается при ликвидации портфеля, реализуемой по худшим для инвестора ценам. Очевидно,

v_m(N) = _in_ip_i, s(N) = _i|n_i|д_i, v_l(N) = v_m(N)-0.5s(N).(8)

Комиссионные для акций и опционов обычно зависят от их количества и цены базовой акции, притом, как правило, нелинейно. Однако для придания формулам в тексте определенности, в работе принимается, что комиссионные для всех инструментов пропорциональны их количеству, а для портфеля N комиссионные составят

f = (|N|, f₀),

где f₀ - вектор "удельных" комиссионных для компонент портфеля. В примерах разд. 3 комиссионными мы и вовсе пренебрегаем.

Процедуру удобно разделить на десять шагов.

Шаг 1 находит величину резерва, необходимого для покрытия с достаточно большой вероятностью требований брокера к инвестору по внесению на маржевый счет вариационной маржи. Здесь используются брокерские правила, определяющие размер вариационной маржи для различных опционных портфелей. Типичный вариант формирования вариационной маржи для базовой акции был рассмотрен в разд. 1. Примеры образования вариационной маржи для покрытого колла и покрытого пута предлагаются в разд. 3.

Наибольший необходимый размер вариационной маржи определяется задаваемым инвестором доверительным уровнем вероятности. По этому уровню находится "критическое" множество неблагоприятных для инвестора будущих цен базового актива. Это множество цен зависит от вида создаваемого портфеля, и, как правило, в определении резерва основную роль играют значительные движения цены базового актива либо вверх, либо вниз, либо в обе стороны.

Поэтому, не сильно ограничивая себя, задачу определения резерва можно поставить следующим образом: найти такой интервал цен (x₁, x₂), чтобы цена базового актива к концу интервала инвестирования оказывалась внутри него с заданной доверительной вероятностью (например 0.9) и при этом требуемый резерв был минимален. Значения цены x₁ и x₂ - левое и правое критическое соответственно. Подобный подход является традиционным в математической статистике (см., например, [4]). (Строго говоря, за границы критического интервала цен не следовало бы выходить не только к концу интервала времени, а на всем его протяжении, однако это сказывается лишь на некотором снижении доверительной вероятности. Величину такого снижения можно было бы оценивать, используя при моделировании динамики цены базового актива метод Монте-Карло, однако подробности такого исследования мы оставляем за рамками нашего изложения.)

В приводимых в разд. 3 примерах предполагается, что цена базового актива на момент подчиняется логнормальному закону распределения. Пусть и - параметры нормальной случайной величины, лежащей в основе логнормальной цены базового актива. Положим y_i = (ln(x_i)-)/, i = 1,2. Сопоставим паре (y₁, y₂) пару вероятностей (₁, ₂), так что y_i, i = 1,2, является _i-квантилем стандартного нормального распределения. По значению цены x можно находить необходимый уровень маржевых требований, а по ним и уровень резерва. Фактически задача состоит в том, чтобы определить такую пару цен (x₁, x₂), для которых ₂ - ₁ = и требуемый резерв минимален. Удовлетворительное решение легко нащупывается необходимыми вычислениями.

В результате получается значение резерва R_u для единичного портфеля U. В примерах разд. 3 этот шаг процедуры служит также средством адекватного задания начальных условий, включающих помимо портфеля A его суммарные денежные средства на счетах C₀ и задолженность перед брокером D₀.

Шаг 2 оценивает располагаемый на текущий момент времени капитал инвестора.

Грубая оценка капитала может быть построена исходя из предположения, что портфель полностью ликвидируется, причем по худшим для инвестора по каждой компоненте ценам: покупателя (bid price) при продаже инструмента, и продавца (asked price) - при покупке. Эту оценку обозначим K_l. Рассматривается также и средняя оценка K_m, которая получается использованием средних цен между ценами покупателя и продавца.

Располагаемый инвестором капитал K образуется из денежных средств на его счетах и стоимости портфеля за вычетом долговых обязательств с начисленными процентами. Поэтому соответственно разным ценам каждого инструмента с учетом (8) получим и разные значения располагаемого капитала:

K_m = C₀-D₀+mv_m(A), K_l = C₀-D₀+mv_l(A) = K_m-0.5ms(A).(9)

Оценка K_l представляет собой, как правило, заниженную оценку капитала, поскольку вовсе не обязательно нам потребуется полностью обновлять весь состав портфеля. Так, этого не придется делать, если новый портфель содержит опционы или акции с теми же знаками, что и опционы и акции из старого портфеля. Фактический располагаемый капитал тем больше, чем меньше новый портфель отличается от старого, поскольку меньше контрактов нужно закрывать и меньше теряется на спрэде цен продавца и покупателя.

Далее мы используем алгоритм с коррекцией. Представляется, что при решении реальных задач в качестве первого приближения (не учитывающего состав нового портфеля) больше подойдет оценка K_m как средняя между случаем, когда придется полностью менять портфель, и случаем, когда будет выгоднее всего портфель сохранить в прежнем виде. Однако для наглядности и проверки работы алгоритма мы в качестве первого приближения используем K_l.

Шаг 3 определяет размер чистой начальной инвестиции I_n, которой потребует построение нового единичного портфеля U. Снова отметим, что это приобретение должно проводиться по худшим ценам. Расчет I_n стандартен, хотя зависит от строящегося портфеля, и в разд. 3 иллюстрируется примерами. Здесь же находится и величина инвестиции, дополненная по сравнению с I_n резервной суммой,

I_f = I_n + R_u.

Шаг 4 находит портфель B', представимый в виде q'U, где q' - целое положительное число, и который можно построить исходя из капитала K_l. Очевидно,

q' = [K_l/(mI_f)],

где [a] означает целую часть числа a.

Здесь вычисляется также объем остаточных денежных средств, обусловленных дискретностью множества допустимых портфелей,

' = K_l - q'mI_f.

Шаг 5 проводит коррекцию полученного портфеля. Она необходима, поскольку состав нового портфеля, вообще говоря, зависит от располагаемого капитала, а тот в свою очередь зависит от состава нового портфеля. Мы здесь не стремимся к большой точности, и потому нам большого числа итераций не понадобится. Ограничимся лишь одной.

Определим общую часть G портфелей A и B'. Чем она больше, тем меньше средств понадобится для перехода от старого портфеля к новому. Если n_a и n_b - количества произвольного инструмента (одного и того же) в портфелях A и B' соответственно (оба могут быть любыми целыми числами - положительными, отрицательными или нулевыми), то его количество в портфеле G находится по правилу

n_g = {0, n_an_b 0; sign[n_a]min[|n_a|,|n_b|], n_an_b>0}.

Можно также усмотреть, что n_g фактически является средним по величине из тройки чисел {0, n_a, n_b}.

Сохраняя портфель G при трансформации портфеля, можно сэкономить (ликвидируя все остальное) сумму

= (|G|, д).(10)

Поэтому уточненное значение располагаемого капитала

K = K_l + m. (11)

Шаг 6 повторяет процедуру шага 4, только с новым значением располагаемого капитала. Сначала снова определяется целое число единиц нового портфеля по формуле

q = [K/(mI_f)],

а затем и окончательное представление искомого портфеля

B = qU.

На этот раз объем остаточных денежных средств

= K - qmI_f.

Шаг 7 повторяет процедуру шага 3, т.е. осуществляет поиск чистой начальной инвестиции, только для портфеля B. Определяется и значение резерва для портфеля B

R = qR_u.

Шаг 8 осуществляет фактическую трансформацию портфеля, т.е. определяет, что купить, что продать и сколько это будет стоить. Рассматривается портфель

N = A - B,

который предстоит приобрести инвестору (в алгебраическом смысле: что-то купить, а что-то продать), чтобы преобразовать старый портфель в новый. Для этого портфеля находятся его средняя стоимость v_m(N) и суммарный спрэд цен s(N), а также рассчитываются комиссионные f_T. По ним с использованием худших для инвестора цен получаем, что стоимость трансформации портфеля

T(A, B) = v_m(N) + s(N)/2 + f_T, (12)

где f_T = (|N|, f₀).

Шаг 9 определяет состояние денежных средств на обоих счетах непосредственно после трансформации портфеля. Они вычисляются применением балансового соотношения, в котором учитываются маржевые требования и долговые денежные обязательства для нового портфеля, получаемые в результате расчетов по шагу 7. Новый суммарный объем денежных средств на обоих счетах

C₁ = C₀ - D₀ + D₁ - T(A, B), (13)

при этом необходимые денежные средства на маржевом счете, включая сумму S = -T_s(B) в случае короткой позиции по акциям,

C_m = S + M_is(B) + M_io(B),(14)

а денежные средства на счете до востребования

C_d = C₁ - C_m.(15)

Суммарный остаток денежных средств на счетах

C₁ = C₁ - C_m - mR.(16)

В связи с существенной дискретностью множества возможных портфелей этот остаток, как правило, положителен. Однако гарантировать это при работе алгоритма с реальными данными, вообще говоря, нельзя. Вносить коррективы может иногда нелинейная зависимость от масштаба портфеля, присущая некоторым правилам (например расчета комиссионных).

Шаг 10 дает оценку среднего капитала инвестора в конце рассматриваемого интервала времени и рассчитывает доходность трансформации. Средний капитал F(x) зависит от будущей цены x базового актива, распределение которой составляет прогноз инвестора. В расчете мы используем средние между будущими возможными ценами покупателя и продавца.

Капитал F(x) складывается из платежной функции P_B(x) портфеля B, чистой суммы денежных средств C_n на обоих счетах инвестора, образованной к концу интервала инвестирования, но без учета вариационной маржи, и потерь (или выгод), обусловленных переводом средств между счетами:

F(x) = P_B(x) + C_n - Q(x)r_d. (17)

Сумма P_B(x) получается инвестором от ликвидации портфеля B при цене базового актива x и определяется стандартным образом:

P_B(x) = n₀x + _i=1,...,k (n_ci max[0, x - e_i] + n_pi max[0, e_i -x ]).

Агрегат C_n - это сумма денежных средств на обоих счетах инвестора, получаемая после погашения долга брокеру, учета дивидендов и выплаты комиссионных, а также получения процентов по счету до востребования, но без учета перевода вариационной маржи. Имеет место

C_n = C₁ - D₁(1+r_m) - md - mf_F + C_dr_d.(18)

Сумма C_n может быть отрицательной, когда долги перед брокером превалируют над денежными средствами на счетах. Она, вообще говоря, может зависеть от x, так как от x могут зависеть комиссионные при ликвидации позиции в момент .

Третье слагаемое в (17) означает процентные потери (или доходы) по счету до востребования вследствие перевода с него на маржевый счет (или обратно) вариационной маржи, при этом Q(x) - оценка приведенного к началу временного интервала эквивалентного объема денежных средств, переводимых в качестве вариационной маржи со счета до востребования на маржевый счет. Имеет место

Q(x) = mI_vm(x), (19)

где I_vm(x) - часть чистого инвестиционного расхода, обусловленная вариационной маржей и зависящая от вида строящегося портфеля. В разд. 1 рассмотрены наиболее сложные случаи, относящиеся к длинным и коротким позициям по базовому активу, и дается оценка инвестиционного расхода итоговой формулой (7).

Для получения окончательной оценки доходности инвестиции на рассматриваемом интервале времени (в годовом выражении) более оправданным выглядит использование в качестве полного инвестиционного расхода значение среднего капитала K_m:

Y(x) = (F(x) - K_m)/(K_m).(20)

Эта доходность является случайной величиной. Поэтому сравнивать между собой варианты переформирования портфеля можно обычным образом, например, по математическому ожиданию и дисперсии, определяемыми в соответствии с распределением цены базового актива, спрогнозированным инвестором.

На этом описание процедуры заканчивается.

Замечание. В силу того, что значение располагаемого капитала варьируется в пределах от K_m-0.5ms(A) до K_m+0.5ms(A), относительная ошибка в определении доходности инвестиции за счет выбора K_m не превысит ms(A)/(2K_m). Поскольку нам важно провести лишь сравнительный анализ всех вариантов переформирования, то ошибка в определении "наилучшего" целевого портфеля будет еще меньше. При этом учет фактора времени в формуле (20) обязателен в тех случаях, когда сравниваются инвестиции в два портфеля, вообще говоря, с различными временными горизонтами.

3. Иллюстративные примеры

Рассмотрим использование методики из предыдущего раздела в сочетании с разработками разд. 1 на двух примерах переформирования портфеля. В первом из них портфель из класса "покрытая продажа колла" трансформируется в аналогичный портфель с бульшим страйком у колла, а во втором - подобная трансформация осуществляется уже с портфелем из класса "покрытая продажа пута". В первом случае производится покупка базовой акции, а во втором - ее короткая продажа.

Общими для обоих примеров служат следующие данные: м_l = м_s = 0.5, м_ml = м_ms = 0.25, длительность года y = 365.25, процентная ставка по брокерскому кредиту r_m = 0.1 (10%), ставка до востребования r_d = 0.05, время до истечения срока опционов 91 день, что составляет = 0.249144 года. Прогноз цены базовой акции на такой срок задается логнормальной случайной величиной. Ее параметрами служат волатильность в годовом выражении = 0.3 и средняя цена (через время ), совпадающая с текущей, p₀ = 53.0.

Ниже для цен покупателя и продавца также используются логнормальные прогнозы. Считаем, что их средние соответственно равны p_l = p₀ + ₀/2 = 53.8 и p_s = p₀ - ₀/2 = 52.2, а волатильности совпадают с .

Все комиссионные полагаем равными нулю, равно как и дивиденды на рассматриваемом интервале времени.

3.1 Покрытая продажа колла

Допустим, что в настоящий момент инвестор располагает портфелем A = q_o{1, -1, 0}, q_o = 37, т.е. портфель состоит из 37 лотов (по m = 100) длинных акций и стольких же коротких опционов колл (каждый опцион охватывает 100 акций). При этом страйк опциона e₁ = 50. Третий элемент портфеля (в этом портфеле он равен нулю) зарезервирован за опционами колл со страйком e₂ = 55. Рыночные цены продавца и покупателя для всех трех инструментов зададим векторами p_m = {53.0, 5.0, 2.0} и д = 2{0.8, 0.3, 0.1}. Первый вектор состоит из средних цен между ценами покупателя и продавца, а второй - из их разностей, т.е. из спрэдов цен продавца и покупателя.

Помимо портфеля на счетах инвестора определены его собственные средства в денежном выражении и его долг брокеру. Примем, что C₀ = 55000, D₀ = 100000. Эти цифры можно задавать, вообще говоря, достаточно произвольно. Однако в целях моделирования реальной ситуации здесь они подбирались так, чтобы покрыть маржевые требования и резерв для портфеля A, как если бы он был организован в данный момент (для этого используются инструкции шагов 1 и 3 применительно к портфелю A). Очевидно, D_s0 = 0.

Оценим результат преобразования данной позиции в новую, состоящую из q единичных портфелей U = {1, 0, -1}, в котором вместо опциона колл со страйком 50 будет использован более дешевый опцион колл со страйком 55. Количество q должно выбираться как можно бульшим, но в пределах располагаемого капитала инвестора. Для проведения и оценивания такой трансформации применим процедуру из десяти шагов, предложенную в разд. 1.

На шаге 1 определяем резерв R_u денежных средств на маржевом счете для портфеля U. Поскольку потребность в резерве связана с покупкой базового актива, то в расчетах естественно исходить из ожидаемой цены продавца p_l = 53.8. Задаемся доверительной вероятностью = 0.9, и пару критических цен (x₁, x₂) подбираем из условия минимума R_u. Параметрами нормальной случайной величины, лежащей в основе логнормальной случайной величины с параметрами p_l и , являются = 3.95673, = 0.164717. Несколькими итерациями находим решение: ₁ = 0.0 (с высокой точностью), ₂ = 0.9, x₁ = 23.3471, x₂ = 64.4549. (Здесь используются правила формирования маржевых требований для покрытого колла, представленные далее на шаге 3, однако здесь подробные вычисления опускаем). При этом величина необходимого резерва

R_u = 9.45488.

На шаге 2 находим портфельный спрэд s(A), капиталы K_m и K_l. Подставляя числовые данные в (8)и (9), получаем

s(A) = 81.4, K_m = 132600.0, K_l = 128530.0.

На шаге 3 определяется размер чистой начальной инвестиции, необходимой для построения портфеля U. Для этого используются стандартные правила расчета, применяемые обычно для покрытой продажи колла. Ниже приводится один из типичных вариантов последовательного вычисления суммарных комиссионных, начальной маржи для опционов, начальной маржи и собственных средств для акций, долговых обязательств, расходов на опционы, общей начальной маржи и, наконец, чистой инвестиции. Для рассматриваемого портфеля количества n_s лотов акции и n_o опционов равны соответственно +1 и -1.

Итак, имеем (полагая f_U = 0)

T_s = n_sp_l = 53.8, M_is = E_q = м_lT_s = 26.9, D₁ = T_s - E_q = 26.9,

T_o = n_o(p₂ - ₂/2)= -1.9, M_io = n_omax[p_l - e₂, 0] = 0.0,

M_i = M_is + M_io = 26.9,

и потому

I_n = M_i + T_o = 25.0.

С учетом размера резерва полная чистая начальная инвестиция

I_f = I_n + R_u = 34.4549.

...