О проблемах переформирования портфеля на опционных рынках

Допустим теперь, что инвестор на данный момент располагает портфелем A = q_o{-1, -1, 0}, q_o = 37, т.е. портфель состоит из 37 лотов коротких акций и стольких же коротких опционов пут. При этом страйк опциона e₁ = 50. Третий элемент портфеля (в этом портфеле он равен нулю) резервируем за опционами пут со страйком e₂ = 55. Рыночные цены продавца и покупателя для всех трех инструментов зададим векторами p_m = {53.0, 1.0, 4.0} и д = 2{0.8, 0.1,0.25}.

Помимо портфеля на счетах инвестора фиксируются его собственные средства в денежном выражении и долг брокеру. Примем, что C = 321000, D = 0, D_s = -37. Объем денежных средств C подобран так, чтобы покрыть поступления от продажи базового актива, маржевые требования и резерв для портфеля A, как если бы он был организован в данный момент.

Оценим результат преобразования данной позиции в новую, состоящую из q единичных портфелей U = {-1, 0, -1}, где вместо опциона пут со страйком 50 используется более дорогой опцион пут со страйком 55. Количество q должно выбираться как можно бульшим, но в пределах располагаемого капитала инвестора. Снова применяется процедура из десяти шагов, предложенная в разд. 1.

На шаге 1 определяем резерв R денежных средств на маржевом счете для портфеля U. Поскольку потребность в резерве связана с продажей базового актива, то в расчетах естественно исходить из ожидаемой цены продавца p_s = 52.2. Задаемся доверительной вероятностью = 0.9, и пару критических цен (x₁, x₂) подбираем из условия минимума R. Параметрами нормальной случайной величины, лежащей в основе логнормальной случайной величины с параметрами p_s и , являются = 3.94387, = 0.149743. Несколькими итерациями находим решение: ₁ = 0.0 (с высокой точностью), ₂ = 0.9, x₁ = 42.202, x₂ = 72.8553. При этом величина необходимого резерва

R_u = 9.99805.

На шаге 2 находим портфельный спрэд s(A), капиталы K_m и K_l. Подставляя числовые данные в (8)и (9), получаем

s(A) = 66.6, K_m = 121200.0, K_l = 117870.0.

На шаге 3 определяется размер чистой начальной инвестиции, необходимой для построения портфеля U. Для этого используются стандартные правила расчета, применяемые обычно для покрытой продажи пута. Ниже приводится один из типичных вариантов последовательного вычисления суммарных комиссионных, начальной маржи для опционов, начальной маржи и собственных средств для акций, долговых обязательств, расходов на опционы, общей начальной маржи и, наконец, чистой инвестиции. Для рассматриваемого портфеля количества n_s лотов акции и n_o опционов равны по -1 каждое.

Итак, имеем (полагая f_U = 0)

T_s = n_sp_s = -52.2, M_is = E_d = -м_lT_s = 26.1, D₁ = 0.0,

T_o = n_o(p₂ - ₂/2)= -3.75, M_io = n_omax[e₂-p_s, 0] = 2.8,

M_i = M_is + M_io = 28.9,

и потому

I_n = M_i + T_o = 25.15.

С учетом размера резерва полная чистая начальная инвестиция

I_f = I_n + R_u = 35.148.

На шаге 4 находится первое приближение для количества единиц портфеля U, которое можно построить исходя из капитала K_l,

q' = [K_l/(mI_f)] = 33,

при этом сам портфель

B' = q'U = q'{-1, 0, -1} = {-33, 0, -33},

а неиспользованный денежный остаток на счетах

' = K_l - q'mI_f = 1881.45.

На шаге 5 производится коррекция располагаемого капитала. Для этого сначала определяется пересечение портфелей A и B'

N_int = {-33, 0, 0}.

Это именно та часть портфеля A, которую инвестор может использовать в новом портфеле. Ее при переходе от A к B' лучше сохранить, что дает определенную экономию по сравнению с полной ликвидацией старого портфеля. Используя формулы (10) и (11), находим соответственно размер экономии и второе приближение капитала

= 52.8, K = 123150.0.

На шаге 6 отсюда получаем новое значение для количества единиц портфеля U

q = [K/(mI_f)] = 35.

Таким образом, вторым приближением (и окончательной версией) нового портфеля служит

B = qU = q{-1, 0, -1} = {-35, 0, -35}.

На этот раз денежный остаток на счетах составит

= K - qmI_f = 131.838. (24)

На шаге 7 повторяются инструкции шага 3 для портфеля B. Здесь уже -n_s = -n_o = 35, и если принять, что все характеристики пропорционально зависят от размера портфеля, их вычисление сводится к увеличению результатов шага 3 в -n_s раз. Имеем

T_s = -1827.0, M_is = E_d = -м_lT_s = 913.5, D₁ = 0.0,

T_o = -131.25, M_io = 98.0, M_i = 1011.5, I_n = 880.25.

Новое значение резерва

R = qR_u = 349.932.

На шаге 8 вводится разность двух портфелей

N = A - B = {2, 37, -35}.

Именно такой портфель нужно организовать (что-то купить и что-то продать), чтобы осуществить переход от старого портфеля к новому. Для проведения этой операции приходится использовать наихудшие цены и нести комиссионные расходы. Ее стоимость вычисляется по формуле (12):

T = v_w(N) = (N, p_m) + (|N|, д)/2 + f_T = 17.05.

Первое слагаемое в правой части равенства дает стоимость портфеля при использовании средних цен, второе - коррекцию, обусловленную необходимостью использовать именно худшие цены, и третье - комиссионные (здесь они равны нулю).

На шаге 9 определяются денежные средства на обоих счетах непосредственно после трансформации. Они вычисляются применением формул (13)-(16), при этом учитывается, что в данном примере C_m = S + M_i:

C₁ = 319295.0, C_m = 283850.0, C_d = 35445.0, C₁ = 451.838.

Отметим, что разность между C₁ и из (24) равна 320. Так и должно быть, поскольку в данном примере также справедлива формула (23). Здесь q_A = 37, q' = 33, q = 35, поэтому q_m = q = 35, и по этой формуле с учетом m₀ = 160 имеем C₁ - = 320.

На шаге 10 производится оценивание среднего капитала инвестора в конце рассматриваемого интервала времени и доходности трансформации портфеля как функции будущей цены x базового актива (средней между ценами покупателя и продавца). Вычисления проводятся по формулам (17)-(20).

Платежная функция покрытого пута дается равенством

P_B(x) = m(-35x - 35max[0, e₂ - x]).

При вычислении C_n по формуле (18) используем найденные выше S, C₁ и C_d, а также равенства D₁ = f_F = d = 0:

C_n = 319737.0.

Для определения Q = m I_vm используем формулу (7) применительно к базовой акции, в результате получая I_smv(x). Расчет для опционной части портфеля, реализуемый по той же формуле, но при =0, дает:

I_omv(x) = M_oi(x) - M_oi = -n_ommax[0, e₂ - x].

График функции I_mv(x) = max[I_smv(x), 0] + I_omv(x) для данного примера приводится на рис. 4, а график доходности - на рис. 5.

Рис. 4 Функция I_mv(x) для покрытого пута (в пунктах)

Рис. 5 Функция доходности Y(x) для покрытого пута

При построении графика функции I_mv(x) также предполагается, что сокращение маржевых требований разного знака по компонентам портфеля не допускается. При построении графика Y(x) используются формулы (17) будущего капитала и (20) для доходности трансформации портфеля. Характерные точки на нем:

Y(x₁) = 0.193, Y(e₁) = 0.198, Y(e₂) = 0.202, Y(x₂) = -1.872.

В данном примере относительная ошибка в определении доходности инвестиции не превысит ms(A)/(2K_m) = 5066.6/121200 = 0.027.

Литература

Маршалл Дж.Ф., Бансал В.К. Финансовая инженерия. М.: ИНФРА-М, 1998 г. 784 с.

Макмиллан Л.Г. Опционы как стратегическое инвестирование. 3-е издание. М.: Издательский дом "ЕВРО", 2003. 1225 с.

Hull John. Fundamentals of Futures and Options Markets (5th edition). Prentice Hall, 2003. 744 p.

Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Наука, 1975.

Размещено на Allbest.ru