Особенности применения многоступенчатого критерия VaR на опционных рынках

Размещено на http://www.allbest.ru/

Российская академия наук

Вычислительный центр

ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МНОГОСТУПЕНЧАТОГО КРИТЕРИЯ VAR НА ОПЦИОННЫХ РЫНКАХ

Г.А. Агасандян

Ответственный редактор:

доктор техн. наук Ф.И. Ерешко

Москва 2007

Аннотация

В работе анализируются особенности применения многоступенчатого критерия VaR к реальным опционным рынкам. В ситуации, когда вероятностями хвостов распределения для цены базового актива, включающих крайние страйки, пренебрегать нежелательно, определяется состав базисных инструментов, в который следует включать не только простейшие баттерфляи, но и крайние спрэды. Обосновывается требование неотрицательности функции критических доходов инвестора, определяющей рисковые предпочтения инвестора. Исследуется целесообразность использования небазисных инструментов (баттерфляев и спрэдов) в качестве компонент оптимального портфеля инвестора, в связи с чем предлагается модификация стандартной процедуры Неймана-Пирсона. Анализируется роль спрэдов цен продавца и покупателя для окончательного представления портфеля через исходные инструменты рынка - коллы и путы. Приводятся иллюстративные примеры.

Рецензенты: В.В. Морозов, Ю.А. Флеров

Оглавление

• Введение
• 1. Систематизация баттерфляев и спрэдов
• 1.1 Простейшие длинные и короткие баттерфляи и спрэды и их сравнение по размеру инвестиции
• 1.2 Анализ эффективности простейших небазисных баттерфляев и спрэдов
• 2. Баттерфляи и спрэды при использовании многоступенчатого критерия VaR
• 2.1 Основной алгоритм построения оптимального портфеля инвестора
• 2.2 Модификация основного алгоритма при использовании небазисных инструментов
• 2.3 Проблемы окончательного представления оптимального портфеля инвестора
• 3. Иллюстративные примеры
• Литература

Введение

В работе исследуется ряд проблем, связанных с применением в реальных условиях опционного рынка многоступенчатого критерия VaR, рассмотренного в прежних работах автора версиях и разработанного как для теоретического опционного, так и для произвольного рынка (см. [1-4]). Там же дается определение функции рисковых предпочтений инвестора B_cr(), [0,1].

В качестве основных инструментов опционного рынка мы используем привычные баттерфляи и спрэды. При этом в соответствии с введенной в [4] терминологией мы их характеризуем как базисные или элементарные, хотя такое соответствие для реального рынка может быть лишь приближенным. Более подробно об этом говорится в разделе 2.

В целях приложения разработанных в [1-4] методов их необходимо дополнить сообразно следующим моментам:

· Применение инвестором коротких позиций требует адекватного моделирования. Следует корректировать размер инвестиции и ограничения на функции критических доходов инвестора.

· Использование одних лишь баттерфляев для получения рыночного распределения вероятностей цены базового актива часто бывает недостаточным, так как в их ценах не содержится информации о хвостах этого распределения, включающих крайние страйки.

· Состав торгуемых на рынке инструментов (теоретически) избыточен, так как на рынке присутствуют родственные инструменты, такие как коллы и путы. Хотя их цены и должны в теории подчиняться теореме паритета, но на практике они от паритета, вообще говоря, отклоняются, и этим можно воспользоваться.

· Возможность использования на рынке небазисных инструментов, таких как короткие баттерфляи, требует оценивания их эффективности и введения в процедуру Неймана-Пирсона в качестве элементарного инструмента - компоненты портфеля.

· Приведение подобных членов в представлении портфеля инвестора в виде взвешенной суммы базисных инструментов (баттерфляев и спрэдов), приводящее к получению окончательного представления через исходные коллы и путы, снижает размер инвестиционной суммы за счет эффекта спрэда цен продавца и покупателя.

Сначала рассматриваются основные инструменты опционного рынка и исследуются некоторые их свойства. Затем эти свойства используются при применении многоступенчатого критерия VaR в задаче оптимизации портфеля инвестора на однопериодном опционном рынке.

1. Систематизация баттерфляев и спрэдов

В данном разделе проводится систематизация всех возможных простейших баттерфляев - как длинных, так и коротких. Похожая, только более широкая, систематизация может быть реализована и для кондора - естественного обобщения баттерфляев. Каждый простейший баттерфляй образован тремя соседними страйками. Страйки будем последовательно нумеровать i, i = 1, 2, …, n, n - количество торгуемых страйков. Баттерфляи допустимы для всех "внутренних" страйков i = 2, 3, …, n-1. Расстояние между ближайшими страйками одно и то же и равно h (от этого ограничения, в принципе, можно отказаться).

1.1 Простейшие длинные и короткие баттерфляи и спрэды и их сравнение по размеру инвестиции

Все возможные баттерфляи (как и кондоры) образованы парой спрэдов - одного медвежьего и другого бычьего (см., например, [6]). В них используются 3 (в кондоре 4) страйка. В зависимости от того, с какими страйками, в каких спрэдах и какого типа опционы используются в комбинации, различают 8 основных вариантов баттерфляя (12 - кондора).

Введем необходимые обозначения. Все варианты баттерфляев будем различать, применяя трехсимвольные обозначения, при этом первый символ S означает короткий вариант баттерфляя, а L - длинный, второй символ в обозначении говорит о типе левого спрэда, а третий - правого, при этом символ C указывает, что спрэд образован коллами, а P - путами. Так, например, SCP означает короткий баттерфляй, образованный колл-спрэдом "медведя" с двумя меньшими страйками и пут-спрэдом "быка" с двумя большими страйками. Кроме этого, для обозначения коллов, путов, спрэдов, баттерфляев и прочих инструментов и портфелей будем использовать также полужирный шрифт, а для их цен - обычный.

Для упрощения записи приводимые ниже определения разных типов баттерфляев задаются для крайнего левого простейшего баттерфляя, образованного страйками 1, 2 и 3. Разумеется, все обозначения сохраняют силу и для произвольной тройки соседних страйков.

LCC = +C₁ -2C₂ +C₃

- длинный баттерфляй, образованный двумя длинными коллами со страйками 1 и 3 и двумя короткими коллами со страйком 2. Конструкцию баттерфляя из коллов (как и всех других) можно распространить на случай неравномерной решетки страйков. Для "внутреннего" страйка i с расстояниями h' и h" до ближайших страйков слева и справа соответственно баттерфляй строится из h" и h' длинных коллов со страйками i-1 и i+1 соответственно и h'+h" коротких коллов со страйком i. Его представление 2 (h'C_i+1 - (h'+h")C_i + h"C_i-1)/(h'h"(h'+h")).

LPP = +P₁ -2P₂ +P₃

- длинный баттерфляй, образованный двумя длинными путами со страйками 1 и 3 и двумя короткими путами со страйком 2.

LCP = +C₁ -C₂ -P₂ +P₃

- длинный баттерфляй из одного колл-спрэда "быка" с двумя меньшими страйками 1 и 2 и другого пут-спрэда "медведя" с двумя большими страйками 2 и 3.

LPC = +P₁ -P₂ -C₂ +C₃

- длинный баттерфляй из одного пут-спрэда "быка" с двумя меньшими страйками 1 и 2 и другого колл-спрэда "медведя" с двумя большими страйками 2 и 3.

SCC = -C₁ +2C₂ -C₃

- короткий баттерфляй, образованный двумя короткими коллами со страйками 1 и 3 и двумя длинными коллами со страйком 2.

SPP = -P₁ +2P₂ -P₃

- короткий баттерфляй, образованный двумя короткими путами со страйками 1 и 3 и двумя длинными путами со страйком 2.

SCP = -C₁ +C₂ +P₂ -P₃

- короткий баттерфляй из одного колл-спрэда "медведя" с двумя меньшими страйками 1 и 2 и другого пут-спрэда "быка" с двумя большими страйками 2 и 3.

SPC = -P₁ +P₂ +C₂ -C₃

- короткий баттерфляй из одного пут-спрэда "медведя" с двумя меньшими страйками 1 и 2 и другого колл-спрэда "быка" с двумя большими страйками 2 и 3.

Платежные функции всех этих баттерфляев естественным образом разбиваются на две группы - длинных и коротких баттерфляев. Платежные функции баттерфляев одного типа отличаются одна от другой на константу. Сумма платежных функций любого длинного и любого короткого баттерфляя равна константе.

Когда платежная функция какой-либо комбинации принимает при некоторых значениях цены базового актива отрицательные значения, от инвестора требуется внесение маржи в том минимальном размере, который делает гарантированным полное покрытие убытка инвестора в случае появления отрицательного дохода - отрицательных значений платежных функций. Поэтому для любого баттерфляя размер начальной маржи

q = -min((1), (2), 0),

где (i) - значение платежной функции баттерфляя для страйка i. В формулу не включен страйк 3, так как для баттерфляев (3) = (1).

Применение этого принципа ко всем перечисленным баттерфляям определяет размер маржи для каждого из них. Все они представлены ниже в таблице. На самом деле в ней представлены значения q' = -min((1), (2)), что при q' < 0 (в случае баттерфляя LCP) в силу практической недопустимости отрицательной маржи является просто полезной информацией.

Таблица. Размер маржи для основных типов баттерфляев

LCC	LPP	LPC	LCP	SCC	SPP	SPC	SCP
0	0	h	-h	h	h	0	2h

Внесение маржи увеличивает на ее размер как инвестиционную сумму, так и доход. И если скорректированные на размер маржи платежные функции оказываются для двух баттерфляев одинаковыми, то предпочтение, вообще говоря, следует отдавать тому, какой из них обходится инвестору дешевле.

В любом случае из сказанного следует, что функция рисковых предпочтений инвестора B_cr() должна быть неотрицательной, иначе у задачи нет решения. Иными словами, инвестор не вправе рассчитывать на повышение средней доходности инвестиции за счет отрицательных доходов при каких-либо исходах цены базового актива - это противоречит принципам взаимодействия брокера с клиентом.

В последующем изложении мы будем пренебрегать комиссионными сборами, что практически не ограничивает общности изложения. Кроме того, понимая важность спрэда цен продавца и покупателя для выводов, тем не менее, в целях упрощения приводимых ниже соотношений мы под ценами инструментов в них будем понимать полусумму цен продавца и покупателя. Однако каждый раз, когда нам будет необходимо, мы будем корректировать выводы, подчеркивая влияние спрэда цен.

Рассмотрим сначала длинные баттерфляи. К ним (в соответствии с наименованием) относятся баттерфляи LCC, LPP, LPC и LCP. Платежные функции баттерфляев LCC и LPP одинаковы и имеют канонический вид равнобедренного треугольника с отрезком между страйками 1 и 3 в основании и высотой h. Если такую функцию сдвинуть вниз на h по оси ординат, то получится платежная функция баттерфляя LPC. Такой вид платежной функции предполагает внесение инвестором маржи в размере h. В результате получается новая платежная функция, уже совпадающая с функциями для LCC и LPP.

Наконец, график платежной функции для LCP лежит выше графика этих функций на ту же величину h. Если бы существовала отрицательная маржа, то в результате применения к платежной функции LCP маржи -h можно было бы уравнять ее с канонической функцией длинного баттерфляя. Без этого баттерфляй LCP становится особым случаем.

Дадим представление инвестиционных сумм для каждого из длинных баттерфляев. Для удобства введем обозначения

C_i = C_i - C_i+1, P_i = P_i - P_i+1, 'P_i = P_i - P_i+1 + h. (1)

Обозначим через v общую инвестиционную сумму на организацию позиции, т.е. сумму расходов на приобретение и продажу опционов (стоимость комбинации) вместе с маржей. Используя значения начальной маржи из таблицы, получаем следующие формулы общей инвестиционной суммы для всех длинных баттерфляев:

v(LCC) = C₁ - 2C₂ + C₃ = C₁ - C₂, (2)

v(LPP) = P₁ - 2P₂ + P₃ = 'P₁ - 'P₂, (3)

v(LPC) = P₁ - P₂ + h - C₂ + C₃ = 'P₁ - C₂, (4)

v^m(LCP) = C₁ - C₂ - P₂ + P₃ - h = C₁ - 'P₂. (5)

Появление в последнем соотношении v^m вместо v указывает на то, что для уравнивания платежных функций используется отрицательная маржа. Наилучшим из этих баттерфляев по прибыли будет тот, для которого инвестиционная сумма будет наименьшей (тем не менее, баттерфляй LCP должен рассматриваться особо).

Отметим, что на теоретическом опционном рынке (со "справедливыми" ценами) для цен путов P' и P" и коллов C' и C" со страйками e' и e" соответственно справедлив вариант паритета пут-колл (принимается, что безрисковая процентная ставка равна нулю):

P" - P' = C" - C' + e" - e'.

На таком идеальном рынке, как нетрудно видеть, все инвестиционные суммы для длинных баттерфляев в формулах (2)-(5) (как и в приводимых ниже формулах (10)-(13) для коротких баттерфляев) совпадают между собой. Однако на реальном рынке допустимо расхождение в инвестиционных суммах для разных баттерфляев - как длинных, так и коротких.

Используя обозначения (1), условия оптимальности по прибыли (разности между доходом и инвестиционным расходом) для длинных баттерфляев можно записать формально:

LCC: C₁ < 'P₁, C₂ > 'P₂; (6)

LPP: C₁ > 'P₁, C₂ < 'P₂; (7)

LPC: C₁ > 'P₁, C₂ > 'P₂; (8)

LCP^m: C₁ < 'P₁, C₂ < 'P₂. (9)

Для оптимальности в терминах доходности эти условия остаются справедливыми, если бы в случае с баттерфляем LCP разрешалось реализовывать отрицательную маржу. Раз это не так, баттерфляй LCP заведомо проигрывает другим длинным баттерфляям, поскольку при одинаковой прибыли его доходность в силу большей на величину h инвестиции будет существенно ниже. В таком случае наилучший баттерфляй следует выбирать из первых трех длинных баттерфляев, а баттерфляй LCP рассматривать отдельно.

Теперь обратимся к коротким баттерфляям: SCC, SPP, SCP и SPC. Первые три из них имеют платежные функции, которые могут принимать отрицательные значения, а платежная функция последнего неотрицательна. Легко видеть, что применение маржевых требований к баттерфляям SCC, SPP, SCP означает прибавление к их платежным функциям соответственно h, h, 2h, что уравнивает их между собой и с платежной функцией баттерфляя SPC.

Таким образом, использование на рынке коротких баттерфляев реально приводит к тому, что инвестиция в каждый из них (с учетом начальной маржи) дает на момент истечения срока одинаковый доход, совпадающий с платежной функцией баттерфляя SPC. В силу равенства скорректированных платежных функций наибольшая прибыль будет получена по тому баттерфляю, инвестиция в который наименьшая.

v(SCC) = - C₁ + 2C₂ - C₃ + h = - C₁ + C₂ + h, (10)

v(SPP) = - P₁ + 2P₂ - P₃ + h = - P₁ + 'P₂ + h, (11)

v(SCP) = - C₁ + C₂ + P₂ - P₃ + 2h = - C₁ + 'P₂ + h, (12)

v(SPC) = - P₁ + P₂ + C₂ - C₃ = - 'P₁ + C₂ + h. (13)

Тот баттерфляй, для которого выражение справа минимально, и является наилучшим для инвестирования. Очевидно, что условия оптимальности при этом противоположны условиям (6)-(9) для длинных баттерфляев, и мы их не выписываем.

Легко видеть, что соотношения (2)-(5) и соотношения (10)-(13) связаны общей зависимостью

v(LXY) + v(SXY) = h,

где в качестве XY может быть подставлена любая из пар CC, PP, CP или PC, а в случае с баттерфляем LPC понимается именно инвестиционная сумма в смысле соотношения (5) (с отрицательной маржей).

Для наилучших длинных баттерфляев из первых трех типов со страйками i, i = 2, 3, …, n-1, после нормировки - деления на h - будем использовать обозначения B_i.

При построении оптимального портфеля можно обойтись баттерфляями для внутренних страйков в случае, если вероятность (с точки зрения инвестора) того, что цена базового актива окажется вне диапазона, охватывающего множество всех внутренних страйков, пренебрежимо мала. Если же это не так, то потребуется использовать рыночные инструменты, в которых зашифрована рыночная информация об этой вероятности. Роль таких инструментов могут играть спрэды, образованные двумя парами крайних страйков. Эти простейшие крайние спрэды назовем урезанными баттерфляями.

Они анализируются аналогично простейшим баттерфляям для внутренних страйков. Для каждой пары крайних страйков возможны два длинных и два коротких спрэда - как с коллами, так и с путами. Сохраняя стиль обозначений, принятый для баттерфляев, все такие спрэды можно представить в следующем виде (следует обратить внимание на особенности характера суммарной позиции - длинная или короткая - в связи с асимметрией структуры спрэдов):

LC = +C₁ -C₂

- длинный колл-спрэд, образованный длинным коллом со страйком 1 и коротким коллом со страйком 2.

LP = -P₁ +P₂

- длинный пут-спрэд, образованный коротким путом со страйком 1 и длинным путом со страйком 2.

SC = -C₁ +C₂

- короткий колл-спрэд, образованный коротким коллом со страйком 1 и длинным коллом со страйком 2.

SP = +P₁ -P₂

- короткий пут-спрэд, образованный длинным путом со страйком 1 и коротким путом со страйком 2.

Длинные спрэды не требуют внесения маржи, а для коротких - величина маржи равна h. Для них инвестиционные расходы (с учетом маржи) определяются соответственно равенствами

v(LP) = - P₁ + P₂ = -P₁, v(SC) = - C₁ + C₂ + h = -C₁ + h, (14)

v(LC) = + C₁ - C₂ = C₁, v(SP) = + P₁- P₂ + h = P₁ + h, (15)

Очевидны соотношения

v(LP) + v(SP) = h, v(LС) + v(SС) = h,

Характер платежных функций длинных спрэдов и скорректированных с учетом маржи платежных функций коротких спрэдов говорит о том, что на роль базисных инструментов (после нормировки) для наименьшего страйка (i = 1) могут претендовать спрэды LP и SC, а для наибольшего (i = n) - LC и SP.

Их сравнение проводим для крайних страйков по отдельности. Для страйка i = 1 спрэд LP будет лучшим, если C₁ < 'P₁, а спрэд SC - в противном случае. Для страйка i = n спрэд LC будет лучшим, если C₁ < 'P₁, а спрэд SP - в противном случае. Таким образом, при условии C₁ < 'P₁ лучшим всегда оказывается длинный спрэд (как для колла, так и для пута), а в противном случае - короткий.

Нам будет удобно (и это выглядит естественным) наилучшие спрэды для крайних страйков 1 и n после деления на h также обозначать, как и наилучшие баттерфляи для внутренних страйков, через B₁ и B_n соответственно.

Все прочие возможные спрэды для крайних страйков - их также четыре - не годятся на роль базисных инструментов, так как для них ненулевыми являются доходы сразу для n - 1 сценария. Тем не менее, их можно рассматривать как элементарные, и их следует оценивать особо, как и баттерфляи, не являющиеся базисными. Такими спрэдами служат те же самые рассмотренные выше 4 спрэда, но на этот раз они меняются местами: для страйка i = 1 имеются в виду спрэды LC и SP, а для страйка i = n - спрэды LP и SC. Для них инвестиционные расходы определяются теми же формулами (14) и (15).

1.2 Анализ эффективности простейших небазисных баттерфляев и спрэдов

В данном подразделе мы пытаемся показать, что применение коротких баттерфляев и длинного баттерфляя LCP может быть оправдано лишь наличием спрэда цен продавца и покупателя. Мы докажем, что в предположении о равенстве этого спрэда нулю все эти баттерфляи не могут быть эффективнее эквивалентной по платежной функции комбинации наилучших баттерфляев B_i^o.

Сначала рассмотрим внутренние страйки и проверим эффективность использования пяти из восьми баттерфляев - всех коротких баттерфляев и длинного баттерфляя LCP, - которые не могут служить базисными инструментами.

Предположим, что спрэд цен продавца и покупателя, а также комиссионные расходы равны нулю. Проведем прямую проверку того, что все короткие баттерфляи при произвольной картине рыночных цен коллов и путов не могут быть дешевле эквивалентной по скорректированной платежной функции комбинации наилучших длинных баттерфляев (включая наилучшие крайние спрэды).

В приводимых ниже формулах для удобства записи вводятся фиктивные спрэды C₀ = hM, C_n = 0, P₀ = 0, P_n = -hM с ценами C₀ = h, C_n = 0, P₀ = 0, P_n = -h. При этом условный инструмент M означает внесение единичной маржи, а "инструмент" 0 ничего не стоит, но и не приносит никакого дохода.

Для баттерфляя SCC со страйком i инвестиционный расход равен v = h - C_i-1 + C_i. Этому баттерфляю "противостоит" комбинация из одних коллов с той же платежной функцией (это, фактически, также сумма всех баттерфляев из коллов за исключением i-го)

S = _ji (C_j-1 - C_j). (16)

В данном портфеле внесение маржи вызвано присутствием в сумме крайнего короткого колл-спрэда -C₀. Кроме того, последний спрэд введен для удобства записи. В силу предположения о равенстве спрэда цен продавца и покупателя нулю аналогичное соотношение выполняется для цен

S = _ji (C_j-1 - C_j). (17)

После очевидных сокращений равенство упрощается

S = h - C_i-1 + C_i.

Это значит, что S = v. С другой стороны, платежная функция каждого j-го, ji, слагаемого в (16), являющегося длинным баттерфляем, совпадает с платежной функцией инструмента B_j. В силу оптимальности последнего

(C_j-1 - C_j) hB_j

и потому

v = h - C_i-1 + C_{i ji} hB_j, (18)

что и требовалось доказать.

Аналогично проверяется (в тех же предположениях) неэффективность и прочих коротких баттерфляев SPP, SPC и SCP. Следует лишь заметить, что инвестиционные расходы v для них равны соответственно h - P_i-1 + P_i, -P_i-1 + C_i и 2h - C_i-1 + P_i. Кроме того, равенство (16) нужно заменить соответственно равенствами

S = _ji (P_j-1-P_j),

S = _j<i (P_j-1-P_j) + _j>i (C_j-1-C_j),

S = _j<i (C_j-1-C_j) + _j>i (P_j-1-P_j).

Последние два соотношения означают представление инструмента S в виде комбинации баттерфляев, каждый из которых образован либо одними коллами, либо одними путами. С помощью этих равенств доказываются являющиеся аналогом (18) неравенства

v = h - P_i-1 + P_{i ji} hB_j, (19)

v = -P_i-1 + C_{i ji} hB_j, (20)

v = 2h - C_i-1 + P_{i ji} hB_j, (21)

Схожим образом можно рассмотреть и небазисный длинный баттерфляй LCP. Инвестиционный расход для него v = C_i-1 - P_i (использование отрицательной маржи не предполагается). Эквивалентная ему по платежной функции комбинация из колл-спрэдов и пут-спрэдов представима в виде

S = _ji (P_j-1-P_j) + _ji (C_j-1-C_j).

Эту комбинацию можно интерпретировать также как сумму всех баттерфляев из путов для страйков ji и всех баттерфляев из коллов для страйков ji. Отметим, что для страйка j=i используются два баттерфляя - один из коллов и другой из путов. В силу предположения о равенстве спрэда цен продавца и покупателя нулю аналогичное соотношение выполняется для цен

S = _ji (P_j-1-P_j) + _ji (C_j-1-C_j). (22)

После очевидных сокращений равенство упрощается

S = C_i-1 - P_i = v.

С другой стороны, платежная функция каждого слагаемого в (22) с индексом j, являющегося длинным баттерфляем, совпадает с платежной функцией инструмента B_j в количестве h. В силу оптимальности последнего

(P_j-1 - P_j) hB_j, (C_j-1 - C_j) hB_j,

и потому

v= C_i-1 - P_i hB_i + _j hB_j, (23)

что и требовалось доказать.

Нам осталось рассмотреть урезанные баттерфляи для крайних страйков. А именно рассмотрим те спрэды, которые не могут служить базисными инструментами и не участвуют в определении инструментов B₁ и B_n. Как мы отмечали в разделе 1, такими инструментами являются спрэды LC и SP для страйка i = 1 и спрэды LP и SC для страйка i = n. Их анализ проводится одинаково и аналогично баттерфляям для "внутренних" страйков.

Для спрэда LC со страйком i = 1 инвестиционный расход равен v = C₁. Упрощенная платежная функция этого спрэда принимает значение 0 при цене актива, равной страйку i = 1, и h - в остальных страйках. Этому спрэду "противостоит" комбинация из одних коллов с той же платежной функцией (это, фактически, полная сумма всех баттерфляев из коллов, включая урезанный для последнего страйка) и потому

S = _j>1 (C_j-1 - C_j). (24)

Аналогичное равенство выполняется для цен

S = _j>1 (C_j-1 - C_j),

которое после очевидных сокращений упрощается:

S = C₁ = v.

Как и ранее, получаем

v = C_{1 j>1} hB_j, (25)

Так же записываются соотношения (24) и (25) для спрэда SP для страйка i = 1 и для спрэдов LP и SC для страйка i = n. Имеем соответственно

S = _j>1 (P_j-1-P_j), v = h - P_{1 j>1} hB_j,

S = _j<n (P_j-1-P_j), v = -P_{n-1 j<n} hB_j,

S = _j<n (C_j-1-C_j), v = h - C_{n-1 j<n} hB_j,

Подобное свойство распространяется и на все виды кондоров - как длинных, так и коротких. Любой такой кондор может быть представлен в виде комбинации (1) либо базисных баттерфляев из коллов, (2) либо базисных баттерфляев из путов, (3) либо нескольких баттерфляев из коллов с меньшими страйками и нескольких баттерфляев из путов с большими страйками, (4) либо нескольких баттерфляев из путов с меньшими страйками и нескольких баттерфляев из коллов с большими страйками. Потому для них и оценки типа (18) - (21) и (23) оказываются справедливыми.

Итак, мы показали, что в предположении равенства нулю спрэда цен продавца и покупателя никакого выигрыша от использования небазисных элементарных инструментов добиться нельзя. Но на практике такой спрэд не равен нулю. К каким последствиям это может привести?

Нетрудно видеть, что при таком условии проводить сокращения в равенствах типа (17) и (22) так, как это делали мы, не допустимо. Можно лишь утверждать, что, например в случае баттерфляя LPC, имеют место неравенства

S C_i-1 - P_i = v, S hB_i + _j hB_j,

откуда вовсе не следует, что

v hB_i + _j hB_j. (26)

В связи с этим проблема сравнения по эффективности элементарных инструментов, таких как короткие баттерфляи и баттерфляй LCP, с эквивалентными по платежной функции комбинациями наилучших длинных баттерфляев сохраняется.

На примере неравенства (26) выскажем соображения, работающие в пользу и против его выполнения. Против его выполнения говорит то, что комбинация hB_i + _j hB_j (и тем более S) может превышать v за счет того, что она в отличие от тестируемого элементарного небазисного инструмента образована большим количеством баттерфляев, притом эффекты от расхождения цен продавца и покупателя суммируются.

В пользу выполнения (26) (т.е. неэффективности использования небазисного элементарного инструмента) говорит обстоятельство, связанное с проблемой окончательного представления портфеля. О нем мы подробнее поговорим в следующем разделе. Здесь же достаточно будет сказать, что в представлении оптимального портфеля через наилучшие базисные баттерфляи многие спрэды встречаются совместно со своими "антагонистами" и при окончательном представлении портфеля через исходные коллы и путы они могут быть взаимно уничтожены, что снижает эффект от расхождения цен покупки и продажи одного и того же спрэда.

Ниже в разделе 3 приводятся примеры, в которых даются количественные оценки эффекта от наличия спрэда цен продавца и покупателя. В них для простоты предполагается, что каждый спрэд цен продавца и покупателя для всех коллов и путов равен . В таком случае реальная сумма цен двух колл-спрэдов +C_j и -C_j, как и двух пут-спрэдов +P_j и -P_j, равна уже не нулю, а 2 (при этом не учитывается маржа и возможность специального ценообразования спрэдов). Иными словами, в результате "аннигиляции" каждой пары колл-спрэдов (как и пут-спрэдов) с разными знаками, которые могут быть компонентами базисных баттерфляев, образующих портфель инвестора, инвестиционный расход снижается на 2.

Поэтому, если два портфеля имеют одинаковые платежные функции и одинаковую стоимость, рассчитанную как полусумма цен продавца и покупателя (т.е. без учета спрэда цен), и при этом второй портфель получен из первого сокращением k пар спрэдов, то реальная стоимость второго будет на 2k меньше первого.

2. Баттерфляи и спрэды при использовании многоступенчатого критерия VaR

Здесь мы используем результаты предыдущего раздела при построении "оптимального" портфеля инвестора в условиях избыточности множества элементарных и базисных (в терминологии [4]) инструментов. В предыдущем разделе мы провели классификацию всех простейших баттерфляев и спрэдов и выяснили условия, при которых они могут служить либо непосредственно базисными инструментами, либо элементарными инструментами - кандидатами на использование в качестве компонент оптимального портфеля инвестора. Мы также пришли к выводу, что инвестору не следует использовать функции рисковых предпочтений B_cr(), принимающие отрицательные значения, иначе задача не будет иметь решения.

После напоминания канонической процедуры Неймана-Пирсона, доставляющей оптимальный портфель инвестора в теоретической схеме как для опционного, так и произвольного рынка, строится новая процедура, позволяющая для выбранного кандидата в элементарные инструменты определить вес, с которым она должна входить в оптимальный портфель. Кроме того, рассматриваются вопросы, связанные с окончательным представлением оптимального портфеля через исходные коллы и путы.

2.1 Основной алгоритм построения оптимального портфеля инвестора

При нахождении оптимального портфеля инвестора используется вариант метода Неймана-Пирсона, рассмотренный в работе [4] (лежащие в его основе идеи одноименного статистического критерия можно найти, например, в [5]). По сути, здесь применяется сценарный подход, при котором такие инструменты, как баттерфляи LCC, LPP и LPC, интерпретируются (после нормировки) как базисные. Это относится и к крайним спрэдам оговоренных ранее типов.

Для определенности в дискретной схеме n сценариев и они отождествляются со страйками. Фактически, сценарий - это некоторый подходяще выбранный интервал возможных цен базового актива. Естественно выбирать для "внутренних" страйков в качестве них интервалы длиной h с центром в страйках; для крайних же страйков интервалы простираются до крайних возможных значений цены базового актива. В этом случае сохраняется интегральная оценка дохода для каждого сценария.

Используя этот подход, мы будем иметь дело с упрощенными модификациями упоминавшихся ранее инструментов, таких как спрэды и баттерфляи, однако сохраним их прежние названия. В терминологии работы [4] эти инструменты будут после нормировки исполнять роль базисных или элементарных инструментов. Упрощенность такой интерпретации связана с тем, что, например, базисный инструмент при одном сценарии дает единичный доход, а при остальных - нулевой. Для реального же баттерфляя сценарий - это множество, и доход на нем переменный с кусочно-линейной зависимостью от цены базового актива. То же относится и элементарным инструментам и их комбинациям.

Если в составе инструментов, выбранном за основу, имеются небазисные элементарные инструменты, то следует задать матрицу доходов Y (см. [4]). Элемент y_ij этой матрицы означает доход, получаемый инвестором по инструменту i при реализации сценария j. (Если элементарные инструменты являются базисными, то матрица Y единичная.)

Как следует из анализа раздела 1, приближенно в качестве базисного инструмента для "внутренних" страйков могут выступать после нормирования (деления на h) длинные баттерфляи LCC, LPP и LPC, а для наименьшего страйка (i = 1) - спрэды LP и SC, для наибольшего (i = n) - LC и SP.

Задача решается методом Неймана-Пирсона, который можно записать формально следующей последовательностью обозначений и операций:

Y - матрица доходов по элементарным инструментам;

m - вектор рыночных цен элементарных инструментов;

c = m Y^-1 - вектор цен базисных инструментов;

p - вектор вероятностей всех сценариев, составляющий прогноз инвестора;

= p/c - вектор средних относительных доходов инвестора по всем базисным инструментам (берется поэлементное отношение);

= O() - вектор, i-я компонента которого определяет позицию в векторе i-й по величине компоненты, начиная с наименьшей (этот вектор переупорядочивает компоненты произвольного вектора, располагая их в порядке возрастания компонент вектора ); O - обозначение соответствующего преобразования;

- матрица, все элементы которой равны нулю кроме тех случаев, когда _i = j, эти элементы матрицы равны 1;

d = p - подстановка вектора p, в которой компоненты упорядочены в возрастающем порядке вектора (т.е. в порядке, определяемом вектором );

- треугольная матрица, элементы которой равны 1 при ij и 0 в остальных случаях;

= d - кумулятивные вероятности для вектора d;

b = f() - функция критических доходов, выбираемая инвестором (пример: f() = , >0);

g = b - вектор весов базисных инструментов в оптимальном портфеле;

A = (g, c) - инвестиционная сумма портфеля;

R = (g, p) - средний доход;

r = R/A - средний относительный доход;

w = g Y^-1 - вектор весов элементарных инструментов в оптимальном портфеле.

Этот метод Неймана-Пирсона хорошо справляется с нахождением оптимального портфеля инвестора в случаях, когда матрица Y - единичная. Как следует из анализа раздела 1, этого можно добиться, выбирая нужным образом баттерфляи и спрэды. Тогда оптимальный портфель, предоставляемый процедурой Неймана-Пирсона, можно записать в виде

= _j g_j B_j. (27)

Однако если имеются какие-либо основания, например стоимостного характера, использовать в качестве компоненты оптимального портфеля инструменты, не являющиеся базисными, то для реализации метода Неймана-Пирсона потребуется переход от выбранного множества элементарных инструментов к базисным. Так происходит, например, если инвестор останавливает свой выбор на каком-либо коротком баттерфляе или баттерфляе LCP.

Такой переход, осуществляемый с помощью матрицы Y^-1, преобразует сначала цены элементарных инструментов в цены базисных инструментов (третья строка процедуры), а затем и вектор весов g в оптимальном портфеле базисных инструментов в вектор весов w элементарных инструментов (последняя строка).

Такой пересчет не вызывает технических затруднений, но возникает проблема интерпретации результата, когда некоторые компоненты вектора w оказываются отрицательными. Такое решение не приемлемо, поскольку отрицательный вес означает применение короткой позиции, а она, в свою очередь, требует учета начальной маржи. Значит, решение не может быть окончательным, а на сходимость итеративного процесса, который можно было бы здесь организовать, рассчитывать не приходится. В этом случае и возникает необходимость в модификации данного алгоритма.

2.2 Модификация основного алгоритма при использовании небазисных инструментов

Мы не ставим задачу дать исчерпывающее решение задачи в условиях избыточности множества тестируемых инструментов, поскольку существующие методы оптимизации не могут находить глобальный минимум. А полный перебор вариантов кажется необъятным. Мы лишь предложим подход, по сути, частичного перебора, при котором будет получено некоторое количество решений, из которых надлежит выбрать наилучший.

Используя алгоритм предыдущего подраздела, мы уже в состоянии предложить, например, три варианта решения. Первый основан на использовании одних коллов, второй - одних путов, а третий - и тех, и других. В первом случае базис образуют (нормированные) колл-баттерфляи, во втором - пут-баттерфляи, и в третьем - баттерфляи B_i. На идеальном рынке третий портфель (27) будет наилучшим, но на реальном, как уже обсуждалось выше, это не обязательно так, и необходима проверка (см. примеры 2-4 в разделе 3).

Другие варианты потенциально оптимальных портфелей можно получать при включении в портфель небазисных инструментов, для которых неравенства типа (26) не удовлетворяются. Мы предложим общую схему, как это реализуется.

Рассмотрим ситуацию, когда какой-либо из элементарных инструментов - спрэдов или баттерфляев - оказывается кандидатом на использование в составе оптимального портфеля. В таком случае в матрице Y некоторую строку с единицей на диагонали (соответственно какому-либо базисному инструменту) необходимо заменить строкой с доходами по этому инструменту. При этом может быть заменена, в принципе, любая строка за исключением той, против которой строится короткая позиция, так как иначе матрица Y оказывается вырожденной.

В результате применения процедуры Неймана-Пирсона с такой матрицей Y находятся вектора g и w. Решение может считаться окончательным, если все компоненты вектора w оказываются неотрицательными. В противном случае необходима модификация алгоритма.

Пусть инструмент S является кандидатом на включение в число компонент оптимального портфеля из небазисных инструментов, а (x) - его платежная функция, скорректированная на размер маржи и спроецированная на сценарии. На месте S может оказаться, вообще говоря, любой инструмент, изучаемый в разделе 1.

Сначала для примера рассмотрим частный случай, когда в качестве S выбирается короткий баттерфляй со страйком , и допустим, что он замещает длинный базисный баттерфляй со страйком . Соответствующая этому замещению матрица Y строится следующим образом. За основу берется единичная матрица, и в ней -я строка замещается строкой из одних единиц за исключением -го элемента, равного нулю. Обратная матрица Y^-1 имеет аналогичный вид, только в ней все элементы -й строки равны минус единице за исключением -го элемента, равного нулю, и -го элемента, равного плюс единице.

Как следует из структуры этой матрицы и последней строки процедуры Неймана-Пирсона, вычисляющей вектор w, мы сумеем выдержать ограничения критерия VaR, если обеспечим выполнение условия:

g_i g, i .

Именно при этом условии все компоненты вектора w будут неотрицательными. Это условие подсказывает правило, как следует выбирать строку матрицы Y, подлежащую замещению. Это должна быть строка с номером такая, что g минимально среди всех g_i, исключая i = . Формально,

g = min_j g_j,

Уточненный оптимальный портфель включает в себя максимально возможное количество экземпляров g^o инструмента S, а остальная его часть заимствуется из прежнего оптимального портфеля. В результате он представляется в виде

g^o S + _j (g_j - g^o) B_j + g B, g^o = g.

По примеру короткого баттерфляя можно предложить общую схему построения оптимального портфеля для произвольного кандидата S с платежной функцией (). Определим

g^o = max_j {g | g (j) g_j, j = 1,2,…,n},

и пусть этот максимум достигается при j = . Это условие, фактически, означает нахождение величины g^o по формуле

g^o = min_j g_j/(j),

при этом мы допускаем и нулевые значения для функции , но с учетом положительности g_j такие страйки - сценарии - в минимизации участия не принимают и на результат влияния не оказывают. В качестве строки матрицы Y, подлежащей замещению, следует выбирать строку с номером такую, для которой отношение g_j/(j) минимально (с учетом принятого допущения).

Итак, g^o = g/(), и оптимальный портфель принимает вид

g^o S + _j (g_j - g^o (j)) B_j. (28)

В частности, применение этого правила для длинного баттерфляя LCP со страйком требует рассмотрения исходной матрицы Y, получающейся из единичной матрицы замещением ее -й строки строкой из одних единиц за исключением -го элемента, равного 2. Здесь возможны два случая: и = . В первом случае матрица Y^-1 также получается из единичной матрицы замещением -й строки строкой, все элементы которой равны -1 за исключением -го элемента, равного -2, и -го элемента, равного +1. Во втором случае -я строка матрицы Y^-1 выглядит иначе: все ее элементы равны -0.5 за исключением -го элемента, равного +0.5. В первом случае g^o = g, во втором - g^o = g/2. Представление (28) для баттерфляя LCP можно переписать в виде

g^o S + _j (g_j - g^o) B_j.

Портфель (28) можно попытаться еще улучшить. Следующий шаг повторяет предыдущий, только с новым портфелем, задаваемым вторым слагаемым в (28), т.е. базисным представлением с весами

g_j' = g_j - g^o (j).

Поскольку g' = 0, то многие кандидаты отсеиваются, и на этом шаге, скорее всего, могут подойти лишь кондоры (короткие или длинные). В любом случае, в попытке выделить из нового портфеля части, являющейся доходом по какому-либо другому элементарному инструменту, не являющемуся базисным, выбираем (как угодно) инструмент S', и с его помощью, действуя аналогично предыдущему, найдем количество g' инструмента S', которое, не нарушая ограничений критерия VaR, снижает инвестиционные расходы. Этот процесс можно продолжить, пока множество кандидатов не будет исчерпано.

...