Особенности применения многоступенчатого критерия VaR на опционных рынках

2.3 Проблемы окончательного представления оптимального портфеля инвестора

Применение баттерфляев при проведении процедуры Неймана-Пирсона на реальном рынке порождает еще проблему окончательного представления оптимального портфеля через исходные инструменты рынка - коллы и путы. На идеальном рынке возврат к ним ничего нового не дает, так как на нем цены продавца и покупателя совпадают между собой. Но на реальном рынке они разнятся, и это может принести определенную экономию. инвестор спрэд продавец покупатель

Дело в том, что использовании в оптимальном портфеле базисных баттерфляев приходится, фактически, многократно продавать и покупать одни и те же коллы либо путы, и при этом многое теряется на спрэде цен. Если же вернуться к коллам и путам, произведя необходимые сокращения, то платежная функция портфеля не изменится, а его стоимость уменьшится. Поэтому переход к представлению портфеля через исходные коллы и путы целесообразен.

Однако при этом следует проявить определенную осторожность. Использование коротких спрэдов для крайних страйков требует внесения маржи, отмечаемого нами условным инструментом M. Если в оптимальном портфеле проводить полное сокращение, то получаемая комбинация из коллов и путов (без члена с M) может потребовать внесения маржи в меньшем объеме, чем это означено коэффициентом при M. Но размер маржи важно сохранить, если мы намерены выдерживать все ограничения, проистекающие из требований критерия VaR.

Здесь напрашиваются два способа поведения. Первый способ состоит в исключении короткого спрэда из процедуры приведения подобных членов и ее применении лишь к остальным спрэдам. Второй способ заключается в проведении полного сокращения входящих в представление портфеля спрэдов (включая крайние). Затем определяется новый размер маржи соответственно получающейся после сокращений комбинации коллов и путов. Разница между исходным размером маржи и новым (она неотрицательна) подлежит резервированию из суммы инвестора, предназначенной для инвестирования на рынке опционов. Этот способ на реальном рынке предпочтителен, поскольку при нем сокращение более полное и потому стоимость портфеля меньше.

В связи с окончательным представлением оптимального портфеля предлагается также сравнивать между собой три портфеля:

· оптимальный портфель, получаемый из полного набора всех коллов и путов и составленный, вообще говоря, из тех и других;

· оптимальный портфель, получаемый из одних лишь коллов;

· оптимальный портфель, получаемый из одних лишь путов.

Сравнение проводится после получения представления этих портфелей через исходные коллы и путы после всех возможных сокращений.

Портфель с наименьшей стоимостью и будет окончательным оптимальным портфелем инвестора. Суть этого предложения состоит в том, что поскольку в первый портфель входят одновременно коллы и путы, которые взаимно несократимы, то более полным сокращение получается в случае второго и третьего портфелей, что приводит к снижению стоимостей последних двух портфелей. Однако проверка все же необходима, так как заранее неизвестно, что перевесит - эффект от более полного сокращения или эффект от использования наилучших баттерфляев, включая и баттерфляи смешанного типа.

Далее рассмотренные здесь и ранее соображения демонстрируются на примерах.

3. Иллюстративные примеры

В данном разделе рассматриваются некоторые примеры, в которых находят отражение некоторые особенности применения многоступенчатого критерия VaR к опционному рынку, изложенные в предыдущих двух разделах. В первом примере демонстрируется, как наличие спрэда цен продавца и покупателя и возможность проведения сокращений при окончательном представлении портфеля влияют на эффективность использования баттерфляя LCP в качестве элементарного инструмента.

Пример 1. Пусть для простоты на рынке имеются опционы всего с 3 страйками. Проанализируем условия, при которых баттерфляй LCP для среднего страйка можно рассматривать кандидатом на использование в оптимальном портфеле. Разумеется, в соответствии с результатами раздела 1 мы должны отказаться от предположения равенства нулю спрэда цен продавца и покупателя, так как иначе этот баттерфляй заведомо неэффективен. При этом мы сохраняем прежние обозначения для цен C_i, P_i, B_i, понимая под ними в этом случае, как мы договорились ранее, среднюю цену между ценой продавца и ценой покупателя - их полусумму.

Итак, предположим, что для второго страйка выполняются неравенства (9) и потому

h + P₁ - C₁ = x > 0, h + P₂ - C₂ = y > 0. (29)

Для баттерфляя LCP инвестиционный расход v = C₁ - P₂, а его платежная функция принимает значение 2h для сценария 2 и по h для двух других сценариев 1 и 3. Такую же платежную функцию имеет комбинация S = B₁ + 2B₂ + B₃ из наилучших длинных баттерфляев. Заметим, что из выполнения условия (9) или его следствия (29) сразу следует, что

B₁ = -P₁, B₃ = C₂. Этот факт демонстрирует, что наилучшие базисные инструменты, вообще говоря, взаимосвязаны по страйкам и не могут быть произвольными.

В отношении B₂ такой определенности нет, и возможны все три случая: 1) B₂ = C₁ - C₂, 2) B₂ = P₁ - P₂, 3) B₂ = 'P₁ - C₂. В каждом из случаев представим стоимость комбинации S через C₁ и P₂. Используя (29), а также вводя параметр - характеристику спрэда цен продавца и покупателя, получаем, что в 1-м случае для портфеля S и его цены имеют место

S = -P₁ + 2(C₁-C₂) + C₂ = -P₁ + 2C₁ - C₂

S = h - C₁ - x + 2C₁ - h - P₂ + y = v + 4 - x + y

Аналогично во 2-м случае

S = -P₁ + 2(P₁-P₂) + C₂ = P₁ - 2P₂ + C₂

S = -h + C₁ + x - 2P₂ + h + P₂ - y = v + 4 + x - y

В 3-м случае соотношения принимают вид

S = -P₁ + 2(P₁-C₂ + h) + C₂ = P₁ - C₂ + 2h

S = -h + C₁ + x - 2P₂ - h - P₂ + y + 2h = v + 2 + x + y

Если учесть спрэд цен продавца и покупателя, то цена исходного баттерфляя LCP S = v + 2. Поэтому, как легко видеть, в нашем примере в силу (29) в 3-м случае исходный баттерфляй LCP безусловно лучше эквивалентной комбинации наилучших длинных базисных баттерфляев. В 1-м и 2-м случаях для такого утверждения нужно дополнительно потребовать, чтобы выполнялось условие x < 2 + y и y < 2 + x соответственно. ?

В следующем примере демонстрируется, как в случае использовании в качестве базисных инструментов одних лишь коллов учитывается при проведении сокращений в окончательном представлении портфеля размер маржевых требований. Здесь же также оценивается эффективность таких сокращений в отношении снижения размера инвестиции, когда спрэд цен продавца и покупателя не предполагается равным нулю.

Пример 2. Допустим, мы строим на опционном рынке всего с 3 страйками оптимальный портфель базисных инструментов, образованный лишь из коллов. В качестве таковых нам следует выбрать (с последующей нормировкой): короткий колл-спрэд -C₁ для 1-го страйка, длинный колл-баттерфляй C₁-C₂ для 2-го страйка и длинный колл-спрэд C₂ для 3-го страйка. Пусть в результате применения метода Неймана-Пирсона получен вектор весов оптимального портфеля g = (1.0, 2.0, 0.5), т.е. оптимальный портфель представим в виде

S = (hM-C₁) + 2(C₁-C₂) + 0.5C₂. (30)

В предположении равенства нулю спрэда цен продавца и покупателя в результате сокращений это представление упрощается:

S = hM + C₁ -1.5C₂. (31)

Минимальное значение платежной функции части C₁ - 1.5C₂ портфеля равно -0.5h. Поэтому достаточно внесения маржи 0.5h. Следовательно, половина "инструмента" hM оказывается не востребованной, но для целей обеспечения неравенств VaR эту половину нужно, тем не менее, зарезервировать. Если допустить, что спрэд цен продавца и покупателя для каждого спрэда равен 2, то, как легко видеть (достаточно сравнить суммы абсолютных значений коэффициентов при спрэдах в портфелях), цена портфеля (30) превысит цену портфеля (31) на 3 (= 5.5 - 2.5). ?

Следующий пример повторяет анализ из примера 2 с заменой коллов путами. Демонстрируется, что при этом эффект от применения маржевых требований иной.

Пример 3. В условиях предыдущего примера заменим коллы путами. В качестве базисных инструментов нам следует выбрать (с последующей нормировкой): длинный пут-спрэд -P₁ для 1-го страйка, длинный пут-баттерфляй P₁-P₂ для 2-го страйка и короткий пут-спрэд P₂ для 3-го страйка. Оптимальный портфель представим в виде

S = -P₁ + 2(P₁-P₂) + 0.5(P₂+hM). (32)

После сокращений имеем

S = P₁ - 1.5P₂ + 0.5hM. (33)

Минимальное значение платежной функции части P₁ - 1.5P₂ этого портфеля равно -0.5h. Поэтому достаточно внесения маржи 0.5h. Следовательно, в соответствии с представлением (33) никаких дополнительных действий с маржей предпринимать не следует. Как и в примере 2 (и в его предположениях), разность цен портфелей (32) и (33) также составит 3. ?

В заключительном примере рассматривается общая в сравнении с примерами 2 и 3 ситуация, когда в качестве базисных инструментов используются и коллы, и путы. Приводятся условия, при которых в данном примере, когда наилучшим баттерфляем для страйка 2 является пут-баттерфляй, оптимальным портфелем будет не портфель на основе наилучших баттерфляев B₁, B₂ и B₃, а портфель на основе одних лишь путов.

Пример 4. В условиях примеров 2 и 3 рассмотрим общий случай, когда базисные инструменты могут строиться одновременно из коллов и путов. Предположим, что теперь наилучшим базисным инструментом для 2-го страйка является длинный пут-баттерфляй P₁-P₂. Тогда в соответствии с неравенствами (7) имеет место

C₁ - P₁ - h = x > 0, C₂ - P₂ - h = -y < 0. (34)

Это, в свою очередь, означает, что наилучшим урезанным баттерфляем для 1-го страйка будет короткий колл-спрэд -C₁, а для 3-го страйка - длинный колл-спрэд C₂. И оптимальный портфель представляется в виде

S = (hM-C₁) + 2(P₁-P₂) + 0.5C₂. (35)

Строго говоря, изменение состава базисных инструментов и, потому, их стоимостей согласно процедуре Неймана-Пирсона может изменить и вектор весов g оптимального портфеля. Однако условность примера позволяет нам пренебречь этим. Полученный портфель не допускает сокращений. Сравним сначала стоимости S^o, S' и S" портфелей (30), (31) и (35) соответственно.

В примере 2 было установлено, что

S^o = S' + 3,

где 2 - спрэд цен продавца и покупателя. Далее, поскольку из (34) следует, что стоимость C₁-C₂ превышает стоимость P₁-P₂ на x + y, то

S^o = S" + 2(x+y).

Поэтому и

S' = S" + 2(x+y) - 3.

Следовательно, портфель (35) лучше портфеля (31) тогда и только тогда, когда 2(x+y) > 3.

Аналогично сравниваются стоимости портфелей (32), (33) и (35). Вновь обозначая их соответственно через S^o, S' и S", согласно примеру 3 имеем равенство

S^o = S' + 3.

Кроме того, из (34) следует, что теперь

S^o = S" + x + 0.5y.

Поэтому

S' = S" + x + 0.5y - 3.

Следовательно, портфель (35) лучше портфеля (33) тогда и только тогда, когда x + 1.5y > 3.

Вместе с тем мы показали, что стоимость портфеля (31) превышает стоимость портфеля (33) на x + 1.5y, т.е. оптимальный портфель на основе одних коллов в данном примере хуже аналогичного портфеля на основе одних путов.

Таким образом, при данном векторе g и при выполнении неравенства (7), достаточно проверить неравенство x + 0.5y > 3. И если оно выполняется, то лучше использовать "смешанный" портфель (35). Если же выполняется противоположное неравенство - то портфель (33) из одних путов.

Литература

Агасандян Г.А. Финансовая инженерия и критерий допустимых потерь (VaR). М.: ВЦ РАН, 2001. 34 с.

Agasandian G.A. Optimal Behavior of an Investor in Option Market // International Joint Conference on Neural Networks. The 2002 IEEE World Congress on Computational Intelligence (Honolulu, Hawaii, Mai 12-17, 2002). Pp. 1859-1864.

Агасандян Г.А. Финансовая инженерия и континуальный критерий VaR на рынке опционов //Экономика и математические методы, 2005, т. 41, №4. С. 88-98.

Агасандян Г.А. Многоступенчатый критерий VaR на произвольном однопериодном рынке. М.: ВЦ РАН, 2005. 45 с.

Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Наука, 1975.

Макмиллан Л.Г. Опционы как стратегическое инвестирование. 3-е издание. М.: Издательский дом "ЕВРО", 2003. 1225 с.

Размещено на Allbest.ru