Развитие прогнозирования цен акций

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Правительство Российской Федерации

федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего образования

«Национальный исследовательский университет

«Высшая школа экономики»

Факультет экономических наук

«Развитие прогнозирования цен акций»

МАГИСТЕРСКАЯ ДИССЕРТАЦИЯ

по направлению подготовки Финансы и кредит

образовательная программа «Финансовый инжиниринг»

Емцов Александр Олегович



Введение

Актуальность темы исследования. Проблема прогнозирования цен акций всегда отличалась особой актуальностью для участников рынка. Именно поэтому с каждым годом можно найти всё больше зарубежных и отечественных исследований, посвящённых этой теме. Стоит упомянуть и о большом количестве новостных и аналитических сообщений на эту тему в средствах массовой информации, что также подчёркивает большую заинтересованность общества в этой проблеме.

Среди отечественных работ, посвящённых прогнозированию цен акций, часто можно встретить использование марковских цепей, в то время как в зарубежных исследованиях преимущественно применяется метод ARIMA и его вариации.

В 2017 году был предложен новый инструмент под названием wavelet ARIMA, преимуществом которого является возможность значительно снизить уровень шума и ошибок данных. Именно поэтому в рамках данной магистерской диссертации будет рассмотрено применение этого метода прогнозирования для индекса МосБиржи.

Степень разработанности темы исследования в отечественной и зарубежной научной литературе. Вопросы ценообразования акций исследовали многие отечественные и зарубежные учёные.

Различные методы прогнозирования цен акций рассматривались в работах Л.О. Бабешко, Д.В. Бородина, Д.В. Дядунова, С.М. Меньшикова, Е.В. Соколова, А.А. Соловьёав, Р Алрумая, М. Ал-фавзана и других.

Проблемы прогнозирования цен на акции и иные активы с применением методов ARIMA и вейвлет-анализа раскрыты в работах в основном зарубежных авторов: С. Аггарвала, К. Бабу, Г. Кенни, А. Кумара, А. Мейлера, П. Мореттина, Б. Редди, Л. Саини, К. Чианн и других.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования является ценообразование акций на российском фондовом рынке. Предметом исследования является прогнозирование динамики котировок акций при помощи метода wavelet ARIMA.

Цель и задачи исследования. Цель данной работы заключается в анализе применения инструмента wavelet ARIMA для прогнозирования цен российских акций.

Для достижения цели данного исследования были поставлены следующие задачи:

проанализировать рыночные механизмы установления цен акций;

изучить исследования по эффективности применения ARIMA, wavelet ARIMA и оценить их результаты;

проанализировать инструмент wavelet ARIMA для прогнозирования финансовых временных рядов;

провести прогнозирование значений индекса МосБиржи для формулирования рекомендаций по использованию данного инструмента.

Краткая характеристика эмпирической базы исследования. Эмпирической базой данного исследования послужили исторические данные Московской биржи о динамике котировок акций (в частности - индекса МосБиржи).

Научная новизна исследования заключается в использовании сравнительного нового метода прогнозирования wavelet ARIMA в среде программирования R.

Практическая значимость исследования. Результаты данного исследования могут быть полезны для целей прогнозирования динамики цен акций как российских, так и зарубежных компаний, а также значений индексов на основе исторических данных.

Краткая характеристика структуры диссертации. Данная магистерская диссертация состоит из трёх глав. В рамках первой главы данной работы раскрываются теоретические основы ценообразования акций. В рамках второй главы анализируются результаты исследований по эффективности применения инструмента ARIMA, wavelet ARIMA для прогнозирования цен акций и значений индексов, оценивается подход учёных к сравнению моделей. Наконец, в третьей главе проводится прогнозирование динамики индекса МосБиржи на основе факторной модели wavelet ARIMA в среде программирования R и делаются выводы.



Глава 1. Теоретические основы ценообразования акций

1.1 Сущность цены акции

Согласно Федеральному закону «О рынке ценных бумаг», акция представляет собой ценную бумагу, которая закрепляет права её владельца на:

получение части прибыли акционерного общества в виде дивидендов;

участие в управлении акционерным обществом;

часть имущества, остающегося после ликвидации акционерного общества [1].

В Федеральном законе «Об акционерных обществах» выделяются следующие виды стоимости акций:

номинальная стоимость, отражающая размер уставного капитала и определяющаяся уставом акционерного общества;

цена размещения, то есть цена, по которой акция впервые размещается публично;

рыночная стоимость, отражающая соотношение спроса и предложения на рынке;

ликвидационная стоимость, выплачиваемая при ликвидации общества стоимость привилегированной акции [2].

Е.А. Павлодский и С.И. Абрамов исследуют взаимосвязи между перечисленными выше видами стоимостей акций. Фактически, номинальная цена акции является базовой и должна быть равна для всех обыкновенных акций общества. С точки зрения своей сущности, суммарная стоимость всех акций по номинальным ценам отражает:

объём уставного капитала;

размер, ниже которого не должна опускаться стоимость имущества акционерного общества;

размер минимального уровня кредитных гарантий (который выплачивается в случае ликвидации фирмы) [25].

Теоретическая цена акции определяется по формуле (1). Данная формула отражает тот факт, что акционный денежный доход представляется бесконечным, а размер дивидендов постоянно меняется [37].

	(1)

где PV - теоретическая цена акции;

Dt - величина дивидендов за период (обычно - год);

r - рыночная процентная ставка;

t - год

Множество исследований посвящены вопросам справедливой оценки стоимости акций. Ведь по своей сути цена акции, равно как и любого другого актива или продукта, должна отражать его свойства. Фактически, отличие справедливой цены от рыночной заключается в отсутствии влияния различного рода факторов спроса и предложения на цену данной акции.

Одним из самых распространённых методов расчёта справедливой цены является метод дисконтированных денежных потоков (англ. discounted cash flow, DCF):

	(2.1)

Или

	(2.2)

где - справедливая стоимость фирмы;

FCFF - свободный денежный поток фирмы;

WACC - средневзвешенная стоимость капитала;

TCF - общий (заключительный) денежный поток периода;

n -- количество периодов наблюдения.

Непосредственный расчёт справедливой стоимости обыкновенной акции компании может быть сделан по формуле (3):

	(3)

где P0 - справедливая стоимость акции;

V0 - стоимость фирмы;

ND - чистый долг Чистый долг рассчитывается по формуле:

;

Nоа - количество обыкновенных акций [19].

Из формулы (3) видно, что теоретически рассчитываемая справедливая стоимость акции напрямую зависит от стоимости фирмы и обратнозависима от объёма чистого долга фирмы.

Таким образом, можно сказать, что разные виды акций «хранят в себе» разную информацию. Так, номинальная стоимость акции отражает сведения об объёме уставного капитала, рыночная - сложившуюся на данный момент ситуацию на фондовом рынке в результате колебаний спроса и предложения, а справедливую цену акций можно назвать в некотором смысле «идеальной ценой», так как она отражает истинную, с точки зрения теории, стоимость акции компании. Рассмотрим подробнее рыночные механизмы и способы установления цен акций компаний.



1.2 Рыночные механизмы и способы установления цен акций

В первую очередь на рынке ценных бумаг, как и на любом другом рынке, действуют законы спроса и предложения. Это означает, что рыночная цена акции является равновесной ценой, то есть точкой пересечения кривых спроса и предложения на рассматриваемый финансовый актив. Соответственно, изменение спроса на акции данной компании в сторону увеличения или снижения может привести к росту или падению цены акции.

Изменение равновесной цены может происходить под влиянием различных внешних и внутренних факторов. К внешним факторам относятся макроэкономические факторы, такие, как динамика ВВП, инфляция, ставка рефинансирования и другие показатели, влияющие как на деятельность компании, так и на финансовое благосостояние инвесторов; поведение других игроков рынка, различного рода случайные события: форм-мажорные обстоятельства, стихийные бедствия и так далее. К внутренним факторам относятся все события и явления, зависящие от компании-эмитента акций и влияющие на её рыночную стоимость: изменения в управлении или дивидендной политике, слияния или поглощения, успешность ведения бизнеса и так далее.

Т.В. Завгородняя выделяет несколько методов ценообразования на рынке ценных бумаг, которые отражены в Рисунок 1. Согласно обобщению автора, при ценообразовании на рынке ценных бумаг используются экспертный метод, в рамках которого оцениваются экспертные оценки и заключения относительно цены рассматриваемой акции; аналитический метод, в рамках которого цена определяется в результате факторного анализа рынка; статистический метод, при котором используются анализ индексов, дисперсии, средних величин, корреляционный и регрессионный анализ и так далее; балльный метод, в ходе которого происходит балльная оценка активов; балансовый метод, при котором определение цены акции происходит исходя из стоимости имущества фирмы и экономико-математическое моделирование, в рамках которого используются различного рода модели, позволяющие оценивать множество факторов, влияющих на ценообразование акции [12].

Рисунок 1. Методы ценообразования на рынке ценных бумаг по версии Т.В. Завгородней

Источник: [12]

Цель теорий ценообразования финансовых средств или теорий рынка капиталов (англ. capital market theories) заключается в определении влияния действий инвесторов на соотношение между ожидаемой доходностью и риском. Эти теории рассматривают ценовую взаимосвязь между ожидаемой доходностью и риском акций. Одной из самых распространённых теорий рынка капиталов является модель ценообразования капитальных активов (англ. Capital Asset Pricing Model, CAPM), разработанная независимо друг от друга американскими экономистами У. Шарпом, Дж. Линтером и Я. Моссином в 60-х годах прошлого столетия.

В модели CAPM путём сравнения средней арифметической ожидаемой величины и стандартного отклонения доходности ценных бумаг объясняется взаимосвязь между ожидаемой доходностью и риском акции. Построение данной модели предполагает учёт ряда следующих предпосылок, позволяющих значительно упростить ситуацию на инвестиционном рынке:

инвесторы проводят оценку портфелей, базируясь на ожидаемых доходностях и их дисперсии в течение периода владения;

при прочих равных инвесторы выбирают портфель с бульшей доходностью;

при прочих равных инвесторы выбирают портфель с меньшим уровнем риска;

любая акция может быть разделена на бесконечное число частей, и инвестор может приобрести часть акции;

существуют ценные бумаги безрисковой процентной ставкой, и эта ставка одинакова для всех инвесторов;

все инвесторы находятся в равном положении: у них одинаковый период вложений, информация находится в свободном доступе, препятствия для совершения сделок отсутствуют;

инвесторы одинаково оценивают ожидаемые доходности и иные параметры акций, т.е. имеют гомогенные ожидания;

случайные величины доходностей ценных бумаг нормально распределены.

В рамках модели CAPM существуют также следующие допущения:

доходность ценной бумаги находится в прямой зависимости от её риска;

риск при этом отражается параметром в;

акция со средними значениями доходности и риска обладает следующим свойствами: доходность ri, в = 1, а безрисковые акции обладают свойствами: доходность rf, в = 0.

в-коэффициент, отражающий степень рискованности акции, рассчитывается по формуле:

	(5)

где - ковариация между доходностью актива i и доходностью портфеля;

- дисперсия доходности портфеля

Как уже отмечалось выше, модель САРМ отражает связь между ожидаемой доходностью и риском акции или любой другой ценной бумаги. Это может быть записано в виде формулы [31]:

	(6)

Где R - стоимость собственного капитала;

Rf - безрисковая ставка;

Rm - рыночная премия за риск;

в - коэффициент бета, отражающий степень риска акции.

Отсюда стоимость собственного капитала компании может быть вычислена по формуле:

	(7)

В российской и зарубежной литературе можно найти множество примеров исследований, использующих модель САРМ на различных рынках.

Однако не все исследователи одинаково положительно оценивают эту модель. В научной литературе, посвящённой этой теме, возникли как называемые теории фондовых аномалий. Учёные, придерживающиеся этих теорий, считают, что «эмпирический провал» [65, 66] модели САРМ связан с наличием рыночной неэффективности или с неверной спецификацией самой модели. Исследования отечественных и зарубежных учёных отвергли гипотезу о рыночной неэффективности. Отсюда выделяется несколько эффектов наблюдаемых аномалий [20].

На наличие эффекта стоимости (англ. value effect) впервые указал С. Басу, утверждавший, что будущие доходности акций с высоким значением Е/Р значительно выше предсказанных будущих доходностей в рамках модели САРМ [59]. Дальнейшие исследования показали, что более высокие доходности демонстрируют акции (а) с низким соотношением балансовой стоимости капитала к чистой прибыли компании [72] и (б) с низким мультипликатором ЕV/Sales [60].

Р. Банц рассматривал отрицательную связь между доходностями ценных бумаг и стоимостью компании-эмитента на примере американского рынка. Это исследование породило теорию «эффекта размера» (англ. size effect), заключающийся в том, что рискованность, равно как и доходность, акций компании находятся в обратной зависимости от её размера [58].

Самые известные критики рассматриваемой модели являются Ю. Фама и К. Френч, объединившие эффект размера и стоимости. В своей модели Ю. Фама и К. Френч определяют факторы, которые не объясняются в модели САРМ:

размер фирмы;

коэффициент отношения чистой прибыли к цене;

коэффициент отношения денежного потока к цене;

соотношение балансовой и рыночной стоимости;

доходность ценной бумаги в кратко- и долгосрочном периодах [42].

Поэтому учёные добавили в модель САРМ факторы, позволяющие учитывать отраслевую специфику компании и её размер:

	(8)



где - ожидаемая доходность акции;

- «постоянная» ожидаемая доходность актива, т.е. доходность акции без учёта влияния рисков;

- доходность рыночного портфеля;

, , - коэффициенты, отражающие влияние параметров , на доходность i-ой акции, соответственно: чувствительной акции к изменениям доходности рыночного индекса, чувствительность доходности к изменению коэффициента рыночной стоимости фирмы и чувствительность доходности акции к отношению балансовой и рыночной стоимости фирмы;

- разница между доходностью малых и крупных диверсифицированных портфелей (англ. small minus big);

- разница в средних доходностях акций, имеющих высокое и низкое отношение балансовой стоимости к рыночной (англ. high minus low).

1.3 Подходы, используемые при определении цен акций

На сегодняшний день в мировой практике применяются множество различных методов прогнозирований цен акций. Но можно выделить основные направления изучения прогнозирования. Применяемые методы принято делить на две обширные группы:

эвристические методы, в рамках использования которых б?льшая часть приходится на субъективные начала;

экономико-математические методы, в рамках использования которых б?льшая часть приходится на объективные начала.

Говоря о прогнозировании спроса, речь идёт в первую очередь об оценке грядущего спроса на основе предположения о конкретном поведении клиентов в заданных критериях. Такая модель прогнозирования состоит из трёх шагов, отражённых на рисунке 2: в рамках шагов 1 и 2 производится анализ внешней среды, а на третьем непосредственно строятся предположения об изменении величины спроса.

Рисунок 2. Общая схема моделей прогнозирования спроса

Источник: составлено автором

Здесь следует заметить, что подобные модели представляются достаточно сложными не только для построения, но и для непосредственных расчётов. Поэтому в научной среде предпочтение отдаётся сравнительно более простым статистическим моделям.

На сегодняшний день можно найти множество исследований по различным направлениям прогнозирования спроса. В литературе в равной степени фигурируют как качественные, так и количественные методы. Применимость того или иного подхода всегда зависит от целей, которые лежат в основе задуманного исследования. Тем не менее, наибольшее доверие со стороны ученых и специалистов на протяжении всей истории прогнозирования проявляется к методам, основанным на экономико-математических подходах.

Наиболее распространённые методы прогнозирования цен акций отражены на рисунке 3. Все представленные методы имеют широкое применение в области финансов, однако для целей прогнозирования имеются свои фавориты, в частности - модель Бокса-Дженкинса - ARIMA.

Рисунок 3. Методы прогнозирования спроса

Источник: составлено автором

В рамках данной магистерской диссертации рассмотрим количественные методы прогнозирования: метод скользящей средней, методы Холта и Холта-Уинтера, корреляционно-регрессионный анализ, методы цепей Маркова, методы ARIMA и wavelet ARIMA.

Метод скользящей средней, основой которого являются вычисления среднего значения прогнозируемой величины за определенное количество периодов. В этом методе применяется сглаживание с использованием скользящих средних, что позволяет значительно снизить случайные отклонения средних величин, чему предшествует замена начальных уровней временного ряда средней арифметической величиной, находящейся внутри выбранного интервала времени. Расчёт каждого нового значения достигается за счёт сдвига периода на одно наблюдение. Это позволяет достичь ситуации, когда в каждом рассматриваемом случае средняя отнесена к серединной точке интервала сглаживания (центрирована) и представляет собой уровень для этой точки.

Сглаживании временного ряда осуществляется скользящими средними, при этом в расчётах принимают участие все уровни этого ряда. Чем интервал сглаживания шире, тем плавнее получается полученный тренд. В данном методе следует исходить из того, что имеется зависимость между периодом времени, когда происходит действие, а, следовательно, влияние случайных факторов может нивелироваться.

В середине ХХ века Холт предложил новую интерпретацию метода экспоненциального сглаживания. В предложенном метода значение уровня и тренда сглаживается посредством экспоненциального сглаживания, для которых параметры сглаживания различны. Уравнение Холта можно представить как функцию t , Tt и Yt+p

	(9)

где б, - коэффициенты сглаживания, задаётся от 0 до 1;

Tt - трендовое значение;

Yt+p - расчётное значение экономического показателя для t-го периода.

В данной формуле (9) первое уравнение описывает уже сглаженный ряд общего уровня. Второе уравнение необходимо для проведения оценки тренда. Третье уравнение строит прогноз в будущее на p отсчётов.

Постоянные сглаживания в методе Холта идеологически идентичны постоянной в простом экспоненциальном сглаживании - по сути они играют одну и ту же роль. Подбираются они, как правило, путём перебора по параметрам с определенным шагом. Определяющим фактором является то, что всегда можно подобрать такие пары параметров, которые дают наибольшую точность модели на тестовом наборе и затем использовать их параметров при реальном прогнозировании.

Корреляционно-регрессионный анализ позволяет определить направление и силу связи между независимыми переменными и спросом. В научной литературе различают однофакторные и многофакторные регрессионные модели, а в зависимости от количества исследуемых переменных различают парную и множественную корреляцию.

К однофакторным моделям относится парная корреляция, исследующая связи между двумя переменными. Например, это может быть исследование зависимости между ценой товара и спросом на него, между доходом потребителя и его спросом на товары и услуги.

К многофакторным моделям относятся те, в которых изучается множественная корреляция - корреляция между несколькими переменными. Например, зависимость объёма выпуска от размера инвестиций, технического уровня оснащения, численности занятых в процессе производства.

В 2012 году итальянский исследователь Серджио Ортобелли высказал мнение о том, что временной ряд цен акций может рассматриваться как цепи Маркова [6]. Е.В. Соколов и Д.В. Бородин предлагают модель прогнозирования цен акций с использованием марковских цепей, алгоритм которой представлен в Приложение 1. Модель прогнозирования цен акций с использованием марковских цепей. В рамках данной модели каждое новое прогнозируемое значение будущих цен акций представляет собой прогнозируемое значение следующего уровня Уолша.

Апробация данной модели была проведена на основе 40 акций, котирующихся на российском и американском фондовых рынках, а также на основе индексов ММВБ, РТС, Dow-Jones и NASDAQ. Предлагаемая модель отличается большей точностью при прогнозировании на длительных периодах времени (от 6 до 9 месяцев) по сравнению с другими методами технического и эконометрического анализа [29, 30].

Проверку марковости динамики котировок зарубежных и российских компаний провели и Е.М. Бронштейн и А.И. Авзалова. Для проверки наличия марковости первого порядка авторы составили матрицу статистических оценок переходных вероятностей pij = nij /n (i, j = 1, …, 8), где nij - число случаев, когда попаданию доходности акции в промежуток j предшествовало попадание в промежуток i; n - полное число наблюдений минус одно.

Исследование показало, что марковость наблюдается для динамики цен акций всех изученных зарубежных компаний (за исключением Toshiba) и не наблюдается для российских компаний. Так как в исследование были включены преимущественно компании IT-сектора экономики, авторы сделали вывод о том, что марковость временных рядов доходностей цен акций компаний данной сферы экономики объясняется высокой динамичностью данного сектора. Выбивающиеся из этой тенденции явления (например, отсутствие марковости у акций Toshiba и российских компаний) авторы статьи связывают со значительным влиянием макроэкономических факторов [6].

Д. Ниап и его коллеги идут дальше в изучении цен акций в контексте цепей Маркова и не просто исследуют возможность, преимущества и недостатки применения этого подхода к рассмотрению динамики цен акций компаний, а непосредственно используют этот метод при исследовании акций банков Нигерии. Рассматриваемый метод позволил провести полноценный анализ динамики котировок акций и сделать прогнозы относительно их дальнейшей динамики [82].

Е.А. Фёдорова и Д.О. Афанасьев используют принцип марковских цепей для исследования влияния внешних факторов на индекс ММВБ. Авторы используют авторегрессионную модель зависимости между результативной и факторными переменными с возможностью переключения режимов - MS-ARX (англ. Markov-switching autoregressive model) [38]. Эта модель позволяет учитывать влияние ненаблюдаемых и неизмеримых факторов, например, психологические особенности поведения инвесторов, влияние внешних и внутренних новостей, форс-мажорные обстоятельства и так далее. Авторы отмечают, что рассматриваемая модель позволяет лишь выявить и рассчитать аппроксимацию временного ряда, оставляя при этом задачу интерпретации результатов исследователю.

В настоящее время практически все экономико-математические модели, используемые для прогнозирования цен акций (и цен финансовых активов в принципе), переведены в компьютерную форму: их можно найти в эконометрических программных продуктах SPSS, Statistica, STATA, Econometric Views и других программах. В рамках данной магистерской диссертации будет рассмотрено применение одного из пакетов программной среды R.

Так как цены акций представляют собой динамические временные ряды, кратко рассмотрим теоретические основы проведения анализа временных рядов. Выделяют две основные модели экономического временного ряда:

аддитивную:

	(10)

и мультпликативную:

	(11)

В любом случае составляющими моделей являются 4 компонента: тренд, сезонная компонента, циклическая компонента и случайная компонента, которые описаны в Таблица 1. Рассматриваемые компоненты временного ряда, фактически, описывают возможные факторы, которые могут влиять на его обычную динамику, которую, фактически, отражает тренд ряда. К этим факторам относятся сезонные факторы, то есть те, которые оказывают влияние с некой периодичностью в течение года. Например, в преддверии 8 марта и 1 сентября наблюдается сезонное увеличение цен на цветы. К циклическим факторам стоит отнести скорее макроэкономические влияния на динамику временного ряда: общие спады или подъёмы экономики, влияющие на динамику акций компаний. Наконец, стоит учитывать и случайные величины, например, влияние аварий на нефтепроводах на стоимость акций компании-владельца. Однако, многие модели не учитывают факторную составляющую, а используют лишь ретроспективные данные.

Как видно из формул 1 и 2, а также из таблицы 1, одной из первых задач в ходе подбора статистической модели становится выявление тренда. Это необходимо для правильного учёта тренда в рамках модели и для исключения его из исходных данных. По этому признаку модели делятся на модели с детерминированным трендом (англ. trend-stationary processes, TSP) и модели стационарных приращений (англ. difference-stationary processes, DSP) [4].

Таблица 1.

Компоненты моделей при исследовании экономического временного ряда

Обозначение компоненты	Название компоненты	Описание компоненты	Примеры
T	Тренд	Устойчивая закономерность, которая наблюдается в течение длительного периода времени	Рост экономики страны (динамика ВВП)
S	Сезонная компонента	Отражает постоянное повторяющееся периодическое воздействие различных факторов на динамику временного ряда	Сезонное снижение цен на овощи и фрукты
C	Циклическая компонента	Отражает длительные периоды общего спада или подъёма временного ряда	Экономические циклы Китчена, Жюгляра, Кузнеца, Кондратьева и так далее
E	Случайная компонента	Отражает влияние непредсказуемых событий, шумы и ошибки	Стихийные бедствия, болезни генеральных директоров компаний

Источник: [90]

Модель стационарных приращений используется в рамках обобщённой модели Бокса-Дженкинса, известную также как ARIMA (англ. autoregressive integrated moving average).

Впервые модель ARIMA была представлена в 1970 году Г. Боксом (G. Box) и Г. Дженкинсом (G. Jenkins). В настоящее время ARIMA является одной из самых распространённых методов финансового прогнозирования. Модели ARIMA показали высокую эффективность при генерировании краткосрочных прогнозов. Они постоянно опережали сложные структурные модели в краткосрочном прогнозировании [77].

ARIMA создаёт модельные объекты для стационарной или единичной корневой нестационарной модели линейных временных рядов. Это включает скользящую среднюю (MA), авторегрессию (AR), смешанную авторегрессию и скользящую среднюю (ARMA), интегрированную (ARIMA), мультипликативные сезонные и линейные модели временных рядов, которые, с другой стороны, включают экзогенные ковариаты (ARIMAX) (схематично модель ARIMA представлена на Рисунок 4). В модели ARIMA будущее значение переменной представляет собой линейную комбинацию прошлых значений и прошлых ошибок.

Рисунок 4. Схема модели Бокса-Дженкинса

Источник: составлено автором

В рамках модели ARIMA используются параметры авторегрессии (p), скользящего среднего (q) и параметр (порядок) интегрирования (d). В начале идентификации модели при помощи расширенного критерия Дикки-Фуллера необходимо определить параметр d, а затем по основным характеристикам процесса определяются параметры р и q в рамках стационарной модели ARMA(p,q), спецификация которой имеет вид:

	(12)

где , i = -, …, p - уровни стационарного ряда,

i = 0, …, q - уровни импульсов;

- вектор параметров авторегрессии;

- вектор параметров скользящего среднего [4].

Описанные выше модели базируют прогнозирование на исторических данных. Обычно временные ряды не являются детерминированными рядами, поэтому, фактически, во многих случаях исследователи рассматривали ряд как стационарный временной ряд. Один из способов моделирования любого временного ряда заключается в его рассмотрении в качестве детерминированной функции с белым шумом. Белый шум в любом процессе временных рядов может быть уменьшен так называемыми дешумовыми процедурами (англ. de-noising procedures), что позволит создать модель нового, улучшенного качества. Примером математических моделей шумоподавления могут быть преобразование Фурье и вейвлет-преобразование.

Вейвлет-преобразование давно используется во многих областях математического прогнозирования. Так, например, Р. Алрумайх и М. Аль-фавзан на примере саудовского фондового индекса проиллюстрировали, что вейвлет-преобразование лучше, чем другие методы прогнозирования в случае необходимости дешумирования финансовых временных рядов. В работе было показано, что дополнительная информация может быть получена из ряда при его разложении на несколько рядов с различным разрешением с использованием вейвлет-преобразования. Более того, результаты вычислений показали, что шум, в случае саудовского фондового индекса, скорее всего, можно оценить как белый, и его минимизация с помощью вейвлет-шумоподавления приведёт к значительному снижению числа ошибок прогнозирования [56].

С. Аггарвал и А. Кумар сравнивают применение прогнозирование с использованием смешанной модели на основе вейвлет-преобразований с тремя другими моделями прогнозирования. Анализируя эффективность прогнозирования всех моделей, авторы сделали вывод о том, что предлагаемый смешанный метод множественной линейной регрессии с применением вейвлет-преобразования обеспечивает прогноз с большей точностью и может легко найти применение в реальном мире для прогнозирования цен, поскольку он прогнозирует цену, используя только общедоступную информацию [55].

Дискретное вейвлет-преобразование может быть определено по следующей функции:



	(13)

где ш - материнская вейвлет-функция, транслированная индексом местоположения u, который обозначает её положение во временной области, и расширенная индексом масштаба s, который интерпретирует ширину дочерней вейвлет-функции [63, 75]

В общем виде модель вейвлет-ARIMA для прогнозирования финансовых временных рядов может быть представлена в схеме на Рисунок 5.

Зачастую ARIMA с вейвлет преобразованием применяется для прогнозирования финансовых временных рядов, например, динамики цен на различного рода ресурсы. Например, британские учёные, изучавшие динамику цен на алюминий, медь, свинец и цинк, пришли к выводу, что эффективность моделей ARIMA в прогнозировании цен на металлы существенно повышается с помощью вейвлет-анализа, так как она позволяет учитывать цикличность при прогнозировании цен [73]. Группа учёных из Северо-китайского университета электроэнергетики использовала рассматриваемую модель, а также модель GARCH (модель обобщённой авторегрессионной условной гетероскедастичности) для предсказания цен на электроэнергию [88]. В свою очередь, Н. Мд-Хаир и Р. Самсудин при помощи возможностей вейвлет- ARIMA модели предсказывают динамику котировок цен на нефть марок WTI и Brent. Авторы подчёркивают, что вейвлет-преобразование изменяет поведение ценового ряда с неустойчивой дисперсии с выбросами на набор конститутивных рядов с более стабильной дисперсией и без выбросов [76].

Рисунок 5. Схема вейвлет-ARIMA для прогнозирования финансовых временных рядов

Источник: составлено автором

Вейвлет-ARIMA значительно реже используется для прогнозирования динамики цен на акции. Тем не менее, в зарубежной литературе можно встретить исследования на примере Нью-Йоркской и Нигерийской фондовой биржи [54], Индийской фондовой биржи [57, 80] и других. В отечественной литературе применение данной модели прогнозирования практически не встречается.

Таким образом, в рамках первой главы данного диссертационного исследования были описаны виды стоимости акций: номинальная, рыночная и справедливая. Фактически, номинальная и справедливая цены акций компании являются относительно стабильными расчётными значениями (в том числе номинальная цена, ведь она рассчитывается путём деления уставного капитала на количество выпускаемых акций).

В рамках параграфов 1.2 и 1.3 были рассмотрены рыночные механизмы ценообразований акций, а также применяемые в настоящее время подходы, используемые при определении цены акций, стремящиеся учесть как можно больше факторов и как можно тщательнее очистить рассматриваемый диапазон цен акций от шума и ошибок.

Одним из самых эффективных с этой точки зрения методов прогнозирования котировок акций (или цен на товарных биржах) является модель ARIMA с вейвлет преобразованием. Во второй главе будет проведен обзор исследований эффективности прогнозирования модели ARIMA и wavelet ARIMA. Данная модель доказала свою эффективность в исследованиях многих зарубежных учёных, однако её применение в отечественной литературе практически не встречается. Именно поэтому в рамках третьей главы данного диссертационного исследования прогнозирование значений индекса МосБиржи будет производиться с применением модели вейвлет-ARIMA.

Глава 2. Обзор исследований по эффективности применения модификаций ARIMA для прогнозирования

Существующие модели для прогнозирования временных рядов позволяют оценить природу механизмов, создающих временные ряды, и использующие лишь прошлые значения используемых данных. Они очень важны для понимания связи между исследуемыми объектами и формирования прогнозов. К ним относятся основные эконометрические модели, такие как линейный регрессия, простая скользящая средняя и экспоненциальное сглаживание, и некоторые продвинутые модели, такие как авторегрессии скользящего среднего (ARMA), ее расширение - интегрированная модель авторегрессии скользящего среднего (ARIMA) [77].

Модель ARIMA стала известной в академических кругах в 1970-е годы. Множество эмпирических исследований подтверждали превосходство модели Бокса-Дженкинса над многими другими моделями, когда затрагивалась тема анализа временных рядов в контексте различных ситуаций. [95, 96, 97, 98, 99, 100]

Для целей данной работы стоит обратить внимание на исследование Newbold и Granger (1974). В этом исследовании авторы сравнили прогнозные силы трех моделей: Бокса-Дженкинса, Хольта-Уинтерса и пошаговой авторегрессии. В состав выборки входили макро- и микро-данные за несколько лет. Вторая выборка представляла собой данные о продажах отдельных товаров и продуктовых групп. Авторы выявили превосходство результатов, полученных при помощи метода Бокса-Дженкинса, над результатами оставшихся двух моделей. Результаты ARIMA были более точными. В работе отмечается мысль о том, что точность прогнозов модели Бокса-Дженкинса может быть повышена посредством дополнительных комбинаций модели с другими. [105]

Модели, использующиеся для прогнозирования временных рядов можно разделить на 2 вида: стационарную и нестационарную. Нестационарные модели обладают независимыми от времени дисперсией и средним значением, в то время как в стационарных эти статистические свойства постоянны. Данные временных рядов в реальной жизни не являются стационарными, поскольку содержат периодические сильные и внезапные изменения. Этим колебаниям присуща высокая частота. Таким образом, вейвлет-методы наиболее подходят для такого типа данных. Они имеют преимущества перед традиционными методами анализа ситуаций. Вейвлет-преобразование разлагает данные (сигнал) с точки зрения времени и частоты, что позволяет эффективно анализировать основную частотную составляющую и извлекать информацию из сигнала.

Ввиду того, что целью данного исследования является анализ модификации классической ARIMA - wavelet ARIMA как следующего поколения модели ARIMA, рассмотрим несколько работ, в одной из которых применяется классическая модель и ARIMA с вейвлет преобразованием в другой.

Интересным исследованием в области изучения действия классической ARIMA является работа Ariyo и Adewumi (2014). Базовая спецификация ARIMA, которая использовалась авторами для моделирования и прогнозирования значений двух индексов - временных рядов: Nokia Stock Index и Zenith Bank Index. Выборка для первого ряда охватывала период с 25 апреля 1995 по 25 февраля 2011 года; для второго - с 3 января 2006 по 25 февраля 2011 года. [103]

Рисунок 6. Прогноз на месяц по Nokia Stock Index

Источник: [103]

Рисунок 6, построенный авторами статьи, дает графическую иллюстрацию уровня точности прогнозируемой цены против фактической цены акций, чтобы увидеть производительность выбранной модели ARIMA. На графике видно, что результат прогноза положительный и соответствует действительному показателю цены акции Nokia Stock Index.

Рисунок 7. Прогноз на месяц по Zenith Bank Index

Источник: [103]



Рисунок 7, также показывает графическую иллюстрацию уровня точности прогноза. На графике видно, что результат прогноза менее точный, чем предыдущий, что скорее всего было вызвано большим количеством шумов во входных данных, тем не менее модель спрогнозировала небольшой рост цены. Результат прогноза положительный, тренд роста показателя Zenith Bank Index совпадает с действительностью.

Стоит отметить, что Ariyo и Adewumi (2014) [103] в своей статье достигли намеченных целей, тем самым продемонстрировав процесс построения ARIMA модели для краткосрочного прогнозирования цены акций и значений индексов, а также предоставили существенные результаты исследования в пользу модели ARIMA. Авторы статьи также отметили, что с полученными результатами могут достаточно успешно конкурировать модели ARIMA, совмещенные с другими методами прогнозирования для построения краткосрочного прогноза [103]. К такому же выводу пришли P. Pai and C. Lin (2005) при сравнении результатов классической ARIMA с гибридным вариантом ARIMA на основе векторного машинного моделирования и J.J. Wang, J.Z. Wang, Z.G. Zhang and S.P. Guo (2012) [101, 102]

Для настоящего исследования работы Ariyo и Adewumi (2014), P. Pai and C. Lin (2005) и Wang, J.Z. Wang, Z.G. Zhang and S.P. Guo (2012) ценны своими указаниями на то обстоятельство, что ARIMA и в настоящее время является актуальной моделью, некоторые модификации которой (как, например, включение дополнительных переменных) позволяют успешно объяснить значения временного ряда применительно к ценам акций или значениям индексов.

Вейвлет преобразование, на сегодняшний день, применяется в различных сферах жизни. Тем не менее, применять его к прогнозированию цен акций стали не так давно. Этому методу уделяется очень большое внимание в различных областях, таких как математика, обработка сигналов, инженерия, физика, экономика и финансы.

Исследование Kumar и Kaur (2015) иллюстрирует применение вейвлет-преобразования в анализе временных рядов. Новая методика представляет собой совокупность методов, основанную на вейвлет-преобразовании и модели ARIMA для прогнозирования временных рядов. Для этого анализа авторами статьи были взяты цены закрытия акций GAIL и ONGC, компаний энергетического сектора. Авторы хотели проверить гипотезу о том, что вейвлет преобразование в сочетании с моделью ARIMA дает лучшие результаты при прогнозировании, чем использование классической модели ARIMA [104].

Вейвлет-преобразование преобразует временные ряды в составные ряды, которые показывают более стабильную дисперсию, и поэтому они могут быть предсказаны более точно. Поскольку процедура прогнозирования на основе вейвлетов работает лучше всего для больших выборок около 100 и более, поэтому авторы берут большое количество ежедневных данных закрытия торгов акций GAIL и ONGC. Данные взяты за период с января 2012 года по январь 2014 года. Модель использует 2 набора данных: первый для обучения, а затем прогнозирует в течение периода проверки. Для данных обучающего набора были взяты значения с 1 января 2012 года по 31 декабря 2013 года, а прогноз построен на период с 1 января 2014 года по 31 января 2014 года [104].

Последовательность применения вейвлет преобразования у Kumar и Kaur (2015) была следующая:

На первом этапе производится разложение исходного временного ряда с помощью вейвлет преобразования (декомпозиция). Это преобразование разбивает данные на грубые и более мелкие части. Грубый части показывают тенденцию, в то время как более мелкие части показывают сезонные влияния и шум. (авторы применили данную технику в MATLAB).

После декомпозиции, на получившемся массиве данных, модель ARIMA применяется сначала для обучающей выборки, затем эта модель используется для прогнозирования будущих значений на один месяц для каждого расширенного массива.

Данные, получившиеся после применения ARIMA восстанавливаются (композируются). Как результат получаются спрогнозированные цены.

Эффективность прогнозирования авторы оценивают наиболее часто используемыми в исследованиях статистическими показателями ошибки: средняя абсолютная ошибка (MAE), среднеквадратическая ошибка (RMSE) и средняя абсолютная ошибка в % (MAPE)

Рисунок 8. Эффективность прогнозирования после применения wavelet ARIMA

Источник: [104]

Результат исследования Kumar и Kaur (2015) приведен на рисунке 8. На данном рисунке (Table 2, Table 3) видно, что все показатели для вейвлет модели примерно в два раза ниже, чем у обычной ARIMA. Так модель ARIMA дает лучший результат с вейвлетом, чем классический её вариант.

Подводя итог на основании вышеизложенных исследований, можно сказать, что при комбинировании ARIMA с другими моделями можно улучшать качество прогнозирования. Для целей данного исследования важным также является результат исследования Kumar и Kaur (2015) - модель wavelet ARIMA показала себя лучше, чем классическая ARIMA. Вейвлет-преобразование декомпозирует исходные массивы данных в их укрупненный вид, которые после такого преобразования ведут себя лучше, чем оригинальные данные. Таким образом, цены акций и значения индексов могут быть предсказаны точнее, т.е. вейвлет преобразование улучшает качество прогнозирования в большей степени.

Как было упомянуто выше, комбинация моделей производит положительный эффект на качество прогноза, а при использовании механизма вейвлетирования были достигнуты результаты не только с более точным прогнозом, которые не подавляют качественные характеристики самой ARIMA. Основываясь на результатах исследования Ariyo и Adewumi (2014), Kumar и Kaur (2015) и других исследователей в 3 главе данной работы будет проведен анализ применения wavelet ARIMA для прогнозирования показателей Индекса МосБиржи, а также будет представлено сравнение результатов с классической моделью ARIMA.



Глава 3. Прогнозирование цен акций на основе факторных моделей

3.1 Индекс МосБиржи как показатель российского фондового рынка

В качестве исходных данных для прогноза в рамках данной магистерской диссертации будут использованы значения индекса МосБиржи в период с 3 января по 10 мая 2019 года.

Московская биржа возникла в 2011 году в результате слияния Московской межбанковской валютной биржи (ММВБ) и Российской торговой системы (РТС). Московская биржа объединяет в себе:

фондовый рынок (торговля акциями, облигациями, еврооблигациями, депозитарными расписками, инвестиционными паями, ипотечными сертификатами участия и биржевыми инвестиционными фондами);

срочный рынок (торговля фьючерсными контрактами на индексы, фьючерсами на акции, облигации, валютные пары и процентные ставки; контракты на драгоценные металлы; фьючерсы на нефть и сахар; опционые контракты на фьючерсы);

валютный рынок (торговля долларами США, евро, китайским юанем, гонконгским долларом, украинской гривной, казахским тенге и белорусским рублём);

денежный рынок (сервис репо) [53].

На Московской бирже также ведётся торговля золотом, серебром и осуществляются государственные интервенции на рынке зерна.

В рамках Московской биржи рассчитываются основные показатели рынка ценных бумаг России, отражённые на рисунке 9. Ключевыми из них, отражающими общую динамику рынка (так как содержат в себе наиболее ликвидные акции крупнейших и динамично развивающихся российских эмитентов) являются индекс МосБиржи (до декабря 2017 года - индекс ММВБ) и индекс РТС.

Рисунок 9. Индексы акций Московской Биржи

Источник: [94]

Индекс МосБиржи (IMOEX) представляет собой ценовой, взвешеный по рыночной капитализации (free-float) композитный индекс российского фондового рынка, включающий в себя, как уже упоминалось ранее, наиболее ликвидные акции крупнейших и динамично развивающихся российских эмитентов. В отличие от индекса РТС, индекс МосБиржи рассчитывается на основании цен акций в рублях, однако оба индекса имеют одинаковые критерии включения акций, отражённые в таблице 4. Перечень акций российских компаний, входящих в индекс МосБиржи пересматривается ежеквартально, и на май 2019 года в нём числится акции 41 компании.



Таблица 2.

Пороговые значения включения акций российских компаний в индекс МосБиржи

Критерий	Free-float Доля акций эмитента, находящаяся в свободном обращении	Доля дней со сделками	Коэффициент ликвидности Доля free-float, которая проторговывается на бирже в течение года	Вес акции в корзине
Пороговое значение включения	? 10%	100%	? 15%	? 0,25%
Пороговое значения исключения	< 5%	< 90%	< 10%	< 0,2%

Источник: [94]

Равно как и на динамику котировок акций компаний, на динамику индекса МосБиржи влияют различного рода внешние и внутренние факторы. К внутренним факторам в данном случае будут отнесены изменения котировок акций компаний, непосредственно входящих в состав индекса. Более того, чем больше доля акции в корзине индекса, тем сильнее это влияние. Например, на май 2019 года наибольший вес в корзине индекса МосЮиржи имеют акции ПАО «Газпром» (15,98%), ПАО «Сбербанк» (14,59%) и ПАО «Лукойл» (13,84%), в то время как акции некоторых других компаний занимают незначительную долю корзины и находятся близко к пороговому значению: акции АФК «Система» (0,3%), ПАО «Детский мир» (0,22%) или ПАО «Трубная металлургическая компания» (0,18%). Эконометрические расчёты влияния цен акций компаний, входящих в состав индекса, на его общую динамику можно найти, например, в работе И.Д. Баученкова и С.В. Беловой [5].

Многие отечественные учёные посвятили свои исследования и анализу влияния внешних факторов на динамику индекса МосБиржи. Так, например, А.В. Зиненко проводит ретроспективный анализ динамики индекса ММВБ в 1997-2012 годах, выявляя различного рода внешние экономические и политические факторы, оказывающие влияние на динамику индекса в рассматриваемом периоде. Среди найденных внешних экономических факторов стоит перечислить изменение цен на нефть, драгоценные металлы (эти же факторы были подробно изучены, в частности, Е.А. Фёдоровой и Д.А. Афанасьевым [38]), динамика котировок на мировых рынках и другие.

К политическим факторам, влияющим на динамику индекса ММВБ в 1997-2012 годах относятся заявления президента Российской Федерации (например, о намерении возглавить список политической партии «Единая Россия» на выборах), изменения налоговой политики, нестабильная ситуация внутри страны (митинги и протесты населения), военные действия, землетрясения и так далее [14].

Используемые в рамках данной магистерской диссертации значения индекса ММВБ представлены в приложении 2. Проведём прогнозирование динамики значений данного индекса.

3.2 Прогнозирование цен акций с помощью модели ARIMA и wavelet ARIMA

Для реализации метода ARIMA, необходимо использовать программную среду разработки R. R -- мультипарадигмальный интерпретируемый язык программирования для статистической обработки данных и работы с графикой. Также называется «свободная программная среда вычислений» с открытым исходным кодом, которая предназначена для работы с этим языком.

R поддерживает широкий спектр статистических и численных методов. Он постоянно дополняется, обновляется и расширяется за счет специальных пакетов - библиотек, создаваемых пользователями и используемых для работы специфических функций или специальных областей применения.

Так как количество исходных данных в таблице - 445, то при задании переменных необходимо прописать такое-же количество переменных. Также необходимо загрузить библиотеку forecast (см. рисунок 10).

Рисунок 10. Запись исходных данных

Источник: составлено автором

Данная модель получается путём m, n, k кратного интегрирования модели авторегрессии-скользящего среднего (рисунок 11) (ARIMA (n, k)) - формула 14.

	(14)

где n - порядок модели авторегрессии AR(n), а k - порядок модели скользящего среднего MA(k).

Рисунок 11. Задание модельных данных

Источник: составлено автором

Разность порядка n ряда {Хt} вычисляется по формуле 15:

	(15)

Полученная модель может быть применена как к стационарным временным рядам (m, n, k = 0), так и к нестационарным временным рядам (см. рисунок 10).

Рисунок 12. Реализация ARIMA-модели

Источник: составлено автором

Возьмём в качестве прогнозных шагов 100 значений n. Введём переменную m, которая соответствует одному дню прогноза и представляет собой среднее значение десяти колебаний n. Полученные результаты отражены в таблице 3.

Таблица 3.

Прогноз динамики значений индекса МосБиржи по методологии ARIMA

Прогноз по ARIMA	Значение	Относительное изменение	Абсолютное изменение
11.05.2019	2510,12	-	-
12.05.2019	2509,56	-0,56	-0,022%
13.05.2019	2508,95	-0,61	-0,024%
14.05.2019	2508,30	-0,65	-0,026%
15.05.2019	2507,61	-0,69	-0,028%
16.05.2019	2506,89	-0,72	-0,029%
17.05.2019	2506,14	-0,75	-0,030%
18.05.2019	2505,36	-0,78	-0,031%
19.05.2019	2504,56	-0,80	-0,032%
20.05.2019	2503,75	-0,82	-0,033%

Источник: расчёты автора

На основании прогноза динамики значений индекса МосБиржи построим график изменения n.

Как видно из рисунка 13, среднее прогнозное колебание индекса МосБиржи находится в диапазоне от 2400 до 2550. Модель ARIMA не приспособлена для прогноза резких изменений цен, а может быть использована только для тех случаев, когда цена акции зависит только от своих предыдущих значений.

Рисунок 13. Прогноз по модели ARIMA

Источник: составлено автором

Модели типа wavelet достаточно гибкие и могут описывать много разных характеристик, присущих временным рядам. В авторегрессионной модели каждое значение ряда находится в линейной зависимости от предыдущих значений. Вейвелет модель предполагает, что её ошибки в предшествующие периоды являются сосредоточением информации о всей предыстории ряда.

Новые преобразования, как показывает практика, получаются в результате растяжения, или сжатия, и смещения по шкале времени одной порождающей (скэлинг функции - scaling function, scalet) функции. Порождающая функция была названа вейвлетом (англ. слово wavelet - вейвлет - являющееся переводом французского “ondelette”, переводится словосочетанием «маленькая волна»). Такой подход породил новое направление в теории обработки «сигналов», получившее название вейвлет-анализа.

...