Динамическое построение портфелей дивидендных акций с использованием копул

Размещено на http://www.allbest.ru//

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

«ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ»

Факультет экономических наук

«Динамическое построение портфелей дивидендных акций с использованием копул»

Выпускная квалификационная работа - МАГИСТЕРСКАЯ ДИССЕРТАЦИЯ

по направлению подготовки 38.04.08 Финансы и кредит

Самуйлов Александр Сергеевич

Москва 2019



Введение

портфель копул дивидендный

Согласно классической модели Гордона, совокупная доходность акции, получаемая инвестором, равна сумме её дивидендной доходности и величине прироста капитала. В последние годы динамика внутреннего валового продукта России демонстрирует темпы роста ниже среднемировых, что подразумевает слабые перспективы увеличения инвестиций в основной капитал. В то же время по данным глобального информационного агентства Thomson Reuters, дивидендная доходность российского фондового рынка в 2018 году составила около 6%, что в 1,5 раза превышает средний уровень за предыдущие 10 лет. Очевидно, такой высокий показатель обусловлен значительной фундаментальной недооценкой отечественных акций вследствие введения санкций.

Кроме того, правительство Российской Федерации активно работает над законодательным закреплением нормы дивидендных выплат государственных компаний в 50% от чистой прибыли по МСФО, что обеспечивает дополнительный рост дивидендной доходности «голубых фишек» отечественного рынка. Таким образом, в категорию высокодивидендных акций попадает большое количество компаний с устойчивой моделью бизнеса, государственной поддержкой и достаточно стабильным денежным потоком. Следовательно, стилизованное инвестирование в дивидендные акции российского рынка может быть интересным как для частных игроков, так и для профессиональных инвесторов. Вместе с тем в настоящее время на Московской бирже торгуются только ETF инструменты, структурированные по географической принадлежности эмитентов, лишая игроков возможности вложения средств в большое количество бумаг, соответствующее определенному инвестиционному стилю.

Тогда логичным образом возникает вопрос о выборе заинтересованным инвестором подхода к оптимизации портфеля высокодивидендных акций. Здесь автору настоящей работы оптимальным решением видится использование многомерных функций распределения - копул, которые в последние годы вызывают активный интерес научного финансового сообщества. Таким образом, целью данной магистерской диссертации является решение проблемы динамической оптимизации портфеля дивидендных акций с использованием копул, как основного математического инструментария.

Для достижения цели работы были поставлены следующие задачи:

Обзор теоретических аспектов применения копул, а также выявление их теоретических преимуществ перед традиционными подходами к оптимизации портфеля

Техническое построение иерархической Vine-копулы для моделирования многомерной функции распределения стандартизованных остатков доходностей дивидендных бумаг

Подробное пошаговое описание процедуры динамического построения портфеля высокодивидендных акций с использованием копул

Оценка результатов выполненной динамической оптимизации портфеля высокодивидендных бумаг по сравнению альтернативными подходами построения портфеля и индексным инвестированием

В рамках реализации последней задачи с настоящем исследовании были сформулированы следующие гипотезы:

H1: Гипотеза преимущества динамического построения портфеля высокодивидендных акций с использованием копул перед наивным подходом, подразумевающим равные веса включаемых в портфель бумаг

H2: Гипотеза преимущества оптимизации портфеля дивидендных акций с использованием копул перед рыночным портфелем (в качестве «прокси» используется фондовый индекс)

H3: Гипотеза преимущества использования копулы для оценки совместного риска активов при оптимизации портфеля высокодивидендных акций перед применением портфельной теории Марковица (ковариационные матрицы)

Объектом данного исследования являются акции российского фондового рынка с высоким показателем дивидендной доходности, в то время как предмет исследования представляет собой целесообразность применения копул с целью динамической оптимизации инвестиционного портфеля высокодивидендных акций.

Наконец, информационной базой настоящей магистерской диссертации являются финансовые данные, выгруженные из терминалов Thomson Reuters Eikon и Bloomberg, нормативные акты в виде указаний Банка России по регулировании деятельности паевых инвестиционных фондов, многочисленные статьи зарубежных и российских авторов, а также диссертация на соискание кандидатской степени и публичная информация в сети Интернет. Техническая часть данной выпускной квалификационной работы будет исполнена в среде программирования RStudio, основанной на языке программирования R.



Глава 1. Теоретические основы использования копул, преимущества их применения при оптимизации инвестиционного портфеля

Данная глава содержит три раздела, первый из которых представляет собой теоретическое описание применения копул в теории вероятностей и математической статистике, как отдельного инструментария. Второй раздел настоящей главы включает в себя хронологический обзор подходов к оценке риска портфеля ценных бумаг, особенно выделяя преимущества используемой в данной работе риск-метрики Conditional Value-at-Risk. В последнем разделе первой главы анализируются различные методы оптимизации инвестиционного портфеля, основанные как на разнообразных метриках риска-доходности, так и на более специфических финансовых характеристиках эмитента.

1.1 Теоретические аспекты применения копул

Несмотря на активный интерес исследователей к использованию копул при анализе временных рядов в последние годы, данный инструментарий не является новым в рамках математической статистики. Первые попытки количественно оценить взаимосвязь между одномерными предельными распределениями случайных величин и их многомерными совместными распределениями были сделаны в работе Frechet (1951). Однако сама идея копулы была введена позднее в Sklar (1959), где копула была определена, как функция, преобразующая совокупность одномерных предельных распределений в одно совместное распределение.

Для большей ясности приведем формальное определение копулы. Обозначим единичный отрезок через ??=[0,1], в свою очередь n-мерный единичный куб - через . Тогда копула C: - это совместная функция распределения n случайных величин , где =1, 2, ... , n, равномерно распределенных на отрезке [0,1]. В качестве аргументов копула принимает предельные функции распределения и случайных величин для случая двух распределений, а на выходе дает функцию их совместного распределения.

Таким образом, копула имеет стандартные свойства функции распределения, а именно:

, где

где u и v - функции распределения случайных величин.

Кроме того, в работе Sklar (1959) была сформулирована и доказана теорема Склара: любое n-мерное совместное распределение может быть разложено в n одномерных предельных распределений и их n-мерную копулу:

Пусть ;

тогда , что

Однако более значимым для развития эмпирических исследований с использованием копул оказалось доказательство утверждения, обратного теореме Склара: n одномерных предельных распределений и любая копула C() однозначно определяют совместное многомерное распределение данных случайных величин. Данный теоретический результат существенно упрощает задачу конструирования совместной функции распределения с желаемыми свойствами взаимосвязи случайных величин -- для этого нужно подобрать соответствующие одномерные распределения, а также саму функцию копулы.

Также стоит отметить, что согласно данной теореме использование копул дает большую гибкость исследователю при изучении совместного распределения случайных величин, так как не ограничивает его использованием эллиптических распределений, в отличие от большинства традиционных эконометрических методов. Так, исследователь может построить совместное распределение нормально распределенной величины с экспоненциально распределенной величиной с помощью копулы и получить с точки зрения эмпирического применения достаточно странное, но верное двумерное распределение.

Большинство исследовательских работ в области эконометрики указывают на то, что доходности финансовых инструментов, как правило, не являются нормально распределенными ввиду нескольких причин, упомянутых в работе Травкин (2013):

Тяжелые хвосты распределений. Сама проблема недооценки вероятности экстремальных событий, которые находятся в хвостах плотности распределения доходности актива была сформулирована ещё в работе Mandelbrot (1963) при анализе цен на хлопок. Однако именно в работе Fama (1965) автор эмпирически показывает несостоятельность предположения о нормальности распределения доходностей акций ввиду большей вероятности непредсказуемых убытков

Отсутствие симметрии в распределении доходностей было эмпирически выявлено, а затем неоднократно подтверждено в следующих работах: McEnally (1974), Peiro (1999)

Кластеризация волатильности. Наличие явления «памяти волатильности» также указано в Mandelbrot (1963). Оно заключается в возрастающей вероятности последующих значительных изменений цен активов после фактического роста волатильности данного инструмента. Необходимость учета данного эффекта при прогнозировании будущей волатильности доходности ценных бумаг определила создание нового класса GARCH моделей, сформулированного в Engle (1982), Bollerslev (1986)

Асимметрия волатильности указывает на неодинаковую реакцию рынка на положительные и отрицательные события. Обычно отрицательные события вызывают больший всплеск волатильности, чем положительные, что эмпирически обосновано в работе Nelson (1991). Традиционно наличие асимметрии волатильности связывают с эффектом финансового рычага (leverage effect), который заключается в повышении долговой нагрузки фирмы после падения цены её акций и, как следствие, ведет к увеличению совокупного риска данной бумаги - Black (1976), Christie (1982).

Вышеизложенные факторы, обусловленные несовершенством рыночного механизма, а также психологическими особенностями поведения инвесторов, очевидно, должны учитываться при моделировании доходности финансовых инструментов. Использование копул значительно облегчает эту задачу, предоставляя исследователю гибкость в выборе моделей зависимостей условных одномерных распределений активов: существует множество классов копул, позволяющих моделировать различные виды зависимости как в верхних, так и в нижних хвостах распределений. Далее приведем краткий обзор наиболее часто используемых в современных исследованиях копул.

Логично начать с эллиптических копул, которые обладают свойствами радиальной симметрии по аналогии с эллиптическими распределениями (многомерными нормальными распределениями). Например, Гауссова копула:

), … , )),

где Ф - функция распределения стандартного нормального закона, -- функция распределения многомерного нормального распределения с корреляционной матрицей ? и

Однако из свойств симметрии таких копул вытекает и одинаковая зависимость в хвостах распределений, что расходится с эмпирически подтвержденной предпосылкой об асимметрии волатильности доходностей. По аналогии с Гауссовским распределением данные копулы каждой паре случайных величин ставят в соответствие параметр -- коэффициент корреляции. Таким образом, при решении задач больших размерностей с помощью эллиптических копул возникает проблема оценки слишком большого количества параметров в модели.

Другим семейством копул являются Архимедовы копулы, которые характеризуются видом неотрицательная непрерывная убывающая выпуклая функция (называемая генератором копулы), для которой выполняется соотношение псевдообратная к функция вида:

Основными преимуществами использования Архимедовых копул являются сравнительная простота вычислений, обусловленная использованием элементарных функций в качестве генератора копулы, а также возможность моделирования асимметричной взаимосвязи процессов в верхних, либо нижних хвостах совместного распределения в зависимости от выбранной копулы, а также её вида (обычная, обратная, копула дожития и другие).

Обратимся к копуле Клейтона, используемой в работе Patton (2012) наряду с копулой Гумбеля и двумя эллиптическими копулами (Гауссовская, Student-t копула). Данная копула относится к семейству Архимедовых и имеет следующий вид для случая двух случайных величин:

,

, где , где - это функция-генератор копулы Клейтона.

Как можно увидеть из функции выше, копула Клейтона сама по себе характеризуется повышенной зависимостью в верхних хвостах предельных распределений. Однако согласно упомянутому выше исследованию (Nelson, 1991), распределения доходностей финансовых инструментов демонстрируют более тесную взаимосвязь во время фондовых кризисов и крупных потрясений на рынках, то есть в нижних хвостах распределений. Таким образом, в данной работе будет использоваться обратная копула Клейтона (180 градусов) для учета более высокой степени взаимосвязи отрицательных доходностей исследуемых бумаг:

В то же время одним из наиболее существенных недостатков Архимедовых копул является то, что они определяются всего одним параметром, что явно является недостаточным для исчерпывающего отражения специфики более, чем двух моделируемых процессов. В частности, для цели динамической оптимизации инвестиционного портфеля использование одного параметра подразумевает одинаковую взаимосвязь между всеми финансовыми инструментами в целом и между собой, что, очевидно, не соответствует реальным рыночным механизмам.

В рамках современных исследований проблема «одного параметра» при моделировании многомерных распределений может решаться несколькими способами. Так, в работе Savu et al (2006) обобщается теория построения иерархических копул, в рамках которой взаимосвязи между различными одномерными случайными величинами раскладываются по отдельным вложенным копулам, позволяющим специфицировать данные взаимосвязи. Иерархические копулы также используются в Пеникас (2014), где автор последовательно сравнивает эффективность использования различных конструкций вложенных копул для оценки риска инвестиционного портфеля. Стоит отметить, что автор получает наилучшие результаты с точки зрения оптимальных риск-метрик CVaR и VaR, применяя иерархический подход к обратной копуле Клейтона, которая используется в настоящей работе.

Другой теоретический подход к решению данной проблемы, используемый в данной работе, представлен в исследовании Aas et al (2009), где многомерная функция распределения зависимостей одномерных случайных величин рассматривается, как произведение парных условных копул (Vine конструкции). Далее приводится пример разложения плотности совместного распределения трех случайных величин на произведение их предельных одномерных распределений, а также их копул из работы Aas et al (2009).

Пусть | - это условная плотность распределения случайной величины при реализации случайной величины ; - функция распределения; - плотность копулы совместного распределения двух случайных величин и . Тогда условную плотность можно записать через копулу в виде:

,

двойную условную плотность величины :

или, согласно ранее полученному выводу:

;

трехмерную плотность распределения (по принципу условных парных копул):

Последняя формула затем используется авторами для максимизации функции правдоподобия. Стоит также отметить, что в данном случае моделирование взаимозависимостей случайных величин происходит через три параметра, так как плотность совместного распределения разложена на три парные копулы.

Авторы Aas et al (2009) также указывают на вариативность разложения функции плотности многомерного распределения и приводят краткий обзор двух методов разложения многомерного распределения через C-Vine и D-Vine структуры:

С-vine (canonical vine)

D-vine

Особенность канонической Vine структуры в том, что её используют при наличии «ключевой» переменной, которая имеет доминирующее влияние на остальные элементы анализируемого набора данных. В случае отсутствия такой переменной Aas et al (2009) рекомендуют использовать D-Vine. Таким образом, в рамках данного исследования использовалась структура разложения функции плотности многомерного распределения с помощью D-Vine структуры, так как в рамках оптимизации портфеля дивидендных акций российских эмитентов выделение доходности единственной бумаги в качестве ключевой переменной, которая определяет поведение остальных, представляется нелогичным и нецелесообразным.

1.2 Преимущества применения современной риск-метрики CVaR

Классической риск-метрикой портфеля ценных бумаг является выборочная дисперсия, которая характеризует квадрат совокупного отклонения наблюдаемой доходности портфеля от её математического ожидания. Данная метрика используется в таких финансовых моделях, как коэффициент Шарпа, модель Блэка-Шоулза и др. Как упоминалось выше, в работе Mandelbrot (1963) автор эмпирически доказал непостоянство волатильности с течением времени, что обусловило необходимость моделирования будущих значений дисперсии инвестиционного портфеля для динамичной переоценки возможных потерь.

Так, в статье Engle (1982) для решения проблемы моделирования кластеризации волатильности автор впервые предложил ARCH(q) модель, которая имеет следующую формулу:

,

где - это предыдущее значение дисперсии портфеля с лагом q.

В свою очередь оценка безусловной дисперсии для модели ARCH(q) равна:

Основным недостатком ARCH модели является необходимость использования большого количества лагов волатильности q, что теоретически может привести к отрицательной оценке дисперсии, что невозможно по её определению.

Для устранения данного недостатка в работе Bollerslev (1986) была представлена обновленная модель Generalized ARCH (GARCH), которая моделировала текущую дисперсию актива не только через её зависимость от предыдущих квадратов ошибок, но и от прошлых значений условной дисперсии:

Дальнейшие эмпирические исследования (Brooks (2014)) показали, что обычно порядок GARCH (1,1) является достаточным для оценки дисперсии доходности актива. Таким образом, в отличие от модели ARCH в случае GARCH прогнозирования отсутствует необходимость в определении оптимального количества лагов, а оценка безусловной дисперсии в случае GARCH (1,1) определяется по формуле:



Наконец, рассмотрим модификацию классической GARCH модели - GJR-GARCH, которая используется в данной работе и была представлена в Glosten, Jagannathan & Runkle (1993). Основное преимущество данной модели перед классической версией GARCH в том, что она позволяет учесть асимметрию волатильности с помощью добавления дополнительного дамми-регрессора. Вместе с этим, GJR-GARCH моделирует изменение дисперсии напрямую, что облегчает прикладное применение данной модели в отличие, например, от экспоненциальной EGARCH. Модель GJR-GARCH (1,1) описывается следующей формулой:

, где

- дисперсия, которая объясняется предыдущим квадратом ошибки модели; - параметр, определяющий масштаб и направление асимметрии волатильности; - дамми переменная, которая изменяет прогнозное значение дисперсии только при условии предыдущего «негативного шока».

Таким образом, при асимметрия волатильности отсутствует, в то время как при , отрицательные шоки повышают волатильность сильнее, чем положительные, а если , будет наблюдаться обратное явление.

Учитывая возможную несостоятельность оценок риска с помощью стандартного отклонения и ковариации, рассмотрим другую риск-метрику финансовых инструментов - Value-at-Risk (VaR). Данный показатель был применен специалистами в количественных финансах после кризиса 1987 года, когда все базовые предпосылки моделей по корреляции рынков, валют, ценных бумаг и, следовательно, максимально допустимых убытках, были нарушены вследствие наступления экономического коллапса на фондовых рынках. Изначально VaR был разработан, чтобы закладывать в оценку рыночного риска вероятность получения крайне высоких убытков, которые имели место в исторических данных рынка. Формальное признание показатель Value at Risk получил в виде включения в Базель-II в 1999 году

Для данного портфеля ценных бумаг, вероятности и временного промежутка Value at risk можно определить, как максимально возможный понесенный убыток на протяжении определённого периода за исключением наихудших исходов с совокупной вероятностью, равной . Таким образом, VaR - это величина потенциальных убытков, которая не будет превышена с вероятностью . Показатель Value-at-Risk может быть оценен двумя разными методами:

Исторический метод подразумевает использование доходностей в виде исторического временного ряда для определения VaR

Параметрический метод в свою очередь подразумевает расчет Value at risk исходя из предположений об определенном распределении доходностей (чаще всего о нормальности)

Однако с точки зрения риск-менеджмента данный показатель имеет несколько существенных недостатков. Во-первых, в работе Arzner et al. (1998) авторы доказывают, что VaR не является когерентной риск-метрикой, так как не обладает свойством субаддитивности. То есть, Value at risk портфеля из нескольких ценных бумаг может превышать сумму их отдельных показателей VaR, что явно противоречит самой идее диверсификации в инвестициях в качестве снижения риска. Во-вторых, VaR не учитывает «толщину» хвостов распределения: риск-метрика не дает никакой информации о том, насколько значительными могут быть экстремальные убытки (Unexpected losses).

Одной из наиболее популярных и используемых современными исследователями риск-метрик является Conditional VaR (который также известен, как ES - Expected Shortfall). Данный показатель характеризует математическое ожидание потерь портфеля, которое превысило оценённое значение Value at risk: .

Так, в Dowd (2007) авторы обобщают преимущества CVaR перед VaR следующим образом:

ES дает риск-аналитику информацию, насколько значительными могут быть непрогнозируемые, наихудшие исходы по портфелю

Conditional VaR в отличие от VaR является когерентной риск-метрикой (обладает субаддитивностью)

Cубаддитивность CVaR подразумевает, что функция риска портфеля будет выпуклой, а выпуклость гарантирует, что задачи оптимизации портфеля, использующие меры CVaR, в отличие от тех, которые используют меры VaR, всегда будут иметь единственный оптимум

Стоит отметить, что в 2013 году Базельский комитет по банковскому надзору предложил осуществить переход статуса ключевой риск-метрики торговой книги банков от Value-at-Risk при б = 99% к Conditional VaR при б = 97,5%, однако данный переход до сих пор не был осуществлён. Одной из возможных причин данному факту может являться повышенный модельный риск Conditional VaR по сравнению в VaR. Так, в работе Kellner et al (2016) авторы анализируют обе риск-метрики на тестовой выборке динамики фондовых индексов S&P500, DAX и Nikkei, а также валютных пар EUR/USD и EUR/JPY в период с 2001 по 2015 гг. Основным выводом работы является наличие своеобразного компромисса между способностью риск-метрики предсказывать убытки от экстремальных событий и общей точностью предсказания модели.

В настоящей работе для моделирования волатильности будет использоваться модель GJR-GARCH с фиксированным порядком (1,1), а главной риск-метрикой, на основе которой будет оптимизироваться инвестиционный портфель, является показатель Conditional Value-at-Risk, который обладает рядом описанных преимуществ перед классическим VaR.

1.3 Методы оптимизации инвестиционного портфеля

Первой научной работой, решающей задачу нахождения оптимальных весов финансовых инструментов в портфеле, является знаменитая статья (Markowitz, 1952). Данная работа считается пионерной для финансовой экономики, так как фактически содержала в себе первую математическую формализацию идеи диверсификации в инвестициях. Нельзя сказать, что в (Markowitz, 1952), понятие разделения активов для инвестиций было сформулировано впервые, однако автор выделил основополагающую мысль о значимости вклада каждой бумаги в совокупный риск портфеля, а не собственно риска данного инструмента. Решение о добавлении ценной бумаги в портфель должно приниматься с учетом риска остальных финансовых инструментов портфеля с целью снижения совокупного риска при том же уровне ожидаемой доходности.

По Марковицу инвестор должен максимизировать ожидаемую доходность портфеля при заданном уровне риска (дисперсия инвестиционного портфеля ), либо минимизировать уровень риска при фиксированной ожидаемой доходности. Таким образом, формируется так называемая «эффективная граница портфелей», на которой находятся такие комбинации рисковых активов, что нельзя улучшить один показатель, не ухудшив другой. После построения эффективной границы инвестор может выбрать для себя один из эффективных портфелей в зависимости от собственной степени неприятия риска.

В то же время оптимизация портфеля методом Марковица представляется достаточно сложной ввиду большого количества необходимых вычислений для определения оптимальных весов каждой бумаги. В случае составления портфеля из n ценных бумаг инвестору нужно будет оценить математических ожиданий доходностей инструментов , величин дисперсий бумаг , а также значений парных ковариаций бумаг портфеля.

В 1964 году в статье Sharpe (1964), Уильям Шарп предложил новый метод оптимизации инвестиционного портфеля, который обладал сравнительной простотой вычислений, так как базировался на линейной регрессии. В модели Шарпа зависимой переменной Y является - доходность определенной ценной бумаги, а объясняющей переменной считается рыночная доходность , которая может быть представлена в виде фондового индекса (S&P 500), темпов роста внутреннего валового продукта страны, темпов инфляции и прочего.

Модель Шарпа:

где - параметр, характеризующий доходность ценной бумаги , которая не зависит от рыночных колебаний;

- бета-коэффициент, показывающий чувствительность доходности бумаги i к изменениям рыночной премии

- безрисковая ставка доходности (например, US Treasury bills)

- случайная ошибка по доходности бумаги в момент времени .

Одно из главных достоинств модели Шарпа состоит в том, что она позволяет значительно сократить объемы вычислений при определении оптимального портфеля, давая при этом результаты, близко совпадающие с получаемыми по модели Марковица. Стоит отметить, что в модели Шарпа для нахождения параметров и используется метод наименьших квадратов, соответственно все предпосылки о нормальности распределения доходностей анализируемых бумаг сохраняются.

В то же время обе вышеизложенные модели, а также использование стандартного отклонения и матрицы ковариаций для оценки риска портфеля подвергаются критике главным образом вследствие предположения о нормальном распределении доходностей финансовых активов. Так, (Fama, 1965) эмпирически доказал наличие «толстых» хвостов у распределений финансовых активов, что само по себе противоречит предположению о нормальности. Кроме того, в изначальной версии модели Марковица отсутствовала возможность открытия коротких позиций, которая является популярной у участников рынка (по сути займ ценных бумаг у брокера с последующей возможностью выкупить данные бумаги по более низкой рыночной цене). При выполнении данного ограничения инвестор теряет большое количество возможностей на рынке по заключению сделок на ожиданиях по снижению цены данного актива, а также созданию инвестиционных стратегий, нейтральных по отношению к рыночной доходности или другому бенчмарку (с коэффициентом близким к нулю). Более подробно с результатами исследований по long-short portfolios можно ознакомиться в работах Jacobs et al (1999), Konno et al (2005).

Помимо методов оптимизации портфеля через соотношение риска-доходности финансового инструмента, а также его возможности повышения общей диверсификации портфеля также существуют работы, которые анализируют нахождение оптимальных весов ценных бумаг в портфеле по различным характеристикам эмитента - рыночной капитализации, уровню левериджа, мультипликаторам и др. В работах Chordia et al (2014), Lamoureux and Zhang (2014), Fletcher (2017) авторы исследуют эффективность оптимизации инвестиционного портфеля через максимизацию классической mean-variance функции полезности инвестора, причем веса бумаг в оптимальном портфеле в момент времени определяются следующей линейной функцией от небольшого набора из характеристик инструментов:

где - вес акции в портфеле-бенчмарке из акций;

- вектор коэффициентов характеристик бумаг размерности ;

- вектор значений характеристик бумаг размерности ;

Стоит отметить, что за портфель-бенчмарк в работах принимался либо портфель, собранный наивным подходом с одинаковыми весами у активов, либо взвешенный по капитализации бумаг эмитентов. Основными характеристиками бумаг, которые использовались в работах являются размер компании (), Book-to-Market ratio, а также momentum характеристики в виде накопленной доходности за последние 12 месяцев. После оптимизации параметрического портфеля результаты в виде коэффициента Шарпа, а также - Certainty Equivalent Return сравнивались с портфелями-бенчмарками, а также различными модификациями mean-variance портфеля Марковица.

В упомянутых работах авторы получают достаточно неоднозначные результаты: характеристические стратегии показывают лучшие результаты по коэффициенту Шарпа, чем бенчмарк-стартегии, а также mean-variance портфели, однако вместе с этим демонстрируют отрицательные значения . Результаты характеристических стратегий также улучшаются при введении ограничения на короткие позиции по бумагам. Вместе с тем в исследованиях, основанных на параметрической оптимизации инвестиционных портфелей, на данный момент отсутствует методика и обоснование выбора определенных характеристик бумаг для анализа вследствие невозможности выделения одной доминирующей инвестиционной стратегии большого количества инвестиционных стратегий (каждая из стратегий будет фокусироваться на различных характеристиках эмитентов).

Таким образом, ввиду своей гибкости по предпосылкам о распределении анализируемых данных, эмпирически доказанного отсутствия эллиптических распределений среди временных рядов доходностей ценных бумаг, а также отсутствия систематизации и учета совместного риска между различными бумагами в портфеле у моделей, основанных на характеристиках эмитентов, копулы видятся автору наиболее эффективным инструментом для динамической оптимизации инвестиционного портфеля. В настоящем исследовании будет использована обратная копула Клейтона из семейства Архимедовых копул вследствие её относительной простоты вычислений, а также для учета более высокой степени взаимозависимости отрицательных доходностей исследуемых бумаг.



Глава 2. Описание процедуры динамической оптимизации портфеля дивидендных акций с использованием копул

В данной главе будет представлен последовательный обзор использования копул с целью динамической оптимизации портфеля дивидендных акций российских эмитентов с 2010 по 2018 гг. В первом разделе будут обозначены основные факторы включения бумаг в анализируемый портфель, а также сам критерий оптимизации, основанный на соотношении годовых дивидендных выплат к уровню риска бумаги. Во втором разделе особое внимание уделяется описанию и обработке собранных данных, а также возможным проблемам при их корректировке. Наконец, последний раздел второй главы включает в себя подробное, пошаговое описание процедуры оптимизации портфеля дивидендных акций, начиная с моделирования одномерных предельных распределений доходностей ценных бумаг и заканчивая оптимизацией целевой функции по минимизации риска (CVaR) при генерации приемлемой дивидендной доходности.

2.1 Особенности формирования и определения критерия оптимизации портфелей высокодивидендных акций

В классической статье на тему инвестиций в ценные бумаги Graham and Dodd (1934) авторы утверждают, что инвесторы всегда предпочтут получить денежный поток в виде надежной дивидендной выплаты, чем позволят компании реинвестировать его. В современной инвестиционной деятельности дивиденды, как инструмент возвращения части стоимости компании акционерам, известны прежде всего за их способность генерировать относительно надежный доход, снижая общий риск портфеля. Кроме того, стабильные дивидендные выплаты позволяют разрешить некоторые агентские проблемы менеджер-акционер путем ограничения расточительного использования денежных средств компании на неэффективные проекты.

Так, в работе Arnott et al (2003) после анализа 130 лет исторических данных фондового рынка США авторы приходят к выводу, что традиционная обратная зависимость между дивидендными выплатами и будущими перспективами роста компании, основанная на модели Гордона нарушается. Компании с высокими показателями доли дивидендов в чистой прибыли (payout ratio) систематически показывают более высокую прибыль в следующие периоды, что может объясняться известной агентской проблемой по расходам менеджеров нераспределённой прибыли на неэффективные проекты с целью постоянного роста масштаба бизнеса (empire-building problem).

Кроме того, стоит отметить статью Conover et al (2016), в которой рассматриваются особенности дивидендных акций с точки зрения инвестора. Эмпирические результаты авторов показывают значительное снижение общего риска портфеля ценных бумаг без драматического падения доходности. Одним из главных выводов работы является статистическое доминирование бумаг эмитентов, которые производят дивидендные выплаты вне зависимости от размера компании (включая small-, mid-cap), анализируемого сектора и самого стиля инвестиционного портфеля. Так, достаточно парадоксальным с точки зрения теории финансов можно назвать превосходство акций роста с дивидендными выплатами перед другими бумагами данного стиля инвестирования без дивидендов, так как традиционно компании на стадии роста реинвестируют нераспределённую прибыль на расширение производства и масштаба бизнеса.

Таким образом, инвестор, ориентирующийся на размещение средств в дивидендные ценные бумаги, будет главным образом заинтересован в получении высокой средневзвешенной дивидендной доходности по портфелю при минимальном уровне риска. Более того, согласно упомянутым выше исследованиям высокий уровень дивидендных выплат может также сопровождаться высокими темпами роста прибыли эмитента, а значит, инвесторы могут рассчитывать на дополнительный прирост стоимости портфеля.

Теперь сформулируем целевую функцию оптимизации портфеля высокодивидендных акций. В данной работе будет последовательно решаться задача минимизации Conditional VaR, как когерентной риск-метрики, активно использующейся в современном управлении активами для контроля рыночных рисков. Фактически оптимизация функции CVaR сводится к решению задачи линейного программирования по аналогии с процедурой, впервые представленной в Rockafellar et al (2000). В то же время специфика инвестиционного стиля портфеля, а также регуляторные требования Банка России к структуре активов открытых паевых инвестиционных фондов акций накладывают следующие линейные ограничения:

Для инвестора, заинтересованного в покупке высокодивидендных акций, средневзвешенная ожидаемая дивидендная доходность по портфелю будет своеобразным прокси ожидаемой доходности. Следовательно, для такого инвестора представляется актуальным следующее ограничение:

где n - количество анализируемых высокодивидендных акций;

- совокупная дивидендная доходность i-ой бумаги за последние 12 месяцев;

- удельный вес i-ой бумаги в инвестиционном портфеле;

- средняя дивидендная доходность по анализируемому пулу бумаг.

Одним из указаний Банка России по составу портфеля акций ОПИФ являются ограничение максимального веса одного эмитента до 15%, а также отсутствие возможности заключать короткие позиции для лимитирования общего риска по портфелю: .

Любой объем неинвестированных средств, оставленный в форме наличных денег, будет воспринимать инвестором, как упущенная дивидендная доходность, что накладывает дополнительное ограничение:

Таким образом, формально решаемая задача линейного программирования по минимизации Conditional VaR определяется следующим образом:

2.2 Описание и предобработка данных

В качестве основных данных для настоящей работы из терминала финансовой информации Thomson Reuters Eikon были выгружены дневные котировки цен закрытия (2010-2018 гг.) топ-80 бумаг российских эмитентов по капитализации по состоянию на конец 2018 г. Кроме непосредственной выгрузки котировок акций, для проведения необходимых расчетов использовались данные по дивидендным выплатам выгруженных компаний, корпоративным событиям дробления/консолидации, а также валютный курс в виде инструментов «GBPRUB_TOM» и «USDRUB_TOM» за аналогичный период. Портфель высокодивидендных бумаг будет пересматриваться с частотой в один квартал вследствие относительной стабильности дивидендной политики отечественных компаний на протяжении рассматриваемого периода.

При инвестировании в высокодивидендные акции российских компаний, которые торгуются на зарубежных биржах, инвестор берёт на себя валютный риск, который должен отражаться в анализируемых котировках бумаги. Таким образом все ежедневные цены закрытия выгруженных акций Лондонской или Нью-Йоркской биржи были приведены к рублевой стоимости: в рамках предобработки данных в MS Excel была проведена корректировка цен акций, торгующихся на Лондонской и Нью-йоркской биржах на значения инструментов «GBPRUB_TOM» и «USDRUB_TOM» соответственно для корректного учета изменения валютного курса

Существует несколько видов корпоративных действий, осуществляемых компанией, которые меняют рыночную стоимость её акций, в то время как фактически богатство акционеров остается неизменным (если игнорировать налоговые выплаты, а также возможные транзакционные издержки). Например, по теории финансов при осуществлении дивидендных выплат компанией котировки её акций в день, следующий за дивидендной отсечкой, снижаются на величину выплачиваемых дивидендов. В последние годы большое количество компаний российского рынка увеличивает объём выплачиваемых дивидендов, поэтому отсутствие какой-либо корректировки цен неизбежно вызовет неправильную интерпретацию моделью дивидендных платежей в качестве всплесков волатильности. Таким образом, проблема «очищения» стоимости акции от дивидендных выплат решалась путем корректировки всех предыдущих значений цены закрытия акции до дивидендной отсечки по следующей формуле:

где - скорректированная на дивидендную выплату цена акции;

- цена акции за i дней до дивидендной отсечки без корректировки;

- цена акции в последний день перед дивидендной отсечкой;

- размер выплачиваемых дивидендов в рублях;

Корректировка цен всех анализируемых бумаг по каждой дивидендной выплате была осуществлена в среде программирования RStudio, который базируется на языке программирования R. Кроме того, в RStudio был создан датафрейм, в котором на каждую дату пересмотра портфеля, то есть на конец каждого квартала 2010-2018 гг., все 80 анализируемых бумаг были распределены в порядке убывания дивидендной доходности за последние 12 месяцев. Стоит также отметить, что в используемой базе данных финансовой информации Thomson Reuters Eikon происходит автоматическая корректировка предыдущих цен акций в случае дробления или консолидации бумаг данного эмитента на соответствующий коэффициент.

2.3 Пошаговая процедура динамического формирования портфелей высокодивидендных акций

Построение многомерного совместного распределения с помощью Vine-конструкции парных копул можно разделить на четыре этапа:

Определение используемой копулы и её семейства

Построение одномерных предельных распределений многомерной функции распределения рассматриваемой копулы

Моделирование структуры взаимозависимости построенных условных предельных распределений в виде оценки оптимальных параметров копулы выбранного семейства

Моделирование совместного распределения через выбранную конструкцию парных копул

Далее будет описана пошаговая процедура построения портфеля высокодивидендных акций, основанная на аналогичной процедуре из кандидатской диссертации Ацканов (2018), в которой автор анализирует эффективность использования копул для оптимизации инвестиционных портфелей разных стилей, включая портфель высокодивидендных акций.

Процедура оптимизации представлена в виде динамического отбора стилизованного «пула» дивидендных бумаг для анализа, построения их равномерных предельных распределений, последующей оценкой оптимальных параметров в D-Vine конструкции парных копул с использованием обратной копулы Клейтона, а также решении задачи минимизации Conditional VaR портфеля при заданных выше линейных ограничениях. Техническая реализация следующего алгоритма оптимизации была осуществлена в среде программирования RStudio, которая базируется на гибком языке программирования R. В работе было использовано большое количество дополнительных пакетов, как для построения сложные многомерных D-Vine конструкций копул, так и для решения задач линейного программирования.

Создание стилизованного портфеля. На дату формирования портфеля из общего набора данных отбирается топ-20%, 35%, 50% бумаг с наибольшей дивидендной доходностью за период [. Дивидендная доходность определяется, как сумма всех дивидендных выплат владельцам акции за период [, делённая на цену акции в момент времени . Все дальнейшие вычисления и анализ будут проводиться для отобранных акций

Оценка математического ожидания с помощью модели ARMA. Для моделирования математического ожидания доходностей бумаг используется модель ARMA с максимально допустимым порядком (5, 5), при этом порядок определяется через нахождение минимального критерия BIC модели

Оценка стандартного отклонения по модели GJR-GARCH. Полученные порядки ARMA затем используются при моделировании дисперсии с помощью GJR-GARCH модели, которая позволяет отслеживать асимметрию распределения волатильности. Порядок модели GJR-GARCH (1,1) был выбран в соответствии с эмпирическим исследованием по оптимизации портфеля из китайских фондовых индексов с использованием копул Deng (2011)

Оценка стандартизованных ошибок. Далее полученные оценки математического ожидания и дисперсии используются для вычисления оцененных стандартизованных ошибок по следующей формуле из Patton (2012):

Построение эмпирической функции распределения. Оцененные стандартизованные ошибки непараметрическим методом преобразуются в равномерную функцию распределения, определенную на промежутке . Для совершения данного преобразования в так называемую copula data используется формула эмпирической функции распределения:

Построение D-Vine конструкции копул. Полученные данные проходят спецификацию и оптимизацию параметров в рамках n-мерной D-Vine конструкции копул, основанной на обратной копуле Клейтона (где n - это количество отобранных на первом шаге бумаг для анализа)

Прогноз стандартизованных ошибок через симуляции многомерного распределения. Затем с помощью оценённой на основе копулы многомерной функции распределения производятся симуляции Монте-Карло для генерации прогнозируемых стандартизованных ошибок (для каждого пересмотра портфеля реализуется 1000 симуляций)

Расчет прогнозируемой доходности. Далее прогнозируемые стандартизованные ошибки пересчитываются в прогнозируемую доходность акции для каждого сценария с помощью полученных оценок математического ожидания и стандартного отклонения на шаге 2 и 3 соответственно

Построение матрицы прогнозных доходностей анализируемых акций. В результате получается матрица сгенерированных доходностей стилизованного портфеля высокодивидендных акций , где каждая строка соответствует определенному сценарию доходностей, а в столбцах расположены бумаги, отобранные для анализа на шаге 1:

где - количество произведенных симуляций Монте-Карло;

- количество дивидендных бумаг, отобранных для анализа;

- номер квартала перебалансировки портфеля;

Построение вектора средневзвешенной доходности портфеля. При умножении матрицы прогнозных доходностей на заранее определённый вектор весов портфеля вычисляется новый вектор, характеризующий 1000 возможных сценариев доходности портфеля по следующей формуле:

где - вектор весов портфеля дивидендных акций

- средневзвешенная доходность портфеля при симуляции i

Расчет используемой риск-метрики CVaR. Далее определяется уровень риска портфеля через оценку Conditional VaR при уровне значимости , как среднее значение из 5% наименьших сгенерированных доходностей по портфелю:

Оптимизация целевой функции. Наконец, решается задача линейного программирования по минимизации целевой функции CVaR через нахождение оптимальных значений вектора весов :

при условии соблюдения следующих линейных ограничений:

где - это средняя дивидендная доходность анализируемых бумаг за период [. Таким образом, формируется инвестиционный портфель с минимальным уровнем риска (CVaR) и высокой дивидендной доходностью, не меньшей средней по выбранному пулу дивидендных бумаг.

Перебалансировка портфеля. Выбранные дивидендные акции приобретаются согласно оптимизированных весам и удерживаются в портфеле до следующей перебалансировки. Затем аналогичные шаги 1-12 повторяются для всех анализируемых кварталов в период с начала 2010 по конец 2018 гг.

2.4 Пошаговая процедура оптимизации инвестиционного портфеля традиционным подходом с использованием ковариационной матрицы

Теперь обратимся к классическому методу оптимизации портфеля ценных бумаг, который рассматривался в разделе 1.3 первой главы и основывается на оценке математического ожидания доходности портфеля, а также его стандартного отклонения через построение ковариационной матрицы. Данный подход применяется для проверки выдвинутой во введении гипотезы H3 о преимуществе использования копул для оптимизации инвестиционного портфеля перед классическим методом портфельной теории Марковица - Markowitz (1952), Sharpe (1964).

Для справедливой оценки наличия преимуществ у одного метода динамического построения портфеля перед другим представляется логичным использовать аналогичную стилизованную выборку данных по наибольшей дивидендной доходности (top-20%, 35%, 50%). Таким образом первый шаг по отбору высокодивидендных акций для анализа в случае оптимизации методом портфельной теории Марковица будет полностью совпадать с первым этапом оптимизации с помощью копул, поэтому настоящая процедура будет начинаться сразу со второго шага:

Для каждой дивидендной бумаги, отобранной для анализа, оцениваются математические ожидания доходностей , из которых составляется вектор математических ожиданий а также осуществляется построение ковариационной матрицы

Далее решается задача линейного программирования по максимизации целевой функции коэффициента Шарпа через нахождение оптимальных значений вектора весов портфеля :



при условии соблюдения следующих линейных ограничений:

где и определяются соответственно по формулам:

Перебалансировка портфеля. Выбранные дивидендные акции приобретаются согласно оптимизированных весам и удерживаются в портфеле до следующей перебалансировки. Затем аналогичные шаги 1-3 повторяются для всех анализируемых кварталов в период с начала 2010 по конец 2018 гг.



Глава 3. Результаты динамической оптимизации портфеля высокодивидендных акций

Последняя глава данной работы состоит из двух разделов, первый из которых представляет собой обзор показателей эффективности управления портфелем, включающих оценку транзакционных издержек в виде комиссии брокера, различные показатели соотношения «риск-доходность», а также такие метрики по отслеживанию негативной части риска, как Gain-to-Pain ratio, максимальная просадка и стандартное отклонение отрицательной доходности портфеля в пересчёте на год. В то же время второй раздел посвящен аналитическому и графическому сравнению результатов используемых в работе стратегий по оптимизации портфеля дивидендных акций (копулы, портфельная теория Марковица, наивный подход) между собой, а также с бенчмарками в виде обычного индекса ММВБ и индекса ММВБ «Полный доход», который учитывает реинвестирование дивидендных выплат.

3.1 Показатели эффективности управления портфелем

Для последовательной проверки гипотез о преимуществе использования копул с целью оптимизации портфеля высокодивидендных бумаг перед традиционным и наивным подходами, а также бенчмарками российского фондового рынка необходимо ввести определённый набор показателей для сравнения. Далее будет приведен обзор метрик эффективности управления портфелем по аналогии с работой Ацканов (2018).

Наиболее простым показателем для сравнения результатами двух портфелей является накопленная доходность. Несмотря на то, что данная метрика полностью игнорирует уровень риска, психологический стресс, который мог испытывать инвестор в ходе динамической ребалансировки портфеля, она считается традиционной в инвестиционной среде:

где - это стоимость портфеля на конец периода активного управления;

- это стоимость инвестиционного портфеля в начале периода.

Другим показателем, оценивающим доходность портфеля, но уже в годовом выражении является AR (Annual Return), который представляет собой кумулятивную доходность, приведённую к периоду в один год по формуле сложного процента. Данную метрику можно также трактовать, как годовую доходность, которую инвестор в среднем получал на протяжении анализируемого период при использовании данной стратегии.

где N - продолжительность управления портфелем (в годах).

В данной работе помимо среднегодового стандартного отклонения, которое является классической риск-метрикой Markowitz (1952), Sharpe (1964), используется показатель максимального убытка по портфелю, демонстрирующий степень стресса, который испытывает инвестор-рискофоб при значительном падении стоимости его активов.



где - это максимальная стоимость инвестиционного портфеля до момента времени t.

В то же время ряд исследователей критикуют среднегодовое стандартное отклонение, как наиболее распространенную риск-метрику, так как оно иллюстрирует совокупность не только отрицательной волатильности, но и положительной, которая по всей видимости не снижает уровень полезности даже для инвесторов, обладающих высокой степенью неприятия риска. Таким образом, критики классического стандартного отклонения предлагают использовать среднегодовое стандартное отклонение отрицательной доходности, которое определяется по формуле:

где - это доходности портфеля на момент времени i.

Вместе с тем, некорректно сравнивать эффективность управления портфелем исключительно через доходность или степень риска, так как разные инвесторы обладают различным уровнем толерантности к волатильности. Именно поэтому традиционно при сравнении двух инвестиционных портфелей применяют коэффициент Шарпа (Sharpe (1966)), который показывает соотношение среднегодовой доходности инвестированных средств к волатильности стоимости портфеля, то есть, к стандартному отклонению:

...