Розв'язування задач сфероїдної геодезії

Размещено на http://www.allbest.ru/

42

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Національний університет водного господарства та природокористування

Кафедра землеустрою, геодезії та геоінформатики

Курсова робота

З дисципліни «Вища геодезія»

На тему: «Розв'язування задач сфероїдної геодезії»

Виконав: студент IІІ курсу групи ГІС - 31

Луцюк Ю.В.

Перевірив: Кошицький П.Г.

Рівне - 2012

Зміст

Вступ

Завдання 1. Обчислення довжини дуги меридіану

Завдання 2. Обчислення довжини дуги паралелі

Завдання 3. Обчислення довжин сторін та площі знімальної трапеції

Завдання 4. Наближене розв'язування трикутників за теоремою Лежандра

Завдання 5. Наближене розв'язування трикутників способом аддитаментів

Завдання 6. Розв'язування прямої геодезичної задачі способом допоміжної точки (спосіб Шрейбера

Завдання 7. Розв'язування прямої геодезичної задачі за формулами Гауса із середніми аргументами

Завдання 8. Розв'язування оберненої геодезичної задачі за формулами Гауса із середніми аргументами

Завдання 9. Пряма задача проекції Гауса - Крюгера (перехід з поверхні еліпсоїду на площину

Завдання 10. Розрахунок геодезичних координат пункту за плоскими прямокутними координатами

Висновок

Список використаної літератури

Вступ

Вища геодезія - наука про фігуру та зовнішнє гравітаційне поле Землі. Завдання вивчення фігури та гравітаційного поля Землі, як основної задачі вищої геодезії, розв'язується за результатами вимірів на земній поверхні. Це геодезичні виміри в мережах тріангуляції, трилатерації, полігонометрії та нівелювання 1 класу, гравіметричні виміри потенціалу сили тяжіння, астрономо-геодезичні виміри широт і довгот пунктів та азимутів напрямів на земній поверхні, а також супутниково-навігаційні спостереження з метою визначення координат точок земної поверхні.

Земний еліпсоїд - геометрична форма із встановленими параметрами форми та розмірів, яка математично найкраще описує фігуру Землі і зорієнтована у її тілі.

Референц-еліпсоїд - еліпсоїд, який має визначені розміри, певним чином зорієнтований у тілі Землі і використовується як математична основа при обробці геодезичних вимірів та створенні опорної мережі окремої держави чи держав континенту. Його параметри встановлені за вимірами на території цих держав. Поверхня референц - еліпсоїду є відносною координатною поверхнею для розв'язування геодезичних задач. В Україні прийнято референц-еліпсоїд Красовського 1942 р.

Сфероїдна геодезія - розділ вищої геодезії, який вивчає геометрію поверхні прийнятого референц - еліпсоїду і методи розв'язування геодезичних задач на цій поверхні з метою зображення її на сфері та площині, а також для визначення координат геодезичних пунктів у єдиній державній системі.

Курсова робота „Розв'язування задач сфероїдної геодезії" спрямована на засвоєння основних принципів та методів обробки результатів геодезичних вимірів, які проводять при створенні державних геодезичних мереж в системі референц-еліпсоїду Красовського. В курсовій роботі пропонується розв'язування найбільш типових задач сфероїдної геодезії.

Завдання 1. Обчислення довжини дуги меридіану

А₁ - точка на меридіанному еліпсі з широтою В₁. А₂ - точка на меридіанному еліпсі з широтою В₂ .

Якщо різниця широт точок А₁ та А₂ виражається величиною B₂ - B₁ = dB , то при dB > 0 елементарна дуга меридіанного перерізу ds= MdB , а довжина дуги s виражається інтегралом

(1)

(2)

М - радіус кривизни меридіанного перерізу ;

(3)

W - перша функція геодезичної широти; а - велика піввісь та e - перший ексцентриситет референц-еліпсоїду. Оскільки еліптичний інтеграл (1) не виражається елементарними функціями, то підінтегральну функцію розкладують в ряд. Число членів ряду встановлюється в залежності від точності визначення довжини s і протяжності дуги А₁А₂. Тому для практичних потреб користуються різними формулами розрахунку довжини дуги меридіану:

1) загальна формула для дуги меридіану довільної довжини

(4)

A,B,C,D - сталі коефіцієнти прийнятого референц-еліпсоїду; с - число кутових одиниць (градусів, хвилин чи секунд) в одному радіані;

- середня широта дуги А₁ А₂.

2) формула для дуги меридіану довільної довжини від екватора до точки А₁ з широтою В₁

(5)

3) формула для довжини дуги меридіану при обчисленнях в тріангуляції на віддалі порядку сотень кілометрів

(6)

Радіус кривизни меридіанного перерізу М_т обчислюється за середньою широтою В_т .

4) формула для довжини дуги меридіану при обчисленнях в тріангуляції на віддалі 45 кілометрів



(7)

При обчисленні довжини дуги меридіану для вибору робочої формули можна попередньо встановити приблизне значення довжини, враховуючи, що приросту широти dB =1° вздовж меридіанного перерізу відповідає довжина дуги перерізу 110 км.

За умови точності широти точки m_B = 0,0001'' всі зазначені формули забезпечують середню квадратичну помилку довжини дуги меридіану m_S = 0,001 м.

Послідовність виконання завдання.

Обчислити довжину дуги між точками меридіану з широтами

B₁ = 48° 30' 48,1111'' - N' та B₂ = 49° 30' 49,2222'' + N' ; N - номер варіанту.

Вихідні дані.

Номер варіанту N = 42

B1	48° 30' 48,1111'' - N'	47° 48' 48,1111''	47?,81336419
B2	49° 30' 49,2222'' + N'	50° 12' 49,2222''	50?,21367283

Сталі величини

а	6378245 м	eІ	0,00669342	с°	57?,29577951
А	1,00505177	В	0,00506238	С	0,00001062	D	0,00000002

Обчислення довжини дуги меридіану за формулою (4):

Позначення дій	Результати
Вm	49?,01351851
a(1-e2)	6335552,717
A(B2-B1)/с	0,04210492
Bsin(B2-B1)cos2Bm	-0,00002961
C/2sin2(B2-B1)cos4Bm	-0,00000043
D/3sin3(B2-B1)cos6Bm	0,00000000
s (м)	266942,829

Обчислення довжини дуги меридіану за формулою (6):

Позначення дій	Результати
Wm=?1-e2 sin2 Bm	0,99809115
Mm	6371972,436
Mm (B2-B1)/с	266942,8816
	-0,00000021
s (м)	266942,827

Завдання 2. Обчислення довжини дуги паралелі

А₁ і А₂ - точки на паралелі з широтою В. L₁ та L₂ - довготи точок А₁ і А₂. Паралель на земному еліпсоїді утворює коло. Радіус r паралелі з широтою В виражається формулою:

(8)

(9)

N - радіус кривизни перерізу першого вертикалу. Переріз першого вертикалу - це крива на поверхні еліпсоїду, утворена перетином поверхні еліпсоїду нормальною площиною, яка перпендикулярна до площини меридіанного перерізу у даній точці.

- перша функція геодезичної широти; а - велика піввісь та е - перший ексцентриситет референц-еліпсоїду.

Дуга паралелі між точками А₁ та А₂ є дугою кола з центральним кутом, який дорівнює різниці довгот кінцевих точок дуги Довжина s дуги паралелі з широтою В, яка відповідає різниці довгот виражається формулою . Остаточно

(10)

За умови точності широти і довгот точок формула (10) забезпечує середню квадратичну помилку довжини дуги паралелі м.

Послідовність виконання завдання.

Обчислити довжину дуги між точками паралелі з широтою B=48°30'48,1111'' - N' та довготами L₁ = 25° 30' 25,1111'' - N', L₂=27°30'27,2222'' + N' ; N - номер варіанту.

Вихідні дані

Номер варіанту N = 42

В			47?,81336419
L1			24?,80697531
L2			28?,20756172

Сталі величини

а	6378245 м	е2	0,00669342	с?	57?,29577951

Обчислення довжини дуги меридіану за формулою (10):

Позначення дій	Результати
	3,40058642
	0,99816089
	6389996,935
S (м)	254688,157

Завдання 3. Обчислення довжин сторін та площі знімальної трапеції

Сторони знімальної трапеції чи листа карти заданого масштабу є лініями меридіанів та паралелей на поверхні земного еліпсоїду. Тому обчислення натуральних розмірів та площі знімальної трапеції - це визначення частини поверхні еліпсоїду в межах ліній меридіанів та паралелей, які окреслюють лист карти заданого масштабу.

Размещено на http://www.allbest.ru/

42

Розміри знімальної трапеції на поверхні еліпсоїду описуються наступними параметрами:

- південна а₁ та північна а₂ сторони, які на поверхні еліпсоїду є дугами паралелей з широтами відповідно В₁ та В₂. Дуги а₁ та а₂ окреслюються меридіанами з довготами L₁ та L₂. Для північних широт завжди а₁ > а₂;

- західна та східна сторони с, які на поверхні еліпсоїду є дугами меридіанів, окреслених паралелями з широтами В₁ та В₂, тому завжди рівні між собою;

- діагональ d трапеції

(11)

З інтегрування виразів для південної та північної сторін трапеції маємо формули розрахунку довжин дуг а₁ та а₂ на широтах відповідно В₁ та В₂:

(12)

(13)

Для карти масштабів 1:100000 і крупніше натуральні розміри знімальної трапеції дають підстави наближено вважати її розташованою на поверхні сфери. В таких випадках при розрахунку довжини сторони с достатньо користуватись формулою вигляду

(14)

де радіус кривизни меридіанного перерізу розраховується за значенням першої функції геодезичної широти при середній широті дуги

Для вираження площі трапеції Р після інтегрування остаточно маємо робочу формулу вигляду

(15)

де b - мала піввісь і - сталі коефіцієнти прийнятого референц-еліпсоїду.

Геодезичні координати вершин та сторін знімальної трапеції можна визначити за номенклатурою листа карти заданого масштабу.

Територія України розташована в межах дев'яти знімальних трапецій масштабу 1:1000000 з номенклатурами L-34, М-34, L-35, М-35, L-36, М-36,

N-З6, L-37, М-37.

Різниця широт північної та південної сторін кожної трапеції масштабу 1:1000000 складає , а різниця довгот східної та західної сторін трапеції - .

Одна трапеція масштабу 1:1000000 поділяється на 144 трапеції масштабу 1:100000 і кожній з них присвоюється номенклатура відповідно до порядкового номера від 1 до 144.

Для сторін трапеції масштабу 1:100000 різниця широт складає різниця довгот .

Одна трапеція масштабу 1:100000 поділяться на 4 трапеції масштабу 1:50000 і кожній з них присвоюється номенклатура за літерами А, Б, В, Г. Для сторін трапеції масштабу 1:50000 різниця широт різниця довгот Ділення окремої трапеції масштабу 1:50000 на трапеції крупніших масштабів проводиться у відповідності з діючими правилами розграфки листів карт заданих масштабів.



За геодезичними координатами точки, розташованої на поверхні земного еліпсоїду, можна визначити її приналежність листу карти чи знімальній трапеції будь-якого потрібного масштабу за геодезичними координатами вершин та сторін цієї трапеції.

Послідовність виконання завдання.

Задано геодезичні координати точки А на поверхні земного еліпсоїду: широта довгота N - номер варіанту. Визначити приналежність точки А знімальній трапеції масштабу меридіана геодезичний координата шрейбер

1: 50000, номенклатуру та геодезичні координати рамки відповідного листа і розрахувати довжини сторін та площу цієї трапеції.



Вихідні дані

Номер варіанту N = 42

ВА		52° 55' 01,1111''
LA		43° 11' 11,1111''

Сталі величини

а	6378245 м		0,00669342		57°,29577951
А'	1,00336361	В'	0,00112403	С'	0,00000170	b	6356863,019 км

Номенклатура листа карти масштабу 1:50000. N - 38 - 111 - A

Геодезичні координати сторін трапеції

В1	52° 50'	52°,83333333
В2	53° 00'	53°
L1	43° 00'	43°
L2	43° 15'	43°,25

Обчислення довжин сторін трапеції за формулами (11),(12),(13),(14):

Позначення дій	Результати	Позначення дій	Результати
	0,99787251		0,99786312
	6391843,596		6391903,717
а1(м)	16849,148	а2(м)	16784,586
а1 ( см карти)	33,70	а2 (см карти)	33,57
	52,91666667
	0,99786781
	6376251,896
с ( м )	18547,765	d ( м )	25036,484
с( см карти )	37,10	d (см карти )	50,07

Обчислення площі трапеції за формулою ( 15 ):

Позначення дій	Результати	Позначення дій	Результати
	352641,2223		0,00087994
	-0,00000457		0,00000000
Р ( км2 )	311,9155	Р ( га )	31191,55

Завдання 4. Наближене розв'язування трикутників за теоремою Лежандра

Після визначення кінцевих значень виміряних кутів або напрямків у тріангуляції на поверхні еліпсоїду розпочинають розв'язування трикутників, яке зводиться до послідовного обчислення довжин їх сторін за одним виміряним базисом і кутами трикутників. При довжинах сторін до 90 км розбіжностями між поверхнею еліпсоїду і сферою можна нехтувати, а трикутники вважати сферичними. Отже, їх можна розв'язувати за правилами сферичної тригонометрії.

Сферичний трикутник Плоский трикутник

Теорема Лежандра: Малий сферичний трикутник АВС можна розв'язувати як плоский, якщо кожний з його кутів А, В, С зменшити на третину сферичного надлишку:



Кути А, В, С називають плоскими приведеними кутами. Величину називають сферичним надлишком трикутника. Оскільки , то Тому слід розглядати як різницю сум кутів сферичного і плоского трикутників.

R_m - радіус сфери, який дорівнює середньому радіусу кривизни поверхні еліпсоїду, на якій побудований трикутник:

;

- перша функція геодезичної середньої широти трикутника; а, Ь - велика та мала півосі, е - перший ексцентриситет референц-еліпсоїду.

З метою забезпечення точності обчислень довжин сторін m_s = 0,001 м у тріангуляції1 класу помилка е не повинна перевищувати величини порядку m_s = 0,0005''.

При довжинах сторін трикутника не більше 90 км його сферичний надлишок не перевищує величини е'' 17''.

Якщо розв'язування сферичного трикутника розпочинати за виміряними кутами, то попередньо потрібно позбутися його кутової нев'язки і визначити виправлені сферичні кути. Кожен з виправлених кутів розраховують як суму виміряного кута і поправки , де нев'язка . Далі за обчисленими плоскими приведеними кутами та довжиною вихідної сторони трикутник розв'язують на основі теореми синусів плоскої тригонометрії:

Послідовність виконання завдання.

Розв'язати два малих сферичних трикутники, зображених на схемі, якщо довжина вихідної сторони метрів, середня широта N - номер варіанту. Виміряні сферичні кути трикутників приведено в таблиці.

Вихідні дані

Результати вимірів кутів

№ трикутника	Позначення кутів	Виміряні сферичні кути
1	А1
	В1
	С1
2	А2
	В2
	С2

Номер варіанту N = 42

Довжина вихідної сторони	c1 = (70000- 500 * N)	49000 метрів
Середня широта	48°01'01,1111' + 7'*N	52° 55' 01,1111"

Сталі величини

b	6356863,019 м	е2	0,00669342	с°	57°,29577951

Робочі формули

Радіус сфери



= 6384058,220

Трикутник №1

Трикутник №2

Відомість наближеного розв'язування трикутників.

№ три кутн	Верш	Виміряні сферичні кути	-w/3	Виправлені сферичні кути	-є/З	Виправлені плоскі кути	Синуси кутів	Довжини сторін
1	С	49° 59' 51,20"	1,065	49° 59' 52,265"	-2,029	49° 59' 50,237"	0,76601402	49000,000
	В	51° 33' 02,51"	1,065	51° 33' 03,575"	-2,029	51° 33' 01,547"	0,78315577	50096,515
	А	78° 27' 09,18"	1,065	78° 27' 10,245"	-2,029	78° 27' 08,217"	0,97975833	62672,689
	У1	180° 00' 02,89"	3,196"	180° 00' 6,086"	-6,086"	180°00' 00,000"
	е1	6,086"
	w1	-3,196"
2	D	59° 25' 19,10"	2,169	59° 25' 21,269"	-2,819	59° 25' 18,450"	0,86093557	62672,689
	В	51° 46' 48,52"	2,169	51°46' 50,689"	-2,819	51° 46' 47,870"	0,78564059	57191,513
	С	68° 47' 54,33"	2,169	68° 47' 56,499"	-2,819	68° 47' 53,680"	0,93231272	67868,661
	У2	180° 00' 01,95"	6,506"	180° 00' 08,456"	-8,456"	180°00' 00,000"
	е2	8,456"
	w2	-6,506"

Завдання 5. Наближене розв'язування трикутників способом аддитаментів

Сторони сферичного трикутника ABC можна виразити в частинах радіусу R кривизни поверхні сфери через виміряні кути А, В, С і вихідну сторону а за теоремою синусів співвідношеннями такого вигляду:

для сторони b

для сторони с

Якщо синуси сторін розкласти в тригонометричний ряд, то після спрощення виразів з точністю малих величин до четвертого порядку отримаємо:

для сторони b ;

для сторони с

Члени форму; розкладуємо в біноміальний ряд (1-x)^-1 = 1 + x + x² + … i з такою ж точністю остаточно отримаємо:

для сторони b ;

для сторони с

Величини , , називають аддитаментами.

Аддитаменти - це поправки до сторін сферичного трикутника, з врахуванням яких його можна розв'язувати за сферичними кутами на основі теореми синусів плоскої тригонометрії. Отже,

для сторони b ;

для сторони с

Числові значення аддитаментів невідомих сторін можна розраховувати за приблизними значеннями їх довжин:

та

Отримані формули дійсні при розв'язуванні сферичних трикутників з довжинами сторін до 200 км.

Для забезпечення точності обчислень довжин сторін m_s = ±0,001 м у тріангуляції 1 класу при обчисленні аддитаментів середній радіус R кривизни поверхні сфери достатньо вважати постійним для поясу між паралелями протяжністю ±5° відносно середньої широти В_m . Оскільки пояс в 10° по широті відповідає 1000 км, то середньою широтою В_m можна вважати широту деякої середньої точки мережі тріангуляції, якщо віддаль від неї до крайніх точок досягає 500км у напрямі з півдня на північ. Оскільки територія України розташована в широтах приблизно від 44° до 52°, то практично при обчисленні аддитаментів достатньо прийняти середню широту В_m 48° і середній радіус кривизни поверхні сфери R = 6 380 461м.

Якщо розв'язування сферичного трикутника розпочинати за виміряними кутами, то попередньо потрібно позбутися його кутової нев'язки і визначити виправлені сферичні кути. Кожен з виправлених кутів розраховують як суму виміряного кута і поправки -w/3, де нев'язка w = A + B + C - 180° - е. е - сферичний надлишок трикутника.

Послідовність виконання завдання.

Розв'язати два малих сферичних трикутники, зображених на схемі, якщо довжина вихідної сторони метрів, середня широта N - номер варіанту. Виміряні сферичні кути трикутників приведено в таблиці

Вихідні дані

Результати вимірів кутів.

№ трикутника	Позначення кутів	Виміряні сферичні кути
1	A1	78° 27' 09,18"
	B1	51° 33' 02,51"
	C1	49° 59' 51,20"
2	А2	59° 25' 19,10"
	B2	51° 46' 48,52"
	С2	68° 47' 54,33"



Номер варіанту N = 9

Довжина вихідної сторони	c1 = (70000- 500 * N)	49000 метрів
Середня широта	48°01'01,1111' + 7'*N	52° 55' 01,1111"

Сталі величини

b	6356863,019 м	е2	0,00669342	с°	57°,29577951

Робочі формули

Трикутник №1

Трикутник №2

Відомість наближеного розв'язування трикутників

№ тр.	Верш,	Виміряні сферичні кути	-w/3	Виправлені сферичні кути	Синуси кутів	Приблизні довжини	Аддита- менти	Довжини сторін
1	С	49° 59' 51,20"	1,065	49° 59' 52,265"	0,76602034	-	0,00000982	49000,000
	В	51° 33' 02,51"	1,065	51° 33' 03,575"	0,78316188	50096,493	0,00001026	50096,515
	А	78° 27' 09,18"	1,065	78° 27' 10,245"	0,97976029	62672,297	0,00001606	62672,689
	У1	180° 00' 02,89"	3,196"	180° 00' 06,086"
	е1	6,086"
	W1	-3,196"
2	D	59° 25' 19,10"	2,169	59° 25' 21,269"	0,86094252	-	0,00001606	62672,689
	В	5 1° 46' 48,52"	2,169	51° 46' 50,689"	0,78564904	57191,667	0,00001338	57191,513
	С	68° 47' 54,33"	2,169	68° 47' 56,499"	0,93231766	67868,291	0,00001884	67868,661
	У2	180° 00' 01,95"	6,506"	180° 00' 08,456"
	е2	8,456"
	w2	-6,506"

Завдання 6. Розв'язування прямої геодезичної задачі способом допоміжної точки (спосіб Шрейбера)

Результати геодезичних вимірів визначають відносне взаємне положення геодезичних пунктів за відстанями між ними і кутами фігур, які вони утворюють. Абсолютне положення пунктів на земному еліпсоїді найбільш оптимально визначається їх координатами в геодезичній (географічній) системі. Геодезичні широта, довгота і азимут виражають положення пунктів та орієнтування напрямів між ними відносно ліній меридіанів та паралелей на поверхні земного еліпсоїду. Визначення геодезичних координат і азимутів - мета основних геодезичних робіт.

А і В - пункти на поверхні еліпсоїдузгеодезичними координатами B_1, L₁ і В₂, L₂, АР - меридіан т А; ВР - меридіан тВ. А₁₂ і А₂₁ - прямий і зворотній азимути напряму АВ. s - довжина геодезичної лінії АВ.

Задача, в якій за значеннями величин B₁,L₁, A₁₂ та s розраховують значення B₂,L₂ та
А₂₁, називається прямою геодезичною задачею.

Задача, в якій за значеннями величин B₁,L₁ та B₂,L₂ розраховують значення A₁₂ , А₂₁ та s, називається оберненою геодезичною задачею.

Пряму і обернену геодезичні задачі називають головними геодезичними задачами.

При розв'язуванні головних геодезичних задач з метою забезпечення потрібної точності кінцевих результатів обчислень необхідно дотримуватись повної відповідності між точністю вихідних даних та точністю робочих формул. Така вимога викликана тим, що формули, які використовуються у вибраному способі розв'язування, є результатом розкладу в ряди тих чи інших диференційних чи тригонометричних співвідношень на поверхні еліпсоїду. В цьому розумінні всі формули є нестрогими і неточними. Використовуючи певне число членів ряду, можна отримати результат розрахунку з різною точністю. Практично, виходячи з точності вихідних даних та заданої точності кінцевого результату обчислень за формулою, встановлюється число членів ряду, які потрібно враховувати у вигляді поправочних коефіцієнтів. Інші члени ряду, як малі величини порівняно з точністю результату розрахунку, відкидаються. Критерієм точності формули є степінь малої величини, якою нехтують у остаточному вигляді формули.

Найчастіше такою малою величиною є відношення s/R . Для забезпечення потрібної точності обчислень формулу можна вважати практично точною, якщо вона включає відповідне число поправочних коефіцієнтів та містить десятикратний запас (порядок) точності.

Розв'язування прямої геодезичної задачі способом допоміжної точки виконується посереднім шляхом - обраховують насамперед різниці координат пунктів, а за ними - абсолютні значення координат. За умови використання робочих формул приведеного нижче вигляду, спосіб забезпечує розрахунок геодезичних координат пунктів у тріангуляції 1 класу з точністю десятитисячних часток секунди, азимутів - з точністю тисячних часток секунди.

С - допоміжна точка поверхні еліпсоїду, розташована на меридіані т А так, що геодезична лінія СВ має азимут A_CB = 90°. Точка С має геодезичні координати B₀, L₁.

Черговість дій при розв'язуванні прямої геодезичної задачі способом допоміжної точки:

/. Обчислення широти точки С

B₀=B₁+b (16)

b - різниця широт пункту А і точки С

(17)

де - перша функція геодезичної широти пункту А;

- радіус кривизни меридіанного перерізу в п.А;

u = s cosA₁₂; v = s sinA₁₂ ; u,v - проміжні умовні позначення; а і e - велика піввісь і перший ексцентриситет земного еліпсоїду.

При s < 30км поправочним коефіцієнтом у формулі (17) можна нехтувати.

2.Обчислення широти пункту В

B₂ = B₀ - d = B₁ + b - d (18)

d - різниця широт пункту B і точки С

(19)

де - перша функція геодезичної широти точки С ;

с - різниця довгот пункту В і точки С

(20)

; ф = c tgB₀ ; л i ф - проміжні величини; e' - другий ексцентриситет еліпсоїду.

При s < 30 км поправочним коефіцієнтом у формулі (19) можна нехтувати.

3.Обчислення довготи пункту В

L₂ = L₁ + l (21)

l - різниця довгот пунктів А і В (приблизне значення різниці l. виражає величина л).

(22)

При s < 30км поправочним коефіцієнтом у

формулі (22) можна нехтувати.

4. Обчислення зворотного азимуту A₂₁

A₂₁ = A₁₂ 180° + t - е (23)



t - кут, утворений на поверхні еліпсоїду кривою ВР меридіанного перерізу в пункті В та кривою ВТ, яка паралельна меридіанному перерізові у пункті А. Кут t називають зближенням меридіанів у пункті В. Приблизне значення зближення меридіанів t виражає величина ф .

(24)

е - сферичний надлишок трикутника ABC

(25)

При s < 30км поправочним коефіцієнтом у формулі (24) можна нехтувати.

Послідовність виконання завдання.

Розв'язати пряму геодезичну задачу, якщо геодезична широта пункту А B₁=48°01'01,1111'+7'*N , геодезична довгота пункту А L₁=22°11'11,1111'+30'*N прямий азимут напряму АВ A₁₂=1°01'01,111'+3°*N , довжина геодезичної лінії c₁ = (70000 - 500 * N) метрів, N - номер варіанту.

Вихідні дані

Номер варіанту N = 42

B1= 48°01'01,1111'+7'*N	52° 55' 01,1111"	52°,91697531
L1=22°11'11,1111'+30'*N	43° 11' 11,1111''	43°,18641975
A12=1°01'01,111'+3°*N	127° 01' 01,111"	127°,01697528
s = (70000 - 500 * N)	49000 метрів



Сталі величини

а	6378245 м	e2	0,00669342	e'2	0,00673853	с°	57°,29577951

Обчислення широти точки С

Позначення дій	Результати	Позначення дій	Результати
W1=	0,99786780	p	-0,26508610
M1=	6376252,229	uW1sin2B1	-0,00002244
u = s cos A12	-29500,529		0,00001252
v = s sin A12	39124,401		-0,00000002
b	-0°,26509537	B0	52°,65187994
	-01° 44' 05,6567"		52° 39' 06,7678"

Обчислення широти пункту В

Позначення дій	Результати	Позначення дій	Результати
W0=	0,99788274		0,00141001
с =	0,35071041		0,00001072
	0,00000356		0,00000848
с	0°,35070916		0,00000011
л =	0°,57810193	d	0°,00140998
ф = c tgB0	0°,45957037	B2	52°,65046995
			52° 39' 01,6918"

Обчислення довготи пункту В

Позначення дій	Результати	Позначення дій	Результати
	0,00002145	л	0°,57808953
	0,00000000	L2	43°,76450928
			43° 45' 52,2334"



Обчислення зворотного азимуту

Позначення дій	Результати	Позначення дій	Результати
е =	-0,00081129	t	0°,45955761
	0,00001697	A21	307°,47734418
	0,00000008		307° 28' 38,439"

Завдання 7. Розв'язування прямої геодезичної задачі за формулами Гауса із середніми аргументами

Якщо відомі координати B₁ , L₁ початкового пункту А, азимут А₁₂ та довжина елементу геодезичної лінії ds, то координати B₂,L₂ кінцевого пункту В лінії та її азимут А₂₁ є функціями довжини лінії s:

Якщо функції f₁ розкласти в ряд Маклорена виду

то для різниць широт , довгот та азимутів , отримаємо систему рівнянь

(26)

Індекс „1" вказує, що значення похідних обчислюються за аргументами B₁,L₁,A₁₂. Всі потрібні похідні можна визначити із системи вихідних диференційних рівнянь поверхні еліпсоїду

де - друга функція геодезичної широти; радіус кривизни меридіанного перерізу в полюсі при В = 90°; а, e' - велика піввісь та другий ексцентриситет еліпсоїду. Якщо значення похідних виразити аргументами середньої широти та середнього азимуту, то в рядах (26) будуть відсутні парні похідні і ряди будуть краще сходитись. При розв'язуванні геодезичних задач це дає можливість обмежуватись меншим числом членів розкладу, забезпечуючи при цьому потрібну точність результатів. Для забезпечення точності розрахунку координат і азимутів у тріангуляції І класу у формулах розрахунку різниць широт, довгот і азимутів достатньо зберігати члени рядів з малими величинами у третій степені. З такою точністю формули мають вигляд:

;(27)

;(28)

(29)

Тепер

В отриманих формулах різниці координат і азимутів виражаються функціями В_т та А_т, а також b та l, які невідомі. Тому завдання розв'язують послідовними наближеннями. У першому наближенні

За значеннями , користуючись формулами (27) - (29), у другому наближенні розраховують Наближення повторюють, доки результати розрахунків у двох суміжних наближеннях не будуть рівні між собою.

Послідовність виконання завдання.

Розв'язати пряму геодезичну задачу, якщо геодезична широта пункту А B₁=48°01'01,1111'+7'*N , геодезична довгота пункту А L₁=22°11'11,1111'+30'*N прямий азимут напряму АВ A₁₂=1°01'01,111'+3°*N , довжина геодезичної лінії c₁ = (70000- 500 * N) метрів N - номер варіанту.



Вихідні дані

Номер варіанту N = 42

B1= 48°01'01,1111'+7'*N	52° 55' 01,1111"	52°,91697531
L1=22°11'11,1111'+30'*N	43° 11' 11,1111''	43°,18641975
A12=1°01'01,111'+3°*N	127° 01' 01,111"	127°,01697528
c1 = (70000 - 500 * N)	49000 метрів

Сталі величини.

6378245 м	e'2	0,00673853	с°	57°,29577951

Наближення (1)
Позначення дій	Результати	Позначення діяння дій	Результати
	6399698,916		1,00122423
	-0,26508610		0,46400101
	0,58162792
	52,78443226		127,24897578
Позначення дій	Результати в наближеннях Наближеннях
	(2)	(3)	(4)	(5)
Vm=	1,00123172	1,00123177	1,00123176	1,00123176
	0,00000859	0,00000848	0,00000848	0,00000848
	0,00000272	0,00000269	0,00000269	0,00000269
	0,00000089	0,00000090	0,00000090	0,00000090
	-0,26651345	-0,26650237	-0,26650237	-0,26650237
	0,57808395	0,57808840	0,57808848	0,57808848
	0,46036618	0,46036536	0,46036546	0,46036545
B	-0,26651646	-0,26650535	-0,26650535	-0,26650535
л	0,57808501	0,57808943	0,57808951	0,57808951
t	0,46036970	0,46036886	0,46036895	0,46036895
Bm=	52,78371707	52,78372263	52,78372263	52,78372263
Am=	127,24716013	127,24715971	127,24715975	127,24715975

Кінцеві результати

Позначення дій	Результати зтати
B2 = B1 + b	52°,65046996	52° 39' 01,6918"
L2 = L1 + л	43°,76450926	43° 45' 52,2333"
A21 = A12 ±180є+ t	307°,47734423	307° 28' 38,439"

Завдання 8. Розв'язування оберненої геодезичної задачі за формулами Гауса із середніми аргументами

Для розв'язування оберненої геодезичної задачі, в якій за значеннями геодезичних координат B₁,L₁ та B₂, L₂ пунктів А та В розраховують значення азимутів A₁₂, A₂₁ та довжини s геодезичної лінії АВ, найбільш оптимально використовувати обернений алгоритм розв'язування за формулами Гауса із середніми аргументами (27)-(29). Черговість дій при розв'язуванні оберненої геодезичної задачі за формулами Гауса із середніми аргументами:

1.Обчислення різниць координат B₂ - B₁ = b, L₂ - L₁ = l та середньої широти

2.Обчислення сум поправочних коефіцієнтів у формулах (27) та (28)



3.Обчислення середнього азимуту А_т .

Оскільки

то звідси виражаємо допоміжні величини Р та Q:

де - друга функція середньої геодезичної широти;

- радіус кривизни меридіанного перерізу в полюсі при В = 90°; а, e' - велика піввісь та другий ексцентриситет еліпсоїду. З останніх двох рівнянь маємо: .

Обчислення довжини геодезичної лінії

Обчислення зближення меридіанів t за формулою (29)

Обчислення азимутів

Наведені формули за точністю результатів розрахунків дійсні для віддалей такого ж порядку, що й у прямій геодезичній задачі.

У порівнянні з іншими способами розв'язування оберненої геодезичної задачі спосіб Гауса з формулами із середніми аргументами виділяється простотою робочих формул, тому розглядається як найбільш оптимальний. Оскільки за умовою задачі один із середніх аргументів В_т можна розрахувати завчасно, то незручність, яка має місце у прямій задачі (застосування послідовних наближень), у оберненій задачі відсутня.

Послідовність виконання завдання.

Розв'язати обернену геодезичну задачу, якщо геодезична широта пункту А B₁=48°01'01,1111'+7'*N, геодезична довгота пункту А L₁=22°11'11,1111'+30'*N, N - номер варіанту. Геодезичні координати пункту В вибрати із завдання №7 B₂ = 52° 39' 01,6918" , L₂ = 43° 45' 52,2333"

Вихідні дані

Номер варіанту N = 42

...

B1= 48°01'01,1111'+7'*N	52° 55' 01,1111"	52°,91697531
L1=22°11'11,1111'+30'*N	43° 11' 11,1111''	43°,18641975
B2	52° 39' 01,6918"	52°,65046996

Подобные документы

• Розв'язування задач сфероїдної геодезії

  Обчислення довжини дуги меридіану та паралелі. Наближене розв'язування трикутників за теоремою Лежандра та способом аддитаментів. Пряма задача проекції Гауса-Крюгера і розрахунок геодезичних координат пункту за плоскими прямокутними координатами.
  
  курсовая работа [317,4 K], добавлен 10.05.2011
  

• Розвиток знімальної геодезичної мережі прокладанням теодолітного ходу. Горизонтальне знімання території

  Обчислення кутової нев'язки теодолітного ходу та координат його точок. Розрахунок дирекційних кутів і румбів сторін полігону. Побудова координатної сітки, нанесення ситуації на план. Визначення площі замкнутого полігону аналітичним і графічним способами.
  
  курсовая работа [38,5 K], добавлен 07.03.2013
  

• Створення планово-висотної основи стереофотограметричного методу зйомки на площі трапеції

  Сутність стереофотограметричного методу зйомки на площі. Фізико-географічна характеристика ділянки робіт. Розрахунок геодезичних та плоских прямокутних координат вершин рамки заданої трапеції та планово-висотних опорних точок; метрологічні прилади.
  
  курсовая работа [573,1 K], добавлен 05.10.2014
  

• Виконання геодезичних робіт у будівництві

  Призначення геодезії у будівництві, сучасні досягнення геодезичної науки та виробництва. Одиниці мір, що використовуються в геодезії. Вимірювання відстаней до недоступної точки за допомогою далекомірів. Загальнодержавні геодезичні мережі опорних точок.
  
  методичка [1,1 M], добавлен 15.09.2014
  

• Створення глобальних мереж методами супутникової геодезії

  Стан української мережі станцій супутникової геодезії. Системи координат, їх перетворення. Системи відліку часу. Визначення координат пункту, штучних супутників Землі в геоцентричній системі координат за результатами спостережень, методи їх спостереження.
  
  курсовая работа [2,2 M], добавлен 27.11.2015
  

• Застосування нарисної геометрії у геодезії

  Суть та область застосування метода проекцій з числовими відмітками. Визначення довжини прямої і кута її нахилу до основної площини. Особливість креслень в проекціях з числовими відмітками або планів. Взаємне положення двох площин, прямої та площини.
  
  методичка [44,0 K], добавлен 11.10.2009
  

• Основи геодезії

  Поняття державної геодезичної мережі, її призначення та функції. Створення геодезичної основи для виконання топографічного знімання. Особливості та головні етапи практичного застосування розрахункових формул оцінки точності на стадії проектування.
  
  курсовая работа [152,8 K], добавлен 26.09.2013
  

• Геодезическая подготовка перенесения проекта планировки поселения в натуру

  Вычисление проектных координат пересечения осей улиц и углов квартала. Проектирование плановой и высотной разбивочной сети. Перенесение точки на местность способом полярных координат. Вынесение в натуру проектной точки способом прямой угловой засечки.
  
  курсовая работа [269,0 K], добавлен 19.05.2016
  

• Складання технічного проекту геодезичних робіт для державних потреб

  Огляд топографо-геодезичної і картографічної забезпеченості території об’єкта. Створення проекту геодезичної основи для складання карти масштабу 1:2000. Проектування топографічної зйомки. Оформлення завершених матеріалів і складання технічних звітів.
  
  курсовая работа [4,6 M], добавлен 18.11.2011
  

• Проект геодезичних робіт при будівництві висотних будівель

  Архітектурно конструкторські характеристики. Створення планово-висотної мережі. Побудова та розрахунок точності просторової геодезичної мережі. Детальні розмічувальні роботи при будівництві підвальних поверхів. Виконавче знімання фундаменту та стін.
  
  курсовая работа [1,2 M], добавлен 24.04.2015
  

• Завантаження ортофотопланів та космознімків району робіт та проектування планової геодезичної основи

  Дослідження параметрів аерофотознімання. Розгляд абрису розташування опорних точок. Особливість орієнтування знімків. Вибір координат опорних точок. Проектування планової геодезичної основи. Вимоги та рекомендації інструкції до інженерної полігонометрії.
  
  лабораторная работа [340,8 K], добавлен 24.03.2019
  

• Інструкція по нівелюванню

  Методика нівелювання ІІ класу. Порядок спостереження на станції в прямому ході. Обробка журналу нівелювання по секції ходу (попередні обчислення). Зрівняльні обчислення: одиночного ходу, мережі, лінійних та нівелірних мереж параметричним способом.
  
  курсовая работа [712,9 K], добавлен 30.03.2015
  

• Оцінка точності при параметричному методі врівноваження

  Предмет науки геодезії та історія її розвитку. Значення планово-картографічного матеріалу в сільському господарстві. Суть завдання врівноваження геодезичних побудов та їх основні способи. Проведення оцінки точності при параметричному методі врівноваження.
  
  реферат [1,1 M], добавлен 14.11.2010
  

• Оценка качества и точности полевых измерений

  Цель предварительных вычислений в полигонометрии. Вычисление рабочих координат. Уравнивание угловых и линейных величин. Вычисление весов уравненных значений координат узловой точки. Оценка точности полевых измерений и вычисления координат узловой точки.
  
  лабораторная работа [84,2 K], добавлен 09.08.2010
  

• Комплекс геодезичних та землевпорядних робіт при складанні еколого-економічного проекту території Гарасимівської сільської ради Тлумацького району Івано-Франківської області

  Нормативно-правове забезпечення землеустрою. Аналіз фізико-географічних та екологічних умов території Гарасимівської сільської ради. Методи та способи геодезичних робіт в землеустрої. Охорона праці при проведенні геодезичних і землевпорядних робіт.
  
  дипломная работа [3,7 M], добавлен 24.08.2014
  

• Практичні рекомендації з дисципліни "Інженерні вишукування"

  Інженерні вишукування як комплексна дисципліна, основна концепція, мета вивчення. Методика розв’язання задач, які виносяться на практичні заняття, пов’язаних з економічними (тип І), транспортними (тип ІІ) та інженерно-геодезичними (тип ІІІ) вишукуваннями.
  
  методичка [87,7 K], добавлен 09.11.2010
  

• Складання проекту геодезичних робіт для державних потреб

  Розробка проекту топографо-геодезичних робіт для створення цифрових планів. Визначення чисельного та якісного складу працівників, необхідних для виконання даної роботи. Складання календарного графіку, кошторису на виконання польових та камеральних робіт.
  
  курсовая работа [1,0 M], добавлен 13.11.2014
  

• Системы координат и преобразования между ними

  Описание систем координат, применяемых в геодезии. Технологические схемы преобразования координат. Составление каталогов геодезических, пространственных прямоугольных, плоских прямоугольных координат Гаусса-Крюгера в системах ПЗ-90.02, СК-42, СК-95.
  
  курсовая работа [653,2 K], добавлен 28.01.2014
  

• Геодезия

  Предмет и задачи геодезии, понятия о форме и размерах Земли. Системы координат, принятые в геодезии. Система плоских прямоугольных координат Гаусса-Крюгера. Изображение рельефа на топографических картах и планах. Решение инженерно-геодезических задач.
  
  курс лекций [2,8 M], добавлен 13.04.2012
  

• Проект геодезичних робіт щодо створення цифрового плану місцевості М 1:500 на території виробництва ПАТ "Дніпроважмаш"

  Створення цифрового плану місцевості в масштабі 1:500 згідно польових даних на території ПАТ "Дніпроважмаш". Топографо-геодезичне забезпечення району робіт. Топографічне знімання території. Камеральна обробка результатів польових геодезичних вимірювань.
  
  дипломная работа [3,1 M], добавлен 13.08.2016
  

• главная
• рубрики
• по алфавиту
• вернуться в начало страницы
• вернуться к началу текста
• вернуться к подобным работам