Математическая обработка и статистика маркшейдерских и геодезических измерений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Конспект лекций

Математическая обработка и статистика маркшейдерских и геодезических измерений

Усть-Каменогорск, 2013



1. Виды геодезических измерений

Все измерения, в том числе геодезические, сводятся к сравнению какой-либо величины с другой одноименной величиной, принимаемой за единицу измерения. геодезический погрешность измерение

В геодезической практике измерения позволяют определить расположение отдельных точек земной поверхности или инженерных сооружений относительно друг друга и подразделяются на линейные, угловые и высотные. В отдельных случаях измерению подлежат: время, температура и влажность воздуха, давление.

Если измерение есть процесс сравнения двух одноименных величин, то в результате измерения мы получаем отвлеченное число, показывающее, во сколько раз измеряемая величина больше или меньше единицы измерения. Обозначив это число через n, измеряемую величину через L и единицу измерения через 1, можно записать равенство

L = 1 n. (1)

Так как практически всегда измеряемая величина и единица измерения несопоставимы, то точное определение значения n невозможно. Следовательно, и искомая величина будет определяться неверно.

Наиболее типичным примером такого измерения является измерение длины какого-либо отрезка местности путем последовательного укладывания вдоль этого отрезка мерного прибора, например, стальной ленты. Такое измерение называется прямым или непосредственным. Другим примером непосредственного измерения может служить измерение угла теодолитом. Однако не редки случаи, когда измерению подлежит не сама искомая величина, а нечто другое, функционально связанное с этой величиной. Такое измерение называется косвенным или посредственным. Примером таких измерений может служить определение стороны треугольника по измеренным другой стороне и двум углам треугольника. Этот пример показывает, что при косвенных измерениях требуются знания точных связей между искомой величиной и непосредственно измеряемыми величинами. Они должны быть известны еще до начала измерений. Например, формулы связи между сторонами и углами треугольника даются в тригонометрии (теорема синусов).

Как отмечалось выше, измерительный процесс сводится к совмещению и сравнению единицы измерения с измеряемой величиной. Как бы тщательно ни производилось это совмещение и сравнение и как бы совершенны не были при этом инструменты, всякое измерение неизбежно сопровождается погрешностью. Действительно, если произвести многократное измерение какой-либо величины, то результаты практически всегда будут отличаться один от другого. Это значит, что полученные результаты отличаются от действительного значения измеряемой величины, то есть, содержат погрешности. Следовательно, обозначив истинное значение величины через X, измеренное значение этой величины через 1 и разность меду 1 и Х через , получим равенство

= 1 - Х, (2)

где - истинная погрешность измеряемого значения.

Источником возникновения погрешностей измерения являются, главным образом, несовершенство органов чувств человека, недостатки измерительных приборов и влияние внешних условий, в которых производятся измерения (температура, влажность воздуха, давление, ветер, рефракции и так далее).

Поэтому правильная организация геодезических работ возможна лишь в том случае, если предварительно выполнен соответствующий расчет и предусмотрено влияние неизбежных погрешностей измерений. Однако и в этом случае избежать самих погрешностей и их накопления в процессе измерений невозможно.

Следовательно, выполнив измерения, надо уметь надлежащим образом их оценить и определить влияние неизбежных погрешностей на полученные результаты измерений. Кроме этого, необходимо осуществить математическую обработку материалов измерений, устранить противоречия, невязки, то есть выполнить уравнивание результатов измерений.

В геодезической практике основным инструментом такой математической обработки измерений является теория погрешностей и способ наименьших квадратов.

Теория погрешностей является частью теории вероятности и математической статистики и служит для оценки любых наблюдений (измерений), в том числе и измерений, выполняемых в процессе производства геодезических работ.

В процессе оценки и уравнения измерений необходимо учитывать и степень надежности измерений. Измерения, выполненные в условиях, позволяющих считать полученные результаты одинаково надежными, например, все углы в многоугольнике измерены одним и тем же теодолитом или теодолитами одинаковой точности, одним и тем же исполнителем или исполнителями одинаковой квалификации и при одинаковых внешних условиях, называются равноточными. Измерения же, произведенные в условиях, при которых результаты нельзя считать одинаково надежными, например, углы в многоугольнике измерены теодолитами разной точности и исполнителями разной квалификации, называются неравноточными. Примером неравноточных измерений может служить и тот случай, когда отметка строительного репера (Рп С) получена путем прокладки разных по протяженности нивелирных ходов от реперов (Рп 1, Рп 2 и Рп 3) государственной геодезической сети.

Очевидно, что при математической обработке равноточных и неравноточных измерений необходимо учитывать их степень надежности, степень доверия к результатам этих измерений. Степень доверия к результату измерения выражается числом, называемым весом данного измерения. Чем точнее выполненное измерение, тем больше степень доверия, тем больше вес данного измерения.

В процессе уравнивания результата измерений равноточным измерениям придают одинаковые веса, а неравноточным разные.

2. Погрешности измерений и их классификация

Погрешности измерений, в зависимости от источника их появления, подразделяются на инструментальные, личные и погрешности внешней среды.

Инструментальные погрешности обусловлены несовершенством приборов, применяемых в процессе измерений.

Личные погрешности обусловлены несовершенством органов чувств человека, появляющихся в процессе совмещения и сравнения единицы измерения с определяемой величиной.

Ошибки внешней среды обусловлены влиянием внешних условий, в которых производятся измерения; сюда относятся температура и влажность воздуха, ветер, освещенность, кривизна Земли и рефракция.

По характеру и свойствам погрешности подразделяются на грубые, систематические и случайные.

Грубые погрешности - это такие, которые совершенно недопустимы для данных условий измерений и обусловлены, главным образом, невнимательностью исполнителей к выполнению работы. К грубым погрешностям, а точнее к промахам в измерениях относятся: при измерении длин линий просчет целой ленты, отсчет остатка взят не с того конца ленты, вместо отсчета цифры шесть взят отсчет цифры девять и наоборот; при измерении угла наведение зрительной трубы выполнено не на ту точку, неверное отсчитывание градусов по лимбу; при нивелировании - не приведение пузырька уровня на середину перед отсчетом по рейке, принятие одной цифры на рейке за другую; при вычислениях - арифметические погрешности.

Грубые погрешности или промахи не характеризуют измерения в целом и должны быть своевременно обнаружены и исключены из результатов измерений. Для этого применяется метод контрольных измерений и вычислений.

Систематические погрешности - это такие, которые происходят от определенного источника измерений и действуют на результаты измерений по некоторому закону. Например, компарирование мерных приборов производилось при одной температуре, а измерения выполнялись при другой; остаточная величина (после проверки и юстировки нивелира) непараллельности визирной оси и оси цилиндрического уровня; установка теодолита в стороне от вершины измеряемых углов (погрешности центрирования), наличие эксцентриситета алидады и коллимационной погрешности; влияние кривизны Земли и рефракции; погрешность центрирования транспортира при нанесении контурных и рельефных точек на план способом полярных координат.

Если закон действия погрешности известен, то ее нужно подсчитать и исключить из результатов измерений. Если же нет или подсчитать ее нельзя, то нужно так организовать измерения, чтобы систематическая погрешность в значительной степени взаимоисключалась. Например, введение поправок в длины линий за компарирование и температуру, а в превышения за кривизну Земли и рефракцию; геометрическое нивелирование выполнять точно из середины, брать отсчеты по диаметрально противоположным сторонам лимба или переставлять лимб на 180 градусов между полуприемами и так далее.

Однако, если даже влияние источников систематических погрешностей на результаты измерений устранено или же при методически правильной организации измерительных работ источник систематических погрешностей уже не оказывает сколько-нибудь заметного влияния на результаты измерений, полученные величины не будут истинными, так как в них останутся так называемые неизбежные погрешности, погрешности случайного характера. Например, при измерении длины линии практически невозможно укладывать мерную ленту в створе данной линии, осуществлять постоянное натяжение ленты, однообразно оценивать доли минимальных деталей мерного прибора, точно осуществлять наведение сетки нитей на цель, брать отсчеты по лимбу и рейкам. Случайные погрешности, закономерности которых проявляются только в массе измерений, обусловлены точностью приборов, квалификацией наблюдателей и неучтенными колебаниями внешних условий.

Следовательно, случайные погрешности - это такие, величина и знак которых в каждом отдельном случае неизвестны и исключение их из результатов измерений невозможно. Поэтому возникают две задачи: как из результатов измерений, содержащих в себе случайные погрешности, получить достоверную величину, наиболее близкую к истинному значению, и как оценить результаты измерений и полученную величину.

На эти вопросы и дает ответ теория погрешностей измерений. Основные задачи теории погрешностей следующие:

1) изучение законов распределения погрешностей измерений,

2) оценка точности непосредственно выполненных результатов измерений и их функций;

3) отыскание наиболее надежного значения определяемой величины и характеристики ее точности;

4) установление допусков, ограничивающих использование результатов измерений в заданных пределах точности.

3. Свойства случайных погрешностей

Под случайной погрешностью понимают разность между измеренным значением случайной величины 1 и ее истинным (точным) значением Х при условии исключения, как отмечалось выше, систематических погрешностей

_i = 1_i - X, (3)

где i = 1, 2, 3, . . ., n при массовых измерениях данной величины.

В теории погрешностей принимают два постулата:

1) погрешности _i подчинены нормальному закону распределения;

2) математическое ожидание М() = О, что означает отсутствие систематических погрешностей.

В этом случае математическое ожидание искомой величины М(1) равно истинному значению Х.

Плотность нормального распределения случайных погрешностей измерений характеризуется выражением

, (4)

где h = 1/m - мера точности, m - средняя квадратическая погрешность.

Выражение (4) называют уравнением кривой погрешностей, которое впервые было получено знаменитым немецким математиком и геодезистом К.Ф. Гауссом. Уравнению (4) соответствует колоколообразная кривая, которая называется кривой Гаусса.

У = ц(Д)



Основная масса случайных погрешностей располагается по обе стороны математического ожидания М () = О, то есть когда математическое ожидание искомой величины М (1) стремится к истинному значению Х, и распределяется следующим образом: в интервале от - m до + m около 68,3%, свыше этой величины в интервале от -2m до +2m около 27,1%, ещё большие погрешности в интервале от -3m до +3m составляют около 4,3% и за пределами этого интервала всего лишь 0,3%. Последнее значение показывает, что величина погрешности, выходящая за пределы 3m, встречается столь редко, что для решения практических задач с ней можно уже не считаться.

Из анализа выражения (4) и кривой нормального распределения (рисунок 2) вытекают следующие свойства случайных погрешностей:

1) малые по абсолютной величине погрешности встречаются чаще, чем большие (68,3%);

2) положительные и отрицательные погрешности встречаются одинаково часто;

3) случайные погрешности по абсолютной величине с заданной вероятностью не превосходят определенного предела (3m);

4) среднее арифметическое из значений случайных погрешностей стремится к нулю при неограниченном числе измерений, то есть

, (5)

при n

где ? - сокращенно (по Гауссу) обозначена сумма соответствующих величин.

Здесь целесообразно записать дополнительное свойство случайных погрешностей, которое часто встречается в процессе оценки точности определяемой величины и вытекает из четвертого свойства:

5) среднее арифметическое из произведений парных случайных погрешностей стремится к нулю при неограниченном числе измерений, так как и здесь действует свойство компенсации, то есть число положительных и отрицательных значений произведений равновозможно

(6)

4. Принцип арифметической средины

Для математической обработки результатов геодезических измерений и их оценки необходимо иметь, согласно равенству (2), ряд измерений 1 одной и той же величины Х, принятой за истинное значение. Однако в геодезической практике сравнительно редки случаи, когда истинное значение измеряемой величины заранее известно. В то же время, как отмечалось выше, главнейшей задачей теории погрешностей является определение наиболее достоверного значения измеряемой величины и оценка точности конечного результата.

Пусть дан ряд измерений 1₁, 1₂, 1₃, . . ., 1_n одной и той же величины Х, выполненных при одинаковых условиях. Даны также значения случайных погрешностей этих измерений ₁, ₂, ₃, . . ., _n.

На основании формулы (2) можно записать систему равенств

₁ = 1₁ - Х

₂ = 1₂ - Х

₃ = 1₃ - Х

_n = 1_n - Х

Сложив почленно левые и правые части этих равенств, получим



₁ + ₂ + ₃ + . . . +_n = 1₁ + 1₂ + 1₃ . . . + 1_n - Х n

или по общепринятому обозначению (5)

= 1 - Х n. (7)

Разделив это равенство на число измерений n, получим

. (8)

Согласно четвертому свойству случайных погрешностей левая часть этого равенства будет равна 0 при неограниченном числе измерений.

Тогда равенство (8) запишется в следующем виде

. (9)

Следовательно, среднее арифметическое из результатов измерений стремится к истинному значению при неограниченном числе измерений определяемой величины.

Обозначим среднее арифметическое через х₀ и запишем

. (10)

Среднее арифметическое число называется арифметической срединой.

Итак, арифметическая средина из результатов измерений является самым надежным и достоверным значением искомой величины и практически равным истинному значению, то есть



Iim х_о = X (11)

при n ?

Однако в действительности число измерений всегда ограничено и равенство (11) не сохраняется, то есть

х_о Х

Отсюда имеем:

= х_о - Х, (12)

где - случайная погрешность арифметической средины.

Таким образом, при конечном числе измерений арифметическая средина будет нести в себе некоторую погрешность , которая войдет в значения случайных погрешностей данного ряда измерений,

- = 1 - х_о. (13)

Обозначим левую часть равенства (13) через

= - х_о. (14)

Тогда будем иметь

= 1 - х_о, (15)

где - вероятнейшая погрешность арифметической средины.

Как видно из вышесказанного, вероятнейшая погрешность состоит из истинных случайных погрешностей измерений и постоянной погрешности арифметической средины со свойствами случайной погрешности. Поэтому вероятнейшие погрешности носят случайный характер, обладают всеми свойствами истинных погрешностей и могут использоваться в математической обработке результатов измерений. Кроме того, вероятнейшая погрешность обладает еще одним очень важным свойством.

Пусть имеем ряд измерений: 1₁, 1₂, 1₃, . . ., 1_n.

Учитывая зависимость (10) и (15), можно написать n равенств

₁ = 1₁ - х_о

₂ = 1₂ - х_о

₃ = 1₃ - х_о

_n = 1_n - х_о

Сложив почленно левые и правые части этих равенств, получим

= 1 - n х_о

или с учетом равенства (10)

. (16)

Отсюда следует, что сумма вероятных погрешностей при любом числе измерений равна 0.

5. Критерии оценки точности геодезических измерений

Чтобы установить критерий для оценки точности данного ряда измерений, необходимо найти способ математической обработки случайных погрешностей этих измерений, который не зависел бы от знаков отдельных погрешностей данного ряда и на котором наличие сравнительно крупных отдельных погрешностей было бы рельефно отражено.

Средняя погрешность и. Казалось бы, что более естественно оценку точности выполнять по средней погрешности, вычисляемой как среднее арифметическое из абсолютных значений погрешностей, то есть

. (17)

Однако анализ данной формулы показывает, что средняя погрешность практически не реагирует на наличие в ряду измерений крупных погрешностей. Например, имеем два ряда случайных погрешностей измерений:

1 ряд: 3, 2, 4, 2, 1, 0, 4, 3, 2, 3

2 ряд: 0, 1, 7, 2, 1, 1, 8, 0, 3, 1

Средние погрешности этих рядов одинаковы

и₁ = и ₂ = 24/10 = 2,4 ,

но совершенно очевидно, что измерения второго ряда имеют меньшую точность, чем первого.

Таким образом, средняя погрешность не может служить надежным критерием оценки точности геодезических измерений, особенно при их ограниченном числе. Поэтому иногда считают, что вероятная погрешность лучше характеризует данный ряд измерений.

Вероятная погрешность r. Вероятной погрешностью называется такое значение случайной погрешности в данном ряду измерений, по отношению к которому одинаково возможны погрешности как больше этого значения по абсолютной величине, так и меньше. Если случайные погрешности данного ряда измерений расположить в порядке возрастания их абсолютной величины, то вероятная погрешность будет находиться в середине этого ряда. При наличии достаточно большого ряда измерений таким способом можно приблизительно определить значение вероятной погрешности. Более точно ее значение определяется через среднюю квадратическую ошибку. В теории вероятности доказано, что вероятная погрешность связана со средней квадратической погрешностью соотношением

r = 2m/3 0,67 ^. m . (18)

В то же время средняя погрешность связана со средней квадратической погрешностью соотношением

= 4m/5 0,80 ^. m. (19)

Средняя квадратическая погрешность m. Под средней квадратической погрешностью понимают такую ошибку, квадрат которой равен среднему арифметическому из суммы квадратов истинных случайных погрешностей

m = .

Средняя квадратическая погрешность более надежно характеризует точность измерений и более рельефно отражает наличие сравнительно крупных погрешностей в данном ряду измерений. Действительно, если оценить измерения для двух вышеприведенных рядов случайных погрешностей, то получим следующие результаты

и ,

то есть второй ряд измерений действительно менее точен, чем первый.

Надежность средней квадратической погрешности характеризуется средней квадратической погрешностью самой средней квадратической погрешности, полученной из эксперимента, которая определяется по формуле

(21)

при n = 8 m_m = 0,25 m.

Отсюда видно, что для достаточно надежной оценки точности геодезических измерений можно ограничиваться уже этим числом измерений n 8.

Предложенная Гауссом формула (20) для оценки точности геодезических измерений предусматривает использование случайных истинных погрешностей. Однако на практике приходится иметь дело и с вероятнейшими погрешностями. В этой связи возникает вопрос о возможности использования принципа средней квадратической погрешности для оценки точности измерений при наличии вероятнейших случайных погрешностей. Для этого необходимо проанализировать взаимосвязь вероятнейших и истинных погрешностей (14).

Пусть имеем ряд измерений и соответственно ряд равенств

₁ = ₁ +

₂ = ₂ +

₃ = ₃ +

_n = _n +

Возведя в квадрат левую и правую части этих равенств и сложив их почленно, получим

² = ² + 2 ^. + n . ².



Учитывая свойство суммы вероятнейших погрешностей (16), будем иметь

² = ² + n . ². (22)

Сложив почленно левую и правую части исходных равенств и возведя их в квадрат, получим

² = ² + 2n ^. + n² . ².

Учитывая свойство суммы вероятнейших погрешностей (16) и пятое свойство для среднего арифметического из произведений парных случайных погрешностей (6), будем иметь

² = ² = n² . ². (23)

. (24)

Подставив найденное значение в равенство (22), получим

(25)

m = (26)

Это выражение средней квадратической погрешности через случайные вероятнейшие погрешности впервые было предложено Бесселем.

Предельная погрешность пред. Как показал анализ формулы (4) и кривой Гаусса случайная погрешность может быть больше средней квадратической погрешности в 32 случаях из 100, больше удвоенной средней квадратической только в 5 случаях из 100 и больше утроенной всего лишь в 3 случаях из 1000. Следовательно, почти невероятно, чтобы случайная погрешность измерения превысила утроенную величину средней квадратической погрешности. Поэтому эту величину и считают предельной, то есть

_пред = 3 ^. m. (27)

На практике, учитывая ограниченное число измерений, в качестве предельной принимают удвоенную среднюю квадратическую погрешность

_пред = 2 ^. m. (28)

Абсолютные и относительные погрешности 1/N. Рассмотренные выше погрешности: истинные, средние, средние квадратические, вероятные и предельные называются абсолютными погрешностями.

В принципе для оценки точности измерений можно пользоваться любой из этих погрешностей, однако в разных странах предпочтение отдается какой-либо одной. Например, в США - вероятной, а в России - средней квадратической погрешности.

Для характеристики точности измерений какой-либо величины L к ней принято приписывать справа ее абсолютную ошибку со знаком ±, то есть пишут

L ± или L ± m, или L ± _пред, или L ± r. (29)

Во всех этих случаях приписка абсолютной погрешности имеет условное значение как критерий для оценки точности измеренной величины.

Сама по себе величина абсолютной погрешности часто слабо характеризует точность измерений. Действительно, о чем говорит, например, тот факт, что длина некоторой линии местности измерена с абсолютной средней квадратической погрешностью m = 5 см? Хорошо или плохо в данном случае произведено измерение? На это можно ответить лишь при наличии самого значения измеренной величины D. Если, например, с указанной погрешностью была измерена одна из линий теодолитного хода длиной в 200 м, то можно сказать, что измерение было сделано с достаточно высокой точностью, так как значение абсолютной погрешности составляет 1/4000 долю измеренной величины. Если же с той же погрешностью был измерен, например, диаметр трубы размером в 20 см, то, очевидно, такое измерение следует признать грубым, так как значение абсолютной погрешности составляет ј долю измеряемой величины.

Вот эта доля абсолютной погрешности от измерений величины называется относительной погрешностью, так как получается отношением абсолютной погрешности ко всей измеряемой величине. Относительная погрешность выражается простой дробью, числитель которой равен единице, а знаменатель некоторому числу, полученному в результате деления измеряемой величины на абсолютную погрешность

. (30)

Говоря об относительной погрешности, необходимо уточнять, какая абсолютная погрешность соотносится с измеряемой величиной. В зависимости от этого относительную ошибку называют, например, средней относительной погрешностью (/L), средней квадратической относительной погрешностью (m/L).

Относительная погрешность является важным критерием оценки точности измерений и построений и служит мерой для предварительного расчета ее. Например, когда устанавливается точность линейных измерений при теодолитной съемке с относительной погрешностью 1/2000, то это значит, что при измерении 100-метровых линий абсолютная средняя квадратическая погрешность не должна быть больше 5 см, при измерении 200-метровых линий абсолютная погрешность не должна превышать 10 см. В геодезической практике почти все измерения оцениваются относительной погрешностью, кроме угловых измерений. Дело в том, что точность измерения угла не зависит от его величины. В то же время часто приходится иметь дело с величинами, полученными в результате различных совместных измерений, например, угловых и линейных. В этом случае дать сравнительную оценку влияния этих измерений на точность полученного результата можно лишь путем расчета. Например, при определении положения точки В относительно А расстояние АВ 3000 м было измерено с относительной погрешностью 1/2000, а направление АВ с абсолютной погрешностью 0,5^/.

Очевидно, что под влиянием погрешности измерения длины точка В сместится в продольном направлении на величину 1,5 м - (ВВ^/ = 3000/2000), а под влиянием погрешности измерения направления получит поперечный сдвиг на величину 0,4 м - (В^/В^//=3000Х0,5^//3438^/), то есть в 3,5 раза меньше.

Если бы была известна в данном случае относительная погрешность измерения угла, то для сравнительного анализа влияния этих измерений расчетов делать не пришлось бы.

В геодезии за относительную погрешность измерения угла (направления) принимают отвлеченное число, выраженное простой дробью и полученное при переводе абсолютной угловой погрешности в радианы

. (31)

В данном примере относительная погрешность измерения направления будет равна

.

Отсюда видно, что погрешности линейных измерений (1/2000) оказывают большое влияние на точность конечного результата, чем погрешности угловых измерений (1/6876), в те же 3,5 раза.

6. Оценка точности геодезических измерений и их функций. Равноточные измерения

Средняя квадратическая погрешность одного измерения

Для оценки точности отдельного измерения в теории погрешностей применяется, как отмечалось выше, средняя квадратическая погрешность, предложенная Гауссом - формула (20).

Применение формулы Гаусса предполагает, что результаты измерений содержат только случайные истинные погрешности, то есть измерению подверглась величина, истинное значение которой известно. Здесь естественно возникает вопрос: зачем вообще измеряем эту величину, если ее значение известно? А если все-таки измеряем, то какова цель таких измерений?

Как правило, такие задачи возникают при испытании новых приборов, способов и методов производства измерений для выработки рекомендаций. Например, при испытании прибора для линейных измерений необходимо знать точное значение длины какой-либо линии (базиса). Тогда, измерив многократно эту линию предлагаемым прибором и найдя случайные истинные погрешности по формуле (2), можно будет оценить по формуле (20) точность линейных измерений данным прибором. Такие измерения (исследования) позволяют выработать соответствующие рекомендации по применению этого прибора в геодезической практике.

Пример. Длина линии, измеренная стальной мерной лентой, оказалась равной D =220, 00 м. Та же линия была 6 раз измерена нитяным дальномером (исследования нитяного дальномера).

Определить среднюю квадратическую погрешность m_d измерения расстояний нитяным дальномером, приняв за истинное значение длины этой линии величину, полученную стальной лентой, Х = D . Такое допущение правомерно, так как точность этого значения в среднем в 7 раз выше точности нитяного дальномера.

Вычитая из всех полученных нитяным дальномером величин (гр. 2) ее истинное значение (гр. 3), получим ряд случайных истинных погрешностей (гр. 4). Возведя их в квадрат (гр. 5) и суммируя, найдем сумму квадратов случайных истинных погрешностей.

Тогда средняя квадратическая погрешность каждого измерения будет равна

или измерение длины линии нитяным дальномером производилась с относительной погрешностью

.

К таким же исследованиям можно отнести сравнительный анализ точности тригонометрического нивелирования по сравнению с высокоточным геометрическим нивелированием или оценку точности суммарных величин измеренных углов в многоугольнике (невязок) для выработки рекомендаций по установлению предельно допустимых угловых невязок в замкнутых (разомкнутых при наличии привязки) ходах съемочных обоснований.

Аналогично можно поступить при определении предельно допустимых невязок в превышениях и приращениях координат. Во всех этих случаях истинное значение тех или иных сумм точно известно. И хотя здесь оцениваются суммы измеренных величин, применение формулы Гаусса правомерно. Для оценки же точности непосредственно измерений необходимо знать функциональную зависимость между ними и конечным результатом.

Наибольшее распространение для оценки непосредственных измерений получила средняя квадратическая погрешность, предложенная Бесселем и преобразованная под использование случайных вероятнейших погрешностей.

В этом случае, произведя многократные измерения одной и той же неизвестной величины, определяются арифметическая средина (10) и соответственно вероятнейшие погрешности (15). Затем по формуле (26) вычисляется средняя квадратическая погрешность каждого измерения.

Пример. В качестве примера рассмотрим для сравнения вышеприведенные измерения при условии отсутствия истинного значения измеряемой величины.

Длина линии была измерена нитяным дальномером 6 раз.

x₀ = [l]/n = 1320,1/6 = 220,02 м.

Отсюда видно, что средняя квадратическая погрешность одного измерения практически равна в обоих случаях. Кроме этого, оценивается и конечный результат, то есть арифметическая середина х_о.

7. Средняя квадратическая погрешность функций вида

Z = Кх, Z = x y



Средняя квадратическая погрешность функции вида

Z = Кх

Выше рассмотрен вопрос оценки точности непосредственно измеренных величин. Однако нередки случаи, когда определяемая величина является функцией других непосредственно измеренных величин. Поэтому возникает вопрос о нахождении средней квадратической погрешности функции измеренных величин.

Наиболее простой функциональной зависимостью будет выражение

Z = Кх , (32)

где Z - функция аргумента х; х - аргумент, полученный путем непосредственного измерения; К - постоянная величина.

Если аргумент х был измерен n раз и каждое измерение сопровождалось случайной истинной погрешностью х, то и функция Z будет ошибочной на некоторую случайную истинную величину z; можно написать равенство

Z + z = К (х + х)

или погрешность функции будет равна

z = К ^. х.

Следовательно, при n измерениях получим ряд таких равенств

z₁ = К ^. х₁

z₂ = К ^. х₂

z₃ = К ^. х₃

z_n = К ^. х_n

Для определения средней квадратической погрешности функции данного вида возведем левую и правую части равенства в квадрат, почленно суммируем найденные выражения и, разделив суммарное равенство на n, получим

.

Переходя к средним квадратическим погрешностям функции и аргумента, согласно принятому обозначению (20), будем иметь

m²_z = K² Ч m²_x

m_z = K Ч m_x, (33)

то есть средняя квадратическая погрешность функции произведения постоянной на аргумент, полученный из непосредственных измерений, равна произведению постоянной на среднюю квадратическую погрешность аргумента.

Пример. Определить среднюю квадратическую погрешность угла Z, полученного пересечением входящего и выходящего лучей двухзеркального экера, если угол х между зеркалами установлен со средней квадратической погрешностью m_х = 2.

Согласно теории двухзеркального экера (экера Адамса)

Z = 2х. (34)



Отсюда

m_z = 2m_x

или, подставляя сюда среднюю квадратическую погрешность аргумента х, получим окончательный результат

m_z = 2 Ч (2) = 4.

С такой погрешностью будут выполнены построения прямых углов двухзеркальным экером, если зеркала в нем установлены под углом 45⁰ с указанной выше погрешностью.

Средняя квадратическая погрешность функции вида Z = x y

Рассмотрим сначала функцию

Z = x + y.

Допустим, что аргументы х и у независимы и измерены с истинными погрешностями х и у. Следовательно, и функция Z будет получена так же с погрешностью z, то есть можно написать равенство

Z + z = x +х + y + у

или погрешность функции будет равна

z = х + у.

Тогда при n измерениях аргументов будем иметь ряд таких равенств

z₁ = х₁ + у₁

z₂ = х₂ + у₂

z₃ = х₃ + у₃

z_n= х_n + у_n

Для получения средней квадратической погрешности функции данного вида возведем левую и правую части равенства в квадрат, почленно суммируем их и, разделив суммарное равенство на число измерений, получим

.

Учитывая пятое свойство для среднего арифметического из произведений парных случайных погрешностей (6), третий член этого равенства будет равен 0 и не зависит от знака аргументов. Следовательно, для функций вида Z = х у будем иметь одно и то же равенство

.

Согласно выражению (20) будем иметь

, (35)

то есть средняя квадратическая погрешность функций суммы или разности двух аргументов равна корню квадратному на суммы квадратов средних квадратических погрешностей этих аргументов.

Пример. Горизонтальный угол теодолитного хода измерен теодолитом 2Т30. Определить среднюю квадратическую погрешность измеренного угла в полуприеме, если средняя квадратическая погрешность отсчета равна 0,5 (последние цифры в типе прибора указывают на точность взятия отсчета по микроскопу, то есть 30).

Величина угла определяется как разность двух отсчетов

= N₂ - N₁,

.

, то

Отсюда следует, что средняя квадратическая погрешность функции суммы или разности двух аргументов, измеренных с одинаковой средней квадратической погрешностью, в раза больше средней квадратической погрешности одного аргумента.

8. Средняя квадратическая погрешность функций вида

Z =x₁ x₂ x₃ . . . x_n,

Z = K₁x₁ K₂x₂ K₃x₃ . . . K_nx_n

Средняя квадратическая погрешность функций вида

Z =x₁ x₂ x₃ . . . x_n

Чтобы найти среднюю квадратическую погрешность функции данного вида, получим сначала среднюю квадратическую погрешность функции трех аргументов



Z = x₁ x₂ x₃.

Перепишем это равенство в следующем виде

Z = (x₁ x₂) x₃.

На основании формул (34) и (35) будем иметь

,

где m_1,2 - средняя квадратическая погрешность функции (х₁+х₂).

Но

.

Тогда средняя квадратическая погрешность функции суммы или разности трех аргументов будет равна

Рассуждая аналогичным образом для функций суммы или разности четырех, затем пяти и так далее аргументов, можно доказать, что для функций вида

Z = x₁ x₂ x₃ . . . x_n (36)

средняя квадратическая погрешность будет равна



,

, (37)

то есть средняя квадратическая погрешность функции суммы или разности многих независимых аргументов равна корню квадратному из суммы квадратов средних квадратических погрешностей аргументов.

Очевидно, что при равенстве средних квадратических погрешностей всех аргументов, формула (37) примет вид

, (38)

то есть средняя квадратическая погрешность функции суммы или разности многих n аргументов, измеренных с одинаковой точностью (средней квадратической погрешностью) в раз больше средней квадратической погрешности одного аргумента.

Пример. В мостовой триангуляции все углы треугольников были измерены со средней квадратической погрешностью 5. Необходимо найти среднюю квадратическую погрешность суммы углов в треугольнике.

Для треугольника имеем функцию вида

.

Кстати говоря, из формулы (38) и данного примера можно сделать очень важный вывод: если задаться точностью (средней квадратической погрешностью) определения искомой величины, то можно заранее предвычислить точность последующих измерений. Например, с какой точностью необходимо измерять углы в треугольнике той же мостовой триангуляции, если задана предельная угловая невязка (для суммы углов). В этом случае формула (38) примет вид

. (39)

Для мостовой триангуляции, где возможно n число треугольников, формула (39) будет записана в следующем виде (формула Ферреро)

, (40)

где f - угловая невязка в треугольнике, n - число треугольников.

Средняя квадратическая погрешность функции вида

Z = K₁x₁ K₂x₂ K₃x₃ . . . K_nx_n

Отсюда линейная функция будет иметь вид

Z = Z₁ Z₂ Z₃ . . . Z_n.

Средняя квадратическая погрешность этой функции согласно выражению (37) будет равна

.

Подставив сюда значения и так далее, получим



, (41)

то есть средняя квадратическая погрешность функции суммы или разности произведений постоянных величин на соответствующие аргументы равна корню квадратному из суммы квадратов произведений постоянных величин на средние квадратические погрешности соответствующих аргументов.

Получив формулу (41), можно вернуться к вопросу оценки точности арифметической средины. Для этого равенство (10) перепишем в следующем виде:

. (42)

Полученное равенство есть не что иное, как линейная функция. Следовательно, формула (41) отражает точность и арифметической средины.

Обозначив среднюю квадратическую погрешность арифметической средины через М, получим

. (43)

Так как при определении арифметической средины все измерения были выполнены с одинаковой точностью, то полученное выражение примет вид

, (44)

то есть средняя квадратическая погрешность арифметической средины в раз меньше средней квадратической погрешности одного измерения. Если учесть выражение средней арифметической погрешности одного измерения (26), то будем иметь

. (45)

Пример. Найти среднюю квадратическую погрешность измерения угла теодолитом 2Т30 полным примером (арифметической средины), если средняя квадратическая погрешность отсчета равна 0,5

Исходя из поставленной задачи, напишем функции

в₁ = N₂ - N₁, но по формуле (35) m²,

в₂ = N₄ - N₃, но по формуле (35) m²,

, но по формуле (44) ,

Тогда средняя квадратическая погрешность арифметической средины будет равна

.

Отсюда видно, что указанная цифра в аббревиатуре ГОСТа для теодолитов означает точность измерения углов полным приёмом. В данном примере использовался теодолит 2Т30, что соответствует выше полученному результату.



9. Средняя квадратическая погрешность функции общего вида Z = f (x₁, x₂, x₃, . . . . , x_n) и средняя квадратическая погрешность по разностям двойных измерений

Средняя квадратическая погрешность функции общего вида

Z = f (x₁, x₂, x₃, . . . . , x_n)

Чтобы найти среднюю квадратическую погрешность функции общего вида, запишем ее в следующем виде

Z+z = f(x₁+x₁, x₂+ x₂ , + … + x_n + x_n ), (46)

где z - истинная погрешность функции, x - истинная погрешность аргументов.

Так как истинная погрешность аргумента сравнительно мала, то полученное выше равенство можно разложить по строке Тейлора, ограничиваясь членами 1-го порядка

.

z = K₁ ^. x₁ + K₂ ^. x₂ + …+ K_n ^. x_n,

частные производные данные функции, вычисленные для соответствующих значений аргументов. Для данной функции это постоянные числа.

Полученное равенство аналогично линейной функции и, следовательно, для него правомерна зависимость (41). Поэтому, подставляя в него на место К₁, К₂, К₃,. . . К_n их значения для данной функции, получим

,

, (47)

то есть средняя квадратическая погрешность функции общего вида равна корню квадратному из суммы квадратов произведений частных производных по каждому аргументу на среднюю квадратическуюпогрешность соответствующего аргумента.

Пример. Определить величину превышения и ее среднюю квадратическую погрешность, если нивелирование выполнено тригонометрическим способом, то есть: h = d ^. tgv. Длина d, равная 100 м, измерена с относительной погрешностью 1:1000, а угол, равный v = 30⁰, измерен со средней квадратической погрешностью m_н = 0,5.

Учитывая вышеприведенные исходные данные, превышение будет равно

h = 100 м ^. tg30⁰ = 100 ^. 0,5774 = 57,74 м,

а средняя квадратическая погрешность определения превышения будет получена по формуле (47)

, (48)

.



Подставляя в формулу (48) значения частных производных и их числовые величины, получим

или

h = 57,74 м 0, 06 м.

Средняя квадратическая погрешность по разностям двойных измерений

В особом ряду геодезической практики стоят однородные двойные измерения, по результатам которых необходимо также производить оценку точности этих измерений и их функций. К таким измерениям относятся, например, измерения длин линий в прямом и обратном направлениях, углов теодолитом при круге право и круге лево, превышений по двум сторонам рейки и тому подобные. Метод двойных измерений одной и той же величины широко применяется при исследовании приборов и инструментов, изучении условий, в которых производятся измерения. Каков же способ оценки точности измерений применим в этих случаях?

Пусть дан ряд однородных двойных измерений: 1₁, 1₁; 1₂, 1₂;. ; 1_n, 1_n, произведенных одним прибором и при одинаковых условиях.

Отсюда можно написать ряд равенств их разностей

1₁ - 1₁ = d₁

1₂ - 1₂ = d₂

1₃ - 1₃ = d₃

1_n - 1_n = d_n



Если допустить, что все измерения сделаны абсолютно точно, то каждая разность равнялась бы нулю, то есть нуль является истинным значением разности. Следовательно, можно записать ряд равенств

d₁ - 0 = d₁

d₂ - 0 = d₂

d₃ - 0 = d₃

d_n - 0 = d_n

Отсюда можно сделать правомерный вывод, что при отсутствии систематических погрешностей d₁, d₂, d₃, . . . , d_n являются истинными погрешностями разностей. В этом случае для оценки точности разности двойных измерений применима формула Гаусса (20)

. (49)

С другой стороны, каждая разность d_i есть функция разности двух измерений 1_i и 1^/_i . Следовательно, согласно формуле (35), средняя квадратическая погрешность разности двух равноточных измерений в раз больше средней квадратической погрешности одного измерения

m_d = m₁ ^. , (50)

где m₁ - средняя квадратическая погрешность одного измерения данного ряда. Отсюда с учетом формулы (49) можно написать

. (51)



то есть средняя квадратическая погрешность каждого результата данного ряда измерений равна корню квадратному из суммы квадратов разностей парных измерений, деленной на число измерений вообще.

Формула (51) получена при условии отсутствия в измерениях систематических погрешностей. Наличие систематических погрешностей в результатах двойных измерений практически не оказывает сколько-нибудь заметного влияния на их разности, но остаточная величина ее все же присутствует в разностях. Поэтому вычисленные по формуле (51) средние квадратические погрешности оказываются несколько преуменьшенными.

Пример. При прокладке теодолитного хода каждая сторона его была измерена дважды - в прямом и обратном направлениях.

Найти среднюю квадратическую погрешность каждого измерения.

Сначала находим разности парных измерений, то есть построчно из результатов измерений в прямом направлении вычитаем результаты измерений в обратном направлении и полученные величины записываем. Затем полученные значения возведем в квадрат и суммируем (гр. 5). После этого, подставив сумму квадратов разностей в форму (51), найдем среднюю квадратическую погрешность каждого результата из данного ряда измерений.

Если разности парных измерений содержат только случайные погрешности, то согласно четвертому закону свойств случайных погрешностей среднее арифметическое из этих разностей будет стремиться к нулю при достаточно большом числе измерений.

Систематические погрешности характеризуются постоянством знака. Поэтому при наличии их в результатах измерений среднее арифметические из разности парных измерений не будет равно нулю



d_o = d / n, (52)

где d_o - есть не что иное, как вероятнейшее значение систематической погрешности разности.

Исключив из всех разностей парных измерений вероятнейшее значение систематической погрешности, получим вероятнейшие погрешности по результатам двойных измерений. Действительно, составим ряд равенств

d₁ = d₁ - d₀

d₂ = d₂ - d₀

d₃ = d₃ - d₀

d_n = d_n - d₀

Сложив левую и правую части этих равенств, получим

d = d - n ^. d₀.

Подставив сюда значение d₀ из формулы (52), будем иметь

d = d - n ^. d / n = 0,

то есть сумма разностей парных измерений при исключении из них систематической погрешности обладает свойствами вероятнейших погрешностей (16). Следовательно, для определения средней квадратической погрешности по разностям двойных измерений при условии исключения из них систематической погрешности можно использовать формулу Бесселя (26)



. (53)

С другой стороны, согласно (50), имеем

m_d = m₁. .

Отсюда с учетом полученного выше выражения (53) будем иметь

, (54)

то есть средняя квадратическая погрешность каждого результата двойных измерений равна корню квадратному из суммы квадратов разностей парных измерений при исключенной из них систематической погрешности, деленной на число измерений вообще без двух.

d_o = d / n = + 6,0/6 = + 1,0; d = d - d_o

Сначала находим разности парных измерений, то есть построчно из величин гр. 2 вычитаем значения гр. 3 и результаты записываем в гр. 4. Затем суммируем значения гр. 4 и полученную величину делим на число парных измерений, в результате чего имеем вероятнейшую систематическую погрешность в разностях двойных измерений. Исключив систематическую погрешность из разностей двойных измерений, получим вероятнейшие значения погрешностей по двойным измерениям гр. 5. Для определения средней квадратической погрешности измерения угла в полуприеме возведем полученные в гр. 5 значения в квадрат и воспользуемся формулой (54). Так как вероятнейшее значение угла вычисляется как арифметическая средина из двух полуприемов, то для определения средней квадратической погрешности угла, измеренного полным приемом, воспользуемся формулой (44)

M_ср = 0, 25/2 = 0,18.

10. Оценка точности геодезических измерений и их функций. Неравноточные измерения

Веса результатов измерений

В геодезической практике часто возникает необходимость производить математическую обработку совокупности неравноточных измерений. Применять к ним ранее рассмотренные формулы арифметической средины или средних квадратических погрешностей нельзя. Это утверждение хорошо иллюстрируется таким примером.

Пусть один и тот же угол измерен тремя наблюдателями одним и тем же прибором, но первый получил результат как среднее арифметическое на двух измерений угла, второй из трех измерений и третий из четырех. Каково будет вероятнейшее значение угла? Взять за вероятнейшее значение как среднее арифметическое из трех результатов угла нельзя. Первый результат в данном случае будет грубее остальных, а третий результат, наоборот, точнее первых двух. Следовательно, можно сказать, что второму результату доверяем больше, чем первому, а третьему - больше, чем первому и второму. Вот эту степень доверия к результату измерений в теории погрешностей, как отмечалось выше, и принято называть весом Р измерения и выражать соответствующими числами.

Если сказать, что какой-нибудь результат измерений имеет вес Р₁ = 5, а другой - Р₂ = 10, то это означает, что второй результат точнее первого в 2 раза.

Очевидно, что вес будет обратно пропорционален средней квадратической погрешности. Чтобы усилить различие между весами более точных и менее точных измерений, принято веса измерений считать обратно пропорциональным квадратам средних квадратических погрешностей

, , , . . ., , (55)

где - некоторый коэффициент пропорциональности, выбранный при обработке данной совокупности измерений таким, чтобы веса по возможности выражались целыми числами.

Пример. Пусть два угла измерены со средними квадратическими погрешностями m₁ = 0,4 и m₂ = 0,6. Необходимо определить их веса Р₁ и Р₂.

,

.

Приняв , получим , .

Умножая веса на 36, получим Р₁ = 9 , Р₂ = 4.

Таким образом, веса результатов измерений можно умножать и делить на одно и то же число. От этого соотношение весов не изменяется.

Пример. Найти веса углов, если их средние квадратические погрешности соответственно равны: m₁ = 2 , m₂ = 8.

В соответствии с выражением (55) запишем

и .



Разделив первое равенство на второе, получив

, (56)

то есть соотношение весов измерений обратно пропорционально соотношению квадратов средних квадратических погрешностей этих измерений.

...