Математическая обработка и статистика маркшейдерских и геодезических измерений

Подставляя значение m в выражение (56), получим

.

Отношение Р₁: Р₂ может равняться 16, когда Р₁ = 16, а Р₂ = 1, или когда Р₁ = 1, а Р₂ = 1/16, то есть веса измерений есть числа относительные.

Вес арифметический средины. Как отмечалось выше, средняя квадратическая погрешность арифметической средины равна (44)

,

где m₁ - средняя квадратическая погрешность отдельного результата равноточных измерений.

Обозначим вес отдельного результата через р, а вес арифметической средины через Р. Тогда по соотношению (56) будем иметь

.

Если вес р отдельного результата измерений принять равным единице, то вес Р арифметической средины будет равен n , то есть числу измерений. Другими словами, вес Р арифметической средины в n раз больше веса р отдельного результата измерений

Р = р. (57)

Средняя квадратическая погрешность измерения с весом, равным единице

При равноточных измерениях критерием точности данного ряда наблюдений служит средняя квадратическая погрешность m отдельного результата. При неравноточных измерениях таким критерием служит средняя квадратическая погрешность результата с весом, равным единице.

Средняя квадратическая погрешность измерения с весом, равным единице, получается, если вес какого-либо измерения принять равным единице, а среднюю квадратическую погрешность его обозначить через . Тогда по формуле (55) получим

и .

Отсюда общее выражения веса примет вид

или .

Подставив сюда значение квадрата средней квадратической погрешности, вычисляемого по формуле (20), получим

, (58)

где - истинная погрешность измерения.

Аналогично можно доказать, что

(59)

где - вероятнейшая погрешность измерения.

По аналогии с выводами формулы (10) можно доказать, что р всегда равна нулю.

Соответственно для разности двойных измерений получим

- при отсутствии систематических погрешностей

, (60)

где d - истинные погрешности разностей двойных измерений;

- при наличии систематических погрешностей в измерениях

, (61)

где d - вероятнейшие погрешности разностей двойных измерений.

На основании формулы (56) можно получить

, (62)

то есть средняя квадратическая погрешность отдельного неравноточного измерения равна средней квадратической погрешности измерения с весом, равным единице, деленной на корень квадратный из веса данного неравноточного измерения.

11. Общая арифметическая средина или среднее весовое

Пусть имеем n результатов неравноточных измерений одной и той же величины 1_i и их веса Р_i

1₁, 1₂, 1₃, . . ., 1_n

Р₁, Р₂, Р₃, . . . , Р_n

Каждое значение 1_i можно рассматривать как среднее арифметическое из р_i равноточных измерений 1

или

Р_i 1_i = 1 _i.

Число таких равноточных измерений будет равно р. Взяв среднее арифметическое из левых и правых частей равенств, получим

,

но = х_о - есть вероятнейшее значение (среднее арифметическое или арифметическая средина) согласно формуле (10).

Тогда

, (63)

то есть общая арифметическая средина равна сумме произведений измерений и соответствующих весов, деленной на сумму весов измерений.

Средняя квадратическая погрешность общей арифметической средины

На основании определения веса, используя формулу (56), можно написать

; , (64)

где M_o - средняя квадратическая погрешность общей арифметической средины, р - вес арифметической средины. Тогда

, (65)

то есть средняя квадратическая погрешность общей арифметической средины равна средней квадратической погрешности отдельного измерения с весом, равным единице, деленной на корень квадратный из суммы весов данного ряда измерений.

Подставив сюда значение средней квадратической погрешности измерения с весом, равным единице (62), получим

. (66)

то есть средняя квадратическая погрешность арифметической средины равна средней квадратической погрешности отдельного неравноточного измерения, деленной на корень квадратный из числа измерений.

Найти вероятнейшее значение угла (общую арифметическую средину) и его среднюю квадратическую погрешность.

Сначала определяем вес каждого результата, который можно принять равным числу приемов, гр. 3 (чем больше приемов, тем больше степень доверия к результату).

Затем находим общую арифметическую средину, которая будет равна сумме произведений результатов измерений (гр. 1) и соответствующих весов (гр. 3), деленной на сумму весов,

.

После этого вычисляем вероятнейшие погрешности (гр. 4) по вышеприведенным зависимостям (д _i = 1_i - х_о) и все остальные величины (гр. 5-7).

Подставляя найденные величины в формулу (59) и дальше в формулу (65), получим

,

; .

Пример. От трех марок высокоточного нивелирования определена техническим нивелированием отметка точки А.

Определить: а) вероятнейшее значение отметки точки А,

б) среднюю квадратическую погрешность результата с весом, равным единице,

в) среднюю квадратическую погрешность отдельных результатов нивелирования,

г) среднюю квадратическую погрешность вероятнейшего значения (общей арифметической средины).

Сначала определяем вес каждого результата нивелирования, который можно принять равным величине, обратной длине хода, гр. 3 (чем меньше длина хода, тем больше степень доверия к результату нивелирования). Умножив веса на 6, получим их величины в целых числах, гр. 4.

Затем находим общую арифметическую средину, по аналогии с предыдущим, то есть

.

После этого вычисляем вероятнейшие погрешности и значения остальных граф табл. 6, гр. 5-7.

Подставляя найденные величины в формулы (59), (62) и (65), получим

,

; ; .

Следовательно, отметки точки А были получены

Н₁ = 124, 360 м15 мм, Н₂ = 124, 380 м21 мм, Н₃ = 124, 320 м37 мм.

Что касается общей арифметической средины, то

и .

Из рассмотренных выше примеров видно, что в качестве весов можно принимать любые числа, характеризующие или отражающие степень доверия к результатам измерений, например, число приемов, длина хода.

Веса функций измеренных величин

Для определения веса функций измеренных величин нужно воспользоваться формулами (33), (35), (37), (41) и (47), заменив в них средние квадратические погрешности величинами, обратными весу измерений. Тогда будем иметь

1. Для функции вида Z = К ^. х

, (67)

то есть число, обратное весу функции, равно произведению квадрата постоянной величины на число, обратное весу аргумента.

2. Для функции вида

Z = х у

, (68)

то есть число, обратное весу функции, равно сумме чисел, обратных весам аргументов.

3. Для функции вида

Z = х₁ х₂ х₃ . . . х_n

, (69)

то есть число, обратное весу функции, равно сумме чисел, обратных весам аргументов.

4. Для функции вида

Z = К₁х₁ К₂х₂ К₃х₃± . . . К_nх_n

, (70)

то есть число, обратное весу функции, равно сумме произведений квадрата постоянного на число, обратное весу аргумента.

5. Для функции общего вида

Z = f (x₁, x₂, х_3, . . . , x_n)

, (71)

то есть число, обратное весу функции, равно сумме произведений квадрата частной производной по каждому аргументу на число, обратное весу соответствующего аргумента.

Размещено на Allbest.ru