Методи і моделі дослідження та інтерпретації гравітаційного поля планет земної групи

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ "ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА"

УДК 528.2;523.3;523.4

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

МЕТОДИ І МОДЕЛІ ДОСЛІДЖЕННЯ ТА ІНТЕРПРЕТАЦІЇ ГРАВІТАЦІЙНОГО ПОЛЯ ПЛАНЕТ ЗЕМНОЇ ГРУПИ

Спеціальність 05.24.01- геодезія, фотограмметрія і картографія

ЦЕРКЛЕВИЧ АНАТОЛІЙ ЛЕОНТІЙОВИЧ

Львів - 2011 р.

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Національному університеті "Львівська політехніка" Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України.

Науковий консультант:

Зазуляк Петро Михайлович, доктор фізико-математичних наук, професор, професор кафедри "картографії та геопросторового моделювання" інституту геодезії Національного університету "Львівська політехніка ", м. Львів.

Офіційні опоненти:

Яцків Ярослав Степанович, доктор фізико-математичних наук, академік НАН України, директор Головної астрономічної обсерваторії НАН України, м. Київ;

Двуліт Петро Дмитрович, доктор технічних наук, професор, професор кафедри "вищої геодезії та астрономії" інституту геодезії Національного університету "Львівська політехніка ", м. Львів;

Максимчук Валентин Юхимович, доктор фізико-математичних наук, професор, директор Карпатського відділення Інституту геофізики ім. С.І. Субботіна НАН України, м. Львів.

Захист відбудеться "01 " липня 2011 р. о 10⁰⁰ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.052.12 при Національному університеті "Львівська політехніка" за адресою: 79013, м. Львів - 13, вул. С. Бандери, 12, ауд. 502 II навч. корпусу.

З дисертацією можна ознайомитися в науковій бібліотеці Національного університету "Львівська політехніка " за адресою: 79013, м. Львів - 13, вул. Професорська,1.

Автореферат розісланий "24" травня 2011 р.

Вчений секретар спеціалізованої ради, к.т.н., доцент Паляниця Б.Б.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. За останні декілька десятків років внаслідок успішної реалізації міжнародних програм космічних досліджень відбулось значне нагромадження різноманітної наукової інформації про внутрішні планети Сонячної системи^* Згідно з класифікацією Міжнародного Астрономічного Союзу (МАС) до внутрішніх планет (планет земної групи) відносяться: Меркурій, Венера, Земля і Марс. В дисертації Меркурій не розглядається, а досліджується Місяць. Супутник Землі за другою ознакою класифікації МАС можна віднести до планет. інколи Землю і Місяць називають ще "подвійною планетою". В текстовій частині роботи Місяць розглядається в контексті планет земної групи.*. Час від часу виникає необхідність в узагальнені накопичених відомостей про планети з метою вироблення завдань для подальших досліджень у розкритті та виявленні закономірностей їх будови та еволюції, що представляє великий інтерес з точки зору глибокого розуміння геологічної історії формування Землі і вивчення тих земних питань планетарного масштабу, які не піддаються однозначному трактуванню. Початкові етапи формування Землі як космічного тіла та її геологічну історію неможливо достатньо повно вивчити без залучення даних про планети земного типу. Разом з тим Земля може розглядатись як еталонний об'єкт з широким арсеналом теоретичних та експериментальних методів наукового пізнання, які можуть використовуватися в дослідженнях планет земної групи.

Тема дисертаційної роботи стосується фундаментальних наук про Землю та планети і є актуальною, оскільки охоплює широкий спектр досліджень у вивченні гравітаційного поля, внутрішньої будови та динамічних процесів, які відбуваються в надрах планет земної групи. Сучасні уявлення про внутрішню будову планет, їх тектонічний розвиток і динамічні процеси можна представити лише на основі опрацювання накопиченого фактичного матеріалу з поєднанням знань про їх еволюцію в рамках порівняльної планетології. Планетологія як наука належить до узагальнювального типу наук і реалізує важливі цілі. Перша - вивчення і глибоке розуміння еволюції сонячної системи з її закономірностями та можливістю прогнозування майбутнього розвитку. Друга - порівняльний аналіз і дослідження схожих та відмінних особливостей гравітаційного поля, атмосфери, фізичної поверхні та внутрішньої структури планет. На сучасному етапі порівняльна планетологія формується на межі таких наук, як астрономія, планетодезія, гравіметрія, геофізика, фізика планет, геологія, космохімія. До вирішення проблемних питань у галузі цих наук залучена значна кількість дослідницьких колективів і наукових працівників, переважно зарубіжних. В Україні вивченням гравітаційного поля, фігури і внутрішньої будови Землі та планет займались Ю.П. Дейнека, П.Д. Двуліт, П.М.Зазуляк, О.С. Заяць, В.С. Кислюк, В.Г. Козленко, О.М. Марченко, Г.О. Мещеряков, В.І. Старостенко, М.М. Фис , Я.С. Яцків, Е.Л. Шен та інші.

В авторських дослідженнях особлива увага надається планетарній гравіметрії як науці, що вивчає гравітаційне поле Землі та планет, їх фігуру та внутрішню будову. За останні десятки років значно розширились можливості вивчення гравітаційного поля і топографії Землі та планет земної групи. Потреба у якнайточнішому визначенні гравітаційного поля Землі та планет зумовила розробку і застосування нових методів вимірювань поля сили притягання за допомогою супутників. здійснення досліджень за цими проектами передбачає вивчення глобального гравітаційного поля Землі з високою роздільною здатністю і точністю. Суттєвих результатів досягнуто у вивченні гравітаційного поля Марса, Венери та Місяця, хоча роздільна здатність в їх просторовому покритті і точність отриманих даних ще не висока порівняно з Землею. Вся накопичена інформація потребує опрацювання та інтерпретації з метою поглибленого пізнання внутрішньої структури і геологічної будови Землі та планет, розуміння механізму динамічних процесів, в яких гравітація відіграє ключову роль.

Серед головних сучасних проблем гравіметрії, розв'язання яких може істотно вплинути на прогрес наук про Землю, є розроблення таких теорій інтерпретації гравіметричних даних, які були б адекватними реальному природному середовищу. Вивчення та інтерпретація гравітаційного поля Землі і планет посідає визначальне місце у цій проблематиці. актуальним питанням залишається розробка теорії інтерпретації довгохвильових амплітуд аномального гравітаційного поля планет, яка могла би підтвердити чи заперечити наявність латеральних неоднорідних мас на значних глибинах в їх нижніх оболонках. з цих позицій в дисертації розглянуті питання, що охоплюють результати вивчення ізостатичного стану та неоднорідної будови планет, використовуючи метод аналогій для інтерпретації отриманих відомостей в рамках порівняльної планетології. При цьому основна увага надавалась розробці теоретичних методів та їх реалізації на прикладах побудови моделей ізостазії, кореляційного аналізу гравітаційного поля і топографії планет, неоднорідного розподілу густини в їх надрах в планетарному масштабі. Крім того, в роботі також розглянуто метод побудови моделей точкових мас для Землі та Місяця, визначення гравітаційного впливу масконів на гармонічні коефіцієнти розкладу селенопотенціалу в ряд за кульовими функціями, теоретичне обґрунтування з позицій апроксимаційного підходу методології побудови гравітаційної моделі тектоносфери Землі, крос- спектральний метод дослідження ізостазії на прикладі регіону Східної Європи, дослідження просторового зв'язку між динамікою земної кори і геофізичними полями на прикладі Східної Європи та Карпато-Динарського регіону, розрахунок стиснення внутрішніх еліпсоїдальних поверхонь та напруженого стану у верхніх оболонках Землі та Марса внаслідок зміни швидкості обертання навколо осі. Отримані саме з цих питань результати доповнюють загальну структурну канву роботи, яка проходить через представлення методів і результатів вивчення гравітаційного поля планет земної групи до дослідження та інтерпретації їх неоднорідної будови з позицій ізостатичного стану та тривимірних моделей розподілу густини.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Науково-дослідні роботи автора виконані на кафедрі теорії математичної обробки геодезичних вимірів і кафедрі інженерної геодезії інституту геодезії Національного університету "Львівська політехніка" і відповідають тематиці кафедр та одному з наукових напрямів Інституту геодезії "Дослідження фігури та зовнішнього гравітаційного поля Землі і планет, створення геоінформаційних систем, програмних продуктів і баз геопросторових даних".

Мета і завдання досліджень. Основною метою роботи є розробка нових методів і моделей представлення та інтерпретації результатів вивчення гравітаційного поля планет земної групи у зв'язку з їх внутрішньою будовою і тектонічними процесами. Для досягнення цієї мети в роботі були поставлені такі завдання:

· розробити метод побудови моделей потенціалу сукупності точкових мас планети на основі визначення аномальних мас сферичних пірамід, що розділяють тіло планети, та їх заміни точковими масами з обчисленням радіусів з використанням алгоритму одномірної оптимізації;

· вдосконалити алгоритм розрахунку впливу масконів на гравітаційне поле Місяця;

· виконати дослідження напружено-ізостатичного стану планет земної групи і здійснити порівняльний аналіз отриманих результатів;

· виконати кореляційний аналіз довгохвильових амплітуд висот топографії та рівневої поверхні планет земної групи і запропонувати інтерпретацію отриманих результатів у зв'язку з планетарною тектонічною будовою;

· вдосконалити крос- спектральний метод дослідження ізостазії та виконати порівняльний аналіз динаміки земної кори з геофізичними полями для території Східної Європи та Карпато-Динарського регіону;

· побудувати моделі тривимірного розподілу густини планет земної групи з використанням параметрів гравітаційного поля та запропонувати інтерпретацію отриманих результатів;

· розв'язати лінійну обернену задачу гравіметрії для кулеподібної планети та побудувати моделі латерального розподілу густини аномальних мас у верхніх оболонках планет земної групи;

· розробити методологію побудови моделі розподілу густини в тектоносфері, яка включала би взаємозв'язану ієрархічну систему гравітаційних моделей землі різного рівня, а саме: планетарну, регіональну і локальну модель розподілу густини;

· розробити метод та алгоритм розрахунку стиснення внутрішніх еліпсоїдальних поверхонь і напруженого стану верхніх оболонок Землі та Марса внаслідок можливої зміни їх швидкості обертання навколо осі.

Об'єктом дослідження є планети земної групи (Земля, Венера, Марс, Місяць).

Предметом дослідження є методи представлення гравітаційного поля, ізостатичний стан та неоднорідний розподіл густини надр планет земної групи.

Методи дослідження - теоретичні розробки, що ґрунтуються на використанні методів оптимізації, сферичних функцій, інтегральних і диференціальних рівнянь, кореляційного аналізу, розв'язку некоректних задач та задач теорії замкнутих сферичних оболонок, побудова на їх основі математичних моделей, що описують об'єкт дослідження.

Наукова новизна одержаних результатів. Результати виконаних теоретичних досліджень і побудованих на їх основі моделей мають наукову новизну та фундаментальну спрямованість в питаннях вивчення й інтерпретації гравітаційного поля та неоднорідної будови планет земної групи.

1. Вперше розроблено метод та алгоритм побудови моделей потенціалу сукупності точкових мас планети з використанням одномірної оптимізації, який не передбачає розв'язок погано обумовлених систем рівнянь, і на їх основі побудовані моделі потенціалу сукупності точкових мас Землі та Місяця.

2. Запропоновано алгоритм розрахунку впливу масконів на гравітаційне поле Місяця та побудови комбінованої моделі селенопотенціалу.

3. Вперше на основі запропонованого підходу до кореляційного аналізу довгохвильових амплітуд висот топографії та рівневої поверхні виконана інтерпретація отриманих результатів у зв'язку з тектонічною еволюцією планет.

4. узагальнено результати досліджень напружено-ізостатичного стану літосфери планет земної групи з позицій порівняльного аналізу моделей ізостазії.

5. Запропоновано та апробовано два методи обчислення ізостатичних аномалій, які доповнюють один одного, реалізуючи інтегральну і дискретну постановку задачі регіональної ізостатичної компенсації, яка базується на припущенні, що ізостатичні варіації розподілу густини можуть бути описані деякою лінійною та ізотропною функцією висоти рельєфу. На основі цих методів обчислені ізостатичні аномалії та оцінені характеристики поля деформацій земної поверхні для території Східної Європи і Карпато-Динарського регіону.

6. виявлено кореляційний зв'язок між динамікою земної кори (сучасні вертикальні рухи земної кори) і геофізичними полями для території Східної Європи та Карпато-Динарського регіону.

7. запропоновано метод і алгоритм розв'язку лінійної оберненої задачі гравіметрії для кулеподібної планети на основі чого оцінені величини латерального розподілу густини аномальних мас у верхніх оболонках планет земної групи.

8. Оцінено варіації латеральної неоднорідної будови планет земного типу на основі побудованих моделей тривимірного розподілу густини їх надр за даними гравітаційного поля.

9. Теоретично обґрунтовано методологію побудови ієрархічної системи гравітаційних моделей Землі різного рівня, а саме: планетарної, регіональної та локальної моделі розподілу густини, узгодженої з гравітаційним полем та іншою геолого-геофізичною інформацією.

10. Запропоновано методику розв'язку задачі побудови регіональної (локальної) площинної гравітаційно-сейсмічної моделі земної кори, що ґрунтується на принципах комплексної інтерпретації гравіметричних та сейсмічних даних і використанні методу середньоквадратичної колокації.

11. Удосконалено методи розрахунку стиснення внутрішніх еліпсоїдальних поверхонь та виконано дослідження напруженого стану в оболонках Землі і Марса на основі визначення стиснення внутрішніх еліпсоїдальних поверхонь, обумовлених можливими віковими змінами швидкості обертання.

Практичне значення одержаних результатів. Практичне значення роботи визначається розробкою теоретичних підходів і побудованими на їх основі моделями, алгоритмами та програмами, що описують гравітаційне поле, ізостатичний стан і внутрішню будову планет земної групи. алгоритми та програми, що описують гравітаційне поле і фігуру планет увійшли в автоматизовану інформаційно - довідкову систему "Астродан", яка використовувалася в Центральному науково-дослідному інституті геодезії, аерозйомки і картографії (ЦНДІГАіК , м. Москва). Отримані результати можуть бути використані в теоретичних і практичних роботах в галузі астрономії, геодезії та геофізики для вивчення гравітаційного поля, ізостазії, внутрішньої будови Землі, Венери, Марса та Місяця. Матеріали дисертаційної роботи впроваджені в навчальний процес у лекційні і лабораторні курси фахової дисципліни "Фізика Землі з основами геодинаміки " та "Геодезичний моніторинг геодинамічних явищ та деформацій споруд" у Національному університеті "Львівська політехніка".

Основні положення, що виносяться на захист:

1. Теоретичне обґрунтування методу побудови моделі потенціалу сукупності точкових мас планети з використанням алгоритму одномірної оптимізації та результати моделювання точковими масами гравітаційного поля землі та місяця. Алгоритм оцінки впливу масконів на гравітаційне поле Місяця.

2. Результати кореляційного аналізу довгохвильових амплітуд висот топографії та рівневої поверхні планет і їх інтерпретація.

3. Результати дослідження ізостатичного стану літосфери планет земної групи.

4. Метод обчислення ізостатичних аномалій і результати кореляційного аналізу сучасних вертикальних рухів земної кори з геофізичними полями на території Східної Європи та Карпато-Динарського регіону.

5. Теоретичне обґрунтування методу та алгоритм розв'язку лінійної оберненої задачі гравіметрії для кулеподібної планети і результати латерального розподілу густини аномальних мас у верхніх оболонках планет земної групи.

6. Моделі тривимірного розподілу густини надр планет земної групи, побудовані з використанням параметрів гравітаційного поля та їх інтерпретація.

7. Теоретичне обґрунтування методології побудови ієрархічної системи гравітаційних моделей розподілу густини Землі різного рівня (планетарної, регіональної та локальної), узгодженої з гравітаційним полем та іншою геолого-геофізичною інформацією.

8. Результати розрахунку стиснення внутрішніх еліпсоїдальних поверхонь в оболонках Землі та Марса і напруженого стану, обумовлених можливими віковими змінами швидкості їх обертання.

Особистий внесок здобувача. У роботах, представлених дисертантом особисто [20,21,23,24,26-28,46-50], за розробленою методикою виконано розв'язок лінійної оберненої задачі гравіметрії для кулеподібної планети та моделювання латерального розподілу густини аномальних мас у верхніх сферичних оболонках Землі та планет, запропоновано теоретичну постановку задачі побудови ієрархічної системи гравітаційних моделей різного рівня, узагальнено результати моделювання ізостатичного стану планет з урахуванням інформації про їх моделі гравітаційного поля та топографії, визначено вклад масконів в гравітаційному полі Місяця. У друкованих працях, опублікованих у співавторстві, автору належить:

· підготовка та написання монографії [1], виконання розрахунків і обчислень з побудови моделей, які описують геометричну, гравітаційну, динамічну фігуру і внутрішню будову та ізостатичний стан Марса, інтерпретація й узагальнення результатів досліджень порівняно з аналогічними даними для Землі та інших планет;

· постановка завдання, розробка методу, алгоритму і програми виконання обчислень та інтерпретація результатів [2,5,9,11-15,17-19,22,32,35,36,38,40-45];

· постановка завдання і безпосередня участь в обчисленнях з побудови моделей, обговорення результатів та їх інтерпретація [3,4,6-8,10,30,31,33-34,39];

· розробка алгоритмів і безпосередня участь в обчисленнях, обговорення результатів [16,37];

· постановка завдання, обговорення результатів та їх інтерпретація [25,29].

Апробація результатів дисертації. Основні результати наукових досліджень неодноразово доповідалися на міжнародних, всесоюзних та українських наукових конференціях, симпозіумах, нарадах, зокрема на: XXII Астрометричній конференції СрСр (Москва,1981р.); III всесоюзній школі-семінарі "Теория и практика интерпретации гравитационных и магнитных аномалий" (Київ, 1981р.); VIII всесоюзній нараді з вивчення сучасних рухів земної кори (Кишинів,1982 р.); міжнародних I,II,III,VI Орловських конференціях "Изучение Земли как планеты методами астрономии, геофизики и геодезии " (Київ, 1980 р., Полтава, 1986 р., Одеса, 1992 р., Київ, 2009 р.); всесоюзній конференції "Исследование гравитационного поля и природных ресурсов Земли космическими средствами" (Львів,1984 р.); всесоюзній науковій конференції "Селенодезия и динамика Луны" (Київ,1987р.); 3-ій республіканській науково-технічній конференції "Интегральные уравнения в прикладном моделировании " (Київ, 1989 р.); XVIII Всесоюзному семінарі ім. Д.Г.Успенського "Вопросы геологической интерпретации гравитационных и магнитных аномалий" (Київ, 1989 р.); 12-ій радянсько-американській робочій зустрічі з планетології, Институт ГЕОХИ АН СССР (Москва, 1990 р.); першій українській науковій конференції "Комплексні дослідження сучасної геодинаміки земної кори " (Алушта, 1993 р.); міжнародному симпозіумі "Геодинаміка гірських систем Європи " (Яремче, 1994 р.); Міжнародній конференції " Вивчення геодинамічних процесів методами астрономії, геодезії і геофізики" (Полтава, 2001р.); міжнародних симпозіумах " Геоінформаційний моніторинг навколишнього середовища: GPS і GIS - технології" (Алушта, 1996, 2002, 2008, 2009, 2010 рр.); міжнародних науково-практичних конференціях "Geoforum" (Львів-Яворів, 2002, 2008, 2009 рр.); міжнародній науково-практичній конференції "Сучасні технології в геодезії " (Львів - Суховоля, 2003 р.); Українській науковій конференції "Нові геофізичні технології прогнозування та моніторингу геологічного середовища " (Львів, 2008 р.); Другому всеукраїнському фестивалі науки в ГАО АН України, конференції "Повернення до Місяця" (Київ, 2008 р.); міжкафедральних семінарах кафедр теорії математичної обробки геодезичних вимірів та інженерної геодезії НУ "Львівська політехніка" (2007, 2008, 2009, 2010 рр.).

Публікації. Результати досліджень, представлені в дисертації, опубліковані в монографії та 49 наукових роботах, наведених в авторефераті. Серед них: 29 статей у періодичних фахових виданнях, 20 статей у збірниках наукових праць, матеріалах і тезах конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновку, списку використаних джерел (316 найменувань) - 31 сторінка та додатків - 11 сторінок. Загальний обсяг дисертації становить 319 сторінок, в тому числі ілюстрації: 82 рисунки та 21 таблиця.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність наукової проблеми, сформульовано мету та основні задачі досліджень, відзначено наукову новизну отриманих результатів та особистий внесок автора, структуру й обсяг роботи, відомості про публікації.

Перший розділ "Методи аналітично- числового представлення гравітаційного поля планети" присвячений опису та аналізу методів аналітично-числового представлення потенціалу притягання планети. Серед таких методів найчастіше застосовується розклад потенціалу притягання в ряд за кульовими функціями. Така параметризація гравітаційного потенціалу вважається однією з найкращих для геодезичної і геофізичної інтерпретації отриманих характеристик гравітаційного поля і оцінки точності гармонічних коефіцієнтів. Проте для адекватного представлення короткохвильових варіацій сили ваги необхідно враховувати велику кількість членів ряду, що зумовлює труднощі при оброблені початкової інформації для побудови моделі гравітаційного поля планети і подальшому її використанні для визначення орбіт космічних апаратів (КА). Ця обставина спричинила численні дослідження, направлені на пошук інших можливих методів опису гравітаційного поля планети. Зокрема широкого застосування набули методи представлення потенціалу притягання у вигляді потенціалу сукупності точкових мас і гравітаційних дисків. При описі гравітаційного потенціалу використовуються також Максвелове представлення системою потенціалів радіальних мультиполів, функції Ламе, поліноми Чебишева-Лагера, вибіркові функції, простий шар, локальні апроксимації за методом кінцевих елементів та інші методи апроксимацій.

Під час розробки нових форм опису потенціалу притягання, доцільно враховувати принаймні два очевидні чинники "оптимальне визначення" та "оптимальне використання" моделей гравітаційного поля планети. залежно від того, які параметри моделі потенціалу притягання визначають, та чи інша модель має переваги при її використанні для вивчення структури гравітаційного поля планети, її внутрішньої будови або при прогнозуванні орбіт КА.

У другому розділі "Результати вивчення гравітаційного поля та топографії планет земної групи" здійснено аналіз сучасного стану вивчення гравітаційного поля і топографії планет земної групи з коротким описом методів їх отримання. Представлено також результати побудови моделей точкових мас для Землі та Місяця на основі запропонованої методики. Оцінено вплив масконів на гравітаційне поле Місяця.

Значно покращені результати дослідження гравітаційного поля і топографії Місяця були отримані завдяки місії КА "Clementine" (1994 р.), топографія і гравітаційне поле Венери та Марса з високою роздільною здатністю отримані за результатами опрацювання даних з КА "Magellan" та "Mars Global Surveyor", які перебували на орбітах відповідно в 1990 та 1997 рр., гравітаційне поле й топографія Землі були оновлені завдяки нещодавнім місіям таких спеціальних супутників, як CHAMP, GRACE, GOCE та радарним інтерферометричним вимірюванням, що проводились згідно з програмою Радарної топографічної місії на " Space Shuttle".

Прогрес у вивченні гравітаційного поля і топографії планет демонструють порівняльні дані, наведені в табл. 1.

В дисертаційній роботі розглянуто огляд сучасних моделей гравітаційного поля і топографії планет, наведено карти висот геоїда і топографії, подано аналіз спектрів дисперсій гравітаційного поля планет.

Традиційний підхід до визначення параметрів моделі точкових мас (МТМ) передбачає розв'язок великих погано обумовлених систем рівнянь, що не є ефективною процедурою щодо цілей побудови детальних і точних багатоточкових моделей потенціалу. у роботі запропоновано методику побудови багатоточкової моделі, в якій не передбачається розв'язок системи рівнянь.

Таблиця 1. Порівняльна характеристика вивченості гравітаційного поля і топографії планет

Планета	Результати досліджень середини 80-их років	Сучасні результати досліджень
	Максимальний порядок розкладу	Максимальна роздільна здатність представлення характеристик гравітаційного поля, км	Максимальний порядок розкладу	Максимальна роздільна здатність представлення характеристик гравітаційного поля, км
	Гравітаційного поля	Висот рельєфу		Гравітаційного поля	Висот рельєфу
Земля	180	-	110	2190	2160	9
Венера	10	18	1900	180	719	100
Марс	18	16	600	95	719	110
Місяць	16	12	340	165	359	33

Методика побудови такої моделі заснована на визначенні аномальних мас сферичних пірамід, що розділяють тіло планети, та їх заміни точковими масами, розташованими на різних глибинах у центрах сферичної основи пірамід. Задавши зовнішній гравітаційний потенціал планети у вигляді моделі гравітаційного поля, розкладеного в ряд за кульовими функціями з набором гармонічних коефіцієнтів , значення середньої густини в кожній такій піраміді можна обчислити за формулою:

, (1)

; (2)

; . (3)

У цих формулах і - середня густина і радіус планети; - коефіцієнти розкладу за кульовими функціями поверхні потенціалу однорідної планети; - нормовані приєднані функції Лежандра; - полярна відстань і довгота; - площа основи -ої піраміди;

- елемент площі одиничної сфери.

Оскільки метою побудови моделі потенціалу притягання є оптимальний опис аномальної частини гравітаційного поля, то спочатку визначаємо аномальну густину:

сферичної піраміди, а далі - її аномальну масу, виражену в частках маси планети:

.

Припустимо, що маса -ої піраміди знаходиться на деякому радіусі

від центру мас планети і проектується в центр її сферичної основи. радіус для кожної точкової маси розраховувався поетапно з використанням методу одномірної оптимізації. Спочатку обчислювався оптимальний радіус сфери:

з дотриманням умови:

, (4)

де і - значення висот рівневої поверхні (висоти геоїда можна замінити на аномалії сили ваги чи на інші деривати гравітаційного поля), які обчислюються з використанням гармонічних коефіцієнтів і параметрів точкових мас для - ої точки. Потім розраховувались значення радіусів для кожної точкової маси, виконуючи умову, щоб різниця значень висот рівневих поверхонь, визначених за вихідними даними і моделлю точкових мас, була би мінімальною в метриці , тобто:

. (5)

З метою апробації запропонованої методики були побудовані модель точкових мас МТМ-288, що рівномірно апроксимує гравітаційне поле Землі, і три моделі МТМ-72; -162 та -288 для Місяця. При побудові моделі точкових мас для Землі використовувались аномалії сили ваги, які визначались за коефіцієнтами моделі геопотенціалу Gем 10В до 18-го порядку. Середнє квадратичне відхилення у розходженні висот геоїда, визначених за моделлю Gем 10В (до 18-го порядку) і моделлю МТМ-288, складає 1,3 м. Побудовані моделі точкових мас для Місяця оцінювались в їх порівнюванні з вихідною моделлю селенопотенціалу за результатами прогнозування орбіт імітаційних ШСМ і за значеннями різниць висот селеноїда. При визначенні положення імітаційного ШСМ після 0,125 діб польоту на висотах 50, 100, 250 км в полі сил притягання, що задавались моделями (БФ,16X16), (БФ, 8 X 8) і МТМ, за критерій оцінки моделей точкових мас приймався вектор різниць прямокутних координат , який обчислювався за формулою:

, (6)

де і відповідно координати супутника, визначені за моделями (БФ, 16 X 16), (БФ, 8 X 8) та МТМ. Результати розрахунків, наведені в табл. 2, показали, що моделі МТМ з прийнятною точністю можуть замінити модель (БФ, 16x16) при прогнозуванні орбіт ШСМ. При цьому затрата часу необхідного для інтегрування прогнозованої орбіти ШСМ на комп'ютері, є значно меншою.

Таблиця 2. Значення , км

Моделі селенопотенціалу	(БФ,16X16)	МТМ-72	МТМ-162
Супутник (Н=50 км)
БФ (16X16)	0,0
МТМ -72	1,38	0,0
МТМ-162	0,87	0,80	0,0
МТМ-288	0,72	-	-
(БФ, 8X8)	2,40	1,74	2,15
Супутник (Н=100 км)
БФ (16X16)	0,0
МТМ -72	0,86	0,0
МТМ-162	0,74	0,58	0,0
МТМ-288	0,44	-	-
(БФ, 8X8)	1,67	1,32	1,46
Супутник (Н=250 км)
БФ (16X16)	0,0
МТМ -72	0,27	0,0
МТМ-162	0,19	0,14	0,0
МТМ-288	0,12	-	-
(БФ, 8X8)	1,12	1,31	1,20

Таблиця 3. Середні квадратичні різниці висот рівневих поверхонь отримані за даними порівнюваних моделей селенопотенціалу

БФ (16X16)- (МТМ -72)	БФ16X16)-БФ(16X16) інтегрально-дискретне
44м	77м	27м	37м
БФ (16X16)- (МТМ -162)	БФ(16X16)- БФ(16X16) інтегрально-дискретне
38м	55м	22м	32м
БФ (16X16)- (МТМ -288)	БФ(16X16)- БФ(16X16) інтегрально-дискретне
14м	44м	12м	13м

Звернемо увагу також на те, що за результатами моделювання, які наведені в табл. 3, було чітко виявлено тенденцію до зменшення середніх квадратичних різниць висот рівневих поверхонь залежно від збільшення кількості точкових мас. Отже, описана методика дозволяє визначати параметри будь-якої кількості точкових мас і отримувати близьке до оптимального із заданою точністю вирішення поставленої задачі.

В роботі також запропонований алгоритм побудови комбінованої моделі (точкові маси і гармонічні коефіцієнти) представлення селенопотенціалу, на основі якої більш обґрунтовано можна використовувати додаткові дані про параметри масконів. Ґрунтуючись на відомостях про гармонічні коефіцієнти до 16-го порядку та параметрах 12-ти масконів, і їх заміни точковими масами, були виконані обчислення гармонічних коефіцієнтів без врахування масконів. У табл. 4 приведені порядкові середні квадратичні значення в мілігалах і в метрах відповідно для вихідної моделі і моделі без врахування масконів. Відзначимо, що вплив сукупності масконів найбільше проявився на гармонічних коефіцієнтах 2-го, 10-го і 11-го порядків в розкладі гравітаційного поля Місяця за кульовими функціями.

Таблиця 4. Порядкові середні квадратичні значення сферичних гармонік , та , відповідно вихідної моделі і моделі без врахування масконів

Порядок розкладу	с. к.з. вихідної моделі гравітаційного поля	с. к.з. моделі гравітаційного поля без врахування масконів
N	в мГал	в м	в мГал	в м
2	15,7	168,3	13,4	114,2
3	10,4	55,4	10,8	57,6
4	9,4	33,6	10,9	38,8
5	12,4	33,1	11,5	30,7
6	14,5	31,1	13,3	28,5
7	17,2	30,6	17,4	31,0
8	12,6	19,3	12,0	18,3
9	11,3	15,1	10,8	14,4
10	13,6	16,2	9,5	11,3
11	14,5	15,6	10,5	11,2
12	11,6	11,3	9,0	8,8
13	11,0	9,8	11,3	10,0
14	9,6	7,9	8,2	6,7
15	16,0	12,2	15,5	11,8
16	7,9	5,6	8,8	6,3

Третій розділ " Структура та інтерпретація гравітаційного поля планет земної групи " присвячений узагальненню досліджень сучасного стану проблеми вивчення ізостазії та кореляційному аналізу довгохвильових амплітуд топографії та гравітаційного поля планет земного типу, а також дослідженню ізостазії на прикладі території Східної Європи та Карпато-Динарського регіону.

Дослідження ізостазії планет виконувалось на основі порівняльного аналізу побудованих карт розподілу ізостатичних ондуляцій і аномальної товщини кори, що знаходиться в напруженому стані. Отримані й узагальнені результати досліджень ізостазії планет земного типу надали можливість встановити в планетарному масштабі їх відмінності та загальні закономірності. З посеред них відзначимо таке.

Побудова сучасних моделей, які відходять від традиційної схеми Ері - Хейсканена і Пратта - Хейфорда, може привести до зміни уявлень про ізостазію різних регіонів Землі та ізостатичної врівноваженості структур кори.

аномалії сили ваги на Венері не такі великі, як на Місяці чи Марсі, та ймовірно, що вони краще корелюють з топографією, ніж на Землі. дискусія щодо реології і стану ізостазії на Венері залишається відкритою. З одного боку, для Венери цілком ймовірна інтенсивна конвекція в мантії, що може вказувати на часткову ізостатичну компенсацію. З іншого - дослідження щодо прогинання літосфери дають підстави вважати, що Венера має помірно жорстку літосферу, яка може підтримувати теперішній топографічний рельєф планети.

модельні оцінки товщі кори Марса є неоднозначними через відсутність достовірних сейсмічних вимірювань товщини марсіанської кори. фундаментальним відкритим питанням залишається інтерпретація формування північної низини. топографічні характеристики планети, що відносяться до вулканічної активності в минулому, такі як Tharsis complex, Olympus Mons істотно впливають на нижні гармоніки гравітаційного поля Марса. більшість додатних і від'ємних аномалій густини в літосфері корелюють з тектонічними структурами топографічної поверхні Марса.

На Місяці аномальне гравітаційне поле формується головним чином за рахунок впливу літосфери. ключовим питанням, яке пов'язане з інтерпретацією масконів, є відділення збурювальних складових у гравітаційних аномаліях від топографії, басейнового заповнення і впливу мантії під цим басейном. найбільші аномалії густини, що істотно впливають на гравітаційне поле, зосереджені в приповерхневих горизонтах і корелюють з масконами. Розподіл горизонтальних неоднорідностей густини в надрах Місяця на значних глибинах може свідчити про геодинамічну еліптичну неоднорідність.

Актуальним питанням у вивченні планет є інтерпретація перших членів розкладу в ряд за кульовими функціями гравітаційного поля і топографії, оскільки вони характеризують планетарні особливості їх структурної будови. гравітаційне поле та фізична поверхня надає відображення сучасного положення в геологічній еволюції планет і тому деяку інформацію про ізостатичний стан та глобальні особливості тектогенезу можна отримати при проведенні кореляційного аналізу довгохвильових компонентів рельєфу рівневої і топографічної поверхонь з позицій порівняльного планетологічного аналізу.

Кореляційну залежність між полями висот рельєфу рівневої та фізичної поверхні відображають порядкові і загальні коефіцієнти кореляції та взаємноковаріаційна функція (ВКФ), що були обчислені для планет. Зміна значень порядкових кореляцій між гармоніками і сучасних моделей топографії і гравітаційного поля для Землі, Венери, Марса та Місяця показані на рис. 1. Привертають увагу значущі коефіцієнти кореляції , отримані для Марса та Венери. Проте для Землі між гармоніками і низького порядку не існує помітної кореляції. додатна значуща кореляція виявляється, починаючи з 12- 15 і є суттєво від'ємною для низьких гармонік розкладу топографії і гравітаційного поля за сферичними функціями. для Місяця кореляція між гармоніками і є значущою тільки для , а для 10- 30 коефіцієнти кореляції не є ні значущими, ні стійкими за знаком. Гармонічні коефіцієнти за межами виділеного ряду показують значущу додатну кореляцію.

У дисертації також розглянуто кореляційну залежність між полями висот рельєфу рівневої і фізичної поверхонь у планетарному масштабі, що надало можливість перейти до з'ясування ізостатичного стану та ймовірного взаємозв'язку ондуляцій рівневої поверхні з найбільшими тектонічними структурами літосфери планет.

Рис. 1. Порядкові коефіцієнти кореляції між сферичними гармоніками сучасних моделей топографії і гравітаційного поля планет. Синім кольором наведені порядкові коефіцієнти кореляції для Землі, зеленим - для Венери, червоним - для Марса, чорним - для Місяця

На основі обчислених значень ковзних коефіцієнтів кореляції (ККК) за допомогою ізокорелят (ліній рівних значень ) були побудовані карти кореляційного зв'язку між висотами рівневої і фізичної поверхонь планет, обчислених з урахуванням гармонік до 2-го і вищих порядків. Оскільки гармоніки 2-го порядку відображають глобальні риси (триосної) гравітаційної і геометричної фігур планет, то за ККК були виявлені закономірності у взаємному розташуванні цих фігур, тенденція зміни ККК між висотами рівневої і фізичної поверхонь, визначених за гармоніками вищих порядків.

Так, для Землі характерне переважання негативних значень ККК та їх симетричне розташування щодо перетину по дузі великого круга, нахиленого до екватора. Ця особливість розподілу ККК може означати, що взаємне розташування фігур, які апроксимують поверхню літосфери і геоїда, не співпадає. Отже, можна констатувати не подібне розміщення планетарних особливостей поверхні літосфери відносно фігури геоїда, що може бути викликане переміщенням літосферних плит.

На противагу Землі, для Венери і Марса розподіл значень ККК показує, що просторове розташування довгохвильових особливостей геометричної та гравітаційної фігур, які характеризують їх триосність, співпадає. Врахування гармонік вищих порядків при визначенні висот рельєфу рівневої та фізичної поверхонь для Венери вказує на переважання додатної кореляційної залежності, а для Марса призводить до іншого розподілу значень ККК. Західна півкуля характеризується істотно додатними значеннями ККК, а для східної півкулі додатна кореляція простежується в області, діаметрально протилежній структурі Tharsis. Отже, регіони з додатними значеннями ККК імовірно динамічно були пов'язані з виникненням структури Tharsis і зараз їх топографія або лише частково ізостатично компенсована, або корелюється з аномаліями густини у верхній мантії. Перше припущення повинно призводити до значного надгідростатичного напруження, що припускає існування товстої літосфери, друге, очевидно, є більш вірогідним.

Для Місяця чітко простежується на фоні додатних значень (ККК) значуща від'ємна кореляція в екваторіальній області поблизу нульового меридіана між висотами рельєфу рівневої і фізичної поверхонь, обчислених за гармоніками 2-го порядку. Цю кореляційну залежність можна пояснити гравітаційною дією на рівневу поверхню масконів, що знаходяться в цій області.

Планетарний підхід до вивчення ізостазії планет був використаний в роботі для регіональних досліджень ізостазії Землі. при обчисленнях ізостатичних аномалій за класичними моделями Ері-Хейсканена чи Пратта-Хейфорда враховується лише локальний характер ізостатичної компенсації. Проте відомо, що ізостатична рівновага настає лише в регіональному масштабі. Тому ідеї створення технологічних моделей, які враховували б регіональний характер компенсації, призвели до побудови моделей ізостазії, заснованих на статистичному моделюванні (ідея використовування передаточної функції чи крос-спектрального методу).

В основу запропонованого методу покладено припущення, що аномалія сили ваги в точці зв'язана з висотою рельєфу в точці співвідношенням:

(7)

де п - кількість трапецій з відомими осередненими значеннями аномалій сили ваги і висотами рельєфу , які потрапляють в окіл ковзання. планета ізостатичний топографія тектонічна

Таким чином, маючи значення аномалій сили ваги та висот рельєфу, попередньо осереднені в межах трапецій певного розміру, та встановивши окіл ковзання еквівалентним площі регіональної компенсації, можна обчислити ізостатичні аномалії. На прикладі Карпато-Динарського регіону, обмеженого географічними координатами = 45-50° і = 13-24°, за формулами (7) методом "ковзного середнього" обчислені ізостатичні аномалії сили ваги. Як вихідна інформація використано аномалії у вільному повітрі і висоти , осереднені в межах трапеції 1Ч1°.

Якщо взяти до уваги те, що Земля має форму поверхні близьку до сфери, то всі геофізичні задачі інтерпретаційного характеру для великих територій необхідно розв'язувати у сферичній системі координат. Використовуючи метод математичного моделювання скалярного поля, можна перетворенням координат здійснити еквівалентне відображення ділянки сфери на поверхню одиничної сфери і виконати ортогональний розклад за системою сферичних функцій аномалій сили ваги та висот рельєфу . Припустимо, що ізостатичні варіації густини задаються деякою лінійною і ізотропною функцією висот рельєфу. Тоді ізостатичні аномалії сили ваги обчислимо за формулою:

, (8)

, . (9)

Тут - коефіцієнти розкладу ізостатичних аномалій, - передавальна функція (в граничних випадках, коли і , ізостатичні аномалії трансформуються в аномалії Буге та в аномалії сили ваги ); , і , - коефіцієнти розкладу аномалій сили ваги та висот рельєфу (коефіцієнти Фур'є), які визначаються з виразу:

. (10)

Використовуючи наведені формули, в роботі були обчислені ізостатичні аномалії сили ваги для регіону Східної Європи, обмеженого географічними широтами 48-60° і довготами 33-45°. Для цієї території побудовані карти-схеми поля висот топографічної поверхні, аномалій у вільному повітрі та ізостатичних аномалій сили ваги. Останні відображають розподіл аномальної густини в літосфері. Вихідними даними служили аномалії сили ваги у вільному повітрі, осереднені по 1Ч1° трапеціях, і висоти рельєфу фізичної поверхні Землі, зняті з карти масштабу 1:5 000 000 і також осереднені по 1Ч1° трапеціях.

реалізуючи два описані підходи до обчислення ізостатичних аномалій, в принципі, одержуємо їх різні значення, оскільки в основу обчислень, крім залежності аномалій сили ваги від висоти, покладені різні методи усереднення вихідних даних і , а саме: в першому випадку порядок N розкладу в ряди Фур'є за системою сферичних функцій, в другому - окіл ковзання. Два методи обчислення ізостатичних аномалій за своєю сутністю доповнюють один одного, реалізуючи інтегральну і дискретну постановку задачі регіональної ізостатичної компенсації, яка ґрунтується на припущенні, що компенсаційні варіації розподілу густини можна представити деякою лінійною та ізотропною функцією висоти рельєфу.

В роботі для Карпато-Динарського регіону та території Східної Європи розглянуто також кореляційні залежності між полями швидкостей та аномаліями у вільному повітрі , а також між та розрахованими за приведеною методикою ізостатичними аномаліями . Для аналізу кореляційної залежності між зазначеними характеристиками досліджуваних полів були використані обчислені ковзні коефіцієнти кореляції (ККК). Для території Східної Європи були також розраховані ККК між полем швидкостей сучасних рухів земної кори та тепловим потоком, глибинами поверхні Мохоровічича, висотами рельєфу фізичної поверхні. Отримані результати надають підстави стверджувати про наявність ймовірного причинно-наслідкового зв'язку між сучасними вертикальними рухами земної кори і досліджуваними полями.

У четвертому розділі " Внутрішня будова планет і використання для її вивчення параметрів гравітаційного поля " розглянуто широке коло питань, що стосуються вивчення внутрішньої будови планет з використанням даних про параметри їх гравітаційного поля та іншої інформації. Відомості про гравітаційний потенціал є ключовими для побудови моделі розподілу густини планети, бо кожна така модель повинна бути гравітаційною, тобто її гравітаційний ефект повинен відповідати зовнішньому гравітаційному полю. Виходячи з цієї позиції, мабуть, логічно говорити про започаткування напряму гравітаційної томографії планет, який включає розробку методів дослідження їх неоднорідної будови з використанням параметрів гравітаційного поля. Оскільки об'єкт дослідження - внутрішня структура планети - є надзвичайно складним, то апроксимаційний підхід до побудови моделей, які були б адекватними до існуючих уявлень та узгоджувалися з даними вимірювань, вважається цілком обґрунтованим як з математичної, так і з методологічної точки зору.

Для побудови одновимірних і тривимірних моделей розподілу густини надр планети був використаний наближений метод, в основі якого лежить апроксимація шуканої густини поліномом -го степеня щодо віддалі (, де - віддаль від центру планети ) і кутових координат , :

, (11)

де - стрибок в розподілі густини вздовж радіуса на глибині ; - стандартна розривна функція, на яку накладається така умова: , якщо < і , якщо >, ; коефіцієнти і - суть функції кутових координат, глибин стрибків густини і безрозмірних степеневих моментів густини:

, ,

кількість яких при кожному рівна і які лінійно зв'язані з стоксовими коефіцієнтами гравітаційного поля планети співвідношеннями:

або . (12)

Усереднювання формули (11) по сфері дозволяє отримати одновимірний розподіл густини з іншими коефіцієнтами, вже не залежними від і .

У роботі були виконані обчислення тривимірного розподілу густини надр Землі і Венери з використанням гармонічних коефіцієнтів до 4-го порядку і Марса та Місяця - до 20-го порядку розкладу гравітаційного поля за кульовими функціями. Крім цих даних, за вихідну інформацію приймались також параметри тришарової моделі (кора, мантія, ядро) і планетарні параметри. У табл. 4 наведені максимальні значення від'ємних і додатних аномалій густини на глибинах 100 і 1000 км для Землі , Венери , Марса і Місяця. На рис. 2-5 показані розподіл аномальної густини надр Землі, Марса і Місяця на глибині 100 км. Отриманим результатам розподілу аномалій густини надр планет була дана геофізична інтерпретація.

Таблиця 4. Зміна значень аномалій густини

Планета	Значення аномалій густини г/см3
Земля	-0,0012 - 0,0024	-0,0004 - 0,0012
Венера	-0,0016 - 0,0016	-0,0008 - 0,0008
Марс	-0,0125 - 0,0175	-0,0125 - 0,0025
Місяць	-0,0100 - 0,0100	-0,0060 - 0,0030

Рис. 2. Розподіл аномальної густини надр Землі, обумовлений гармонічними коефіцієнтами до 4-го порядку на глибині 100 км. Суцільні ізоденси проведені через 0, 4^.10^-3 г/см³

У роботі також запропонована постановка і розв'язок дискретної лінійної однопараметричної оберненої задачі гравіметрії (ОЗГ) для кулеподібної планети. За вибрану модель приймалась сферична чотирикутна (трикутна в полярних областях) зрізана піраміда однорідної густини. середню густину маси в об'ємі кожної сферичної зрізаної піраміди визначали при умові, що кількість шуканих значень рівна кількості заданих значень , тобто = із системи лінійних рівнянь:

, (13)

, (14)

,

. (15)

Рис. 3. Розподіл аномальної густини надр Венери, обумовлений гармонічними коефіцієнтами до 4-го порядку на глибині 100 км. Суцільні ізоденси проведені через 0,20^. 10^-3 г/см³

Рис. 4. Розподіл аномальної густини надр Марса, обумовлений гармонічними коефіцієнтами до 20-го порядку на глибині 100 км. Суцільні ізоденси проведені через 0,5^. 10^-3 г/см³

Рис. 5. Розподіл аномальної густини надр Місяця, обумовлений гармонічними коефіцієнтами до 20-го порядку на глибині 100 км. Суцільні ізоденси проведені через 0,5^. 10^-3 г/см

Враховуючи, що система рівнянь є нестійкою, то її розв'язок здійснювався методом регуляризації, який за допомогою декомпозиції поставленої задачі на дві підзадачі дозволив зменшити розмірність системи рівнянь завдяки виконанню додаткової умови . Тут - гармонічний в континуальному смислі розв'язок ОЗГ, який задає початкове наближення в об'ємі кожної сферичної зрізаної піраміди.

Апробація алгоритму розв'язку ОЗГ виконувалась для визначення розподілу густини горизонтальних аномальних мас у верхніх сферичних оболонках Землі, Венери, Марса та Місяця. Верхні оболонки цих планет розбивались на 126 сферичних прямокутних та 36 трикутних зрізаних пірамід, які обмежувались меридіанами та паралелями з кроком . Висота (товщина) сферичної оболонки для кожної планети визначалась за формулою

.

Для Землі і Венери горизонтальні неоднорідності розподілу густини приблизно однакові і досягають величин 0,002-0,004 г/см³ для товщини оболонки ~2000 км. Для Марса і Місяця величини горизонтальних неоднорідностей розподілу густини є значно більшими (від -0,030 г/см³ до 0,070 г/см³ для Марса з товщиною оболонки ~1200 км і від -0,040 г/см³ до 0,060 г/см³ для Місяця з товщиною оболонки ~600 км).

апробація в іншому варіанті розв'язку ОЗГ виконувалась для визначення горизонтальних неоднорідностей густини у сферичній оболонці Землі, яка охоплює її кору і верхню мантію до глибини 420 км. Стійкість розв'язку системи рівнянь перевірялась за допомогою внесення збурень ~4 % максимального значення аномалій сили ваги (один варіант розв'язку системи рівнянь) або аномального вертикального градієнту сили ваги (другий варіант розв'язку системи рівнянь). В результаті розв'язку рівняння за описаним алгоритмом отримані стабільні результати.

На рис. 6 показаний у вигляді ізоліній горизонтальний розподіл аномальної густини , який наочно ілюструє глобальні варіації латеральних неоднорідних мас верхнього шару Землі, що охоплює кору і верхню мантію до глибини 420 км.

Рис. 6. Ізолінії розподілу горизонтальних неоднорідностей густини у верхній сферичній оболонці землі товщиною 420 км. Ізолінії проведені через г/см³. Вихідною інформацією служили значення аномалій сили ваги

Серед методів вивчення будови земної кори і верхньої мантії гравіметричний метод посідає ключове положення. Вдосконалення існуючих та розробка нових методів для вивчення геодинамічних процесів і внутрішньої будови Землі потребує постановки задачі побудови комплексної геолого-геофізичної моделі кори та верхньої мантії. на шляху до вирішення такої задачі може розглядатись методика побудови моделі розподілу густини в тектоносфері Землі з використанням гравіметричних даних та іншої геолого-геофізичної інформації, яка представлена в роботі. Ідея побудови моделі розподілу густини в тектоносфері ґрунтується на методі варіантного відбору і містить таку теоретичну постановку задачі побудови взаємопов'язаної ієрархічної системи гравітаційних моделей різного рівня, а саме: планетарної моделі розподілу густини; регіональної моделі розподілу густини (тектоносфера, астеносфера, літосфера); локальної моделі розподілу густини (земна кора, великі геологічні формації, окремі тектонічні структури).

Розглянемо зазначену постановку задачі в класі вибраних моделей. Розіб'ємо верхню сферичну оболонку планети на , = сферичних зрізаних пірамід, які обмежуються координатними поверхнями и_1j, и_2j, л_1j, л_2j, r_1j,, r_1j. Приймемо за референцну модель для континентальних і океанічних територій модель PEM-C та PEM-O, у яких розподіл густини змінюється кусково-неперервним чином у вигляді полінома не вище третього степеня від нормалізованого радіуса:

...