Античная наука

Наряду со строго математическими методами Архимед иногда пользуется остроумными эвристическими приемами для получения тех же результатов. Еще в первом письме к Досифею («О квадратуре параболы») площадь параболического сегмента определяется не только методом исчерпывания Евдокса, но также «механическим» методом, представлявшим собою изобретение самого Архимеда. Обоснование подобных процедур содержится в рукописи неизвестного ранее сочинения Архимеда, обнаруженной в Константинополе приват-доцентом Петербургского университета Попадопуло Керамевсом и прочтенной в 1906--1908 гг. известным датским филологом И. Л. Хейбергом. В этом сочинении (так называемый «Эфод»), пользуясь принципом рычага, Архимед приводит доказательства ряда теорем, в других сочинениях доказываемых им с помощью интегрального метода. При этом Архимед пишет: «Кое-что из того, что ранее мною усмотрено при помощи механики, позднее было доказано также и геометрически». Разумеется, такие «механические» методы не могли быть применены ко всем задачам подобного рода, которые, однако, также были решены Архимедом. Механические методы, используемые Архимедом, представляют собой обход интегрирования, когда можно бывает выразить одни интегралы через другие, уже известные. Этому не противоречит то обстоятельство, что механические методы применялись Архимедом задолго до того, как он разработал интегральный метод, представлявший собой развитие метода исчерпывания Евдокса.

Уже в древности большой популярностью пользовалось сочинение Архимеда, дошедшее до нас полностью под названием «Псаммит» (примерный перевод -- «Исчисление песчинок») и относящееся к числу поздних работ великого сиракузца, причем, судя по началу, оно было теснейшим образом связано с астрономической проблематикой. Математическое содержание «Псаммита» сводится к разработке системы классификации больших чисел. Эта классификация, кажущаяся теперь неоправданно сложной, заканчивается числом, которое в наших обозначениях может быть записано как

Громадность этого числа должна была поражать воображение древних, не привыкших оперировать с очень большими числами. По сравнению с ним количество песчинок, которые заполнили бы пустую сферу, равновеликую сфере неподвижных звезд, оказалось равным, согласно расчетам Архимеда, неизмеримо меньшему числу -- 10⁶³. Не все математические сочинения Архимеда дошли до нашего времени. Так, книги «Леммы», «О семиугольнике», «О касающихся кругах» известны нам лишь в арабском изложении; некоторые геометрические теоремы, доказанные Архимедом, сохранились в математическом трактате знаменитого среднеазиатского ученого Ал-Бируни (973--1048 гг.); от ряда же других книг (в том числе от трактата «О параллельных линиях») до нас дошли лишь их заглавия. Но и того, что нам известно, достаточно, чтобы оценить Архимеда как величайшего математика древности, явившегося предтечей творцов высшей математики Нового времени.

Аполлоний Пергский. Третий великий математик эпохи эллинизма -- Аполлоний из Перги (в Панфилов -- небольшой области, расположенной на южном побережье Малой Азии) -- жил и работал в Александрии, Пергаме и Эфесе в конце III в. до н. э. Наиболее знаменитое сочинение Аполлония -- «Конические сечения» («Кошка») -- посвящено теории кривых второго порядка (эллипса, гиперболы и параболы), получающихся при сечении конуса плоскостью, расположенной под разными углами к оси конуса. До нас сочинение Аполлония дошло не полностью: из составлявших его восьми книг мы располагаемым оригинальным греческим текстом лишь первых четырех и арабским переводом трех последующих; что же касается восьмой книги, то она считается утерянной, хотя о ее содержании мы можем судить по изложению Паппа в его «Математическом сборнике». Долгое время сочинение Аполлония не имело влияния на развитие науки, и лишь в XVII в., в связи с развитием аналитической геометрии, механики и новой теории движения планет, данной Кеплером, наступило возрождение идей Аполлония. Теория конических сечений Аполлония принадлежит к числу таких математических теорий, которые создавались задолго до того, как в них возникала потребность в математическом естествознании.

Из других математических работ Аполлония полностью сохранился (в арабском переводе) лишь один небольшой трактат в двух книгах -- «О сечении в данном отношении». В нем рассматривается следующая задача: даны две прямые, лежащие в одной плоскости, и точка на каждой из них; через некоторую третью точку надо провести прямую так, чтобы она отсекала на данных прямых, начиная от данных точек, отрезки, которые находились бы друг к другу в заданном отношении. Первая книга трактата рассматривает случай, когда данные прямые параллельны, вторая -- когда они пересекаются (рис. 8). Аполлоний показывает, что эта задача сводится к решению некоторого квадратного уравнения. Аполлоний написал еще два трактата на сходные темы; о них мы знаем по изложению Паппа.

«О сечении с заданной площадью». В этом сочинении рассматривалась задача, аналогичная предыдущей: оба отсекаемых отрезка должны, при умножении их друг на друга, дать прямоугольник заданной площади.

«Об определенном сечении». На прямой даны четыре точки: А, В, С и D. Определить точку Р, лежащую на той же прямой, так, чтобы произведение АР-СР имело заданное отношение к ВРDР.

Несколько трактатов Аполлония известны нам по ссылкам на них Паппа и других позднейших авторов.

«О касаниях». Здесь разбирается знаменитая задача Аполлония: даны три объекта, каждый из которых может быть точкой, прямой или окружностью. Найти окружность, которая проходит через каждую из данных точек и касается заданных прямых или окружностей.

«О плоских геометрических местах». В этом трактате Аполлоний доказывал ряд теорем, в которых рассматривались геометрические места, относящиеся к прямым и окружностям. Некоторые из этих теорем приводятся Паппом. Интересно, что в этом трактате впервые используются инверсия на плоскости и гомотетия как преобразования, переводящие «плоские места» (прямые и окружности) в такие же «места».

«О сравнении додекаэдра и икосаэдра». Эта книга упоминается Гипсиклом во введении к так называемой XIV книге «Начал» Евклида. В ней доказывалось, что если додекаэдр и икосаэдр вписаны в один и тот же шар, то их поверхности имеют то же отношение, что и их объемы.

Известны названия еще некоторых сочинений Аполлония, но о их содержании нет определенных сведений. Среди них -- работа «О неупорядоченных иррациональ-ностях», в которой, как можно предполагать, классификация иррациональных величин, содержащаяся в «Началах» Евклида, была распространена на более широкие классы иррациональностей. К сожалению, мы не располагаем данными, которые позволили бы судить, насколько далеко Аполлоний продвинулся в этой области.

Но даже из того, что мы знаем о достижениях Аполлония -- то ли из его оригинальных текстов, то ли из свидетельств о нем математиков более позднего времени -- мы вправе заключить, что в его лице эллинистическая эпоха дала миру первоклассного математического гения. В трудах Аполлония греческая геометрическая алгебра достигла высшего расцвета. После него это направление математической науки начинает постепенно хиреть и иссякать. Для дальнейшего успешного развития античная математика нуждалась в новых импульсах; эти импульсы, однако, нельзя было почерпнуть в тогдашней действительности.

«Малые» математики эпохи эллинизма. Наряду с гигантскими фигурами Евклида, Архимеда и Аполлония в Александрии и в других культурных центрах III--II вв. до н. э. жили и работали математики меньшего калибра, не давшие новых идей и не разработавшие принципиально новых теорий. И все же некоторые из них заслуживают того, чтобы их имена не были преданы забвению. О Кононе Самосском, старшем друге Архимеда, мы уже упоминали выше. О его собственных математических достижениях нам ничего не известно; впрочем, он был, по-видимому, скорее астрономом, чем математиком.

Математические труды другого друга Архимеда -- Эратосфена Киренского -- были не столь значительны, как его работы в области географии и хронологии, но они все же свидетельствовали об оригинальном и творческом уме их автора. Так, Эратосфен дал механическое решение знаменитой задачи об удвоении куба; это решение было высечено на стене одного из александрийских храмов. Он занимался теорией чисел и предложил оригинальный способ выделить простые числа из последовательности всех нечетных чисел (так называемое «решето Эратосфена»). В диалоге «Платоник» он изложил основы античной арифметики, где, в частности, были сформулированы правила образования различных пропорций.

Размещено на Allbest.ru