Основи ризикології

Шоста інформаційна ситуація - характеризується, як проміжна між першою та п'ятою інформаційними ситуаціями, коли одночасно з наявністю певної інформації щодо розподілу Р апріорних імовірностей , економічне середовище не є пасивним.

Слід зауважити, що кожній інформаційній ситуації відповідає свій набір критеріїв прийняття рішень.

Прийняття рішень у полі першої інформаційної ситуації

Перша інформаційна ситуація є поширеною в більшості практичних задач прийняття рішень за умов ризику. При цьому ефективно використовуються методи теорії ймовірності та математичної статистики, особливо точкові статистичні оцінки.

Розглянемо деякі з основних критеріїв прийняття рішень у полі першої інформаційної ситуації.

1) Критерій Байєса. Згідно з критерієм Байєса оптимальне рішення (чи множина оптимальних рішень) у випадку, коли визначається умовою:



: Символ “:” в математичних викладках є еквівалентом слів “для якого”.) В+(; Р) = В+(sk; Р).

Величина називається байєсівською оцінкою рішення (стратегії) і є математичним сподіванням випадкової величини, що задається вектором оцінювання .

Якщо функціонал оцінювання має негативний інгредієнт , тобто відображає ризики, збитки, непередбачені виплати тощо, то величину називають байєсівською оцінкою ризику рішення (стратегії) . У цьому випадку оптимальне рішення (стратегія) визначається умовою:

.

Слід відмітити, що як показують дослідження, навіть у випадку сприятливої щодо СПР ситуації рішення, прийняте лише на основі критерію Байєса, неадекватне, тобто воно не враховує всі аспекти реальної ситуації (оскільки він не враховує варіацію). Тому оцінки, отримані згідно з цим критерієм, часто використовують як складові більш складних критеріїв, що враховують розкид значень функціоналу оцінювання на множині сценаріїв (це розглядатиметься далі).

2) Критерій мінімальної дисперсії. Незалежно від інгредієнта функціонала оцінювання оптимальне рішення (стратегія) може визначатись умовою:



де дисперсія випадкової величини, що задається вектором оцінювання .

3) Критерій мінімальної семіваріації. Незалежно від інгредієнта функціонала оцінювання оптимальне рішення (стратегія) може визначатись умовою:

: ,

де - семіваріація випадкової величини, що задається вектором оцінювання , k = - вектор індикаторів несприятливих відхилень для рішення sk відносно байєсівської оцінки В (sк; Р) цього рішення (k = 1, ..., m).

4) Критерій мінімального коефіцієнта варіації. Якщо функціонал оцінювання має позитивний інгредієнт , то оптимальним слід вважати рішення (стратегію)

де - величина коефіцієнта варіації для рішення sk.

5) Критерій мінімального коефіцієнта семіваріації. Якщо F = , то оптимальним слід вважати рішення



де - величина коефіцієнта семіваріації для рішення sk.

Прийняття рішень у полі другої інформаційної ситуації

Зазначимо, що у цій ситуації висувається гіпотеза щодо класу функцій, якому належить цей (невідомий) розподіл, на основі статистичної інформації здійснюється перевірка цієї гіпотези і при наявності позитивного результату на основі ідентифікованого розподілу будується вектор , який розглядається як прийнятна оцінка розподілу ймовірності станів економічного середовища. Після цього, стосовно прийняття рішень, можна скористатись критеріями, що розглядались у випадку першої інформаційної ситуації.

Прийняття рішень у полі третьої інформаційної ситуації

Необхідно відмітити, що для цієї інформаційної ситуації характерним є те, що апріорі закон розподілу ймовірностей станів економічного середовища невідомий, але відомі деякі співвідношення пріоритету стосовно елементів множини станів економічного середовища. А тому суттєвою проблемою у цій ситуації є генерація гіпотез (допущень), на основі яких та наявної інформації здійснювалось би оцінювання розподілу ймовірностей станів економічного середовища.

Перша формула Фішберна. У випадку, коли на основі наявної (можливо й суб'єктивної) інформації можна побудувати ряд пріоритету щодо станів економічного середовища, тобто вважаючи, що Фішберн [7] висунув гіпотезу, що оцінки апріорних ймовірностей можна будувати у вигляді спадної арифметичної прогресії. Він показав, що ці оцінки можна обчислювати за формулою:

.

Друга формула Фішберна. У випадку, коли апріорі можна стверджувати, що мають місце співвідношення пріоритету щодо станів економічного середовища

,

згідно з гіпотезою Фішберна 7 оцінки , апріорних ймовірностей можна вибрати у вигляді спадної геометричної прогресії:

.

Наступним етапом, після оцінювання розподілу ймовірності станів економічного середовища згідно з однією із формул Фішберна, є прийняття рішення з використанням критеріїв, розглянутих у випадку першої інформаційної ситуації.

Прийняття рішень у полі четвертої інформаційної ситуації

Для цієї інформаційної ситуації характерним є повне незнання закону розподілу ймовірностей станів економічного середовища. А тому вибір розподілу ймовірності станів економічного середовища, як і у двох попередніх випадках повинен базуватись на певних гіпотезах. У якості однієї з таких гіпотез можна використати принцип Бернуллі-Лапласа (принцип недостатніх підстав), згідно з яким можливі стани економічного середовища розглядаються як рівноімовірні випадкові події, якщо відсутня інформація про умови, за яких кожен стан може відбутися. Тобто вважати, що , .

Прийняття рішень у полі п'ятої інформаційної ситуації

Ця інформаційна ситуація характеризується антагоністичними інтересами СПР та економічного середовища, тобто має місце конфлікт між ними. При цьому економічне середовище є активним, тобто таким, що активно протидіє досягненню найбільшої ефективності рішень, які приймаються СПР. Це досягається шляхом вибору таких своїх станів, які зводять до мінімуму ефективність процесу управління.

Необхідно зазначити, що основною стратегією для СПР у полі п'ятої інформаційної ситуації є забезпечення собі гарантованих рівнів значень функціоналу оцінювання.

1) Критерій Вальда. Коли F = F+, то згідно з критерієм Вальда оптимальне рішення вибирається за принципом maxmin (максиміну).

.

У випадку, коли , оптимальне рішення знаходиться згідно з принципом minmax (мінімаксу), а саме:

.

Слід зазначити, що критерій Вальда надзвичайно консервативний, тобто безризиковий у такій ситуації, де недоцільно ризикувати.

2) Критерій домінуючого результату. Коли F = F, то згідно з критерієм домінуючого результату оптимальне рішення забезпечується maxmax (максимаксною) стратегією:

.

У випадку, коли оптимальне рішення забезпечується minmin (мінмінною) стратегією:

.

В основному цей критерій використовується як складова частина в процесі побудови складних моделей прийняття багатоцільових рішень для імітації найсприятливіших ситуацій (наприклад, в критерії Гурвіца, що використовується в полі шостої інформаційної ситуації).

3) Критерій мінімального ризику Севіджа. Цей критерій є одним з основних критеріїв, що відповідає принципу мінімаксу. Перш за все необхідно перейти від функціоналу оцінювання F до матриці ризику R. Тоді згідно з критерієм Севіджем оптимальним слід вважати рішення:

.

Прийняття рішень у полі шостої інформаційної ситуації

Нагадаємо, що ця ситуація характеризується наявністю чинників, що зумовлюють «проміжну» між п'ятьма вищерозглянутими інформаційними ситуаціями поведінку економічного середовища щодо вибору своїх станів.

Класичними прикладами критеріїв прийняття компромісних рішень в полі шостої інформаційної ситуації критерій Гурвіца, модифіковані критерії та критерій Ходжеса-Лемана [1, 2, 3, 5, 6].

1) Критерій Гурвіца. Гурвіц запропонував використовувати зважену комбінацію найкращого та найгіршого. Такий підхід до вибору рішень відомий як критерій показника песимізму-оптимізму. Особливістю цього критерію є те, що в ньому передбачається не повний, а лише частковий антагонізм середовища та СПР.

Згідно з критерієм Гурвіца у випадку, коли F = F+, оптимальним є рішення

.

Величину називають -показником Гурвіца для рішення sk S.

У випадку, коли , оптимальним є рішення

.

Параметр в обох випадках можна інтерпретувати як коефіцієнт несхильності до ризику.

2) Модифіковані критерії. Згідно з модифікованими критеріями у випадку, коли F = F, оптимальним є рішення

,

або ж у випадку, коли F = F, рішення

,

де ; , а в якості величини можна використати середньоквадратичне , семіквадратичне відхилення тощо. Параметр , який використовується у зазначених вище критеріях, можна трактувати як коефіцієнт несхильності СПР до ризику.

3) Критерій Ходжеса-Лемана. Ходжес та Леман стоять на тій точці зору, що в практиці прийняття рішень в умовах невизначеності інформація про стан ЕС знаходиться між повним незнанням та точним знанням апріорного розподілу. Критерій Ходжеса-Лемана дає змогу використовувати всю інформацію, що її має суб'єкт управління, але в той же час забезпечує заданий рівень гарантії у випадку, коли ця інформація неточна. У деякому плані критерій Ходжеса-Лемана являє собою «суміш» критеріїв Байєса та Вальда.

Згідно з критерієм Ходжеса-Лемана у випадку, коли F = F+, оптимальним є рішення

.

Якщо ж , то оптимальним рішенням є

.

Як і раніше, параметр [0,1], і його можна інтерпретувати як коефіцієнт несхильності до ризику.

Прийняття рішень, оптимальних за Парето

Необхідно відмітити, що згідно з Парето рішення sk вважається не гіршим від рішення sl (позначається: ), якщо для всіх елементів відповідних їм векторів мають місце оцінки якщо F = Fчи , якщо F=F.

Якщо хоча б для однієї компоненти вектора має місце строга нерівність (F = F+) чи (F = F), то рішення sk вважається кращим за рішення sl (записується ).

Рішення є оптимальним за Парето, якщо в множині S не знайдеться рішення, краще від .

Необхідно звернути увагу на те, що на практиці ситуація, коли рішення що приймається, буде оптимальним за Парето, є досить рідкісним явищем. А тому у разі відсутності рішення, оптимального за Парето, утворюють множину непокращуваних за Парето рішень . (Нагадаємо, що рішення називається покращуваним, якщо існує рішення таке, що ). Тоді оптимальне рішення доцільно шукати серед елементів множини Парето SП, використовуючи при цьому критерії, адекватні ситуації прийняття рішень.

Тема 4. Елементи теорії портфеля цінних паперів

Суть диверсифікації

Диверсифікація -- це процес розподілу інвестованих засобів між різними об'єктами вкладення капіталу з метою зниження ступеня ризику, забезпечення більшої стійкості прибутків за будь-яких коливань дивідендів і ринкових цін на цінні папери (ЦП).

Загальним правилом інвестора щодо диверсифікації є таке: необхідно прагнути розподілити вкладення між такими видами активів, які показали за минулі роки, по-перше, різну щільність зв'язку (кореляцію) із загальноринковими цінами (індексами) і, по-друге, протилежну фазу коливання норми прибутку між собою (цін) всередині портфеля.

Ідею принципу диверсифікації та підхід до побудови оптимальних портфелів цінних паперів продемонструємо на прикладі побудови портфеля простих акцій.

Суть управління портфелем цінних паперів

Управління портфелем цінних паперів (ПЦП) -- це планування, аналіз і регулювання структури портфеля, діяльність щодо його формування та підтримки з метою досягнення поставлених цілей при збереженні необхідного рівня його ризику та мінімізації затрат, пов'язаних з ним.

Основними цілями інвестування в ЦП у класичному аналізі є:

одержання прибутку;

збереження капіталу;

забезпечення приросту капіталу (на базі зростання курсової вартості цінних паперів).

Досягнення цих цілей потребує дотримання певних умов. Так, наприклад, ціль «збереження капіталу» може бути реалізована тоді, коли портфель складають ліквідні ЦП.

Такі цілі можуть бути до певної міри альтернативними (суперечити одна одній) та відповідати різним типам ПЦП. Наприклад, якщо метою є одержання відсотка, то пріоритет віддається «агресивним» портфелям, які складаються з низьколіквідних та високоризикованих ЦП молодих компаній, здатних, якщо цьому сприятимуть обставини, принести високі відсотки. І навпаки, якщо найважливішим для інвестора (менеджера) є збереження і приріст капіталу, то в портфель будуть залучені ЦП, що мають більшу ліквідність і які випущені відомими фірмами та державою, з невеликими ризиками й заздалегідь очікуваними сподіваними (середніми), хоча й невеликими відсотковими сплатами.

Ризик портфеля цінних паперів

Ризик ПЦП -- це міра (ступінь) можливості того, що настануть обставини, за яких інвестор може понести збитки, спричинені інвестиціями в ПЦП, а також операціями, пов'язаними із залученням ресурсів до формування портфеля.

Портфельний ризик -- агреговане поняття, яке, у свою чергу, включає багато видів конкретних ризиків: ліквідності, кредитний, капітальний, селекції тощо.

Найтиповішим управлінням портфелем є таке, кінцевою метою якого є прибутковість портфеля, тобто перевищення доходів від інвестицій в ЦП над затратами на залучення грошових ресурсів, необхідних для цих вкладень, за умови забезпечення певного ступеня ліквідності та ризику портфеля.

Норма прибутку цінних паперів

Основною характеристикою кожного ЦП є норма прибутку. Її обчислюють як відношення прибутку, що його приносить даний ЦП, до затрат, пов'язаних з купівлею цього ЦП. Якщо купівля ЦП здійснюється в період t0, то норма прибутку цього ЦП в період t обчислюється за формулою:

де C(t0) -- ціна купівлі ЦП в період t0, C(t) -- ціна (продажу) цього ЦП в t-ий період, D(t) -- дивіденди, нараховані до t-го періоду.

Норма прибутку є одним з основних критеріїв, якими керуються інвестори під час прийняття рішення щодо купівлі цінного паперу.

Всі рішення, які торкаються інвестування в цінні папери, є такими, що стосуються майбутнього, але цілком очевидно, що будь-яке значення величини норми прибутку пов'язане з невизначеністю. Іншими словами, рішення, які стосуються інвестування в цінні папери, є рішеннями, що приймаються в умовах невизначеності і пов'язаного з цим ризику. Згідно з прийнятою раніше гіпотезою щодо норми прибутку (норма прибутку є випадковою величиною) це означає, що R(t) в кожний момент часу t може приймати різні значення з різними ймовірностями. Ці ймовірності залежать від ситуації на ринку ЦП, котра, в свою чергу, залежить від багатьох чинників, зокрема від загальної економічної ситуації.

Надалі будемо розглядати статичний ПЦП, тобто вважатимемо, що протягом періоду, який досліджується, норма прибутку певного ЦП може приймати різні значення (залежно від стану економічного середовища), але при цьому не має місця тенденція зміни значення цієї норми прибутку (залежно від часу). Такий підхід до побудови ПЦП є спрощеним, але він має широке використання.

На практиці при оцінці сподіваної норми прибутку часто виходять з припущення, що поводження ЦП у майбутньому великою мірою залежить від того, як формувались його норми прибутку у минулому. Це означає, що для статичної моделі ПЦП (або для близької до неї) майбутня норма прибутку може бути наближено визначена за допомогою норм прибутку, що мали місце у минулому.

Якщо позначити через Т кількість періодів, що минули (роки, місяці, тижні), то у випадку звичайної акції норма прибутку в t-му періоді визначається за формулою:

, (4.1)

де C(t-1) -- ціна ЦП в (t-1)-ий період, D(t) -- дивіденди, нараховані в t-му періоді.

Сподівана норма прибутку цінних паперів

Введемо позначення:

= {1; 2; …; n} -- множина станів економічного середовища;

Р = {p1; p2; …; pn} -- розподіл ймовірностей станів економічного середовища;

Ri = {Ri1; Ri2; …; Rin} -- множина значень норми прибутку і-го ЦП залежно від станів, що їх може приймати економічне середовище.

Величина

(4.2)

має назву сподіваної норми прибутку і-го ЦП. Вона використовується в якості характеристики цього ЦП.

Приклад 1. Розглянемо дві акції виду А1 та А2. Для кожної з них можлива норма прибутку залежить від стану економіки. Експерти вказали на 5 можливих станів економіки, а також на ймовірність їх реалізації. Числові дані подано в табл. 4.1.

Таблиця 4.1

Стан економічного середовища	Ймовірність	Норма прибутку, % А1 А2
Значне піднесення	0,1	20	10
Незначне піднесення	0,3	10	5
Стагнація	0,2	2	2
Незначна рецесія	0,3	- 2	1
Значна рецесія	0,1	- 10	- 5

Необхідно обчислити сподівану норму прибутку для цих ЦП.

Розв'язання. Сподівані норми прибутку позначимо відповідно через m1 та m2. Згідно з формулою (4.2) отримуємо, що m1 = 3,8%; m2 = 2,7%. Як бачимо, акція виду А1 характеризується вищою нормою прибутку, ніж акція виду А2, а тому, з точки зору максимізації прибутку, може бути обраною інвесторами акція виду А1.

Аналіз розв'язку. Невизначеність, пов'язана з величиною реалізованої норми прибутку, призводить до того, що інвестування в ЦП, а перш за все в звичайні акції, пов'язане з ризиком. Досить того, щоб настала стагнація або рецесія, тоді норма прибутку буде меншою, а прибуток перетвориться у збитки, причому ці збитки будуть більшими для акції виду А1. У зв'язку з цим слід зазначити, що акція виду А1, приносячи більшу сподівану норму прибутку, обтяжена й більшим ризиком.

Якщо протягом Т періодів норма прибутку звичайної акції обчислюється згідно з формулою (1), то наближену оцінку сподіваної норми прибутку можна обчислити за формулою:

. (4.3)

Приклад 2. Розглянемо умовну акцію виду А, відносно якої маємо статистичну інформацію за останні 10 періодів (кварталів). Дані, а також обчислення норм прибутку, подано в табл. 4.2.

На базі цих даних, користуючись формулами (4.1) та (4.2), отримуємо значення сподіваної норми прибутку для акції виду А: mA = 0,1 43,29 4,33 (%).-

Таблиця 4.2

Період	Ціна акції, грн.	Дивіденд, грн.	Приріст ціни, грн.	Прибуток, грн.	Норма прибутку, %
t	C(t)	D(t)	C(t) - C(t-1)	C(t)-C(t-1) +D(t)	R(t)
0	145
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	150 165 155 162 154 160 160 175 168 170	5 4 4,5 3 4,5 5 4,5 3 4 3,5	5 15 - 10 7 - 8 6 0 15 - 7 2	10 19 - 5,5 10 - 3,5 11 4,5 18 -3 5,5	6,9 12,67 - 3,33 6,45 - 2,16 7,14 2,81 11,25 - 1,71 3,27
Сума	43,29

Ризик цінних паперів в абсолютному вираженні

Другою, поряд із сподіваною нормою прибутку, важливою характеристикою кожного цінного паперу є його ризик. Що стосується системи кількісних оцінок ризику, то деякі з найбільш простих і важливих оцінок були приведені раніше. Однією з них є варіація (дисперсія). У даному випадку можна говорити про варіацію (дисперсію) норми прибутку цінного паперу. Для і-го ЦП її можна обчислити за формулою:

(4.4)

Варіація (дисперсія) норми прибутку ЦП виражається у відсотках, піднесених до квадрата. Це, взагалі кажучи, дещо незручно з точки зору інтерпретації результатів. Цієї незручності позбавлена інша характеристика ступеня ризику -- середньоквадратичне відхилення норми прибутку ЦП:

У випадку, коли є інформація про норму прибутку і-го ЦП у минулі Т періодів, варіацію можна обчислити за формулою:

.

Приклад 3. Виходячи з умови прикладу 1, обчислити ризик в абсолютному вираженні для кожного з ЦП виду А1 та А2 та порівняти їх між собою.

Розв'язання. Враховуючи, що m1 = 3,8%, m2 = 2,7%, згідно (4.4) отримуємо:

V1 = 67,56;V2 = 13,81;

Як бачимо, ступінь ризику, пов'язаного з акцією виду А1, яка характеризується вищою сподіваною нормою прибутку, є значно вищим, ніж ризик, яким обтяжена акція виду А2.

Ризик цінних паперів у відносному вираженні

Розглянемо два цінних папери виду A1(m1; 1) та A2(m2; 2). Якщо для їх характеристик виконуються співвідношення m1 > m2 та 1 < 2, то в цьому випадку можна вважати, що ЦП виду A1 є кращим за ЦП виду A2 (символічно: A1 A2).

Якщо ж m1 > m2 і при цьому 1>2, то для порівняння ризику цих ЦП можна скористатись однією з відносних оцінок ризику:

коефіцієнт варіації:

;(4.5)

коефіцієнт семіваріації:

;(4.6)

модифікований коефіцієнт варіації:

;(4.7)

модифікований коефіцієнт семіваріації:

,(4.8)

де mF -- норма прибутку безризикових або майже безризикових ЦП (наприклад, державних короткострокових облігацій, ЦП «старих фірм» тощо)

Приклад 4. Виходячи з умови прикладу 1, обчислити ризик у відносному вираженні для кожного із ЦП виду A1 та A2 і порівняти їх між собою.

Розв'язання. Оскільки згідно з умовою m1 = 3,8 > 2,7 = m2; 1 = 8,22 > 3,72 = 2, то для порівняння ЦП виду A1 та A2 скористаємось відносною оцінкою ризику, а саме -- коефіцієнтом варіації:

Рис. 4.1. Геометрична інтерпретація коефіцієнта варіації

На рис. 4.1 в системі координат «норма прибутку -- ризик» акціям виду А1 відповідає точка А1 (m1;1), акціям виду А2 -- точка А2 (m2; 2), тобто їм відповідають радіуси-вектори та .

Враховуючи, що коефіцієнт варіації має негативний інгредієнт, приходимо до висновку, що з позиції цієї міри ризику перевага надається тим акціям, для яких відповідний радіус-вектор має менший кут нахилу до осі абсцис, тобто перевага надається ЦП виду А2.

Приклад 5. Виходячи з умови прикладу 1, а також враховуючи, що норма прибутку державних облігацій mF = 3%, обчислити ризик кожного з цінних паперів виду А1 та А2 і порівняти їх між собою.

Розв'язання. Скористаємось модифікованим коефіцієнтом варіації (рис. 4.2):

Враховуючи, що коефіцієнт варіації має негативний інгредієнт, перевагу слід надати акціям виду А1.

Рис. 4.2. Геометрична інтерпретація модифікованого коефіцієнта варіації

Отриманий результат суперечить висновкам, зробленим у прикладі 3. Ця суперечність пояснюється тим, що модифікований коефіцієнт варіації за своєю суттю здійснює «фільтрацію» ЦП, відкидаючи ті акції, норма прибутку яких менша від фіксованої норми прибутку.

Зауваження 1. На рис. 4.1 наведено акції виду A3(m3; 3) та A4(m4; 4), для яких m3 = m4 < 0 та 3 > 4, але при цьому . У цій ситуації для порівняння акцій формально скористаємось відносною оцінкою ризику (коефіцієнтом варіації чи семіваріації). З урахуванням того, що , приходимо до висновку, що A3 A4. Але здоровий глузд підказує, що має місце співвідношення A4 A3.

Тому приходимо до висновку про недоцільність використання коєфіцієнта варіації (чи семіваріації) для порівняння ЦП у випадку, коли M(R+) < 0.

Слід також мати на увазі, що саме така ситуація виникла під час вивчення деяких ЦП Українських підприємств, виставлених на аукціон.

Аналогічна ситуація може виникнути і при використанні модифікованого коефіцієнта варіації (чи семіваріації). На рис. 4.2 порівняння ЦП виду A2 та A3 (які знаходяться в лівій півплощині по відношенню до прямої m = mF) також приводить до протиріччя. А тому модифікований критерій слід використовувати лише для порівняння ЦП, що знаходяться праворуч по відношенню до прямої m = mF (m = 3).

Кореляція цінних паперів та її застосування

Під час формування ПЦП істотну роль відіграє ще одна характеристика -- кореляція ЦП. Вона характеризує взаємозв'язок між нормами прибутку двох цінних паперів. Міру щільності цього взаємозв'язку вимірюють за допомогою коефіцієнта кореляції.

Коефіцієнт кореляції є показником того, наскільки зв'язок між нормами прибутків акцій двох видів близький до строгої лінійної залежності. Він однаково ураховує і надто велику частку випадковості, і надто велику частку нелінійності цього зв'язку. Якщо розглядаються дві звичайні акції виду А1 та А2, то їхній коефіцієнт кореляції визначається за формулою:

де 12 -- коефіцієнт кореляції для акцій виду А1 та А2, cov(R1, R2) -- коваріація випадкових величин R1 та R2. Очевидно, що cov(Rk, Rk) = , kk = 1, k = 1, 2.

Якщо коефіцієнт кореляції не дорівнює нулю, то він своєю величиною характеризує не тільки наявність, а й тісноту стохастичного зв'язку між R1 та R2.

Нагадаємо основні властивості коефіцієнта кореляції:

коефіцієнт кореляції приймає значення в межах [- 1; 1];

абсолютна величина коефіцієнта кореляції вказує на тісний взаємозв'язок норм прибутку акцій: чим більшою (ближчою до одиниці) є абсолютна величина, тим тісніше пов'язані між собою ці акції і чим меншою (ближчою до нуля) вона є, тим слабшим є зв'язок між цими акціями;

знак коефіцієнта кореляції вказує напрямок взаємозв'язку норм прибутку акцій. Якщо він додатний, то маємо додатну кореляцію, коли зростання (зниження) норми прибутку однієї акції відбувається одночасно із зростанням (зниженням) норми прибутку другої акції. Коли ж коефіцієнт кореляції є від'ємною величиною, то маємо коефіцієнт так званої від'ємної кореляції акцій, коли зростання (зниження) норми прибутку однієї акції відбувається одночасно із зниженням (зростанням) норми прибутку другої.

Приклад 5. Розглянемо три різні акції виду А1, А2, А3. Дані стосовно їх норм прибутку та ймовірностей подано в табл. 4.3.

Необхідно обчислити відповідні коефіцієнти кореляції.

Таблиця 4.3

Стан економіки	Імовірність	Норма прибутку акцій, % А1 А2 А3
Значне піднесення	0,1	20	30	5
Незначне піднесення	0,3	10	20	7
Стагнація	0,3	5	10	8
Незначна рецесія	0,2	0	5	9
Значна рецесія	0,1	-10	0	12

Розв'язання. Після відповідних обчислень одержимо такі значення сподіваних норм прибутку та середньоквадратичних відхилень акцій:

m1 = 5,5%, m2 = 13%, m3 = 8%; 1 = 7,567%, 2 = 8,718%, 3 = 1,732%.

Знайдемо коваріацію між нормами прибутку для акцій А1 та А2:

cov(R1, R2) = 0,1 (20 - 5,5)(30 - 13) + 0,3 (10 - 5,5)(20 - 13) + 0,3 (5 - 5,5)(10 - 13) + 0,2 (0 - 5,5)(5 - 13) + 0,1 (- 10 - 5,5)(0 - 13) = 63,5.

Аналогічно знаходимо коваріації між нормами прибутку акцій виду А1 та А3, А2 та А3:

cov(R1, R3) = - 13; cov(R2, R3) = - 14.

Знайдемо тепер відповідні коефіцієнти кореляції:

12 = cov(R1, R2)/12 = 63,5 / (7,567 8,718) = 0,963;

13 = cov(R1, R3)/13 = - 13 / (7,567 1,732) = - 0,992;

23 = cov(R2, R3)/ 23 = - 14 / (8,718 1,732) = - 0,927.

На практиці додатна кореляція зустрічається значно частіше, ніж від'ємна. Це пов'язано з так званою силою прискорення ринку. Наприклад, дослідження, проведені на Нью-Йоркській біржі, показали, що переважна частина акцій має коефіцієнт кореляції в межах від 0,4 до 0,6.

Аналогічно тому, як це було зроблено при обчисленні сподіваної норми прибутку та ризику, оцінку коефіцієнта кореляції для двох видів акцій -- вибірковий коефіцієнт кореляції -- можна знайти на основі інформації про норми прибутку акцій у минулому.

Формула для обчислення вибіркового коефіцієнта кореляції двох видів акцій така:

,

де Т -- кількість попередніх періодів, для яких маємо інформацію.

У зв'язку з випадковістю вибірки, вибірковий коефіцієнт кореляції може відрізнятися від нуля навіть тоді, коли між спостережуваними випадковими величинами відсутня кореляція.

Портфель цінних паперів

Узгодження максимізації норми прибутку і мінімізації ризику не є простим, оскільки на досить ефективному ринку цінні папери з високою нормою прибутку характеризуються відповідно високим ступенем ризику. Розсудливий інвестор шукає такі можливості щодо розміщення капіталу, при яких із збільшенням норми прибутку одночасно зменшувався б і ступінь ризику. Такі можливості дає йому формування портфеля цінних паперів. Сукупність придбаних цінних паперів становить портфель. Під структурою портфеля цінних паперів розуміють співвідношення часток інвестицій у цінні папери різних видів.

Математична модель ПЦП, сформованого з N цінних паперів, будується таким чином. Нехай Rk -- норма прибутку k-го виду ЦП (k = 1, …, N), Sk -- обсяг грошових активів, інвестованих в k-тий вид ЦП, S -- обсяг всіх грошових активів, інвестованих в ПЦП. Покладемо

хk = Sk / S, k = 1, …, N,

тобто хk -- це частка інвестицій у ЦП k-го виду. Очевидно, що xk 0 і при цьому

Структуру ПЦП відображає вектор X = {x1; ...; xN}.

Тоді норма прибутку ПЦП, складеного з N видів ЦП

Cподівана норма прибутку цього ПЦП



тобто

Ризик ПЦП згідно з класичним підходом обчислюється на основі дисперсії його норми прибутку:

VП = D(RП) = 2(RП) = = M(RП - mП)2.

Легко показати [3], що

,

де .

Однорідний портфель цінних паперів

Особливим випадком портфеля є однорідний портфель, тобто такий, який містить лише один вид цінних паперів.

Тоді для цього ПЦП

Портфель з двох видів цінних паперів

Нехай х1 та х2 частки інвестицій у ЦП виду А1 та А2, що складають портфель. Тоді, враховуючи що N = 2, отримуємо:

З урахуванням того, що х2 = 1 - х1, отримуємо:

(4.5)

тобто цільова функція VП є функцією однієї змінної х1, а саме -- параболою 2-го порядку. Оскільки х1 [0; 1], то для всіх значень параметрів 1, 2 і 12 ця парабола проходить через точки А1(1; ) та А2(0; ), які відповідають однорідним ПЦП, складеним, відповідно, з ЦП виду А1 та виду А2.

Оскільки коефіцієнт кореляції 12 приймає значення з проміжку [- 1; 1], то величина 1 - 12 0. А тому коефіцієнт при для функції VП

тобто парабола (4.5) є опуклою вниз і досягає свого мінімального значення у вершині . Функція VП згідно зі своєю побудовою може набувати лише невід'ємних значень, а тому приходимо до висновку, що в системі координат (х1; VП) вся парабола (4.5) лежить над віссю абсцис (рис. 4.3).

Надалі для визначеності щодо акцій виду A1 та A2 будемо вважати, що мають місце співвідношення:

М(R1) = m1 > m2 = М(R2);

(R1) = 1 > 2 = (R2).

Координати вершини параболи обчислюються за формулами [4]:

;(4.6)

(4.7)

Згідно з системою рівнянь

отримуємо, що

.

Тоді

. (4.8)

Отже, зв'язок між ризиком ПЦП VП та його сподіваною нормою прибутку mП також описується параболою другого порядку, і при цьому коефіцієнт при (mП)2 також набуває невід'ємного значення.

Легко переконатись, що графік функції (4.8) проходить через точки А1(m1; ) та А2(m2; ) (рис. 4.4).

Рис. 4.3. Залежність ризику ПЦП від х1 (частки акції першого виду в ПЦП) Залежність ризику ПЦП від mП (сподіваної норми прибутку ПЦП)

Парабола (4.8) має вершину , де

,

а значення обчислюється згідно з (4.7).

Сутність ефекту від диверсифікації при побудові ПЦП полягає в тому, що збільшення сподіваної норми прибутку mП (починаючи з мінімально можливого допустимого значення) може привести (на певному етапі) до зменшення ризику VП цього портфеля.

Згідно з рис. 4.4. при збільшенні mП від значення m2 до mП* величина ризику ПЦП зменшується від до = ()2. Подальше збільшення mП (від до m1) призводить до збільшення величини ризику портфеля (від ()2 до ). Отже, диверсифікація буде ефективною лише в тому разі, коли абсциса вершини О* параболи (4.8) буде належати проміжку [m2; m1] і, відповідно, абсциса вершини О* параболи (4.5) -- проміжку (0; 1).

Оскільки , то з (4.6) випливає, що , тобто що 12 [- 1; 2/1). А тому можна зробити наступний висновок: для ПЦП, складеного з двох видів ЦП, диверсифікація дає ефективний результат щодо зменшення величини ризику лише в тому разі, коли коефіцієнт кореляції для норм прибутку цих ЦП 12 [-1; ), де = .

Приклад 6. Сподівана норма прибутку акцій виду А1 становить 60%, ризик цих акцій (середньоквадратчне відхилення) -- 20%. Для акцій виду А2 відповідно сподівана норма прибутку -- 40%, ризик -- 15%. Коефіцієнт кореляції для цих акцій 12 = 0,35. На основі цих акцій створюється ПЦП. Необхідно:

обчислити сподівану норму прибутку та ризик ПЦП, якщо акції виду А1 складають 20% вартості цього портфеля;

обчислити сподівану норму прибутку та ризик ПЦП, якщо акції виду А1 складають 80% вартості ПЦП;

створити оптимальний ПЦП (тобто такий, що має мінімальний ризик).

Розв'язання. 1) Згідно з умовою частка акцій виду А1 в ПЦП х1 = 0,20, а тому частка акцій виду А2 х2 = 0,80. Тоді

2) Оскільки в цьому випадку х1= 0,80, х2 = 0,20, то отримуємо:

3) Оскільки то



Приклад 7. Виходячи з умови прикладу 6, знайти структуру ПЦП:

а) сподівана норма прибутку якого становила б 50%; б) ризик якого становив би 16%.

Розв'язання.

а) Скориставшись тим, що

,

отримуємо систему рівнянь:

.

Розв'язавши цю систему рівнянь, отримуємо, що x1 = 0,5, x2 = 0,5,

.

б) Скориставшись тим, що

,



отримуємо систему рівнянь

.

Ця система рівнянь зводиться до квадратного рівняння:

415 x12 - 240 x1 - 31 = 0,

яке має корені x = - 0,109 та x = 0,687. Оскільки x < 0, то в ПЦП частка ЦП виду A1 становить x1 = x = 0,687, виду A2 -- x2 = 1 -- x = 0,313.

Сподівана норма прибутку отриманого ПЦП становить

mП = x1m1 + x2m2 = 0,69 60 = 0,31 40 = 53,84(%).

Портфель з багатьох видів цінних паперів

Перейдемо тепер до загального випадку, коли до складу ПЦП залучено N (N > 2) різних акцій.

Розглянемо, наприклад, три акції, що мають норми прибутку відповідно 15%, 10%, 5%, середньоквадратичні відхилення 10%, 7%, 3% і коефіцієнти кореляції 23 = - 0,2; 12 = - 0,4; 13 = + 0,6. У системі координат mП - П (норма прибутку -- ризик, рис.5) побудуємо точки А1, А2, А3, що відповідають однорідним ПЦП, сформованим з відповідних акцій. На цьому ж рисунку побудуємо лінії (дуги), що відповідають ПЦП, сформованому з двох видів акцій (А3А1; А3А2; А2А1).



Рис. 4.5. Множина допустимих портфелів цінних паперів

Точкам К А3А2 та L А2А1 відповідають певні ПЦП, cформовані з двох (відповідно А3, А2 та А2, А1) видів акцій. Для цих портфелів можна розрахувати норми прибутку і ризики. Вважатимемо тепер, що кожний з цих портфелів є певного виду «цінним папером» відповідно К та L. А тому, в свою чергу, можна сформувати новий ПЦП для ЦП К та L. Такі ПЦП вже будуть включати по три акції (А1, А2, А3) і їм відповідає дуга КL.

Міркуючи таким чином, приходимо до висновку, що кожна точка, яка належить до заштрихованої області (рис. 4.5), відповідає деякому ПЦП, сформованому з трьох видів акцій.

Допустимою множиною ПЦП називається область, точки якої характеризують ступінь ризику та норму прибутку портфеля за всіх можливих часток окремих акцій в портфелі (на рис. 4.5 -- це область, обмежена жирною лінією).

Особливістю дуги О*А1, яка належить допустимій множині, є те, що для будь-якої точки цієї дуги не можна вказати іншої точки допустимої області, для якої ПЦП був би кращим.

Ефективною множиною ПЦП називаються ті портфелі, що відповідають точкам дуги О*А1. Тобто ефективним портфелем вважається такий, для якого в допустимій множині ПЦП не можна вказати іншого портфеля:

з тим же значенням величини сподіваної норми прибутку і меншим ступенем ризику;

з тим же значенням величини ризику і більшим значенням сподіваної норми прибутку.

Очевидно, що для ПЦП, складених з двох акцій, допустима множина збігається з множиною ефективних портфелів, і вони складають дугу О*А1 (рис. 4.4).

Розглянемо тепер загальний випадок побудови ПЦП, сформованого з N ЦП. Як і раніше, позначимо через Rk, mk = M(Rk), k -- відповідно норму прибутку, сподівану норму прибутку та ризик k-го ЦП, k = 1, ..., N; через kj -- коефіцієнт кореляції між k-тим та j-тим видом ЦП.

Задача збереження капіталу

Сутність її полягає у виборі такої структури ПЦП, щоб ризик цього портфеля був мінімальним. Формальна постановка цієї задачі така:

;

Розв'язку задачі відповідає точка О* на рис. 4.6. Метод знаходження структури ПЦП, що задовольняє умову поставленої задачі, базується на побудові та знаходженні точки мінімуму відповідної функції Лагранжа, яке, в свою чергу, зводиться до розв'язання наступної системи лінійних алгебраїчних рівнянь [4]:

(4.9)



Тут -- додаткова змінна (невідома величина) поява якої спричинена використанням методу Лагранжа.

Слід мати на увазі, що метод Лагранжа, запропонований для розв'язання поставленої задачі, не враховує обмежень щодо невід'ємності величин xk, тобто що xk 0; k = 1, ..., N. А тому розв'язок системи (4.9) необхідно проаналізувати з цієї позиції.

Позначимо через Х* = {x1*; x2*;…; xN*} розв'язок системи (4.9). Якщо всі компоненти вектора Х* є додатними (xk* > 0, k = 1, ..., N) то цей вектор описує структуру оптимального ПЦП, що відповідає точці О* (рис. 4.6).

Якщо серед компонент Х* виявляться від'ємні, то в шуканий ПЦП не включається той ЦП, частка якого є від'ємною і найменшою серед отриманих від'ємних часток. Після вилучення цього ЦП знову розраховується структура оптимального ПЦП, складеного з (N - 1) ЦП. Процес вилучення такого роду «несприятливих» ЦП продовжується до тих пір, поки частки всіх ЦП, включених у портфель, не стануть позитивними.

Рис. 4.6. Геометрична інтерпретація задач щодо формування різних видів ПЦП

Приклад 8. Сподівані норми прибутку акцій виду A1, A2, A3 та A4 становлять відповідно 60%, 50%, 40% та 70%. Ризики цих акцій становлять 40%, 30%, 25% та 50%. Тісноту зв'язку між нормами прибутку цих акцій відображають коефіцієнти кореляції 12 = 0.2; 13 = - 0,3; 23 = - 0,5; 14 = 0,9; 24 = 0,7; 34 = - 0,3.

Необхідно сформувати з цих акцій ПЦП, що має мінімальний ризик. Оцінити його сподівану норму прибутку та його ризик.

Розв'язання. Згідно з умовою задачі

Згідно з (4.9) отримуємо систему рівнянь:

.

Розв'язавши отриману систему рівнянь, знаходимо: х1 = 2,412; х2 = 1,768; х3 = - 0,402; х4 = - 2,778. Оскільки х4 = - 2,778 -- є найменшим від'ємним числом, то надалі акцію виду А4 в ПЦП не включаємо. Для акцій виду А1, А2 та А3 складаємо нову систему рівнянь:

.

Згідно з останньою системою рівнянь отримуємо, що х1 = 0,1392; х2 = 0,3453; х3 = 0,5155.

Тоді величина сподіваної норми прибутку ПЦП

mП* = x1m1 + x2m2 + x3m3 = 46,237,

а мінімальна величина ризику серед усіх ПЦП, сформованих з ЦП виду А1, А2 та А3, становить

Зауваження 2. Якщо ввести позначення

;;,

то систему рівнянь (4.9) можна записати у матричному вигляді:

.

Тоді розв'язок системи (4.9) знаходиться згідно з формулою:

.

Задача одержання бажаного (фіксованого) прибутку

Сутність задачі полягає у виборі такої структури ПЦП, щоб сподівана норма прибутку цього портфеля була не меншою від зафіксованого рівня mc (mc = const) і його ризик при цьому був мінімальним. Формально цю задачу запишемо у вигляді таких співвідношень:



Розв'язку задачі одержання прибутку відповідає точка «К» на рис.3.6. Для знаходження структури ПЦП, що задовольняє умовам поставленої задачі, як і раніше, скористаємось методом Лагранжа [4], який зводиться до знаходження розв'язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь:

(4.10)

де 1, 2 -- додаткові змінні (невідомі величини), поява яких спричинена використанням методу Лагранжа.

Приклад 9. З акцій виду А1, А2 та А3, описаних в умові прикладу 8, сформувати ПЦП, сподівана норма прибутку якого становила б mc = 50% і при цьому ризик портфеля був би мінімальним. Обчислити величину його ризику.

Розв'язання. Згідно з (4.10) отримуємо систему рівнянь:

.

Розв'язавши цю систему рівнянь, отримуємо, що х1= 0,402; х2 = 0,196; х3 = 0,402.

Сподівана норма прибутку сформованого ПЦП

mП = 0,402 60 + 0,196 50 + 0,402 40 = 50 = mc,

а його ризик

Як бачимо, що якби ПЦП був сформований лише з акцій виду А2, то його сподівана норма прибутку була б рівною mc = 50%, але ризик його в такому випадку становив би П = 30%, тобто був би більшим майже в два рази.

Тема 5. Ієрархічні моделі оцінювання економічного ризику та обґрунтування багатоцільових рішень. Прийняття рішень із застосуванням дерева рішень

Здобуття інформації. Методи обробки експертної інформації.

Провівши опитування групи експертів, дістають певну інформацію. Наявність як числових даних, так і змістовних висловлювань експертів спонукає до необхідності застосування якісних і кількісних методів обробки результатів групового експертного оцінювання. Питома вага цих методів істотно залежить від класу проблем, вирішуваних експертним оцінюванням. Нижче розглядатимуться методи обробки проблем першого класу, що характеризуються достатнім інформаційним потенціалом. Ці проблеми найпоширеніші на практиці прийняття рішень.

Залежно від цілей експертного оцінювання під час обробки результатів опитування виникають такі основні завдання:

1) визначення узгоджених думок (суджень) експертів;

2) побудова узагальненої оцінки об'єктів;

3) визначення залежності між судженнями експертів;

4) визначення відносних ваг об'єктів;

5) оцінювання надійності (ризику) результатів експертизи.

Визначити узгодженість оцінок експертів необхідно для того, щоб підтвердити правильність гіпотези: експерти є досить точними «вимірювачами», а також виявити можливі угруповання в експертній групі. Узгодженість думок експертів оцінюють, обчислюючи кількісну міру, що характеризує ступінь близькості індивідуальних думок. Аналіз значень міри узгодженості дає змогу виробити правильне судження про загальний рівень знань з розв'язуваної проблеми та виявити угруповання думок експертів, зумовлених різними поглядами, концепціями, існуванням наукових шкіл, характером професійної діяльності тощо.

Завдання побудови узагальненої оцінки об'єктів групою експертів на підставі індивідуальних оцінок експертів є однією з проблем у груповому експертному оцінюванні. Якщо експерти оцінювали об'єкти в кількісній шкалі, то завдання побудови групової оцінки полягає у визначенні середнього значення або медіани оцінки. У вимірюванні в порядковій шкалі методом ранжування або парного порівняння метою обробки індивідуальних оцінок експертів є побудова узагальненого впорядкування об'єктів на підґрунті усереднення оцінок експертів.

Опрацювавши результати експертного оцінювання, можна визначити залежність між судженнями різних експертів. Знаючи таку залежність, можна встановити ступінь близькості в думках експертів. Важливе значення має також визначення залежності між оцінками об'єктів, побудованих за різноманітними показниками порівнянь. Завдяки цьому вдається визначити пов'язані між собою показники порівняння та згрупувати їх за ступенем взаємозв'язку.

Під час розв'язування багатьох задач недостатньо впорядкувати об'єкти за одним або групою показників. Бажано також мати кількісні значення відносної важливості об'єктів. Оцінки об'єктів, які здобувають у результаті обробки, можна трактувати як випадкові величини. Тому однією з важливих задач є визначення їх імовірності. Обробка результатів експертизи вручну пов'язана з великими трудовими затратами (навіть у разі розв'язування простих задач впорядкування), через це її доцільно виконувати за допомогою обчислювальної техніки. Застосування ЕОМ висуває проблему створення відповідних комп'ютерних програм, які реалізують алгоритми обробки результатів експертного оцінювання.

Оцінюючи об'єкти, експерти звичайно мають розбіжності в думках щодо розв'язуваної проблеми. Тому постає потреба кількісно оцінити ступінь згоди (узгодженості суджень) експертів, завдяки чому вдається обґрунтованіше інтерпретувати причини розбіжності думок. Оцінка узгодженості суджень експертів ґрунтується на використанні поняття компактності, наочне уявлення про яке дає геометрична інтерпретація результатів експертизи. Оцінка кожного експерта подається як точка в деякому просторі з введеним у ньому поняттям відстані. Коли точки, що характеризують оцінки всіх експертів, розміщені на невеликій відстані одна від одної, тобто утворюють компактну групу, то, очевидно, це можна інтерпретувати як добру узгодженість думок експертів.

А якщо точки в просторі розкидані на значні відстані, узгодженість думок експертів невисока. Можливо, що точки оцінки експертів розміщені в просторі у такий спосіб, що утворюють одну або кілька компактних груп. У такому разі в експертній групі існують два або кілька відмінних один від одного поглядів на оцінку об'єктів.

Конкретизують викладену ідею оцінювання узгодженості думок експертів залежно від використання кількісних або якісних шкал вимірювання та вибору міри ступеня узгодженості. Коли використовують кількісні шкали вимірювання та оцінюють лише один параметр об'єкта, всі думки експертів можна подати як точки на числовій осі, розглядаючи їх як реалізацію випадкової величини. Тому для оцінювання центру групування та розкиду точок можна використати добре розроблені методи математичної статистики. Центр групування точок визначають як математичне сподівання (середнє значення) або як медіану випадкової величини, а розкид кількісно оцінюють дисперсією випадкової величини. Мірою узгодженості оцінок експертів, тобто компактності розміщення точок на числовій осі, може бути відношення середньоквадратичного відхилення до математичного сподівання випадкової величини.

Для ранжування об'єктів використовують міру узгодженості думок групи експертів -- дисперсійний коефіцієнт конкордації (коефіцієнт злагоди).

Поряд з дисперсійним коефіцієнтом конкордації як міру узгодженості суджень експертів використовують ентропійний коефіцієнт конкордації.

Згідно з гіпотезою про те, що експерти є достатньо точними вимірювачами, групова оцінка ґрунтується на застосуванні методів усереднення. Це відповідає тому, що індивідуальні оцінки експертів утворюють компактну групу, причому роль найузгодженішої групової оцінки відіграє математичне сподівання (середнє значення) або мода (найімовірніша оцінка).

Узгодження та агрегування оцінок експертів з урахуванням їхньої компетентності.

Залучення до експертизи кількох експертів з подальшою агрегацією їхніх оцінок широко використовується для підвищення достовірності експертних оцінок (ЕО) і рішень, які приймаються на базі цього. Методи агрегації суттєво залежать від типу ЕО, котрі визначаються завданнями експертизи. Експертні оцінки-числа використовуються у вирішенні багатьох практичних задач.

Для агрегації результатів ранжування методом попарного порівняння альтернатив кількома експертами за шкалою «більше», «менше», «рівнозначно» можна використовувати метод відшукання матриці порівнянь (медіани Кемені), котра має мінімальну сумарну відстань до матриць, які описують дані експертами ранжування. У низці наукових праць вирішена та сама задача з урахуванням компетентності експертів.

Узагальненішим є завдання визначення кардинальних оцінок, тобто числових характеристик значущості альтернатив стосовно деякого критерію. Останнім часом підвищилась актуальність такої області застосування методів вирішення цієї задачі, як системи підтримки прийняття рішень, в яких використовуються ієрархії критеріїв методом Сааті чи ієрархії цілей, і експерти залучаються до визначення пріоритетів або коефіцієнтів значущості критеріїв, цілей і альтернатив.

У працях американського вченого Т. Л. Сааті запропоновано як агреговану оцінку коефіцієнта відносної значущості критерію (альтернативи) використовувати середнє геометричне вказаних коефіцієнтів, обчислених за матрицями попарних порівнянь, даними кількома експертами. У низці наукових праць запропоновано метод визначення коефіцієнта узгодженості (КУ) з урахуванням компетенції експертів, що є кількісною оцінкою рівня узгодженості множини ЕО, і використання цієї інформації для агрегації оцінок, одержаних методом безпосереднього оцінювання. Розроблено також метод кількісної оцінки рівня внутрішньої узгодженості результатів попарних порівнянь, виконуваних кількома експертами, з урахуванням компетенції, а також визначення достатньої узгодженості для встановлення агрегованої оцінки.

Для знаходження агрегованої оцінки результатів попарних порівнянь, виконуваних кількома експертами, обчислення КУ необхідне, але недостатнє. Дійсно, що робити, коли узгодженість ЕО недостатня? Метод Дельфі передбачає у такому разі ознайомлення експерта з усередненою і граничною оцінками. Однак, якщо експерти виконують попарні порівняння, то навіть коли експерт хоче змінити свої оцінки, щоб поліпшити їх узгодженість з оцінками інших експертів, йому досить важко визначити, що і в якому напрямі він повинен змінювати. Розроблено методи попарних порівнянь, які передбачають діалог з експертом, пропонуються варіанти зміни його оцінок, спрямовані на поліпшення внутрішньої узгодженості результатів попарних порівнянь і приймаються його відповіді про згоду чи незгоду прийняти той чи інший варіант. У праці В. Г. Тоценка пропонується поширити даний підхід на діалоги з кількома експертами, під час яких визначаються пропозиції тому чи іншому експерту про напрям коригування його оцінок для досягнення достатнього рівня узгодженості результатів попарних порівнянь, виконуваних даними експертами. Також враховується компетентність експертів.

Задача групового оцінювання пріоритетності альтернатив стосовно критерію формулюється так. Нехай наявні множина експертів, множина альтернатив, і -й експерт характеризується нормованим відносним коефіцієнтом компетентності. Задано також алгоритм визначення кожним експертом ненормованих ЕО важливості альтернатив стосовно критерію (у подальшому скорочено -- «ваг»). Необхідно знайти агреговані узгоджені нормовані оцінки відносної пріоритетності альтернатив.

Метод аналізу ієрархій: математична формалізація

У сучасних умовах достатньо актуальним залишається питання розробки методики оцінки схильності підприємства до банкрутства, яка була б адекватною умовам функціонування українських підприємств, що склалися на даний момент. В якості одного з таких методів може служити метод аналізу ієрархій, який дозволяє дати інтегральну оцінку діяльності підприємств по цілому ряду критеріїв. Визначивши множину підприємств () і вибравши набір критеріїв для їх оцінки (), за допомогою цього методу шляхом попарного порівняння всіх підприємств по всіх критеріях, а також критеріїв по їх відносній важливості один відносно одного можна одержати глобальні пріоритети (рівень фінансової стійкості) кожного підприємства (). Алгоритм методу аналізу ієрархій включає наступні основні кроки.

Крок 1. Здійснюється декомпозиція цілі в ієрархію.

На першому (вищому) рівні знаходиться загальна ціль; на другому рівні - h факторів чи критеріїв, які уточнюють ціль; на третьому (нижньому) рівні - k альтернатив, які повинні бути оцінені по відношенню до критеріїв другого рівня.

Крок 2. Формується матриця, елементами якої є числа, що показують відносну важливість кожного критерію відносно всіх інших. Матриця має наступний вигляд:

де h - кількість критеріїв.

Матриця агрегує думки експертів відносно взаємної пріоритетності критеріїв (). Принцип формування матриці описаний в табл. 4.1 нижче.

Таблиця 4.1

Інтенсивність (вага) відносної важливості	Якісна оцінка	Пояснення
1	Однаково важливі	Обидва елементи роблять однаковий внесок щодо досягнення кінцевої цілі
3	Не набагато важливіший	Існують висловлювання відносно пріоритету одного елемента щодо іншого, але ці висловлювання досить непереконливі
5	Суттєво важливий	Існують достатньо переконливі докази та логічні критерії, що один з елементів є важливішим (вагомішим)
7	Значно важливіший	Існують переконливі докази великої значущості одного елемента порівняно з іншим
9	Абсолютно важливіший	Усвідомлення пріоритету одного елемента щодо іншого максимально підтверджується
2, 4, 6, 8	Проміжні оцінки між двома сусідніми судженнями	Потрібен певний компроміс
	Обернені значення ненульових оцінок	Якщо елементу при порівнянні з елементом надається одна з ненульових інтенсивностей, то елементу при порівнянні з надається обернене значення цієї інтенсивності
0	Непорівняльність	Немає сенсу в порівнюванні елементів

Крок 3. Після побудови ієрархічної моделі і складання матриць попарних порівнянь проводиться ієрархічний синтез. Сутність цього етапу полягає у побудові вектора рейтингових оцінок альтернативних рішень (стратегій) шляхом синтезу векторів пріоритету матриць попарних порівнянь часткових цілей, критеріїв тощо.

Вектори пріоритету можна обчислити в такі способи:

Як головний власний вектор матриці;

Як середньогеометричне елементів рядків матриці (окремо для кожного рядка);

Іншими методами.

Якщо в якості елементів вектора пріоритету використовувати середньогеометричні елементи рядків матриці , тобто величини то елементи вектора вагових коефіцієнтів пріоритету обчислюється за формулою .

Крок 4. Оцінюється однорідність суджень експертів. Необхідність цього кроку обумовлена тим, що кількісна (кардинальна) і транзитивна (порядкова) однорідність може бути порушена, оскільки людські відчуття не можна виразити точною формулою. Наприклад, при співставленні критеріїв експерт може показати, що критерій А володіє більш високим рівнем значимості, ніж критерій Б, критерій Б переважає на критерієм В, але В важливіший ніж А. Зокрема, це може статися, коли критерії А, Б, В мають близькі рівні значимості.

...