Статистические методы в управлении качеством

Размещено на http://www.allbest.ru/

Статистические методы в управлении качеством

Аннотация

статистический управление информация качество

Статистические методы (методы, основанные на использовании математической статистики), являются эффективным инструментом сбора и анализа информации о качестве. Потребность в статистических методах возникает, прежде всего, в связи с необходимостью минимизации изменчивости процессов. Изменчивость присуща практически всем областям деятельности, связанной с обеспечением качества. Однако наиболее характерна она для процессов, поскольку они содержат много источников изменчивости.

Статистические методы являются лишь одним из многочисленных средств обеспечения качества, и успех в этой области определяется правильным сочетанием всех имеющихся средств в зависимости от конкретных условий.

К настоящему времени в мировой практике накоплен огромный арсенал статистических методов, многие из которых могут быть достаточно эффективно использованы для решения конкретных вопросов, связанных с менеджментом качества.

Введение

SPC (Statistical Process Control - статистическое управление процессами) - это метод мониторинга производственного процесса с целью управления качеством продукции «непосредственно в процессе производства» вместо проведения контрольных проверок для обнаружения уже случившихся проблем.

1. Значение статистических методов управления качеством процессов

Необходимость применения статистических методов вызвана изменчивостью в поведении и результатов фактически всех процессов организации даже в условиях очевидной стабильности. Такую изменчивость можно проследить в измеряемых характеристиках продукции и процессов. Её наличие можно заметить на различных стадиях жизненного цикла продукции (услуги), от исследования рынка до обслуживания потребителей и утилизации.

Использование статистических методов позволяет понять характер, степень и причины изменчивости, что способствует как решению, так и предотвращению проблем, обусловленных такой изменчивостью. Такие методы крайне важны в целях эффективного управления процессами организации и позволяют лучше использовать имеющиеся данные для принятия решения, способствуя повышению качества продукции (услуг) и процессов организации, а также достижению и поддержанию удовлетворенности потребителя.

Статистическое управление процессами позволяет организации:

- повысить знания о процессе; - оперативно управлять процессом - регулировать процесс для достижения желаемого поведения; -повысить требования к качеству продукции (услуги); - снизить потери от несоответствий (дефектов) - уменьшить отклонения параметров готовой продукции (оказываемой услуги); - заменить сплошной контроль на выборочный; - уменьшить объем выборки и/или частоту отбора образцов при подтвержденной стабильности процесса и приемлемого уровня качества продукции; - обеспечить возможность введения контроля в процесс на более ранних стадиях; - обосновать динамику потребительского спроса на рынке; - обосновать нормы допусков и расходы сырья и материалов на единицу продукции; -обосновать и снизить непроизводительные расходы на всех уровнях управления;

- обосновать динамику качества сырья и материалов, поступающих от поставщиков;

-минимизировать усилия, необходимые для подтверждения соответствия готовой продукции (услуги) установленным требованиям;

- обеспечить однозначность взаимного признания результатов контроля между поставщиком и потребителем;

- повысить чувство ответственности сотрудников к качеству выполняемых работ и т.д.

Статистически управляемое состояние процесса является желаемым состоянием для производителя, так как при этом процесс может быть описан распределением с предсказуемыми параметрами. В этой ситуации реализуется выпуск продукции с ясным, понятным и прогнозируемым уровнем дефектности.

1.1 Классификация статистических методов

Статистические методы -- методы анализа статистических данных. Современных статистических методов очень много, они имеют различия по цели и области использования.

На сегодняшний момент времени известны следующие категории статистических методов, которые классифицируют по степени сложности:

1. Элементарные статистические методы, включающие так называемые «7 инструментов». Из них:

-контрольные листки;

-метод расслоения (стратификация);

-графики (диаграмма рассеивания);

-диаграммы Парето;

-причинно-следственные диаграммы (схема Исикавы);

-гистограммы;

-контрольные карты Шухарта.

2. Промежуточные статистические методы:

-теория выборочных исследований;

-статистический выборочный контроль;

-методы проведения статистических оценок и определения критериев;

-методы применения сенсорных проверок (экспертные оценки);

-методы планирования и расчета экспериментов;

-корреляционный и регрессионный анализы.

3. Передовые статистические методы:

-передовые методы планирования и расчета экспериментов;

-многофакторный (дисперсионный) анализ;

-методы исследования операций.

Элементарные статистические методы могут применяться абсолютно всеми работниками предприятий - от главных руководителей до рабочих, и не только в производственном отделе, но и в отделе планирования, маркетинга, материально-технического снабжения, и т.д. Они просты в применении, но без них невозможно овладеть более сложными методами. Параллельно с применением этих методов рабочие должны понимать концепцию качества, основывающуюся на том, что следующий производственный процесс является потребителем твоей продукции, они должны действовать по схеме «планирование - выполнение - проверка - воздействие» (цикл PDCA Шухарта - Деминга). Работники всех структурных подразделений, использующие статистические методы должны мыслить статистическими категориями, знать о разбросе данных и применять их при определении статистических оценок, принимать решения о проведении необходимых мероприятий и определять действенные статистические критерии.

Вторая группа методов рассчитана на инженерно-технических работников и специалистов в области управления качеством.

Методы третьей группы предназначены для ограниченного количества инженеров, поскольку применяются при проведении очень сложных анализов процесса формирования качества. Эти методы были положены в основу создания высокого уровня технологии и ее экспорта.

1.2 Блок-схема

1.3 Краткая характеристика организации, выпускаемой продукции и процессов

ООО «Пермская компания нефтяного машиностроения» (ООО «ПКНМ-Урал») создана в 1993году.

Серийно выпускаемая продукция: утяжеленные (УБТ), толстостенные (ТБТ), ведущие (ВБТ), немагнитные бурильные трубы; переводники и патрубки бурильных колонн; инспекция и ремонт стальных бурильных труб всех типов; скважинные штанговые насосы (СШН) и дополнительные устройства к ним (замковые опоры, газосепараторы, фильтры, шламоуловители, автосцепы и т.п.).

Базовые технологии: глубокое сверление; растачивание; раскатывание; хонингование.

Технологическая специализация: обработка глубоких отверстий (длиной до 18 метров, диаметр от 14 до 250мм); изготовление прецензионных трубчатых деталей (цилиндров).

Дополнительные специфические процессы: закалка трубчатых деталей длиной до 20 метров; ионное вакуумное азотирование внутренних поверхностей цилиндров длиной до 5 метров; напыление; наплавка износостойких, коррозионно стойких покрытий; упрочнение резьбовых поверхностей пластической деформацией; фосфатирование.

Области применения технологий: нефтехимическая, атомная, авиационная, судостроительная промышленности.

1.4 Органиграмма

Размещено на http://www.allbest.ru/

1.5 Степень использования статистических методов, их роль в управлении качеством

Большую роль в управлении качеством продукции играют статистические методы.

Основное назначение статистических методов -- контроль протекающего процесса и предоставление участнику процесса фактов для корректировки и улучшения процесса. Статистические методы контроля качества в настоящее время применяются не только в производстве, но и в планировании, проектировании, маркетинге, материально-техническом снабжении и т.д.

Стандарты серии ISO 9000 побуждают производителей использовать статистические методы, поскольку это обусловлено тем, что зарубежный опыт, накопленный на протяжении многих десятилетий, показал высокую эффективность статистических методов при решении проблем в сфере промышленного производства, обслуживания и в других областях.

Успех и востребованность статистических методов, прежде всего, объясняется экономическими причинами, т. е. при использовании статистических методов снижаются уровень брака и денежные потери.

1.6 Постановка задачи.

Рассмотрим процесс токарной обработки переводника штока. В течение четырёх дней через каждый час необходимо брать выборку по одной детали с каждого из 6 параллельно работающих станков. Результаты контроля выборок получились в виде 192 количественных значений.

В течение всего процесса измерения обеспечивалось поддержание нормальных условий в рабочем пространстве. Выдержаны нормальные значения основных влияющих величин: температура окружающей среды, атмосферное давление, относительная влажность окружающего воздуха.

Анализируя данные процесса, мы должны выяснить, использовать данный процесс или необходимо остановить его и улучшить.

2. Организация сбора и представление данных о процессе

2.1 Краткая характеристика процесса сбора данных и контрольных листков

Для получения информации о процессе можно использовать не все данные о нем, а лишь некоторые из них. Выборкой называют часть данных, полученных из общей совокупности, по отношению к которой на основании данных выборки делают соответствующие выводы. Данные, полученные на основании выборки, представляют собой первичный статистический материал, подлежащий обработке, осмыслению и анализу. Для управления процессом мы стремимся на основе собранных данных выявить факты, а затем, опираясь на эти факты, предпринять необходимые действия.

Контрольные листы представляют собой бланки, заполняемые непосредственно на рабочем месте при наступлении событий, учет которых ведется.

2.2 Разработка бланка контрольного листка. Сбор данных

Бланк контрольного листка:

Предприятие	Контрольный листок
Наименование детали	Участок	Контролируемая операция	Контролируемый параметр
Оборудование	Объем выборки	Средство контроля	Точность контроля, мм
время	№ выборки	Результаты контроля, мм
		Ст.№1	Ст.№2	Ст.№3	Ст.№4	Ст.№5	Ст.№6
Количество дефектов:
Подпись, дата:

Результаты замеров в первый день:

Предприятие «ПКНМ-Урал»	Контрольный листок
Наименование детали переводник штока	Участок токарный	Контролируемая операция токарная	Контролируемый параметр Ш17 ±0,18
Оборудование токарный 16К20	Объем выборки n=48	Средство контроля микрометр рычажный МР 0-25	Точность контроля, мм 0,001
время	№ выборки	Результаты контроля, мм
		Ст.№1	Ст.№2	Ст.№3	Ст.№4	Ст.№5	Ст.№6
730	1	16,982	17,036	16,896	16,895	17,065	17,107
830	2	17,034	16,855	17,071	16,999	17,024	16,790
930	3	17,016	16,984	17,041	17,030	16,973	16,891
1030	4	17,102	17,111	16,983	16,824	17,070	17,048
1130	5	17,031	17,115	16,855	17,044	16,800	17,226
1330	6	16,853	17,043	16,941	16,941	17,051	16,994
1430	7	17,049	17,012	16,985	16,986	17,108	16,997
1530	8	17,109	16,994	17,097	17,183	16,980	17,045
Количество дефектов:	4
Подпись, дата:

Результаты замеров во второй день:

Предприятие «ПКНМ-Урал»	Контрольный листок
Наименование детали переводник штока	Участок токарный	Контролируемая операция токарная	Контролируемый параметр Ш17 ±0,18
Оборудование токарный 16К20	Объем выборки n=48	Средство контроля микрометр рычажный МР 0-25	Точность контроля, мм 0,001
время	№ выборки	Результаты контроля, мм
		Ст.№1	Ст.№2	Ст.№3	Ст.№4	Ст.№5	Ст.№6
730	1	17,165	17,132	17,010	17,073	16,885	17,062
830	2	16,924	16,932	17,140	17,012	17,035	16,961
930	3	16,853	16,944	17,017	17,144	16,951	16,986
1030	4	17,007	17,086	17,048	16,790	17,079	16,784
1130	5	17,141	16,935	17,016	17,145	16,823	17,038
1330	6	16,728	17,040	16,917	17,130	17,049	17,130
1430	7	17,152	16,971	16,975	17,102	16,808	17,017
1530	8	16,937	17,069	17,082	17,094	17,127	16,992
Количество дефектов:	4
Подпись, дата:

Результаты замеров в третий день:

Предприятие «ПКНМ-Урал»	Контрольный листок
Наименование детали переводник штока	Участок токарный	Контролируемая операция токарная	Контролируемый параметр Ш17 ±0,18
Оборудование токарный 16К20	Объем выборки n=48	Средство контроля микрометр рычажный МР 0-25	Точность контроля, мм 0,001
время	№ выборки	Результаты контроля, мм
		Ст.№1	Ст.№2	Ст.№3	Ст.№4	Ст.№5	Ст.№6
730	1	16,862	17,115	17,050	17,016	16,856	17,032
830	2	16,992	16,907	16,893	16,779	17,198	17,024
930	3	16,842	17,074	16,777	16,910	17,017	16,844
1030	4	17,146	17,186	17,307	16,861	16,998	16,952
1130	5	17,254	16,911	17,090	16,950	16,933	16,896
1330	6	16,930	17,141	17,104	16,895	16,797	17,060
1430	7	17,237	16,822	17,214	16,878	17,090	17,117
1530	8	16,917	16,759	17,125	17,113	16,900	16,906
Количество дефектов:	10
Подпись, дата:

Результаты замеров в четвертый день:

Предприятие «ПКНМ-Урал»	Контрольный листок
Наименование детали переводник штока	Участок токарный	Контролируемая операция токарная	Контролируемый параметр Ш17 ±0,18
Оборудование токарный 16К20	Объем выборки n=48	Средство контроля микрометр рычажный МР 0-25	Точность контроля, мм 0,001
время	№ выборки	Результаты контроля, мм
		Ст.№1	Ст.№2	Ст.№3	Ст.№4	Ст.№5	Ст.№6
730	1	17,049	17,162	16,962	17,003	16,996	17,197
830	2	17,089	16,935	17,011	16,853	16,951	17,118
930	3	17,059	16,949	17,004	17,045	16,862	17,101
1030	4	16,997	16,850	17,051	17,064	16,900	16,951
1130	5	16,991	16,888	16,854	17,103	16,772	16,959
1330	6	16,870	17,021	17,020	16,922	16,847	17,106
1430	7	17,018	17,045	16,986	17,227	16,889	17,024
1530	8	17,119	16,905	16,933	17,041	16,808	16,977
Количество дефектов:	4
Подпись, дата:

2.3 Предварительная обработка собранных данных.

Рассчитаем количество дефектов и долю дефектов в выборке.

Номинальный диаметр детали Ш17 ±0,18.

Наибольший допустимый размер детали X mах = 17,18;

наименьший допустимый размер детали Xmin = 16,82.

Общее количество проверенных деталей 192 шт.

По контрольным листкам считаем количество дефектных деталей:

N деф. = 4+4+10+4 = 22 дет.

Графическое представление доли дефектов с помощью диаграммы.

Рис. 2.1

2.4 Развертывание процесса во времени для определения состояния процесса.

Для выявления управляемости процесса достаточно данные из него развернуть во времени. Отсутствие закономерности в расположении точек на графике является свидетельством управляемости. Если процесс находится в статистически управляемом состоянии, то возможно его дальнейшее исследование и улучшение.

Построим графики изменения параметров контролируемой детали в течении смены (через каждый час) на шести параллельно работающих станках за каждый день.

Рис. 2.2

Рис. 2.3

Рис. 2.4

Рис. 2.5

Разработав контрольный листок, мы зафиксировали в нем предварительно собранные данные. Далее мы провели обработку собранных данных, определив при этом количество дефектов в выборке. Показали графически долю дефектов и развернули процесс во времени для определения его управляемости. По полученным графикам мы видим, что процесс находится в статистически управляемом состоянии, т.к. точки на графиках имеют случайный разброс.

Для дальнейшего исследования и понимания процесса проведем анализ процесса с использованием различных статистических методов.

3. Анализ процесса.

Задача: провести анализ процесса токарной обработки переводника штока, используя различные методы, с целью лучшего понимания и совершенствования процесса. Для этого необходимо по выборке с 6-ти станков в течение четырех (восьмичасовых) рабочих смен определить управляемость процесса, тип распределения и его параметры, рассчитать долю дефектов, выявить настройку и воспроизводимость.

3.1 Метод гистограмм.

Метод гистограмм применяется везде, где требуется проведение анализа точности и стабильности процесса, наблюдение за качеством продукции, отслеживание существенных показателей производства. Гистограмма - один из инструментов статистического контроля качества. Благодаря графическому представлению имеющейся количественной информации, можно увидеть закономерности, трудно различимые в простой таблице с набором цифр, оценить проблемы и найти пути их решения.

Гистограмма - один из вариантов столбиковой диаграммы, позволяющий зрительно оценить распределение статистических данных, сгруппированных по частоте попадания в определенный (заранее заданный) интервал. Собранные данные служат источником информации в процессе анализа с использованием различных статистических методов и выработке мер по улучшению качества процессов. Чем больше объем выборки, тем выше точность и достоверность статистических оценок, получаемых по ее данным.

С помощью построения гистограммы мы проанализируем наш процесс: определим количество дефектов, настройку и воспроизводимость процесса, а также примем решение по дальнейшему его совершенствованию.

3.1.1 Построение гистограммы.

Для того, чтобы построить гистограмму, используем собранные данные из контрольных листков.

Всего было произведено n =192 измерения. Из них:

Х_min = 16,728

Х_max = 17,307

Определим размах данных:

R = Х_max - Х_min

R = 0,579

Установим количество интервалов. Количество интервалов принимают равным значению квадратного корня из количества данных:

m =

m = ? 14

Также рекомендовано при n = 100-200 , брать m = 8- 15 участков.

Установим количество интервалов m = 15.

Определим ширину интервала:

b = 0,579/15 ? 0,039.

Установим последовательно граничные значения интервалов. Наименьшее граничное значение первого участка Х₁ определим с учетом поправки на точность измерения:

Х₁ = Х_min -, где t - единица измерения.

Левая граница первого интервала:

Х₁ = 16,728 - = 16,7275

Последующие границы интервалов определим, последовательно прибавляя ширину интервала b.

Сгруппируем собранные данные в пределах интервалов и подсчитаем частоту попадания данных в этот интервал. Результаты занесем в таблицу.

Результаты обработки данных.

Таблица. 3.1

№ п/п	Границы интервала	Значение середины интервала	Графические отметки частоты	Частота попадания
				Абсолютная	Относительная
				кi	Накоплен- ная	%	Накоплен- ный %
1	16,7275 - 16,7665	16,747	II	2	2	1,04	1,04
2	16,7665 - 16,8055	16,786	IIII IIII	8	10	4,17	5,21
3	16,8055 - 16,8445	16,825	IIII II	6	16	3,12	8,33
4	16,8445 - 16,8835	16,864	IIII IIII IIII III	15	31	7,82	16,15
5	16,8835 - 16,9225	16,903	IIII IIII IIII IIII III	19	50	9,89	26,04
6	16,9225 - 16,9615	16,942	IIII IIII IIII IIII II	18	68	9,38	35,42
7	16,9615 - 17,0005	16,981	IIII IIII IIII IIII IIII IIII	24	92	12,5	47,92
8	17,0005 - 17,0395	17,020	IIII IIII IIII IIII IIII IIII II	26	118	13,54	61,46
9	17,0395 - 17,0785	17,059	IIII IIII IIII IIII IIII IIII II	26	144	13,54	75,00
10	17,0785 - 17,1175	17,098	IIII IIII IIII IIII IIII II	22	166	11,46	86,46
11	17,1175 - 17,1565	17,137	IIII IIII IIII II	14	180	7,29	93,75
12	17,1565 - 17,1955	17,176	IIII	4	184	2,08	95,83
13	17,1955 - 17,2345	17,215	IIIII	5	189	2,61	98,44
14	17,2345 - 17,2735	17,254	II	2	191	1,04	99,48
15	17,2735 - 17,3125	17,293	I	1	192	0,52	100,00

Данные из таблицы переносим на диаграмму в виде столбиков, высота которых пропорциональна частоте попадания данных в соответствующий интервал.

Рис. 3.1

3.1.2 Анализ гистограммы.

Гистограмма показывает тип распределения - нормальный.

Используя программу Excel и следующие формулы, определим параметры распределения на основе точечных оценок:

µ - математическое ожидание приблизительно равно - среднему арифметическому исследуемой выборки:

где n - объем выборки за 4 дня, - индивидуальное значение выборки.

µ = =16,999мм.

- стандартное отклонение выборки:

= у² = 0,00125, где у² - дисперсия

у = 0,112 - стандартное отклонение выборки.

Построим гистограмму накопленных частот и нанесем на нее границы допуска.

Рис.3.2

По гистограмме видно, что количество дефектных деталей, с размером больше верхней границы допуска составляет 100%-98% = 2 %; количество деталей с размером меньше нижней границы составляет 9,5%. Общий процент дефектных деталей 11,5 %.

Нанесем границы допуска на гистограмму частот для анализа возможностей процесса.

Рис. 3.3

По полученным данным видно, что настройка хорошая, т.к. смещение от центра почти отсутствует. Из-за выхода размеров за обе границы, будут возникать дефекты. Воспроизводимость плохая, т.к. распределение размеров выходит за пределы верхнего и нижнего допуска. Необходимо уменьшить разброс.

Далее, для анализа процесса используем вероятностную сетку.

3.2 Использование вероятностной сетки.

Вероятностная сетка строится на основе нормального распределения и представляет собой графический метод анализа процесса. Она может быть использована: для графического определения типа распределения для данной совокупности и для определения доли брака в заданной совокупности, если известны пределы допуска для показателя качества и параметры распределения.

Проведем анализ процесса изготовления детали с помощью вероятностной сетки. Необходимо определить является ли распределение нормальным, параметры распределения (дисперсию и среднее значение), настройку и воспроизводимость.

На вероятностной сетке кривая нормального распределения представляет собой прямую линию. Для построения этой линии нужно определить точки прямой плотности распределения, лежащие на расстоянии ±2у от центра совокупности.

р₁ = µ+2у = 16,999+2?0,112 = 17,223 мм;

р₂ = µ-2у = 16,999-2?0,112 = 16,775 мм.

Выбираем масштаб горизонтальной оси b = 0,05 (цена двух делений нижней горизонтали сетки) и строим на вероятностной сетке прямую плотности распределения.

Для нанесения вероятностей попадания на вероятностную сетку в виде полигона необходимо рассчитать p и занести данные в таблицу.

Определим вероятность появления дефекта по формуле:

Р = , где х - накопленная частота.

Таблица 3.2

№ п/п	Значение середины интервала	Частота попадания
		абсолютная	относительная	Вероятность появления, %
		К	Накопленная частота	%	Накопленный %
1	16,747	2	2	1,04	1,04	0,78
2	16,786	8	10	4,17	5,21	4,95
3	16,825	6	16	3,12	8,33	8,07
4	16,864	15	31	7,82	16,15	15,89
5	16,903	19	50	9,89	26,04	25,78
6	16,942	18	68	9,38	35,42	35,16
7	16,981	24	92	12,5	47,92	47,66
8	17,020	26	118	13,54	61,46	61,20
9	17,059	26	144	13,54	75,00	74,74
10	17,098	22	166	11,46	86,46	86,20
11	17,137	14	180	7,29	93,75	93,49
12	17,176	4	184	2,08	95,83	95,57
13	17,215	5	189	2,61	98,44	98,18
14	17,254	2	191	1,04	99,48	99,22
15	17,293	1	192	0,52	100,00	99,74

По полученным точкам проведем графическую аппроксимацию.

Проводим границы допуска: UTG = 16,820мм; OTG = 17,180мм. От точек пересечения прямой нормального распределения с границами допуска проведем горизонтали до пересечения с крайними вертикалями сетки, на которых нанесены значения вероятности в процентах. Доля деталей с размерами выше верхней границы примерно 4,8%, доля деталей размером ниже границы 5,5%. В результате по вероятностной сетке доля годных деталей составляет примерно 89,7%; доля дефектных деталей 10,3%. Пересчитаем процентное содержание дефектных деталей в абсолютное значение - количество единиц дефектов на миллион деталей: ppm = 0,103х10⁶ = 103000 шт/млн.

Для того, чтобы графически оценить среднее, находим на вероятностной сетке точку пересечения нулевой горизонтальной линии с прямой нормального распределения, из этой точки опускаем вертикаль до пересечения с крайней горизонталью сетки, получаем Хср = 16,999 мм.

Для определения стандартного отклонения необходимо прямую нормального распределения параллельно перенести в начало координат на левой вертикали сетки (точка 50%), довести до пересечения с верхней горизонтальной шкалой сетки. Получили точку ? = 2,24. Выборочное стандартное отклонение будет равно произведению ? на масштаб b.

у = ? х b = 2,24 х 0,05 = 0,112.

Рис. 3.4

Проведенный анализ по вероятностной сетке показал, что тип распределения данных процесса нормальный, это видно по графической аппроксимации, которая показывает, что вероятности попадания приближаются к прямой. Параметры распределения (среднее, стандартное отклонение), которые мы оценили графически по вероятностной сетке совпали с расчетными. Процент годных деталей составил 89,7%; ppm = 0,103х10⁶ = 103000 шт/млн. Настройка процесса хорошая, т.к. смещение почти совпадает с центром. Воспроизводимость плохая, т.к. распределение размеров выходит за пределы верхнего и нижнего допуска.

Далее для проверки типа распределения будем использовать аналитические критерии.

3.3 Использование аналитических критериев. (Критерий Пирсона, информационный критерий).

3.3.1 Критерий Пирсона.

С помощью критерия Пирсона можно проверять гипотезы о различных законах распределения - в этом его универсальность. Проверка гипотезы заключается в выяснении, согласуется ли гипотеза с полученными экспериментальными данными или не согласуется. Графически критерий можно представить как расхождение между эмпирическим и гипотетическим распределением. Расхождение между ними может быть объяснено или случайностью выборки, или ложностью гипотезы, если оно велико. Поэтому критерий должен представлять некоторую неотрицательную меру отклонения эмпирического распределения от гипотетического, которую называют статистикой критерия. Также критерий должен указывать значения границ, которые отделяют область малых значений статистики (случайное отклонение) от области больших значений (не случайное отклонение, приводящее к решению о ложности гипотезы). При этом сама статистика является случайной величиной, которая подчиняется некоторому закону распределения.

Критерий Пирсона основывается на следующей статистике:

T(x_l,n) = ,

где n - количество попарно различных вариант в выборке из закона распределения дискретной случайной величины или количество интервалов, формирующих выборку из закона распределения непрерывной случайной величины;

p_0i - вероятность появления варианты x_i дискретной случайной величины гипотетического распределения;

k_i - кратность варианты x_i при дискретной случайной величине.

Гипотеза не принимается , когда T(x_l,n)?t_б(k-l-1), где t_б(k-l-1)- квантиль первого порядка 1-б распределения ч² с (k-l-1) степенями свободы, k - число интервалов группирования, l - число неизвестных параметров распределения, оцениваемых по выборке.

Критерий использует тот факт, что случайные величины, входящие в статистику Пирсона, имеют распределение, близкое к нормальному закону распределения. Для этого необходимо, чтобы для всех интервалов выполнялось условие np_к>=5. Если для некоторых интервалов это условие не выполняется, то их следует объединить с соседними интервалами.

Проверим гипотезу о нормальном распределении по выборке с помощью критерия Пирсона.

Объем выборки n = 192; = µ = 16,999; у = 0,112.

Рассчитаем вероятности попадания р_к в каждый интервал:

p_k = G(U₂) - Q(U₁); U₁ = ; U₂ =

1. U₁ = = -? Q = 0

U₂ = = -2,1 Q = 0,01786

p_k = 0,01786 - 0 = 0,01786

2. U₁ = = -2,1 Q = 0,01786

U₂ = = -1,73 Q = 0,04182

p_k = 0,04182 - 0,01786 = 0,02396

3. U₁ = = -1,73 Q = 0,04182

U₂ = = -1,38 Q = 0,08379

p_k = 0,08379 - 0,04182 = 0,04197

4. U₁ = = -1,38 Q = 0,08379

U₂ = = -1,03 Q = 0,15151

p_k = 0,15151 - 0,08379 = 0,06772

5. U₁ = = -1,03 Q = 0,15151

U₂ = = -0,68 Q = 0,24825

p_k = 0,24825-0,15151 = 0,09674

6. U₁ = = -0,68 Q = 0,24825

U₂ = = -0,33 Q = 0,37070

p_k = 0,37070 - 0,24825 = 0,12245

7. U₁ = = -0,33 Q = 0,37070

U₂ = = 0,01 G = 0,50399

p_k = 0,50399 - 0,37070 = 0,13329

8. U₁ = = 0,01 G = 0,50399

U₂ = = 0,36 G = 0,64058

p_k = 0,64058 - 0,50399 = 0,13659

9. U₁ = = 0,36 G = 0,64058

U₂ = = 0,71 G = 0,76115

p_k = 0,76115 - 0,64058 = 0,12057

10. U₁ = = 0,71 G = 0,76115

U₂ = = 1,06 G = 0,85543

p_k = 0,85543 - 0,76115 = 0,9428

11. U₁ = = 1,06 G = 0,85543

U₂ = = 1,41 G = 0,92073

p_k = 0,92073 - 0,85543 = 0,0653

12. U₁ = = 1,41 G = 0,92073

U₂ = = 1,75 G = 0,95994

p_k = 0,95994 - 0,92073 = 0,03921

13. U₁ = = 1,75 G = 0,95994

U₂ = = 2,10 G = 0,98214

p_k = 0,98214 - 0,95994 = 0,0222

14. U₁ = = 2,10 G = 0,98214

U₂ = = 2,45 G = 0,99236

p_k = 0,99236 - 0,98214 = 0,01022

15. U₁ = = 2,45 G = 0,99236

U₂ = = G = 1

p_k = 1 - 0,99236 = 0,00764

После группировки выборки, расширив первый и последний интервалы, получим следующую таблицу частот попадания.

Таблица 3.3

№	Границы интервала, ?к	Наблю даемая частота nк	Вероятность попадания в интервал ?к; рк	Ожидаемая частота прк	прк	пк-прк
1	2	3	4	5	6	7	8
1	-?-16,7665	2	0,01786	3,429	8,029	1,971	0,484
2	16,7665 - 16,8055	8	0,02396	4,600
3	16,8055 - 16,8445	6	0,04197	8,058	8,058	-2,058	0,526
4	16,8445 - 16,8835	15	0,06772	13,002	13,002	1,998	0,307
5	16,8835 - 16,9225	19	0,09674	18,575	18,575	0,425	0,001
6	16,9225 - 16,9615	18	0,12245	23,510	23,510	-5,510	1,291
7	16,9615 - 17,0005	24	0,13329	25,592	25,592	-1,592	0,099
8	17,0005 - 17,0395	26	0,13659	26,225	26,225	-0,225	0,002
9	17,0395 - 17,0785	26	0,12057	23,150	23,150	2,850	0,351
10	17,0785 - 17,1175	22	0,09428	18,102	18,102	3,898	0,839
11	17,1175 - 17,1565	14	0,0653	12,538	12,538	1,462	0,170
12	17,1565 - 17,1955	4	0,03921	7,528	7,528	-3,528	1,653
13	17,1955 - 17,2345	5	0,0222	4,262	7,691	0,309	0,012
14	17,2345 - 17,2735	2	0,01022	1,962
15	17,2735-+?	1	0,00764	1,467
	Сумма	192	1	192	192		5,735

В 4-ом столбце приведены вероятности р_к попадания в интервал ?_к, вычисляемые по таблицам нормального распределения. В 5-ом столбце приводятся ожидаемые частоты np_k , а в шестом - значение np_k после объединения первых двух и последних трех интервалов. Т.к. после объединения осталось 12 интервалов, а по выборке определены оценки двух параметров - математического ожидания и дисперсии, т.е. l=2, то число степеней свободы равно 12-2-1=9. По таблице квантилей распределения хи-квадрат для уровня доверия б=1 и числа степеней свободы n=9 находим ч²_0,90(9)=14,7.

Выборочное значение статистики критерия равно ч²_0,90(9)=5,735, что значительно меньше табличного критического значения 14,7 , что подтверждает гипотезу о нормальном распределении.

Далее рассчитаем информационный критерий для определения типа распределения.

3.3.2 Информационный критерий.

Информационный критерий основан на свойстве независимости распределения оценки энтропии непрерывной случайной величины от закона распределения случайной величины.

Для того, чтобы подтвердить гипотезу о нормальном распределении рассчитаем информационный критерий.

1. Расчет оценки энтропии на основе эмпирических данных:

, где

p _i = f_i /n - частости;

f_i - частоты наблюдения случайной величины х в i-м состоянии;

n - объем выборки; k - число состояний.

Таблица 3.4

№ интервала	fi	p i	ln pi	рi ?ln pi
1	2	0,0104	-4,5659	-0,0475
2	8	0,0417	-3,1773	-0,1325
3	6	0,0313	-3,4641	-0,1084
4	15	0,0781	-2,5498	-0,1991
5	19	0,0990	-2,3126	-0,2289
6	18	0,0938	-2,3666	-0,2220
7	24	0,1250	-2,0794	-0,2599
8	26	0,1354	-1,9995	-0,2707
9	26	0,1354	-1,9995	-0,2707
10	22	0,1146	-2,1663	-0,2483
11	14	0,0729	-2,6187	-0,1909
12	4	0,0208	-3,8728	-0,0806
13	5	0,0260	-3,6497	-0,0949
14	2	0,0104	-4,5659	-0,0475
15	1	0,0052	-5,2591	-0,0273

H(х) = -2,429

2. Выбор гипотетического распределения и расчет теоретической энтропии для данного распределения.

Для закона Гаусса:

3. Расчет информационного критерия по статистике.

k = 15; n = 192

Критическое значение квантиля распределения Гаусса t_б = 1,96 при б = 0,05. Полученный результат I_c = 0,715, что соответствует I<t_б, следовательно гипотеза о нормальности распределения принимается.

Таким образом нормальный вид распределения подтверждается критерием Пирсона и информационным критерием.

Далее для анализа возможностей процесса будем использовать нормальное распределение.

3.4 Использование нормального распределения для анализа возможностей процесса.

Если генеральная совокупность описывается нормальным распределением и известны его параметры µ и у, то можно однозначно определить вероятность появления деталей с параметром х или долю изготовленных деталей, имеющих размер в диапазоне [х₁, х₂]. Графически эта вероятность выражается площадью под кривой распределения, ограниченной параметрами х₁ и х₂.

Вероятность появления деталей с размером х₁ определяется по выражению:

Для возможности сравнения различных совокупностей и однозначной их оценки производят стандартизацию (нормирование) нормального распределения путем замены переменной х стандартизированной переменной u, которые связаны с выражением:

Тогда распределение относительно u будет иметь кривую плотности распределения со средним µ=0 и стандартным отклонением у=1. Выражение для плотности стандартизованного нормального распределения будет иметь вид:

.

Введение стандартизированной переменной и стандартизированного распределения позволило облегчить процесс нахождения вероятности распределения, т.к. появилась возможность составить таблицы нормального распределения, которые применимы для любой совокупности, описывае...