Плотности вероятностей условных распределений непрерывных случайных величин выглядят следующим образом (вывод формул представлен в [32, стр. 184]):

Выражения записанные в виде:

называются теоремой умножения плотностей распределений. Принимая во внимание, что

формулы могут быть записаны в следующем виде:

Геометрическая интерпретация функций условных распределений плотностей вероятностей изображена на рисунке 10. Другими словами, если является поверхностью распределения, то, например, представляет собой кривую распределения, подобную сечению рассматриваемой поверхности плоскостью которая отсекает отрезок на оси а также является параллельной плоскости Наглядное отражение показано на следующем рисунке:

Рисунок 6 - Изображение условной плотности [10, с. 185]

управление двумерный распределение запас ресурс

Аналогичную геометрическую интерпретацию имеет

Где, в случае рассмотрения условных случайных величин и условное математические ожидание величины при условии, что случайная величина другими словами, является функцией от Аналогично и является условным математическим ожиданием случайной величины при условии, что . Графики, рассмотренные функции представляют из себя линии регрессии по и по соответственно.

Перейдем к определению независимых случайных величин.

Определение 2.6. Если функция совместного распределения случайных величин и имеет вид:

то говорят о независимости рассматриваемых случайных величин.

В случае если данное не выполнения равенства , рассматриваемые случайные величины называются зависимыми.

Продифференцируем равенство по каждому из аргументов и в результате получим:

иначе говоря, совместная плотность двух независимых случайных величин равна произведению плотностей этих величин.

Сравнив и можно прийти к выводу о том, что

если и представляют собой независимые случайные величины, то условная плотность вероятности каждой из них будет равна соответствующей «безусловной» плотности.

До сих пор нами рассматривалась функциональная зависимость между переменными и другими словами, одному значению строго соответствовало одно значение Однако, при выполнении равенств можно встретиться с другого рода зависимостью.

Определение 2.7. Если каждому значению одной случайной величины соответствует условное распределение другой случайной величины, то рассматриваемая зависимость между величинами называется стохастической (или вероятностной, или статистической) [25, стр. 30].

Принимая во внимание то, что числовые характеристики случайных величин и не способны дать достаточно полной характеристики двумерной случайной величины в силу отсутствия возможности указания степени зависимости между ее составляющими и , необходимо рассмотреть понятия ковариации и коэффициента корреляции, способствующие восполнению данной информации.

Определение 2.8. Ковариацией случайных величин и называется математическое ожидание произведения отклонений случайных величин и от их математических ожиданий.

В виде формулы определение ковариации может быть записано следующим образом:

Кроме вышеуказанного равенства, для вычисления ковариации двух непрерывных случайных величин можно применить следующую формулу:

Помимо того, что ковариация дает представление о степени зависимости между двумя случайными величинами, она также описывает их рассеивание вокруг точки

Раздел 4. Двумерное логарифмически нормальное распределение

С начала рассмотрим двумерное нормальное распределение, тесно связанное с двумерным логарифмически нормальным распределением.

Определение 3.1. В случае, если совместная плотность компонент случайной величины имеет вид:

то считается, что рассматриваемая случайная величина распределена по двумерному нормальному закону.

Где математическое ожидание случайной величины математическое ожидание случайной величины а коэффициент корреляции между случайными величинами и

Формулы плотностей вероятностей одномерных величин и соответственно имеют вид:

Далее, определим условные плотности вероятностей случайных величин и :

и

Оба условных закона распределения случайных величин и подчиняются нормальному закону с соответствующими параметрами:

После чего рассмотрим теорему, которая будет необходимой для дальнейшего изучения двумерного нормального распределения.

Теорема 3.1. Случайные величины и , распределенные по нормальному закону, называются независимыми, если коэффициент их корреляции равен 0.

Доказательство теоремы представлено в источнике [25].

Поверхность для нормального закона распределения представляется собой холмообразную поверхность, которая выглядит следующим образом:

Рисунок 7 - Палатка Гаусса [10, с. 201]

Сечения этой плоскости плоскостями, перпендикулярными осям то есть и то есть имеют форму нормальных кривых, центры которых расположены на линиях регрессий по по . Со средними квадратическими отклонениями, равными и

Сечение поверхности нормального распределения плоскостью, параллельной плоскости или где представляет собой эллипс рассеяния, который может быть представлен следующим образом:

эллипса имеет вид:

где

Центр эллипса рассеяния находится в точке оси которого образуют углы с осью и где находится из условия:

Прежде чем приступить к определению двумерной случайной величины, подчиняющуюся логнормальному закону распределения, рассмотрим определение якобиана.

Определение 3.2. Якобианом называется определитель матрицы Якоби, а именно матрицы:

где .

В нашем случае, Якобиан будет являться определителем второго порядка.

Определение 3.3. Если совместная плотность компонент случайной величины представлена в виде:

то говорят, что рассматриваемая случайная величина распределена по двумерному логнормальному закону.

Где это значение Якобиана преобразования системы координат в случае перехода от координат к

После того, как было определено двумерное логнормальное распределение случайной величины, рассмотрим утверждения, где используется данное определение.

Утверждение 3.1. Если случайные величины X и Y имеют совместное логарифмически нормальное распределение, то при фиксированном наиболее вероятное значение величины может быть вычислено по формуле [39].

Доказательство утверждения представлено в статье [39].

Можно заметить, что зависимость моды случайной величины от определенного значения у представляет собой степенную функцию:

где

Рассматриваемые нами двумерные распределения случайных величин X, Y рассматриваются в предположении, что пара логарифмов совместно нормальна, однако, из нормальности каждой компоненты в отдел ьности не следует их совместная нормальность. Поэтому, введем следу ющий критерий совместной нормальности.

Утверждение 3.2. Повернем систему координат на положительный угол откуда и рассмотрим матрицу ее поворота:

Через обозначим случайный вектор, которому соответствуют некоторые значения в с нулевым математическим ожиданием его компонент. Для того чтобы вектор имел совокупно нормальное распределение, необходимо и достаточно, чтобы каждая компонента вектора подчинялась нормальному закону для любого Доказательство утверждения описанного выше представлено в статье [39].

Перейдем к теоремам, связывающим две случайные величины, которые распределены по логнормальному закону.

Теорема 3.2. Если случайные величины и имеют логарифмически нормальные распределения, то случайная величина также будет подчиняться логнормальному закону.

Теорема 3.3. Если случайные величины и распределены логарифмически нормально с параметрами и соответственно, то случайная величина распределена логнормально, c параметрами (

Особенности трехмерных поверхностей плотности двумерных совместно логарифмически нормальных случайных величин.

Плотность двумерного логарифмически нормального распределения величин X и Y с нулевым вектором средних имеет вид:



(где - значение Якобиана преобразования системы координат при переходе к логарифмическим координатам). Максимальное значение этой функции достигается в точке с координатами .

Обозначив , получим координаты точки абсолютного максимума: . Набор чисел полностью определяет ориентацию трехмерной поверхности, примеры таких поверхностей изображены на рисунках ниже:

Рисунок 9 - Пример поверхности плотности двумерной совместно логарифмически нормальной случайной величины. Положительная корреляция

Рисунок 10 - Пример поверхности плотности двумерной совместно логарифмически нормальной случайной величины. Отрицательная корреляция



Рисунок 11 - Пример поверхности плотности двумерной совместно логарифмически нормальной случайной величины. Положительная корреляция, значимо разные дисперсии компонент

Рисунок 12 - Пример поверхности плотности двумерной совместно логарифмически нормальной случайной величины. Положительная корреляция, значимо разные дисперсии компонент

Раздел 5. Двумерное логарифмически нормальное распределение в задачах управления запасами

Пример

Для исследования были взяты данные по выручке и движению товаров конкретного торгового предприятия, расположенного в жилом квартале, с устоявшейся целевой группой покупателей.

Имеющиеся данные соответствуют всей номенклатурной матрице торгового предприятия и представляют собой совокупность, состоящую из кода номенклатурной позиции, цены товара и количества проданных штук каждой позиции.

Согласно закону спроса и предложения, между ценой товара и объемом продаж (или объемом купленной продукции) существует прямая зависимость. Для выявления этой зависимости между рассматриваемыми величинами исследуем, с начала, одномерные распределения цен предложения и объема продаж.

Эмпирическое распределение цен, на основании имеющихся данных, выглядит следующим образом:

Рисунок 1 - Эмпирическое распределение цен предложения на товары и ее аппроксимация логнормальным распределением



Где по оси абсцисс отложена цена за товар в рублях, а по оси ординат - плотность ее распределения.

Построим кривую плотности логнормального распределения с соответствующими параметрами рассматриваемой случайной величины, на гистограмме ее распределения:

В результате, на основании рисунка 1 можно сделать вывод о соответствии логарифмически нормальной модели построенного эмпирического распределения цены. Кроме того, результат проведения теста Колмогорова-Смирнова - 0.6047 оказался выше критического значения 5 процентов.

Вследствие чего, можно сделать вывод о том, что на 5% уровне значимости нельзя отвергнуть гипотезу о подчинении случайной величины цены предложения логарифмически нормальному закону.

Перейдем к рассмотрению эмпирического распределения объема проданного товара в штуках, которое, согласно полученным данным, имеет вид:

После чего, построив на гистограмме распределения количества продаж кривую плотности логнормального распределения, можно увидеть, что, как и в случае построения распределения цены: распределение объема продаж соответствует логарифмически нормальной модели. Результат теста Колмогорова-Смирнова, опять же, оказался выше критического значения - 0.9674.

Рисунок 2 - Эмпирическое распределение объема продаж и его аппроксимация логнормальным распределением

На основании чего, можно сделать вывод о том, что на 5% уровне значимости нельзя отвергнуть гипотезу о подчинении случайной величины объема продаж логарифмически нормальному закону.

Перейдем к рассмотрению облака рассеяния двумерных точек, соответствующих цене продукции и количеству проданных штук за соответствующую стоимость:

Где по оси абсцисс отложена цена, а по оси ординат - объем продаж.

Можно заметить, что наибольшее скопление точек наблюдается в начале системы координат, что говорит о популярности среди покупателей продукции, имеющей низкие цены. Кроме того, стоит обратить внимание, что при увеличении цены наблюдается уменьшение объема продаж.

Перейдем к представлению облака рассеивания рассматриваемых случайных величин в логарифмической плоскости:

Рисунок 3 - Выборка по цене и объему продаж товара в плоскости lnp, lnv

На рисунке 3 можно заметить эллиптический характер рассеяния точек, что указывает на гипотезу о совместном логарифмически нормальном распределении цены товара и количества продаж. Проверка гипотезы осуществляется с помощью Утверждения 3.2. Результаты представлены на рисунках 4 и 5.

Рисунок 4 - Результат «кругового» теста Колмогорова-Смирнова для объемов продаж.

Рисунок 5 - Результат «кругового» теста Колмогорова-Смирнова для цен предложения

Вследствие того, что значения p-value для рассматриваемых случайных величин не опускаются ниже 5% критического уровня значимости на диапазоне от 0 до , нельзя отринуть гипотезу о совместном логарифмически нормальном распределении цены товара и объема продаж.

а) б)

в) г)

Рисунок 6 - Аппроксимация выборки логарифмически нормальным распределением

В результате чего, есть возможность аппроксимировать наблюденное эмпирическое распределение теоретическим совместно логнормальным с выборочными параметрами закона распределения, что отражено на рисунке 6, где рисунки а) и б) соответствуют виду поверхности модельного распределения в натуральных величинах, а рисунки в) и г) в логарифмической плоскости.

На основании выше сказанного, наиболее вероятная величина объема продаж в штуках в зависимости от цены единицы товара, основанная на ретроспективных наблюдениях, может быть определена по формуле:

Или

где

Вычислив параметры равенства , рассматриваемая зависимость будет иметь вид:

Помимо наиболее вероятного значения, определяемого модой, аналитики зачастую используют среднее арифметическое (или математическое ожидание), которое в нашем случае будет выражать зависимость объема продаж от цены единицы товара, и вычисляться по формуле:

где .

В результате вычислений, получаем:

В случае, если среднее арифметическое и мода не удовлетворяют требованиям проводящего исследование, может быть вычислено среднее геометрическое, которое находится в медиане, определяемое для зависимости объема продаж от цены единицы товара, по формуле:

где .

Откуда получаем,

Графическое отображение вышеописанных кривых показано на рисунке 7.

Рисунок 7 - Кривые моды, медианы и математического ожидания зависимости объема продаж от цены продукции



На рисунке 7 можно увидеть, что каждая из изображенных кривых убывает, в результате чего можно сделать вывод о обратно пропорциональной зависимости между ценой товара и наиболее вероятным значением (а также, средним значением и средним геометрическим значением) проданного объема продукции.

Перейдем к рассмотрению области продаж:

Рисунок 8 - Область продаж

На рисунке 8 кривыми разных цветов изображены концентрации полученных измерений, в пределах доверительных областей указанных в легенде.

Иначе говоря, точка, соответствующая определенной цене единицы товара и некоторому объему продаж, попадет в область, окруженную кривой зеленого цвета с вероятностью 60%, что соответствует товарам с низкой ценой предложения. В то время как на область, лежащую между кривыми зеленого и желтого цвета, а также область, расположенную между кривыми желтого и красного цвета, приходится 20% и 10% вероятности попадания рассматриваемого измерения соответственно.

На основании полученных данных можно сделать вывод, что исследуемое торговое предприятие специализируется в основном на продаже дешевых товаров в следствие чего, магазину необходим страховой запас, при отсутствии такового, так как недостаток популярного товара может привести к снижению уровня обслуживания покупателей и, как следствие, снижения уровня продаж. Размер текущего запаса для дешевых товаров может быть определен исходя из статистики продаж, которая имеет достаточный объем данных и, следовательно, позволяет прогнозировать потребления с высокой точностью.

В то время на основании данного графика можно сделать вывод о том, что рассматриваемому торговому предприятию невыгодно хранить запас дорогих товаров, так как он будет реализован в течение длительного промежутка времени и приведет к заморозке денежных средств, вложенных в запасы. Вследствие чего, предприятие может рассмотреть выведение данных товаров из ассортимента магазина, в силу не соответствия их, формату предприятия торговли.

Однако, стоит уделить внимание товарам, которые имеют низкую цену и достаточно высокий объем продаж. Такие товары называются эластичными по цене товарами, то есть изделиями, которые как правило не являются товарами первой необходимости. Для данной категории товаров стоит рассмотреть увеличение цены предложения. Не смотря на то, что это может привести к снижению продаж, судя по графику востребованность в товаре высокая, следовательно, даже уменьшение продаж может повлечь за собой увеличение денежных средств магазина.

Однако, для построения целостной картины движения товара и выручки рассматриваемого предприятия необходимо проанализировать еще одну пару случайных величин - цену за единицу товара и выручку от продаж товаров по соответствующей цене.

Для начала исследуем одномерные распределения случайных величин. В силу того, что одномерное распределение цены было описано ранее, перейдем к рассмотрению одномерного распределения объема продаж. Согласно полученным данным, эмпирическое распределение выручки имеет вид:

Рисунок 9 - Эмпирическое распределение объема продаж и его аппроксимация логнормальным распределением

После построения на гистограмме распределения кривой логарифмически нормального закона, можно увидеть соответствие эмпирического распределения выручки логнормальной модели. В целях проверки данного утверждения был проведет тест Колмогорова-Смирнова, результат которого составил - 0.8826. На основании полученного результата можно сделать вывод о том, что на 5% уровне значимости нельзя отвергнуть гипотезу о подчинении случайной величины объема продаж логарифмически нормальному закону.

Вышеизложенное основание было получено и для случайной величины цены предложения. Рассмотрим эти случайные величины в совокупности, построив их облако рассеяния в натуральных величинах:

Рисунок 10 - «Облако рассеяния» наблюденных двумерных точек

На рисунке 10 можно заметить большую плотность полученных измерений в начале системы координат, что свидетельствует о формировании выручки предприятия в основном за счет продажи дешевых товаров.

Рассмотрим полученную зависимость в логарифмической плотности:

На полученном графике можно увидеть эллиптический характер рассеяния точек, что указывает на гипотезу о совместном логарифмически нормальном распределении цены товара и объема продаж. Проверка гипотезы осуществляется с помощью Утверждения 3.2, результаты которого представлены на рисунках 11 и 12.

Рисунок 11 - Результат «кругового» теста Колмогорова-Смирнова для объемов продаж

Рисунок 12 - Результат «кругового» теста Колмогорова-Смирнова для цен предложения

а) б)

в) г)

Рисунок 13 - Аппроксимация выборки логарифмически нормальным распределением

В результате того, что полученные значения p-value для рассматриваемых случайных величин не опускаются ниже 5% критического уровня значимости на диапазоне от 0 до , нельзя отринуть гипотезу о совместном логарифмически нормальном распределении объема продаж и цены товара. На основании чего, есть возможность аппроксимировать наблюденное эмпирическое распределение теоретическим совместно логнормальным с выборочными параметрами закона распределения, отраженное на рисунке 13. Где на рисунках a) и б) изображен вид поверхности модельного распределения в логарифмической плоскости, а на рисунках в) и г) в натуральных величинах.

На основании вышеописанного утверждения, для рассматриваемых случайных величин цен предложения и объемов продаж можно построить кривые, соответствующие зависимости наиболее вероятного значения или моде, среднего значения (среднего арифметического) или математического ожидания и среднего геометрического или медианы объема продаж от цены за единицу товара, определенные с помощью формул, описанных ранее:

Рисунок 14 - Кривые моды, медианы и математического ожидания зависимости объема продаж от цены продукции

На рисунке 14 можно увидеть, что при увеличении стоимости товара наиболее вероятное значение выручки также увеличивается. Другими словами, между наиболее вероятным объемом продаж и ценой товара существует прямая зависимость. Это утверждение также касается среднего значения объема продаж и его среднего геометрического относительно стоимости продукции.

Перейдем к рассмотрению области продаж:

Рисунок 15 - Область продаж

На основании рисунка 15 можно сделать вывод о том, что несмотря на специализацию торгового предприятия на продаже дешевых товаров, объем выручки за месяц за единицу товара находится на невысоком уровне. Следовательно, как предполагалось до этого, необходимо обратить внимание на товары с высоким уровнем продаж и низкой ценой.

Кроме того, имеет смысл акцентировать внимание на товарах, которые не относятся к группе дешевых товаров и в тоже время не входят в состав дорогих товаров, но имеют хорошую статистику потребления. Для позиций такого типа можно рассмотреть направление по уменьшению затрат, составляющих себестоимость продукции, для последующего снижения цены на данный товар, что может привести к увеличению спроса на продукцию. Уменьшения затрат возможно добиться за счет увеличения объема заказа поставщику, что позволит распределять затраты, связанные с транспортировкой и хранением товара на большее количество позиций. Также, возможно рассмотрение изменения способа доставки, с целью выбора поставщика с меньшим тарифом на перевозки.

Однако, необходимо продолжить исследование и рассмотреть еще одну пару случайных величин - объем продаж в штуках и объем продаж в рублях для предоставления окончательных рекомендаций ЛПР (лицу, принимающему решения) рассматриваемого торгового предприятия.

Для обеих случайных величин ранее были обозначены одномерные распределения и их соответствия логарифмически нормальной модели, а также проверка с помощью теста Колмогорова-Смирнова, результаты которой не позволяют отклонить гипотезу о подчинении рассматриваемых случайных величин логарифмически нормальному закону.

Не смотря на это, приведем эмпирические распределения объемов продаж в штуках и рублях:

В силу того, что обе случайные величины подчиняются логнормальному закону, рассмотрим их в совокупности для проверки гипотезы о совместном логарифмически нормальном распределении этих величин. Для чего с начала рассмотрим их облако рассеяния в натуральных величинах:

Рисунок 16 - «Облако рассеяния» наблюденных двумерных точек

Далее, перейдем к облаку рассеяния случайных величин объема продаж в штуках и в рублях в логарифмической плоскости:

Рисунок 17 - Выборка по объему продаж товара в штуках и рублях в логарифмической плоскости

В результате чего, можно выдвинуть гипотезу о совместном логарифмически нормальном распределении рассматриваемых случайных величин (в силу наблюдаемого эллиптического характера рассеяния точек). Для доказательства гипотезы были проведены «круговые» тесты из описанного выше Утверждения 3.2, результаты которых представлены на рисунках 18 и 19.

Рисунок 18 - Результат «кругового» теста Колмогорова-Смирнова для объемов продаж в шт.

Рисунок 19 - Результат «кругового» теста Колмогорова-Смирнова для объемов продаж в руб.

На основании того, что полученные значения p-value для случайных величин не опускаются ниже 5% критического уровня значимости на диапазоне от 0 до , нельзя отринуть гипотезу о совместном логарифмически нормальном распределении объема продаж в шт. и объема продаж в руб. В результате чего, есть возможность аппроксимировать наблюденное эмпирическое распределение теоретическим совместно логнормальным с выборочными параметрами закона распределения, отраженное на рисунке 20. Где на рисунках a) и б) изображен вид поверхности модельного распределения в логарифмической плоскости, а на рисунках в) и г) в натуральных величинах.

а) б)

в) г)

Рисунок 20 - Аппроксимация выборки логарифмически нормальным распределением

После чего, на основании описанных формул моды, математического ожидания и медианы, можно построить зависимости наиболее вероятного значения объема продаж в руб. в зависимости от объема продаж в шт., среднего значения объема продаж в руб. в зависимости от объема продаж в шт. и среднего геометрического значения объема продаж в руб. в зависимости от объема продаж в шт., выраженные в виде кривых:

На рисунке 21 можно увидеть, что кривые моды, медианы и математического ожидания возрастают, что говорит о прямой зависимости между наиболее вероятным значением объема продаж в рублях от объема продаж в шутках. Данное утверждение распространяется также на среднее значение объема продаж и его среднее геометрическое.

Рисунок 21 - Кривые моды, медианы и математического ожидания зависимости объема продаж в руб. от объема продаж в шт.

Перейдем к рассмотрению области продаж:

Рисунок 22 - Область продаж

На основании рисунка 22 можно сделать вывод о том, что с большей вероятностью рассматриваемая позиция по величине проданного количества и объему выручки от продажи, будет находится в области, ограниченной кривой зеленого цвета.

Однако, стоит обратить внимание на позиции, объем продаж которых в рублях, при большом количестве проданной продукции, находится на невысоком уровне. Этим позициям соответствуют измерения, находящиеся в области между кривыми желтого и красного цвета. Судя по их расположению, эти позиции имеют невысокую цену и достаточно большой объем продаж, однако, вероятность их возникновения крайне мала. Стоит рассмотреть изменение статистических данных для таких позиций, вероятно, они могут иметь некоторую зависимость (примером которой может служить сезонность).

На основании проведенного исследования можно сделать вывод о том, что рассматриваемое торговое предприятие специализируется на продаже недорогих товаров устоявшейся целевой группе покупателей, имеющей свои предпочтения. Для данной группы товаров необходимо установить размер текущего запаса в соответствии со статистикой, которая имеет достаточный объемом данных для прогнозирования спроса с большой точностью. Также, в случае отсутствия страхового запаса, необходимо рассмотреть его формирование, так как недорогие товары имеют высокий спрос и, следовательно, для страхования задержек поставок от поставщика и других несчастных случаев, а также поддержания требуемого уровня обслуживания клиентов, он представляет собой ценный ресурс. Кроме того, ЛПР стоит обратить внимание на товары, имеющие высокий уровень продаж и низкую цену, вероятнее всего, они представляют собой эластичные по цене товары, увеличение цены на которые поспособствует росту прибыли предприятия. Для позиций, имеющих хорошую статистику потребления и не относящихся к дорогим товарам, а также группам товаров, описанных ранее, стоит рассмотреть снижение уровня затрат за счет изменения объема заказываемой продукции или изменения способа доставки с возможным увеличением длительности поставки, но в свою очередь, снижением стоимости транспортировки. Для товаров, относящихся к группе дорогостоящих, ЛПР может рассмотреть их выведение из ассортимента магазина, в силу не их соответствия формату предприятия торговли.



Заключение

Не смотря на то, что во многих логистических задачах, связанных с управлением запасами предприятия в разрезе номенклатурных позиций используются общепринятые методы, такие, как ABC и XYZ-анализы, при написании выпускной квалификационной работы было выявлено, что двумерное логарифмически нормальное распределение также позволяет проводить анализ ассортиментной матрицы предприятия на основе рассмотрения имеющихся критериев в совокупности.

В данной работе было проведено исследование ассортимента торгового предприятия на основе рассмотрения случайных величин объема продаж продукции и цен на товары. Благодаря совместному логарифмически нормальному распределению этих случайных величин, были построены графики, отражающие зависимости между ними и способствующие для предоставления рекомендаций ЛПР.

Исходя из полученных данных, можно сделать вывод, что распределение случайных величин, тесно связанных с продажами, нередко подчиняется логарифмически нормальному закону, в связи с чем, использование в большинстве случаев нормального закона распределения ведет к возникновению ошибок при проведении исследований.

По мимо рассмотренного примера использования двумерного логнормального распределения существуют и другие задачи управления запасами, которые можно решать, используя описанное распределение. Другими словами, задачи, в которых полученные данные соответствуют нескольким случайным величинам, которые необходимо рассматривать в совокупности для принятия решения по управлению запасами предприятия.

Не смотря на различие между описываемыми методами, представленными в данной работе для управления запасами, необходимо помнить, что запасы являются важной составляющей при организации работы предприятия и требуют особого внимания, так как материальная продукция может накапливаться в виде запаса на любом участке пути её движения и, следовательно, от имеющегося количества будет зависеть уровень обслуживания клиентов и, стало быть, объем продаж организации.



Список использованных источников

1. Лукинский, В.С. Логистика и управление цепями поставок: учебник и практикум для академического бакалавриата / В.С. Лукинский, В.В Лукинский, Н.Г. Плетнева Москва: Издательство Юрайт, 2018 - 359с.

2. Родников А.Н. Логистика. Терминологический словарь

3. Управление запасами в цепях поставок в 2 ч. Часть 1. учебник и практикум для бакалавриата и магистратуры / В.С. Лукинский [и др.]; под общ. ред. В.С. Лукинского М.: Издательство Юрайт, 2017. 308 с

4. Модели и методы теории логистики: учеб. пособие / под ред. В.С. Лукинского. 2 е изд. СПб.: Питер, 2007

5. Управление запасами в цепях поставок в 2 ч. Часть 2.: учебник и практикум для бакалавриата и магистратуры / В.С. Лукинский [и др.]; под общ. ред. В.С. Лукинского М.: Издательство Юрайт, 2017. 283 с.

6. Актуальные проблемы формирования теории управления запасами монография / В.В. Лукинский СПб: СПБГИЭУ, 2008213 с

7. Сток Дж.Р., Ламберт Д.М. Стратегическое управление логистикой Пер. с 4 го англ. Изд. М.: ИНФРА М, 2005. 797 с.

8. Корпоративная логистика. 300 ответов на вопросы профессионалов / Под общ. и научн. редакцией проф. В.И. Сергеева.

9. Стерлигова А.Н. Управление запасами в цепях поставок: Учебник М.: ИНФРА М, 2008. 430 с.

10. Рыжиков Ю.И. Теория очередей и управление запасами СПб: Питер, 2001384 с.

11. Гаджинский А.М. Логистика: Учебник. 15 е изд., перераб. и доп. М.: Издательско торговая корпорация «Дашков и К°», 2007472 с.

12. Логистика. Полный курс MBA / В.В. Дыбская [и др.] М.: ЭКСПО - 2010. 940 с.

13. Управление цепями поставок: учебник / В.И. Сергеев М.: Юрайт, 2014, -479 с.

14. Ohnishi T., Mizuno T., Shimizu C., Watanabe T. On the Evolution of the House Price Distribution. Columbia Business School. Center of Japanese Economy Business, Working Paper Series, №296.

15. Архангельский Г.А. Теория вероятности [Электронный ресурс] // Организация времени: [сайт].

16. Большев, Л.Н., Смирнов, Н.В., «Таблицы математической статистики» М.: Наука, 1983.

17. Русаков О.В., Солев В.Н. Предельный переход для классических моделей в стохастической финансовой математике (учебно-методическое пособие) Издательство Санкт-Петербургского государственного университета. - 2000

18. Биллингсли, П. Сходимость вероятностных мер. М: Наука, 2000.

19. Marsaglia, G., Tsang, W.W., and Wang, J. “Evaluating Kolmogorovs Distribution.” Journal of Statistical Software, 8/18, 2003

20. William, J. Conover “Practical Nonparametric Statistics.” New York: John Smirnov test), 2000.

21. Wiley & Sons Pages 295-301 (one sample Kolmogorov test), 309-314 (two - sample

22. Роберт И. Кабаков R. В действии. Анализ и визуализация данных в программе R / пер. с ан гл. Полины А. Волковой. -М.: ДМК Пресс, 2014. - 588

23. Имущественные отношения в Российской Федерации. - 2017. - Т.191. - №8. - С.86-99.

24. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика Учебник для вузов М.:ЮНИТИ-ДАНА, 2002. с.

Размещено на allbest.ru

...