Теория автоматического управления

Рис. 1.2. Квантование сигналов по времени (а); уровню (б); по времени и по уровню (в)

Если каждый квант информации дискретного процесса, квантованного только по времени, передается с помощью импульса при определенном виде модуляции его параметров, то дискретные системы называются импульсными. В итоге различают импульсные системы с амплитудной (АИМ), широтной (ШИМ), фазовой (ФИМ), частотной (ЧИМ) видами модуляции. Кроме того, бывают системы с комбинированными видами модуляции. Если в системах с АИМ амплитуда импульсов пропорциональна значениям квантованного процесса, то такие импульсные системы могут быть линейными. При всех других видах модуляции они относятся к классу нелинейных систем.

Если в дискретных САУ преобразуются процессы, квантованные по уровню, то они называются релейными. Системы с квантованием процессов по времени и уровню называются цифровыми. Как релейные, так и цифровые системы являются нелинейными. Если все сигналы в системе являются дискретными, то она называется чисто дискретной, если же часть сигналов остается непрерывными, то дискретно-непрерывной. Так как в чисто дискретной системе все сигналы и, следовательно, процессы имеют одинаковую дискретную структуру, то теория таких систем сравнительно проще. Дискретно-непрерывные системы являются промежуточным случаем между непрерывными и чисто дискретными, поэтому методика их исследования сложнее, так как она должна включать в себя элементы теории как непрерывных, так и чисто дискретных систем. Исходя из этого, целесообразно теорию дискретных систем начинать с изучения систем чисто дискретных, распространив затем полученные результаты на дискретно-непрерывные. Чтобы не усложнять терминологию, чисто дискретные системы в дальнейшем будем называть просто дискретными. Там, где это необходимо по ходу описания, будет применяться полный термин "чисто дискретная система".

4.2 Линеаризация нелинейных дифференциальных уравнений

Требования к переходному процессу. Прямые показатели качества. Косвенные методы исследования качества регулирования.

Показатели качества: частотные, корневые, интегральные.

Исследование автоматических систем с помощью частотных характеристик. Трапециидальные характеристики. Методы построения переходных процессов: метод трапеций, метод Акульшина.

Прежде всего необходимо познакомиться с критериями качества переходных процессов, которые, как и методы исследования, делятся на группы. Среди всего множества критериев следует выделить прямые показатели качества, которые позволяют оценить качество регулирования непосредственно по кривой переходного процесса (статическая ошибка, динамическая ошибка, время регулирования, степень затухания и перерегулирование). Следующими показателями качества являются косвенные показатели - корневые (степень устойчивости и степень колебательности), интегральные (линейный, модульный, квадратичный и обобщенные). Частотные показатели качества позволяют оценить качество регулирования по частотным характеристикам, в частности, по вещественно-частотной характеристике системы, так как установлена взаимосвязь между вещественно-частотной характеристикой и кривой переходного процесса. На основе этой взаимосвязи разработан метод построения кривой переходного процесса - метод трапеций. В последние годы наибольшее применение получил метод Акульшина, использующий амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики замкнутой системы.

Вопросы для самопроверки

1 Какова связь степени затухания со степенью колебательности?

2 В чем состоят особенности интегральных критериев качества?

3 Сформулируйте основные свойства вещественных частотных характеристик и соответствующих им переходных процессов.

4 В чем заключается метод трапеций построения переходного процесса.

5 На чем основан метод Акульшина построения кривой переходного процесса?

4.3 Колебания нелинейных САУ

Понятие нелинейной системы. Особенности нелинейных систем. Методы линеаризации нелинейных систем: линеаризация в малом, в среднем; гармоническая и статистическая линеаризация.

Метод фазового пространства исследования нелинейных систем. Методы построения фазовых портретов:

метод изоклин, методы припасовывания и сшивания. Принципиальные особенности фазовых портретов нелинейных систем. Связь фазового портрета с переходным процессом.

Автоколебания в нелинейных системах. Мягкое и жесткое возбуждение автоколебаний. Методы исследования автоколебаний: критерий Бендиксона, метод точечного преобразования, метод гармонического баланса.

Изучение темы следует начать с понятия нелинейной системы, с повторения принципа суперпозиции, с знакомства с характерными особенностями нелинейных систем, такими, как зависимость частотных характеристик от амплитуды, понятия устойчивости "в малом" и "в большом" и др. Затем следует познакомиться с типовыми статическими нелинейностями систем автоматического регулирования - это усилительное звено с ограничением амплитуды, двухпозиционное реле и др.; рассмотрев их статические характеристики и прохождение гармонического сигнала через эти типовые нелинейные звенья.

Основным методом исследования нелинейных систем является их сведение к линейным системам. Поэтому следующий вопрос, на который следует обратить внимание, - это методы линеаризации. С одним из методов линеаризации - разложение в ряд Тейлора - знакомились в начале курса; здесь предстоит познакомиться с другими методами - гармонической линеаризацией, применяемой для существенно нелинейных зависимостей, вибрационной линеаризацией, применяемой для линеаризации релейных элементов, и статистической линеаризацией, применяемой для систем со случайными воздействиями.

Следующим методом исследования нелинейных систем является уже рассмотренный ранее метод фазового пространства. В связи с этим необходимо изучить методы построения фазовых портретов: метод изоклин, используемый для качественной оценки хода фазовых траекторий, методы припасовывания и сшивания, используемые при возможности кусочно-линейной аппроксимации нелинейной характеристики. Особое внимание следует уделить особенностям фазовых портретов нелинейных систем, среди которых выделяют предельный цикл, сепаратрисы, познакомиться с характерным примером фазового портрета нелинейной системы.

В заключение темы необходимо изучить такую особенность нелинейных систем, как явление автоколебаний, т.е. возможность возникновения незатухающих колебаний в нелинейной системе, обусловленных внутренними особенностями этой системы. Параметры автоколебаний - амплитуда и частота - зависят от начальных условий и определяются свойствами системы, условиями их возникновения. Различают два режима возникновения автоколебаний: мягкое и жесткое возбуждение. Основными методами исследования автоколебаний, позволяющими ответить на вопрос об их возникновении, параметрах автоколебаний являются критерий Бендиксона, метод точечного преобразования и метод гармонического баланса.

Вопросы для самопроверки

1. Дайте сравнительную характеристику линейных и нелинейных систем.

2. Изобразите реакцию типовых нелинейных звеньев на воздействие гармонического входного сигнала.

3. Для заданного нелинейного элемента одним из известных Вам методов проведите линеаризацию.

4. Постройте фазовый портрет нелинейного элемента одним из известных методов.

5. Устойчивость систем автоматического управления, основные понятия

5.1 Устойчивость линейной САУ с постоянной матрицей

Понятие устойчивости системы. Свойства устойчивости проявляются в способности системы возвращаться в первоначальное состоянии или близкое к нему при приложении к системе или снятии воздействия. В связи с этим различают три ситуации: 1) система устойчива; 2) система неустойчива; 3) система "безразличная", нейтральная.

Устойчивость САР -- это способность ее возвращаться в состояние равновесия после прекращения возмущения, вызвавшего отклонение от него. Устойчивость -- главное свойство САР. Только к устойчивой САР можно предъявлять остальные требования. При нарушении равновесного режима внешними возмущениями возникает переходный процесс. Об устойчивости САР можно судить по характеру реакции ее на внешнее возмущение, например по переходному процессу, вызванному единичным скачкообразным возмущением.

Затухающий переходный процесс свидетельствует об устойчивости САР, расходящийся -- об ее неустойчивости. Переходный процесс в виде незатухающих колебаний с постоянной амплитудой характеризует линейную САР, находящуюся на границе устойчивости. Об устойчивости линейной САР можно судить также по корням ее характеристического уравнения, полученного заменой в ее дифференциальном уравнении производных операторами р со степенями, соответствующими порядку производных

Необходимым и достаточным условием устойчивости САР являются отрицательные значения вещественных частей всех корней характеристического уравнения. Наличие хотя бы одного корня (комплексного или вещественного) с положительной вещественной частью свидетельствует о неустойчивости САР.

САР, имеющая чисто мнимые корни, находится на границе устойчивости.

Корни характеристического уравнения можно представить в виде точек на плоскости корней, т. е. комплексной плоскости, образованной вещественной осью и мнимой осью. Линейная САР устойчива, если все точки, соответствующие корням ее характеристического уравнения, располагаются на комплексной плоскости корней слева от мнимой оси.

При применении рассмотренного условия устойчивости для САР, описываемых уравнением выше 4-го порядка, возникают затруднения с вычислением корней. Поэтому были разработаны критерии устойчивости, т. е. правила, позволяющие определить устойчивость системы, не прибегая к вычислению корней характеристического уравнения.

Различают критерии устойчивости двух категорий: алгебраические и частотные. Алгебраические критерии основаны на исследовании коэффициентов линейного дифференциального уравнения САР, а именно на проверке, удовлетворяют ли эти коэффициенты определенным неравенствам. Наиболее известны критерии Рауса и Гурвица.

Рассмотрим в окончательной форме критерий Гурвица. Пусть дано характеристическое уравнение линейной САР п-го порядка.

САР устойчива, если все определители Гурвица и коэффициент ап положительны, т. е. ап>0 и Ак>0. Для образования определителей составляют таблицу коэффициентов:

Рисунок 8 - Определитель Гурвица

Правило составления таблицы заключается в том, что в верхней строке выписываются по порядку коэффициенты с индексами, начиная с п-1, т. е. п-3, п-5 и т. д. Вниз от 1-й строки записываются коэффициенты с индексами, возрастающими каждый раз на единицу. При этом ставят нули вместо отсутствующих в уравнении коэффициентов, а также если индекс больше п или меньше 0; таблица состоит всего из п строк и п столбцов. По таблице составляют определитель Гурвица п-го порядка отчеркиванием в таблице к строк и к столбцов, т. е. выделяя п-й диагональный минор, как обозначено в таблице пунктиром.

Рассматривая построение определителей Гурвица, можно сформулировать критерий для САР до 5-го порядка в следующей более простой форме. Для устойчивости САР необходимо и достаточно соблюдение следующих условий: все коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительны; определитель An-i должен быть положительным.

Применяя это правило для уравнений с 1-го по 3-й порядок, придем к выводу, что для уравнений 1-го и 2-го порядков необходимая достаточна положительность всех коэффициентов уравнения САР; для системы 3-го порядка с характеристическим уравнением a3ps + а2р2 + ci\P + а0 = 0 необходимо чтобы:

САР 3-го порядка устойчива, если все коэффициенты ее уравнения положительны, а произведение средних коэффициентов "больше произведения крайних. Применение критерия Гурвица (как и других алгебраических критериев устойчивости) связано со следующими недостатками:

- требуются вычисления, трудоемкость которых возрастает с порядком уравнения. Практически критерий Гурвица применяют при 4 степени дифференцирования;

- алгебраические критерии применять нельзя, если известны не уравнение всей системы, а экспериментальные характеристики САР или отдельных ее звеньев;

- коэффициенты уравнения фигурируют в этих критериях в столь сложных сочетаниях, что трудно выявить влияние отдельных коэффициентов (т. е. характеристик отдельных звеньев) на устойчивость системы.

Оценить устойчивость системы можно в результате исследования ее математической модели, то есть решить соответствующую систему дифференциальных уравнений. Критерии устойчивости, основанные на исследовании ЧХ системы, свободны от перечисленных недостатков алгебраических критериев. Они дают геометрическую интерпретацию устойчивости, обладают большой наглядностью, позволяют использовать экспериментальные характеристики звеньев и дают возможность определить влияние параметров отдельных звеньев на устойчивость системы в целом. Наибольшее значение имеют критерии А. В. Михайлова и амплитудофазочастотный критерий Найквиста.

Критерий Найквиста основан на исследовании расположения АФЧХ САР на комплексной плоскости; достоинством этого критерия является то, что он позволяет судить об устойчивости САР по АФЧХ разомкнутой системы, которую проще определить, чем для замкнутой системы. Согласно этому критерию, САР устойчивая в разомкнутом состоянии, устойчива и в замкнутом состоянии, если АФЧХ разомкнутой системы (при изменении со от 0 до + оо) не ох-ватывает точки комплексной плоскости с координатами (--1; / 0), лежащей на отрицательной вещественной полуоси. Если годограф АФЧХ охватывает указанную точку, САР неустойчива; прохождение годографа через точку (--1; / 0) соответствует границе устойчивости. Таким образом, САР устойчива или неустойчива в зависимости от того, с какой стороны от точки (--1; / 0) годограф АФЧХ пересекает вещественную отрицательную полуось.

Говоря, что годограф не охватывает точки (--1; / 0), мы подразумеваем, что эта точка находится вне контура, образованного при замыкании прямой его точек, соответствующих 0. Для астатических САР годограф при этом условно дополняют дугой бесконечно большого радиуса.

Критерий Найквиста позволяет определить запас устойчивости системы, т. е. величину возможных изменений ее параметров, не приводящих к потере устойчивости. Запасы устойчивости обычно определяют раздельно по модулю и фазе.

Для разомкнутой системы математическая модель в операторной форме:

, или , где - оператор дифференцирования.

Для замкнутой системы:

, или . Если (единичная обратная связь), то .

Если все корни характеристического уравнения вещественные отрицательные: , то система устойчива.

Если хотя бы один при всех остальных отрицательных , то система - "безразличная":

Если вещественная часть комплексных корней отрицательна (), то система устойчива.

Если - система неустойчива.

Если (чисто мнимые корни) при всех остальных "устойчивых" корнях система "безразличная".

Если все вещественные корни и вещественные части всех комплексных корней характеристического уравнения системы отрицательны, тогда система - устойчива.

Для устойчивости линеаризованных систем необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения системы (полюса) были либо отрицательными вещественными, либо имели отрицательные вещественные части. При этом никакие отброшенные при линеаризации члены высших порядков не сделают систему неустойчивой.

Если в линеаризованный системе хотя бы один корень характеристического уравнения будет положительным вещественным, либо иметь положительную вещественную часть, то система будет неустойчива, и никакие отброшенные члены высших порядков не сделают ее устойчивой.

Если один или пара корней характеристического уравнения системы находятся на мнимой оси, а остальные корни все левые, то система находится на границе устойчивости. Ее реальная устойчивость целиком определяется отброшенными при линеаризации малыми высших порядков.

Поскольку для установления факта устойчивости системы необходимо знать только знак вещественной части корня, то желательно иметь какие-то критерии, которые бы позволяли определять этот знак без нахождения корней характеристического уравнения, тем более без процедуры решения дифференциального уравнения, соответствующего исследуемой системе.

Критерии устойчивости. Различают алгебраические и частотные критерии.

Алгебраические: критерий Раусса;

критерий Гурвица;

критерий Вышнеградского;

Частотные:

критерий Михайлова;

критерий Найквиста;

логарифмический критерий Найквиста.

Алгебраический критерий устойчивости Раусса. 1875г. Раусс выразил его в форме таблицы. Элементами первой строки являются четные коэффициенты характеристического уравнения (полинома), начиная с . Элементы второй - нечетные коэффициенты, начиная с . Элементы последующих строк вычисляются по приведенным формулам. Итак, характеристический полином , где .

				=…
			=…	=…
		=…	=…	=…
	и так далее	…	…	…

В данной таблице должна быть n+1 строка. Ниже приведены формулы, используемые при заполнении таблицы.

; ;

;

Если все элементы первого столбца таблицы Раусса положительны (одного знака), то система устойчива. Если хотя бы один элемент отрицателен, то система неустойчива. При этом число перемен знака равно числу правых корней характеристического уравнения.

Если один из элементов первого столбца равен нулю, то система находится на границе устойчивости, а характеристическое уравнение имеет пару мнимых корней.

В случае, когда последний элемент равен нулю, то корень уравнения - нулевой вещественный. При нескольких нулевых последних элементах первого столбца таблицы имеется соответствующее количество нулевых корней характеристического уравнения.

Критерий устойчивости Гурвица. 1895 г. На основании характеристического уравнения системы

.

строится определитель Гурвица (при ).

Свободные места заполняются нулями.

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы определитель Гурвица и все его диагональные миноры были положительны.

Диагональные миноры:

;

;

; . . .

Пример 1. Пусть имеется система первого порядка, .

; (или ); ; .

Здесь не абсолютная величина, а определитель!!!

Вывод. Для устойчивости системы первого порядка необходима положительность коэффициентов характеристического уравнения.

Пример 2. Система второго порядка, n = 2. ; ; должно быть. Откуда .

Вывод. Для устойчивости системы второго порядка достаточно положительности коэффициентов характеристического уравнения.

Пример 3. Система третьего порядка; n = 3.

Вывод: Для устойчивости системы третьего порядка необходимо и достаточно кроме положительности всех коэффициентов характеристического уравнения выполнение неравенства: .

Критерий устойчивости Михайлова Характерной особенностью данного метода является то, что об устойчивости системы судят по поведению годографа Михайлова исследуемой системы:

- для разомкнутой системы;

- для замкнутой системы.

Под годографом понимается кривая, которую описывает конец вектора или на комплексной плоскости при изменении от 0 до . Здесь и - полиномы знаменателей соответствующих передаточных функций.

На основании принципа аргумента формулируется критерий Михайлова:

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы годограф вектора Михайлова для замкнутой и для разомкнутой системы) при изменении от 0 до + повернулся в положительном направлении на угол (/2)n или, иначе, пересек по очереди n квадратов без пропусков.

Все эти годографы (и системы соответственно) устойчивы.

Эти системы неустойчивы, так как вектор годографа Михайлова вращается в отрицательном направлении.

Система неустойчива, так как квадранты проходятся непоследовательно.

Система находиться на границе устойчивости. При подсчете порядка системы каждое прохождение годографа через 0 повышает порядок на 1.

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы корни мнимой и вещественной частей годографа Михайлова перемежались.

Если корни не перемежаются, то система неустойчива.

Если характеристическое уравнение не имеет какого либо члена, то система также неустойчива.

Частотный критерий устойчивости Найквиста. Частотный критерий Найквиста дает возможность определить устойчивость замкнутой системы по АФЧХ ее разомкнутой цепи (разомкнутой системы) . Ниже показано, как определяется передаточная функция разомкнутой системы для случая единичной и неединичной обратной связи.

Следовательно, об устойчивости замкнутой системы с передаточной функцией будем судить по передаточной функции разомкнутой системы , а именно по поведению годографа .

5.2 Связь устойчивости с корнями характеристического уравнения

Рассмотренная выше устойчивость (совместно с критериями ее определения) не является единственным свойством систем автоматического управления. Системы характеризуются: запасом устойчивости, областями устойчивости, притяжения, качеством регулирования и другими характеристиками. Рассмотрим некоторые из них.

Структурная устойчивость (неустойчивость) - это такое свойство замкнутой системы, при наличии которого она не может быть сделана устойчивой ни при каких изменениях параметров.

Годограф Найквиста изображен на Рис.А и В. Устойчивость этой системы определяется значениями параметров и . Рассматриваемая система является структурно устойчивой.

Для одноконтурных систем имеют место условия (Мейеров М.В.). Пусть одноконтурная система состоит из:

- интегрирующих звеньев,

- неустойчивых звеньев,

- консервативных звеньев. Тогда при отсутствии в системе дифференцирующих звеньев она будет структурно устойчива в том случае, если

В случае многоконтурных систем соотношения Мейерова необходимо применять к каждому контуру, входящему в систему.

Запас устойчивости. Факт обнаружения устойчивости не дает уверенности в работоспособности системы. Возможны неточности (погрешности), так как:

ѕ математическое описании системы идеализировано;

ѕ часто бывает произведена линеаризация звеньев;

ѕ неточность определения параметров;

ѕ изменение условий работы (по отношению к моделируемым).

Следовательно, необходим запас устойчивости. При использовании критерия Гурвица запас определяется величиной предпоследнего минора:

ѕ Если - запас устойчивости отсутствует; - запас имеется.

ѕ Запас устойчивости в системе характеризует степень устойчивости.

Запас устойчивости и степень устойчивости можно определить по расположению корней характеристического уравнения и по частотных характеристикам системы.

На практике проектировщиков систем автоматического управления интересует пространство (область, пределы, диапазон) параметров, при которых системы является устойчивой. Множество значений параметров, при которых система обладает свойством устойчивости, называется областью устойчивости системы. Для определения областей устойчивости имеется несколько методик.

1. На основе алгебраического критерия устойчивости Гурвица;

2. Метод Д-разбиения;

3. Метод корневого годографа.

Область устойчивости по Гурвицу определяется с помощью использования равенств в условиях Гурвица вместо неравенств. Чаще всего определение границы искомой области может быть произведено при условии . (Смотри пункт "Определение критического коэффициента усиления"). Отсюда определяется зависимость интересующего нас параметра от параметра . Получаемая зависимость ()- граница области устойчивости системы.

В системах более высоких порядков возникает необходимость рассмотрения других миноров. При этом область устойчивости может сужаться.

Метод Д-разбиения. Замкнутой системе автоматического управления ставится в соответствие ее характеристическое уравнение .

.

Путем решения данного уравнения находятся корни и убеждаются, что из n корней m₁- правых, n - m₁ - левых.

Можно представить, что в гиперпространстве n+1-го порядка n+1 осей, по которым откладываются значения коэффициентов характеристического уравнения . Тогда каждому сочетанию этих конкретных параметров соответствует точка в гиперпространстве, а в плоскости корней характеристического уравнения в тоже время их конкретное расположение.

Если изменить один или несколько коэффициентов уравнения, точка в пространстве займет новое положение, корни в плоскости корней также сместятся. При непрерывном изменении коэффициентов корни будут выписывать годограф. И при каком-то сочетании коэффициентов уравнения один из корней попадет в начало координат, либо два корня на мнимую ось. Когда это случится, то уравнение превратится в тождество : , потому как вещественная часть S в станет равна 0.

При дальнейшем изменении параметров может случиться, что еще какие-то корни "выедут" на мнимую ось. Этот случай также будет соответствовать уравнению .

Критерии и запас устойчивости линейных и нелинейных САУ.

6. Качество систем автоматического управления

6.1 Показатели качества переходного процесса и интегральные оценки

Под автоматом понимается система механизмов и устройств (электрических, электронных, механических, пневматических, гидравлических и т.п), в которой процессы получения, преобразования, передачи и использования энергии, материала и информации выполняются без непосредственного участия человека. Различает технологические, транспортные, вычислительные, управляющие и другие автоматы.

Важнейшей особенностью любого автомата является полная механизация процессов переработки информации. Способы введения и использования информации, положенные в основу логических схем автоматов, служат базой для их классификации.

Рис. 9. Классификация автоматов по способам преобразования информации:

А1 - аналоговые; А2 - цифровые; А3 - аналого-цифровые; А4 - разомкнутые; А5 - замкнутые; А6 - адаптивные.

6.2 Прямые методы определения показателей качества

Рабочий цикл преобразования информации, в автомате А (рис. 9) определяется программой которая может задаваться в аналоговой форме, цифровым способом и в комбинации аналоговой и цифровой форм.

Логическая схема автоматов AI, A2 и АЗ предельно проста: поток информации от программы поступает к устройствам управления, и от них к исполнительным механизмам. Например, в торговом автомате отпускающем спички, папиросы, газированную воду программой служат монета или жетон, а в блок программы входят устройства, определяющие вес и размеры монеты или жетона. Информация из блока программы передается в специальный узел, где она преобразуется в вид, удобный для управления источником энергии и исполнительными механизмами. Такие автоматы имеют один поток информации, который реализуется разомкнутой схемой управления А4. Так, в копировальном станке (рис. 10) с механическим управлением для шлифования кулачков 3 валиков тепловых двигателей АТ носителем программы служит копир 4, информация с которого считывается и реализуется механической передачей 2,5, обеспечивающей заданное программой движение заготовки 3 относительно шлифовального круга 1.

Рис. 10 Схема копировального станка для шлифования кулачковых валиков.

Другого, более высокого, класса автоматы имеют два автономных потока информации, которые передаются: первый по прямой цепи управления, а второй - по обратной (рис. 11). К ним относятся автоматы, действующие по замкнутой схеме А5. В таких автоматах первым источником потока информации служит исходная программа, вводимая извне, а вторым источником - устройство, измеряющее параметры отдельных звеньев исполнительного механизма или обрабатываемого изделия.



Рис. 11. Структура автомата с замкнутой цепью управления:

1 - программа; 2 - устройство управления; 3 - исполнительный механизм; 4 - измерение, обратная связь; 5 - изделие; 6 - контроль.

В качестве примера такого автомата может служить балансировочный автомат с логической схемой управления по замкнутому контуру (рис.12).

Рис. 12. Схема балансировочного автомата:

1 - балансируемое изделие; 2 - передаточное устройство привода; 3 - управляющее устройство; 4 - электродвигатель; 5 - сверлильный агрегат; 6 - блок управления; 7 - датчик дебаланса.

Использование второго потока информации значительно расширяет возможности автоматов, сообщает им свойства выбора оптимальной программы.

Автоматы, обладающие свойством запоминать и обобщать опыт своей работы, вырабатывая оптимальную программу, называются адаптивными автоматами А6 (рис.13).



Рис. 13. Структура адаптивного автомата:

1 - программа; 2 - устройство управления; 3 - двигательное устройство; 4 - устройство сбора информации, измерения параметров двигательного устройства или изделия; 5 - изделие, рабочие органы; 6 - блок адаптации; 7 - блок памяти.

Адаптивные автоматы А6 можно характеризовать тремя потоками информации, поступающими из блоков программы 1, измерений 4 и оперативной памяти 7. При этом автомат А6 имеет значительно расширенные функциональные возможности и новые свойства, обеспечивающие стабильное выполнение оптимальной программы.

В основе построения и функционирования автоматов лежат принципы алгебры логики, которая является одной из основных частей математической логики и широко используется в теории релейных схем, электронно-вычислительных и управляющих машин, логических устройств управления и дискретных автоматов.

7. Случайные воздействия в линейных САУ

7.1 Понятия и основные характеристики случайной функции

Случайные процессы в системах автоматического регулирования определяются вероятность появления той или иной формы воздействия в тот или иной момент времени. Это происходит не потому, что оно неизвестно заранее, а потому, что сама природа реального задающего или возмущающего воздействия такова, что величина его в каждый момент времени и процесс его изменения с течением времени зависят от множества разнообразных величин, которые случайным образом могут комбинироваться друг с другом, появляться одновременно иди с любым сдвигом во времени и т. п..

До сих пор поведение систем автоматического регулирования исследовалось при определенных, заданных во времени задающих и возмущающих воздействиях (ступенчатая функция, импульсная функция, гармоническое воздействие и т. д.). Вероятностные характеристики дискретных случайных величин. Чтобы полностью знать дискретную случайную величину «надо иметь следующие данные:

а) все возможные значения, которые она может принимать при данных условиях задачи или опыта;

б) вероятность появления каждого из этих значений.

Графически этот закон распределения представляет собой равновероятное распределение в некотором интервале. В некоторых случаях закон распределения случайной величины может задаваться в аналитической форме. Примером аналитического задания закона распределения дискретно случайной величины является часто используемый закон Пуассона. Он применим к дискретным случайным величинам, которые теоретически могут принимать все положительные значения от 0 до оо. Примерами таких .величин могут служить число пассажиров автобуса, число вызовов на телефонной станции в течение какого-либо определенного отрезка времени, число электронов, попадающих на анод электронной лампы за определенный промежуток времени, и т. п.

Одной из таких характеристик является среднее значение, или математическое ожидание, случайной величины. Часто используется так называемое среднеквадратичное значение случайной величины, представляющее собой корень квадратный из среднего квадрата случайной величины. Иногда рассматривается центрированное значение случайной величины. Тогда аналогично формуле можно ввести понятие центрального момента м-го порядка. Из этого следует, что центральный момент первого порядка всегда равен нулю. Обратимся теперь к характеристикам рассеяния дискретной случайной величины. Есть отклонение случайной величины Х от ее среднего значения, которое тоже является случайной величиной, как и сама величина Х. Средним отклонением D называется среднее значение (математическое ожидание) абсолютной величины отклонения. Дисперсией называется средний квадрат отклонения случайной величины от ее среднего значения. Она совпадает с центральным моментом второго порядка.

Вероятностные характеристики непрерывных случайных величин. Непрерывная случайная величина может принимать все значения в каком-либо заданном ограниченном интервале (а < х < b) или все значения от --оо до +оо. Следовательно, функция распределения для непрерывной случайной величины будет изображаться непрерывной кривой.

Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет определенное числовое значение х, бесконечно мала (например, вероятность попадания центра тяжести снаряда в определенную точку цели). Вероятность же того, что непрерывная случайная величина окажется в некотором промежутке х1<х<х1 будет иметь конечное значение.

Закон распределения для непрерывной случайной величины в отличие от дискретной задается не в виде значений вероятности, а в виде плотности вероятности w(х), называемой также дифференциальным законом распределения. Случайная величина х, изменяющаяся во времени называется случайным или стохастическим процессом. Случайный процесс не есть определенная кривая х (t), а является множеством возможных кривых х {1), так же как случайная величина не имеет определенного значения, а является совокупностью (множеством) возможных значений.

Можно еще сказать, что случайный процесс есть такая функция времени, значение которой в каждый момент времени является случайной величиной. Примерами случайных процессов могут, например, являться: координаты самолета, замеряемые радиолокационной станцией; угол визирования движущейся цели головкой самонаведения; помехи в системе телеуправления; нагрузка электрической сети и т. п. Итак, в случайном процессе нет определенной зависимости х {t). Каждая кривая множества (рис.4) является лишь отдельной реализацией случайного процесса. Никогда нельзя сказать заранее, по какой кривой пойдет процесс. Однако случайный процесс может быть оценен некоторыми вероятностными характеристиками.

Среднее значение случайного процесса представляет собой некоторую среднюю кривую, около которой группируются все возможные отдельные реализации этого процесса, а дисперсия D(t) или среднеквадратичное отклонение s(t) характеризуют рассеяние отдельных возможных реализаций процесса около этой средней кривой. Простейшим типом случайного процесса является чисто случайный процесс. В таком процессе все значения случайной величины в отдельные моменты времени не зависят друг от друга. Тогда появления значений (x1,t1) и т. д. будут независимыми случайными. событиями, для которых вероятность их совместного наступления равна, как известно, произведению вероятностей наступления каждого из них в отдельности.

Для характеристики полезных входных сигналов систем регулирования и следящих систем соотношения практически не могут применяться, так как для этих сигналов ход процесса в последующие моменты времени в какой-то степени зависит от того, что было в предыдущие моменты времени, Так, например, если речь идет о слежении за автомобилем, то он не может как угодно быстро менять свое положение и скорость. Поэтому если он в момент времени t занял положение х1 то этим самым его возможное положение х2 в следующий момент t2 ограничено, т. е. события (x1, t1) и (x2 ,t2) не будут независимыми. Чем более инерционен изучаемый объект, тем больше эта взаимозависимость, или корреляция.

Начальный корреляционный, момент двух значений случайной функции х(t) и х(t1), взятых в моменты времент t и t1, носит название корреляционной (автокорреляционной) функции. Иногда под корреляционной функцией понимают центральный корреляционный момент x(t) и x(t1). Корреляционная функция является весьма универсальной характеристикой для случайного процесса. Она определяет зависимость случайной величины в последующий момент времени x(t1) от предшествующего значения х (t) в момент времени t. Это есть мера связи между ними.

Основные свойства корреляционных функций.

1. Симметрия

2. Дисперсию - при t1=t корреляционная функция дает средний квадрат случайной величины, a R0(t,t1).

3. Прибавление к случайным величинам произвольных неслучайных величин не меняет их корреляционных моментов и дисперсии. Поэтому корреляционная функция R0 (t,t1) не изменится, если к случайной функции добавить произвольную неслучайную функцию. Это свойство не относится к функции R (t, t1), так как добавление неслучайных величин к случайным изменяет начальные моменты. В этом случае корреляционная функция будет равна сумме корреляционных функций случайной и неслучайной функций.

По своему физическому смыслу спектральная плотность есть величина, которая пропорциональна средней мощности процесса в интервале частот от w до w+ dw. В некоторых случаях спектральную плотность рассматривают только для положительных частот, удваивая ее при этом, что можно сделать, так как спектральная плотность является четной функцией частоты.

Если на автоматическую систему действуют одновременно полезный сигнал и помеха, то возникает задача оптимального расчета системы с тем, чтобы получить наименьшую результирующую ошибку. С точки зрения наилучшего воспроизведения полезного сигнала система должна иметь возможно большую полосу пропускания, а с точки зрения наилучшего подавления помехи система, наоборот, должна иметь возможно меньшую полосу пропускания. Критерием получения оптимального решения здесь будет минимальное значение результирующей ошибки системы, определяемой полезным сигналом и помехой.

Для случайных величин наиболее просто определить среднеквадратичную ошибку, поэтому ее и используют для оценки точности автоматической системы. Если имеется какая-то система автоматического регулирования заданной структуры, то необходимо так выбрать параметры этой системы, чтобы получить минимум среднеквадратичной ошибки при заданных статистических характеристиках полезного сигнала и помехи.

Эта задача решается следующим образом. По спектральной плотности ошибки путем ее интегрирования находится дисперсия. Дисперсия получается зависящей от вероятностных характеристик полезного сигнала, помехи и параметров системы. Затем ищутся условия, которые должны быть наложены на параметры системы, чтобы получить минимум дисперсии. При достаточно простом выражении для дисперсии это может быть определено непосредственным дифференцированием и приравниванием нулю частных производных.

В более сложных случаях приходится искать минимум дисперсии путем числового задания интересующих параметров и построения соответствующих графиков, а также расчетом на ЭВМ.

7.2 Спектральная плотность стационарной случайной функции

Стационарность модели возбуждающего воздействия микропрофиля связана с тем, что преобразование случайной функции микропрофиля в случайный процесс воздействия осуществляется линейным преобразованием аргумента перемещения вдоль оси дороги в аргумент времени этого перемещения. При нелинейной связи аргументов генерируемое стационарным микропрофилем возбуждение утрачивает признаки стационарности. Практически означает, что при неустановившихся режимах движения автомобиля с изменяющейся скоростью случайная модель микропрофиля в виде случайной стационарной функции не дает оснований для каких-либо позитивных характеристик его воздействия на автомобиль, известных для стационарных процессов.

Например, воздействие одного и того же микропрофиля, описываемого моделью в виде стационарной функции, при разгоне и торможении автомобиля будет совершенно различным. Более того, каких-либо отработанных методик оценки нестационарного процесса воздействия такого типа не имеется. Нестационарный процесс воздействия при стационарном микропрофиле можно выразить путем разбивки участка разгона или торможения на интервалы, в пределах которых скорость автомобиля может считаться постоянной, а спектральная плотность воздействия будет соответствовать стационарному процессу, и последующего суммирования характеристик на интервалах.

При равномерном движении автомобиля с постоянной скоростью описание модели микропрофиля легко преобразуются в модели воздействия с такими же общими признаками -- стационарностью, гауссовским законом, эргодичностью и центрированностью.

Спектральная плотность стационарного случайного процесса воздействия одной и той же дороги при трех разных скоростях движения автомобиля. Из графиков следует, что с ростом скорости спектральная плотность воздействия уменьшается на низких частотах и возрастает на высоких, острые пики, соответствующие преобладающим гармоническим составляющим микропрофиля, смещаются в область более высоких частот и расширяются. Это объясняется тем, что с повышением скорости более длинные неровности формируют непродолжительные воздействия и их число в единицу времени возрастает.

Спектральные плотности стационарного случайного процесса микропрофиля, сглаженного для шин разного размера, будут различаться. Влияние размеров шины на спектральную плотность стационарной случайной функции сглаженного микропрофиля специальной испытательной дороги, отличающейся высокочастотным составом. На дороге этого типа сглаживание должно проявляться особенно выразительно, так как основные элементы конструкции покрытия (выступающий булыжник) меньше длины пятна контакта шины.

Спектральная плотность сглаженного воздействия дважды зависит от скорости движения. Как было показано выше, для одного и того же микропрофиля при изменении скорости существенно изменяется исходный спектр воздействия, а операция сглаживания, в свою очередь, меняет спектр воздействия в зависимости от скорости движения.

При скорости более 40 км/ч спектральная плотность стационарного случайного процесса воздействия дороги типа бельгийская мостовая вследствие сглаживающих свойств шины уменьшается незначительно. По сравнению с исходным значением при частотах 60-- 65 рад/с это снижение составляет около 50 %. При 20 км/ч спектральная плотность стационарного случайного процесса воздействия из-за сглаживания в этом же диапазоне частот снижается более чем в 10 раз. Практически это означает, что с понижением скорости движения воздействия на автомобиль неровностей дороги снижаются прежде всего в результате сглаживающих свойств шипы.

7.3 Статистическая проверка гипотез

Наиболее характерными условиями для испытания автомобилей следует считать произвольный микропрофиль с чередованием коротких и длинных, мелких и глубоких выбоин. Как показывают исследования, на разбитых автомобильных дорогах число выбоин на 1 км может достигать 400--600, длина большинства их не превышает 5 м при среднем значении 1--2 м, максимальная высота (глубина) неровностей достигает 15-- 20 см.

Учет зоны нечувствительности характеристики упругости. О необходимости учета зоны нечувствительности характеристики упругости можно составить косвенное представление из наблюдений распределения нагружающего трансмиссию момента. Если дисперсия наблюдаемого момента в трансмиссии значительно меньше средней его величины, то совершенно ясно, что при нормальном или близком к нормальному закону распределения амплитуд, зона нечувствительности не попадает в рабочую полосу изменения момента.

Общий объем выборки, полученной при испытаниях, составил более 285 опытов, что по совокупности участков протяженностью 10 км составляет пробег для режимометрирования около 3000 км. По наблюдениям в ходе испытаний и при последующем предварительном анализе обнаружились существенные расхождения результатов режимометрирования при пробегах в сухую погоду и после дождей.

Обработка результатов специальных испытаний. Исходя из таких предпосылок, обработаны результаты специальных испытаний и режимометрирования автомобилей двух типов на грунтовых дорогах общего пользования. Так как испытания на грунтовой дороге по действующим программам предусматриваются в большом объеме прежде всего для полноприводных автомобилей, при постановке этой работы были выбраны типичные современные модели -- двухосный автомобиль ГАЗ-66 и трехосный ЗИЛ-131.

Нормирование форсированных испытаний грузовых автомобилей на специальных дорогах. Рассмотренные выше теоретические основы форсирования переменных нагрузок на детали в основных колебательных системах автомобиля от воздействия дороги и методы их сопоставления открывают возможности нормировать пробег при форсированных испытаниях исходя из сравнения усталостных повреждений отдельных элементов конструкции. При этом решение задачи базируется на статистической характеристике воздействия дороги.

8. Задачи оптимального управления

8.1 Экстремумы функций

Оптимальное управление - раздел математики, изучающий неклассические вариационные задачи. Объекты, с которыми имеет дело техника, обычно снабжены "рулями" -- с их помощью человек управляет движением. Математически поведение такого объекта описывается некоторыми уравнениями, куда входят и управляющие параметры, характеризующие положение "рулей". Естественно, возникает вопрос об отыскании наилучшего (оптимального) в том или ином смысле управления движением. Например, речь может идти о достижении цели движения за минимальное время. Этот вопрос является задачей вариационного исчисления. В отличие от классических вариационных задач, где управляющие параметры меняются в некоторой открытой области (без границы), теория О. у. охватывает и тот случай, когда управляющие параметры могут принимать и граничные значения. Последнее обстоятельство особенно существенно с прикладной точки зрения, поскольку при управлении техническим объектом именно положение "руля" "на упоре" часто обеспечивает О. у.

Уже само зарождение (в начале 50-х гг. 20 в.) О. у. представляет собой яркий пример того, как запросы практики с неизбежностью порождают новые теории. Для новейшей техники и современного высокомеханизированного и автоматизированного производства характерно стремление выбирать наилучшую программу действий, наиболее рационально использовать имеющиеся ресурсы. Именно эти конкретные технические задачи стимулировали разработку теории О. у., оказавшейся математически очень содержательной и позволившей решить многие задачи, к которым классические методы были неприменимы. Интенсивное развитие теории О. у., в свою очередь, оказалось мощным фактором, способствующим успешному решению научно-технических и народнохозяйственных задач.

Центральным результатом теории О. у.. является принцип максимума Понтрягина, дающий общее необходимое условие оптимальности управления. Этот результат и связанные с ним исследования, проведённые Л. С. Понтрягиным и его сотрудниками, послужили исходный пунктом разработки теоретических, вычислительных и прикладных аспектов теории О. у. При решении ряда задач О. у. с успехом используются идеи метода динамического программирования, основы которого разработаны американским учёным Р. Беллманом и его сотрудниками.

В общих чертах задача О. у. состоит в следующем. Рассмотрим управляемый объект, под которым понимается некоторая машина, прибор или процесс, снабжённые "рулями". Манипулируя "рулями" (в пределах имеющихся ресурсов управления), мы тем самым определяем движение объекта, управляем им. Например, технологический процесс осуществления химической реакции можно считать управляемым объектом, "рулями" которого являются концентрации ингредиентов, количество катализатора, поддерживаемая температура и др. факторы, влияющие на течение реакции. Для того чтобы знать, как именно ведёт себя объект при том или ином управлении, необходимо иметь закон движения, описывающий динамические свойства рассматриваемого объекта и устанавливающий для каждого избираемого правила манипулирования "рулями" эволюцию состояния объекта. Возможности управлять объектом лимитируются не только ресурсами управления, но и тем, что в процессе движения объект не должен попадать в состояния, физически недоступные или недопустимые с точки зрения конкретных условий его эксплуатации. Так, осуществляя манёвр судном, необходимо учитывать не только технической возможности самого судна, но и границу фарватера.

Имея дело с управляемым объектом, всегда стремятся так манипулировать "рулями", чтобы, исходя из определенно начального состояния, в итоге достичь некоторого желаемого состояния. Например, для запуска ИСЗ необходимо рассчитать режим работы двигателей ракеты-носителя, который обеспечит доставку спутника на желаемую орбиту. Как правило, существует бесконечно много способов управлять объектом так, чтобы реализовать цель управления. В связи с этим возникает задача найти такой способ управления, который позволяет достичь желаемого результата наилучшим, оптимальным образом в смысле определённого критерия качества; в конкретных задачах часто требуется реализовать цель управления за наименьшее возможное время или с минимальным расходом горючего, или с максимальным экономическим эффектом и т.п.

8.2 Вариационное исчисление

Вариационное исчисление, математическая дисциплина, посвященная отысканию экстремальных (наибольших и наименьших) значений функционалов -- переменных величин, зависящих от выбора одной или нескольких функций. В. и. является естественным развитием той главы математического анализа, которая посвящена задаче отыскания экстремумов функций. Возникновение и развитие В. и. тесно связано с задачами механики, физики и т.д.

Одной из первых задач В. и. была знаменитая задача о брахистохроне (И. Бернулли, 1696): определить форму кривой, лежащей в вертикальной плоскости, по которой тяжёлая материальная точка, двигаясь под действием только одной силы тяжести и не имеющая начальной скорости, перейдёт из верхнего положения А в нижнее положение В за минимум времени. Эта задача сводится к отысканию функции у (х), доставляющей минимум функционалу.

Другой такой же "исторической" задачей является задача об отыскании пути, вдоль которого распространяется свет, идущий от источника света (точка А)к некоторой точке В, в среде с переменной оптической плотностью (то есть в среде, где скорость распространения v есть функция координат). Для решения этой задачи может быть использован, так называемый, Ферма принцип, согласно которому из всех кривых, соединяющих точки А и В, луч света распространяется вдоль той, по которой свет приходит из A в B за кратчайшее время. В простейшем случае, когда свет распространяется в плоскости, задача сводится к отысканию кривой y (x), доставляющей минимум функционалу.

Из разрозненных задач подобного рода постепенно в 18 в. начало формироваться В. и. Но и после оформления В. и. в самостоятельную дисциплину она продолжала оставаться связанной с различными проблемами механики и физики. На протяжении 2-й половины 18 в. и всего 19 в. делались интенсивные попытки построить здание механики, опираясь на некоторые общие вариационные принципы (см. Вариационные принципы механики). Со 2-й половины 19 в. начинают разрабатываться различные вариационные принципы в механике сплошных сред, затем позднее в квантовой механике, электродинамике и т.д. Возникают вариационные принципы и в средах с диссипацией энергии. Исследования во всех подобных областях продолжают служить базой формирования новых задач В. и. и областью приложения её методов. Однако со временем появились и новые классы задач, далеко раздвинувших традиционные границы дисциплины и превративших В. и. в одну из наиболее обширных ветвей современной математики, включающей в себя, с одной стороны, самые абстрактные вопросы, относящиеся в равной степени к топологии и функциональному анализу, а с другой -- разнообразные вычислительные методы решения технических или экономических задач.

...