Основные положения сопротивления материалов и его задачи

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Основные положения сопротивления материалов и его задачи

Сопротивление материалов - наука об инженерных методах расчета на прочность, жесткость и устойчивость элементов сооружений и деталей машин.

Прочность - это способность конструкции сопротивляться разрушению при действии на нее внешних сил (нагрузок).

Жесткость - способность элемента конструкции сопротивляться деформации.

Устойчивость - свойство системы сохранять свое начальное равновесие при внешних воздействиях.

Методами сопротивления материалов выполняются расчеты, на основании которых определяются необходимые размеры деталей машин и конструкций инженерных сооружений. Любая конструкция должна обладать надежностью при эксплуатации и быть экономичной.

Надежность конструкции обеспечивается, если она сохраняет прочность, жесткость и устойчивость при гарантированной долговечности. Ее экономичность в значительной мере определяется расходом материала, применением менее дефицитных конструкционных материалов, возможностью изготовления деталей по наиболее прогрессивным технологиям. Надежность и экономичность - противоречивые требования.

В сопротивлении материалов широко применяются методы теоретической механики и математического анализа, используются данные из разделов физики, изучающих свойства различных материалов, материаловедения и других наук. К тому же сопротивление материалов является наукой экспериментально-теоретической, так как она широко использует опытные данные и теоретические исследования.

В отличие от теоретической механики сопротивление материалов рассматривает задачи, в которых наиболее существенными являются свойства твердых деформируемых тел, а законами движения тела как жесткого целого здесь пренебрегают.

Методы сопротивления материалов базируются на упрощенных гипотезах, которые, с одной стороны, позволяют решать широкий круг инженерных задач, а с другой, получать приемлемые по точности результаты расчетов.

При этом главной задачей курса является формирование знаний для применения математического аппарата при решении прикладных задач, осмысления полученных численных результатов и поиска выбора наиболее оптимальных конструктивных решений. То есть данный предмет является базовым для формирования инженерного мышления и подготовки кадров высшей квалификации по техническим специализациям.

2. Деформируемое тело: упругость, пластичность

Все реальные элементы конструкций и машин под действием на них внешних сил изменяют форму и размеры -- деформируются. Способность деформироваться -- одно из основных свойств всех твердых тел. Приложение внешних сил изменяет расстояние между молекулами, и тело деформируется. При этом изменяется межмолекулярное взаимодействие и внутри тела возникают силы, которые противодействуют деформации и стремятся вернуть частицы тела в прежнее положение. Эти внутренние силы называют силами упругости.

При малых значениях внешних сил твердое тело после разгрузки обычно восстанавливает свои первоначальные размеры. Такое свойство твердых тел называется упругостью.

Если тело после снятия нагрузки полностью восстанавливает свою первоначальную форму и размеры, его называют абсолютно упругим, а исчезающие после снятия нагрузки деформации -- упругими деформациями.

Опыты показывают, что упругая деформация наблюдается, пока действующие на тело силы не превысят определенного для каждого тела предела; при действии большей нагрузки тело наряду с упругой всегда получает и остаточную деформацию.

Нарушением прочности конструкции считают не только ее разрушение в буквальном смысле слова или появление трещин, но и возникновение остаточных деформаций. Как правило, при проектировании размеры элементов конструкций назначают таким образом, чтобы возникновение остаточных деформаций было исключено.

3. Основные гипотезы и допущения

Для построения теории сопротивления материалов принимают некоторые допущения относительно структуры и свойств материалов, а также о характере деформаций. Приведем основные из них.

1. В сопротивлении материалов принято рассматривать все материалы как однородную сплошную среду, независимо от их микроструктуры. Под однородностью материала понимают независимость его свойств от величины выделенного из тела объема. С понятием однородности тесно связано понятие сплошности среды, под которым подразумевают тот факт, что материал конструкции полностью заполняет весь отведенный ему объем, а значит в теле конструкции нет пустот. Это допущение позволяет использовать в сопротивлении материалов методы математического анализа (дифференциальное и интегральное исчисления).

2. Обычно сплошная среда принимается изотропной, т.е. предполагается, что свойства тела, выделенного из нее, не зависят от его ориентации в пределах этой среды. Материалы, имеющие различные свойства в разных направлениях, называют анизотропными (например, дерево). Отдельно взятый кристалл материала анизотропен, но т.к. в объеме реального тела содержится бесконечно большое количество хаотично расположенных кристаллов, принимается, что материал изотропен.

3. Принимается, что до определенной величины деформации материалов подчиняются закону Гука и весьма малы относительно размеров тела, поэтому все расчеты выполняются по исходной, т.е. недеформированной, схеме, к которой применим принцип независимости действия сил.

4. При решении большинства задач в сопротивлении материалов принимается, что материал конструкций абсолютно упругий. Это допущение справедливо, пока нагрузки не превышают определенного значения. При больших нагрузках в элементах конструкций появляются пластические деформации.

5. Перемещения, возникающие под действием внешних сил в упругом теле, малы по сравнению с его размерами. Это допущение называется принципом начальных размеров. Допущение позволяет при составлении уравнений равновесия пренебречь изменениями формы и размеров конструкции.

6. Предполагается, что в сечениях, достаточно удаленных от мест приложения нагрузки, характер распределения напряжений не зависит от конкретного способа нагружения. Основанием для такого утверждения служит принцип Сен-Венана, справедливый для любого типа напряженного состояния и формулируемый следующим образом: особенности приложения внешних нагрузок проявляются, как правило, на расстояниях, не превышающих характерных размеров поперечного сечения стержня.

7. Принимается гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли), введенной швейцарским ученым Д. Бернулли, гласящей, что плоские поперечные сечения стержня до деформации остаются плоскими и после деформации.

8. Считается, что ненагруженное тело свободно от каких бы то ни было внутренних сил любой природы.



4. Методы сечения. Внутренние силовые факторы

Стержнями (брусьями), называются такие элементы конструкций, длина которых значительно превышает их поперечные размеры. Кроме стержней (брусьев) могут встречаться пластины или оболочки, у которых только один, размер (толщина) мал по сравнению с двумя другими, и массивные тела, у которых все три размера примерно одинаковы.

Внешние силы, действующие на тело, вызывают в нем дополнительные внутренние силы, стремящиеся противодействовать деформации. Обнаружить возникающие в нагруженном теле внутренние силы можно, применив метод сечений. Суть этого метода заключается в том, что внешние силы, приложенные к отсеченной части тела, уравновешиваются внутренними силами, возникающими в плоскости сечения и заменяющими действие отброшенной части тела на остальную.

Стержень, находящийся в равновесии (рис. а), рассечем на две части I u II (рис. б).

В сечении возникают внутренние силы, уравновешивающие внешние силы, приложенные к оставленной части. Это позволяет применить к любой части тела I или II условия равновесия, дающие в общем случае пространственной системы сил шесть уравнений равновесия:



Эти уравнения позволяют отыскать составляющие главного вектора и главного момента внутренних сил.

При действии пространственной системы сил из уравнения равновесия можно найти возникающие в поперечном сечении три составляющие силы Nz,Qx,Qy (составляющие главного вектора внутренних сил), направленные по координатным осям, и три составляющие момента Mz,Mx,My (составляющие главного момента внутренних сил).

Указанные силы и моменты, являющиеся внутренними силовыми факторами (рис. в), соответственно называются:

Nz -- продольная сила; Qx, Qy -- поперечные силы; Mx, My -- изгибающие моменты; M z-- крутящий момент.

В частных случаях отдельные внутренние силовые факторы могут быть равны нулю.

Так, при действии на стержень плоской системы сил (в продольной плоскости zу) в его сечениях могут возникнуть только три силовых фактора: изгибающий момент Мх и две составляющие главного вектора этой системы -- поперечная сила Qy и продольная сила Nz. Соответственно для этого случая можно составить три уравнения равновесия:

Координатные оси всегда будем направлять следующим образом: ось z -- вдоль оси стержня, оси х и у -- вдоль главных центральных осей его поперечного сечения, а начало координат в центре тяжести сечения.

Для определения внутренних силовых факторов необходимо:

1. Мысленно провести сечение в интересующей нас точке конструкции или стержня.

2. Отбросить одну из отсеченных частей и рассмотреть равновесие оставленной части.

3. Составить уравнения равновесия для оставленной части и определить из них значения и направления внутренних силовых факторов.

Внутренние силовые факторы, возникающие в поперечном сечении стержня, определяют деформированное состояние.

При осевом растяжении и сжатии внутренние силы в поперечном сечении могут быть заменены одной силой, направленной вдоль оси стержня (рис. 57) -- продольной силой N (индекс z, как правило, будем опускать). В случае, если сила направлена к отброшенной части наружу, имеет место растяжение - (рис. 57, а).

Наоборот, если она направлена от отброшенной части внутрь (рис. 57, б), имеет место сжатие.

Сдвиг возникает в том случае, когда в поперечном сечении стержня внутренние силы приводятся к одной силе, расположенной в плоскости сечения (рис. 58), -- к поперечной силе Q.



При кручении возникает один внутренний силовой фактор -- крутящий момент М_z = M_k (рис. 59).

Если в сечении возникает только изгибающий момент М_х или М_y (рис.60), имеет место чистый изгиб. Если же кроме изгибающего момента в сечении стержня возникает еще поперечная сила, то изгиб называют поперечным. Для расчета элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость прежде всего необходимо с помощью метода сечений определить возникающие внутренние силовые факторы.

5. Виды напряжений

Самое важное понятие в сопротивлении материалов - это понятие напряжения как силы, действующей на малую площадку и отнесенной к площади этой площадки.

Напряжения бывают трех видов: растяжения, сжатия и сдвига.

Если на металлическом стержне подвешен груз, как показано на рис. 1, а, то такой стержень называется растянутым или работающим на растяжение. Напряжение S, создаваемое силой P в растянутом стержне с площадью поперечного сечения, равной A, дается выражением S = P/A. Растянутый стержень длиннее, чем до приложения растягивающих сил.

Рассмотрим короткий цилиндр (рис. 1, б), на верхний торец которого положен груз. При этом во всех поперечных сечениях цилиндра действуют напряжения сжатия. Если напряжение равномерно распределено по всему сечению, то справедлива формула S = P/A. Сжатый цилиндр короче, чем в отсутствие деформаций.

Напряжение сдвига возникает, например, в болте, на котором верхним концом держится растянутый стержень AB с грузом (рис. 1,а). Болт удерживает стержень, действуя с силой 50 000 Н, направленной вверх, на ту часть стержня, которая расположена непосредственно над отверстием в стержне, а стержень в свою очередь давит на среднюю часть болта с силой 50 000 Н. Если бы болт был сделан из материала с низким пределом прочности на сдвиг, например из свинца, то он был бы срезан по двум вертикальным плоскостям. Если же болт стальной и достаточно большого диаметра, то он не срежется, но в двух его вертикальных поперечных сечениях будут существовать напряжения сдвига.

Напряжения растяжения и сжатия направлены по нормали (т.е. вдоль перпендикуляра) к площадке, в которой они действуют, а напряжение сдвига - параллельно площадке. Поэтому напряжения растяжения и сжатия называются нормальными, а напряжения сдвига - касательными.

Поскольку напряжение представляет собой отношение внутренней силы к некоторой площади, оно измеряется в единицах силы, отнесенных к единице площади.

Для измерения напряжений в Международной системе единиц (СИ) служит ньютон на квадратный метр, названный паскалем Па (Па = Н/м²). Так как эта единица очень мала и пользоваться ею неудобно, применяют кратные единицы (кН/м², МН/м² и Н/мм²). Отметим, что 1 МН/м² = 1 МПа = 1 Н/мм². Эта единица наиболее удобна для практического использования.

Через одну и ту же точку тела можно провести бесчисленное множество сечений, разделяющих тело на две части. Напряжения по разным сечениям, проведенным через одну и ту же точку тела, в общем случае будут различны. Напряжение в данной точке зависит от ориентировки проведенного через точку сечения, поэтому нельзя говорить о напряжениях, не указывая положения сечения, в котором они возникают.

Чтобы избежать разрушения элементов сооружений или машин, возникающие в них рабочие (расчетные) напряжения не должны, превышать допускаемых напряжений, которые обозначают в квадратных скобках.

Допускаемые напряжения -- это максимальные значения напряжений, обеспечивающие безопасную работу материала.

Допускаемые напряжения назначаются как некоторая часть экспериментально найденных предельных напряжений, определяющих исчерпание прочности материала:

где [n] - требуемый или допускаемый коэффициент запаса прочности, показывающий, во сколько раз допускаемое напряжение должно быть меньше предельного.

Коэффициент запаса прочности зависит от свойств материала, характера действующих нагрузок, точности применяемого метода расчета и условий работы элемента конструкции.

6. Напряжение: полное, нормальное, касательное

Напряжения характеризуются числовым значением и направлением, т. е. напряжение представляет собой вектор, наклоненный под тем или иным углом к рассматриваемому сечению.

Пусть в точке М какого-либо сечения тела по некоторой малой площадке A действует сила F под некоторым углом к площадке (рис. 63, а). Поделив эту силу F на площадь А, найдем возникающее в точке М среднее напряжение (рис. 63, б):

p=F/A.

Истинные напряжения в точке М определяются при переходе к пределу

Векторная величина р называется полным напряжением в точке.

Полное напряжение р можно разложить на составляющие: по нормали (перпендикуляру) к площадке А и по касательной к ней (рис, 63, в).

Составляющую напряжения по нормали называют нормальным напряжением в данной точке сечения и обозначают греческой буквой (сигма); составляющую по касательной называют касательным напряжением и обозначают греческой буквой (тау).

Нормальное напряжение, направленное от сечения, считают положительным, направленное к сечению - отрицательным.

Нормальные напряжения возникают, когда под действием внешних сил частицы, расположенные по обе стороны от сечения, стремятся удалиться одна от другой или сблизиться. Касательные напряжения возникают, когда частицы стремятся сдвинуться одна относительно другой в плоскости сечения.

Касательное напряжение можно разложить по координатным осям на две составляющие и (рис.1.6, в). Первый индекс при показывает, какая ось перпендикулярна сечению, второй - параллельно какой оси действует напряжение. Если в расчетах направление касательного напряжения не имеет значения, его обозначают без индексов.

Между полным напряжением и его составляющими существует зависимость

Напряжение, при котором происходит разрушение материала или возникают заметные пластические деформации, называют предельным.

7. Растяжение и сжатие. Продольные силовые факторы

Под растяжением (сжатием) понимают такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникают только продольные силы, а прочие силовые факторы равны нулю.

Когда к стержню приложены по концам две равные противоположно направленные силы, действующие по его оси, стержень растянут или сжат (рис. 57, а,б). Собственная сила тяжести стержня в большинстве случаев невелика по сравнению с действующими на него силами и ею можно пренебречь при определении напряжений и деформаций.

Продольная сила - внутреннее усилие, равное сумме проекций всех внешних сил, взятых с одной стороны от сечения, на ось стержня.

Определим внутренние силовые факторы в поперечных сечениях стержня, растянутого двумя равными силами F (рис. 64, а).

Рассечём стержень произвольным поперечным сечением I-I и, рассматривая равновесие нижней части (рис. 64, б), найдем величину продольной силы:



В случае растяжения продольную силу N будем считать положительной, при сжатии -- отрицательной. Изменение продольной силы по длине стержня удобно представить в виде диаграммы, называемой эпюрой продольных сил.

Эпюра продольных сил для стержня, рассмотренного выше, построена на рис.64,в. Она изображается прямоугольником, так как значение продольной силы одинаково во всех сечениях. Однако продольная сила может изменяться по длине стержня. Это имеет место, например, в случае, когда стержень подвергается действию системы внешних сил, приложенных не только к его торцам, но и в промежуточных сечениях.

Эпюра позволяет определить, в каком сечении действует максимальное внутреннее усилие. Сечение, где действует максимальное усилие будем называть опасным.

8. Нормальные напряжения в поперечных сечениях и их эпюр

При растяжении или сжатии осевыми силами стержней из однородного материала поперечные сечения, достаточно удаленные от точек приложения внешних сил, остаются плоскими и перемещаются поступательно в направлении деформации. Это положение называют гипотезой плоских сечений (гипотезой Бернулли). На основании сказанного можно заключить, что все точки какого-либо поперечного сечения стержня находятся в одинаковых условиях и, следовательно, напряжения распределяются по сечению равномерно (рис. 57).



Эти напряжения перпендикулярны поперечному сечению, а значит, являются нормальными напряжениями. Их значения найдем, разделив величину продольной силы N на площадь А:

Продольная сила N с помощью метода сечений всегда может быть выражена через внешние силы. В формулу следует подставлять алгебраическое значение N, т. е. со знаком плюс в случае растяжения и со знаком минус в случае сжатия.

В сечениях, близких к месту приложения внешних сил, гипотеза Бернулли нарушается: сечения искривляются, и напряжения в них распределяются неравномерно. По мере удаления от сечений, в которых приложены силы, напряжения выравниваются, и в сечениях, удаленных от места приложения сил на расстояние, равное наибольшему из размеров поперечного сечения, напряжения можно считать распределенными по сечению равномерно. Это положение, называемое принципом Сен-Венана, позволяет при определении напряжений в сечениях, достаточно удаленных от мест приложения внешних сил, не учитывать способ их приложения, заменять систему внешних сил статически эквивалентной системой.

Нормальные напряжения при сжатии определяют также, как и при растяжении, но считают отрицательными.

9. Определение деформации при растяжении и сжатии

Рассмотрим однородный стержень с одним концом, жестко заделанным, и другим - свободным, к которому приложена центральная продольная сила Р (рис. 2.8).



До нагружения стержня его длина равнялась l, после нагружения она стала равной l + l (рис. 2.8). Величину l называют абсолютным удлинением стержня.

Если в нагруженном стержне напряженное состояние является однородным, т.е. все участки стержня находятся в одинаковых условиях, деформация остается одной и той же по длине стержня и равной .

Если же по длине стержня возникает неоднородное напряженное состояние, то для определения его абсолютного удлинения необходимо рассмотреть бесконечно малый элемент длиной dz (рис. 2.8). При растяжении он увеличит свою длину на величину dz и его деформация составит: .

При растяжении и сжатии изменяются и поперечные размеры стержня. Рассмотрим растянутый стержень.

Поперечный размер, первоначально равный а, уменьшается до а₁. Изменение поперечного размера будет а = а - а₁, а поперечная деформация будет равна .

Экспериментально установлено, что отношение поперечной деформации к продольной деформации при упругом растяжении (сжатии) для данного материала величина постоянная. Обозначив абсолютное значение данного отношения, получим .

Следует учитывать, что продольная и поперечная деформации всегда противоположны по знаку. Иными словами, при растяжении, когда продольный размер стержня увеличивается, его поперечный размер уменьшается, и, наоборот, при сжатии продольный размер уменьшается, а поперечный -- увеличивается.

Величина называется коэффициентом поперечной деформации, или коэффициентом Пуассона.

10. Закон Гука и область его применения

В пределах малых деформаций при простом растяжении или сжатии закон Гука записывается в следующем виде: нормальные напряжения в поперечном сечении прямо пропорциональны относительной линейной деформации = Е.

Величина Е, которая входит в формулу, выражающую закон Гука, является одной из важнейших физических постоянных материала. Она характеризует его жесткость, т. е. способность сопротивляться упругому деформированию. Эта величина называется модулем продольной упругости.

Величина Е измеряется в тех же единицах, что и напряжение, т. е. в Н/м² (Па), Н/мм² (МПа) -- в Международной системе единиц (СИ) и в кгс/см² или в кгс/мм² -- в технической системе единиц (МКГСС).

Подставив в формулу значения нормального напряжения и продольной деформации, получим

,

откуда определим изменение длины стержня .

Выведенное соотношение показывает, что удлинение (укорочение) при растяжении (сжатии) зависит от величины продольной силы N, поперечного сечения А стержня, его длины l и модуля продольной упругости Е. Произведение ЕА называется жесткостью сечения стержня при растяжении (сжатии).

Закон Гука может быть представлен графически; если по оси абсцисс откладывать значения , а по оси ординат -- значения , то зависимость представится прямой линией.

Прямая пропорциональность, т. е. линейная зависимость между и имеет место не при всех значениях напряжения. Как показывают опыты, после того, как напряжение превысит некоторое значение, называемое пределом пропорциональности, зависимость между и начинает отклоняться от линейной.

11. Испытание материалов на растяжение. Механические характеристики

Физико-механические свойства материалов изучают в лабораторных условиях путем нагружения образца до разрушения. Применяемые в настоящее время механические испытания материалов весьма многообразны. По характеру приложения внешних сил они разделяются на статические, динамические (или испытания ударной нагрузкой) и испытания на выносливость (нагрузкой, вызывающей напряжения, переменные во времени).

Испытания материалов можно классифицировать также по видам деформированного состояния. Различают испытания образцов на растяжение, сжатие, срез, кручение и изгиб.

Наиболее широко применяют статические испытания материалов на растяжение.

По механическим свойствам материалы могут быть разделены на две основные группы: пластичные и хрупкие. У первых разрушению предшествует возникновение значительных остаточных деформаций; вторые разрушаются при весьма малых остаточных деформациях.

Для наглядного представления о поведении материала при растяжении или сжатии строят кривую зависимости между величиной удлинения (укорочения) испытываемого образца и величиной вызвавших его сил, так называемую диаграмму растяжения или сжатия.

Такая диаграмма может быть получена при испытании образца материала на специальных машинах, снабженных приборами, автоматически записывающими ход растяжения или сжатия образцов. По оси абсцисс на диаграмме откладывают абсолютное удлинение или укорочение l испытываемого образца, по оси ординат -- соответствующее значение растягивающих или сжимающих сил F.

От диаграммы растяжения в координатах F и l можно, разделив все ее ординаты на А, а абсциссы на l, перейти к диаграмме в координатах и , где

Первоначальная площадь поперечного сечения А и первоначальная длина расчетной части 1 образца являются постоянными, поэтому вид диаграммы растяжения в новых координатах (рис. а) такой же, как и в координатах F и l, но масштабы ординат и абсцисс будут соответственно отличаться.

Диаграмма растяжения более удобна и лучше отражает физические свойства материала, так как она не зависит от геометрических размеров испытываемого образца: длины l и площади поперечного сечения А.

До значения напряжения, соответствующего точке В диаграммы, имеет место линейная зависимость (прямая пропорциональность) между величинами относительного удлинения и напряжения, т. е. соблюдается закон Гука.

Напряжение, соответствующее точке В диаграммы, называется пределом пропорциональности материала. При переходе за точку В справедливость закона Гука нарушается: удлинение растет интенсивнее, чем сила; прямая 0В переходит в кривую ВС, обращенную выпуклостью кверху. До точки С диаграммы увеличение растягивающей силы практически не вызывает остаточных деформаций образца. Материал деформируется упруго, и напряжение, соответствующее точке С, называется пределом упругости.

Угол наклона начального участка ОB диаграммы растяжения пропорционален модулю продольной упругости материала

Чем круче этот участок, тем больше модуль упругости материала, тем он жестче.

Кривая ВС от точки С переходит в горизонтальную или почти горизонтальную прямую CD, что указывает на значительное возрастание удлинения при постоянном значении силы; материал, как говорят, течет.

Напряжение, определяемое ординатой горизонтального участка диаграммы, при котором наблюдается текучесть материала, называется пределом текучести. При этом напряжении происходит значительный рост пластической (остаточной) деформации.

Когда напряжения в материале достигают предела текучести, полированная поверхность образца тускнеет и постепенно делается матовой. На ней появляются линии, наклоненные к оси образца под углом примерно 45° (рис. б).

Эти линии носят название линий Людерса-Чернова, их появление свидетельствует о сдвиге кристаллов образца. За площадкой текучести CD следует пологий криволинейный участок диаграммы DE. Материал вновь начинает сопротивляться росту деформаций, но, естественно, зависимость между деформацией и напряжением уже не подчиняется закону Гука. Кроме упругого удлинения образец получает значительное остаточное удлинение. Участок DE диаграммы называют зоной упрочнения, материал здесь снова оказывает сопротивление деформациям.

Точка Е диаграммы определяет наибольшее для данного испытания условное напряжение, отнесенное к первоначальной площади сечения образца. Это наибольшее напряжение называют временным сопротивлением. На образце при этом значении силы образуется резкое местное сужение, так называемая шейка. Образец сильно удлиняется за счет пластической деформации шейки. Площадь сечения шейки уменьшается, и для доведения образца до разрушения требуется сила меньше f_max; это отмечает участок диаграммы, отклоняющийся вниз к оси абсцисс. Действительные напряжения в сечении шейки не уменьшаются, а все время растут; площадь сечения шейки уменьшается более интенсивно, чем растягивающая сила F. Точка G соответствует разрушению образца.

Характеристикой прочности при растяжении пластичных материалов, к каким относится малоуглеродистая сталь, считают предел текучести, так как появление больших остаточных деформаций рассматривается как нарушение прочности элемента конструкции.

Многие пластичные материалы дают диаграмму растяжения, на которой нет площадки текучести. Для таких материалов, в частности для среднеуглеродистых конструкционных сталей, вводят понятие об условном пределе текучести. Это напряжение, при котором относительное остаточное удлинение образца составляет 0,2%. В технической литературе зачастую не разграничивают обозначения физического и условного пределов текучести, принимая для той и другой характеристики общее обозначение .

Диаграммы растяжения хрупких материалов значительно отличаются от приведенной выше диаграммы пластичного материала. В них отсутствует площадка текучести, разрушение образцов происходит при ничтожно малых остаточных деформациях без образования шейки. Хрупкие материалы плохо сопротивляются растяжению. Некоторые хрупкие материалы уже в начальной стадии нагружения, т.е. при малых напряжениях, обнаруживают отклонение от закона Гука. Однако в пределах тех напряжений, при которых хрупкий материал работает в конструкциях на растяжение, указанное отклонение невелико и при расчетах не учитывается.

За характеристику прочности хрупких материалов принимают наибольшее значение напряжения, соответствующее моменту разрыва. Это напряжение для хрупких материалов называют пределом прочности.

12. Предельное напряжение и допускаемое

Предельным напряжением считают напряжение, при котором образец из данного материала разрушается или при котором развиваются значительные пластические деформации.

Для пластичных материалов предельным напряжением считают предел текучести, т.к. возникающие пластические деформации не исчезают после снятия нагрузки: .

Для хрупких материалов, где пластические деформации отсутствуют, а разрушение возникает по хрупкому типу (шейки не образуется), за предельное напряжение принимают предел прочности: .

Для пластично-хрупких материалов предельным напряжением считают напряжение, соответствующее максимальной деформации 0,2% .

Допускаемое напряжение -- максимальное напряжение, при котором материал должен нормально работать. Его величина регламентируется техническими условиями.

Допускаемые напряжения устанавливаются с учетом материала конструкции и изменяемости его механических свойств в процессе эксплуатации, точности задания нагрузок, срока службы конструкции и т.д.

Допускаемые напряжения получают по предельным с учетом запаса прочности: ,

где [у] -- допускаемое напряжение; n -- коэффициент запаса прочности; [n] -- допускаемый коэффициент запаса прочности (в квадратных скобках принято обозначать допускаемое значение величины).



13. Коэффициент запаса прочности, факторы, влияющие на его выбор

Коэффициент запаса прочности имеет сложную структуру и предназначен для гарантии прочности конструкции от любых случайностей и неточностей, возникающих при проектировании и эксплуатации конструкции.

Допускаемый коэффициент запаса прочности зависит от качества материала, условий работы детали, назначения детали, точности обработки и расчета и т.д. Он может колебаться от 1,25 для простых деталей до 12,5 для сложных деталей, работающих при переменных нагрузках в условиях ударов и вибраций.

Коэффициент запаса прочности, по отношению соответственно к пределу текучести и пределу прочности, представляет собой величину, большую единицы, зависящую от класса конструкции (капитальная, временная и т.п.), срока ее эксплуатации, нагрузки (статическая, циклическая и т.п.), возможной неоднородности изготовления материала и от вида деформации (растяжение, сжатие, изгиб и т.п.).

Нормативный коэффициент запаса прочности регламентируется для строительных конструкций СН и Пами, для машиностроительных - внутризаводскими нормами. В большинстве случаев он принимается равным для пластичных материалов n_T = 1,5 ч 2,5, для хрупких n_B = 2,5 ч 5.

Вопрос о величине нормативного коэффициента запаса прочности [n] решается с учетом имеющегося опыта эксплуатации сооружений и машин.

14. Расчет на прочность при растяжении и сжатии. Три вида задач

Прочность стержня при осевом растяжении и сжатии обеспечена, если для каждого его поперечного сечения наибольшее расчетное (рабочее) напряжение не превосходит допускаемого [],

,

где N -- абсолютное значение продольной силы в сечении;

А -- площадь поперечного сечения;

-- допускаемое напряжение при растяжении или сжатии для материала стержня.

С помощью формулы решается три вида задач (выполняется - три вида расчетов).

1. Проверка прочности (проверочный расчет). При заданных продольной силе N и площади поперечного сечения А определяют рабочее (расчетное) напряжение и сравнивают его с допускаемым непосредственно по формуле. Превышение расчетного (рабочего) напряжения по сравнению с допускаемым не должно быть больше 5%, иначе прочность рассчитываемой детали считается недостаточной.

В случаях, когда рабочие напряжения значительно ниже допускаемых , получаются неэкономичные конструкции с чрезмерным, необоснованным расходом материала. Такие решения являются нерациональными. Следует стремиться к максимальному использованию прочности материала и снижению материалоемкости конструкций.

Проверочный расчет деталей машин часто проводят в другой форме. Определяют фактический (расчетный) коэффициент запаса, исходя из известных значений предельного (опасного) напряжения и вычисленного значения рабочего (расчетного) напряжения , и сравнивают его с требуемым коэффициентом запаса [n], т.е. условие прочности выражают неравенством

2. Подбор сечения (проектный расчет). Исходя из условия, можно определить необходимые размеры сечения, зная продольную силу и допускаемое напряжение. Решив неравенство относительно А, получим

.

3. Определение допускаемой продольной силы. Допускаемое значение продольной силы в поперечном сечении стержня можно найти по формуле

Допускаемые напряжения назначаются на основе результатов механических испытаний образцов соответствующих материалов.

15. Чистый сдвиг. Закон Гука при сдвиге

Экспериментально чистый сдвиг может быть осуществлен при кручении тонкостенной трубы (рис.а), поэтому деформация чистого сдвига отнесена к теме «кручение».

Рассмотрим элемент abed, вырезанный из тонкостенной трубы (рис. б).

При возникновении касательных напряжений элемент перекашивается. Если считать грань ad закрепленной, то грань bc сдвинется в положение b₁c₁. Прямые углы между гранями изменяются на величину . Угол , представляющий собой изменение первоначально прямого угла между гранями элементарного параллелепипеда, называется углом сдвига.

Касательные напряжения и угол сдвига , называемый также относительным сдвигом, связаны прямой пропорциональностью, т. е. законом Гука = G.

Входящая в эту формулу величина G называется модулем сдвига. Эта величина характеризует жесткость материала при деформации сдвига. Так как выражается отвлеченным числом, то модуль сдвига G, как и модуль продольной упругости Е, имеет ту же единицу измерения, что и напряжение: МПа, Н/мм², кгс/см².

Между модулем упругости Е и модулем сдвига G существует зависимость:

где -- коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона).

Приведенные соотношения между G и E подтверждаются опытами.

Чистый сдвиг может быть представлен как одновременное растяжение и сжатие по двум взаимно перпендикулярным направлениям.

16. Крутящие моменты и их эпюры

На кручение обычно работают брусья круглого поперечного сечения, например валы и витки цилиндрических пружин.

Кручение возникает при нагружении бруса парами сил, расположенными в плоскостях, перпендикулярных продольной оси бруса (рис).

Моменты этих пар М_вр называют вращающими моментами. Их алгебраическая сумма равна нулю, если вал находится в равновесии и вращается равномерно. Величину вращающего момента М_вр можно вычислить по передаваемой мощности Р и частоте вращения n .

Эта формула дает величину момента в Н*м, если мощность выражена в Вт, а частота в об/мин.

Момент внутренних сил относительно продольной оси бруса называют крутящим моментом М_k. При кручении в поперечных сечениях бруса возникает один внутренний силовой фактор -- крутящий момент М_k. Он определяется при помощи метода сечений.

Когда вращение от двигателя передается при помощи передаточного вала нескольким рабочим машинам, крутящий момент не остается постоянным по длине вала.

Характер изменения крутящего момента по длине вала наиболее наглядно может быть представлен эпюрой крутящих моментов.

Рассмотрим построение такой эпюры для вала, на котором закреплено несколько шкивов (рис. а);



шкив I получает вращение от двигателя, шкивы II, III и IV передают его станкам.

Моменты, передаваемые каждым шкивом на вал, вычисляют по формуле

.

Направление момента М₁ противоположно направлению моментов М₂ М₃ и М₄. При установившемся движении (равномерном вращении вала), пренебрегая трением в подшипниках, получаем из условия равновесия вала:

Крутящий момент изменяется в сечениях вала, передающих внешние моменты от шкивов. Разделим вал на три участка (рис.а) и определим крутящие моменты в поперечных сечениях каждого из них. Крутящий момент в любом поперечном сечении первого участка между шкивами II п I уравновешивает момент внешней пары М₂, действующий на левую отсеченную часть, т.е. M_k1=M₂

При рассмотрении правой части из условия ее равновесия мы получили бы, естественно, тот же результат:

Аналогично вычисляется крутящий момент в поперечных сечениях на втором участке вала между шкивами I и III

,



а на третьем участке между шкивами III и IV

.

Итак, крутящий момент в каком-либо поперечном сечении вала численно равен алгебраической сумме моментов внешних пар, действующих на вал в плоскостях, перпендикулярных оси вала, и приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Эпюру крутящих моментов строят аналогично эпюре продольных сил, откладывая от горизонтали (рис. б) ординаты, пропорциональные крутящим моментам в поперечных сечениях соответствующих участков вала.

Знак крутящего момента в поперечном сечении вала определяется исходя из направления внешних моментов. Крутящий момент положителен, когда внешние моменты вращают отсеченную часть по часовой стрелке, если смотреть со стороны проведенного сечения.

Положительные ординаты эпюры крутящих моментов откладывают вверх, отрицательные -- вниз от горизонтальной линии, называемой осью, или базой, эпюры.

деформируемый напряжение сечение прочность

17. Определение деформации при кручениях

Выведем формулы для определения деформаций и напряжений, возникающих при кручении валов. Для наиболее часто встречающихся валов круглого и кольцевого сечения при кручении поперечные сечения сохраняют плоскую форму, а радиусы этих сечений, поворачиваясь, не искривляются.

Приведенный ниже вывод базируется на этих предположениях и справедлив, соответственно, только для валов круглого и кольцевого сечения.

Рассмотрим элемент вала (рис. а) длиной l, причем крайнее левое сечение этого элемента будем считать условно неподвижным, что эквивалентно определению перемещений относительно этого сечения.

Нетрудно показать, что рассматриваемый элемент испытывает деформацию сдвига. Действительно, любая образующая наружная АВ или внутренняя ЕС смещается при кручении и возникают перекосы, определяемые углами сдвига _max для образующей АВ или для образующей ЕС (рис.а). При этом радиус крайнего правого сечения OB поворачивается в положение ОВ₁ на некоторый угол , называемый углом закручивания.

Учитывая малость деформаций и выражая ВВ₁ и CC₁ как дуги окружностей, легко определить соотношения между углом сдвига _max или и углом закручивания :

,

Откуда

;

или получим

.

Таким образом, угол сдвига в поперечном сечении прямо пропорционален расстоянию от оси вала р. Величина /l, определяющая относительный угол закручивания или угол на единицу длины, для каждого сечения вала является постоянной, так как выражается через постоянную значения _max и r.

Сдвиг отдельных элементов вала сопровождается возникновением в его поперечных сечениях касательных напряжений, которые могут быть определены по закону Гука для сдвига:

при = r или , т. е. касательные напряжения в поперечном сечении меняются по длине радиуса по линейному закону.

Сдвиг в поперечных сечениях при кручении происходит по направлению касательных к окружностям, поэтому направление касательного напряжения в какой-либо точке течения перпендикулярно к соответствующему радиусу (рис. б).

Зная закон распределения касательных напряжений по поперечному сечению бруса, можно определить их величину в зависимости от крутящего момента, возникающего в данном поперечном сечении.

Если dA -- площадь элементарной площадки (см.рис.б), то элементарная внутренняя сила на этой площадке, расположенной на расстоянии р от оси бруса, rdA, а ее момент относительно оси бруса равен rdAp.

Сумма моментов всех элементарных внутренних касательных сил, возникающих в поперечном сечении, представляет собой крутящий момент М_к в данном сечении и определяется интегралом, , взятым по всей площади Выражая через и вынося затем постоянный множитель за знак интеграла, получаем

Этот интеграл представляет собой полярный момент инерции сечения

Таким образом, , откуда и соответственно

Выведенная формула определяет касательное напряжение в любой точке поперечного сечения при кручении вала круглого поперечного сечения. Напряжения в точках, близких к оси вала, малы, поэтому для уменьшения его массы иногда удаляют внутреннюю часть и делают его полым -- с кольцевым сечением. Наибольшего значения достигают напряжения в поперечном сечении в точках у поверхности, т. е. в точках, наиболее удаленных от его оси.

18. Касательное напряжение в поперечных сечениях

Выведем формулу для касательных напряжений при кручении призматического стержня кругового поперечного сечения. Как видно, поворот правого торцевого сечения относительно неподвижного левого на угол (назовем его углом закручивания стержня) вызывает поворот продольных волокон на угол (угол сдвига), поскольку на величину искажаются углы ортогональной сетки продольных и поперечных рисок модели.

Двумя смежными сечениями вырежем элемент стержня длиной dz и, поскольку нас интересуют деформации элемента, левое сечение его будем считать неподвижным (рис. 5). При повороте правого сечения на угол в соответствии с гипотезой о недеформируемости радиусов, правый конец волокна АВ (отстоящий от оси элемента на величину полярного радиуса ) будет перемещаться по дуге BB₁, вызывая поворот волокна на угол сдвига

Обратим внимание на то, что сдвиг и связанное с ним касательное напряжение перпендикулярны радиусу . Определим , воспользовавшись законом Гука для чистого сдвига

Формула для касательных напряжений при кручении призматического стержня кругового поперечного сечения . Сдвиги и касательные напряжения пропорциональны расстояниям от оси стержня.

19. Полярные моменты сопротивления круга и кольца

Отношение Jp/r = Wp называют полярным моментом сопротивления сечения.

Полярный момент сопротивления круга вычислим, разделив величину Jp на радиус г = 0,5d,

Аналогично для кольцевого сечения

где

Определим угол закручивания бруса. Исходя из уравнений

и находим

Подставляя окончательно получаем

Величина угла выражается в радианах. Угол поворота можно определять лишь для участка бруса, имеющего постоянное поперечное сечение, при условии, что крутящий момент по длине этого участка не изменяется.



20. Расчеты на прочность при кручении. Три вида задач. Рациональные формы сечений

Прочность при кручении бруса круглого сплошного или кольцевого поперечного сечения определяется условием

.

Эта формула может служить основой для трех видов расчетов.

1. Проверка прочности (проверочный расчет), когда известны наибольший крутящий момент и размеры поперечного сечения вала.

При проверочном расчете на прочность рекомендуется следующий порядок расчета валов при кручении:

1) по схеме вала и действующим на него скручивающим моментам строят эпюру внутренних крутящих моментов по отдельным участкам;

2) выбирают материал для рассчитываемого вала и определяют для этого материала допускаемое напряжение, например по формуле ;

3) для участка вала с максимальным по модулю значением крутящего момента записывают условие прочности при кручении

2. Подбор сечения (проектный расчет). Решив это неравенство относительно W_p, получим формулу для определения полярного момента сопротивления, а значит диаметра вала, исходя из условия прочности

.



3. Определение допускаемого крутящего момента, когда известны размеры сечения вала и задано допускаемое напряжение, .

Для сплошного круглого сечения , отсюда можем записать выражение для определения диаметра вала из условия его прочности: .

Для кольцевого сечения .

Из двух сечений с одним и тем же полярным моментом сопротивления (или в случае некруглого сечения одним и тем же W_к), а следовательно, с одним и тем же допускаемым крутящим моментом, рациональным будет сечение с наименьшей площадью, т.е. обеспечивающее наименьший расход материала. Так как отношение W_p/A (или W_к/A) является величиной размерной, то для сравнения различных сечений удобно применять безразмерную величину (при некруглом сечении ), которую можно называть удельным моментом сопротивления при кручении. Чем больше , тем рациональнее сечение.

Наименее выгодными при кручении являются швеллеры, двутавры, узкие прямоугольные сечения и наиболее выгодными - круглые кольцевые, особенно при малой толщине стенок. Применение трубчатых тонкостенных стержней дает большую экономию металла.

Изгибом называется вид нагружения бруса, при котором к нему прикладывается момент, лежащий в плоскости, проходящей через продольную ось. В поперечных сечениях бруса возникают изгибающие моменты. При изгибе возникают деформация, при которой происходит искривление оси прямого бруса или изменение кривизны кривого бруса.

Брус, работающий при изгибе, называется балкой. Конструкция, состоящая из нескольких изгибаемых стержней, соединенных между собой чаще всего под углом 90°, называется рамой.

Изгиб называется плоским или прямым, если плоскость действия нагрузки проходит через главную центральную ось инерции сечения.

Чаще всего встречается поперечный изгиб, когда внешние силы, перпендикулярные к продольной оси балки, действуют в плоскости, проходящей через ось балки и одну из главных центральных осей ее поперечного сечения, в частности, в плоскости, совпадающей с плоскостью симметрии балки, например, сила F на рис. 87, а. Такой изгиб называют прямым.

Если же силы, вызывающие деформацию изгиба, действуют в плоскости, проходящей через ось балки, но не проходящей через одну из главных центральных осей ее поперечного сечения, имеет место косой изгиб (рис. 87, б).

При плоском поперечном изгибе в балке возникают два вида внутренних усилий: поперечная сила Q и изгибающий момент M. В раме при плоском поперечном изгибе возникают три усилия: продольная N, поперечная Q силы и изгибающий момент M.

Если изгибающий момент является единственным внутренним силовым фактором, то такой изгиб называется чистым. При наличии поперечной силы изгиб называется поперечным. Строго говоря, к простым видам сопротивления относится лишь чистый изгиб; поперечный изгиб относят к простым видам сопротивления условно, так как в большинстве случаев (для достаточно длинных балок) действием поперечной силы при расчетах на прочность можно пренебречь.

Косой изгиб - изгиб, при котором нагрузки действуют в одной плоскости, не совпадающей с главными плоскостями инерции.

Сложный изгиб - изгиб, при котором нагрузки действуют в различных (произвольных) плоскостях.

Нанесем на боковую поверхность балки, испытывающей чистый изгиб (рис. 1, а), продольную линию ОО₁ на половине высоты и ряд поперечных параллельных между собой линий.

При нагружении двумя противоположно направленными парами сил, действующими в продольной плоскости симметрии (рис. 1, б), балка деформируется -- изогнется выпуклостью вниз. Линии на боковой поверхности балки останутся прямыми, но параллельность их нарушится.

Расстояния, между концами этих линий на выпуклой стороне увеличатся, а на вогнутой уменьшатся. Расстояния между этими линиями на половине высоты балки останутся такими же, как до деформации. Из этого можно заключить, что при изгибе продольные волокна балки на выпуклой стороне удлиняются, а на вогнутой укорачиваются; слой волокон, лежащих на половине высоты балки, сохраняет, искривившись, неизменную длину.

Растягивающие и сжимающие напряжения в поперечных сечениях балки соответствуют удлинению и укорочению ее продольных волокон. Слой, длина которого не изменяется при изгибе, не испытывает напряжений и называется нейтральным слоем.

Итак, при изгибе поперечные сечения, оставаясь плоскими, поворачиваются одно относительно другого вокруг некоторых осей, лежащих в их плоскостях. Каждое поперечное сечение поворачивается вокруг линии его пересечения с нейтральным слоем. Эта линия называется нейтральной осью поперечного сечения.

Высказанное положение носит название гипотезы плоских сечений.

1. Внутренние силы в любом сечении балки могут быть заменены силой Q и парой сил с моментом М. Сила Q называется поперечной силой, а момент М -- изгибающим моментом в поперечном сечении балки.

2. Поперечные силы, изгибающие моменты и их эпюры

Для сил, действующих на левую отсеченную часть балки (рис.89,б), составим уравнение равновесия. Уравнение проекций на вертикальную ось у (рис.89,б):

...