Основные положения сопротивления материалов и его задачи

уравнение моментов относительно точки С:

Решив первое из этих уравнений относительно Q, а второе относительно М, получим:

Итак, величины поперечной силы и изгибающего момента в любом поперечном сечении балки могут быть определены по известным внешним силам, действующим на балку.

Поперечная сила в каком-либо поперечном сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций на ось у внешних сил, действующих на балку по одну сторону от рассматриваемого сечения, а изгибающий момент -- алгебраической сумме моментов сил, взятых относительно центра тяжести сечения.

Поперечная сила Q и момент пары М действуют на сечение левой и правой отсеченных частей балки в противоположных направлениях (рис.89,б). Чтобы при вычислении изгибающего момента М и поперечной силы Q в каком-либо поперечном сечении балки по внешним силам, действующим слева или справа от этого сечения, получить значения, одинаковые не только по величине, но и по знаку, следует установить противоположные правила знаков для сил и их моментов слева и справа от сечения.

Установим правило знаков для изгибающих моментов и поперечных сил.

Когда внешняя сила, расположенная слева от сечения, вращает относительно центра тяжести сечения по ходу часовой стрелки, то изгибающий момент считают положительным (рис.90,а). При противоположном направлении изгибающий момент считают отрицательным (рис. 90, б).

Для поперечной силы знак также связан с характером деформации. Когда внешние силы действуют слева от сечения вверх, а справа -- вниз, поперечная сила положительна (рис. 90, в). При противоположном действии внешних сил, т. е. слева от сечения вниз, а справа -- вверх, поперечная сила отрицательная (рис. 90, г).

Эпюры изгибающих моментов и поперечных сил строятся аналогично эпюрам продольных сил и крутящих моментов. При построении эпюр положительные значения поперечных сил и моментов откладывают вверх от оси, отрицательные -- вниз; ось (или базу) эпюры проводят параллельно оси балки.

1. На участках, где изгибающий момент постоянен (чистый изгиб), поперечная сила равна нулю.

2. На участках, свободных от загружения равномерно-распределенной нагрузкой, поперечная сила постоянна, а изгибающий момент изменяется по линейному закону, т. е. по прямой. (см. рис. 2,3)

3. На участках, загруженных равномерно-распределенной нагрузкой, поперечная сила изменяется по линейному закону, а изгибающий момент по параболе, выпуклость которой направлена навстречу нагрузке.

4. В точках приложения сосредоточенных сил на эпюре поперечных сил имеют место скачки, равные по величине силам, а на эпюре моментов -- переломы, направленные навстречу силам.

5. В точках приложения сосредоточенных пар сил на эпюре моментов возникают скачки, равные величинам пар.

6. В точках, где поперечная сила равна нулю (Q = 0), значение момента принимает экстремальное значение -- максимальное или минимальное на рассматриваемом участке.

Указанные закономерности позволяют упростить построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов (в сложнозагруженных балках) и обойтись без составления уравнений для каждого участка.

Достаточно вычислить ординаты эпюр для характерных сечений и соединить их линиями в соответствии с изложенными выше правилами. Характерными являются сечения балки, где приложены сосредоточенные силы и моменты (включая опорные сечения); а также сечения, ограничивающие участки с равномерно распределенной нагрузкой.

Для определения максимальных значений изгибающих моментов дополнительно подсчитываются моменты в сечениях, где поперечные силы равны нулю. Построение эпюр без составления уравнений дает особенно значительный эффект для балок, нагруженных сложной нагрузкой, имеющих много участков нагружения.

3. Нормальные напряжения в поперечных сечениях при изгибе

Деформации волокон не зависят от положения волокон по ширине балки. Следовательно, нормальные напряжения, изменяясь по высоте сечения, остаются одинаковыми по ширине балки.

Положим, что два близких поперечных сечения балки (рис. 2) повернулись одно относительно другого на угол . Радиус кривизны нейтрального слоя балки, или ее изогнутой оси, обозначим р, а длину волокна, лежащего в нейтральном слое между рассматриваемыми сечениями, - l. Координату у условимся считать положительной в сторону выпуклости и отрицательной в сторону вогнутости. Удлинение рассматриваемого волокна dl= l₁ - l, а относительное удлинение (продольная деформация):

.

Выражая длины дуг l и l₁ через соответствующие радиусы и центральный угол , имеем:

Подставив эти значения, получим:

т.е. относительные удлинения волокон прямо пропорциональны их расстояниям у от нейтрального слоя.

Зная относительное удлинение, можно применить закон Гука для линейной деформации и выразить нормальное напряжение:

Рис. 3

Эта зависимость определяет линейный закон распределения нормальных напряжений по сечению балки (рис. 3). По ширине балки (при определенном у) напряжения постоянны.

Наибольшего значения нормальные напряжения достигают в точках сечения, наиболее удаленных от нейтральной оси, причем со стороны выпуклости балки эти напряжения растягивающие _max, а со стороны вогнутости -- сжимающие _min. В точках нейтральной оси х (при у = 0) напряжения равны нулю.

После того как установлен закон распределения нормальных напряжений в поперечном сечении балки при чистом изгибе, можно перейти к определению напряжений в зависимости от изгибающего момента в этом сечении. Мысленно рассечем балку некоторым поперечным сечением и выделим в нем произвольную элементарную площадку dA на расстоянии у от нейтральной оси х (рис. 3). Напряжение по этой площадке составит

.

Элементарная сила, действующая на площадку,

.

Так как внутренние силы при чистом изгибе приводятся только к изгибающему моменту, то, интегрируя их по сечению, получаем:

,

т.е. сумма проекций внутренних сил на ось балки равна нулю;

,

т.е. сумма моментов внутренних сил относительно нейтральной оси сечения равна изгибающему моменту.

Рассмотрим первое уравнение равновесия

после подстановки в него значения .;

Входящая в это уравнение величина интеграла представляет собой статический момент сечения относительно оси х.

Отношение E/р при изгибе балки не может быть равным нулю, так как Е <> 0 и р <> 0 (ось балки не прямая), поэтому из выражения

следует, что статический момент сечения относительно оси х должен быть равен нулю. Это будет лишь в случае, если ось проходит через центр тяжести поперечного сечения балки.

Рассмотрим второе уравнение равновесия

. Преобразуем и получим:

Входящий в эту формулу интеграл представляет собой осевой момент инерции J_x поперечного сечения балки относительно нейтральной оси х.

Вводя это обозначение, можем представить последнее выражение в виде:

или .

Величина, обратная радиусу кривизны в какой-либо точке кривой, называется ее кривизной. Следовательно, формула связывает кривизну нейтрального слоя, а значит кривизну изогнутой оси балки, со значением изгибающего момента М и жесткостью сечения балки EJ_x относительно нейтральной оси.

Жесткость сечения пропорциональна модулю упругости Е и осевому моменту инерции Jх; иными словами, она определяется материалом, формой и размерами поперечного сечения.

После подстановки полученного для 1/р значения в формулу , произведя сокращение, определим нормальное напряжение в любой точке поперечного сечения балки при чистом изгибе:

Если нейтральная ось сечения совпадает с осью симметрии, то , где h -- высота сечения.

Отношение осевого момента инерции к расстоянию до наиболее удаленных от нейтральной оси волокон симметричного сечения называют осевым моментом сопротивления:

Наибольшее по абсолютному значению нормальное напряжение в симметричном сечении (растягивающее или сжимающее) может быть определено по формуле:

Формула для определения нормальных напряжений выведена для чистого изгиба. Однако ею можно пользоваться и в общем случае прямого поперечного изгиба, когда в сечениях возникает не только изгибающий момент, но и поперечная сила. Поперечные силы, как показывают опыт и теоретические исследования, практически не влияют на нормальные напряжения. Опасным в отношении нормальных напряжений в балках с постоянным сечением будет сечение, в котором изгибающий момент имеет наибольшее абсолютное значение.

4. Осевые моменты сопротивления круга, кольца, прямоугольника, квадрата.

Осевой момент сопротивления относительно рассматриваемой оси - величина равная моменту инерции относительно той же оси отнесенному к расстоянию до наиболее удаленной от этой оси точки

, .

Круг

Кольцо

Прямоугольник

Квадрат

5. Расчет на прочность при изгибе. Три вида задач

Проверку прочности и подбор сечений изгибаемых балок обычно производят исходя из следующего условия: наибольшие нормальные напряжения в поперечных сечениях не должны превосходить допускаемых напряжений на растяжение и сжатие, установленных нормами или опытом проектирования для материала балки.

Для балок из материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию (сталь, дерево), следует выбирать сечения, симметричные относительно нейтральной оси (прямоугольное, круглое, двутавровое), чтобы наибольшие растягивающие и сжимающие напряжения были равны между собой. В этом случае условие прочности по нормальным напряжениям имеет вид

Для балок, изготовленных из материалов, неодинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию (например, из чугуна), выгодны сечения, несимметричные относительно, нейтральной оси. В этом случае прочность по нормальным напряжениям проверяют по формулам:

где y_р и у_с -- расстояния от нейтральной оси х до наиболее удаленных точек в растянутой и сжатой зонах сечения; -- допускаемые напряжения на растяжение и сжатие.

Использование материала будет наилучшим, когда ; для этого необходимо условие ,т. е. расстояния нейтральной оси от наиболее удаленных точек в растянутой и сжатой зонах сечения должны быть пропорциональны соответствующим допускаемым напряжениям.

Формула напряжений при изгибе выведена на основании закона Гука и потому справедлива только при напряжениях, не превышающих предела пропорциональности материала балки.

С помощью условия прочности по нормальным напряжениям при изгибе можно решать следующие три задачи:

1. Проверка прочности (проверочный расчет) производится в том случае, когда известны размеры сечения балки, наибольший изгибающий момент и допускаемое напряжение [].

2. Подбор сечения (проектный расчет) производится в том случае, когда заданы действующие на балку нагрузки, т. е. можно определить наибольший изгибающий момент |М|_mах и допускаемое напряжение [].

3. Определение наибольшего допускаемого изгибающего момента производится в том случае, когда заданы размеры сечения балки и допускаемое напряжение:

6. Рациональные формы сечения балок при изгибе

Наиболее выгодны такие формы сечений, которые дают наибольший момент сопротивления при наименьшей площади. Такому условию в первую очередь удовлетворяет двутавровое сечение, у которого почти весь материал отнесен от нейтральной оси к верхней и нижней полкам, что увеличивает момент инерции J_x, а соответственно и момент сопротивления W_x. Менее выгодно прямоугольное сечение; круглое сечение еще менее выгодно, так как оно расширяется к нейтральной оси. Полые сечения всегда выгоднее равновеликих им сплошных сечений.

Целесообразно применять сечения балок из прокатных профилей: двутавров, швеллеров и т. п. В сортаменте для этих профилей приводятся числовые значения всех необходимых геометрических характеристик.

7. Полярные и осевые моменты сопротивления сечений

Осевой момент сопротивления -- отношение момента инерции относительно оси к расстоянию от нее до наиболее удаленной точки сечения.

Размерность момента сопротивления - [см³, м³]

Полярный момент сопротивления сечения - это отношение полярного момента инерции к расстоянию от полюса до наиболее удаленной точки сечения.

Для круга полярный момент сопротивления:

Размещено на Allbest.ru