Моделирование процесса затвердевания и охлаждения отливки

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Моделирование представляет собой процесс замещения объекта исследования его моделью и проведение исследований на модели с целью получения необходимой информации об объекте.

Модель - это физический или абстрактный образ моделированного объекта, позволяющий адекватно (с приемлемой точностью) отображать интересующие нас физические свойства и характеристики объекта.

1) Целью моделирования является;

2) Выделение наиболее существенных факторов, которые формируют основные характеристики объекта.

3) Пробуя различные варианты управления, мы подбираем оптимальный алгоритм управления на модели объекта.

4) Имея модель, мы сможем предсказать значения выходных характеристик реального объекта для заданных входных объектов.

Рассмотрим два основных вида моделирования:

1. Материальное

2. Идеальное

При материальном моделировании мы воспроизводим все основные физические, функциональные, динамические и геометрические характеристики изучаемого объекта.

Различают физическое и аналоговое моделирование.

При физическом моделировании реальному объекту сопоставляется его копия. Исследования проводятся на этой копии, а изучаемые свойства переносятся на изучаемый объект на основании теории подобия.

Аналоговое моделирование основано на функциональной аналогии процессов и явлений, имеющих различную природу, но описанных одними и теми же математическими уравнениями (уравнения колебания).

Идеальное моделирование носит теоретический характер. В данном случае модель является не идеальной, а материальной.

Различают две разновидности:

- Интуитивное моделирование

- Знаковое (знак, символ)

Интуитивное моделирование основывается на интуитивном представлении об объекте исследования.

Знаковое используют в качестве модели знаковое соответствие некоторого вида схемы, чертежа, графики, формулы. В этом разряде важнейшим видом является математическое моделирование, оно замещает реальный объект его математическим образом (формула). Процесс формирования математической модели и ее использование для анализа называется математическим моделированием. В конструкторской практике под математическим моделированием обычно понимается процесс построения математической модели, а проведение исследования на модели называют вычислительным экспериментом.

В ходе выполнения итоговой работы по курсу "ММТП" - курсового проекта, опираясь на теоретические знания, полученные в курсе лекций и навыки работы с программным обеспечением, должна освоить технологию моделирования процесса затвердевания и охлаждения отливки. Кроме того, с помощью анализа результатов вычислительных экспериментов, необходимо выявить качественные и количественные характеристики дефектов, возникающих в отливках.

На этапе подготовки заданной отливки к проведению компьютерного анализа осуществляется 3-х мерное твердотельное моделирование геометрии отливки и формы, а также проводится генерация (создание) объемной конечно-разностной кубическойной сетки.

В качестве дополнительной задачи выбран поиск способа оптимизации технологии изготовления отливки (выбор температурного режима, марки сплава, изменения геометрии модельной оснастки) с целью минимизации количества дефектов.

1. Понятие и сущность моделирования

1.1 Понятие моделирования

Моделирование представляет собой процесс замещения объекта исследования некоторой его моделью и проведение исследований на модели с целью получения необходимой информации об объекте. Модель -- это физический или абстрактный образ моделируемого объекта, удобный для проведения исследований и позволяющий адекватно отображать интересующие исследователя физические свойства и характеристики объекта. Удобство проведения исследований может определяться различными факторами: легкостью и доступностью получения информации, сокращением сроков и уменьшением материальных затрат на исследование и др.

Различают моделирование предметное и абстрактное. При предметном моделировании строят физическую модель, которая соответствующим образом отображает основные физические свойства и характеристики моделируемого объекта. При этом модель может иметь иную физическую природу в сравнении с моделируемым объектом (например, электронная модель гидравлической или механической системы). Если модель и объект одной и той же физической природы, то моделирование называют физическим.

Физическое моделирование широко применялось до недавнего времени при создании сложных технических объектов. Обычно изготавливался макетный или опытный образец технического объекта, проводились испытания, в процессе которых определялись его выходные параметры и характеристики, оценивались надежность функционирования и степень выполнения технических требований, предъявляемых к объекту. Если вариант технической разработки оказывался неудачным, все повторялось сначала, т. е. осуществлялось повторное проектирование, изготовление опытного образца, испытания и т. д.

Физическое моделирование сложных технических систем сопряжено с большими временными и материальными затратами.

Абстрактное моделирование связано с построением абстрактной модели. Такая модель представляет собой математические соотношения, графы, схемы, диаграммы и т. п. Наиболее мощным и универсальным методом абстрактного моделирования является математическое моделирование. Оно широко используется как в научных исследованиях, так и при проектировании.

Деление удобно для проектировщиков и функционально вполне обосновано, поэтому в дальнейшем будем придерживаться этой терминологии.

Алгоритм -- это предписание, определяющее последовательность выполнения операций вычислительного процесса. Алгоритм автоматизированного проектирования представляет собой совокупность предписаний, обеспечивающих выполнение операций и процедур проектирования, необходимых для получения проектного решения. Для наглядности алгоритмы чаще всего представляют в виде схем или графов, иногда дают их вербальное (словесное) описание. Алгоритм, записанный в форме, воспринимаемой вычислительной машиной, представляет собой программную модель. Процесс программирования называют программным моделированием.

Формализация процесса проектирования на основе математического моделирования позволяет его автоматизировать. Одним из основных компонентов системы автоматизированного проектирования (САПР) является математическое обеспечение включающее математические модели объектов проектирования и их элементов методы и алгоритмы выполнения проектных операций и процедур.

Развитие автоматизированного проектирования прошло несколько стадий. Вначале ЭВМ применялась лишь для выполнения вычислений по методикам, ориентированным на ручное решение. Это не вносило ничего нового в процесс проектирования, а лишь ускоряло выполнение отдельных его этапов. Затем начали использовать математические модели, позволяющие имитировать функционирование объектов проектирования, что позволило обеспечить повышение точности получаемой информации, организовать поиск оптимальных проектных решений и достичь универсальности описания отдельных проектных операций и процедур. Были разработаны единые подходы к получению математических моделей для целых классов технических объектов, и эти подходы удалось формализовать. В результате процесс формирования математической модели оказалось возможным возложить непосредственно на ЭВМ. В дальнейшем основные усилия были направлены на разработку стратегии и методологии автоматизированного проектирования.

Полностью формализовать и автоматизировать процесс проектирования практически невозможно и нецелесообразно. На этапах разработки концепции технической системы, формирования технического задания, выбора технического решения, синтеза структуры, принятия решений и др. действия конструктора, основанные на его опыте и интуиции, как правило, непредсказуемы и не поддаются формализации. САПР предусматривает тесное взаимодействие человека и ЭВМ. Это один из основополагающих принципов построения САПР. Вместе с тем все виды проектных работ, которые можно формализовать, должны быть автоматизированы. В этой связи важнейшая роль принадлежит математическому моделированию. При создании САПР необходима не только математическая модель создаваемого технического объекта, но и модели реализации всех проектных операций и процедур.

Для разработки эффективной технологии автоматизированного проектирования необходимо детальное представление обо всех этапах и стадиях создания объекта с тем, чтобы осуществить их формализацию и математическое описание.

Наибольший эффект может дать автоматизация самых ранних этапов проектирования, когда осуществляется выбор технического решения. САПР позволяет просмотреть множество вариантов и отобрать несколько наилучших для дальнейшей детальной проработки и окончательного выбора.

Операции и процедуры функционального проектирования, как правило, почти полностью поддаются формализации, что в конечном итоге создает необходимые условия для определения и выбора оптимальных параметров и структуры технического объекта. При этом используются математические модели создаваемых объектов, модели оценки и принятия решений, которые в виде соответствующих алгоритмов реализуются при проектировании.

При решении задач синтеза структуры, моделировании процессов функционирования объектов с переменной структурой возникает необходимость постоянного изменения математической модели. Поэтому большое внимание уделяется методам автоматизированного формирования математических моделей.

Создание нового технического объекта -- сложный и длительный процесс, в котором стадия проектирования имеет решающее значение в осуществлении замысла и достижении высокого технического уровня. Под техническим объектом в дальнейшем понимается техническая система -- машина, механизм, технический комплекс, технологический процесс, а также любой их компонент, выделяемый в процессе проектирования путем декомпозиции (деления.) структуры целостного объекта на отдельные блоки, части, элементы и т. п.

Процесс создания разделяется на стадии: предпроектные исследования, техническое задание, техническое предложение, эскизный проект, технический проект, рабочий проект, изготовление опытных образцов, испытания и доводка, приемочные испытания. Первые две стадии и частично третья составляют этап внешнего проектирования, на котором осуществляется научно-технический поиск и прогнозирование, формирование описания среды функционирования технического объекта, моделирование и исследование, направленные на разработку концепции и технического решения. Этап внешнего проектирования, называемый также этапом научно-исследовательских работ (НИР), завершается разработкой технического задания.

Остальные стадии относятся к внутреннему проектированию и составляют этап опытно-конструкторских работ (ОКР), в процессе которого определяются и конкретизируются основные функциональные и конструктивные параметры, определяющие технико-экономические показатели и облик создаваемого технического объекта.

Решение проблемы создания нового технического объекта базируется на всесторонне обоснованной концепции и вытекает из безусловных потребностей общества, необходимости практической реализации достигнутого научного потенциала и повышения показателей эффективности. моделирование оптимизация математический дефект

Концепция определяется как комплекс требований к техническому объекту для выполнения его назначения и содержит описание основы функционирования объекта.

Кроме выделения стадий осуществляется декомпозиция процесса проектирования в зависимости от степени абстрагирования, характера отображаемых свойств объекта, его структуры, принятой схемы распределения работ между подразделениями проектно-конструкторской организации и др.

Декомпозиция приводит к выделению составных частей объекта (блоков), иерархических уровней, аспектов. Это позволяет сложную задачу проектирования свести к решению более простых задач с учетом взаимодействия между ними. Каждая задача решается на основе локальной оптимизации, но декомпозиция критериев при этом осуществляется таким образом, чтобы локальные цели были подчинены конечной цели проектирования. Следовательно, концепция системности выражается не только в выделении взаимозависимых и взаимодействующих элементов технического объекта как системы, но и в единстве целей их функционирования. Кроме того, технический объект, в свою очередь, рассматривается как элемент более сложной системы (надсистемы), в состав которой входит ряд объектов внешней среды, взаимодействующих с данным техническим объектом.

Таким образом, методология автоматизированного проектирования базируется на системном, подходе, использующем принципы декомпозиции, иерархичности, итеративности, локальной оптимизации и комплексного осуществления процесса проектирования, включающего функциональный, конструкторский и технологический аспекты.

Аспекты различаются характером решаемых задач и используют различные описания.

Функциональный аспект включает отображение основных принципов функционирования, характера физических и информационных процессов в объекте. При функциональном проектировании осуществляется синтез структуры и определяются основные параметры объекта и его составных частей (элементов), оцениваются показатели эффективности и качества процессов функционирования. Результат проектирования -- принципиальные, функциональные, кинематические, алгоритмические схемы и сопровождающие их документы.

Функциональное проектирование осуществляется практически на всех стадиях и этапах создания технического объекта и при этом многократно повторяется по мере раскрытия неопределенностей, характерных для начальных этапов.

Конструкторский аспект -- это реализация результатов функционального проектирования. При конструкторском проектировании разрабатываются компоновки и рабочие чертежи деталей, осуществляется выбор стандартных и унифицированных элементов, материалов деталей, оформляется конструкторская и эксплуатационная документация.

При этом определяются оптимальные конструктивные параметры -- размеры и форма деталей, сборочных единиц и т. п., обеспечивающие минимальные массу и габариты, равнопрочность элементов конструкции при заданном ресурсе.

Технологический аспект включает реализацию результатов конструкторского проектирования, т.е. их материализацию в виде физического изделия (машины, технической системы и т.п.). Технологическое проектирование решает задачи технологической подготовки производства. Разрабатываются технологические маршруты изготовления деталей, сборки, наладки и технологических испытаний изготавливаемых изделий, осуществляется выбор оборудования, оснастки, инструмента и т. д.

Кроме рассмотренной иерархии этапов, стадий и аспектов проектирования иерархические уровни выделяют на основе блочного структурирования технического объекта по функциональным признакам, а также в связи с различной степенью абстрагирования при описании физических свойств технического объекта на разных этапах и стадиях проектирования.

При блочном структурировании вначале выделяют крупные блоки, составляющие верхний иерархический уровень, затем каждый блок расчленяют на более мелкие блоки, входящие в следующий уровень, и т. д. вплоть до неделимых элементов (деталей), составляющих нижний уровень иерархии. Например, блоки верхнего иерархического уровня автомобиля: двигатель, трансмиссия, ходовая часть и др. В трансмиссию входят блоки: сцепление, коробка передач, карданная передача, главная передача, дифференциал. Каждый из них может быть, в свою очередь, расчленен на более мелкие блоки.

1.2 Структура и параметры объектов проектирования

Структура -- это упорядоченное множество элементов и их отношений.

Технический объект при системном подходе рассматривается как система, состоящая из взаимодействующих элементов, составляющих упорядоченное множество.

Структура технического объекта характеризуется качественным и количественным составом элементов и их взаиморасположением или взаимосвязями. Качественное различие элементов определяется их физическими свойствами. Количественно физические свойства элементов выражаются некоторыми скалярными величинами, называемыми параметрами элементов.

Характеристики функционирования технического объекта зависят от его физических свойств и внешних воздействий окружающей среды.

Физические свойства объекта определяются его структурой и параметрами элементов, из которых он состоит. Внешние воздействия зависят от физических свойств внешней среды и характера ее взаимодействия с техническим объектом. Физические свойства внешней среды также определяются ее параметрами.

Параметр -- это величина, характеризующая свойство или режим работы объекта. Под объектом здесь понимается как отдельный элемент технической системы, так и вся система в целом. Следует отметить, что параметрами технической системы являются показатели качества и эффективности: производительность, рабочая скорость, грузоподъемность, удельная материалоемкость, удельная энергоемкость, габариты, масса, показатели надежности, показатели качества переходных процессов и др. Эти параметры называют выходными параметрами технического объекта.

Если структура технического объекта определена, то его выходные параметры зависят только от параметров элементов и параметров внешней среды. Различают внутренние и внешние параметры.

Внутренние параметры -- это параметры элементов, из которых состоит технический объект. Например, двигатель и трансмиссия являются элементами автомобиля. Выходные параметры их -- мощность двигателя, передаточные числа трансмиссии и одновременно это внутренние параметры автомобиля.

Выходные параметры характеризуют свойства технического объекта, а внутренние параметры -- свойства его элементов.

При переходе к новому иерархическому уровню проектирования внутренние параметры могут стать выходными и наоборот.

Внешние параметры -- это параметры внешней среды, оказывающей влияние на функционирование технического объекта. Например, внешней средой для автомобиля является дорога и воздушная среда. Параметры дороги: углы продольного и поперечного уклонов, коэффициенты сопротивления качению и сцепления колес с дорогой. Параметры воздушной среды: плотность и относительная влажность воздуха.

1.3 Особенности технологии автоматизированного проектирования

Технология автоматизированного проектирования технических объектов базируется на изложенной методологии. Схема типового маршрута проектирования технического объекта в среде САПР представлена на рис. 1.1. Основные компоненты маршрута предусматривают выполнение процедур анализа и синтеза, выступающих в диалектическом единстве.

Анализ технического объекта -- это изучение его физических свойств, характеризуемых выходными параметрами. При анализе не создаются новые объекты, а исследуются заданные на основе изучения процессов их функционирования. Для этого проводятся вычислительные эксперименты с использованием математических моделей объектов.

Синтез технического объекта -- это создание новых вариантов, обеспечивающих заданный алгоритм функционирования и выполнение технических требований к объекту.

Если определяют наилучшие в некотором смысле структуру и параметры, то синтез называют оптимизацией. При определении оптимальных 'значений параметров говорят о параметрической оптимизации. Задачу выбора оптимальной структуры называют структурной оптимизацией.

Декомпозиция и иерархичность процесса проектирования технического объекта обусловливают многообразие решаемых задач, их целей и используемых математических моделей на различных стадиях и этапах. Разнообразие учитываемых при этом физических свойств разделяет объекты на дискретные и непрерывные. Это различие определяется мощностью множества значении переменных, характеризующих количество вариантов проектных решений. Если множество имеет мощность континуума, объект называют непрерывным, а если множество счетно-дискретным. Соответственно математические модели этих объектов называют непрерывными и дискретными.

1.4 Постановка задач проектирования

Рассмотрим общие вопросы постановки задач проектирования, полагая, что проектирование технического объекта осуществляется в среде САПР в соответствии со схемой типового маршрута.

Техническое задание на проектирование обычно представляет собой вербальное (словесное) описание целей и задач проектирования данного объекта. Эти задачи, как отмечалось ранее, носят оптимизационный характер. Для осуществления проектирования конкретного технического объекта необходима его математическая модель и формализация понятия "оптимальный". В этом и заключается существо постановки задачи.

Результатом выполнения маршрута проектирования являются проектное решение и проектные документы, содержащие информацию о структуре и выходных параметрах технического объекта и о параметрах его элементов (внутренних параметрах объекта) при заданных внешних параметрах.

В общем случае задача проектирования имеет следующую математическую формулировку: определить структуру и внутренние параметры технического объекта, доставляющие экстремум некоторой скалярной функции F(x) при заданных ограничениях ц(x)>0, ц(x)=0 где x - вектор оптимизируемых параметров.

Функцию F(x) называют целевой функцией или функцией качества. Она количественно выражает качество технического объекта. Эффективность и качество функционирования объекта характеризуются его выходными параметрами, поэтому они выступают в роли критериев оптимальности. Так как физические свойства объекта характеризуются множеством выходных параметров, то задача оказывается многокритериальной.

Процедура постановки задачи проектирования носит неформальный характер и включает следующие этапы: выбор критериев оптимальности, формирование целевой функции, выбор управляемых (оптимизируемых) параметров, назначение ограничений, нормирование управляемых и выходных параметров.

1.5 Режимы функционирования технических объектов

В зависимости от характера внешних возмущающих и управляющих воздействий технический объект может находиться в установившемся или неустановившемся состоянии. Изменение его состояния выявляется анализом поведения фазовых переменных.

Установившееся состояние технической системы достигается при неизменных характеристиках внешних воздействий. Если воздействия непрерывно меняются, то состояние системы будет неустановившимся. Режим работы системы при этом называют динамическим. Он сопровождается непрерывным изменением фазовых координат, определяющих характер движения системы в динамическом неустановившемся режиме.

Характерные примеры установившегося режима -- состояние покоя и состояние равномерного движения всех элементов технической системы. Такие состояния также называют статическими или равновесными. Статичность состояния определяется неизменностью реакций взаимодействия всех элементов технической системы при постоянных внешних воздействиях.

Если внешние воздействия на систему переменны во времени, то они вызывают в ней непрерывный ряд переходных процессов и состояние системы в течение всего времени наблюдения будет неустановившимся.

Рассмотрим основные задачи анализа, решаемые при проектировании технических систем. В зависимости от модельного режима, положенного в основу решения конкретной проектной задачи, различают следующие вида анализа:

- статических состояний;

- переходных процессов;

- устойчивости;

- стационарных режимов колебаний;

- частотных характеристик;

- чувствительности;

- статистический.

Анализ статических состояний относится к задачам статики, а остальные виды анализа -- к задачам динамики.

1.6 Модели тепловых систем на макроуровне

Процесс переноса тепловой энергии (теплоты) в пространстве с неоднородным полем температуры называется теплообменом. Теплообмен может осуществляться теплопроводностью, конвекцией и тепловым излучением.

Температурным полем называется совокупность значений температуры для всех точек пространства в данный момент времени. Температурное поле скалярное, так как температура -- скалярная величина. Если температура Т является функцией только пространственных координат T(x,y,z), то процесс теплообмена стационарный и температурное поле стационарное. Если температура изменяется во времени, то процесс теплообмена и температурное поле нестационарные.

Соединив точки теплотехнического объекта, имеющие одинаковую температуру, получим поверхность равных температур, называемую изотермической.

При проектировании теплотехнических объектов на микроуровне используют уравнение теплопроводности, связывающее изменение температуры во времени и пространстве со свойствами среды.

Это уравнение позволяет выполнять анализ температурных полей в твердых телах -- деталях машин.

Уравнение теплопроводности может быть получено на основе закона сохранения энергии. Применительно к тепловой системе закон сохранения энергии можно сформулировать так: изменение во времени количества тепловой энергии в элементарном объеме равно сумме притока-стока энергии через его поверхность с учетом выделения энергии в том же объеме в единицу времени внутренними источниками (или поглощения энергии стоками).

1.7 Модели механических систем на микроуровне

Технический уровень изделий машиностроения в значительной мере определяется рациональным выбором геометрических параметров входящих в их состав механических элементов. Форма и размеры элементов, их взаимное расположение в конечном счете определяют важнейшие параметры технического объекта -- его массу и габариты, показатели надежности и долговечности

Для решения задачи выбора геометрических параметров технического объекта необходим анализ напряженно-деформированного состояния его элементов. Значения напряжений и деформаций позволяют оценить прочность, долговечность, виброустойчивость конструктивных элементов и осуществить поиск их оптимальных размеров и конфигурации.

Примеры объектов проектирования: валы двигателей и трансмиссий, корпусы, рамы, панели и стержневые конструкции автомобилей, самолетов, станков, кораблей и др. Современные методы анализа напряженно-деформированного состояния несущих элементов различных технических систем базируются на использовании моделей с распределенными параметрами. В основе построения таких моделей лежит теория упругости. Динамические модели различных элементов технических объектов сводятся к стержневым, пластинчатым, оболочечным или объемным системам, находящимся под действием произвольных механических нагрузок (сосредоточенных, распределенных, детерминированных, случайных и др.). Эти модели представляют собой динамические системы с распределенными параметрами, функционирование которых описывается дифференциальными уравнениями в частных производных.

Математической моделью анализа напряженно-деформированного состояния элемента механической системы является основное уравнение теории упругости -- уравнение Ламе. Это уравнение выводится из условия динамического равновесия твердого тела под действием приложенных к нему сил, включая и силу инерции. Выделим в твердом теле элементарный параллелепипед (рис 1). Сформулируем условия его равновесия: геометрическая сумма сил, приложенных к выделенному элементарному параллелепипеду, включая его силу инерции, равна нулю. При этом учитываются распределенные нагрузки на гранях параллелепипеда и массовая сила. Распределенные нагрузки представляются нормальными и касательными напряжениями. Учитывая закон о парности касательных напряжений, согласно которому получаем уравнения равновесия в проекциях на оси X1, X2, X3.

(1)

где р -плотность материала твердого тела;

Ui-перемещение элемента вдоль оси xi

уij-напряжение действующее в направлении оси x1 в грани элемента, перпендикулярной оси xj;

рgi -проекция вектора массовых сил рg на ось х ;

g- вектор ускорения свободного падения

Рис. 1. Компоненты напряжений на гранях элементарного параллелепипеда

Напряжения уij связаны с деформацией Еij, последнее - с перемещением Ui. В случае линейной связи между ними, устанавливаемой законом Гука, для анизотропного тела имеем

; (2)

; (3)

где Еij - деформация, вычисляемая по формуле

; (4)

л и м непостоянные Ламе, характеризующие упругие свойства среды

; (5)

; (6)

Е- модуль упругости; - коэффициент Пуассона.

1.8 Объекты проектирования на макроуровне

На макроуровне осуществляют проектирование различных машин и механизмов. Объекты проектирования рассматриваются как сложные технические системы, состоящие из совокупности взаимодействующих элементов. Таким образом, в отличие от микроуровня, где объектами проектирования были детали машин (валы, корпуса, панели и т. п.), на макроуровне объект имеет сложную неоднородную структуру, состоящую из элементов -- объектов проектирования микроуровня.

На микроуровне использовались математические модели, представляемые дифференциальными уравнениями в частных производных. Эти модели универсальны, дают наиболее полное описание физических свойств и позволяют решать любые задачи анализа переменных источников внешних воздействий соответственно виду моделируемой технической системы технического объекта. Однако они чрезвычайно сложны даже для отдельного элемента машины или механизма и требуют значительных затрат времени на проведение анализа. Если рассматривать каждый элемент объекта макроуровня как сплошную среду, т. е. как динамическую систему с распределенными параметрами, то это сделает практически нереальным решение задач оптимизации структуры и параметров объекта.

Вместе с тем многие задачи проектирования успешно решаются с использованием более простых математических моделей. Эти модели можно получить путем аппроксимации распределенных моделей микроуровня на основе соответствующих допущений относительно представления структуры и физических свойств объекта. При этом динамическая система с распределенными параметрами путем дискретизации в пространственных координатах представляется совокупностью материальных объектов, выделенных из сплошной среды, -- дискретных элементов с постоянными усредненными параметрами. Такую систему называют динамической системой с сосредоточенными параметрами.

Дискретный элемент в общем случае обладает инерционными, упругими и диссипативными свойствами (внутренние свойства системы). Различают простые и сложные элементы. Простой элемент наделен только одним из упомянутых физических свойств, а сложный -- более чем одним.

Основанием для дискретизации является наличие выраженного дискретного спектра собственных частот колебаний системы в ограниченном диапазоне (например, для механических систем - до 300 Гц). Дискретные системы оказываются вполне пригодными для анализа колебательных процессов в этом диапазоне частот.

Математическая модель динамической системы с сосредоточенными параметрами -- система обыкновенных дифференциальных уравнений.

Таким образом, объекты проектирования на макроуровне рассматриваются как системы, состоящие из совокупности взаимодействующих дискретных элементов. Задача проектирования таких объектов состоит в определении оптимальных параметров и структуры исходя из заданного описания внешней среды и технических требований к объекту.

1.9 Динамическая модель технического объекта на макроуровне

Построение математической модели технического объекта осуществляется на основе его динамической модели. Динамическая модель -- это абстрактное графическое отображение основных физических свойств технического объекта и характеристик взаимодействия с внешней средой.

При построении динамической модели следует принимать во внимание лишь те физические свойства объекта и воздействия внешней среды, которые могут оказать существенное влияние на точность результатов исследования моделируемого процесса функционирования объекта. Такой подход позволит избежать необоснованной избыточности в его математическом описании.

На этапе построения математической модели микроуровня в инвариантной форме динамическая модель объекта проста. Она представляет собой графическое изображение области определения объекта Q. соответствующей конфигурации, определяемой граничной поверхностью S, посредством которой осуществляется взаимодействие объекта с внешней средой. Во многих случаях достаточно вербального описания динамической модели. Необходимость построения динамической модели микроуровня возникает лишь при разработке алгоритмической модели.

При построении математической модели макроуровня в инвариантной форме почти всегда необходима разработка динамической модели. Это объясняется тем, что структура динамической модели макроуровня гораздо сложнее. Она представляется в виде совокупности взаимодействующих дискретных элементов и ее сложность зависит от степени абстрагирования при отображении физических свойств объекта.

На макроуровне для выделения дискретных элементов из сплошной среды используют: методы сеток, функционально законченных элементов и сосредоточенных масс.

Методы сеток подразделяют на метод конечных разностей и метод конечных элементов. Они обычно используются при построении алгоритмической модели на микроуровне в процессе алгебраизации дифференциальных уравнений в частных производных, но могут применяться и для построения математической модели макроуровня путем аппроксимации модели микроуровня.

Наиболее часто при построении динамической модели используют метод сосредоточенных масс. Этот метод применим, если система имеет явно выраженный дискретный спектр собственных частот. Это характерно для технических объектов, у которых масса распределена в пространстве неравномерно. Например, в механической системе автомобиля масса вращающихся деталей в основном сосредоточена в маховике двигателя, крупных шестернях трансмиссии, барабане стояночного тормоза, колесах, имеющих большие радиальные размеры и обладающих большими моментами инерции, а соединяющие их детали (валы, муфты, карданные передачи и др.) имеют малые радиальные размеры и массу, но обладают существенными упругими свойствами. Из названия метода следует, что он предназначен для моделирования технических объектов, мерой инертности элементов которых служит масса.

Сосредоточенные массы обладают инерционными свойствами и способностью накапливать кинетическую энергию. Их называют инерционными элементами.

Взаимодействие сосредоточенных масс осуществляется посредством упругих, диссипативных, фрикционных и трансформаторных элементов.

Упругие элементы отображают упругие свойства динамической системы. Они обладают способностью накапливать потенциальную энергию.

Диссипативные элементы отображают свойства диссипации (рассеивания) энергии конструктивными элементами технического объекта, обусловленные силами внутреннего трения, пропорциональными относительной скорости перемещения взаимодействующих сосредоточенных масс (или сосредоточенных масс относительно внешней среды, например, при движении жидкости в трубопроводе).

Фрикционные элементы отображают физические свойства фрикционных механизмов технического объекта.

Трансформаторные элементы отображают безинерционные преобразования параметров потока энергии, осуществляемые техническими устройствами, называемыми трансформаторами.

Следует отметить, что рабочие процессы трансформаторов в общем случае могут быть весьма сложными, в особенности, если происходит преобразование одного вида энергии в другой. В таком случае необходима более детальная математическая модель трансформатора. Здесь же речь идет о тех случаях, когда внутренними процессами трансформатора можно пренебречь и учитывать лишь пропорциональные изменения величины выходных фазовых переменных по отношению к величине переменных на его входе без преобразования вида энергии.

1.10 Способы построения теоретических моделей

При моделировании технических объектов на макроуровне они рассматриваются как динамические системы с сосредоточенными параметрами. Описание процессов их функционирования дается системами обыкновенных дифференциальных уравнений. При построении теоретических моделей используется два подхода: физический и формальный. Физический подход основан на непосредственном применении физических законов, а формальный использует общие математические принципы при описании физических свойств объектов. Общим в использовании обоих подходов является необходимость построения динамической модели объекта.

Структура динамической модели представляется в виде совокупности взаимодействующих дискретных элементов, каждый из которых наделен соответствующими физическими свойствами. Набор элементов и их свойства определяются способом структурирования.

В динамической модели, построенной на основе метода сосредоточенных масс, все элементы простые. Простой элемент наделен только одним физическим свойством и описывается компонентным уравнением, составленным с использованием соответствующего физического закона. Взаимодействия между элементами динамической модели описываются топологическими уравнениями, выражающими условия равновесия и непрерывности фазовых координат. Топологические уравнения позволяют объединить все компонентные уравнения в общую систему уравнений и получить полную математическую модель технического объекта.

При формировании математической модели технического объекта на основе компонентных и топологических уравнений используют следующие способы: узловой, контурный, метод переменных состояния, табличный метод.

Наибольшую известность и широкое применение получил узловой метод. Он основан на использовании топологических уравнений, выражающих условия равновесия потенциалов в узлах дискретизации динамической системы. Математическая модель объекта получается в виде системы интегро-дифференциальных уравнений, искомыми неизвестными в которых являются фазовые переменные типа потока, характеризующие состояние сосредоточенных масс.

Узловой метод имеет ряд недостатков, осложняющих его использование для автоматизации формирования математической модели непосредственно на ЭВМ. Одним из недостатков метода является неудобная форма системы уравнений математической модели. Для использования численных методов интегрирования дифференциальных уравнений наиболее предпочтительно представление уравнений в нормальной форме Коши. Узловой метод не позволяет формировать математическую модель объекта с трансформаторными и фрикционными элементами, имеет ограничения на вид компонентных уравнений, требует значительной затраты времени на матричные вычисления в процессе формирования модели.

Метод переменных состояния ориентирован на получение математической модели в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши. Однако представление структуры динамической модели в этом методе гораздо сложнее, чем в узловом, и требует выполнения большого объема подготовительной работы, которая не поддается автоматизации.

Табличный метод использует исходные компонентные и топологические уравнения непосредственно, без каких-либо преобразований, поэтому автоматизировать его легко и просто. Однако математическая модель при этом получается высокого порядка и имеет избыточное число фазовых координат. Система уравнений оказывается переопределенной. Количество уравнений значительно превышает число степеней свободы системы. Это приводит к неустойчивости вычислительных алгоритмов при решении полученной системы уравнений.

Контурный метод применяется в электротехнике и строительной механике, где схемы взаимодействия конструктивных элементов образуют замкнутые контуры прохождения сигналов. Применение его для других технических объектов требует построения схемы замещения (эквивалентной схемы) и сопряжено со значительными сложностями формализации процесса составления математической модели.

При структурировании динамической модели методом функционально законченных элементов выделяемые дискретные элементы не обладают такой общностью, как в методе сосредоточенных масс или в сеточных методах. Количество выделяемых функционально законченных элементов и их свойства в конкретной предметной области определяются ее особенностями. Для описания элементов различных технических объектов используется множество разнообразных математических моделей. Это создает определенные преимущества при моделировании, так как исключаются любые ограничения на способы описания физических свойств элементов.

Однако при этом теряется межпредметная унификация математических описаний, что требует создания и хранения в памяти ЭВМ библиотеки математических моделей элементов всех возможных технических объектов. Тем не менее, при создании специализированных САПР в конкретных технических областях часто отдается предпочтение методу функционально законченных элементов.

Широкое применение для построения математических моделей технических объектов находит формальный подход.

Он основан на использовании интегральных вариационных принципов аналитической механики.

Одним из наиболее мощных теоретических методов формального моделирования является вариационный принцип Гамильтона--Остроградского. Он применим к техническим объектам различной физической природы (механическим, гидравлическим, электрическим и др.). Для систем с сосредоточенными параметрами вариационный принцип приводит к уравнениям Лагранжа второго рода.

Все упомянутые выше способы предназначены для получения математических моделей технических объектов в инвариантной форме. Эти модели представляют собой либо систему компонентных и топологических уравнений, либо систему обыкновенных дифференциальных уравнений.

В частном случае при описании статических состояний технического объекта математической моделью в инвариантной форме является система алгебраических уравнений, получаемая путем соответствующих преобразований исходной системы дифференциальных уравнений.

1.11 Графические формы представления математических моделей

В инженерной практике часто используют графические формы представления математических моделей. Для использования графических форм должно существовать правило однозначного соответствия условных изображений элементов графической модели и компонентов инвариантной математической модели.

Одной из форм отображения физических свойств технического объекта является динамическая модель. Графические изображения элементов динамической модели отождествляются с их компонентными уравнениями, а соединения элементов соответствуют топологическим уравнениям. Следовательно, динамическую модель можно рассматривать в качестве математической модели технического объекта в графической форме.

Структурирование динамической модели и идентификация ее элементов позволяют формализовать процесс составления математической модели технического объекта в инвариантной форме. Для этого удобно использовать графические формы моделей в виде графов и эквивалентных схем.

Граф представляет структурную математическую модель системы и отображает ее топологию, а эквивалентная схема -- функциональную модель и отображает топологию и компонентный состав, так же как и динамическая модель. Если ввести обозначения ветвей графа, то он будет содержать ту же информацию, что эквивалентная схема.

Компонентные уравнения элементов динамической модели представляют собой компоненты полной математической модели объекта. Трансформаторные и фрикционные элементы отображают специфические особенности внутренних свойств системы и ее взаимодействия с внешней средой.

Характеристики процессов функционирования объекта определяются не только его внутренними физическими свойствами, но и внешними воздействиями. Математические описания этих воздействий также являются компонентами математической модели. Воздействия представляют собой источники потенциалов и источники потоков. При построении полной математической модели в инвариантной форме все компонентные уравнения посредством топологических уравнений сводят в единую систему. Это наиболее удобно осуществлять с помощью графов.

Граф представляет собой совокупность узлов (вершин) и соединяющих их ветвей (ребер). Такое же определение имеет и эквивалентная схема.

Ветви графа и эквивалентной схемы соответствуют компонентам математической модели. Они отображают математические описания инерционых, упругих и диссипативных элементов динамической модели и источников внешних воздействий.

Узлы графа и эквивалентной схемы соответствуют узлам, дискретизации непрерывных объектов в геометрическом пространстве, вводимым при переходе от моделей микроуровня к моделям макроуровня. При дискретизации системы методом сосредоточенных масс узлы дискретизации совпадают с сосредоточенными массами, представляемыми в динамической модели материальными точками или твердыми телами. Состояние технической системы и характер протекающих в ней процессов определяются координатами узлов дискретизации. Эти координаты представляют собой потоковые переменные (например, в механической системе -- скорости или геометрические координаты).

Сосредоточенные массы динамической модели обладают дуальными свойствами: они отображают инерционные свойства технической системы и одновременно являются носителями информации о ее состоянии. Последнее выражается в том, что систему фазовых координат динамической модели связывают непосредственно с сосредоточенными массами.

Граф и эквивалентная схема позволяют эти свойства сосредоточенных масс дифференцировать более четко: инерционные свойства отображаются ветвями, а носители информации о состоянии технической системы -- узлами. В результате каждая сосредоточенная масса отображается в графе и эквивалентной схеме одним узлом и одной ветвью инерционного элемента.

Рис. 2. Граф технической системы с тремя сосредоточенными массами, соединенными между собой упругими в диссипативными элементами.

Узлы графа обозначают точками, а ветви линиями (рис. 2). Узлам присваивают номера сосредоточенных масс, а ветвям дают обозначения параметров отождествляемых ими элементов динамической модели или обозначения фазовых переменных -- для источников внешних воздействий. Один из узлов графа и эквивалентной схемы отображает инерциальную систему отсчета фазовых координат типа потока. Его называют базовым узлом (или базой) и ему присваивается нулевой номер.

Рис. 3. Обозначение ветвей эквивалентной схемы:

а -- инерционной; б -- диссипативной; в -- упругой; г -- источника потенциала; д -- источники потока

Для обозначения различных ветвей эквивалентной схемы рекомендуется применять графические изображения, показанные на рис. 3. Ветви эквивалентной схемы и графа, отображающие внутренние свойства технического объекта, можно именовать так же, как и соответствующие им элементы динамической модели, т.е. инерционные, упругие и диссипативные. Поскольку эти ветви суть компоненты математической модели в графической форме, то и компоненты имеют те же наименования, что и ветви.

На эквивалентных схемах и графах применяют обозначения параметров элементов и фазовых переменных источников внешних воздействий 'соответственно виду моделируемой технической системы рис.2 использованы обозначения для механической поступательной системы.

1.12 Уравнения Лагранжа второго рода

При моделировании сложных технических систем применяют уравнения Лагранжа второго рода. Их можно использовать при построении математических моделей объектов любой физической природы, если они рассматриваются как системы с сосредоточенными параметрами. При этом никаких ограничений на структуру и физические свойства объекта не накладывается.

Уравнения Лагранжа второго рода для системы с голономными связями имеют вид:

(7)

где Ек - кинематическая энергия системы;

qi -обобщенная координата;

qi -обобщенная скорость;Qi-обобщенная сила;

n -число степеней свободы системы.

В качестве обобщенных координат выбирают независимые между собой переменные, которые позволяют полностью определить состояние исследуемой системы. Обычно в качестве обобщенных координат принимают величины, производные по времени от которых представляют собой фазовые координаты типа потока. Например, для механических систем обобщенными координатами выбирают линейные и угловые перемещения, а обобщенными скоростями -- линейные и угловые скорости. В этом случае обобщенные силы сохраняют свой физический смысл и представляют собой силы и вращающие моменты.

2. Оценка свойств и качественный анализ математических моделей технических систем

При решении задач выбора структуры объекта и его основных параметров часто используются макромодели, представляемые системами обыкновенных дифференциальных уравнений или системами алгебраических уравнений.

На основе этих моделей проводят вычислительные эксперименты, имитируя режимы функционирования технических объектов. При этом задают некоторые стандартные (типовые) детерминированные или вероятностные воздействия на объект, что обеспечивает возможность сравнения вариантов технических решений в одинаковых условиях. Анализируя получаемые результаты, находят варианты, обеспечивающие высокие показатели качества и эффективности создаваемых объектов.

Наиболее часто при проектировании приходится решать задачи анализа статических состояний, переходных процессов и устойчивости объектов. В процессе анализа исследуются физические свойства технического объекта и оценивается степень удовлетворения предъявляемых к нему требований. Анализ заключается в решении системы уравнений, составляющих математическую модель технического объекта, и определении по результатам решения показателей качества и эффективности. Однако методы анализа непосредственно не содержат рецептов по улучшению характеристик объекта. Несмотря на такой пассивный характер анализа, роль его в процессе проектирования очень велика. Процедура анализа является составной частью процессов оптимизации параметров объектов и синтеза их структуры.

Основными целями анализа каждого варианта технического решения являются: выявление функциональной работоспособности объекта и оценка выполнения технических требований к объекту.

Функциональная работоспособность технической системы определяется ее устойчивостью. Устойчивость -- это способность системы возвращаться в исходное состояние равновесия после исчезновения внешних воздействий, которые вывели ее из этого состояния.

Оценка степени выполнения технических требований к технической системе осуществляется на основе системы показателей качества процесса функционирования. Они характеризуют свойство системы удерживать выходные параметры в заданных пределах на всех режимах ее работы, что позволяет осуществлять рабочий процесс с высокой эффективностью.

Системы уравнений математических моделей при проектировании технических объектов решают на ЭВМ численными методами. При построении модели проектировщики нередко учитывают излишние подробности в описании физических свойств объекта, не оказывающих существенного влияния на точность получаемых результатов моделируемых процессов. Модель в этом случае оказывается необоснованно сложной, что может явиться причиной неустойчивости вычислительного процесса, повышенных погрешностей или, в лучшем случае, излишних затрат машинного времени.

...