Моделирование процесса затвердевания и охлаждения отливки

Неустойчивость вычислительного процесса выражается в неограниченном возрастании фазовых координат модели. Для устойчивой технической системы это противоестественно, так как она после прекращения внешнего воздействия всегда стремится к состоянию устойчивого равновесия. Неустойчивость вычислительного процесса для такой системы обусловлена расходящимся итерационным процессом численного метода решения системы уравнений. Но если техническая система обладает физической неустойчивостью, то при соответствующих воздействиях на нее фазовые координаты системы могут неограниченно возрастать. Таким образом, в обоих случаях вычислительные процессы будут расходящимися. В первом случае причина неустойчивости кроется в некорректности математической модели (плохой ее приспособленностью к решению данным численным методом), а во втором -- в физических свойствах технической системы.

В связи с изложенным возникает необходимость предварительного качественного анализа математической модели и обоснованного ее упрощения. Методы качественного анализа позволяют без решения системы уравнений математической модели оценить физические свойства технической системы: ее устойчивость и характер переходных процессов. Кроме того, качественный анализ математической модели необходим при выборе методов численного решения уравнений модели.

3. Моделирование и анализ статистических состояний

Режим функционирования технической системы определяется характером внешних возмущающих и управляющих воздействий. Различают статические и динамические режимы. Динамическим называется режим, в котором состояние системы неустановившееся. Он обусловлен изменением во времени внешних воздействий, вызывающих возникновение переходных процессов системы, при которых изменяются ее фазовые координаты.

При постоянных воздействиях система находится в установившемся равновесном состоянии. Ее фазовые координаты при этом постоянны. Такой режим функционирования системы называется статическим.

Если техническая система представляет собой совокупность взаимодействующих сосредоточенных масс (например, механическая или гидромеханическая система), то в статическом режиме они совершают равномерные установившиеся движения, либо находятся в покое (в неподвижном состоянии). Для статического режима характерна неизменность реакций взаимодействия всех элементов технической системы и реакций внешней среды. В тепловых, гидравлических, электрических и др. видах систем статический режим также характеризуется постоянством фазовых переменных типа потока и типа потенциала.

Так, в тепловой системе при этом сохраняется постоянство распределения температуры, в гидравлической -- расходов и давлений жидкости во всех участках трубопроводов, в электрической -- токов и напряжений во всех элементах электрической цепи.

Следовательно, определяющим признаком статического режима для технической системы любой физической природы является постоянство во времени распределения всех фазовых переменных типа потока и типа потенциала, характеризующих состояние всех ее элементов.

Для технических систем, инерционные элементы которых представляют собой сосредоточенные массы, выделяют две разновидности статических состояний: состояние покоя и состояние равномерного движения. Анализ этих состояний различается использованием разных фазовых переменных типа потока. При анализе равномерного движения используются базисные фазовые переменные.

Они представляют собой линейные или угловые скорости твердых тел или расходы жидкости. При анализе состояния покоя фазовыми переменными типа потока являются геометрические координаты, определяющие положение инерционных элементов в пространстве.

Задачи, решаемые при анализе статических состояний, обусловлены целями и задачами проектирования технической системы. В процессе проектирования наиболее часто приходится решать следующие задачи статики: определение положений устойчивого равновесия системы; анализ распределения фазовых переменных типа потенциала и типа потока на установившихся равновесных режимах функционирования; определение начальных условий, необходимых для интегрирования системы дифференциальных уравнений при анализе стационарных режимов колебаний или стационарных случайных процессов (с целью исключения переходного процесса); определение начальных и конечных условий при оценке качества переходных процессов по переходным характеристикам и др.

3.1 Метод Гаусса

Метод Гаусса основан на последовательном исключении неизвестных из системы алгебраических уравнений.

Он содержит два этапа: исключение неизвестных (прямой ход алгоритма) и последовательное вычисление значений неизвестных (обратный ход).

В результате первого этапа исходная система линейных алгебраических уравнений приводится к треугольной форме. Последнее уравнение преобразованной системы содержит лишь одну неизвестную, предпоследнее -- две и т. д. что позволяет осуществить их непосредственное прямое вычисление.

4. Экспериментальные факторные математические модели

Наряду с теоретическими математическими моделями при функциональном проектировании технических систем широко применяются экспериментальные факторные математические модели.

Теоретические модели имеют то преимущество, что они непосредственно описывают физические свойства технической системы. Коэффициенты уравнений теоретических моделей представляют собой параметры элементов технической системы (внутренние параметры системы) или некоторые комбинации этих параметров, а зависимые переменные -- фазовые координаты системы. Они позволяют осуществлять имитационное моделирование процессов функционирования технической системы во времени, детально изучать изменение фазовых координат в зависимости от внешних воздействий (возмущающих и управляющих), анализировать устойчивость системы, качество переходных процессов, эффективность функционирования в условиях случайных внешних воздействий, близких к реальным, т. е. оценивать ее функциональную работоспособность и выполнение технических требований к системе.

Но функциональные теоретические модели сложных технических объектов представляют собой системы нелинейных дифференциальных уравнений высокого порядка (обычно не ниже 30-го порядка). Однократное решение такой системы уравнений на самых современных ЭВМ требует значительной затраты машинного времени (десятки и даже сотни минут). Следует при этом учитывать, что задачи проектирования носят ярко выраженный оптимизационный характер. Целью функционального проектирования является выбор структуры на основе некоторого множества вариантов и определение оптимальных параметров технического объекта. Процедуры выбора структуры и оптимизационные алгоритмы требуют выполнения множества итераций, количество которых может достигать чисел второго и третьего порядков, причем, на каждой итерации решается исходная система дифференциальных уравнений. Поэтому решение одной проектной задачи характеризуется огромными затратами машинного времени. Этим объясняется медленное внедрение методов функционального проектирования в конструкторских организациях. Вместе с тем без выполнения работ по функциональному проектированию невозможно обеспечить высокий технический уровень и конкурентоспособность создаваемых сложных технических объектов.

Затраты машинного времени можно значительно сократить, если на этапе оптимизации параметров использовать экспериментальную факторную математическую модель. Экспериментальные факторные модели, в отличие от теоретических, не используют физических законов, описывающих происходящие в объектах процессы, а представляют собой некоторые формальные зависимости выходных параметров от внутренних и внешних параметров объектов проектирования.

Экспериментальная факторная модель может быть построена на основе проведения экспериментов непосредственно на самом техническом объекте (физические эксперименты), либо вычислительных экспериментов на ЭВМ с теоретической моделью. При создании новых технических объектов физический эксперимент проводится на прототипах или аналогах, а иногда на макетных образцах. Однако физические эксперименты требуют огромных затрат материальных и временных ресурсов, поэтому их выполняют обычно в тех случаях, когда возникает необходимость поиска путей совершенствования существующих технических систем, когда сложность этих систем и условий их функционирования не позволяет надеяться на требуемую точность их математического описания теоретическими методами.

Возникновение помех обусловлено ошибками методик проведения физических экспериментов, ошибками измерительных приборов, неконтролируемыми изменениями параметров и характеристик объекта и внешней среды, включая воздействия тех переменных, которые в принципе могли бы контролироваться экспериментатором, но не включены им в число исследуемых факторов (вследствие трудностей их измерения, по ошибке или незнанию). Помехи могут быть также обусловлены неточностью физического или математического моделирования объектов

В вычислительных экспериментах объектом исследования является теоретическая математическая модель, на основе которой необходимо получить экспериментальную факторную модель. Для ее получения необходимо определить структуру и численные значения параметров модели.

Под структурой модели понимается вид математических соотношений между факторами X, Z и откликом У . Параметры представляют собой коэффициенты уравнений факторной модели. Структуру модели обычно выбирают на основе априорной информации об объекте с учетом назначения и последующего использования модели. Задача определения параметров модели полностью формализована. Она решается методами регрессионного анализа. Экспериментальные факторные .модели называют также регрессионными .моделями.

Эксперимент -- это система операций, воздействий и (или) наблюдений, направленных на получение информации об объекте при исследовательских испытаниях.

Опыт -- воспроизведение исследуемого явления в определенных условиях проведения эксперимента при возможности регистрации его результатов. Опыт -- отдельная элементарная часть эксперимента.

Различают эксперименты пассивные и активные.

Пассивным называется такой эксперимент, когда значениями факторов управлять нельзя, и они принимают случайные значения. Это характерно для многих технических объектов при проведении на них физических экспериментов.

Основные особенности экспериментальных факторных моделей следующие: они статистические: представляют собой сравнительно простые функциональные зависимости между оценками математических ожиданий выходных параметров объекта от его внутренних и внешних параметров; дают адекватное описание установленных зависимостей лишь в области факторного пространства, в которой реализован эксперимент. Статистическая регрессионная модель описывает поведение объекта в среднем, характеризуя его неслучайные свойства, которые в полной мере проявляются лишь при многократном повторении опытов в неизменных условиях.

5. Основные понятия и определения параметрической оптимизации

Под оптимизацией понимается процесс поиска наилучшего варианта решения некоторой задачи в условиях множества альтернатив. При проектировании технических объектов необходимо найти их структуру и параметры, обеспечивающие наилучшее сочетание показателей качества и эффективности. При этом возникает проблема формализации понятия "наилучший". Для выбора наилучшего варианта среди определенного множества необходимо сформулировать некоторое правило предпочтения.

Основой такого правила может быть однозначная численная характеристика объекта, представляющая собой скалярную функцию. Эта характеристика содержательно отображает цель поиска, в связи с чем ее называют целевой функцией. Она позволяет количественно выразить качество объекта и поэтому называется также функцией качества. Таким образом, в основе построения правила предпочтения лежит целевая функция.

Задача параметрической оптимизации технического объекта заключается в поиске параметров, при которых целевая функция достигает экстремального значения. Параметры объекта, доставляющие экстремум целевой функции, называются оптимальными.

Если с повышением качества объекта целевая функция возрастает, оптимальные значения параметров соответствуют ее максимуму, в противном случае -- минимуму.

Аргументами целевой функции являются управляемые параметры. В качестве управляемых параметров выступают вттренние параметры технического объекта, подлежащие оптимизации. Изменяя соответствующим образом эти параметры в процессе оптимизации, осуществляют поиск экстремума целевой функции. Следует отметить, что часть внутренних параметров объекта задается, и они не подлежат оптимизации (например, параметры стандартизованных или унифицированных элементов, параметры, регламентированные техническим заданием на проектирование, и др.).

Большинство задач параметрической оптимизации технических объектов связано с непрерывным изменением параметров.

Глобальный экстремум можно определить путем нахождения всех локальных экстремумов и их сравнения между собой. Если функция унимодальна, то локальный экстремум автоматически становится глобальным.

5.1 Метод градиента

Градиент целевой функции -- векторная величина, компонентами которой являются частные производные целевой функции по управляемым параметрам

(9)

Направление вектора градиента в каждой точке поверхности отклика j совпадает с направлением наибыстрейшего возрастания целевой функции, т. е. с наиболее крутым восхождением к наивысшей точке этой поверхности в некоторой локальной области управляемых параметров. Градиентное направление является локально наилучшим направлением поиска при максимизации целевой функции, а антиградиентное -- при ее минимизации. Это свойство вектора grad.Fl.Xj и используется в методе градиента.

Рис. 5. Поиск экстремума функции методом градиента (а) и методом наискорейшего спуска (б)

5.2 Метод Ньютона

Градиентные методы, как отмечалось выше, обеспечивают локально наилучшее направление движения к экстремальной точке. Однако антиградиентное направление, принятое в исходной точке Х6. приводит непосредственно в точку минимума лишь в том случае, когда линии равных уровней целевой функции представляют собой окружности. При более сложном рельефе поверхности целевой функции траектория поиска становится сложной многошаговой. Для того чтобы построить более общую стратегию поиска, необходимо привлечь информацию о вторых производных целевой функции по управляемым параметрам.

Метод Ньютона относится к методам второго порядка. В процессе поиска экстремума этим методом используется информация о целевой функции и ее первых и вторых частных производных по управляемым параметрам. Это обеспечивает более высокую скорость сходимости метода Ньютона по сравнению с методами нулевого и первого порядков.

5.3 Оптимизация в условиях сложного рельефа поверхности целевой функции

При решении задач проектирования технических объектов применяют методы оптимизации приспособленные для поиска экстремума целевой функции со сложным рельефом поверхности отклика, характеризуемым наличием узких извилистых оврагов (или гребней -- при максимизации). К этим методам относятся: метод вращающихся координат (Розенброка). метод сопряженных направлений (Пауэлла), метод сопряженных градиентов (Флетчера-Ривса), методы переменной метрики, а также эвристические методы -- регулярного симплекса и деформируемого многогранника.

Заключение

Программа LVMFlow позволила произвести анализ процесса кристаллизации в динамике охлаждения отливки. На этапе моделирования выявлена область возникновения дефектов.

По результатам моделирования можно сделать вывод о том, что заданная технология, т.е. взаимное расположение и геометрия отливки формы и литниковой системы, обеспечивают получение исходной отливки с требуемым показателем по отсутствию дефектов.

В ходе выполнения итоговой работы по курсу "ММТТТ" - курсового проекта, опираясь на теоретические знания, полученные в курсе лекций и навыки работы с программным обеспечением, была освоена технологий моделирования процесса затвердевания и охлаждения отливки. Кроме того, с помощью анализа результатов вычислительных экспериментов, были успешно выявлены качественные и количественные характеристики дефектов, возникающих в отливках.

Литература

1. Справочная система программы LVMFlow

2. Тарасик В.П. Мат. модел. технич. систем: Учебник для вузов - Мн.; ДизайнПРО, 1997. - 640 с.: ил.

Приложение

Рис. 1 Модифицированная диаграмма состояния Fe-C

Рис. 2 График изменения теплопроводности в зависимости от температуры металла

Рис. 3 График изменения теплоемкости зависимости от температуры металла

Рис. 4 График изменения плотности в зависимости от температуры металла

Рис. 5 Конечно-разностная модель

Рис. 6 Усадка в профильной проекции

Рис. 7 Усадка в горизонтальной проекции

Рис. 8 Усадка в горизонтальной проекции

Рис. 9 Усадка моделируемой отливки в изотермической проекции

Рис. 10 Распределение критерия микропористости

Рис. 11 Момент образования пузыря

Рис. 12 Распределение значения модуля в изотермической проекции

Рис. 13 Распределение значения модуля в профильной проекции

Рис. 14 Распределение значения времени затвердевания в профильной проекции

Рис. 15 Разрез в характерном сечении

Рис. 16 Распределение шлаковых частиц в отливке по окончанию заполнения

Рис. 17 Динамика распределения скорости при заливке в 0,601с

Рис. 18 Динамика распределения скорости при заливке в 01,101с

Рис. 19 Динамика распределения скорости при заливке в сечении в 02,003с

Рис. 20 Динамика распределения скорости при заливке в сечении в 04,104с

Рис. 21 Динамика распределения скорости при заливке в 05,305с

Рис. 22 Картина распределения давления в 05,305с

Рис. 23 Динамика распределения скорости при заливке в 06,505с

Рис. 24 Распределение температуры отливки в процессе заливки в 09,710с

Рис. 25 Распределение температуры отливки в процессе заливки в 01.29,706с

Рис. 26 Распределение температуры отливки в процессе заливки в 05 мин. 31,222с

Рис. 27 Распределение жидкой фазы отливки в 03 мин. 07,175с

Рис. 28 Распределение жидкой фазы отливки в 03 мин. 52,986с

Рис. 29 Распределение жидкой фазы отливки в 04 мин. 25,727с

Рис. 30 Распределение жидкой фазы отливки в 08 мин. 14,971с

Размещено на Allbest.ru