Багатопараметричний синтез машинобудівних конструкцій

Размещено на http://www.allbest.ru/

Східноукраїнський державний університет

УДК 624.041.6

Багатопараметричний синтез машинобудівних конструкцій

05.02.02 - Машинознавство

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

Носко Павло Леонідович

Луганськ 2000

Дисертацією є рукопис

Робота виконана на кафедрі "Машинознавство" Східноукраїнського державного університету Міністерства освіти України

Захист відбудеться лютого р. о 12 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д29.051.03 при Східноукраїнському державному університеті за адресою: 91034, м. Луганськ, кв. Молодіжний, 20а.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Східноукраїнського державного університету, 91034, м. Луганськ, кв. Молодіжний, 20а.

Учений секретар спеціалізованої вченої ради Осенін Ю.І.

лаґранж екстремум оптимізація

АНОТАЦІЇ

Носко П.Л. Багатопараметричний синтез машинобудівних конструкцій. - Рукопис.

Дисертація на здобуття вченого ступеня доктора технічних наук за спеціальністю 05.02.02. - машинознавство. - Східноукраїнський державний університет, м. Луганськ, 2000.

Захищаються рукопис і 42 наукові праці, у яких викладено розв'язання науково-технічної проблеми створення машин і механізмів із заданими технічними характеристиками шляхом розробки методу багатопараметричного скінченно-елементного синтезу машинобудівних конструкцій при статичному та вібраційному їх навантажуванні.

Подано висновок основних рівнянь скінченно-елементного синтезу в пружно-лінійній постановці, а також методики пошуку раціональних параметрів стрижневих, пластинчастих, комбінованих та осесиметричних конструкцій у детермінованій і стохастичній постановках за умови забезпечення необхідної їх міцності, жорсткості, стійкості, власних частот і форм коливань, мінімальної маси.

На прикладах розрахункових та експериментальних досліджень реальних об'єктів розглянуто питання модифікації деталей і вузлів машин і механізмів з урахуванням особливостей їх структури, характеру навантажування та деформування.

Ключові слова: машинобудівна конструкція, машина та механізм, оптимізація, параметричний синтез, функціонал Лаґранжа, скінченний елемент, матричні та векторні перетворення, математична модель, динамічне програмування.

Носко П.Л. Многопараметрический синтез машиностроительных конструкций. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук по специальности 05.02.02. - машиноведение. - Восточноукраинский государственный университет, Луганск, 2000.

На базе МКЭ разработан метод многопараметрического синтеза упругих машиностроительных конструкций, обеспечивающий быструю сходимость и требуемую точность при решении задач поиска рациональных параметров машин и механизмов в детерминированной и стохастической постановках и позволяющий сократить сроки разработки и освоения новой техники, расширить автоматизацию проектно-конструкторских и научно-исследовательских работ с применением ЭВМ. В основу метода положено понятие нахождения переменных величин таким образом, чтобы целевые параметры конструкции, параметры нагружения и закрепления изменялась как можно меньше относительно базовых параметров за время, пока условия ограничений не будут выполнены в достаточной мере. Такой подход позволяет добиться требуемого результата при быстрой сходимости и заданной точности решения задачи на условный экстремум.

Выполнен математический анализ решения задач условной оптимизации и предложена методика определения видов функционала Лагранжа. Показано преимущество использования относительного приращения параметров в качестве переменных величин, обеспечивающих получение решения в окрестности базовых параметров. Установлена эффективность представления целевой функции в виде суммы квадратов переменных величин, а при решении задач минимизации массы с учетом ее функциональной зависимости - от переменных величин. В сравнении с существующими методами, это позволило увеличить в 1.1 - 15 раз скорость сходимости решения задач на условный экстремум. Обоснована целесообразность аппроксимации функции ограничений рядом Тейлора первого порядка, использование которой в сравнении со вторым порядком аппроксимации дало возможность снизить трудоемкость подготовки, объем памяти и время на решение задачи в 4 - 25 раз. Получены рекуррентные соотношения, позволяющие модифицировать алгоритм решения задачи на условный экстремум методом Лагранжа, и разработана методика поиска целевых параметров, минимизирующих целевую функцию при минимальных отклонениях этих параметров от базовых.

Разработаны математические модели задач синтеза для стержневых, пластинчатых, комбинированных и осесимметричных конструкций в статической и динамической постановках, показана высокая эффективность их применения, а также возможность совместного использования со стандартными программами МКЭ. Рассмотрены особенности моделирования элементов конструкций различными типами конечных элементов и предложены принципы построения рациональных расчетных схем деталей и узлов машин и механизмов, обеспечивающих получение приемлемой точности расчетов при минимальных затратах времени на решение задачи.

На основе предложенных алгоритмов матричных и векторных преобразований, обеспечивающих процедуры анализа и оптимизации, разработаны инженерные методики и пакеты прикладных программ многопараметрического конечно-элементного синтеза машиностроительных конструкций при условии обеспечения требуемой их прочности, жесткости, устойчивости, собственных частот и форм колебаний, минимальной массы.

Разработаны методики экспериментальной оценки нагруженности реальных объектов: картерных деталей остова колесного трактора и его трансмиссии; стержневой конструкции портала для тали. На основе проведенных расчетных и экспериментальных исследований решены вопросы параметрического конечно-элементного синтеза конструкций: снижения массы шатуна на 13%; увеличения производительности турбины на 10%; обеспечения варьирования собственных частот виброизолятора в диапазоне 4.5 - 8.3 Гц; снижения массы металлической конструкции портала для тали на 7%; снижения уровня напряжений на 40% и увеличения изгибной жесткости элементов картерных деталей и валов трансмиссии в 1.5 раза.

Сравнительный анализ теоретических и экспериментальных исследований напряженно-деформированного состояния и вибронагружений конструкций показал адекватность качественных и количественных показателей и подтвердил правильность разработанных расчетных схем и величин задаваемых нагрузок (погрешность расчета составила по деформациям 5 - 9%, напряжениям 16 - 20%, частотам колебаний 7%).

Ключевые слова: машиностроительная конструкция, машина и механизм, оптимизация, параметрический синтез, функционал Лагранжа, конечный элемент, матричные и векторные преобразования, математическая модель, динамическое программирование.

Nosko P. L. Multiparametrical synthesis of machine-building constructions.- Manuscript.

Thesis for doctor's degree by specialty 05.02.02- Machinery.- Eastern Ukrainian State University, Lugansk, 2000.

Manuscript and 42 scientific works are defended. They include the solution of a scientific and technical problem: creation of machines and mechanisms with the assigned properties based on the uniform methodological approach to the solution of tasks of parametrical finite element synthesis of machine-building constructions in elastic - linear state under static and vibrating loading.

The conclusion of the basic equations of finite element analysis and synthesis is given, the techniques of optimization for rod, plate, combined and axisymmetric structures under condition to maintain their required durability, stiffness, stability, eigenvalues, minimal weight are submitted.

Questions of constructions modification with taking into account of features of their topology, loading character and deformation are considered in examples of calculation and experimental researches of real objects.

Key words: machine-building design, optimization, parametrical synthesis, Lagrangian functional, finite element, matrix and vector transformations, mathematical model, dynamic programming.

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Створення машин і механізмів із заданими технічними характеристиками невіддільне від виконання статичних і динамічних розрахунків на усіх стадіях розробки конструкцій і вимагає удосконалення методів їх оптимального проектування.

Серед проблем оптимального проектування істотне місце займає пошук раціональних конструктивних параметрів машин і механізмів, параметрів їх навантажування та закріплення, що розраховуються у відповідності з обраним критерієм оптимізації - необхідною міцністю, жорсткістю, стійкістю, навантаженістю конструкції, зниженням її маси та ін. При цьому визначення числових значень різних параметрів розроблюваних систем (багатопараметричний синтез) при заданій структурі об'єкта та граничних умовах пов'язано з вибором розрахункової моделі й методів оцінки властивостей конструкцій. Серед числових методів розв'язання задач статики та динаміки пружних систем найбільшого розповсюдження одержав метод скінченних елементів (МСЕ).

Актуальність теми. Аналіз задач багатопараметричного синтезу показує, що у наш час теорія оптимального проектування інтенсивно розвивається й ще немає достатньо установлених розрахункових методів, які були б доцільні для розв'язання практичних задач оптимізації конструкцій. Існуючі методи й алгоритми розв'язання задач багатопараметричного синтезу конструкції мають, як правило, незначну ефективність (повільна збіжність, низька точність, нестійкість) і обмежений характер застосування.

Таким чином, розробка нових ефективних методів багатопараметричного синтезу машинобудівних конструкцій, що забезпечують скорочення витрат часу на пошук раціональних параметрів, оптимальних з позиції заданого критерію, і розширюють коло розв'язуваних задач синтезу, є актуальною проблемою.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась у відповідності з цільовою комплексною програмою ДКНТ “Надійність” (розділ 11.18), координаційним планом з проблеми “Теорія машин і систем машин” (розділ 1.11.1.1), у відповідності з планом госпдоговірних робіт з ПВ МТЗ (№ ГР 01820092336), з ДХК “Луганськтепловоз” (№ ДР 0196Г21048), із ЗАТ Луганський завод колінчастих валів (№ ДР 01870036959) і АТВТ "НДІполіграфмаш” (№ 2-97/2), які пов'язані з розробкою наукових основ і теорії створення перспективних машинобудівних конструкцій з поліпшеними технічними та енергетичними характеристиками.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є розробка методу синтезу машинобудівних конструкцій на основі скінченно-елементних алгоритмів, що забезпечують прискорення процесу пошуку раціональних параметрів деталей і вузлів машин та механізмів у детермінованій і розширюють коло розв'язуваних задач оптимального проектування у стохастичній постановках, а також дозволяють автоматизувати конструкторські розрахунки.

Здійснення цієї мети досягається шляхом розв'язання таких задач:

дослідження особливостей розв'язання задачі на умовний екстремум при використанні методу Лаґранжа. Аналіз розв'язання задачі мінімізації при різних видах цільової функції та обмеженнях, вибір видів функціонала Лаґранжа;

дослідження та розробка методики розв'язання задач умовної оптимізації на основі пошуку цільових параметрів при мінімальних їх відхиляннях від базових параметрів;

розробка математичних моделей для різних типів скінченних елементів (СЕ), а також методики виконання матричних і векторних перетворювань, які забезпечують процедури аналізу й оптимізації і дозволяють проводити синтез машинобудівних конструкцій у пружній постановці при статичних і вібраційних навантажуваннях;

розробка адаптивних алгоритмів розв'язання задач синтезу оптимальних параметрів у детермінованій і стохастичній постановках, оцінка ефективності їх застосування;

дослідження особливостей моделювання плоских і просторових конструкцій та розробка інженерних методик параметричного скінченно-елементного синтезу (ПСЕС), що дозволяють здійснювати пошук раціональних конструктивних параметрів, параметрів навантаження та закріплення деталей і вузлів машин та механізмів за умови забезпечення їх необхідної міцності, жорсткості, стійкості, власних частот і форм коливань, а також мінімальної маси;

проведення експериментальних досліджень для оцінки достовірності пропонованих методик, розробка рекомендацій і пропозицій щодо модифікації реальних об'єктів.

Методи дослідження. Теоретичні дослідження навантаженості елементів машинобудівних конструкцій при статичних і вібраційних навантажуваннях базуються на застосуванні МСЕ, матричного та векторного обчислення, теорії коливань і випадкових процесів, і з використанням ПЕОМ. При розв'язанні системи лінійних рівнянь у задачах статики та задачах на знаходження власних значень використані стандартні підпрограми на базі методів Гауса і Якобі.

Розв'язання задач оптимального проектування конструкцій методами динамічного програмування виконано з використанням функціонала Лаґранжа, апарату теорії чутливості та рекурентних співвідношень, що забезпечують одержання необхідного результату при швидкій збіжності.

Стендові та натурні випробування проводились методами тензометрування і вібрографування з використанням сучасної реєструвальної та вимірювальної апаратури. Обробка експериментальних результатів виконана на ЕОМ із застосуванням методів теорії ймовірностей і математичної статистики.

Наукова новизна одержаних результатів. Розроблено метод синтезу оптимальних параметрів машинобудівних конструкцій при їх статичних і вібраційних навантажуваннях в умовах визначеності та невизначеності геометрії, конструктивного відгуку та навантаження, що дозволяє розширити коло розв'язуваних задач і забезпечити прискорення процесу проектування за необхідної точності розрахунку.

Одержано теоретичні залежності конструктивного відгуку та критичного навантаження від змінних величин, а також рекурентні співвідношення, що дозволили модифікувати алгоритм розв'язання задач на умовний екстремум методом Лаґранжа та розробити методики ітераційного пошуку цільових параметрів при їх мінімальних відхиляннях від базових конструктивних параметрів, параметрів навантаження та закріплення.

На базі теорії МСЕ для різних конструктивних виконань і граничних умов розроблено математичні моделі задач синтезу й алгоритми їх реалізації, які забезпечують збільшення швидкості збіжності в 1.1-15 разів і дозволяють використовувати різні типи СЕ і теорії міцності, а також у широких діапазонах змінювати геометрію конструкцій та фізико-механічні параметри матеріалів.

Досліджено особливості моделювання елементів машинобудівних конструкцій різними СЕ і запропоновано принципи побудови їх раціональних розрахункових схем, що забезпечують прийнятливу точність розрахунку (похибка 1-7%) при мінімальних витратах часу на розв'язання задач.

Практичне значення одержаних результатів. Розроблено інженерні методики ПСЕС машинобудівних конструкцій, що забезпечують пошук їх раціональних параметрів. Пропоновані методики реалізовано в алгоритмах і програмах, які дозволяють проводити аналіз і синтез деталей і вузлів машин та механізмів на стадії їх проектування та доведення з точки зору міцності, жорсткості, навантаженості, стійкості, власних частот і форм коливань, мінімальної маси. Ефективність методик підтверджена результатами розв'язання тестових і практичних задач у пружно-лінійній постановці при статичному та вібраційному навантажуваннях конструкцій.

Розроблено методики експериментальної оцінки навантаженості стрижневих і картерних конструкцій: кістяка колісного трактора та його трансмісії; порталу для таля. Створено стенд, котрий дозволяє проводити випробування несучих систем транспортних засобів у режимах, що відповідають реальним умовам експлуатації.

Розроблено й передано для використання у проектно-конструкторських розрахунках рекомендації щодо: зниження маси картерних деталей кістяка трактора та збільшення вигибної жорсткості їх торцевих стінок; зменшення прогинів і кутів повороту валів трансмісії в опорах і під зубчастими колесами; зміни конфігурації перехідної частини диска ротора турбогенератора; зниження маси шатуна двигуна; зміни конструктивних форм амортизатора віброізолятора для силових установок транспортних машин; вибору оптимальних конструктивних параметрів металоконструкції порталу.

Реалізація висновків і рекомендацій роботи. Основні теоретичні та прикладні результати дисертаційної роботи використані й упроваджені у виробництво на підприємствах України, Росії та Бєларусі.

Методики розрахункового й експериментального дослідження напружено-деформованого стану несучих систем і трансмісій транспортних засобів, алгоритми та пакети прикладних програм ПСЕС для ПЕОМ використані в ДХК “Луганськтепловоз” (м. Луганськ, Україна) і на Мінському тракторному заводі (м.Мінськ, Бєларусь).

Інженерна методика ітераційного пошуку раціональних конструктивних параметрів осесиметричних тіл при статичних і вібраційних їх навантажуваннях використана в ДХК “Луганськтепловоз”.

Методика ітераційного пошуку раціональних конструктивних параметрів і навантаження пружних стрижневих та пластинчастих систем за умови забезпечення їх заданої міцності, жорсткості, стійкості, необхідних власних частот і амплітуд власних форм коливань використана в ДХК “Луганськтепловоз”.

У АТ “Енергія-спорт” (м. Луганськ, Україна) використана методика оптимального проектування геометричних форм і навантажень стрижневих металоконструкцій тренажерів при забезпеченні їх необхідної міцності та жорсткості, зниження металомісткості.

Для серійного випуску в ЗАТ “Луганський завод колінчастих валів” (м.Луганськ, Україна) рекомендовано варіант шатуна зниженої маси при збереженні необхідного запасу його міцності та стійкості.

На основі розроблених рекомендацій в АТВТ “НДІполіграфмаш” (м.Москва, Росія) виготовлена і впроваджена в експлуатацію конструкція порталу зниженої маси, що дозволяє механізувати вантажно-розвантажувальні та транспортні операції.

Результати роботи використовуються у Східноукраїнському державному університеті (м. Луганськ, Україна) та МДТУ ім. М.Е.Баумана (м. Москва, Росія) у навчальному процесі при викладанні курсів “Деталі машин”, “Опір матеріалів”, “Будівельна механіка”, “Динаміка та міцність конструкцій”, “Проектування конструкцій несучих систем транспортних засобів”, а також у НДР.

Обґрунтування, вірогідність наукових положень, висновків і рекомендацій підтверджено: коректним використанням сучасних числових методів і методів математичного програмування, опору матеріалів, теорії пружності, ймовірностей при теоретичних дослідженнях та моделюванні статичних і динамічних процесів; значним обсягом експериментальних даних, які одержані в реальних умовах роботи конструкцій; застосуванням сучасних засобів вимірювання та методів експериментальних досліджень; експериментальним підтвердженням моделей і методик розрахунків.

Особистий внесок здобувача. Автору дисертації належать:

теорія методу ПСЕС машинобудівних конструкцій при їх статичних і вібраційних навантажуваннях [1-4, 7, 21, 26, 28, 31, 36];

методика визначення видів функціонала Лаґранжа та рекурентні співвідношення, що дозволяють модифікувати алгоритм розв'язання задачі оптимального проектування [23, 25, 27, 37];

математичні моделі задач параметричного синтезу елементів машин і механізмів для різних конструктивних виконань та граничних умов, принципи побудови раціональних розрахункових схем [13, 14, 22, 30, 39, 40];

методика розрахунку коефіцієнтів чутливості параметрів конструктивного відгуку від змінних величин для різних типів СЕ [5, 18, 24, 29, 34];

методики ітераційного пошуку цільових параметрів машинобудівних конструкцій в умовах визначеності та невизначеності геометричних форм, діючих навантажень і конструктивного відгуку [6, 8, 9, 19, 20, 32, 35, 38, 41];

методики оцінки навантаженості картерних деталей несучої системи трактора та їх трансмісій; порталу для таля; диска ротора турбогенератора; шатуна двигуна; амортизатора віброізолятора й аналіз результатів теоретичних та експериментальних досліджень їх напружено-деформованого стану [10, 12, 15, 16, 17, 33];

розробка конструктивної схеми стенду для випробування несучих систем транспортних засобів [42].

Апробація результатів дисертації. Про основні положення та результати дисертаційної роботи було зроблено доповіді, які обговорювались на: розширеному засіданні науково-технічної ради ДСКБ ВО МТЗ ім. В.І.Леніна (Бєларусь, 1986, 1988), 66-th JSME conference of Kansi (Японія, 1990), National Congress of theoretical and applied mechanics (Японія, 1991), scientific seminar in the Institute of industrial science (Японія, 1989, 1990, 1991), Російському науково-технічному семінарі “Сучасний досвід проектування, випробування, виробництва та експлуатації гальмових пристроїв підйомно-транспортних машин” (Росія, 1992), 1-му, 2-му, 3-му та 4-му Міжнародних симпозіумах українських інженерів-механіків (Львів, 1993, 1995, 1997, 1999), 4-ій, 5-ій, 7-ій і 8-ій Міжнародних науково-технічних конференціях “Проблеми розвитку рейкового транспорту” (Крим, 1993, 1995, 1997, 1998), International conference on speed up technology for railwal and maglev vehicles (Японія, 1993), Міжнародній науково-технічній конференції “Сучасні проблеми машинознавства” (Бєларусь, 1996), 9-ій Міжнародній конференції “Проблеми механіки залізничного транспорту” (Дніпропетровськ, 1996), Міжнародних науково-технічних конференціях “Проблеми якості та довговічності зубчастих передач і редукторів” (Харків, 1997, 1999), 1-ій Всеукраїнській нараді “Розробка єдиної методики визначення технічного стану, ресурсу несучих конструкцій тяглового рухомого складу “Укрзалізниця” (Київ, 1997), Міжнародній науково-практичній конференції "Університет і регіон" (Луганськ, 1997), Міжнародній науково-технічній конференції “Проблеми електронної промисловості у перехідний період” (Луганськ, 1998), науково-технічних конференціях професорсько-викладацького складу Східноукраїнського державного університету (1987-1999). Дисертаційна робота розглянута і в цілому схвалена на науково-технічній раді Східноукраїнського державного університету (1999).

Публікації. За темою дисертації опубліковано 57 наукових праць, серед яких: 1 монографія, 3 брошури, 29 статей у наукових журналах і збірниках наукових праць, 17 доповідей і тез доповідей на семінарах, конференціях, конгресах і симпозіумах, 4 винаходи, 3 звіти з НДР. Основні положення дисертації викладено в 42 працях. З них 10 (у тому числі монографія) написані без співавторів.

Структура й обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, шести розділів і двох додатків. Дисертаційна робота містить 458 сторінок машинописного тексту, з яких 24 таблиці на 17 сторінках, 169 ілюстрацій на 101 сторінці, два додатки на 31 сторінці, 313 літературні джерела на 28 сторінках.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

лаґранж екстремум машинобудівний

Вступ. У вступі обґрунтовано актуальність проблеми, що розглядається, сформульовано мету дисертаційної роботи, визначено її наукову новизну та практичну цінність.

У першому розділі подано огляд вітчизняних і зарубіжних праць щодо методів оптимального проектування конструкцій, числових методів аналізу та розв'язання задач оптимізації.

Фундаментальний внесок у теорію методів оптимального проектування зробили Michell A., PippardV., Heyman J., Kiusalaas J., Venkaya V., Schmit L., Gellatly R., Berke L., Knott N., Prager W., Reddy V., Farhi B., Best G., Fleury C., Конторович Л.В. та інші вчені, праці котрих стали за основу зарубіжним програмним продуктам, а саме: ACCES, NASTRAN, ANSYS, ASOP, EAL, PARS, SAVES, SPAR, STARS, TSO, PASCO.

Проте пропоновані пакети прикладних програм мають обмежений характер застосування для розв'язання задач синтезу машинобудівних конструкцій в умовах невизначеності геометричних параметрів, конструктивного відгуку та навантаження і не висвітлюють процедур конкретної реалізації методів оптимального проектування. Крім того, незначна у ряді випадків ефективність самих методів (повільна збіжність, низька точність, нестійкість), а також труднощі порівняльного аналізу існуючих на даний час численних алгоритмів і програм оптимального проектування, що викликані відсутністю єдиних підходів і тестів для їх оцінки, не дозволяють розглядати той чи інший розрахунковий метод у якості остаточно вибраного. Відсутність у вітчизняній науці широких досліджень з питань розробки методик і прикладних програм багатопараметричного синтезу конструкцій пояснюється, головним чином, складною економічною ситуацією в країнах СНД, яка спричинила зменшення обсягів фінансування науки та недостатнє впровадження сучасних технологій у промисловість.

Проведені дослідження дозволили описати структуру розв'язання задач параметричного синтезу, що включає в себе процедури оптимізації й аналізу, а також математичних засобів і способів, почерез які ці процедури об'єднуються. При цьому встановлено, що у якості основних критеріїв ефективності використання програм оптимального проектування необхідно у першу чергу враховувати точність одержаного розв'язку, число ітерацій, а також процесорний час роботи ЕОМ.

Теорія та методи розв'язання задач умовної оптимізації розглядались у роботах Левітіна Є.С., Болотіна В.В., Поляка Б.Т., Wolfe P., Zoutendijk G., Rosen J.B., Hestenes M., Powell M., Nakagiri Sh., Suzuki K. та ін. авторів. Аналіз методів математичного програмування показав, що завдяки гарній збіжності та ефективності широкого розповсюдження в теоретичних дослідженнях набули градієнтні методи, і серед них - методи множників Лаґранжа. Хоча загальний підхід до розв'язання задач за допомогою методів множників Лаґранжа відомий, але використання на практиці розроблених алгоритмів дотепер пов'язане зі значними труднощами обчислювального та логічного характеру. Тому, як правило, більш доцільним є використання окремих випадків методу множників, до числа яких належить і метод Лаґранжа. При цьому, у кожному конкретному випадку розв'язання задачі оптимізації методом Лаґранжа вимагає розгляду низки питань, серед яких: завдання цільової функції та функції обмежень, вибір виду функціонала, накладання і знімання обмежень та ін.

Розгляду сучасних числових та експериментальних методів статичного й динамічного аналізу конструкцій присвячена більша кількість досліджень, що проводилися в різний час і у різних галузях машинобудування. Це праці Постнова В.А., Розіна Л.А., Сахарова А.С., Бідермана В.Л., Голубенка О.Л., Чорного А.К., Бараускаса Р.А., Ritz W., Rayleigh D., Oden J., Streng G., Fix J. та ін. Аналіз цих робіт показав, що одним з найбільш ефективних і можливих (з точки зору точності результатів) методів для розрахункового визначення міцності, жорсткості та стійкості конструкції є МСЕ. У наш час накопичено досвід застосування програмних комплексів ASKA, COSMOS, NASTRAN, SESAN, KACKAД, ПРОЧНОСТЬ, COSAR, AFEMAS для розрахунку авіаційних, будівельних, судових, автотракторних і подібних інженерних конструкцій за МСЕ. Найбільш прийнятливими (з точки зору трудомісткості й складності) експериментальними методами дослідження навантаженості машинобудівних конструкцій є тензометрування та вібрографування.

Проте “пряме” використання МСЕ разом із програмами оптимізації для розв'язання задач параметричного синтезу не є можливим, оскільки у кожному конкретному випадку слід ураховувати специфіку того чи іншого методу оптимізації. Це спричиняє необхідність застосовувати апарат теорії чутливості для знаходження коефіцієнтів чутливості, виконувати додаткові матричні й векторні перетворення та ін.

Питання розробки апарату теорії чутливості в механіці статичних і динамічних систем розглянуті у працях Рубана А.І., Тушева О.Н., ШуміловаІ.М., Witrick W.H., Haug J.E., Arora J.S. Показано, що коефіцієнти чутливості можуть бути використані як елементи алгоритму відшукування розв'язання задачі оптимального проектування. Також слід відзначити праці Валенка Ж., Херріс К., Rellich F., у яких досліджується вплив на конструкцію одного змінного сукупного параметра шляхом розкладання конструктивного відгуку по степенях у ряд Тейлора. Характерними прикладами розв'язання інженерних задач методами теорії чутливості є праці Бунькова В.Г., Баничука Н.В., Сейраняна А.П., Фролова М.В., Бірюкова В.І., Яремчука Ю.Ф, Choi K.K., Komkov V., у яких розглядаються варіації великої кількості параметрів.

За результатами аналізу методів оптимального проектування та праць, присвячених числовим методам аналізу і розв'язання задач умовної оптимізації, а також експериментальними методами дослідження напружено-деформованого стану машинобудівних конструкцій визначені напрями теоретичних та експериментальних досліджень.

У другому розділі розглянуто питання багатовимірної мінімізації за наявності обмежень, а також особливості розв'язання задачі на умовний екстремум методом Лаґранжа. Запропоновано новий підхід щодо розв'язання задач параметричного синтезу. В його основу покладено поняття знаходження змінних таким чином, щоб цільові параметри , що мінімізують цільову функцію у функціоналі Лаґранжа , змінювалися якомога менше відносно базових за час, поки умови обмежень не будуть виконані достатньою мірою. За базові параметри брали початкові параметри , які визначаються на кожному кроці ітерації; -- функціональна залежність, що визначає р-ий зв'язок в об'єкті; - цільове значення функції ; - множники Лаґранжа.

З метою вибору раціонального способу представлення цільової функції при різних початкових умовах розглянуто питання опису змінних величин. На числових прикладах показано перевагу використання відносного збільшення параметрів у якості змінних величин , що забезпечують одержання розв'язку в околі базових параметрів.

Проведено графічний аналіз задач оптимізації з лінійними обмеженнями та запропоновано методику визначення функціонала Лаґранжа. При різних початкових умовах показано ефективність застосування цільової функції виду , використання якої дозволяє одержувати розв'язок при мінімальних відхиляннях цільових параметрів від їх базових.

Неможливість опису функції обмежень в аналітичному вигляді для розв'язання задачі МСЕ вимагає розкладання цієї функції у ряд Тейлора, обмежуючись або першим , або другим порядком апроксимації, де і - перший та другий порядок апроксимації функції . Виконаний математичний аналіз задач оптимізації дозволив зробити припущення про доцільність лінійної апроксимації функції з метою зниження трудомісткості витрат на розв'язання задачі МСЕ при збереженні необхідної її точності.

На основі проведених досліджень обґрунтовано вибір функціонала Лаґранжа, який для першого порядку апроксимації на - ому кроці ітерації матиме вигляд:

,

де N і P - загальне число змінних величин і функціональних зв'язків у об'єкті;

, .

Необхідні умови екстремуму функціонала представлені системою рівнянь у вигляді:

, (1)

з якої визначенню підлягають значення . Критерієм завершення розв'язання задачі є мінімальний відхил , відносна величина якого визначає похибку її розв'язання на і-ому кроці ітерації.

Невідомий вид та вимога мінімального відхилення значень від , що забезпечують виконання заданої умови обмеження і критерію оптимізації , ведуть до необхідності на практиці розв'язувати задачу ітераційно, оновлюючи на кожному і-ому кроці значення змінних параметрів, цільової функції та функції обмежень. Ітерації здійснювалися за такою схемою: , де . Тому має місце рекурентне співвідношення , яке дозволяє модифікувати алгоритм розв'язання задачі оптимізації методом Лаґранжа.

Оскільки розв'язання задачі оптимізації є ітераційним, то цікавим буде дослідження питань збіжності. Швидкість збіжності залежить від виду цільової функції, початкових умов і характеризується числом ітерацій. У свою чергу, величина швидкості збіжності визначається вектором-градієнтом, який характеризує прирощування функції , і спрямований по нормалі до її поверхні. Для різних видів цільової функції та початкових умов на кожному кроці ітерації градієнт функції змінюється за рахунок зміни її кривизни. В той же час, як показав порівняльний математичний аналіз, для цільової функції виду , вектор-градієнт завжди спрямований до центру координат, що забезпечує максимальне пророщування цієї функції і у підсумку мінімальне число ітерацій.

Розглянуті питання вибору раціонального способу подання цільової функції, функцій обмежень, а також рекурентних співвідношень дозволили розробити методику пошуку цільових параметрів в околі базових, забезпечивши швидку збіжність і необхідну точність розв'язання задачі оптимізації.

Досліджено питання обліку додаткових обмежень, пов'язаних з функціональними обмеженнями та обмеженнями на змінні величини. Якщо на змінну накладалося обмеження у вигляді рівності , то коефіцієнту при цій змінній надавалося велике число. Подібна операція проводилася і для функціональних обмежень, якщо виникала необхідність вивести з-під контролю зв'язки в об'єкті, які визначаються залежністю , де р - номер обмеження, що “знімається”. В цьому випадку коефіцієнту при також надавалося велике число. Запропонований алгоритм реалізовано програмно, що і дало можливість у широких межах варіювати змінними параметрами та функціональними обмеженнями для різних виконань, граничних умов навантажувань і закріплень конструкцій.

У третьому розділі сформульовані задачі пошуку цільових конструктивних параметрів, а також параметрів в умовах їх визначеності.

На прикладах трикутного симплекс-елемента пластини, що знаходиться в плоскому напруженому та вигибному станах, одномірного двовузлового елемента балочного типу з 4-ма, 6-ма та 12-ма степенями свободи, осесиметричного тороїдального симплекс-елемента розглянуто виведення основних рівнянь ПСЕС для розв'язання задач статики у дво - і тривимірній постановках теорії пружності. Розроблені математичні моделі для різних типів СЕ апробовано на великій кількості тестових задач показали високу ефективність їх застосування, а також можливість використання разом зі стандартними програмами МСЕ і в САПР.

Для оцінки впливу апроксимації функції обмежень на точність обчислювань розглянуто приклади розв'язання задач ПСЕС для стрижневих лінійних систем. Аналіз результатів розрахунку показав, що при заданій та скороченні загального числа ітерацій у 2 рази трудомісткість підготовки задачі, обсяг пам'яті та час на її розв'язання збільшуються в 4-25 разів (див. табл. 1). Це підтвердило зроблене в другому розділі припущення про доцільність проведення матричних перетворень з урахуванням лінійної апроксимації функції обмежень рядом Тейлора.

Таблиця 1 Результати розв'язання задачі ПСЕС з урахуванням першого та другого (першого/другого) порядків апроксимації конструктивного відгуку

Загальне число елементів моделі	Загальне число ітерацій, необхідних для збіжності розв'язку	CPU - час, необхідний для збіжності розв'язку
5	4/2	1/4.5
11	7/4	3/13
15	7/4	5/42
20	10/5	7/180

Викладено методики й описано алгоритми розв'язання задач ПСЕС за умови забезпечення необхідної міцності, жорсткості, мінімальної маси конструкцій, оптимального їх навантажування. В основу методик покладено матричні та векторні перетворення рівнянь скінченно-елементного аналізу (СЕА), які дозволяють досліджувати чутливість матриці жорсткості , векторів вузлових переміщень , сил , напруг і функції маси до варіацій цільових параметрів. Послідовне обчислювання перших похідних , , та визначення р-ої функціональної залежності параметрів конструктивного відгуку від змінних величин дозволяє провести розрахунок коефіцієнтів чутливості

.

У якості параметрів конструктивного відгуку брались еквівалентні напруги та переміщення вузлових точок СЕ, у якості цільових - конструктивні параметри й параметри навантаження (величина та кут додавання навантаження).

Для випадку розв'язання задачі ПСЕС при статичному навантажуванні конструкції та умови забезпечення її необхідної міцності, жорсткості й оптимального навантажування система рівнянь (1) у матричній формі має такий вигляд:

 , (2)

де , - базові та цільові значення функції .

Для випадку розв'язання задачі ПСЕС при статичному навантажуванні конструкції й умови мінімізації її маси цільову функцію доцільно представляти з урахуванням функції маси, котра може бути апроксимована рядом Тейлора другого порядку, а для стабілізації числового розв'язання рівнянь у функціонал Лаґранжа вводити додаток , що являє собою функцію ваги, де - її ваговий коефіцієнт, що забезпечує монотонне зниження маси конструкції. Тоді функціонал Лаґранжа має такий вигляд:

Дослідження вагового коефіцієнта на прикладі розв'язання тестових задач плоских пружних систем показали, що для одержання мінімального числа ітерацій, необхідного для збіжності розв'язку, величина повинна відповідати найбільшому абсолютному значенню .

Алгоритм розв'язання задач ПСЕС конструкцій з метою зниження їх маси подано на рис. 1.

Переваги ПСЕС, що базується на понятті мінімальної зміни параметрів конструкції та навантаження, показано на числових прикладах при порівняльному аналізі з іншими оптимізаційними методами розв'язання аналогічних задач статики стрижневих, пластинчастих і осесиметричних тіл, у яких одержання рівнонапружених зовнішніх і внутрішніх форм конструкцій при заданій було досягнуто за більше ніж у 1.1 - 15 разів число ітерацій.

Використання методу Лаґранжа та пряме диференціювання компонентів матриць у рівняннях СЕА дає можливість одержати необхідний результат при збіжності розв'язку задачі за 2 - 11 ітерацій. Шляхом нескладних матричних перетворювань запропонований підхід дозволяє застосовувати різні типи СЕ, теорії міцності, а також у широких діапазонах змінювати геометричні та фізико-механічні властивості матеріалів, використовуючи їх у якості змінних параметрів.

Створені методики розв'язання задач ПСЕС дозволяють проводити пошук раціональних геометричних розмірів поперечних перерізів стрижневих елементів і форм фермених, рамних конструкцій і трансмісійних валів машин і механізмів, з метою забезпечення їх необхідної міцності та жорсткості. При цьому розроблені програми дають можливість визначити місце знаходження найбільш небезпечних точок перерізів елементів стрижневої конструкції; забезпечити задану міцність і жорсткість усіх елементів конструкції разом або окремих її частин; варіювати граничні умови з метою накладання та зняття обмежень по напругах і переміщеннях на елементи й змінні величини.

Розроблені алгоритми дозволяють виконати контурну адаптацію пластинчастих, комбінованих (пластинчастих і стрижневих) і осесиметричних конструкцій з метою зниження маси, зменшення та перерозподілу напруг, одержання їх рівноміцних форм. Шляхом розрахункових досліджень виявлено, що у випадку значного відхиляння цільового конструктивного відгуку відносно початкового, контурну модифікацію доцільно проводити при задаванні проміжних значень цільових напруг і переміщень, які забезпечують стійке розв'язання задачі. Створене програмне забезпечення дозволяє в процесі ітераційного пошуку вирішувати питання автоматичної зміни скінченно-елементної сітки та вирівнювання нерекомендованих зиґзаґоподібних форм контуру.

Розглянуто питання вибору оптимального навантажування конструкцій з метою збереження їх працездатності та забезпечення необхідного запасу несучої здатності. Викладено методику ітераційного пошуку величини та кута прикладання сил за умови забезпечення заданої міцності конструкції.

З метою вирішення питань параметричного синтезу оптимальних параметрів елементів машинобудівних конструкцій, які являють собою стрижневі, пластинчасті й оболонкові конструкції, підкріплені ребрами жорсткості та приливками і з'єднані між собою груповими нарізевими з'єднаннями, розглянуто особливості їх моделювання різноманітними типами СЕ. Проведені дослідження та порівняльний аналіз результатів розрахунку за МСЕ з точними аналітичними або експериментальними даними показали, що для опису стінок картерних деталей, що являють собою тонкі й середні за товщиною пластини, доцільно використовувати двовимірний (пластинчастий) елемент, який ураховує мембранний та вигибний стан конструкції. Моделювання осесиметричних конструкцій доцільно проводити за допомогою тороїдальних СЕ, а стрижневих - за допомогою балочних елементів із змінними геометричними характеристиками. Моделювання ребер жорсткості та приливків слід здійснювати одновимірними балочними СЕ, що лежать на межі двовимірних елементів пластини, з урахуванням ексцентриситету взаємодії балки й пластини, а для моделювання стиків з достатньою степенню точності використовувати стрижневі СЕМ нарізевих з'єднань, жорсткість стрижнів яких відповідає реальній жорсткості з'єднань. Вали доцільно моделювати балочними СЕ з постійними геометричними характеристиками, при цьому їх розбиття проводити з урахуванням реальної конструкції та кінематичної схеми трансмісії, а моделювання зубчастих зачіпів і підшипників котіння - за допомогою “фіктивних” стрижневих і плоских елементів пластин. “Фіктивні” елементи вводяться у розрахункові схеми для ідеалізації частин реальної конструкції з метою моделювання передачі на вали та підшипникові опори силового потоку адекватного реальному. Розглянуті особливості моделювання забезпечили прийнятливу точність результатів (похибка 1-7%) і лягли в основу побудови раціональних розрахункових схем деталей і вузлів машин та механізмів.

У четвертому розділі сформульовані задачі синтезу параметрів в умовах їх визначеності при вібраційних навантажуваннях конструкції. Викладено методику ітераційного пошуку цільових параметрів стрижневих, пластинчастих і осесиметричних конструкцій, що визначають оптимальні геометричні форми, розміри перерізів СЕ, місця розташування опор і їх пружні характеристики за умови забезпечення їх необхідних власних частот (критичних сил) і амплітуд власних форм коливань, а також необхідного запасу стійкості. На прикладі одновимірного двовузлового елемента балочного типу із змінними геометричними характеристиками та трикутного симплекс-елемента пластини подано висновок основних рівнянь розв'язання динамічної задачі ПСЕС й описано процедуру їх практичного застосування.

Відомо, що при розв'язанні задачі на вільні коливання конструкції матриці жорсткості та мас разом зі значенням власних коливань і власним вектором , що визначає власну форму коливань, описуються рівнянням у вигляді:

.

Допускаючи лінійну апроксимацію , і виконавши матричні та векторні перетворення, вирази для визначення і матимуть вигляд:

,

.

Беручи і у якості параметрів конструктивного відгуку та використовуючи вираз (2), визначаємо значення змінних величин і відповідних їм параметрів.

Алгоритм розв'язання задачі ПСЕС апробовано на прикладі пружних коливань шасі вантажного автомобіля, трубопровідних стрижневих і пластинчастих систем показав високу ефективність його застосування, що дозволяє досягти необхідного результату за 2-8 ітерацій. Розв'язання задач за розробленими автором програмами параметричного синтезу, порівняно з програмою NASTRAN, при заданій забезпечило збільшення швидкості збіжності та зменшення процесорного часу в 1.5 раза. Запропонована методика ітераційного пошуку цільових параметрів конструкції дозволяє розв'язувати задачі ПСЕС для різних конструктивних виконань і граничних умов і може бути поширена на інші машинобудівні конструкції, що знаходяться в умовах вібраційного навантажування.

Одержано рівняння ПСЕС пружних стрижневих конструкцій з метою модифікації геометричних розмірів поперечного перерізу стиснутих стрижнів за умови забезпечення їх стійкості та заданої критичної сили . Для системи стиснутих стрижнів використувався функціонал Лаґранжа виду , а коефіцієнти чутливості розраховувалися за формулою:

,

де і - матриця стійкості та вектор вузлових переміщень, які визначають форму втрати стійкості базової конструкції.

Порівняльний аналіз розв'язання тестових задач показав, що лінеаризація конструктивного відгуку у вигляді власних частот, амплітуд власних форм коливань, а також критичних сил є виправданою при використанні методу Лаґранжа у розрахунках пружних динамічних систем.

У п'ятому розділі розглянуто питання визначення цільових параметрів в умовах невизначеності геометричних форм, діючих навантажень, а також конструктивного відгуку.

Розроблена методика базується на одержаному розв'язку задачі ПСЕС в умовах визначеності й обчислюванні відхилів конструктивного відгуку щодо цільових значень, що задаються, і відхилів конструктивних параметрів і навантаження щодо очікуваних цільових значень.

Відхиляння значень конструктивного відгуку щодо цільового значення, що задається, оцінювалися шляхом обчислювання їх абсолютної величини з довірочною ймовірністю. Обмежуючись першим додатком, вираз для визначення дисперсії , який характеризує степень розсіювання конструктивного відгуку р-го елемента навколо математичного очікування має вигляд:

, (3)

де - кореляційна залежність випадкових відхилів та .

Довірочний інтервал , який характеризує відхиляння конструктивного відгуку відносно цільового , що задається, визначався за формулою:

,

де - середній квадратичний відхил.

Значення цільового конструктивного відгуку для кожного елемента дає можливість обчислити цільові конструктивні параметри та параметри навантаження за алгоритмами ПСЕС в умовах визначеності.

У ряді випадків у процесі проектування цільові значення конструктивного відгуку не можуть бути задані фіксованими. Тоді при відхилі відносно цільового , що задається, конструктивний відгук може бути записаний у вигляді . Відхиляння конструктивного відгуку викликає невизначеність вектора конструктивних параметрів або навантаження, через компоненти якого визначаються .

Дисперсія , яка характеризує степень розсіювання конструктивних параметрів і навантаження, за аналогією з (3), описується залежністю:

. (4)

Область існування конструктивних параметрів або навантаження щодо очікуваних цільових значень задається областю довірочних інтервалів , де ; а - очікувані цільові параметри конструкції або навантаження.

Розроблена методика визначення цільових конструктивних параметрів і параметрів навантаження в умовах невизначеності апробована на плоских пластинчастих і стрижневих конструкціях при статичному й вібраційному їх навантажуваннях. Використання методики при розв'язанні тестових задач у стохастичному підході для різних конструктивних виконань і граничних умов дозволяє: змінювати геометричні форми конструкції в допустимих діапазонах відхилів її параметрів (до 10 %), вводити у рівняння (3) і (4) будь-які кореляційні залежності випадкових відхилянь; оцінити запас несучої здатності конструкції у вигляді області допустимих значень навантажень і збільшити її навантаженість без яких-небудь змін конструкції; вирішувати питання стійкості стрижневих систем в умовах невизначеності їх конструктивних параметрів. При розробці нових технічних рішень це забезпечує правильний облік і аналіз конструктивних параметрів і силових факторів, а також достовірну оцінку дослідження напружено-деформованого стану конструкцій машин і механізмів, що дозволяє прогнозувати більш надійну та тривалу їх роботу.

У шостому розділі на основі створених математичних моделей для різних типів СЕ з урахуванням особливості моделювання елементів машинобудівних конструкцій розглянуто питання ПСЕС реальних об'єктів і запропоновано принципи побудови їх раціональних розрахункових схем. Розроблено пакет прикладних програм розв'язання задач параметричного синтезу, працездатність якого підтверджена результатами розрахунку конкретних конструкцій і експериментальних досліджень.

Розроблено алгоритм розв'язання задач модифікації конструктивних параметрів елементів картерних деталей і валів трансмісій кістяка колісного трактора МТЗ-80, що включає проведення теоретичних і експериментальних досліджень у детермінованій та стохастичній постановках і дозволяє на стадії проектування та доведення конструкцій здійснювати пошук їх геометричних розмірів, раціональних з точки зору міцності, жорсткості і матеріалоємності.

Розглянуто питання експериментальної оцінки навантаженості картерних деталей кістяка трактора та його трансмісії. Розроблено та створено стенд, який дозволяє проводити випробування несучих систем транспортних засобів і їх трансмісій у режимах, що відповідають реальним умовам експлуатації. Результати стендових і ходових випробувань кістяка трактора та ідентичність одержаних при цьому якісних і кількісних показників дослідження напружено-деформованого стану картерних деталей підтвердили правильність розроблених схем навантажування несучої системи, трансмісії та величин навантаження, що задаються.

Для використання теоретичного аналізу дослідження напружено-деформованого стану картерних деталей і трансмісії розроблена їх базова скінченно-елементна модель (СЕМ) кістяка, що містить 1200 вузлів і 2200 елементів.

Порівняльний аналіз розрахункових і експериментальних досліджень показав: розрахункові схеми картерних деталей описують деформований стан з похибкою до 20 %, напружений - до 40 % , забезпечуючи якісну оцінку їх міцності та жорсткості; розрахункова схема трансмісії описує процес деформації з точністю до 5 %, що є прийнятливим при проектуванні; картерні деталі мають у цілому високу жорсткість і завищену міцність, тому є передумови подальшої раціоналізації їх конструктивних параметрів.

Для подальшого аналізу розроблено уточнені СЕМ окремих картерів (див. рис. 2), призначених для якісної оцінки їх дослідження напружено-деформованого стану. При цьому похибка розрахунку була знижена: до 9 % по деформаціях і до 20 % по напругах.

Початкові недосконалості геометрії у вигляді випадкових відхилянь товщин стінок картерів від номінальних їх значень брались рівними =0.05.

Розв'язання задачі ПСЕС окремих елементів картерних деталей і трансмісії дозволило:

знизити на 2.5 кг масу картера зчеплення шляхом зменшення товщини його днища та введення поздовжнього оребрення;

підвищити вигибну жорсткість контуру підшипникових опор внутрішньої та торцевої стінок коробки передач у 1.5 раза за рахунок збільшення їх товщини з вісімнадцяти до двадцяти трьох міліметрів;

знизити на 40 % рівень напруг в елементах внутрішньої стінки заднього моста, шляхом перерозподілу матеріалу по її поверхні;

зменшити в 1.25 раза угини вала І-ої (ІІ-ої) передач і заднього ходу під зубчастими колесами та в 1.5 раза сумарний кут повороту перерізу півосі кінцевої передачі за рахунок диференційованої зміни їх діаметрів.

Робота щодо вибору оптимальних конструктивних параметрів порталу для пересувного електроталя вантажністю 2 т була спрямована на створення рівноміцних несучих систем зниженої маси. СЕМ порталу описана 78 СЕ й представлена на рис.3.

...