Конструювання поверхонь та їх неперервне згинання в кінцеві форми на основі управління натуральними параметрами

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ БУДІВНИЦТВА І АРХІТЕКТУРИ

УДК 514.18

Конструювання поверхонь та їх неперервне згинання в кінцеві форми на основі управління натуральними параметрами

Спеціальність 05.01.01 - Прикладна геометрія, інженерна графіка

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

Пилипака Сергій Федорович

КИЇВ 2000

Дисертацією є рукопис.

Дисертація виконана в Національному аграрному університеті Кабінету міністрів України.

Провідна установа: Національний технічний університет України “КПІ”, кафедра нарисної геометрії, інженерної і комп'ютерної графіки Міністерства освіти і науки України, м. Київ.

Захист відбудеться “_4_”_жовтня 2000 р. о 1300 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.056.06 у Київському національному університеті будівництва і архітектури за адресою: 03037, м. Київ-37, Повітрофлотський проспект, 31.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Київського національного університету будівництва і архітектури за адресою: 03037, м. Київ-37, Повітрофлотський проспект, 31.

Автореферат розісланий “_4 ”_вересня_2000 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Плоский В.О.

тригранник кінематичний френ

АНОТАЦІЇ

Пилипака С.Ф. Конструювання поверхонь та їх неперервне згинання в кінцеві форми на основі управління натуральними параметрами. -Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора технічних наук за спеціальністю 05.01.01 - прикладна геометрія, інженерна графіка. -Київський національний університет будівництва і архітектури, Київ, 2000.

Дисертацію присвячено розробці нового напряму конструювання поверхонь та їх неперервного згинання в кінцеві форми на основі використання натуральних параметрів. Основу досліджень складає запропонований кінематичний підхід побудови кривих ліній за заданими рівняннями кривини і скруту. Конструювання поверхні здійснюється в системі супровідного тригранника одержаної кривої. Вид поверхні залежить від твірної кривої, закріпленої в триграннику (пряма, крива сталої форми, коло постійного або змінного радіуса). На основі незмінності коефіцієнтів першої квадратичної форми створено моделі неперервного згинання лінійчатих поверхонь (розгортних і нерозгортних) і деяких нелінійчатих (різьблених поверхонь Монжа, поверхонь переносу, гвинтових). З'ясовано геометричну суть процесу згинання. Розглянуто рух матеріальної точки по поверхні із постійною швидкістю. Одержані результати обгрунтовані теоретично і підтверджені впровадженнями у виробництво і навчальний процес.

Ключові слова: неперервне згинання, перша квадратична форма, тригранники Френе і Дарбу, натуральні параметри.

Пилипака С.Ф. Конструирование поверхностей и их непрерывное изгибание в конечные формы на основании управления натуральными параметрами. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук по специальности 05.01.01 - прикладная геометрия, инженерная графика. - Киевский национальный университет строительства и архитектуры, Киев, 2000.

Диссертация посвящена разработке нового направления конструирования поверхностей и их непрерывного изгибания в конечные формы на основании использования натуральных параметров. В первом разделе проведен анализ литературных источников по теории пространственных кривых линий а также соответствующих разделов дифференциальной геометрии. Он показал, что существует проблема перехода от заданных натуральных уравнений кривых к их координатной записи либо же к визуальному воспроизведению. В связи с этим была изучена геометрическая сущность движения сопровождающего трехгранника Френе плоских и пространственных линий и предложен во втором разделе кинематический подход их воспроизведения моделированием перемещения трехгранника Френе в пространстве. Эффективная работа разработанного подхода стала возможной с появлением компьютеров, у которых большие вычислительные возможности совпадают из возможностью мгновенного воспроизведения изображения кривых на экране монитора. Математическая модель перемещения трехгранника реализована программно и проверена на численных тестовых примерах построения кривых линий по заданным натуральным уравнениям.

В третьем разделе исследовано кинематику сопровождающего трехгранника Френе кривой на поверхности. Одновременно рассмотрено движение сопровождающего трехгранника Дарбу, кинематика которого определяется не только дифференциальными характеристиками кривой, но и самой поверхности. Установлена взаимосвязь между кинематическими показателями движения трехгранников через параметры поверхности и кривой, расположенной на ней. Разработан метод конструирования поверхностей по заданой направляющей кривой, которая является для создаваемой поверхности специальной линией. Поверхность строится движением образующей линии, которая определенным образом привязана к трехграннику Френе напрявляющей кривой. Прямолинейной образующей соответствует линейчатая поверхность, криволинейной - нелинейчатая. Созданы конструктивные модели поверхностей отдельных классов. Это линейчатые из ортогональной сетью координатных линий и некоторые нелинейчатые (резные поверхности Монжа и циклические из образующей окружностью переменного радиуса), а также поверхности, отнесенные к сети сопряженных линий. Найдены ограничения на расположение прямолинейных образующих в трехграннике Френе, при которых поверхность будет развертывающейся. Выведены уравнения точек ребра возврата в системе трехгранника Френе.

Четвертый раздел посвящен непрерывному изгибанию поверхностей, построенных в трехграннике Френе. Разработанная модель изгибания базируется на неизменности коэффициентов первой квадратической формы и позволяет получать какое угодно число промежуточных положений поверхности при ее деформации из начального положения в конечное. При этом можно управлять процессом изгибания линейчатых развертывающихся и неразвертывающихся поверхностей за счет изменения: а) кривизны направляющей кривой; б) ее кручения; в) положения прямолинейной образующей в трехграннике Френе. Для некоторых нелинейчатых поверхностей (переноса, резных поверхностей Монжа, винтовых) получены параметрические уравнения изгибания в конечном виде. Для поверхностей, которые изгибаются на главном основании сопряженных линий (переноса и резных поверхностей Монжа), установлены закономерности изменения натуральных уравнений направляющей и образующей кривых. Предложена аппроксимация нелинейчатых поверхностей отсеками торсов, допускающая совместное изгибание составных поверхностей.

В пятом разделе исследовано отдельную группу поверхностей, у которых образующими кривыми есть окружности постоянного или переменного радиуса. Установлена зависимость между дифференциальными характеристиками направляющей кривой, закономерностью изменения радиуса образующей окружности и ее положением в трехграннике Френе, при которой поверхность будет каналовой. Показано, что частным случаем таких поверхностей являются каналовые поверхности Иоахимсталя, в том числе циклиды Дюпена. Доказано, что такие поверхности всегда можно отнести к координатным линиям из линий кривизны. На основании выявленных свойств каналовых поверхностей Иоахимсталя предложена модель их конструирования по заданным исходным условиям.

Шестой раздел посвящен изучению вынужденного движения материальных частиц по поверхностям и вопросам практического применения результатов, полученных в предыдущих разделах. Движение частиц исследовано при помощи сопровождающих трехгранников траектории, так как основные силы, кроме силы тяжести, имеют строго определенное направление действия в их системах (силы инерции и трения - в трехграннике Френе, сила реакции поверхности - в трехграннике Дарбу). Исходя из равновесия в нормальной плоскости траектории всех действующих сил, предложена методика нахождения траектории движения частиц почвы по поверхности. С практической точки зрения имеет значение обратная задача - проектирование поверхности, которая обеспечила бы необходимую траекторию движения частиц почвы. Решение прямой и обратной задач продемонстрировано на цилиндрических поверхностях.

На основании полученных результатов исследований предложены методики и рекомендации прикладного характера, эффективность которых подтверждена внедрениями в научные, производственные заведения и в учебный процесс.

Ключевые слова: непрерывное изгибание, первая квадратическая форма, трехгранники Френе и Дарбу, натуральные параметры.

Pylypaka S. F. Construction of surfaces and their continuous winding in finite forms on the base of operation of the natural parameters. - Manuscript.

Thesis for a doctor's degree by speciality 05.01.01 - applied geometry, engineering graphics. - Kyiv National University of Building and Architecture, Kyiv, 2000.

Thesis is devoted to the working out of new direction in surface construction and their continuous winding in finite forms in the base of natural parameters usage. Proposed kinematic approach in the construction of curve lines on given equations of curvature and forsion is the base of investigations. The construction of surface is carried out in the system of accompanying three - edge of received curve. The kind of surface depends on derivative curve, fixed in three - edge (straight, curve of constant form, circumference of constant and variable radius). The models of continuous winding of lined surfaces (fold and unfold) and some unlined ones (curved surfaces of Monge, surfaces of transfer, screw were created on the base of invariability of coefficients of the first quadratic form. Geometrical essence of winding process was proved. The motion of material point on surface with constant speed was considered. Obtained results were grounded theoretically and confirmed by the installations in production and educational process.

Key words: continuous winding, first quadratic form, three - edge of Frenet and Darboux, natural parameters.

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Методи моделювання кривих ліній і поверхонь лежать в основі конструювання технічних форм як за технологічним, так і естетичним призначенням або в їх поєднанні. Ці методи постійно вдосконалюються відповідно до сучасних запитів практики по створенню і виготовленню виробів, криволінійні поверхні і обводи яких відіграють функціональну роль. Конструйовані криві лінії та поверхні в кращому випадку можуть бути задані рівняннями, а коли це неможливо, то масивами точок чи каркасами ліній, які представляють ці поверхні і обводи. Для дискретно представлених кривих та поверхонь знаходять аналітичні залежності, які дали б можливість загущувати точки і лінії каркасу із необхідною щільністю. На даний час розроблені різноманітні методи відшукання таких залежностей як у вигляді поліномів, так і трансцендентних функцій. Вони розв'язують задачу загущення, але не містять у собі геометричних характеристик, властивих кривим лініям і поверхням. Крім того, при незмінних їх внутрішніх властивостях аналітичний опис в декартовій системі ускладнюється при загальному положенні об'єктів. Звичайно, існують методи диференціальної геометрії для знаходження геометричних характеристик ліній і поверхонь, але, по - перше, вони громіздкі, іноді пов'язані із застосуванням чисельних методів обчислень, а по - друге, знайдені таким чином характеристики можуть не задовольняти поставлених вимог. Однак саме внутрішні характеристики ліній і поверхонь впливають на робочий процес або несуть інше функціональне навантаження і повинні включатися в аналітичне описання. Як приклад, можна навести рух матеріальних частинок по поверхнях. Щоб змусити частинку рухатись по певній траєкторії на поверхні, необхідно прикласти до неї відповідні сили, величина і напрям дії яких залежить від кривини траєкторії і кута між головною нормаллю траєкторії і нормаллю до поверхні вздовж дуги траєкторії. Таким чином, в окремих випадках, зважаючи на практичне значення внутрішніх (не залежних від положення в декартовій системі координат) властивостей кривих ліній і поверхонь, доцільніше вести їх описання на основі внутрішніх властивостей. Розділ геометрії, що розглядає дане питання, називається натуральною геометрією, тому що за параметр у ній взято довжину дуги лінії - натуральний (природний) параметр. Дослідження у представленій роботі спираються саме на цей розділ геометрії. Методи натуральної геометрії детально розвинуті італійським математиком Чезаро (E. Cesaro), якого можна вважати творцем цієї області геометрії. Ним же введений і термін “внутрішня геометрія”, який у трактовці німецьких учених звучить як “натуральна геометрія”.

В силу історичного розвитку так склалося, що виявлення або врахування внутрішніх властивостей ліній і поверхонь є вторинною задачею у прийнятих в прикладній геометрії методах. Але враховуючи задачі, пов'язані із рухом, таке первісне врахування внутрішніх властивостей можна вважати основним і природним. Тому у кінематиці спосіб опису руху точки по відомій траєкторії, де за координату (параметр) взято довжину дуги кривої, так і називається - природним. Отже існує певний клас задач, для розв'язування яких методами прикладної геометрії слід розвинути в ній теоретичний розділ геометричного моделювання ліній і поверхонь, який буде опиратися на підходи натуральної геометрії та задовольняти вимоги практичного застосування. Нинішній стан досліджень у даній області, особливо в прикладній сфері, певний час не набував широкого розповсюдження. Це пояснюється низкою чинників.

По-перше, довжина дуги описується елементарними функціями тільки для обмеженого числа кривих, заданих параметричними рівняннями в нерухомій системі координат. Якщо задати криву натуральним рівнянням, тобто залежністю кривини від довжини дуги, то при переході до координатної форми запису потрібно застосувати чисельні методи розв'язання диференціальних рівнянь. Якщо ж крива просторова, тобто для неї задана ще й залежність скруту від довжини дуги, то трудомісткість обчислень зростає многократно. Про це промовисто свідчить той факт, що за натуральними рівняннями можна знайти координатний запис в елементарних функціях деяких плоских кривих (наприклад, евольвенти кола, циклоїди, логарифмічної спіралі та ін.), а для просторових - тільки ліній укосу, для яких відношення кривини до скруту є величиною сталою. При інших залежностях не вдається знайти розв'язок в елементарних функціях для координатної форми запису.

По - друге, використання підходів натуральної геометрії довгий час стримувався відсутністю ефективної обчислювальної техніки. Знаходження координат точок ліній і поверхонь потребує великої кількості обчислювальних операцій. І навіть при появі швидкодіючих обчислювальних машин мало що змінилося. Адже сполучення точок за їх координатами у лінію ручним способом забирало дуже багато часу і проблеми не розв'язувало.

По - третє, поява механічних пристроїв (графопобудувачів) була великим кроком вперед у вирішенні питання візуалізації, але все-таки повністю його не розв'язувала, оскільки швидкість виконання графічних побудов у них обмежена в силу фізичних можливостей пересування каретки з пером і в багато разів менша від швидкості обчислень. Такими пристроями доцільно користуватися при побудові остаточних, чистових рисунків. Коли ж іде пошук потрібних форм, важливо мати пристрій для побудови кривих і поверхонь, котрий встигав би за швидкістю проведення обчислень.

На сучасному етапі розвитку комп'ютерної техніки така можливість з'явилася. Велика графічна спроможність моніторів ПЕОМ дозволяє буквально миттєво одержувати на екрані рисунки ліній і поверхонь високої якості. При цьому побудова здійснюється із такою точністю, яку вручну досягти практично неможливо.

Таким чином, виникла необхідність звернутися до проблеми розвитку прикладної геометрії ліній і поверхонь на основі підходів натуральної геометрії в поєднанні із методами їх координатного опису та теорією зображень. Можливість її вирішення забезпечується сучасною комп'ютерною технологією досліджень та оперативною візуалізацією результатів. Підставою для теоретичних розробок по темі послужили ті невирішені практичні питання конструювання ліній і поверхонь на основі натуральних параметрів, які автор виявив під час аналізу літератури. Ці параметри повинні ув'язуватися із показниками технологічного, функціонального характеру, які мають бути закладені в нові геометричні моделі конструйованих ліній і поверхонь. Обгрунтування необхідності проведення досліджень зумовлене значущістю проблеми і сприятливими умовами в розвитку машинних засобів для їх здійснення.

Актуальність роботи. Методи натуральної геометрії дозволяють вивчати властивості кривих ліній і поверхонь за їх натуральними рівняннями, не маючи при цьому візуального зображення даних об'єктів. Якщо досліджувана поверхня за своїми внутрішніми властивостями відповідає певним вимогам і її необхідно відтворити, (що є практичною задачею), то може виявитися, що цього зробити традиційними методами взагалі неможливо. Пояснюється це тим, що перехід від рівнянь поверхні в системі супровідного тригранника напрямної кривої до рівнянь у нерухомій системі координат зв'язаний із інтегруванням диференціальних рівнянь, які в більшості випадків не можуть бути доведені до кінцевого вигляду. Ця проблема постала давно і для її рішення пропонувались різні підходи, зокрема графоаналітичні методи відтворення кривих. Вони розраховані на ручну побудову і є трудомісткими, тому на сучасному етапі розвитку прикладної геометрії уже не можуть повною мірою задовольняти потреби практики, хоча у свій час відіграли важливу роль у розвитку прикладної геометрії поверхонь. Необхідність розробки моделей поверхонь, описаних через їх внутрішні параметри викликана ще й тим, що дозволяє розв'язувати задачу їх неперервного згинання. Адже при згинанні поверхні її внутрішні властивості не змінюються і це можна використати під час створення моделей згинання як розгортних, так і нерозгортних поверхонь. На відміну від розгортних поверхонь, згинання яких досить добре висвітлено в літературі, нерозгортні в даному відношенні потребують подальших досліджень, які мають практичне значення для вдосконалення технології виготовлення форм згинанням. Таким чином, дисертаційна робота спрямована на усунення зазначених перешкод шляхом розробки нових моделей та поєднання досягнень натуральної і прикладної геометрії з можливостями сучасних ПЕОМ.

Зв'язок з науковими програмами, планами, темами. Дослідження велись за темою роботи кафедри нарисної геометрії та інженерної графіки НАУ “Конструювання поверхонь технічних форм та їх автоматизоване проектування” у відповідності з галузевими НДР. Наукові пошуки стосовно взаємодії поверхонь робочих органів із грунтовим середовищем проводились у рамках теми “Дослідження напружено - деформованого стану грунтового напівпростору з метою забезпечення наперед заданих показників якості обробітку грунту при мінімальних енерговитратах” (№ держреєстрації 0196U005216).

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є розробка теоретичних основ конструювання поверхонь із заданими внутрішніми властивостями та їх перетворення на основі неперервного згинання. Досягнення мети роботи пов'язане із розв'язанням наступних задач.

1. Виконати порівняльний аналіз геометричної і кінематичної природи руху супровідного тригранника просторових кривих і ліній поверхні та встановити зв'язок між диференціальними характеристиками поверхні і кінематичними компонентами руху супровідного тригранника кривої на ній.

2. Розробити метод побудови плоских і просторових кривих за заданими натуральними рівняннями на основі кінематичного підходу моделювання руху тригранника Френе і встановити обмеження на його рух для одержання окремих випадків кривих ліній.

3. З'ясувати кінематику супровідного тригранника Дарбу кривої на поверхні та його зв'язок із тригранником Френе. На основі цього розробити метод конструювання лінійчатих косих і розгортних поверхонь за заданою напрямною кривою, яка для поверхні може бути спеціальною лінією.

4. За допомогою тригранника Френе із криволінійною твірною в його системі розробити моделі конструювання нелінійчатих поверхонь за заданою напрямною, для яких сім'ї координатних ліній були б ортогональними, спряженими або лініями кривини.

5. Розробити геометричні моделі неперервного згинання лінійчатих розгортних і нерозгортних поверхонь на основі управління натуральними параметрами напрямної кривої та взаємозв'язку тригранників Френе і Дарбу. Показати можливість апроксимації нелінійчатих поверхонь, що допускають неперервне згинання модулями торсів за умови забезпечення їх сумісного згинання.

6. Розробити геометричні моделі неперервного згинання нелінійчатих поверхонь кінематичного формоутворення (переносу, обертання, із гвинтовим та ротативним рухом твірних).

7. Проаналізувати формоутворення циклічних поверхонь і створити методи побудови каналових поверхонь в системі тригранника Френе напрямної кривої.

8. З'ясувати геометричну суть і закономірності вимушеного руху матеріальних частинок по поверхнях і на конкретних прикладах показати можливість розв'язання задачі знаходження поверхні, яка забезпечила б необхідну траєкторію руху частинок грунту по робочому органу.

9. Показати можливості використання отриманих результатів як при проектуванні конкретних технічних форм, так і в навчальному процесі при підготовці інженерів-конструкторів.

Наукова новизна одержаних результатів.

1. Впереше в прикладній геометрії в якості теоретичної основи побудови і візуалізації плоских і просторових ліній за натуральними рівняннями запропоновані кінематичні способи моделювання руху тригранника Френе:

- як сукупності повороту навколо миттєвої осі обертання, що проходить через початок координат тригранника, і поступального переміщення вздовж орта дотичної;

- як сукупності гвинтового руху навколо миттєвої осі обертання, яка не

проходить через початок координат тригранника із одночасним ковзанням вздовж неї;

- на основі встановленого взаємозв'язку тригранників Френе і Дарбу при русі по лінії на поверхні.

Ці способи дозволяють управляти кривиною і скрутом кривих і використовувати ці можливості як базу при розробці методів конструювання поверхонь на основі натуральних параметрів.

2. Дістав подальший розвиток метод конструювання поверхонь при русі твірної, зв'язаної із тригранником Френе напрямної лінії. При цьому:

- для лінійчатих поверхонь встановлено взаємозв'язок між натуральними параметрами напрямної кривої і положенням прямолінійної твірної, за якого напрямна буде геодезичною, асимптотичною або лінією кривини нерозгортної чи розгортної поверхні;

- для нелінійчатих поверхонь із твірною незмінної форми знайдено закон її переміщення в триграннику, за якого поверхня буде представлена сіткою спряжених ліній або ліній кривини;

- для циклічних поверхонь встановлено взаємозв'язок між величиною кола змінного радіуса, його розташуванням в триграннику і натуральними параметрами напрямної кривої, за якого поверхня буде представлена сіткою ортогональних ліній або буде каналовою.

3. Вперше запропоновано моделі неперервного згинання нерозгортних поверхонь в комп'ютерній реалізації з отриманням зображень дискретного ряду згинань. При цьому:

- для лінійчатих поверхонь показано, що згинання розгортних і нерозгортних поверхонь здійснюється вздовж прямолінійних твірних на основі спільних математичних залежностей натуральних параметрів;

- для різьблених поверхонь Монжа і поверхонь переносу згинання відбувається за рахунок деформації напрямної і твірної плоских кривих за знайденими натуральними рівняннями;

- для поверхонь обертання згинання здійснюється на основі ортогональної сітки паралелей і меридіанів, яка зберігається при перетворенні поверхні у гвинтову зміною її кроку.

4. Теореми і аналітичні залежності, які розвивають теорію конструювання поверхонь та їх неперервного згинання на основі натуральних параметрів.

Практичне значення одержаних результатів:

розроблені методи побудови просторових кривих за заданими натуральними рівняннями відкривають широкі можливості в розвитку прикладних питань натуральної геометрії;

реалізація запропонованих моделей поверхонь засобами машинної графіки збагатила диференціальну геометрію за рахунок візуалізації зображень, причому деякі поверхні мають ще й естетичне значення;

моделі неперервного згинання поверхонь у теоретичному плані дали можливість зробити процес згинання наочним за рахунок комп'ютерної анімації, а в практичному - служать основою для створення нових технологій виготовлення тонкостінних форм згинанням;

на основі аналізу геометричної суті згинання окремих груп нелінійчатих поверхонь вказано напрям, в якому має йти пошук інших поверхонь, що допускають неперервне згинання;

розглянуті питання примусового руху частинок грунту по поверхнях робочих органів дають можливість вести проектування грунтообробних знарядь за бажаною траєкторією руху частинок.

На основі одержаних результатів досліджень запропоновані методики і рекомендації прикладного характеру, ефективність яких підтверджена впровадженнями в наукові, виробничі і навчальні заклади:

- стосовно проектування робочих органів за заданою траєкторією руху частинок грунту - на заводі “Агромаш” (м. Київ), в Інституті садівництва УААН (м. Київ), в Інституті механізації та електрифікації сільського господарства Української академії аграрних наук (Глеваха Київської обл.), у навчальний процес НАУ (м. Київ);

- стосовно виготовлення робочих органів згинанням тонкостінних заготовок - на державному підприємстві “Агробудсервіс” (м. Київ), на заводі “Уманьсільмаш” (м. Умань Черкаської обл.);

- стосовно автоматизованого проектування поверхонь і побудови їх розгорток - у навчальний процес НАУ (м. Київ) і Ніжинський агротехнічний коледж (Чернігівська обл.).

Особистий внесок здобувача в співавторських публікаціях полягає у розробці наступних питань:

- застосування тригранників Френе і Дарбу для дослідження руху матеріальних частинок по поверхнях із постійною швидкістю;

- принципові схеми і теоретичне обгрунтування пристрою для виготовлення гвинтоподібних ножів згинанням заготовки та подрібнюючого барабана силосозбиральних машин.

Апробація результатів дисертації. Основні положення та робота в цілому пройшли апробацію на: десятому Всесоюзному науково-методичному семінарі “Інженерна і машинна графіка” (м. Полтава, 1991р.); Всеукраїнській науково-методичній конференції “Геометричне моделювання. Інженерна та комп'ютерна графіка” (м. Харків, 1993р.); п'ятій міжнародній конференції “New leading-edge technologies in machine building” (м. Харків, 1996р.); міжнародних щорічних науково-практичних конференціях “Сучасні проблеми геометричного моделювання” (м. Мелітополь, 1997 - 1999 р.р.); міжвузівських науково-технічних семінарах “Прикладна геометрія, інженерна та комп'ютерна графіка” загальнотехнічного відділення Академії наук вищої школи України (1996 - 1999 р.р.); щорічних наукових конференціях Національного аграрного університету (1992-2000 р.р.).

Публікації. За темою дисертації опублікована 41 робота (32 статті в збірках праць, 3 статті в журналах, 4 - в матеріалах і тезах конференцій, 2 є авторськими свідоцтвами на винахід). Основний зміст і результати досліджень висвітлені в 24 публікаціях у фахових виданнях, з них 21 опублікована одноосібно.

Дисертація складається із вступу, 6 розділів, висновків, списку використаних джерел із 249 найменувань та двох додатків. Загальний обсяг роботи становить 332 стор. (із них основної частини 294 стор., 38 стор. із рисунками).

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі розкрито сутність і стан наукової проблеми, її теоретичну та прикладну значущість, обгрунтовано необхідність проведення досліджень. Сформульована мета і задачі дослідження, показана наукова новизна і практичне значення одержаних результатів.

У першому розділі наводиться сучасна трактовка терміну “внутрішня” або “натуральна” геометрія, на яку спираються проведені дослідження. Висвітлюється історичний розвиток і формування внутрішньої геометрії в окремий розділ. Показано вклад видатних вчених у становлення внутрішньої геометрії, починаючи із Л.Ейлера. Окрема увага приділяється працям французьких математиків Ф.Френе, А.Серре, Г.Дарбу за їх внесок у дослідження супровідних тригранників кривих, у системі яких ведуться дослідження у всіх розділах дисертаційної роботи.

Проведений аналіз сучасного стану використання здобутків натуральної геометрії визначив напрям досліджень роботи. Аналіз праць із прикладної геометрії показав, що автоматизація геометричного моделювання є невід'ємною складовою всіх напрямів досліджень. Її динамічний розвиток стимулює впровадження нових підходів у розв'язання існуючих проблем, позитивно впливає на проведення досліджень в цілому. Розробка питань автоматизації пов'язана із працями Ю.І.Бадаєва, А.Г.Горелика, С.М.Грибова, А.С.Дехтяря, І.І.Котова, В.М.Найдиша, В.С.Полозова та ін. Серед праць українських вчених в даній області добре відомі дослідження професора К.О.Сазонова, під керівництвом якого створена САПР “Intear”. Поєднання можливостей сучасних ПЕОМ із методами натуральної геометрії створює передумови ефективного розв'язання прикладних задач, зокрема згинання поверхонь, що і зумовило вибір теми роботи.

Теоретичною базою для проведення досліджень послужили праці із диференціальної та прикладної геометрії:

- із теорії кривих ліній і поверхонь - Г.Дарбу, Ф.Дюпена, Ф.Френе, Ф.Іоахімсталя та ін;

- із конструктивної теорії методів зображень - С.М.Колотова, Л.М.Куценка, В.С.Обухової та ін.;

- із методів конструювання поверхонь архітектурних і технічних форм - В.В.Ваніна, Г.С.Іванова, С.М.Ковальова, В.Є.Михайленка, В.О.Надолинного, В.С.Обухової, В.А.Осипова, А.М.Підкоритова, А.В.Павлова, О.Л.Підгорного, М.М.Рижова, І.А.Скидана, А.М.Якубовського та ін.;

- із класичної теорії згинання поверхонь - Ж.Бура, Ф.Гаусса, М.М.Лузіна, Ф.Г.Міндінга, Б.К.Млодзєєвського, К.М.Петерсона, С.П.Фінікова та ін.;

- із землеробської механіки стосовно взаємодії грунтового середовища із робочими органами - В.П.Горячкіна, П.М.Василенка, Л.В.Гячева, В.І.Корабельського, П.М.Заїки, М.М.Лєтошнєва та ін.

Із робіт прикладної геометрії найбільш близькими до теми проведених досліджень є:

- за обсягом застосування апарата диференціальної геометрії - роботи В.В.Ваніна, І.А.Скидана;

- за практичним застосуванням згинань розгортних і нерозгортних поверхонь - роботи В.Я.Булгакова, В.А.Григор'єва, Д.Д.Джанабаєва, А.З.Джакашева, О.Л.Мартиросова, Л.А.Павлової та ін.

Із результатів огляду літератури виділено питання побудови просторової кривої, заданої натуральними рівняннями кривини k=k(s) і скруту =(s) у функції параметра s - довжини дуги кривої, яке має важливе значення для подальших досліджень із конструювання ліній і поверхонь. Напрям радіус-вектора точки кривої у нерухомій системі координат можна визначити трьома кутами Ейлера , , і , які зв'язані із кривиною k і скрутом залежностями:

(1)

За умови, що кути =(s), =(s), і =(s), що входять до рівнянь (1), відомі, можна знайти координати точок кривої інтегруванням залежностей:

(2)

Однак диференціальні рівняння (1), куди входять вирази кутів Ейлера, розв'язати неможливо, тому що в кожне з цих рівнянь входить невідома залежність одного із кутів. Спеціальною підстановкою Дарбу система рівнянь (1) зводиться до диференціального рівняння Ріккаті, яке в загальному випадку не розв'язується у квадратурах. Для його інтегрування необхідно знати один будь-який частковий розв'язок. Таким чином задача знаходження параметричних рівнянь просторової кривої за заданими натуральними рівняннями не є елементарною.

Другий розділ присвячений обгрунтуванню і розробці кінематичних способів побудови плоских і просторових кривих за заданими натуральними рівняннями. Ці способи для подальших досліджень є єдиною теоретичною основою конструювання, згинання та вдосконалення технології виготовлення технічних форм. Крива, задана натуральними рівняннями, є напрямною лінією для побудови поверхні на основі внутрішніх параметрів. Натуральні рівняння k=k(s) і =(s) задають криву однозначно і не залежать від її положення в просторі. В кожній точці кривої цілком визначено можна побудувати супровідний тригранник Френе. Рухаючись вздовж дуги кривої, тригранник у загальному випадку в кожен момент часу здійснює гвинтовий рух, тобто обертається навколо миттєвої осі і одночасно ковзає вздовж неї з певними швидкостями. Ці швидкості (кутова і поступальна) повністю обумовлені значенням кривини і скруту в даній точці кривої. Цей факт взято за основу моделювання руху супровідного тригранника в просторі за заданими натуральними рівняннями k=k(s) і =(s) і від- творення самої кривої в декартовій системі координат, як траєкторії руху вершини тригранника. В роботі встановлено, що вектор миттєвої осі обертання і ковзання знаходиться в площині, паралельній спрямній площині тригранника, нахилений до стичної площини під кутом і перетинає орт головної нормалі кривої на відстані ООо від вершини тригранника (рис.1). Кут і відстань ООо визначаються через кривину і скрут кривої в даній точці:

(3)

Величина кутової швидкості (модуль вектора ) і поступальної швидкості ковзання відповідно рівні:

(4)

Паралельним перенесенням вектора миттєвої осі обертання у початок координат гвинтовий рух тригранника розкладається на два: обертальний - навколо нового положення вектора миттєвої осі обертання і поступальний - вздовж орта дотичної. Величина кутової швидкості при цьому не змінилася, а швидкість поступального руху стає рівною одиниці (роль часу відіграє довжина дуги s). Якщо припустити, що на досить малому відрізку кривої s кривина і скрут постійні, то тоді напрям (кут ) і модуль вектора кутової швидкості не будуть змінюватися під час рівномірного руху тригранника по кривій в межах дуги s. Загальне переміщення тригранника в межах дуги s буде складатися із повороту його навколо вектора на кут і поступального руху вздовж орта дотичної на величину s. Для моделювання руху тригранника крива розбивається на окремі ланки як завгодно малої величини s, кривина і скрут на яких вважаються постійними. Їх величина для кожного наступного значення s визначається із натуральних рівнянь k=k(s) і =(s). Рух тригранника моделюється почерговим поворотом і поступальним переміщенням для кожної ланки s. Схема алгоритму побудови просторової кривої за заданими натуральними рівняннями показана на рис.2. Вихідними даними є: число ланок N, величина окремої ланки s, початкове значення дуги so і координати та напрямні косинуси розташування тригранника в нерухомій системі координат. Порядок обчислень наступний:

- при заданому значенні дуги s за заданими натуральними рівняннями знаходять числові значення кривини і скруту;

- визначають величину кутової швидкості і розташування вектора миттєвої осі обертання у триграннику Френе, а потім - у нерухомій системі координат;

- обчислюють величину кута повороту ;

- здійснюють поворот навколо осі на кут і знаходять нове положення тригранника Френе в нерухомій системі координат;

- до кінця останньої ланки ламаної відкладають відрізок довжиною s у напрямі орта дотичної і визначають координати його кінця в нерухомій системі координат;

- до поточного значення дуги s додають s і всі обчислення повторюють.

На екрані монітора відбувається з'єднання кінців ланок відрізками прямих. При належній величині s конструйована ламана виглядає бездоганною кривою. При =0 згідно приведеного алгоритму будується плоска крива. На рис.3 побудовані деякі плоскі криві із синусоїдною залежністю кривини k=asin(bs)+c при різних значеннях сталих a, b, c.

Серед просторових кривих розглянуто побудову ліній, що відносяться до спеціальних класів. На рис.4 деякі із них показані в проекціях. Це лінії постійної кривини (рис.4,а - скрут прямо пропорціональний довжині дуги), постійного скруту (рис.4,б - кривина оберено пропорціональна довжині дуги), укосу (рис.4,в -кривина і скрут прямо пропорціональні довжині дуги, =const), постійної повної кривини та ін. Розглянуті деякі сферичні криві та криві на поверхнях обертання. Знайдені, зокрема, натуральні рівняння кривої, що належить круговому циліндру:

(5)

де R - радіус циліндра; - кут між кривою і паралеллю циліндра. При будь-якій залежності =(s) рівняння (5) дають циліндричну лінію. На рис.4,г побудована крива для лінійної залежності =(s). Криві побудовані за допомогою програми, написаної мовою Turbo Pascal 5.5.

В третьому розділі розроблено геометричні моделі лінійчатих і нелінійчатих поверхонь кінематичного формоутворення у системі супровідного тригранника Френе напрямної кривої. Напрямна крива будується за алгоритмом, розробленим у другому розділі. Твірна лінія постійної форми (пряма, крива) або ж коло змінного радіуса закріплюється певним чином у системі тригранника Френе і під його руху по напрямній утворюється поверхня. В такому випадку з'являється можливість будувати супровідний тригранник Дарбу для лінії на поверхні (наприклад, напрямної), у якого два орти знаходяться в площині, дотичній до поверхні, а третій - направлений по нормалі до неї. Орти дотичних до напрямної тригранників Френе і Дарбу співпадають (), а між ортами нормалі до поверхні і бінормалі кривої утворюється певний кут (рис.5). Цей кут можна характеризувати, як кут між площиною, дотичною до поверхні, і стичною площиною напрямної кривої. При русі тригранників по напрямній кривій кут в загальному випадку змінюється (якщо напрямна крива - геодезична лінія поверхні, то =900, асимптотична - =00). Рух тригранника Дарбу відрізняється від руху тригранника Френе тим, що одержує додаткову швидкість обертання навколо дотичної , величина якої рівна Таким чином, швидкість обертання навколо орта дорівнює сумі двох обертань: ; ця величина носить назву геодезичного скруту кривої. Розкладання вектора кутової швидкості тригранника Френе навколо бінормалі , модуль якого чисельно рівний кривині k напрямної кривої, на орти і дає ще дві складові відповідно: kг=kcos (геодезична кривина) і kн=ksin (нормальна кривина). Координати вектора миттєвої осі обертання тригранника Дарбу (рис.5) і величина кутової швидкості запишуться:

(6)

В роботі розглянута також кінематика тригранника Дарбу під час його руху по лініях кривини поверхонь, а також по сферичних і циліндричних кривих.

При конструюванні лінійчатих поверхонь прямолінійна твірна закріплюється в системі тригранника Френе за допомогою двох кутів і (рис.6), які є функціями довжини дуги s напрямної. Якщо твірну віднести до тригранника Дарбу, то для визначення її положення достатньо одного кута , тому що твірна знаходиться в площині, дотичній до поверхні, тобто в координатній площині тригранника Дарбу. Векторне рівняння поверхні в системі тригранника Френе (в роботі розглянуто також рівняння поверхні в системі тригранника Дарбу) і його частинні похідні запишуться:

(7)

де - радіус-вектор точки поверхні; - радіус-вектор точки напрямної кривої; u - довжина прямолінійної твірної (другий змінний параметр поверхні); - напрямний вектор прямолінійної твірної. Його координати в системі тригранника Френе і координати вектора (диференціювання здійснюється по параметру s за відомими формулами Серре-Френе) мають вигляд:

(8)

Коефіцієнти першої квадратичної форми лінійчатої поверхні із врахуванням (7) і (8) будуть:

(9)

Розглянуті нерозгортні лінійчаті поверхні, для яких напрямна крива є спеціальною лінією (геодезичною, асимптотичною, кривини, стрикційною).

Показано конструювання розгортних поверхонь (торсів). Найпростіший випадок - напрямна крива є ребром звороту. В цьому випадку напрямний вектор прямолінійної твірної співпадає із ортом дотичної (). На рис.7,а за допомогою розробленої програми побудований відсік торса, обмежений ребром звороту і його евольвентою (u=-s). Якщо у вихідні дані програми ввести , то вона будує розгортку (рис.7,б). Інший випадок - напрямна крива не є ребром звороту. Тоді між параметрами k, , , встановлюється залежність:

(10)

Для побудови ребра звороту виведені відповідні рівняння. Координати точки ребра звороту по напрямках в триграннику Френе знаходяться для конкретної точки напрямної:

(11)

На рис.8,а побудований торс, у якого напрямною лінією є коло і кут змінюється за лінійним законом; на рис.8,б напрямна крива теж плоска, а =const. В обох випадках виконується залежність (10), а точки ребра звороту знаходяться за рівняннями (11). Розглянуто також конструювання лінійчатих поверхонь сім'ями ортогональних ліній. Для цього необхідно, щоб прямолінійна твірна знаходилась у нормальній площині тригранника Френе, тобто потрібно задати =900. Для розгортної поверхні напрямна крива для даного випадку буде лінією кривини, а на закономірність зміни кута накладається обмеження: ds+o. Як приклад, розглянуто торс, у якого лінією кривини є гвинтова лінія. Рівняння торса, його ребра звороту і розгортки одержані в нерухомій системі координат, тобто показана можливість переходу від системи супровідного тригранника до системи OXYZ (у тому випадку, коли напрямна крива задана у декартовій системі координат).

Запропоновано метод конструювання нелінійчатих поверхонь сім'ями ортогональних ліній.

Для цього систему Oxyz із кривою z=z(u); y=y(u) суміщають із тригранником Френе, як показано на рис.9. При русі тригранника Френе по напрямній кривій разом із системою Oxyz крива z=z(u); y=y(u) опише певну нелінійчату поверхню.

Показано, що для того, щоб множина положень криволінійної твірної z=z(u); y=y(u) утворила ортогональний каркас із траєкторіями своїх точок, необхідно, щоб вона поверталася в нормальній площині напрямної на кут ds.

У такому випадку сім'ї взаємно ортогональних ліній будуть лініями кривини, а сама поверхня - різьбленою поверхнею Монжа. Її векторне рівняння в системі супровідного тригранника Френе буде:

(12)

Плоска твірна є незмінної форми, тому вона не залежить від параметра s, а залежить тільки від параметра u.

Зважаючи на це, а також на те, що , частинні похідні і коефіцієнти першої квадратичної форми поверхні (12) будуть:

 (13)

На рис.10,а показана різьблена поверхня Монжа, у якої напрямною кривою служить конічна лінія укосу, а твірною - парабола. Поверхня побудована в системі AutoCAD за допомогою мови програмування AutoLisp. Якщо за твірну криву взяти коло постійного радіуса, то конструйована поверхня буде трубчастою. У випадку, коли твірною є коло змінного радіуса, ортогональність сітки координатних ліній зберігається, але координатні лінії не будуть лініями кривини.

Теорема. Якщо коло змінного радіуса рухається вздовж просторової кривої так, що воно лежить у нормальній площині супровідного тригранника, центр знаходиться на кривій і саме коло при русі тригранника одночасно повертається навколо орта дотичної на кут =-ds, (де =(s) - скрут, s - довжина дуги кривої), то множина положень кола і траєкторії його точок утворять каркас ортогональних ліній.

Дана теорема справедлива і для плоских напрямних. У такому випадку кут =0. На рис.10,б побудована циклічна поверхня, у якої напрямною кривою є коло, а радіус твірного кола змінюється по синусоїдному закону. Поверхня подібна до цикліди Дюпена, але не є нею. В розділі розглянуто також конструювання поверхонь сім'ями спряжених ліній. Для цього твірна крива постійної форми закріплюється в площині, яка утворює із нормальною площиною тригранника певний кут (рис.11,а). Показано, що при русі тригранника по плоскій напрямній кривій площина Oyz, в якій знаходиться твірна, відхиляється від нор-мальної площини на кут , залишаючись весь час паралельною самій собі. Це відомий спосіб утво-рення поверхонь переносу. Доведено, що даний спосіб справедливий і для циклічних поверхонь із твірним колом змінного радіуса. На рис.11,б показана циклічна поверхня, утворена рухом кола по параболі. Сітка координатних ліній поверхні спряжена.

Четвертий розділ присвячений розробці моделей неперервного згинання лі-нійчатих і нелінійчатих поверхонь кінематичного формоутворення на основі раціо-нального управління натуральними параметрами. Термін “неперервне згинання” оз-начає, що між початковим і кінцевим положенням поверхні при її деформації можна побудувати скільки завгодно проміжних положень. Це дозволило зробити процес згинання наочним за допомогою комп'ютерної анімації. Найпростіше здійснити неперервне згинання розгортної поверхні зміною скруту її ребра звороту. Якщо ребром звороту є лінія укосу, то можна записати рівняння неперервного згинання торса в нерухомій системі координат та коефіцієнти першої квадратичної форми:

(14)

де k=k(s) - натуральне рівняння горизонтальної проекції ребра звороту; - кут підйому ребра звороту (нахилу твірних); s, u - змінні параметри (довжина дуги і прямолінійної твірної відповідно). При згинанні поверхні коефіцієнти першої квадратичної форми поверхні не змінюються. Так як в їх вирази не входить кут , то він є параметром згинання. Зменшуючи кут на певну величину, можна одержати за формулами (14) сім'ю поверхонь - згинань вихідної аж до розгортки (при =00). В розділі розглянуто також згинання торсів деформацією напрямної кривої, яка не є ребром звороту. Згинання нерозгортних лінійчатих поверхонь розглянуто на ортогональній і косокутній сітках координатних ліній. Ортогональною сітка буде тоді, коли прямолінійна твірна буде знаходитись у нормальній площині супровідного тригранника, тобто при =900. Коефіцієнти першої квадратичної форми (9) поверхні в такому випадку значно спрощуються і приймають вигляд:

(15)

Коефіцієнти (15) при згинанні поверхні не повинні змінюватися. Цього можна добитися, змінюючи в добутку kcos окремі функції k=k(s) і =(s) так, щоб в цілому значення їх добутку не змінилося по всій довжині дуги s напрямної кривої. Аналогічно поступаємо відносно до суми , де нове значення функції =(s) тягне за собою зміну скруту =(s), не змінюючи самої суми. Керувати процесом згинання можна зміною однієї із функцій , , k, що входять до виразу коефіцієнта G. Оскільки функцій три, то можливі три варіанти керування процесом згинання, кожен із котрих розглянуто на прикладі гвинтового коноїда.

Керування процесом згинання зміною кривини напрямної кривої. Задається нове значення кривини kзг= kзг(s), звідки знаходять нові функції зг=arccos(kcos/kзг) і зг=+зг. Найпростіший випадок - поверхня бінормалей (при =900), у вирази коефіцієнтів (15) якої не входить кривина k напрямної кривої, отже її зміною здійснюється керування згинанням. Для згинання поверхні бінормалей гвинтової лінії одержані параметричні рівняння:

 (16)

За рівняннями (16) на рис.12 побудовані згинання поверхні при різних значеннях кривини k гвинтової лінії. При k=0 напрямна гвинтова лінія перетворюється у пряму, а поверхня бінормалей - у гвинтовий коноїд.

Керування процесом згинання зміною кута між прямолінійною твірною поверхні і головною нормаллю напрямної кривої. Задається нова закономірність зміни кута зг=зг(s), звідки знаходять нові функції kзг=kcos/cosзг і зг=+зг.

При згинанні поверхні прямолінійна твірна змінює своє положення в триграннику Френе, залишаючись у нормальній площині, тобто кут між напрямною кривою і прямолінійною твірною не змінюється і залишається рівним 900. Для випадку гвинтового коноїда кут =00 (поверхня головних нормалей гвинтової лінії). При зг=const поверхня зігнеться і перетвориться у поверхню нормалей гвинтової лінії; при збільшенні кута зг поверхня “скручується”, наближаючись до прямої лінії. Для згинання поверхні нормалей гвинтової лінії одержані параметричні рівняння:

 (17)

За рівняннями (17) на рис.13 побудовані згинання поверхні при різних значеннях кута зг: починаючи від зг=00 (гвинтовий коноїд) і закінчуючи зг=600.

Керування процесом згинання зміною скруту напрямної кривої. Задається нова залежність скруту напрямної кривої зг=зг(s), звідки знаходять нові функції зг=+ds-згds; kзг=kcos/cos(+ds-згds). Для гвинтового коноїда дані залежності запишуться: зг=c - const; зг=(-c)s; kзг=k/cos[(-c)s]. При c= одержимо вихідну поверхню - гвинтовий коноїд. При с=0 одержимо згинання коноїда, в якому гвинтова лінія перетворюється в плоску криву. Зменшуючи скрут напрямної кривої від с= до с=0 можна спостерігати поступове згинання коноїда із переходом гвинтової лінії в плоску криву (рис.14,а). Згинання коноїда при зростанні скруту напрямної кривої показано на рис.14,б.

Далі в розділі показано згинання поверхонь на косокутній сітці. Щоб спростити вираз коефіцієнта G в (9), розглянуто випадок, коли всі натуральні праметри k, , , - постійні величини, а також випадок, коли кут =900. При =900 у вихідній поверхні і під час її згинання прямолінійна твірна залишається у спрямній площині тригранника Френе. Коефіцієнти (9) приймають наступний вигляд: E=1; F=cos; G=1+u2(sin - kcos)2. Залежність =(s) змінювати не можна, тому що кут є кутом між напрямною кривою і прямолінійною твірною поверхні і при згинанні не змінюється. Тому, прирівнявши вираз у дужках sin -kcos = згsin - kзгcos до і після згинання, одержимо: kзг=(зг-)tg+k. На основі сказаного одержано параметричні рівняння згинання поверхні, у якої напрямною кривою є гвинтова лінія із вихідними параметрами і k:

(18)

Параметром згинання в (18) є величина скруту зг напрямної гвинтової лінії. При зг=0 рівняння (18) опишуть поверхню однопорожнинного гіперболоїда обертання, а при зг= - kctg - косий закритий гелікоїд. Задаючи зг у вказаних межах, одержимо проміжні згинання поверхні (рис.15). Як видно із рисунка, при певному значенні зг косий гелікоїд може бути зігнутий на прямий відкритий гелікоїд (зображення в центрі). При =0 рівняння (18) опишуть згинання торса-гелікоїда. Одержано узагальнені рівняння згинання поверхонь, у яких напрямною кривою служить крива укосу:

(19)

де , k=k(s) - натуральне рівняння горизонтальної проекції напрямної кривої; зг - кут підйому напрямної кривої - параметр згинання; =const. При зг=00 напрямна крива плоска; при зг=900 вона перетворюється в пряму лінію; при зг=- всі прямолінійні твірні стають горизонтальними прямими, тобто поверхня згинається на циліндроїд.

Теорема. Нерозгортну поверхню, утворену рухом прямолінійної твірної в спрямній площині плоскої напрямної кривої так, що пряма перетинає криву під постійним кутом, завжди можна зігнути в циліндроїд, а також в лінійчату поверхню, для якої напрямна крива перетворюється в пряму.

На рис.16 за рівняннями (19) побудовані згинання поверхні, починаючи із початкового положення (напрямна крива - плоска) і закінчуючи кінцевим (напрямна лінія - пряма). За горизонтальну проекцію лінії укосу взята евольвента кола, а довжина прямолінійної твірної рівна довжині дуги напрямної: u=s. У центрі - поверхня, зігнута на циліндроїд. У розділі наведені приклади неперервного згинання інших лінійчатих поверхонь.

...