Моделі кінцевого стану та їх застосування в задачах аналізу і синтезу систем керування

Размещено на http://www.allbest.ru/

СЕВАСТОПОЛЬСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора технічних наук

Моделі кінцевого стану та їх застосування у задачах аналізу і синтезу систем керування

05.13.03 - системи та процеси керування

ШУШЛЯПІН ЄВГЕНІЙ АНДРІЙОВИЧ

Севастополь-2002

Дисертацією є рукопис

Робота виконана на кафедрі технічної кібернетики Севастопольського національного технічного університету

Науковий консультант: доктор технічних наук, професор Барабанов О.Т., Севастопольський національний технічний університет, завідувач кафедрою технічної кібернетики

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор Александров Є. Є., Харківський національний технічний університет “ХПІ”, завідувач кафедрою колесних та гусеничних машин

доктор технічних наук, професор Потапенко Є.М., Запорізький національний технічний університет, професор кафедри електроприводу і автоматизації промислових установок

доктор технічних наук, професор Бідюк П.І., інститут прикладного системного аналізу Київського національного технічного університету “КПІ”, професор.

Провідна установа: Харківський національний університет радіоелектроніки, кафедра прикладної математики

Захист дисертації відбудеться “3” жовтня 2002 року о 13 годині, на засіданні спеціалізованої вченої ради по захисту кандидатських та докторських дисертацій Д50.052.02 в Севастопольському національному технічному університеті. З авторефератом можна ознайомитись у бібліотеці університету за адресою 99053, м. Севастополь, Студмістечко. Відгуки на автореферат у двох екземплярах, засвідчених печаттю, просимо відіслати на адресу: 99053, м. Севастополь, Студмістечко.

Автореферат розісланий “_27_”_серпня____2002 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Крамарь В.О.

АНОТАЦІЯ

Шушляпін Е.А. Моделі кінцевого стану та їх застосування в задачах аналізу і синтезу систем керування. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора технічних наук за фахом 05.13.03 - системи і процеси керування. - Севастопольський національний технічний університет, Севастополь, 2002.

Дисертація присвячена визначенню і застосуванням нового засобу опису термінальних динамічних диференціальних систем, названого як “модель кінцевого стану”. Моделі кінцевого стану будуються на основі перехідних матриць і так званих перемінних кінцевого стану, змістом яких є прогнозні значення кінцевого стану некерованого руху системи, що має деякий стан у поточний момент часу. Моделі кінцевого стану визначені для лінійних безперервних, лінійних безперервних з розривами рішень у задані моменти часу, нелінійних з диференційованими нелінійностями систем, які мають адитивні керуючі впливи і можуть мати додаткові алгебраїчні обмеження. На основі застосування моделей кінцевого стану отримані нові методи оптимального та термінального керування, коваріаційного аналізу та аналізу чутливості, в яких використовуються тільки елементи моделей кінцевого стану.

Ключові слова: динамічна система, багатомірна система, нелінійна система, оптимальне керування, термінальне керування, коваріаційний аналіз, аналіз чутливості, модель кінцевого стану, перемінна кінцевого стану, метод кінцевого стану.

АННОТАЦИЯ

Шушляпин Е.А. Модели конечного состояния и их применение в задачах анализа и синтеза систем управления. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук по специальности 05.13.03 - системы и процессы управления. - Севастопольский национальный технический университет, Севастополь, 2002.

Диссертация посвящена определению и применениям нового средства описания терминальных динамических дифференциальных систем, названного как “модель конечного состояния”. Модели конечного состояния строятся на основе переходных матриц и так называемых переменных конечного состояния, смыслом которых являются прогнозные значения конечного состояния неуправляемого движения системы, имеющей некоторое состояние в текущий момент времени. Модели конечного состояния определены для линейных непрерывных, линейных непрерывных с разрывами решений в заданные моменты времени, нелинейных с дифференцируемыми нелинейностями систем с аддитивными управляющими воздействиями и возможными дополнительными алгебраическими ограничениями. При этом использовано определение переходной матрицы для нелинейной системы и способ ее вычисления по модели состояния для дифференциальных систем с аддитивными управляющими воздействиями, полученные Алексеевым В.М. Нелинейные переходные матрицы, в отличие от линейных, зависят не только от двух временных аргументов, но и от текущего состояния. Модели конечного состояния относятся к классу функциональных моделей, формировать которые можно по данным экспериментов, минуя стадию длительного изучения физических законов функционирования системы и построения адекватной структурной модели. Представление систем моделями конечного состояния позволило поставить задачу получения методов анализа и синтеза систем управления в функциональной форме, где используются только элементы моделей конечного состояния. Достоинствами моделей конечного состояния для дифференциальных систем является их однородный вид для линейного и нелинейного случаев, строгое определение и простой способ перехода к ним от эквивалентной модели состояния. В частности, переменные конечного состояния, являющиеся функцией двух временных аргументов (тех же, что и в переходных матрицах) и текущего состояния, равны переменным состояния при одинаковых значениях указанных временных аргументов. В силу такого свойства терминальные задачи управления могут решаться посредством моделей конечного состояния.

На основе применения моделей конечного состояния получены:

функциональная форма оптимальной по квадратическому терминальному критерию амплитудно ограниченной скалярной обратной связи при управлении одной выходной координатой многомерной линейной нестационарной системы;

функциональная форма оптимального управления для линейно-квадратической задачи;

функциональная форма расчета матрицы параметрической чувствительности оптимального конечного состояния в частном случае линейно-квадратической задачи, когда целевая функция ее критерия не содержит интегрального члена, зависящего от текущего состояния;

новый метод терминального управления из класса методов для обратных задач динамики, имеющий функциональную форму; метод разработан для дифференциальных и дифференциально-алгебраических многомерных нелинейных систем с дифференцируемыми нелинейностями и аддитивными воздействиями, а также для линейных систем с разрывами решений в заданные моменты времени;

функциональная форма в виде системы конечно-разностных и дифференциальных уравнений алгоритма для расчета ковариационных матриц многомерных нелинейных систем с дифференцируемыми нелинейностями и белошумовым аддитивным воздействием;

Все разработанные методы и алгоритмы могут применяться и для структурных моделей объектов управления в виде моделей состояния.

Исследованы свойства метода конечного состояния в сравнении с известными методами оптимального и терминального управления, точность ковариационного анализа предлагаемым способом в сравнении с известными, вычислительные затраты предлагаемого способа расчета матрицы чувствительности в сравнении с известным, приведены примеры расчетов для всех разработанных методов.

На основе метода конечного состояния определены терминальные управления для одиннадцати объектов (до девятого порядка соответствующей системы дифференциальных уравнений) из разных областей техники и других сфер человеческой деятельности (электроэнергетики, гидромеханики, химической кинетики, организационного управления, управления движущимся объектом). Проведенные расчеты показали его высокую эффективность и практическое отсутствие вычислительных и других проблем при употреблении.

Ключевые слова: динамическая система, многомерная система, нелинейная система, оптимальное управление, терминальное управление, ковариационный анализ, анализ чувствительности, модель конечного состояния, переменная конечного состояния, метод конечного состояния.

ABSTRACT

Shushlyapin Е.А. Models of terminal state and their using for the problems of analysis and syntheses of control systems. - Manuscript.

A dissertation submitted for a Doctor of Science degree in technical sciences on speciality 05.13.03 - systems and processes of controlling. - Sebastopol national technical university, Sebastopol, 2002.

Dissertation is devoted to the determination and using a new facility of terminal dynamic differential system description, named “model of terminal state”. Models of terminal state are built on the base of transition matrixes and so called variables of terminal state having sense of predicted values of terminal state for uncontrolled moving of a system with a certain condition at a current moment. Models of terminal state are determined for linear continuous, linear continuous with solution breakups in given moments of time, nonlinear with differentiated nonlinearities systems, which have additive control and possible additional algebraic restrictions. On the base of using models of terminal state there were received new methods of optimum and terminal control, analysis of covariance and analysis of sensitivity, where only elements of terminal state models are used.

Keywords: dynamic system, multivariate system, nonlinear system, optimum control, terminal control, analysis of covariance, analysis of sensitivity, model of terminal state, variable of terminal state, method of terminal state.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Сучасні потреби техніки й інших сфер застосування теорії керування давно мають потребу в нових ідеях і відповідних теоретичних методах. Останнім часом стали навіть говорити про кризу сучасної теорії керування. Добре відомо, що незважаючи на велику кількість фахівців, що працюють в області теорії керування і наявність різноманітних методів загального і особистого характеру, на практиці в переважній більшості випадків використовуються найпростіші види керування за принципом зворотного зв'язку - так називані ПІД - регулятори і їхні алгоритмічні аналоги. Причина цього - прозорий фізичний зміст даного виду керування і його застосовність як до лінійних, так і нелінійних систем самого широкого класу. Можливі проблеми, що виникають при параметричному настроюванні ПІД - регуляторів, розв'язуються інженерними методами. Однак усі ці підходи призначені, по суті, тільки для керування сталими режимами систем з одномірним виходом. Цілеспрямоване ж керування перехідними процесами деякою мірою можливо лише в обмеженому класі лінійних і досить простих нелінійних систем. У складних же випадках часто використовується стратегія “обережного руху”, що зводиться до штучного забезпечення роботи системи в режимі малих відхилень, коли припустиме використання лінійних (і навіть стаціонарних) моделей і відповідних методів керування. Зазначена стратегія приводить, як правило, до сильного затягування перехідних процесів. У той же час існує багато задач, де керування перехідними процесами є основною метою. Приведемо цитату з огляду академіка Красовського А.А.: “...сучасна техніка вимагає граничного використання ресурсів, якщо не в штатних, то в аварійних ситуаціях”. До задач, де перехідні процеси визначають одну з головних якостей систем, відносяться комутація електроенергетичних установок, керування рухомими об'єктами, гідродинамічними системами й ін. На жаль, сучасна теорія керування пропонує занадто мало адекватних засобів. Одні з них мають досить універсальний характер, однак вимагають застосування трудомістких і ненадійних (з погляду гарантованого одержання результату) чисельних методів. До таких засобів відносяться алгоритми оптимального керування, які у більшості випадків не можуть застосовуватися для синтезу керувань у реальному часі. Інші методи мають особистий характер і вимагають попередньої дослідницької роботи з урахуванням властивостей конкретного об'єкта керування і розробці комплексних алгоритмів керування. При цьому широко використовуються різноманітні інженерні рішення з наступним параметричним підстроюванням. Таким чином, однією з причин відносно рідкого використання складних методів керування є відсутність відповідних практично придатних реалізацій для багатьох задач, особливо задач керування перехідними процесами.

Інша причина, на наш погляд, та, що більшість з відомих теоретичних методів спирається на математичні моделі структурного типу. Під структурними моделями тут розуміються моделі, при побудові яких відображаються в тій чи іншій формі елементи системи і зв'язки між ними, тобто структура системи. Такі моделі, як правило, є продуктом тривалих досліджень і будуються на основі фізичних і інших законів, а також апріорної інформації про структуру системи. Чимало часу потрібно і для їхнього підстроювання стосовно до конкретного об'єкта керування. Протилежний підхід, використовуваний у моделюванні, зв'язаний з безпосереднім відображенням тих функцій системи, що потрібні для задачі керування. Такі моделі називаються функціональними (мають місце й інші альтернативні назви - кібернетичні, типу “чорного ящику” і ін.). Функціональні моделі будуються на основі обробки експериментальних даних про вхідні впливи і відповідної реакції досліджуваного об'єкта методами, розроблювальними в теорії ідентифікації і теорії планування експериментів. Ідентифікація функціональних моделей відбувається досить швидко, іноді й у реальному часі. У той же час у теорії керування, особливо теорії нестаціонарних і нелінійних систем, мало орієнтованих на функціональні моделі методів.

Таким чином, недостатній арсенал методів теорії керування для задоволення сучасних потреб практики вимагає залучення і детальної розробки нових ідей, однієї з який є ідея переходу від структурних моделей до функціональних моделей на основі динамічних характеристик. Послідовна розробка цієї актуальної ідеї і є предметом дисертаційних досліджень.

Зв'язок з науковими програмами. Основна ідея роботи і перші теоретичні результати для лінійних нестаціонарних систем отримані при виконанні хоздоговірних НДР по спеціальній тематиці. Інші результати отримані при виконанні держбюджетних НДР і по особистій ініціативі. У НДР “Методи аналізу і синтезу багатомірних нестаціонарних функціонально складних процесів і систем” (шифр “Корунд”, номер державної реєстрації 0198U002904) автором виконані дослідження з матеріалів четвертого розділу дисертації і написаний розділ звіту. У НДР “Методи синтезу систем керування функціонально складними процесами й об'єктами” (шифр “Топаз”, номер державної реєстрації 0101U001179) увійшли результати досліджень першого розділу дисертації і також написаний розділ звіту.

Мета і задачі дослідження. Перераховані вище проблеми теорії керування частково можуть бути вирішені переходом до моделей на основі функціональних характеристик у виді перехідних матриць, які можуть бути ідентифіковані. Такі моделі для лінійних систем у принципі відомі давно, однак як самостійний засіб опису систем вони, наскільки нам відомо, не використовувалися. Для нелінійних же систем точні динамічні характеристики, аналогічні перехідним матрицям, широкому колу фахівців з теорії керування мабуть невідомі, незважаючи на те, що визначення і спосіб обчислення нелінійної перехідної матриці запропоновані давно.

Об'єкти досліджень:

термінальні системи керування з багатомірними математичними моделями, заданими системами нелінійних диференціальних рівнянь у нормальній формі Коші з диференційованими правими частинами й адитивними зовнішніми впливами;

термінальні системи керування з багатомірними математичними моделями, заданими системами лінійних диференціальних рівнянь з розривними в задані моменти часу рішеннями в нормальній формі Коші;

методи оптимального і термінального керування, аналізу чутливості.

Предмет досліджень: моделі функціонального типу, названі “моделями кінцевого стану” і їхнє застосування до різних задач керування, способи переходу від моделей стану до еквівалентних моделей кінцевого стану. Основними елементами таких моделей є перехідні матриці і так звані перемінні кінцевого стану, зміст яких - прогноз некерованого кінцевого стану системи. Моделі кінцевого стану для лінійних безперервних і безперервно-дискретних систем, а також для нелінійних безперервних систем із гладкими нелінійностями й адитивним керуванням визначені в першому розділі дисертації. Застосування моделей кінцевого стану для рішення деяких відомих задач керування дозволив одержати ряд нових результатів у вигляді функціональних форм оптимального і термінального керування, коваріаційного аналізу й аналізу чутливості. Зазначені функціональні форми містять тільки елементи моделей кінцевого стану, що у свою чергу залежать від поточних значень звичайних перемінних стану. Ці результати, а також результати їхнього застосування до конкретних систем викладені в наступних розділах дисертації.

Методами досліджень були математичний аналіз і комп'ютерне моделювання. Математичний аналіз спирався на теорію оптимального і термінального керування, теорію імовірностей і математичну статистику, теорію автоматичного керування, теорію електричних машин і апаратів, гідромеханіку. Комп'ютерне моделювання виконувалося на пакетах Турбопаскаль 7.0, Delphi, MathCad-2000, MatLab 5.3 з використанням чисельних методів інтегрування диференціальних рівнянь, матричної алгебри, нелінійного програмування, комп'ютерної графіки.

Наукова новизна отриманих результатів.

Отримані такі нові наукові результати.

Одержала подальший розвиток як засіб опису систем модель кінцевого стану, визначені її елементи, систематизовані основні властивості перемінних кінцевого стану як елементів моделі кінцевого стану. Моделі кінцевого стану відносяться до класу функціональних моделей, які ідентифікуються по реєстрованим вхідним впливам і відповідному відгуку вихідних координат і є протилежністю структурних моделей, створюваних на основі використання фізичних законів і відтворюючих структуру системи. Поставлено задачу розробки функціональних форм методів і алгоритмів аналізу і синтезу систем керування, у яких використовуються тільки елементи моделей кінцевого стану.

Розроблено методологію застосування моделей кінцевого стану і їхніх елементів у виводах і доказах при рішенні задач оптимального і термінального керування, коваріаційного аналізу й аналізу чутливості.

На основі відомого узагальнення формули Коші-Лагранжа на лінійні безперервно-дискретні системи вперше отримана модель кінцевого стану для лінійних систем з розривами рішень у задані моменти часу.

На основі застосування апарата принципу максимуму Понтрягіна до моделі кінцевого стану отримана функціональна редукція квадратичної задачі Майера для лінійної безперервної нестаціонарної системи з амплітудними обмеженнями на керування до задачі нелінійного програмування розмірності, рівної порядку диференціальних рівнянь моделі системи. Для особистого випадку цієї задачі - скалярного керування однією координатою, - вперше отримана функціональна форма оптимального керування як функції поточного стану, тобто синтезований зворотний зв'язок.

Уперше доведена еквівалентність релейного керування з відомим числом переключень і будь-якого обмеженого в тих же межах керування для кінцевого стану лінійних нестаціонарних систем із двома регульованими координатами; сформульована функціональна форма задачі нелінійного програмування обмеженої розмірності для визначення моментів переключення еквівалентного релейного керування.

На основі моделей кінцевого стану вперше отримана функціональна форма оптимального керування для загального випадку лінійно - квадратичної задачі; на основі однієї відомої функціональної форми для особистого випадку лінійно - квадратичної задачі отримані нові рівняння у функціональній формі для розрахунку матриці параметричної чутливості.

Розроблено новий метод термінального керування у функціональній формі, названий “метод кінцевого стану”, для трьох типів систем - безперервних нелінійних з диференціальними обмеженнями, безперервних нелінійних з диференціальними й алгебраїчними обмеженнями, лінійних безперервно-дискретних систем.

На основі методу кінцевого стану і введених критеріїв приводимості (у некласичному змісті) по кінцевому стану і на інтервалі отримані нові методи керування для сигнального самонастроювання (некласичної приводимості) по еталонній моделі у функціональній і структурній формах.

Уперше на основі використання моделей кінцевого стану отримані рівняння для коваріаційного аналізу нелінійних систем у функціональній безперервно-дискретній формі. У граничному випадку, при устрімленому до нуля кроці дискретизації, з функціональної форми випливає відома структурна форма, що є узагальненням методу Дункана для розрахунку коваріаційних матриць лінійних систем як функцій часу на нелінійні системи з гладкими нелінійними характеристиками й адитивним вхідним впливом типу білого шуму. Для отриманих форм, що включають додаткові члени у виді прямої і транспонованої матриць коваріацій між вектором стану і сумою нелінійних членів розкладань правих частин диференціальних рівнянь системи, досліджений вплив зазначених членів на точність аналізу, запропонований новий метод оцінювання зазначеної матриці у випадку диференційованих зовнішніх впливів.

Практичне значення отриманих результатів. Усі розроблені методи, доведені до чисельних алгоритмів і комп'ютерних програм, мають практичне значення і підтверджені комп'ютерним моделюванням, результати якого приведені у відповідних розділах дисертації. На прикладі задачі переслідування рухомої цілі проведено порівняння розроблених у дисертації двох методів оптимального і термінального керування з декількома відомими методами і показано, що розроблені методи з комплексу властивостей (точності, чутливості, енергії керування, універсальності) є найкращими серед порівнюваних. У розділах, присвячених запропонованому в дисертації методу кінцевого стану, визначені термінальні керування для одинадцяти об'єктів (до дев'ятого порядку відповідної системи диференціальних рівнянь) з різних областей техніки й інших сфер людської діяльності (електроенергетики, гідромеханіки, хімічної кінетики, організаційного керування, керування рухомими об'єктами). Проведені розрахунки показали його високу ефективність і практичну відсутність обчислювальних і інших проблем при вживанні. Зроблено порівняння результатів використання методу кінцевого стану і двох сучасних методів при моделюванні керованого електропривода. В існуючому виді метод готовий до широкого застосування як засіб розрахунку програмного керування. Для лінійних систем і досить простих нелінійних систем метод кінцевого стану може використовуватися для рішення задачі синтезу, тобто розрахунку зворотних зв'язків у реальному часі. Використання методу для синтезу керувань у складних нелінійних системах вимагає значних комп'ютерних потужностей, однак у принципі можливо на сучасних персональних і керуючих комп'ютерах. На практичних прикладах перевірені і розроблені в дисертації методи еквівалентної заміни довільного керування релейним, методи коваріаційного аналізу, розрахунку параметричної чутливості оптимального кінцевого стану в лінійно-квадратичній задачі.

Особистий внесок здобувача. Всі основні теоретичні результати отримані самостійно. У співавторстві виконані застосування методу кінцевого стану в електроенергетиці і хімічній кінетиці. Участь співавтора зв'язана з пошуком і обґрунтуванням моделей об'єктів керування, участю в розробці комп'ютерних програм і проведенні комп'ютерних експериментів. Крім того, співавтором запропонована одна задача дискретної корекції для застосування методу кінцевого стану в безперервно-дискретній формі.

Апробація результатів дисертації. Результати досліджень доповідалися на республіканській і чотирьох міжнародних конференціях - “Методологічні проблеми автоматизованого проектування і дослідження систем” (1987г), “Автоматика-96”, “Автоматика-2000”, “Автоматизація: проблеми, ідеї, рішення - 4 - 99”, “Диференціальні рівняння - 2000” у мм. Севастополі, Львові, Санкт-Петербурзі, на II Міжнародної школі-семінарі “Альтернативні підходи до дослідження систем” у 1997 році (м.Севастополь), на постійно діючому науковому семінарі при кафедрі технічної кібернетики СевНТУ в 1999, 2000, 2001, 2002 роках.

Публікації. За матеріалами дисертації опубліковано 3 тези і 23 статті, чотири з який переведені на англійську мову і видані в США. З них у журналах - 7, без співавторів - 16.

Структура й обсяг роботи. Дисертація складається з вступу, п'яти розділів, висновків і списку використаних джерел з 133 найменувань. Основна частина дисертації викладена на 311 сторінках, містить 36 ілюстрацій, 11 таблиць.

У вступі обговорюється актуальність теми, дається загальна характеристика роботи і коротко викладається зміст дисертації.

У розділі 1 роботи, що має назву “ТЕОРІЯ КЕРУВАННЯ І МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ СИСТЕМ”, проаналізований вплив засобів опису систем на коло формульованих на їхній основі задач керування й алгоритмів керування. Відзначено (з посиланням на оглядову статтю академіка Красовського А.А. у №4 за 2000р. журналу “Автоматика і телемеханіка”) наявність визначеної кризи теорії автоматичного керування, що виявляється в незатребуваності багатьох сучасних методів керування, що використовують математичні моделі об'єктів керування. Основними причинами кризи, на думку автора дисертації, є два: недостатні арсенали методів керування нелінійними системами і недолік часу і засобів у проектувальників багатьох систем керування на розробку адекватних математичних моделей.

Остання причина може бути усунута шляхом переходу від структурних моделей, на яких базується більшість методів аналізу і синтезу теорії керування, до функціональних моделей. Функціональні моделі, що відображають не структуру, а функції системи, будуються на основі реєстрації й обробки реакції об'єктів керування на стандартні вхідні впливи і виражаються через перехідні матриці, частотні характеристики і т.п. При цьому важлива форма використання зазначених динамічних характеристик, яка придатна для опису можливо більш широкого класу систем.

На основі короткого аналізу існуючих видів математичних моделей у часовій і комплексній областях показано, що перехід до нових форм моделей завжди приводив до появи нових задач і методів рішення як нових, так і старих задач.

Клас систем, розглянутих у дисертації, обмежений диференціальними системами в нормальній формі Коші з нелінійними (у загальному випадку) безперервними і диференційованими функціями правих частин і адитивними керуючими впливами, які розглядаються на кінцевому інтервалі часу. Розглядаються задачі оптимального керування з вільним правим кінцем і критеріями від задач Майера і Лагранжа з можливими амплітудними обмеженнями на керування, термінальними задачами приведення в задане положення, задачею коваріаційного аналізу. Для зазначеного класу систем і згаданих задач виконаний досить докладний огляд, що включає:

для задач оптимального керування - варіаційне числення, принцип максимуму і динамічне програмування як методи загального призначення, різні форми алгоритмів керування класичної постановки лінійно - квадратичної задачі.

для задач термінального керування - методи зворотної задачі динаміки, моментів, з умов керованості (для лінійних систем), асимптотичний, диференційно-геометричний (для білінійних систем) і ряд інших.

для задачі коваріаційного аналізу - методи статистичних іспитів (Монте-Карло), інтерполяційні, статистичної лінеаризації.

Показано, що майже всі алгоритми для зазначених задач використовують інформацію про структуру моделі і не задовольняють поставленій в дисертації мети - одержанню алгоритмів у функціональній формі.

Другий розділ дисертації має назву “МОДЕЛІ КІНЦЕВОГО СТАНУ І ЇХНЄ ЗАСТОСУВАННЯ в ЗАДАЧАХ ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ”. У ньому розглядаються системи виду:

У системі (1) - -мірний вектор стану, - безперервна разом зі своїми частковими похідними першого порядку вектор-функція, - матриця коефіцієнтів при -мірному векторі керування. Адитивність керування не є принциповим обмеженням, тому що для всіх неадитивних керувань (наприклад, керованих параметрів) можна ввести диференціальні рівняння з невизначеними правими частинами, що і будуть новими керуючими сигналами. При такій заміні, щоправда, клас вихідних керувань обмежений диференційованими функціями.

Формою функціональної моделі для систем виду (1) пропонується так звана модель кінцевого стану, елементами якої є матриця перехідних функцій і вектор перемінних кінцевого стану. Перемінні кінцевого стани мають сенс прогнозу кінцевого стану некерованого руху системи, що має в деякий момент стан. Достоїнством даної форми є її однаковий вид для лінійних і нелінійних систем, що у даному випадку розрізняються лише способами розрахунку перехідних матриць і перемінних кінцевого стану. Для лінійних систем алгоритми розрахунку перехідної матриці як функції першого і другого аргументів добре відомі, причому перехідна матриця тут від не залежить. Для нелінійних же систем використані визначення й алгоритм розрахунку перехідної матриці як функції першого аргументу, запропоновані відомим радянським математиком Алексєєвим В.М. Що стосується перемінних кінцевого стани, що також є функціями двох часових аргументів, то алгоритми їхнього розрахунку як функцій першого і другого аргументів для лінійних систем і як функцій першого аргументу для нелінійних систем також відомі, хоча як елементи представлення моделей у пропонованій формі вони раніше не використовувалися. Цінність моделей кінцевого стану для практичних задач обумовлена двома основними причинами. Перша причина - рівність значень перемінних кінцевого стану і перемінних стану при однакових значеннях першого і другого часових аргументів у визначенні, тобто. Друга причина - простий вид диференціальної форми моделі кінцевого стану, при якому перемінна кінцевого стану в праву частину векторно-матричного диференціального рівняння не входить. Модель кінцевого стану являє собою векторно-матричну систему диференціальних рівнянь, що визначає перемінні кінцевого стану як функції другого аргументу. Ці рівняння разом з алгоритмом розрахунку елементів моделі (перехідної матриці і перемінних кінцевого стани) як функцій першого аргументу мають вид:

У приведеному алгоритмі розрахунку елементів моделі використовуються її структурні елементи у виді векторів та якобіану А. У випадку ж використання чисто функціональних форм передбачається, що і відомі як функції двох часових аргументів (і стану для нелінійних систем), для одержання яких повинна бути виконана їхня ідентифікація. Відзначимо, що задача ідентифікації й у дисертації не ставилася. Таким чином, рівняння (3) і (4), що повинні інтегруватися спільно, є алгоритмом переходу від структурної моделі до моделі кінцевого стану.

Систематизовано властивості перемінних кінцевого стани, що у тій чи іншій формі були відомі і раніше.

Показано, що співвідношення Лагранжа має місце тільки для лінійних систем.

На основі відомого узагальнення формули Коші-Лагранжа на системи з розривними в задані моменти часу рішеннями і відповідних рівнянь для перехідних матриць отримана модель кінцевого стану для такого класу систем.

Структурна модель для зазначеного типу систем описується рівняннями:

Далі в другому розділі розглянуті деякі задачі оптимального керування лінійними системами, для яких отримані алгоритми оптимального керування у функціональній формі.

Використання (8), (9) зводить варіаційну задачу (8) до задачі нелінійного програмування з підлягаючим визначенню мірним вектором, що значно простіше з обчислювальної точки зору, чим рішення відповідної крайової задачі, яка з'являється у випадку застосування принципу максимуму безпосередньо до задачі (8). Однак для часткового випадку (8) зі скалярним керуванням і однією керованою координатою (для визначеності першої) отримане керування у виді зворотного зв'язку:

У даній задачі передбачалося, що скалярне керування може впливати на багато входів відповідно до коефіцієнтів стовбцевої матриці .

Як бачимо, керування формується по відомим на всьому інтервалі часу зовнішнім впливам та поточному стану і має функціональну форму.

У дисертації приведені також і відомі формули перетворення, що дозволяють використовувати алгоритми для ненормованих амплітудних обмежень на керування.

У наступному підрозділі другого розділу розглянута задача еквівалентної по кінцевому стану двох керованих координат лінійної нестаціонарної системи

Функція являє собою внесок -ї компоненти вектора керувань у кінцеві стани двох довільних керованих координат на визначеному в приведеній нижче формулюванні теореми -му інтервалі часу.

Теорема. На кожнім з інтервалів, де передбачувані безперервними функції мають постійні знаки, а функції монотонні, будь-яке обмежене нулем і одиницею керування може бути замінено релейним керуванням із двома переключеннями виду

еквівалентним у змісті рівності інтегралів. При цьому, як наслідок, забезпечиться рівність кінцевих станів двох довільно узятих координат лінійної нестаціонарної системи.

Приведено приклад, що підтверджує еквівалентність у зазначеному змісті довільного і релейного керування виду .

Наступні два підрозділи розділу 2 присвячені лінійно-квадратичної задачі в її класичній постановці:

Після переходу від задачі до еквівалентної задачі на основі моделі кінцевого стану (2) отримані функціональні форми оптимального керування для особистого випадку і для загального випадку задачі (16).

Функціональна форма для особистого випадку задачі (16) має вигляд:

Форма і близькі до неї отримані відмінними від нашого методами й іншими дослідниками.

Функціональна форма для загального випадку задачі має вигляд:

Форма у доступних нам літературних джерелах не зустрічалася. Слід зазначити, що відомий цілий ряд форм оптимального керування задачі (16), що виражаються через перехідні матриці штучних систем (у дисертації приведені чотири таких форми), однак ці форми не можна назвати функціональними через принципову неідентифікованість таких систем.

На основі форми отриманий структурний алгоритм обчислення параметричної чутливості кінцевого стану в припущенні, що матриці задачі (16) залежать безперервно від параметра. Алгоритм має вид:

Показано, що алгоритм значно ощадливіший по обчислювальних витратах, чим відповідний алгоритм, отриманий на основі використання найбільш розповсюдженої форми лінійно-квадратичної задачі - форми Льотова-Калмана. З випливає і чисто функціональна форма алгоритму, коли відома аналітична залежність від вектора параметрів перехідної матриці. Вона простіше структурної і включає тільки вираження і рівняння. Приведено відповідний приклад розрахунку.

Третій розділ дисертації, що має назву “ЗАСТОСУВАННЯ МОДЕЛЕЙ КІНЦЕВОГО СТАНУ ДЛЯ ТЕРМІНАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ”, присвячений задачі термінального керування в постановці:

і використовуючи ідеї методів зворотної задачі динаміки і методу синтезу на основі функцій Ляпунова, у дисертації запропонований новий метод термінального керування, названий “метод кінцевого стану” чи скорочено МКС. Метод розроблений для трьох видів математичних моделей - з диференціальними (1), диференційно-алгебраїчними (іноді їх називають диференційно-функціональними) і гібридними (5) обмеженнями. Диференційно-алгебраїчні обмеження складені із систем нелінійних диференціальних виду (1) і нелінійних алгебраїчних рівнянь.

На відміну від відомих варіантів рішення зворотної задачі динаміки, у яких задається бажана траєкторія в просторі перемінних стану, у МКС задається бажана траєкторія так називаної критеріальної функції, що представляє собою цільову функцію критерію задачі, де замість вектора підставлений вектор перемінних кінцевого стану як функція часу. Бажана траєкторія для критеріальної функції задається у вигляді диференціального рівняння, її визначаючого. Оскільки в термінальних задачах важлива не траєкторія, а те кінцеве значення, до якого вона приходить, можна обмежитися деякими стандартними видами траєкторій. Наприклад, для прямолінійної й експонентної траєкторій відповідне диференціальне рівняння має вигляд:

Обчислюючи похідну по часі критеріальної функції в силу рівнянь (як у методі синтезу на основі функцій Ляпунова), можна одержати явне вираження для керування у вигляді:

Показано, що псевдозворотність, а отже, і керування, у загальному випадку не єдино. І тільки у випадку скалярного керування, коли, керування єдино.

Показано також, що керована алгоритмом система завжди стійка на кінцевому інтервалі (у силу відомого визначення стійкості на кінцевому інтервалі) при.

Тут вектор керування розбитий на два підвектори - вільний і базисний, де вільний підвектор представляє незалежні керуючі впливи, а базисний - залежні. Для, що входить у (26) у загальному випадку як вектор параметрів, уведені додаткові диференціальні рівняння, що визначають їх через адитивні керуючі впливи розмірності, у силу чого і матриця МКС-алгоритму має блокову структуру:

Основною проблемою при використанні є обчислення часткової похідної, що спочатку залежить від часткової похідної , де - зворотна вектор-функція, яка визначається в результаті рішення функціонального рівняння, тобто. Коли дана залежність не аналітична, саме і виникає зазначена проблема. У дисертації отриманий алгоритм обчислення:

Для гібридних систем виду, що мають безперервне і дискретне керування, розрахунок робиться (при цьому перехідна матриця від стану не залежить). Для розрахунку сформульовано дві задачі. У задачі 1 потрібно привести систему до заданого значення при першому ж включенні дискретного керування, тобто повинно виконатися:

Оскільки це може виявитися недосяжним (питання, зв'язані з досяжністю, розглянуті окремо), має сенс задача 2, де за одне включення критеріальна функція повинна зменшитися в раз, тобто:

Після підстановки вираження для у виходить у загальному випадку система нелінійних алгебраїчних рівнянь для визначення вектора. Якщо критерій і, відповідно, критеріальна функція квадратичні, а керування скалярне, то воно виражається аналітично з квадратного рівняння.

Окремо розглянуте питання про вибір досяжного значення і показано, що за умови досяжності заданої траєкторії критеріальної функції на МКС-керуванні вихідна оптимізаційна задача може бути переформульована як задача пошуку оптимальної критеріальной функції, що по визначенню є скалярною .

Другий підрозділ розділу 3 присвячений аналізу властивостей методу кінцевого стану. Тут розглянуті два питання.

Насамперед, зроблене порівняння МКС-керування з іншими відомими методами оптимального і термінального керування на прикладі задачі Котрелла переслідування рухомої цілі. Котреллом вирішена задача оптимального переслідування для об'єкта при крайовій умові, де - бокове відхилення від лінії візування цілі; - проекція на бокову вісь швидкості переслідувача; - нормальне щодо початкової лінії візування прискорення переслідувача; - проекція на бокову вісь швидкості цілі; - керування переслідувача; - параметр, що відображає інерційні властивості об'єкта керування.

Рішення Котрелла являє собою алгебраїчне співвідношення, що визначає керування як функцію стану і зовнішнього впливу.

Крім алгоритму Котрелла, для порівняння узяті:

алгоритм Батенко, що реалізує один із класичних методів рішення зворотної задачі динаміки;

оптимальний за критерієм з (16) лінійно-квадратичний регулятор (ЛКР) у формі, що враховує наявність відомого зовнішнього впливу; при цьому коефіцієнти критерію (16) підбиралися таким чином, щоб точність по першій координаті (промаху) і енергетичні витрати наближалися до аналогічних характеристик системи, керованої по Котреллу.

запропонований у дисертації оптимальний алгоритм (10).

Вибір задачі як базу для порівняння алгоритмів обумовлений тим, що для цієї моделі відомі оптимальні алгоритми, може бути застосований метод Батенко (для керування кінцевими значеннями координат), перехідна матриця відома в аналітичному виді.

Алгоритми порівнювалися за допомогою комп'ютерного моделювання. Досліджувалася точність наведення і чутливість по неузгодженості для випадків нерухомої і рухомої цілей, при точній оцінці швидкості цілі і її відсутності. Чутливість по неузгодженості перевірялася шляхом завдання почергових неузгодженостей параметрів і коефіцієнта при в другому рівнянні з (31) і цих же параметрів в алгоритмах керування. Крім того, досліджувалася чутливість алгоритму МКС стосовно перетворення форми елементів перехідної матриці. Порівнювалися також результати керування кінцевими значеннями одночасно першою і другою координатами (промахом і кінцевим прискоренням переслідувача). Для керування енергетичними витратами на керування в алгоритмах Батенко і МКС вводилося амплітудне обмеження на керування. Результати експериментів відображені у восьми таблицях і на п'ятьох малюнках. На цьому ж прикладі перевірялися формули розрахунку параметричної чутливості кінцевого стану ЛКР. Перевірка робилася шляхом порівняння розрахунків по при відомій в аналітичному виді перехідній матриці з розрахунком чутливості безпосереднім інтегруванням при різних значеннях параметра. Отримані досить близькі значення, що дозволяють зробити висновок про коректність.

Основні висновки, що настають в результаті порівняння алгоритмів, такі:

усі порівнювані алгоритми, за винятком алгоритму Батенко, показали близькі форми траєкторій, керуючих впливів, критеріальних функцій, а також близькі енергетичні витрати в умовах відсутності неузгодженості параметрів моделі й алгоритмів керування;

найменша параметрична чутливість у пропонованих у дисертації алгоритмів МКС і (10);

енергетичні витрати алгоритму МКС при відсутності неузгодженості параметрів моделі й алгоритму майже дорівнюють енергетичним витратам оптимальних алгоритмів ЛКР і Котрелла (40 проти 36), аналогічні витрати для алгоритму (10) приблизно в два рази більше (близько 90), а для алгоритму Батенко - близько 65. При наявності параметричних неузгодженостей у всіх алгоритмах погіршується точність і зростають енергетичні витрати, причому в алгоритмі МКС - у найменшому ступені. Аналогічні властивості для МКС-керування і при наведенні на рухому ціль, коли швидкість цілі в алгоритмах керування не використовується.

Алгоритм МКС малочутливий до перетворення форми елементів перехідної матриці, особливо тих, котрі не використовуються для обчислення поточних значень перемінних кінцевого стану (ці елементи взагалі замінялися константами, що майже не вплинуло на точність і енергію керування).

На основі аналізу результатів моделювання зроблений загальний висновок про те, що з комплексу властивостей найкращим серед порівнюваних алгоритмів є алгоритм МКС. Що стосується алгоритму (10), то по точності і параметричній чутливості він не поступається алгоритму МКС, однак його енергія керування в кілька разів більше.

Далі в цьому ж підрозділі досліджена досяжність траєкторій і кінцевих значень критеріальних функцій (визначення критеріальної функції див. вище). Питання досяжності для термінальних задач і методів аналогічний питанню про існування оптимального керування в задачах і методах оптимального керування. Теоретичний аналіз даної задачі на сучасній стадії досліджень проведений лише в частині, що стосується причин недосяжності в безперервному (25) і безперервно-дискретному варіантах МКС. Виявлено, що єдиною причиною недосяжності заданої траєкторії критеріальної функції в безперервному випадку є особливі точки (по осі часу) скалярної функції, при проходженні яких критеріальна функція перетерплює розриви, що виявляються на графіках у виді миттєвих стрибків, після яких знову формується задана форма функції, але з нової ординати точки розриву. Для безперервно-дискретного варіанта існує і додаткова причина недосяжності - нерозв'язність систем нелінійних рівнянь виду.

У цьому ж підрозділі показані графіки критеріальних функцій для задачі Котрелла, отримані при використанні алгоритмів ЛКР і МКС у випадку, коли оптимальна критеріальна функція ЛКР виявляється недосяжною для МКС. З порівнюваних графіків видно, що особливі точки утворюють деякий криволінійний бар'єр, уздовж якого критеріальна функція МКС рухається у формі ковзного режиму. Тут же розглянутий приклад системи з безперервно-дискретним керуванням, для якого комп'ютерним моделюванням підтверджена випливаюча з можливість однократної дискретної корекції (тобто здійсненість) при різних значеннях і різних безперервних керуваннях.

У наступному підрозділі третього розділу розглянута задача сигнального самонастроювання по еталонній моделі і її рішення на основі моделей кінцевого стану. Метою систем даного класу є відтворення динамічних властивостей еталонної моделі шляхом формування деякого керуючого сигналу на вході. При цьому керуючий сигнал залежить від помилки між відгуками вихідної системи й еталонної моделі, а також вимірюваних зовнішніх впливів. Звичайно подібні системи будують на основі підходу, коли по обмірюваному векторі помилки формується сигнал зворотного зв'язку, що розраховується з умови асимптотичної стійкості самонастроювання (наприклад, з використанням функцій Ляпунова). При використанні підходу на основі функцій Ляпунова часто вибирають її у вигляді невід'ємно визначеної квадратичної форми від поточної помилки, а потім знаходять похідну від цієї функції в силу рівнянь для помилки. Завершальним етапом є вибір такого керування, що забезпечує від'ємність зазначеної похідної. При цьому , якщо вихідний об'єкт і еталонна модель є лінійними, у результаті виходить розривне керування, тому що рівняння для помилки містить шукане керування, яке входить туди лінійно.

Задачу сигнального самонастроювання можна сформулювати і як задачу приводимості, однак замість класичного визначення приводимості по Ляпунову введені два визначення “некласичної” приводимості по кінцевому стані і на інтервалі. Критерій приводимості по кінцевому стану визначений у вигдяді верхнього обмеження на квадратичну форму з матрицею від вектора помилки в кінцевий момент часу, а критерій приводимості на інтервалі - як мінімуми аналогічної квадратичної форми в кожен момент часу.

Алгоритм приводячого керування по кінцевому стану на основі моделей кінцевого стану для випадку однакових порядків системи, що приводиться, й еталонної системи, має вигляд:

Приводимість на інтервалі забезпечується багаторазовим застосуванням на малих інтервалах розбивки інтервалу роботи системи. При цьому в замінено, - часом, де,. У такий спосіб виходить дискретний алгоритм у функціональній формі, що при досить малому періоді дискретизації виконує поставлену задачу. Якщо відома структурна модель системи, приводимість на інтервалі забезпечується керуванням при:

Розглянуто приклад нелінійної системи другого порядку з приводячим керуванням, що додає їй властивості квазілінійності по кінцевому стані і на інтервалі відповідно. Для приведеної квазілінійної системи методами лінійної теорії виконаний синтез коригувальної ланки, що формує заданий перехідний процес. Тим самим показано, що до приведених алгоритмами систем можна застосовувати методи синтезу, розроблені для лінійних систем.

Розглянутий ще один приклад системи п'ятого порядку, на якому продемонстроване, яким образом розроблений алгоритм модифікується у випадку, коли приводима та еталонна системи мають різний порядок.

У четвертому розділі дисертації, що має найменування “ЗАСТОСУВАННЯ МОДЕЛЕЙ КІНЦЕВОГО СТАНУ ДЛЯ КОВАРІАЦІЙНОГО АНАЛІЗУ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ”, на основі застосування моделей кінцевого стану отримані нові рівняння для коваріаційного аналізу нелінійних систем виду (1), де - вектор незалежних білих шумів. Рівняння отримані у функціональній і структурній формах, причому структурна форма являє собою узагальнення відомого методу Дункана для розрахунку коваріаційних матриць лінійних систем як функцій часу. Функціональна форма має вид гібридної системи рівнянь:

У - математичне чекання; - шукана коваріаційна матриця вектора;; - вектор, компоненти якого - суми нелінійних членів розкладання відповідної компоненти вектора системи (1) в околиці детермінованого рішення.

Рівняння являють собою як би комбінацію відомих рівнянь для розрахунку коваріаційних матриць нелінійних систем:

і відрізняються від них тим, що в виділена лінеарізована в околиці детермінованого рішення частина. У силу цього алгоритм (36) одержав нові властивості. Так, у точних рівняннях коваріаційна матриця між векторами і дає визначальний внесок в і основні труднощі застосування - обчислення. У наближених рівняннях, справедливих для нормально розподіленого і гаусовського білого шуму, основні труднощі представляє обчислення. Для обчислення і застосовуються різні варіанти методу статистичної лінеаризації. У пропонованому ж алгоритмі невизначеним елементом є коваріація. У дисертації показано, що для нормально розподіленого і гаусовського білого шуму:

Для систем, де - багатомірні квадратичні форми,. При цьому близька до нуля у випадку близькості математичного чекання і детермінованого рішення.

У порівнянні з, де вся права частина невідома, у невідома , що складає лише деяку частку від правої частини. З цієї причини іноді можна понехтувати не тільки в розглянутому вище випадку. Проте існують випадки, коли цього робити не можна. У дисертації запропонований спосіб оцінювання на основі однієї ідеї, названої “цепова лінеаризація”. Суть ідеї в тім, що для кожної нелінійності системи (1) можна записати диференціальні рівняння для її коефіцієнтів тейлоровського розкладання як функцій часу. Ці рівняння відповідають структурній схемі у вигляді в загальному випадку нескінченного ланцюжка інтеграторів з початковими умовами, що обчислюються послідовним диференціюванням правих частин зазначених рівнянь у силу рівнянь вихідної системи (1). Припускаючи, що нелінійності як функції часу можуть бути уявлені рядами Тейлора, що сходяться, нескінченну систему можна замінити кінцевою, замінивши праву частину деякого рівняння нулем. Це відповідає відкиданню, починаючи з деякого номера, членів розкладання зі старшими ступенями. Отриманий алгоритм оцінювання може застосовуватись у випадках диференційованих правих частин системи (1).

...